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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZDEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXATAS E TECNOLOGICAS
O TEOREMA DE STOKES
MARCELO DOS SANTOS
Ilheus-BahiaNovembro-2010
MARCELO DOS SANTOS
O TEOREMA DE STOKES
Trabalho de conclusao de curso elaboradojunto ao Colegiado do Curso de Graduacaoem Matematica da Universidade Estadualde Santa Cruz (UESC), sob orientacao doProf. Darlan Ferreira de Oliveira, comorequisito parcial para obtencao do tıtulode Bacharel em Matematica.
Ilheus-Bahia2010
BANCA EXAMINADORA
Autorizo, exclusivamente para fins academicos e cientıficos, a reproducao total ou parcialdeste Trabalho de Conclusao de Curso por processos de fotocopiadoras ou eletronicos.
Assinatura: Local e Data: ,
DEDICATORIA
A minha mae Doralice Dos Santos
”Se nao esta em nosso poder o discernir asmelhores opinioes, devemos seguir as maisprovaveis”.(Rene Descartes)
AGRADECIMENTOS
Primeiramente a Deus, por ter me dado a coragem necessaria para enfrentar os mo-mentos difıceis.
A minha amada famılia: minha mae Doralice dos Santos, meu pai Jose Augusto dosSantos , meus irmaos Joao Jose e Rogerio Augusto por sempre acreditarem em mim epela forca ao longo de todos estes anos de minha graduacao.
Ao professor Darlan Ferreira de Oliveira, meu orientador, pelas conversas matematicas,incentivos, ensinamentos, amizade escolha do tema e toda sua dedicacao durante todo operıodo de elaboracao deste trabalho.
Aos meus colegas de turma: Tabita Thalita e Robson Cajueiro pelas conversas, crıticasconstrutivas e amizade.
A professora Eurivalda Ribeiro dos Santos Santana pelas sugestoes nas correcoes dessetrabalho, pelo incentivo que me deu para estudar mais e por ser uma professora esclare-cedora dos meus questionamentos.
Aos professores Nestor Felipe, Afonso Henriques, Andre Nagamine, Jose Reis Dama-ceno, Sergio Alvarez, Jose Carlos Chagas, Erinalva Calasans, que contribuiram, de formasignificativa, na minha formacao academica com conversas matematicas e nao-matematicas.
Aos meus amigos da UESC, pelas varias conversas, especialmente Thiago Campos,Mayve Lima, Willian Monteiro e Joao Lucio.
A todos que compoem o colegiado do curso de matematica em especial a nossa se-cretaria Ana Carolina da Mata Virgem Lemos pela simpatia e atencao aos nossos pedidos.
Na tentativa de nao omitir nenhum nome: a todos os amigos do Salobrinho, do colegioCEAMEV e da UESC, pelo apoio, compreensao e carinho, pelas piadas e pela forca.
RESUMO
A Analise Vetorial classica gira em torno dos chamados Teoremas Integrais, associ-ados aos nomes ilustres de Green, Gauss e Stokes. Com o uso das formas diferenciais,especialmente da diferenciacao exterior e do operador pull-back, todos esses teoremas sereduzem a um unico, conhecido como Teorema de Stokes, o qual se exprime de maneiraconcisa e elegante sob a forma
∫Cdw =
∫∂Cw. Explicar e demonstrar a igualdade acima,
esclarecendo cada conceito nela envolvido e ilustrar sua utilidade na redemonstracao dosTeoremas Integrais e o principal objetivo deste trabalho. O primeiro capıtulo procura darum tratamento elementar e conciso aos conceitos de formas diferenciais, produto exterior,diferencial exterior e operador pull-back. No capıtulo dois inicia-se o estudo dos teoremasda analise vetorial do tipo Stokes, a saber: o teorema de Green, Gauss e Stokes. Antesde demonstrar tais teoremas, sao introduzidos alguns conceitos tais como, curva suave,curva fechada, regiao simples, o operador (∇) e o (rot) de um campo vetorial. Por fim,finalizamos o capıtulo com as demonstracoes dos teoremas integrais. No capıtulo tres edefinida a nocao de cubos singulares, cadeias, faces e fronteira. E definido ainda, o con-ceito de integracao em cadeias e o elemento de volume dV. Em seguida e apresentada ademonstracao do teorema de Stokes em cadeias. O capıtulo e finalizado redemonstrandoos teoremas classicos do calculo utilizando o teorema de Stokes.
Palavras-chave: Formas Diferenciais; Teorema de Stokes; Teoremas classicos daanalise vetorial; operador diferencial; operador pull-back; n-cadeias.
Abstract
The Vector Analysis classic revolves around so-called Integral Theorems, associatedwith the illustrious names of Green, Gauss and Stokes. With the use of differential forms,especially the exterior differentiation operator and the pull-back, all these theorems arereduced to a single, known as Stokes’ theorem, which is expressed in a concise and elegantform
∫Cdw =
∫∂Cw. Explain and demonstrate the equality above, explaining each con-
cept involved in it and illustrate its usefulness in redemonstracao Theorems of Integral isthe main objective of this work. The first chapter seeks to provide a concise treatment andelementary concepts of differential forms, exterior product, exterior differential operatorand pull-back. In Chapter Two begins the study of the theorems of vector analysis of theStokes type, namely the theorem of Green, Gauss and Stokes. Before demonstrating thesetheorems are introduced concepts such as gentle curve, closed curve, simple region, theoperator del (∇) and rot of a vector field. Finally, we’ve closed the chapter with the fullproofs of the theorems. In chapter three is defined the notion of natural hubs, chains, andboundary faces. It also defined the concept of integration in chains and volume elementdV. Next is presented a demonstration of Stokes’ theorem in chains. The chapter endsredemonstrando the theorems of calculation using Stokes’ theorem.
Keywords: Differential Forms; Stokes’theorem; classical theorems of vector analysis,differential operator, operator pull-back, n-chains.
Sumario
Introducao
Este trabalho trata do Teorema de Stokes em cadeias. George Stokes, matematicoe fısico britanico nascido em Skreen, Sligo, Irlanda, 13 de agosto de 1819, faleceu emCambridge, Inglaterra, 1o de fevereiro de 1903.
No capıtulo 1, estao as nocoes preliminares, que envolve os conceitos de formas diferen-ciais, campos vetoriais, diferencial exterior e operador pull-back. Enquanto no capıtulo 2apresentamos o Teorema de Stokes na versao do Calculo Vetorial , ao lado dos inseparaveiscompanheiros, o Teorema de Green e o da Divergencia. No capıtulo 3, apresentaremos otema central de nosso trabalho que e o Teorema de Stokes em cadeias, abrindo uma breveintroducao sobre k−cubos, cadeias, integracao em cadeias e o elemento de volume. Ahistoria desse resultado, o Teorema de Stokes, tem aspectos curiosos, e o proprio teorematem passado por metamorfoses que impressionam.
Foi ele mencionado pela primeira vez em 2 de julho de 1850, num adendo a umacarta de Sir Willian Thomson (Lord Kelvin) a Stokes. Ele se torna de domınio publicocomo a questao numero 8 do Smith’s Prize Examination, ano de 1854. Esse exame eraparte de uma competicao anual a qual concorriam os melhores alunos da Universidadede Cambridge. Stokes organizou-a de 1849 a 1882 e, na ocasiao de seu falecimento, esseresultado ja era conhecido por toda a comunidade como ”O Teorema de Stokes”’.
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Capıtulo 1
Formas Diferenciais
Este capıtulo visa dar uma nocao de alguns dos principais conceitos e resultados da Ge-ometria Diferencial, necessarios para compreensao dos resultados que pretendemos demon-strar.
1.1 Formas Diferenciais em Rn
A nocao de formas diferenciais engloba ideias tais como elementos de area e de volumede uma superfıcie, o trabalho exercido por uma forca, o fluxo de um fluido, a curvaturade uma superfıcie no espaco, etc. Uma importante operacao sobre formas diferenciais e aderivacao exterior, a qual generaliza os operadores divergente, gradiente e rotacional docalculo vetorial. O estudo de formas diferenciais, o qual foi iniciado por E. Cartan porvolta do ano 1900, e as vezes denominado de Calculo diferencial exterior.
Um estudo matematicamente rigoroso de formas diferenciais requer o conhecimentodas ferramentas de algebra multilinear. Felizmente, e perfeitamente possıvel adquirir umconhecimento solido de formas diferenciais, sem entrar neste formalismo. Esse e o objetivodeste capıtulo.
Para fixarmos ideias, vamos inicialmente introduzir as definicoes em R3.
Seja p um ponto do R3. O conjunto de vetores aplicados em p, chama-se espaco tan-gente de R3 em p, e sera denotado por TpR3. Com as operacoes usuais TpR3 e um espacovetorial.
Definicao 1.1.1 Um campo de vetores em R3 e uma aplicacao v : R3 → TpR3 que a cadaponto p ∈ R3 associa v(p) ∈ TpR3 onde v(p) pode ser escrito na forma
v(p) = a1(p)e1 + a2(p)e2 + a3(p)e3,
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sendo e1, e2, e3 a base canonica do R3. O campo de vetores v diz-se diferenciavel quandoas funcoes ai : R3 → R para 1 ≤ i ≤ 3, sao diferenciaveis.
Para cada espaco tangente TpR3, consideremos o espaco dual (TpR3)∗, que e o conjuntodos funcionais lineares f : TpR3 → R. Uma base para (TpR3)∗, e obtida tomando dxi(p),1 ≤ i ≤ 3, onde xi : R3 → R e a projecao na i-esima coordenada. De fato, o conjuntodxi(p), 1 ≤ i ≤ 3, forma uma base, pois dxi(p) ∈ (TpR3)∗, e
dxi(p)(ej) =∂xi∂xj
(p) =
0, se i 6= j1, se i = j
isto e, dx1(p), dx2(p), dx3(p) e a base de (TpR3)∗ dual da base e1(p), e2(p), e3(p) deTpR3.
Definicao 1.1.2 Um campo de formas lineares ou forma exterior de grau 1 em R3 e umaaplicacao w que a cada p ∈ R3 associa w(p) ∈ (TpR3)∗. w pode ser escrita na forma
w(p) = a1(p)dx1(p) + a2(p)dx2(p) + a3(p)dx3(p),
onde ai sao funcoes definidas em R3 e tomando valores em R. w chama-se forma exteriorcontinua quando as funcoes ai sao continuas. Se as funcoes ai forem diferenciaveis, wpassa a ser chamada de forma diferencial de grau 1.
Seja ∧2(TpR3)∗ o conjunto das aplicacoes ϕ : TpR3×TpR3 → R bilineares (isto e, linearem cada variavel) e alternadas (isto e, ϕ(u, v) = −ϕ(v, u)). Com as definicoes usuais desoma e produto por escalar ∧2(TpR3)∗ se torna um espaco vetorial.
Definicao 1.1.3 Sejam ϕ1, ϕ2 ∈ (TpR3)∗ funcionais lineares. Podemos obter um ele-mento ϕ1 ∧ ϕ2 ∈ ∧2(TpR3)∗ definindo
ϕ1 ∧ ϕ2(v1, v2) = det(ϕi(vj)) =
∣∣∣∣ ϕ1(v1) ϕ1(v2)ϕ2(v1) ϕ2(v2)
∣∣∣∣ .Como o determinante de uma matriz 2x2 e uma funcao bilinear de suas linhas e colunas,ou seja,
ϕ1 ∧ ϕ2(v1 + u, v2) =
∣∣∣∣ ϕ1(v1 + u) ϕ1(v2)ϕ2(v1 + u) ϕ2(v2)
∣∣∣∣= ϕ1(v1 + u)ϕ2(v2)− ϕ1(v2)ϕ2(v1 + u)
= ϕ1(v1)ϕ2(v2) + ϕ1(u)ϕ2(v2)− ϕ1(v2)ϕ2(v1)− ϕ1(v2)ϕ2(u)
= ϕ1(v1)ϕ2(v2)− ϕ1(v2)ϕ2(v1) + ϕ1(u)ϕ2(v2)− ϕ1(v2)ϕ2(u)
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=
∣∣∣∣ ϕ1(v1) ϕ1(v2)ϕ2(v1) ϕ2(v2)
∣∣∣∣+
∣∣∣∣ ϕ1(u) ϕ1(v2)ϕ2(u) ϕ2(v2)
∣∣∣∣= ϕ1 ∧ ϕ2(v1, v2) + ϕ1 ∧ ϕ2(u, v2)
Analogamente, ϕ1 ∧ ϕ2(v1, v2 + u) = ϕ1 ∧ ϕ2(v1, v2) + ϕ1 ∧ ϕ2(v1, u)
e
ϕ1 ∧ ϕ2(v1, λv2) =
∣∣∣∣ ϕ1(v1) ϕ1(λv2)ϕ2(v1) ϕ2(λv2)
∣∣∣∣= ϕ1(v1)ϕ2(λv2)− ϕ1(λv2)ϕ2(v1)
= λϕ1(v1)ϕ2(v2)− λϕ1(v2)ϕ2(v1)
= λ(ϕ1(v1)ϕ2(v2)− ϕ1(v2)ϕ2(v1))
= λ
∣∣∣∣ ϕ1(v1) ϕ1(v2)ϕ2(v1) ϕ2(v2)
∣∣∣∣ = λϕ1 ∧ ϕ2(v1, v2),
quaisquer que sejam v1, v2, u ∈ TpR3 e λ ∈ R. E alternada,
ϕ1 ∧ ϕ2(v1, v2) = ϕ1(v1)ϕ2(v2)− ϕ1(v2)ϕ2(v1)
= −(ϕ1(v2)ϕ2(v1)− ϕ1(v1)ϕ2(v2))
= −ϕ1 ∧ ϕ2(v2, v1),
segue-se que ϕ1 ∧ ϕ2 ∈ ∧2(TpR3)∗.
Segue da definicao acima que:
dxi(p) ∧ dxj(p) = −dxj(p) ∧ dxi(p)
edxi(p) ∧ dxi(p) = 0.
Mostraremos na proposicao ??, de uma maneira mais geral, que o conjuntodxi(p) ∧ dxj(p), i < j forma uma base para o espaco ∧2(TpR3)∗.
Definicao 1.1.4 Um campo de formas bilineares alternadas ou forma exterior de grau 2em R3 e uma aplicacao w que a cada p ∈ R3 associa w(p) ∈ ∧2(TpR3)∗; w pode ser escritona forma
w(p) = a12(p)dx1(p) ∧ dx2(p) + a13(p)dx1(p) ∧ dx3(p) + a23(p)dx2(p) ∧ dx3(p).
As funcoes aij : Rn → R, cujos valores em cada ponto p ∈ Rn sao as coordenadas dofuncional w(p). Se as funcoes coordenadas aij forem diferenciaveis, w e chamada umaforma diferencial de grau 2 .
Passamos agora a generalizar a nocao de formas diferenciais a Rn. Sejam p ∈ Rn,TpRn o espaco tangente de Rn em p, (TpRn)∗ o seu espaco dual. Com as operacoes usuais(TpRn)∗ e um espaco vetorial.
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Definicao 1.1.5 Seja ∧k(TpRn)∗ o conjunto das aplicacoe ϕ : TpRn × · · · × TpRn︸ ︷︷ ︸k−vezes
→ R k-
lineares, isto e, seus valores ϕ(v1, · · · , vk) dependem linearmente de cada uma das variaveis(v1, · · · , vk) ∈ TpRn, ou seja,
ϕ(v1, v2 · · · , vi + ui, · · · , vk) = ϕ(v1, v2 · · · , vi, · · · , vk) + ϕ(v1, v2 · · · , ui, · · · , vk)
eϕ(v1, v2 · · · , λvi, · · · , vk) = λϕ(v1, v2 · · · , vi, · · · , vk)
quaisquer que sejam (v1, · · · , vk) ∈ TpRn e λ ∈ R.
As operacoes usuais de soma de aplicacoes e produto de um aplicacao por uma es-calar fazem do conjunto ∧k(TpRn)∗ um espaco vetorial. Diremos que uma aplicacaoϕ ∈ ∧k(TpRn)∗ e alternada se ϕ(v1, v2, · · · , vk) = 0 sempre que a sequencia (v1, v2, · · · , vk)possuir repeticoes, ou seja, se existirem i 6= j com vi = vj e diremos que e anti-simetricase
ϕ(v1, v2, · · · , vi, · · · , vj, · · · , vk) = −ϕ(v1, v2, · · · , vj, · · · , vi, · · · , vk)
para quaisquer (v1, v2, · · · , vk) ∈ TpRn.
Se ϕ1, · · · , ϕk sao funcionais lineares, podemos obter um elemento ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕk ∈∧k(TpRn)∗ definido por:
ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕk(v1, · · · , vk) = det(ϕi(vj)).
Decorre das propriedades de determinantes que ϕ1∧· · ·∧ϕk e de fato k-linear e alternada.
Em particular,dxi1(p) ∧ · · · ∧ dxik(p) ∈ ∧k(TpRn)∗.
Proposicao 1.1.6 O conjunto dxi1(p) ∧ · · · ∧ dxik(p), i1 < ... < ik, ondeij ∈ 1, · · · , n, forma uma base para (TpRn)∗.
Demonstracao . Mostremos que os elementos do conjunto sao LI e geram (TpRn)∗.De fato, se ∑
i1<···<ik
ai1···ikdxi1 ∧ · · · ∧ dxik = 0, ij ∈ 1, · · · , n
entao aplicando a (ej1 , · · · , ejk), j1 < · · · < jk e jl ∈ 1, ..., n obteremos:
aj1···jk =∑
ai1···ikdxi1 ∧ · · · ∧ dxik(ej1 , · · · , ejk)
=∑
ai1···ik det(dxik(ejn))︸ ︷︷ ︸=0
= 0,
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para todo j1, · · · , jk. Logo os coeficientes aj1···jk sao nulos e dxi1 ∧ · · · ∧ dxik sao LI.
Vamos agora mostrar que se f ∈ ∧k(TpRn)∗, entao f e uma combinacao linear daforma
f =∑
i1<···<ik
ai1···ikdxi1 ∧ · · · ∧ dxik .
Tomemosg =
∑i1<···<ik
f(ei1 , · · · , eik)dxi1 ∧ · · · ∧ dxik
um elemento de ∧k(TpRn)∗ temos, g(ei1 , · · · , eik) = f(ei1 , · · · , eik) para todo i1, · · · , iksegue que f = g. Com efeito, provemos por inducao sobre k, sejam f, g : TpRn → R,funcionais lineares.
Dado u ∈ TpRn arbitrario, logo podemos escrever u =∑aikeik . Entao f(u) =∑
aikf(eik) =∑aikg(eik) = g(u), portanto f = g.
Supondo agora que a igualdade seja valida para aplicacoes k−lineares , e provemosque vale para aplicacoes (k + 1)−lineares. Sejam f, g ∈ ∧k+1(TpRn)∗, tais que
g(ei1 , · · · , eik+1) = f(ei1 , · · · , eik+1
)
Para cada u ∈ TpRn, definamos as aplicacoes k−lineares fu, gu ∈ ∧k(TpRn)∗ pondo
fu(ei1 , · · · , eik) = f(ei1 , · · · , eik , u)
egu(ei1 , · · · , eik) = g(ei1 , · · · , eik , u).
Entao, para todo ∈ G (onde G e o conjunto de geradores de TpRn), temos fu = gu.Obsevando que u 7−→ fu, u 7−→ gu sao funcionais lineares de TpRn em ∧k(TpRn)∗, pelaprimeira parte temos f = g.
Fazendo f(ei1 , · · · , eik) = ai1···ik obtemos,∑i1<···<ik
f(ei1 , · · · , eik) ∧ · · · ∧ dxik =∑
i1<···<ik
ai1···ikdxi1 ∧ · · · ∧ dxik = f.
Portanto o conjunto dxi1 ∧ · · · ∧ dxik forma uma base para (TpRn)∗.
Definicao 1.1.7 Uma k-forma exterior em Rn, (k ≥ 1) e uma aplicacao w que a cadap ∈ Rn associa w(p) ∈ ∧k(TpRn)∗. Assim w pode ser escrito como:
w(p) =∑
i1<···<ik
ai1···ik(p)dxi1(p) ∧ · · · ∧ dxik(p), ij ∈ 1, · · · , n.
ai1···ik sao aplicacoes de Rn em R. Se as funcoes ai1···ik forem diferenciaveis, w e chamadauma k-forma diferencial.
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Indiquemos por I a k-upla (i1, · · · , ik), i1 < · · · < ik, ij ∈ 1, · · · , n e tomemos paraw a notacao
w =∑I
aIdxI
⇒ w(p) =∑I
aI(p)dxI(p).
Convencionaremos que uma 0-forma diferencial em Rn e uma aplicacao diferenciavelf : Rn → R .
Exemplo 1.1.8 Em R4 temos os seguintes tipos de formas diferenciais, onde ai saofuncoes diferenciaveis em R4.
1− formas : a1dx1 + a2dx2 + a3dx3 + a4dx4;
2− formas : a12dx1 ∧ dx2 + a13dx1 ∧ dx3 + a14dx1 ∧ dx4 + a23dx2 ∧ dx3 +a24dx2 ∧ dx4 + a34dx3 ∧ dx4;
3− formas : a123dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 + a124dx1 ∧ dx2 ∧ dx4 + a134dx1 ∧ dx3 ∧ dx4 +a234dx2 ∧ dx3 ∧ dx4;
4− formas : a1234dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 ∧ dx4;
De agora em diante so trataremos de formas diferenciais.
Se w e ϕ sao duas k-formas:
w =∑I
aIdxI , ϕ =∑I
bIdxI I = (i1, ..., ik), i1 < ... < ik
podemos definir a soma
w + ϕ =∑I
aIdxI +∑I
bIdxI
=∑I
(aI + bI)dxI .
Na definicao ?? vimos o produto de funcionais em (TpRn)∗. Agora vamos definir o queseja o produto de uma k−forma por uma s−forma.
Se w e uma k-forma e ϕ uma s-forma e possıvel definir uma operacao, chamada produtoexterior w ∧ ϕ obtendo uma ( k + s )-forma definida como segue:
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Definicao 1.1.9 Sejam w =∑I
aIdxI , I = (i1, · · · , ik), i1 < · · · < ik e
ϕ =∑J
bJdxJ , J = (j1, · · · , js), j1 < · · · < js. Por definicao
w ∧ ϕ =∑I,J
aIbJdxI ∧ dxJ .
A operacao de produto exterior goza das seguintes propriedades :
Proposicao 1.1.10 Se w e uma k - forma, ϕ uma s-forma e θ uma r-forma temos:
(i) (w ∧ ϕ) ∧ θ = w ∧ (ϕ ∧ θ)(ii) w ∧ ϕ = (−1)ksϕ ∧ w(iii) w ∧ (ϕ+ θ) = w ∧ ϕ+ w ∧ θ quando r = s
Demonstracao . (i) Seja w =∑I
aIdxI , ϕ =∑J
bJdxJ e θ =∑H
cHdxH , temos que
(w ∧ ϕ) ∧ θ = [(∑I
aIdxI) ∧ (∑J
bJdxJ)] ∧ (∑H
cHdxH)
= (∑I,J
aIbJdxI ∧ dxJ) ∧∑H
cHdxH
=∑I,J,H
aIbJcHdxI ∧ dxJ ∧ dxH
=∑I
aIdxI ∧ (∑J,H
bJcHdxJ ∧ dxH)
= w ∧ (ϕ ∧ θ)
(ii) Seja w =∑I
aIdxI e ϕ =∑J
bJdxJ , onde I = (i1, · · · , ik) e J = (j1, · · · , js)
w ∧ ϕ =∑I,J
aIbJdxi1 ∧ · · · ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjs
=∑I,J
bJaI(−1)dxi1 ∧ · · · ∧ dxik−1∧ dxj1 ∧ dxikdxj2 ∧ · · · ∧ dxjs
=∑I,J
bJaI(−1)kdxj1 ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik−1∧ dxik ∧ dxj2 ∧ · · · ∧ dxjs
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Repetindo o mesmo raciocınio para cada dxjl , jl ∈ J, e como J tem s elementosobtemos
w ∧ ϕ =∑I,J
bJaI(−1)ksdxj1 ∧ · · · ∧ dxjs ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxik.
Portantow ∧ ϕ = (−1)ksϕ ∧ w.
(iii) Seja w =∑I
aIdxI , ϕ =∑J
bJdxJ e θ =∑H
cHdxH , como ϕ e θ sao r− formas
podemos tomar J = H. Entao
w ∧ (ϕ+ θ) =∑I
aIdxI ∧ (∑J
bJdxJ +∑J
cJdxJ)
=∑I
aIdxI ∧ (∑J
(bJ + cJ)dxJ)
=∑I,J
aI(bJ + cJ)dxI ∧ dxJ
=∑I,J
(aIbJ + aIcJ)dxI ∧ dxJ
=∑I,J
aIbJdxI ∧ dxJ +∑I,J
aIcJdxI ∧ dxJ
= w ∧ ϕ+ w ∧ θ.
Em geral, o produto exterior de uma k-forma e uma s-forma e uma (k+s)-forma. Vistoque uma 0-forma e meramente uma funcao diferenciavel, a multiplicacao por uma 0-formanao afeta o grau de uma forma.
O produto exterior de uma k-forma e uma s-forma sera zero em Rn se k + s e maiorque n, visto que existirao repeticoes.
Exemplo 1.1.11 Para as formas diferenciais no R3 com (x1, x2, x3) = (x, y, z) α =xdx− ydy e β = xdx− zdy + y2dz, temos:
dx ∧ dx = dy ∧ dy = 0 , dy ∧ dx = −dx ∧ dy e dx ∧ dz = −dz ∧ dx, logo
α ∧ β = (xdx− ydy) ∧ (xdx− zdy + y2dz)
= x2dx ∧ dx− xydy ∧ dx− xzdx ∧ dy + yzdy ∧ dy + xy2dx ∧ dz − y3dy ∧ dz= x(y − z)dx ∧ dy − y3dy ∧ dz − xy2dz ∧ dx.
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Embora dxi ∧ dxi = 0, pode ocorrer que para alguma forma diferencial w tenhamosw ∧w 6= 0. Por exemplo, se w = x1dx1 ∧ dx2 + x2dx3 ∧ dx4, e um 2−forma no R4 teremos
w ∧ w = (x1dx1 ∧ dx2 + x2dx3 ∧ dx4) ∧ (x1dx1 ∧ dx2 + x2dx3 ∧ dx4)
= x12dx1 ∧ dx2 ∧ dx1 ∧ dx2 + x1x2dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 ∧ dx4 +
+ x2x1dx3 ∧ dx4 ∧ dx1 ∧ dx2 + x22dx3 ∧ dx4 ∧ dx3 ∧ dx4
= x1x2dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 ∧ dx4 + x1x2dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 ∧ dx4
= 2x1x2dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 ∧ dx4
6= 0
1.2 A Diferencial Exterior
A diferencial exterior de uma forma w e definida de tal modo que os varios teoremasdo Calculo, conhecidos sob os nomes de Green, Gauss, Stokes e ate mesmo o Teoremafundamental do Calculo ∫ b
a
df = f(b)− f(a),
sejam resumidos numa unica formula, que se escreve∫S
dw =
∫∂S
w
a qual e conhecida como Teorema de Stokes. Nosso proximo passo, a caminho destaformula, sera a definicao e o estabelecimento de propriedades basicas sobre dw.
Definicao 1.2.1 Seja w =∑I
wIdxI uma k-forma diferencial. Definimos uma (k +
1)-forma diferencial dw que chamaremos a diferencial exterior de w, como sendo
dw =∑I
dwI ∧ dxI
=∑I,j
∂wI∂xj
dxj ∧ dxI .
Teorema 1.2.2 Sejam w, η formas diferencias de classe C2 definidas em Rm. Entao:
(1) d(w + η) = dw + dη , onde w, η sao k−formas
(2) Sendo w, η formas diferenciais de ordem k, l, respectivamente. Tem-se:
d(w ∧ η) = dw ∧ η + (−1)kw ∧ dη
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(3) d(dw) = 0, ou seja, d2 = 0.
Demonstracao . (1) Sejam w =∑I
wIdxI e η =∑I
ηIdxI duas k-formas. Entao
w + η =∑I
(wI + ηI)dxI
e
d(w + η) =∑I
d(wI + ηI) ∧ dxI
=∑I
(dwI + dηI) ∧ dxI
=∑I
dwI ∧ dxI +∑I
dηI ∧ dxI
= dw + dη
(2) Seja w =∑I
wIdxI uma k-forma e η =∑J
ηJdxJ uma s-forma. Entao
w ∧ η =∑I,J
wIηJdxI ∧ dxJ
Portanto,
d(w ∧ η) =∑I,J
d(wIηJ) ∧ dxI ∧ dxJ
=∑I,J
(dwIηJ + wIdηJ) ∧ dxI ∧ dxJ
= dw ∧ η + (−1)kw ∧ dη
Observemos que se w, η sao 0−formas (aplicacoes difenciaveis), entao d(wη) = wdη+dwη,ou seja, basta aplicar a regra do produto para funcoes diferenciaveis.
(3) Seja w =∑I
wIdxI , entao dw =∑I,j
∂wI∂xj
dxj ∧ dxI . Daı
d(dw) = d(∑I,j
∂wI∂xj
dxj ∧ dxI) =∑k,I,j
∂2wI∂xk∂xj
dxk ∧ (dxj ∧ dxI)
=∑I
[∑k,j
∂2wI∂xk∂xj
dxk ∧ dxj
]∧ dxI
=∑I
[∑k<j
(∂2wI∂xk∂xj
− ∂2wI∂xj∂xk
)dxk ∧ dxj
]∧ dxI
= 0,
pelo teorema de Schwarz.
21
1.3 O Operador Pull-Back
Passaremos agora a definir um aplicacao que leva k-formas sobre o espaco Rm emk-formas sobre o espaco Rn.
Definicao 1.3.1 Seja f : Rn → Rm uma funcao diferenciavel. A aplicacao lineardf(p) : TpRn → Tf(p)Rm induz uma transformacao linear f ∗p : ∧k(Tf(p)Rm)∗ → ∧k(TpRn)∗
que para cada ϕf(p) ∈ ∧k(Tf(p)Rm)∗ associa f ∗p (ϕf(p)), definida da seguinte maneira
f ∗p (ϕf(p))(v1, · · · , vk) = ϕf(p)(df(p) · v1, · · · , df(p) · vk), v1, · · · , vk ∈ TpRn.
Aqui, a transformacao linear df(p) : TpRn → Tf(p)Rm e a derivada de f no ponto p.Fazendo o ponto p variar em Rn, obteremos uma aplicacao f ∗ que leva k-formas de Rm
em k-formas de Rn, denoninada Pull-Back . ϕ 7→ f ∗ϕ define uma transformacao linear,isto e, f ∗(a · ϕ+ b · ω) = a · f ∗ϕ+ b · f ∗ω se a, b ∈ R.
Observemos que f ∗p (ϕf(p)) assim definida e um elemento de ∧k(TpRn)∗. Com efeito,
f ∗p (ϕf(p))(v1, · · · , vi + ui, · · · , vk) = ϕf(p)(df(p) · v1, · · · , df(p) · (vi + ui), · · · , df(p) · vk)= ϕf(p)(df(p) · v1, · · · , df(p) · vi + df(p) · ui, · · · , df(p) · vk)= ϕf(p)(df(p) · v1, · · · , df(p) · vi, · · · , df(p) · vk)+ ϕf(p)(df(p) · v1, · · · , df(p) · ui, · · · , df(p) · vk)= f ∗p (ϕf(p))(v1, · · · , vi, · · · , vk) + f ∗p (ϕf(p))(v1, · · · , ui, · · · , vk)
e
f ∗p (ϕf(p))(v1, · · · , λvi, · · · , vk) = ϕf(p)(df(p) · v1, · · · , df(p) · (λvi), · · · , df(p) · vk)= ϕf(p)(df(p) · v1, · · · , λdf(p) · vi, · · · , df(p) · vk)= λϕf(p)(df(p) · v1, · · · , df(p) · vi, · · · , df(p) · vk)= λf ∗p (ϕf(p))(v1, · · · , vi, · · · , vk),
logo, f ∗p (ϕf(p)) e k− linear.
Convenciona-se que f ∗(g) = g f se g e uma 0-forma. Por simplicidade de notacao,ao longo deste texto, usaremos f ∗ ao inves de f ∗p .
Proposicao 1.3.2 Se f : Rn → Rm e diferenciavel entao:
(i) f ∗(ω1 + ω2) = f ∗(ω1) + f ∗(ω2), onde ω1 e ω2 sao k-formas sobre Rm.
(ii) f ∗(gω) = f ∗(g)f ∗(ω), onde g e uma 0-forma e ω uma k-forma sobre Rm.
(iii) f ∗(ω1 ∧ ω2) = f ∗(ω1) ∧ f ∗(ω2), onde ω1 e ω2 sao 1-formas sobre Rm.
22
Demonstracao . (i) Seja p ∈ Rn e v1, v2, · · · , vk ∈ TpRn. Entao
f ∗(ω1 + ω2)(v1, · · · , vk) = (ω1 + ω2)(df(p) · v1, · · · , df(p) · vk)= ω1(df(p) · v1, · · · , df(p) · vk) + ω2(df(p) · (v1), · · · , df(p) · (vk))= f ∗(ω1)(v1, · · · , vk) + f ∗(ω2)(v1, · · · , vk)= (f ∗(ω1) + f ∗(ω2))(v1, · · · , vk)
(ii) f ∗(gω)(v1, · · · , vk) = (gω)(df(p) · v1, · · · , df(p) · vk)= g ω(df(p) · v1, · · · , df(p) · vk)= g(ω(df(p) · v1, · · · , df(p) · vk))= g f ∗ω= f ∗(g)f ∗ (ω)
(iii) f ∗(ω1 ∧ ω2)(v1, v2) = (ω1 ∧ ω2)(df(v1), df(v2))
=
∣∣∣∣ ω1(df(v1)) ω1(df(v2))ω2(df(v1)) ω2(df(v2))
∣∣∣∣=
∣∣∣∣ f ∗ω1(v1) f ∗ω1(v2)f ∗ω2(v1) f ∗ω2(v2)
∣∣∣∣= (f ∗ω1) ∧ (f ∗ω2)(v1, v2)
O item (iii) vale para formas w1 e w2 quaisquer e sera provado mais adiante.
A operacao f ∗ equivale, na verdade, a uma substituicao de variaveis. Com efeito,seja f : Rn → Rm uma aplicacao diferenciavel que a cada (x1, · · · , xn) ∈ Rn associa(y1, · · · , ym) ∈ Rm da forma
y1 = f1(x1, · · · , xn)...
...ym = fm(x1, · · · , xn)
(1.1)
Se w =∑I
aIdyI e uma k-forma em Rm, usando as propriedades de f ∗, temos que
f ∗w =∑I
f ∗(aI)f∗(dyi1) ∧ · · · ∧ f ∗(dyik).
Como pela regra da cadeia dyi(f(p))df(p) = d(yi f)(p). Entao
f ∗(dyi)(v) = dyi(df(p) · v)
= d(yi f)(p) · v= dfi(p) · v
23
obteremos
f ∗w =∑I
aI(f1(x1, · · · , xn), · · · , fm(x1, · · · , xn))dfi1 ∧ · · · ∧ dfik
onde fi e dfi sao funcoes de xj. Portanto aplicar f ∗ a w, equivale a substituir em w asvariaveis yi e suas diferenciais dyi pelas funcoes de xk e dxk obtidas em ??.
Proposicao 1.3.3 Seja f : Rn → Rm uma aplicacao diferenciavel que a cada(x1, · · · , xn) ∈ Rn associa (y1, · · · , ym) = (f1(x1, · · · , xn), · · · , fm(x1, · · · , xn)) ∈ Rm. Entao:
(i) f ∗(w ∧ ϕ) = f ∗w ∧ f ∗ϕ, onde w e ϕ sao formas diferenciais em Rm.
(ii) (f g)∗w = g∗(f ∗w), onde g : Rp → Rn e um aplicacao diferenciavel.
Demonstracao . (i) Se w =∑I
aIdyI e ϕ =∑J
bJdyJ
entaow ∧ ϕ =
∑I,J
aIbJdyI ∧ dyJ .
Assim,
f ∗(w ∧ ϕ) =∑I,J
aI(f1, · · · , fm)bJ(f1, · · · , fm)dfI ∧ dfJ
= (∑I
aI(f1, · · · , fm)dfI) ∧ (∑J
bJ(f1, · · · , fm)dfJ)
= f ∗w ∧ f ∗ϕ.
(ii) (f g)∗w =∑I
aI((f g)1, · · · , (f g)m)d(f g)I
=∑I
aI(f1(g1, · · · , gn), · · · , fm(g1, · · · , gn))dfI(dg1, · · · , dgn)
= g∗(f ∗(w)).
Teorema 1.3.4 Seja f : Rn → Rm uma aplicacao diferenciavel. Entao para uma k-formaw sobre o Rm temos
f ∗(dw) = d(f ∗w).
Demonstracao . Seja, inicialmente, g : Rm → R uma 0 - forma que a cada(y1, · · · , ym) ∈ Rm associa g(y1, · · · , ym). Entao,
f ∗(dg) = f ∗(m∑i=1
∂g
∂yidyi) =
m∑i=1
f ∗(∂g
∂yi)f ∗(dyi)
24
=m∑i=1
∂g
∂yi(f)dfi
=m∑i=1
∂g
∂yi(f)
n∑j=1
∂fi∂xj
dxj =n∑j=1
∂(g f)
∂xjdxj
= d(g f) = d(f ∗g).
Suponhamos agora que d(f ∗w) = f ∗(dw) para uma k-forma w. Para mostrarmos avalidade deste resultado para uma (k+1)-forma basta tomarmos uma (k+1)-forma do tipow ∧ dxi visto que qualquer (k+1)-forma e uma soma finita de formas deste tipo. Sendoassim temos:
f ∗(d(w ∧ dxi)) = f ∗(dw ∧ dxi + (−1)kw ∧ d(dxi))
= f ∗(dw ∧ dxi)= f ∗(dw) ∧ f ∗(dxi).
Por hipotese f ∗(dw) = d(f ∗w), portanto
f ∗(d(w ∧ dxi)) = d(f ∗(w) ∧ f ∗(dxi)= d(f ∗w ∧ f ∗(dxi))= d(f ∗(w ∧ dxi)).
25
Capıtulo 2
Os Teoremas Classicos
Neste capitulo iremos apresentar os teoremas classicos do caculo vetorial: o teoremade Green, o teorema de Gauss e o teorema de Stokes.
2.1 Teorema de Green
O teorema de Green pode ser usado para calcular areas de figuras planas limitadas efechadas, trabalho de um campo de forcas bidimensional, dentre outras aplicacoes. Alemdisso seu principio e utilizado para formulacao de outros teoremas como por exemplo oteorema de Stokes e o teorema de Gauss. Suas aplicacoes se estendem para areas daFısica, quımica, engenharias, geologia, etc..
Antes de enunciar e demonstrar o teorema de Green precisamos de alguns conceitoscom respeito a Campos vetoriais e integrais de linha.
Definicao 2.1.1 Seja Ω um aberto de R2 e γ : [a, b]→ Ω ⊆ R2 uma curva suave (isto e,γ′(t) e continua e γ′(t) 6= 0,∀t ∈ [a, b]). Seja ainda f : Ω ⊆ R2 → R
Tomemos A = γ(a), B = γ(b).
Seja a = t0 < t1 < · · · < tn = b uma particao de [a, b]. Consideremos ∆i = ti − ti−1,
i = 1, · · · , n. Esta particao em [a, b] determina uma particao do arco AB em arcos Pi−1Pi,onde Pi = γ(ti).
Sejam ∆Si = comprimento do arco Pi−1Pi e ||∆|| = max ∆Si.
Em cada arco Pi−1Pi tomemos (ui, vi) e formamos a soma∑i
f(ui, vi)∆Si
26
Definimos a integral curvilınea (de linha) de f sobre γ de A ate B como sendo∫γ
f(x, y)ds = lim||∆||→0
∑i
f(ui, vi)∆Si
desde que o limite exista independentemente da escolha (ui, vi) ∈ Pi−1Pi.
Definicao 2.1.2 Uma curva γ : [a, b] → Ω ⊆ Rn e dita fechada quando γ(a) = γ(b). Seγ nao possui autointersecao e chamada de simples.
Definicao 2.1.3 Uma curva γ : [a, b] → R2 e dita suave se possue derivadas contınuasde todas as ordens.
Definicao 2.1.4 Uma curva γ : [a, b]→ R2 e dita suave por partes se existe uma particaofinita de [a, b] em subintervalos tal que a restricao de γ a cada subintervalo seja suave.
Definicao 2.1.5 Uma regiao Ω ⊂ R2 e dita uma regiao simples se toda reta paralela aum dos eixos coordenados corta a fronteira de Ω em um segmento ou, no maximo, emdois pontos.
Teorema 2.1.6 (Green) Seja Ω uma regiao simples plana e simplesmente conexa, cujafronteira e uma curva C suave por partes, fechada, simples e orientada no sentido anti-horario. Se f e g forem contınuas e tiverem derivadas parciais de primeira ordem con-tinuas em algum conjunto aberto de R, entao∫
∂Ω
f(x, y)dx+ g(x, y)dy =
∫∫Ω
(∂g
∂x− ∂f
∂y)dxdy
Demonstracao . Como Ω e simplesmente conexa existem funcoes contınuas y1(x), y2(x),e x1(y), x2(y) nos intervalos a ≤ x ≤ b e c ≤ y ≤ d respecitivamente, tais que
(x, y) ∈ Ω⇔ a ≤ x ≤ b, y1(x) ≤ y ≤ y2(x)e
(x, y) ∈ Ω⇔ c ≤ y ≤ d, x1(y) ≤ x ≤ x2(y)
onde Ω = Ω ∪ ∂Ω
Sendo f, g contınuas com derivadas parciais contınuas no fecho Ω de Ω , entao∫∫Ω
∂f(x, y)
∂ydxdy =
∫ b
a
(∫ y2(x)
y1(x)
∂f(x, y)
∂ydy
)dx
27
=
∫ b
a
(f(x, y) |y2(x)y1(x))dx
=
∫ b
a
(f(x, y2(x))− f(x, y1(x)))dx
= −∫ b
a
f(x, y1(x))dx−∫ a
b
f(x, y2(x))dx
A primeira integral e sobre a parte inferior C1 da fronteira de Ω, orientada da esquerdapara direita e a segunda sobre C2 da mesma fronteira ∂Ω, agora orientada da direita paraesquerda.Assim podemos escrever ∫∫
Ω
∂f
∂ydxdy = −
∫∂Ω
f(x, y)dx,
pois a integral de fdx sobre algum possıvel trecho na vertical do contorno ∂Ω sera zero ,visto ser dx = 0 em tal trecho. De modo analogo temos que∫∫
Ω
∂g(x, y)
∂xdxdy =
∫ d
c
(∫ x2(y)
x1(y)
∂g(x, y)
∂xdx
)dy
=
∫ d
c
(g(x2(y), y)− g(x1(y), y))dy
=
∫ d
c
(g(x2(y), y)dy +
∫ c
d
g(x1(y), y))dy
logo podemos escrever ∫∫Ω
∂g
∂xdxdy =
∫∂Ω
gdy
portanto, ∫∂Ω
f(x, y)dx+ g(x, y)dy =
∫∫Ω
(∂g
∂x− ∂f
∂y)dxdy
2.2 Teorema da Divergencia
O teorema da Divergencia e tambem conhecido como teorema de Gauss e desempenhaum papel semelhante ao do Teorema de Green para integrais curvilıneas. O teoremade Gauss nos da uma alternativa interessante para o calculo do fluxo de um campo develocidades no plano ou espaco.
Para entender os teoremas de Gauss e mais adiante o teorema de Stokes, precisamosdefinir dois operadores para campos vetoriais que sao basicos nas aplicacoes do calculovetorial. Cada operador lembra uma diferenciacao, mas um produz um campo escalarenquanto que outro produz um campo vetorial.
28
Definiremos o operador diferencial vetorial ∇ como sendo:
∇f =∂f
∂xi+
∂f
∂yj +
∂f
∂zk
onde f : R3 → R.Seja F (x, y, z) = A1(x, y, z)i + A2(x, y, z)j + A3(x, y, z)k um campo de vetores ondeA1, A2, A3 sao funcoes diferenciaveis.
Definicao 2.2.1 A divergencia de F denotada por divF , e definida por :
divF =∂A1
∂x+∂A2
∂y+∂A3
∂z.
Definicao 2.2.2 O rotacional de F , denotado por rotF , e definido por :
rotF = (∂A3
∂y− ∂A2
∂z)i+ (
∂A1
∂z− ∂A3
∂x)j + (
∂A2
∂x− ∂A1
∂y)k.
Definicao 2.2.3 Uma superficie S e dita suave se o seu vetor normal unitario η variacontinuamente atraves de S.
Definicao 2.2.4 Consideremos uma superficie S, que tem como vetor unitario normalη = cosα + cos β + cos γ. Sejam A1(x, y, z), A2(x, y, z), A3(x, y, z) funcoes contınuas de-fenidas em S. Definimos, ∫∫
S
A1dydz =
∫∫S
A1 cosαdS
∫∫S
A2dydz =
∫∫S
A2 cos βdS∫∫S
A3dydz =
∫∫S
A3 cos γdS
Teorema 2.2.5 (Gauss) Seja Ω um solido limitado por uma superficie fechada S, for-mada por um numero finito de superfıcies suaves, e η a normal externa unitaria. Se ascomponentes F (x, y, z) tem derivadas parciais continuas num aberto contendo Ω, entao :∫∫
S
F · ηdS =
∫∫∫Ω
divFdxdydz
Demonstracao . A equacao acima pode ser reescrita em termos de suas componentescomo
29
∫∫S
(A1dydz + A2dzdx+ A3dxdy) dS =
∫∫∫Ω
(∂A1(x, y, z)
∂x+∂A2(x, y, z)
∂y+∂A3(x, y, z)
∂z
)dxdydz
E suficiente, entao, estabelecer as tres equacoes:∫∫S
A3dxdy =
∫∫∫Ω
∂A3
∂zdxdydz
As demonstracoes da equacoes
∫∫S
A1dydz =
∫∫∫Ω
∂A1
∂xdxdydz∫∫
S
A2dzdx =
∫∫∫Ω
∂A2
∂ydxdydz
seguem o mesmo raciocınio.
Suponhamos que Ω pode ser representada sob a forma
f1(x, y) ≤ z ≤ f2(x, y), (x, y) ∈ Rxy
onde Rxy e uma regiao fechada limitada no plano xy, limitada por uma curva simplesfechada suave C. Entao a superfıcie S e composta por tres partes:
S1 : z = f1(x, y), (x, y) ∈ Rxy
S2 : z = f2(x, y), (x, y) ∈ Rxy
S3 : f1(x, y) ≤ z ≤ f2(x, y), para (x, y) sobre C
Pela definicao ??∫∫SA3dydz =
∫∫SA3 cos γdS.
A parte S2 forma a tampa de S, S1 o fundo de S e S3 nos da a lateral de S. Temos∫∫∫Ω
∂A3
∂zdxdydz =
∫∫Rxy
(∫ f2(x,y)
f1(x,y)
∂A3
∂zdz
)dxdy
=
∫∫Rxy
(A3(x, y, f2(x, y))− A3(x, y, f1(x, y))) dxdy.
Por outro lado, para a integral de superfıcie, temos
∫∫S
A3 cos γdS =
∫∫S1
A3 cos γdS +
∫∫S2
A3 cos γdS +
∫∫S3
A3 cos γdS.
30
Sobre S3 temos γ = π2, logo cos γ = 0 onde a integral sobre S3 e nula. Sejam
P1(x, y) = xi + yj + f1(x, y)k e P2(x, y) = xi + yj + f2(x, y)k as representacoes de
S1 e S2, respectivamente. Em S1 a normal η tem sentido oposto ao de∂P1
∂x× ∂P1
∂y, assim
podemos escrever ∫∫S1
A3 cos γdS = −∫∫
S1
A3dxdy
= −∫∫
Rxy
A3(x, y, f1(x, y))dxdy.
Em S2 a normal η tem mesmo sentido de∂P2
∂x× ∂P2
∂y, assim podemos escrever∫∫
S2
A3 cos γdS =
∫∫S2
A3dxdy
=
∫∫Rxy
A3(x, y, f2(x, y))dxdy.
Entao, ∫∫S
A3 cos γdS =
∫∫Rxy
(A3(x, y, f2(x, y))− A3(x, y, f1(x, y)))dxdy,
e
∫∫∫Ω
∂A3
∂zdxdydz =
∫∫S
A3 cos γdS.
como querıamos.
2.3 Teorema de Stokes
O teorema de Stokes pode ser olhado como uma versao em dimensao maior do Teoremade Green. Enquanto o Teorema de Green relaciona uma integral dupla sobre uma regiaoplana Ω com uma integral de linha ao redor de sua curva fronteira, o Teorema de Stokesrelaciona uma integral de superfıcie sobre uma superfıcie S com uma integral ao redor dafronteira de S.
Teorema 2.3.1 (Stokes) Sejam A1, A2, A3 : U ⊂ R3 → R com primeiras derivadasparciais contınuas em U. Seja S ⊂ U uma superfıcie suave por partes e seja C = ∂S umacurva simples fechada e suave por partes. Sendo o campo vetorial
F (x, y, z) = A1(x, y, z)i+ A2(x, y, z)j + A3(x, y, z)k
31
sobre S temos ∫C
F · dr =
∫∫S
rotF · ηdS.
Demonstracao . Sabemos da Geometria Diferencial que se S e uma superfıcie regularentao para cada ponto p ∈ S existe uma vizinhanca V de p em S tal que V e o grafico deuma funcao diferenciavel sobre um dos tres planos coordenados, ou seja, toda superfıcieregular S e localmente o grafico de uma funcao diferenciavel f. Baseado neste teorema ena possibilidade de podermos decompor a superfıcie S em varias superfıcies St que temem comum apenas partes de suas fronteiras nos limitaremos ao caso em que S pode serrepresentada pelo grafico de z = f(x, y) para (x, y) ∈ D onde D e a projecao de S sobreo plano xy. A curva C tem por projecao em xy a curva C.
Lembremos que F · dr pode ser escrito como A1dx+ A2dy + A3dz e
rotF · ηdS =
(∂A3
∂y− ∂A2
∂z,∂A1
∂z− ∂A3
∂x,∂A2
∂x− ∂A1
∂y
)· ηdS
=
(∂A3
∂y− ∂A2
∂z,∂A1
∂z− ∂A3
∂x,∂A2
∂x− ∂A1
∂y
)· (η1, η2, η3)dS
=
(∂A3
∂y− ∂A2
∂z
)η1dS +
(∂A1
∂z− ∂A3
∂x
)η2dS +
(∂A2
∂x− ∂A1
∂y
)η3dS
e sendo r(x, y) = (x, y, f(x, y)) a parametrizacao de S em D temos
η3dS = 〈η, k〉∥∥∥∥∂r∂x × ∂r
∂y
∥∥∥∥ dxdy=
⟨∂r
∂x× ∂r
∂y, k
⟩dxdy
= dxdy.
Analogamente, obtemosη1dS = dydz e η2dS = dzdx.
Desta forma precisamos mostrar que∫C
A1dx+A2dy+A3dz =
∫∫S
(∂A3
∂y− ∂A2
∂z
)dydz+
(∂A1
∂z− ∂A3
∂x
)dzdx+
(∂A2
∂x− ∂A1
∂y
)dxdy.
Pelo teorema de Green temos,
∫C
A1(x, y, z)dx =
∫C
A1(x, y, f(x, y))dx
= −∫∫
D
(∂A1
∂y+∂A1
∂z
∂f
∂y
)dxdy.
32
Por outro lado
∫∫S
∂A1
∂zdzdx− ∂A1
∂ydxdy = −
∫∫D
(∂A1
∂z
∂f
∂y+∂A1
∂y
)dxdy
onde ∫C
A1(x, y, z)dx =
∫∫S
∂A1
∂zdzdx− ∂A1
∂ydxdy.
Analogamente obtemos
∫C
A2(x, y, z)dy =
∫∫S
∂A2
∂xdxdy − ∂A2
∂zdydz∫
C
A3(x, y, z)dz =
∫∫S
∂A3
∂ydydz − ∂A3
∂xdzdx.
Somando as equacoes acima obtemos obtemos a identidade desejada.
33
Capıtulo 3
O Teorema de Stokes
3.1 n-Cadeias
Definicao 3.1.1 Seja [0, 1]n = [0, 1]× · · · × [0, 1]︸ ︷︷ ︸n−vezes
e A ⊂ Rn. Dizemos que uma funcao
contınua f : [0, 1]n → A define um cubo singular de dimensao n em A.
Sendo In : [0, 1]n → Rn a funcao identidade, esta define o cubo singular de dimensaon conhecido como cubo unitario n-dimensional.
Definicao 3.1.2 Sejam C1, · · · , Ck : [0, 1]n → A, cubos singulares n-dimensionais. Paraα1, · · · , αk ∈ Z a soma α1C1 + · · ·+ αkCk e chamada uma n-cadeia em A.
Em particular o cubo singular C de dimensao n e considerado como sendo a n-cadeia 1 ·C.
Definicao 3.1.3 Para cada i, 1 ≤ i ≤ n, definimos os cubos singulares In(i,0) e In(i,1), ambos
de dimensao n− 1 pondo para cada x ∈ [0, 1]n−1
In(i,0)(x) = In(x1, · · · , xi−1, 0, xi, · · · , xn−1)
= (x1, · · · , xi−1, 0, xi, · · · , xn−1) e
In(i,1)(x) = In(x1, · · · , xi−1, 1, xi, · · · , xn−1)
= (x1, · · · , xi−1, 1, xi, · · · , xn−1).
In(i,0) e In(i,1) sao chamados, respectivamente, de faces (i, 0) e (i, 1) do cubo In.
Por exemplo, para n = 3 as faces do cubo I3 e dada por :
I3(1,0)(x, y) = (0, x, y)
34
I3(1,1)(x, y) = (1, x, y)
I3(2,0)(x, y) = (x, 0, y)
I3(2,1)(x, y) = (x, 1, y)
I3(3,0)(x, y) = (x, y, 0)
I3(3,1)(x, y) = (x, y, 1)
onde (x1, x2) = (x, y).
Definicao 3.1.4 Definimos a fronteira de um cubo unitario n-dimensional por
∂In =n∑i=1
∑α=0,1
(−1)i+αIn(i,α).
Por exemplo, a fronteira de I2 pode ser definida como a soma de quatro cubos singu-lares unidimensionais, ordenados ao redor da fronteira de [0, 1]2 no sentido anti-horario,ou seja,
∂I2 = I2(2,0) + I2
(1,1) − I2(2,1) − I2
(1,0) =2∑i=1
∑α=0,1
(−1)i+αI2(i,α).
Definicao 3.1.5 Para um cubo singular de dimensao n qualquer C : [0, 1]n → A, defini-mos a face (i, α) de C por
C(i,α) = C (In(i,α))
e
∂C =n∑i=1
∑α=0,1
(−1)i+αC(i,α).
Finalmente, definimos a fronteira de uma n-cadeia∑aiCi por
∂(∑
aiCi) =∑
ai∂(Ci)
Teorema 3.1.6 Para qualquer n-cadeia C =∑akCk em A, se verifica a identidade
∂(∂C) = 0, ou seja, ∂2C = 0.
Demonstracao . Consideremos (In(i,α))(j,β), para i ≤ j. Sendo x ∈ [0, 1]n−2 temos
(In(i,α))(j,β)(x) = In(i,α)(In−1(j,β)(x))
= In(i,α)(x1, · · · , xj−1, β, xj+1, · · · , xn−2)
= In(x1, · · · , xi−1, α, xi+1, · · · , xj−1, β, xj+1, · · · , xn−2).
De forma analoga, temos
35
(In(j+1,β))(i,α)(x) = In(j+1,β)(In−1(i,α)(x))
= In(j+1,β)(x1, · · · , xi−1, α, xi+1, · · · , xn−2)
= In(x1, · · · , xi−1, α, xi+1, · · · , xj−1, β, xj+1, · · · , xn−2).
Onde concluimos que (In(i,α))(j,β) = (In(j+1,β))(i,α), para i ≤ j.
Desde que para qualquer cubo n-dimensional C(i,α) = C (In(i,α)), temos tambem
(C(i,α))(j,β) = C(i,α) In−1(j,β)
= (C (In(i,α))) (In−1(j,β))
= C (In(i,α)(In−1(j,β)))
= C (In(i,α))(j,β)
= C (In(j+1,β))(i,α)
= C (In(j+1,β)(In−1(i,α)))
= (C (In(j+1,β))) (In−1(i,α))
= (C(j+1,β)) (In−1(i,α))
= (C(j+1,β))(i,α)
para i ≤ j. Segue-se que
∂2C = ∂
[n∑i=1
∑α=0,1
(−1)i+αC(i,α)
]
=n∑i=1
∑α=0,1
n−1∑j=1
∑β=0,1
(−1)i+α+β+j(C(i,α))(j,β)
=n∑i=1
n−1∑j=1
(−1)i+j[(C(i,0))(j,0) − (C(i,0))(j,1) − (C(i,1))(j,0) + (C(i,1))(j,1)
]
e fazendo σij = (−1)i+j[(C(i,0))(j,0) − (C(i,0))(j,1) − (C(i,1))(j,0) + (C(i,1))(j,1)
]temos para
i ≤ j.
σ(j+1)i = (−1)i+j+1[(C(j+1,0))(i,0) − (C(j+1,0))(i,1) − (C(j+1,1))(i,0) + (C(j+1,1))(i,1)
]= (−1)i+j+1
[(C(i,0))(j,0) − (C(i,1))(j,0) − (C(i,0))(j,1) + (C(i,1))(j,1)
]= −σij.
36
Sendo assim
∂2C =n∑i=1
n−1∑j=1
σij
=
[n−1∑j=1
σ1j +n∑i=2
σi1
]+
[n−1∑j=2
σ2j +n∑i=3
σi2
]+ · · ·+
[n−1∑j=n−1
σ(n−1)j +n∑i=n
σi(n−1)
]
=
[−
n−1∑j=1
σ(j+1)1 +n∑i=2
σi1
]+
[−
n−1∑j=2
σ(j+1)2 +n∑i=3
σi2
]+· · ·+
[−
n−1∑j=n−1
σ(j+1)(n−1) +n∑i=n
σi(n−1)
]= 0
Sendo o teorema valido para qualquer cubo singular n-dimensional, ele e valido paraqualquer n-cadeia singular.
3.2 Integracao em cadeias
O fato de termos tanto d2 = 0 como ∂2 = 0, alem da semelhanca simbolica, determinauma conexao entre cadeias e formas. Tal conexao se estabelece ao integrarmos formassobre cadeias. No que segue consideraremos apenas cubos n-dimensionais singulares difer-enciaveis.
Definicao 3.2.1 Seja w uma forma k-dimensional em [0, 1]k, representada por w =fdx1 ∧ · · · ∧ dxk. Definimos∫
[0,1]kw =
∫[0,1]k
f(x1, · · · , xk)dx1. · · · .dxk.
Definicao 3.2.2 Sendo w uma forma k-dimensional sobre A e C um cubo singulark-dimensional, em A, definimos ∫
C
w =
∫[0,1]k
C∗w.
Lembre-se que C∗w e uma k−forma diferencial definida em ??.
Definicao 3.2.3 Sendo w uma forma k-dimensional sobre A e C =∑aiCi uma cadeia
singular k-dimensional, em A, definimos∫C
w =∑
ai
∫Ci
w.
37
3.3 O elemento de volume
Definicao 3.3.1 Um Homeomorfismo do aberto U ⊂ Rn no espaco Rm e uma aplicacaof : U → Rm contınua com inversa contınua.
Definicao 3.3.2 Uma Imersao do aberto U ⊂ Rn no espaco Rm e uma aplicacao difer-enciavel f : U → Rm tal que, para todo x ∈ U , a derivada df(x) : Rn → Rm e umatransformacao linear injetiva.
Definicao 3.3.3 Uma parametrizao de classe C∞ e dimensao n de um conjunto V ⊂ Rm
e uma imersao f : V0 → V de classe C∞ que e um homeomorfismo do aberto V0 ⊂ Rn noV.
Definicao 3.3.4 Um conjunto M ⊂ Rn chama-se uma superficie de dimensao k e classeC∞ quando todo p ∈ M esta contido em algum aberto U ⊂ Rn tal que V = U ∩M e aimagem de uma parametrizacao f : V0 → V, de dimensao k e classe C∞. O conjunto V eum aberto em M , chamado uma vizinhanca paramtrizada do ponto p.
Definicao 3.3.5 Seja M uma superfıcie no Rn, com fronteira, k-dimensinal, munida daorientacao η. O elemento de volume de M e a forma diferencial w de grau k−1, definidapondo-se para cada x ∈M , w(x) ∈ ∧k(TxM)∗ denotado por dV.
Aqui TxM ⊂ Rn e o espaco vetorial tangente a M no ponto x. Um atlas numa superficieM e um conjunto de parametrizacoes f : V0 → V cujas imagens V cobrem M. Duasparametrizacoes f : V0 → V, g : W0 → W, dizem compatıveis quando V ∩ W = ouquando V ∩W 6= e g−1 f : f−1(V ∩W )→ g−1(V ∩W ) tem determinante jacobianopositivo em todos os pontos x ∈ f−1(V ∩ W ). Um atlas A na superficie M chama-secoerente quando duas parametrizacoes f, g ∈ A sao compativeis. Uma superfıcie Mchama-se Orientavel quando admite um atlas coerente.
Definicao 3.3.6 Sendo M compacta no Rn definimos o volume de M como sendo∫M
dV.
Para superfıcies unidimensionais ou bidimensionais, o termo volume e geralmente sub-stituido por comprimento ou area, empregando no lugar de dV , ds para o elemento decomprimento e dA ou dS para o elemento de area.
Definicao 3.3.7 Seja M uma superfıcie no R3, e seja η(x) a normal exterior unitariaem x ∈M . Definimos w ∈ ∧2TxM por
w(v, u) =
∣∣∣∣∣∣v1 v2 v3
u1 u2 u3
η1(x) η2(x) η3(x)
∣∣∣∣∣∣ = 〈v × u, η(x)〉 = dA(v, u)
38
Em particular, w(v, u) = 1 quando v, u compuserem uma base ortonormal de TxM . Sev × u for um multiplo de η(x) teremos
dA(v, u) = |v × u|
Teorema 3.3.8 Seja M uma superfıcie orientada com ou sem fronteira, no R3. Sendoη a sua normal unitaria exterior, temos que
dA = η1dy ∧ dz + η2dz ∧ dx+ η3dx ∧ dy (1)
Alem disto, sao validos em M as relacoes
η1dA = dy ∧ dz (2)
η2dA = dz ∧ dx (3)
η3dA = dx ∧ dy (4).
Demonstracao . Sendo η = (η1, η2, η3), v = (v1, v2, v3) e u = (u1, u2, u3) temos querelacao (1) equivale a
dA(v, u) =
∣∣∣∣∣∣v1 v2 v3
u1 u2 u3
η1 η2 η3
∣∣∣∣∣∣= η1(v2u3 − u2v3) + η2(u1v3 − u3v1) + η3(v1u2 − v2u1)
= η1
∣∣∣∣ v2 u2
v3 u3
∣∣∣∣+ η2
∣∣∣∣ v3 u3
v1 u1
∣∣∣∣+ η3
∣∣∣∣ v1 u1
v2 u2
∣∣∣∣= η1
∣∣∣∣ dy(v) dy(u)dz(v) dz(u)
∣∣∣∣+ η2
∣∣∣∣ dz(v) dz(u)dx(v) dx(u)
∣∣∣∣+ η3
∣∣∣∣ dx(v) dx(u)dy(v) dy(u)
∣∣∣∣= η1dy ∧ dz + η2dz ∧ dx+ η3dx ∧ dy
Para demonstrarmos as outras relacoes, tomemos z ∈ TxR3. Sendo v × u = αη(x)para algum α ∈ R, temos entao
〈z, η(x)〉 · 〈v × u, η(x)〉 = 〈z, η(x)〉α= 〈z, αη(x)〉 = 〈z, v × u〉
Tomando agora sucessivamente z = e1, e2, e3 obtemos
〈e1, η(x)〉 · 〈v × u, η(x)〉 = 〈e1, v × u〉
entaoη1dA(v, u) = 〈e1, v × u〉 = v2u3 − u2v3
39
por outro lado
dy ∧ dz(v, u) =
∣∣∣∣ dy(v) dy(u)dz(v) dz(u)
∣∣∣∣=
∣∣∣∣ v2 u2
v3 u3
∣∣∣∣= v2u3 − u2v3
comparando com η1dA(v, u) obtemos
η1dA = dy ∧ dz
de forma analoga, fazendo z = e2, e3 obtemos
η2dA = dz ∧ dx
η3dA = dx ∧ dyrespectivamente.
3.4 O teorema de Stokes
Finalmente estamos em condicoes de sintetizar a relacao entre formas, cadeias, d e ∂. Estarelacao fica bem determinada no enunciado do teorema a seguir conhecido como teoremade Stokes:
Teorema 3.4.1 (Stokes) Dado um aberto A de Rn, sejam w uma forma de dimensaok − 1 e C uma cadeia k-dimensional, ambas sobre A. Temos∫
C
dw =
∫∂C
w
Demonstracao . Pela definicao de integral e pelo teorema ?? temos∫c
dw =
∫[0,1]k
c∗dw =
∫[0,1]k
dc∗w
Uma vez que c∗w e uma k − 1-forma em [0, 1]k pode ser escrita como
c∗w =k∑i=1
gidt1dt2 · · · dti · · · dtk
Para determinadas funcoes g1, g2, · · · , gk definidas em [0, 1]k, onde dti significa que estamosomitindo a entrada de ordem i. Por isso∫
c
dw =k∑i=1
∫[0,1]k
d(gidt1dt2 · · · dti · · · dtk) =k∑i=1
(−1)i+1
∫[0,1]k
∂gi∂ti
dt1dt2 · · · dtk.
40
Alterando a ordem de integracao, temos
∫[0,1]k
∂gi∂ti
dt1dt2 · · · dtk =
∫[0,1]k
∂gi∂ti
dtidt1dt2 · · · dti · · · dtk
=
∫[0,1]k−1
dt1dt2 · · · dti · · · dtk∫
[0,1]k
∂gi∂ti
dti
=
∫[0,1]k−1
(gi(t1, · · · , ti−1, 1, ti+1, · · · , tk)−gi(t1, · · · , ti−1, 0, ti+1, · · · , tk))dt1dt2 · · · dti · · · dtk
as formulasgi(t1, · · · , ti−1, 1, ti+1, · · · , tk)dt1dt2 · · · dti · · · dtk
egi(t1, · · · , ti−1, 0, ti+1, · · · , tk)dt1dt2 · · · dti · · · dtk
nada mais sao que c∗(i,1)w , c∗(i,0)w respectivamente. Assim,
∫c
dw =k∑i=1
(−1)i+1
∫[0,1]k
∂gi∂ti
dtidt1dt2 · · · dti · · · dtk
=k∑i=1
(−1)i+1
∫[0,1]k−1
(c∗(i,1)w − c∗(i,0)w)
=k∑i=1
∑ρ=0,1
(−1)i+ρ∫
[0,1]k−1
c∗(i,ρ)w
=k∑i=1
∑ρ=0,1
(−1)i+ρ∫c(i,ρ)
w =
∫∂c
w,
o que comprova o resultado.
3.4.1 Os Teoremas Classicos a partir de Stokes
Temos agora a disposicao todo o instrumento necessario para enuncinar e demonstrar osteoremas classicos do tipo Stokes.
Teorema 3.4.2 (Green) Seja A um aberto do R2 com fronteira. Para quaisquer funcoesdiferenciaveis f, g : A→ R se tem∫
∂A
f(x, y)dx+ g(x, y)dy =
∫ ∫A
(∂g(x, y)
∂x− ∂f(x, y)
∂y)dxdy
41
Demonstracao . Observemos que
d(f(x, y)dx+ g(x, y)dy) = d(fdx) + d(gdy)
= (∂f
∂xdx+
∂f
ydy) ∧ dx+ (
∂g
∂xdx+
∂g
∂ydy) ∧ dy
=∂f
∂ydy ∧ dx+
∂g
∂xdx ∧ dy
= (∂g
∂x− ∂f
∂y)dx ∧ dy
Aplicando o teorema ?? temos∫ ∫A
(∂g(x, y)
∂x− ∂f(x, y)
∂y)dxdy =
∫∂A
f(x, y)dx+ g(x, y)dy
Teorema 3.4.3 (Gauss) Seja S uma superficie do R3 com fronteira, e seja η a normalunitaria exterior a ∂S. Para um campo vetorial F (x, y, z) definido em S, temos:∫
∂S
F · ηdS =
∫S
divFdxdydz
Demonstracao . Pelo teorema ?? observamos que a igualdade acima pode ser ex-pressa como:∫
∂S
F1dydz + F2dzdx+ F3dxdy =
∫S
(∂F1
∂x+∂F2
∂y+∂F3
∂z)dxdydz
entao definimos em S, w = F1dydz + F2dzdx+ F3dxdy e calculemos d(w)
d(w) = d(F1dydz + F2dzdx+ F3dxdy) = d(F1)dydz + d(F2)dzdx+ d(F3)dxdy
= (∂F1
∂xdx+
∂F1
∂ydy +
∂F1
∂zdz)dydz + (
∂F2
∂xdx+
∂F2
∂ydy +
∂F2
∂zdz)dzdx
+ (∂F3
∂xdx+
∂F3
∂ydy +
∂F3
∂zdz)dxdy
=∂F1
∂xdxdydz +
∂F2
∂ydydzdx+
∂F3
∂zdzdxdy
= (∂F1
∂x+∂F2
∂y+∂F3
∂z)dxdydz
aqui utilizamos o fato de que dxi∧dxj = −dxj ∧dxi e dxi∧dxi = 0. Asssim basta aplicaro teorema ?? concluimos que∫
∂S
F1dydz + F2dzdx+ F3dxdy =
∫S
dw =
∫∂S
w
=
∫S
(∂F1
∂x+∂F2
∂y+∂F3
∂z)dxdydz
Portanto segue o resultado.
42
Teorema 3.4.4 (Stokes) Seja M uma superfıcie do R3, seja η a normal unitaria exteriora M . Dado um campo vetorial T em ∂M para o qual ds(T ) = 1 e um campo vetorialarbitrario em um aberto que contem M , se tem∫
M
rotF · ηdA =
∫∂M
F · Tds
Demonstracao . Definimos w em M por w = F1dx + F2dy + F3dz. Como ascomponentes de rotF sao
∂F3
∂y− ∂F2
∂z,∂F1
∂z− ∂F3
∂x,∂F2
∂x− ∂F1
∂y
utilizando os mesmos passos na demonstracao do teorema ??, deduz ser valida em M
rotF · ηdA = (∂F3
∂y− ∂F2
∂z)dy ∧ dz
+ (∂F1
∂z− ∂F3
∂x)dz ∧ dx
+ (∂F2
∂x− ∂F1
∂y)dx ∧ dy
= dw
Por outro, uma vez que ds(T ) = 1, sao validas em ∂M
T1ds = dx
T2ds = dy
T3ds = dz
entao se verifica em ∂M que
F · Tds = F1T1ds+ F2T2ds+ F3T3ds
= F1dx+ F2dy + F3dz
= w
Logo aplicando o teorema ?? concluimos que∫M
rotF · ηdA =
∫M
dw
=
∫∂M
w
=
∫∂M
F · Tds
43
Consideracoes Finais
Esse trabalho apresentou o conceito de formas diferenciais, diferencial exterior e op-erador pull-back. Ficou claro que a sua aplicacao facilita sobremaneira a interpretacaoe representacao de certos fenomenos que sao dificilmente compreendidos e representadosusando-se a abordagem vetorial classica.
Apresentou de forma detalhada os teoremas integrais, atraves de demonstracoes adap-tadas de livros da analise vetorial, observando que o teorema de Stokes pode ser vistocomo uma versao em dimensao maior do teorema de Green. Enquanto o teorema deGreen relaciona uma integral dupla sobre uma regiao plana com uma integral de linhaao redor de sua curva fronteira, o teorema de Stokes relaciona uma integral de superfıciesobre uma superfıcie S com uma integral ao redor da fronteira de S.
Finalmente apresentou-se uma aplicacao do teorema de Stokes, para redemonstrar osteoremas classicos de uma forma mais precisa e elegante.
44
Referencias Bibliograficas
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