FURB – FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE REGIONAL DE BLUMENAUCCT – CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICASDEET – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E TELECOMUNICAÇÕESCurso de Engenharia Elétrica – Disciplina de Linhas de TransmissãoProf. Sérgio Henrique Lopes Cabral – Semestre II / 2009

LISTA DE EXERCÍCIOS

LINHAS DE TRANSMISSÃO EM REGIME PERMANENTE - CC

1) Um condutor de raio r e comprimento infinito está a uma altura h = 15 m de um solo ideal e sob potencial de 100 kV em relação ao mesmo solo. Num ponto P, distante horizontalmente 20 m do condutor e a 1,5 m do solo, o potencial em relação ao plano horizontal (terra, V=0) é de 820 V. Sobre essa linha, pede-se:a) Qual é o raio do condutor?b) Qual é o valor do campo elétrico no ponto P?c) Qual é o valor da capacitância dessa linha, em nF/km ?d) Qual é o valor da tensão mínima de corona dessa linha ?

2) Uma linha é composta por somente dois condutores idênticos, tendo cada um deles o raio de r = 1 cm e distantes horizontalmente de 1 m entre seus centros. A altura dos dois condutores é de h = 20 m sobre um plano condutor e o potencial deles é de 100 kV em relação ao mesmo plano. Para um ponto P situado a uma mesma altura de 20 m e entre os dois condutores, pede-se:

a) Potencial elétrico do Ponto P, em relação ao plano (Considere aproximações coerentes para facilitar os cálculos) ;

b) Campo elétrico no ponto P; c) Tensão de corona desta linha ;

3) Uma linha é composta por dois condutores iguais, distantes horizontalmente de 0,5 m entre seus centros e a uma altura de 12 m sobre o solo. Considerando que o potencial deles é de 200 kV , pede-se :

a) Qual é o raio dos condutores, sabendo que a linha opera no limite de corona ? b) Qual é a capacitância dessa linha, em nF/km ?c) Qual é o maior valor de campo elétrico na superfície de um dos condutores ?

4) Um condutor de raio r e comprimento infinito está a uma altura h = 20 m de um solo ideal e sob potencial Vo em relação ao mesmo solo. Num ponto P, distante horizontalmente 20 m do condutor e a 1,5 m do solo, o potencial em relação ao plano horizontal (terra, V=0) é de 560 V. Sabendo que o condutor opera na tensão limite de corona, pede-se:

a) Qual é o raio do condutor?b) Qual é o valor do campo elétrico no ponto P?c) Qual é o valor da capacitância dessa linha, em nF/km ?d) Qual é o valor da tensão dessa linha ?

5) Uma linha é composta por somente dois condutores idênticos, tendo cada um deles o raio de r = 0,75 cm e distantes horizontalmente de 25 cm entre seus centros. A altura dos dois condutores é de h = 18 m sobre um plano condutor e o potencial deles é de 138 kV em relação ao mesmo plano. Para um ponto P situado a uma

mesma altura de 18 m e distante horizontalmente de 1 m de um dos condutores, pede-se:

a) Potencial elétrico do Ponto P, em relação ao plano (Considere aproximações coerentes para facilitar os cálculos) ;

b) Campo elétrico no ponto P; c) Tensão de corona desta linha ;

6) Uma linha é composta por um condutor de liga de alumínio (= 25 MS/m) com 0,38 cm de raio, a uma altura de 15 m do solo e operando na tensão limite de corona. Sobre essa linha, pede-se :

a) Qual é a tensão da linha ? b) Qual é a capacitância dessa linha, em nF/km ?c) Qual é a resistência dessa linha, em m/km ?d) Se a linha for substituída por outra com dois condutores idênticos, distantes

horizontalmente de 0,5 m entre seus centros e à mesma altura e tensão de antes, qual será o raio desses condutores , sabendo que a linha estará no limite de corona ?

7) Um condutor de raio a = 0,85 cm está sobre um plano condutor a uma altura de 15 m e com um potencial de 15 kV. Para essa linha pede-se :a) Indutância e capacitância por km de linha;b) Potencial e campo elétrico num ponto localizado a 10 m horizontalmente do centro do condutor e a uma altura de 1,5 m.

Solução : (Contribuição do acadêmico de Eng. Elétrica Alessandro Braatz - 2007/I )

L=μ0

2 π⋅ln( 2h

a ) L=4 π×10−7

2π⋅ln( 2.15

8,5×10−3 )L=1 , 633

mHKm

C=2 πε0

ln (2⋅ha )

C l=2 . π .8 , 85×10−12

ln( 2⋅158,5×10−3 ) C=6 , 80

nFKm

V=V 0

ln( 2.ha )

⋅ln (√ x2+(h+ y0 )2

x2+(h− y0)2 ) V=50

ln( 2 .15

8,5×10−3 )⋅ln(√102+(15+1,5)2

102+(15−1,5 )2 )V=0 ,847 V

EP 1=V 0

ln( 2ha )

⋅( 1r+

ar+

→+ 1

r−ar−

→ )EP 1=

50

ln(2 .158,5×10−3 )

⋅(1

8,5×10−3(− j

→ )+1

2.15+8,5×10−3(− j

→ ))EP 1=−7 , 9232 j

→ KVcm

EP 2=50

ln(2 .158,5×10−3 )

⋅(1

8,5×10−3( j→)−1

2 .15+8,5×10−3(− j

→ ))EP 2=7 ,919 j

→ KVcm

EC=30⋅(1+ 0 , 308r ) EC=30⋅(1+ 0 , 308

0 , 85 ) EC=40 , 87KV

cm

EC≃V C⇒0 ,85⋅50

ln(2. 15

8,5×10−3 )⋅30⋅(1+0 ,308

√0 ,85 )V C=295 ,529

KVcm

8) Três condutores idênticos, de raio a = 0,85 cm estão horizontalmente alinhados a 15 m do solo (considere um plano condutor perfeito, infinito e horizontal). A distância entre os condutores é de 2 m. a tensão do primeiro condutor (lado esquerdo) é 0 Kv, enquanto que a tensão do condutor central é 77,9 Kv e a do condutor à direita é também -77,9 Kv (negativa). Num ponto distante horizontalmente de 10 m do condutor central e a 1 m do solo, pede-se:

a) Campo elétrico;b) Potencial elétrico;

Solução : (Contribuição do acadêmico de Eng. Elétrica Alessandro Braatz - 2007/I )

[ λ 1¿ ] [ λ 2 ¿ ]¿¿

¿¿ln (2h

a )⇒ ln(2 . 15

8,5×10−3 )=8 ,1689

ln (√2h2+D2

D )⇒ ln(√ (2.15 )2+22

2 )=2 , 710

ln (√ (2h )2+(2 D )2

2D )⇒ ln(√ (2 .15 )2+(2 . 2 )2

2. 2 )=2 , 023

[ λ 1¿ ] [ λ 2 ¿ ]¿¿

¿¿

¿¿

E→= λ

2 πε0 [ x+(h− y )x2+(h− y )2

+( x+(h+ y )x2+(h+ y )2 )]

EL1

→=−1 ,3814 [12 i

→+(15−1 ) (− j )

→

122+(15−1 )2+(12 (−i )

→+(15+1 ) (− j )

→

122+(15+1 )2 )] E

→

L1=−7 ,313×10−3 i→+0 ,1121 j

→

EL2

→=14 ,6545 .[10 i

→+(15−1 ) (− j )

→

102+(15−1 )2+(10 (−i )

→+(15+1 ) (− j )

→

102+(15+1 )2 )] E

→

L2=8 , 344×10−2 i→−1 ,3517 j

→

EL3

→=−14 ,0547 [ 8 i

→+(15−1 ) (− j )

→

82+ (15−1 )2+( 8 (−i )

→+(15+1 ) (− j )

→

82+(15+1 )2 )] E

→

L3=−8 ,1084 i→+1 , 4595 j

→

E→

P=E→

L1+ E→

L2 +E→

L3

E→

P=(−7 , 313×10−3 i→+0 ,1121 j

→)+(8 ,344×10−2 i→−1 , 3517 j

→)+(−8 , 1084 i→+1 , 4595 j

→)

V L=λ

2πε0

⋅ln(√ x2+(h+ y0 )2

x2+(h− y0 )2 )

V L1=−1,3814⋅ln(√122+(15+1 )2

122+(15−1)2 )V L1=−224 , 5 V

V L2=14 , 6545⋅ln(√102+(15+1)2

102+(15−1 )2 )V L2=2704 , 8 V

V L3=−14 ,0547⋅ln(√82+(15+1 )2

82+(15−1)2 )V L3=−2918 , 3V

V P=V L1+V L2+V L3

V p=(−224 ,5V )+2704 ,8V + (−2918 ,3V )V p=−438 ,01V

10) Uma linha é composta por somente um condutor alumínio ( = 30 MS/m) de raio r a uma altura h = 20 m de um solo ideal, sendo de comprimento infinito estando sob potencial de 230 kV em relação ao mesmo solo. Sobre essa linha, pede-se:

a) Qual é o raio do condutor, sabendo que o mesmo está no limite de corona ?b) Qual é o valor dos parâmetros capacitância, indutância e resistência dessa linha, por km ?c) Se o condutor está submetido a 100 A cc, com retorno pelo solo, qual será o valor do campo magnético H(A/m) num ponto no solo, bem abaixo do condutor ?

11) Uma linha é composta por somente um condutor de raio r a uma altura h = 20 m de um solo ideal, sendo de comprimento infinito estando sob potencial de 230 kV em relação ao mesmo solo, estando no limite de corona. Considere que nessa linha será substituído o condutor por dois idênticos, espaçados de 50 cm à mesma altura. Sabendo que a linha deverá operar no limite de corona, a 230 kV, pede-se :

a) Qual deverá ser o raio de cada um dos condutores idênticos ?b) Qual será o valor dos parâmetros capacitância, indutância e resistência dessa linha, por km ?c) Essa mesma linha, semi-infinita (portanto, sem carga), tem uma tensão senoidal a 60 Hz de 230 kV , ângulo nulo, em seu início (x = 0). Nessa condição quais serão os valores de corrente e de tensão (módulo e ângulo) a 1000 km do início ?

12) Uma linha composta por um condutor de alumínio ( = 30 MS/m)de raio 0,25 cm e altura de 12 m sobre o solo tem comprimento de 250 km. Em sua terminação está

uma carga puramente resistiva de 550 . Considerando que a carga está sob potencial de 100 kV , pede-se :

a) Quais os valores de tensão e de corrente no início da linha (módulo e ângulo) ? b) Quanto de perdas, em kW, existirão por efeito Joule na linha ?c) Essa linha apresentará o efeito corona ? Jusitifique.

13) Uma linha é composta por somente um condutor de liga de cobre ( = 40 MS/m) de raio r a uma altura h = 15 m de um solo ideal, sendo de comprimento infinito estando sob potencial de 100 kV em relação ao mesmo solo. Sobre essa linha, pede-se:

a) Qual é o raio do condutor, sabendo que o mesmo está no limite de corona ? b) Quais serão os valores dos parâmetros capacitância, indutância e resistência dessa linha, por km ? c) Se o condutor está submetido a 100 A cc, com retorno pelo solo, qual será o valor do campo magnético H(A/m) num ponto na superfície inferior do condutor ?

14) Para a linha do problema anterior, pede-se:

a) Qual o valor do campo elétrico num ponto P distante x=15 m horizontais do conutor, a uma altura y=1,5 m ?

b) E o valor do potencial elétrico no mesmo ponto ?c) Essa mesma linha, semi-infinita (portanto, sem carga), tem uma tensão senoidal a 60 Hz de 100 kV , ângulo nulo, em seu início (x = 0). Nessa condição quais serão os valores de corrente e de tensão (módulo e ângulo) a 1000 km do início ?

15) Uma linha composta por um condutor de liga de alumínio ( = 29 MS/m) , de raio 1 cm e altura de 15 m sobre o solo tem comprimento de 190 km. Em sua terminação está uma carga puramente resistiva de 537 . Considerando que a carga está sob potencial de 138 kV , pede-se :

a) Quais os valores de tensão e de corrente no início da linha (módulo e ângulo) ? b) Quanto de perdas, em kW, existirão por efeito Joule na linha ?c) Essa linha apresentará o efeito corona ? Jusitifique.

16) Um condutor de cobre ( = 53,7x 106 S/m) está a 12 m do solo (considere esse ser um plano condutor perfeito, infinito e horizontal). A tensão do condutor em relação ao plano condutor é de 100 kVcc. Para essa linha de transmissão pede-se :

a) Raio do condutor correspondente à operação da linha no limite do efeito corona;b) Indutância, em mH/km; Capacitância, em nF/km; e resistência, em m/km ;c) Potencial (em volts) do ponto P1, distante horizontalmente 10 m (à direita de quem está de frente para a linha) do centro do condutor e a uma altura de 1,5 m do solo ;d) Campo elétrico (em kV/cm) máximo na superfície do condutor ;

17) Uma linha de transmissão monofásica apresenta um condutor de cobre ( = 53.10 6

S / m) , raio a = 0,8 cm, que está a 15 m de um plano condutor supostamente perfeito, infinito e horizontal. A tensão do condutor em relação ao plano condutor na carga é a

tensão de corona do mesmo. Considerando que essa linha tem 200 km de extensão, pede-se :

a) Indutância, em mH/km; Capacitância, em nF/km e Resistência elétrica, em m/km ;b) Perfil de tensão ao longo da linha ( x = ; x = 0,2 ; x = 0,4 ; x = 0,6 ; x = 0,8 x = 0; ) para a condição de carga com a seguinte impedância :

c) Potência complexa de entrada e de saída, bem como o rendimento da linha;

18) Para a mesma linha monofásica da questão anterior, considere que houve uma compensação de reativos na carga, de forma que essa passa a ser puramente resistiva e com valor igual a :

Nessa nova condição, recalcule os itens b) e c), da questão anterior e explique convincentemente o efeito dessa compensação de reativos;

19) Uma das vantagens da geminação de condutores de linhas é, sabidamente, a redução do campo elétrico máximo da superfície dos condutores, reduzindo a possibilidade da ocorrência do efeito corona. Entretanto, essa não é a única vantagem. Sobre uma vantagem adicional, pergunta-se:

a) A geminação contribui para a redução da impedância característica da linha (despreze a resistência série da linha)?

b) Em caso afirmativo, pode a redução da impedância característica ser compreendida como uma vantagem?

Explique os itens a) e b) de forma absolutamente convincente.

20) Um condutor de alumínio ( = 37,7.10 6 S / m) , raio a = 0,75 cm está a 12 m de um plano condutor perfeito, infinito e horizontal. A tensão do condutor em relação ao plano condutor é de 100 kV. Para essa linha de transmissão pede-se :

a) Indutância, em mH/km;b) Capacitância, em nF/km;c) Resistência elétrica, em /kmc) Potencial (em V) do ponto P, indicado;d) Campo elétrico (em kV/cm) nos pontos P1 e P2 indicados;

21) Para a mesma linha monofásica da questão anterior, considere que a mesma tem um comprimento de 150 km, e que na sua extremidade (x = l) esteja um resistor de 270 , somente. Sendo a tensão nesse resistor de 100 kV, pede-se :

a) Tensão e corrente no início da linha, em x = 0;

Zc=1500+ j2600 Ω

Zc=R=√ Lℓ

C ℓ

b) Potência aparente (complexa) de entrada na linha (em x = 0);

22) Uma capacitância é inserida em paralelo com a resistência de 270 , no extremo da linha, fazendo com que a impedância equivalente neste ponto seja Z l = 234,9 – j 85,5 . Considerando que os 100 kV devam ser mantidos nesse ponto da linha, determine os novos valores dos itens a) e b) da questão anterior.

23) Um condutor de liga de alumínio ( = 25 x 106 S/m) e raio a está a 18 m do solo (considere esse ser um plano condutor perfeito, infinito e horizontal). A tensão do condutor em relação ao plano condutor é de 230 kV e essa é a tensão limite de corona. Para essa linha de transmissão pede-se:

a) Raio do condutor , em cm (com 3 casas decimais) , Indutância, em mH/km; Capacitância, em nF/km; e resistência, em m/km ;

b) Potencial (em volts) do ponto P1, distante horizontalmente 18 m (à direita de quem está de frente para a linha) do centro do condutor e a uma altura de 1,2 m do solo ;

c) Campo magnético (em A/m) num ponto da superfície inferior do condutor, para uma corrente de 100 A;

24) Considerando a linha da questão anterior, o condutor foi substituído por dois condutores de outra liga ( = 30 x 106 S/m), espaçados horizontalmente em 50 cm e tendo raios iguais e tal que o volume total de material condutor foi mantido. Considerando que essa linha seja semi-infinita (sem carga) e que tem aplicada a tensão de limite de corona em seu início ( x = 0) , pede-se :

a) Tensão e corrente de entrada na linha (módulo e fase) ;b) Tensão e corrente em x = 1250 km (módulo e fase)

25) Um linha é composta por único condutor de cobre, com raio de 1 cm, a 15 m do solo e tendo comprimento de 130 km. Sabendo que essa linha tem na sua terminação uma carga puramente resistiva de 1500 e sob uma tensão de 100 kV, pede-se :

a) Tensão e corrente no início da linha (em x = 0 km);b) Potência complexa de entrada da linha;c) Perdas na linha;d) Haverá preocupação quanto ao efeito corona com essa linha ? Justifique sua

resposta.

26) Um condutor de alumínio ( = 30 x 106 S/m) está a 14 m do solo (considere esse ser um plano condutor perfeito, infinito e horizontal). A tensão do condutor em relação ao plano condutor é de 138 kVcc. Para essa linha de transmissão pede-se :

a) Raio do condutor correspondente à operação da linha no limite do efeito corona;b) Indutância, em mH/km; Capacitância, em nF/km; e resistência, em m/km ;c) Potencial (em volts) do ponto P1, distante horizontalmente 12 m (à direita de quem está de frente para a linha) do centro do condutor e a uma altura de 1,0 m do solo ;d) Campo elétrico (em kV/cm) máximo na superfície do condutor ;

27) Considerando a linha da questão anterior, dois condutores idênticos são utilizados para substituir o condutor inicial. O raio de cada um desses condutores geminados tem o valor do raio inicial dividido por raiz de 2 (mantendo o mesmo volume de material condutor) . A tensão é mantida em 138 kV. Então, qual deve ser o espaçamento mínimo horizontal entre condutores, para que a linha opere no limite de corona ?