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LISTA DE EXERCICIOS DE GEOMETRIA NO PLANOE NO ESPACO E INTEGRAIS DUPLAS
PROFESSOR: RICARDO SA EARP
(1) Fazer os seguintes exercıcios do livro texto. Exercs da secao1.1.4: 1(d), 1(f), 1(h), 1(i), 1(j). 2(b), 2(d)
(2) Fazer os seguintes exercıcios do livro texto. Exercs da secao1.2.5: 2(f), 4(c), 4(d). 5(a), 5(b), 5(e).
(3) Fazer os seguintes exercıcios do livro texto. Exercs da secao2.1.4: Exercs 1(b), 4(a), 4(b).
(4) Considere as curvas definidas implicitamente pelas equacoescartesianas abaixo. Determine a equacao polar destas, nos in-tervalos indicados, fazendo um desenho. Alem disso, lembrandodo Calculo II, determine, em cada caso, vetores normais as cur-vas escolhendo tres pontos quaisquer destas.(a) (Lemniscata de Bernoulli). (x2 + y2)
2= x2 − y2
(−π/4 6 θ 6 π/2)
(b) (Limacon de Pascal). (x2 + y2 − x)2
= x2 + y2
(0 6 θ 6 2π)
(c) (Cardioide) (x2 + y2)2 − 2x(x2 + y2)− y2 = 0
(0 6 θ 6 2π)(5) Considere as superfıcies dadas abaixo. Determine: Intersecao
com os planos coordenados, xy, xz, yz. Estude as intersecoescom os planos z = c, c ∈ R, quando tais intersecoes foremcırculos. Identifique as superfıcies de revolucao (e seus eixos).Explicite tambem os planos de simetria π das superfıcies: Istoe, reflexao em π, deixa a superfıcie invariante, levando uma”metade” desta na outra ”metade”. Lembrando de Calculo II,escreva a equacao do plano tangente ao grafico quando pedido.Esboce um desenho de cada superfıcie com apuro.(a) x2 + y2 + z2 = 1.(b) x2 + y2/4 + z2/9 = 1.(c) x2+y2−z2 = −1 (hiperboloide com 2 folhas. Veja Figura 1 ).
Escreva a equacao do plano tangente ao hiperboloide noponto (2, 0,
√5).
(d) x2 + z2 − y2 = −1.(e) x2 +y2−z2 = 1 (hiperboloide com 1 folha. Veja Figura 2).
1
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(f) (x− 1)2 + (y + 1)2 − (z − 3)2 = −1.(g) x2 + y2 + z2/4 = 1.(h) x2 + y2 = 9z2.(i) x2 + z2 = 9y2.(j) x2 − y2 = z.(k) y2 = z Escreva a equacao do plano tangente ao grafico no
ponto (1, 1, 1).(l) z = xy (Sela. Veja Figura 3). Escreva a equacao do plano
tangente ao grafico no ponto (1, 1, 1).
(m) cosh z =√
x2 + y2 (catenoide. Veja Figura 4). Escreva a
equacao do plano tangente ao grafico no ponto (1, 1, arccosh(√
2)).
Lembrete: cosh z =ez + e−z
2.
(n) z =2√
1− x2 − y2. Procure encontrar um cilindro para o
qual a superfıcie “converge” quando z →∞. Veja Figura 5.
(o) z = log(cos y
cos x
), −π/2 < x < π/2 − π/2 < y < π/2.
(Superfıcie de Scherk. Veja Figura 6).
Figura 1: Hiperboloide com 2 folhas
LISTA 1 DE CALCULO ESPECIAL INTEGRAL A VARIAS VARIAVEIS 3
Figura 2: Hiperboloide com 1 folha
Figura 3: Sela
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Figura 4: Catenoide
Figura 5
LISTA 1 DE CALCULO ESPECIAL INTEGRAL A VARIAS VARIAVEIS 5
Figura 6: Superfıcie de Scherk
(6) Considere a regioes do plano R1 = {(x, y) ∈ R2; 1 6 y 6 x2 +1, 0 6 x 6 1} e R2 = {(x, y) ∈ R2; 1 6 y 6 −x/3 + 7/3, 1 6x 6 4}. Seja R := R1 ∪R2.
Considere a integral dupla: I =
∫∫
R
F (x, y) dxdy
(a) Esboce um desenho de R. Escreva, sem fazer calculos, umasoma de duas integrais iteradas, usando integrais do tipo∫ b
a
∫ f2(x)
f1(x)
F (x, y) dydx, que seja igual a I.
(b) Escreva, sem fazer calculos, uma integral iterada, usando
integrais do tipo
∫ d
c
∫ g2(y)
g1(y)
F (x, y) dxdy, que seja igual a
I.(c) Calcule a area de R e calcule a coordenada y do centroide
de R. Resposta: A = area(R) = 116, y = 73/55.
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(7) Considere as superfıcies D, D1 e S1 definidas a seguir (esboceum desenho) :
D = {(x, y, z) ∈ R3; x2 + y2 6 9, z = 0}D1 = {(x, y, z) ∈ R3; z = x + y + 7, x2 + y2 6 9}
S1 = {(x, y, z) ∈ R3; 0 6 z 6 x + y + 7, x2 + y2 = 9}Considere S := D ∪ S1 ∪D1 a superfıcie fechada, que e fron-
teira de um solido U ⊂ R3.(a) Desenhe corretamente S.(b) Escreva o volume de U usando coordenadas retangulares.
Escreva o volume de U usando coordenadas polares.
(c) Calcule
∫∫
D
(x + y + 7)
[2
(x2 + y2 + 1)2+
1
10
]dxdy. Resposta:
189π/10. Sugestao: Use coordenadas polares(8) Considere a regiao R do plano xy cuja fronteira dada por R :=
[1/2, 1]× [1, 3]. Calcule∫∫
R
f(x, y)dxdy
onde(a) f(x, y) = −x log x cos(πy)sen 2(πy)(b) f(x, y) = 2y
1+y2 x cos(πx)
(c) f(x, y) = 2x√1−x2
e−√
y√y
(d) f(x, y) = 2xex log y
(e) f(x, y) = y3+y2−yy+1
12x+10
(f) f(x, y) = eysen y x4e−7x5.
(g) f(x, y) = y√
y + 1 sen x cos2 x.(Respostas (a): 0 (b): − log 5(1/(2π)+1/π2) (c): 2
√3(e−1−
e−√
3) (d): (3 log 3− 2)√
e (e): (20/3 + log 2) log(12/11)/2)(9) Em cada sub-item do item anterior, interprete a integral dupla
em termos de volume de uma regiao U do espaco, determinandorigorosamente U usando inequacoes.
(10) Considere as regioes U1, U2 do espaco dadas por:
U1 ={(x, y, z) ∈ R3; 0 6 z 6 9− x2 − y2, 0 6 x 6 y}U2 = {(x, y, z) ∈ R3; 0 6 z 6 9− (x− 1)2 − (y − 3)2}
(a) Escreva o volume V1 da regiao U1 usando integrais iteradas,via coordenadas cartesianas ou retangulares usuais x, y.
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(b) Escreva o volume V1 da regiao U1, usando coordenadas po-lares e calcule V1.
(c) Calcule o volume V2 de U2. Resposta: V1 = 81π/16, V2 =81π/2. Sugestao: use os itens precedentes.
(11) Considere a regiao U do espaco dada por U := {(x, y, z) ∈R3; 0 6 z 6 y2 + x; 0 6 y 6 sen x, 0 6 x 6 π}.(a) Escreva o volume de U usando uma integral iterada nas
variaveis x, y.(b) Calcule o volume de U. Resposta: volume(U) = 4/9 + π.(c) Seja W := {(x, y, z) ∈ R3; 0 6 z 6 y2 + x; −sen x 6 y 6
sen x, 0 6 x 6 π}. Calcule o volume de W. Sug: Faca omınimo de contas possıvel, justificando corretamente a suaresposta.
(12) Considere a regiao R = {(x, y) ∈ R2; x2 + y2 6√
2}. Seja Ao numero real positivo determinado pela integral dupla : A =∫∫
R
[4− (x2 + y2)4
]dxdy. Calcule as seguintes integrais duplas
em termo de A. Nao e preciso calcular A, mas e preciso dar umajustificativa matematica correta.(a) Usando desigualdades, determine U ⊂ R3 tal que A =
volume(U).
Calcule I1 =
∫∫
R1
[4− (
(x− 1)2 + (y + 1)2)4
]dxdy, onde,
R1 = {(x, y) ∈ R2; (x − 1)2 + (y + 1)2 6√
2}. Justifiquesua resposta.
(b) I2 =
∫∫
R2
[4− (x2 + y2)4
]dxdy, onde R2 = {(x, y) ∈ R2; x2+
y2 6√
2, 0 6 x 6 y}. Justifique sua resposta.
(c) I3 =
∫∫
R
[7− (x2 + y2)4
]dxdy. Justifique sua resposta.
(13) Determine o volume do solido delimitado pelos paraboloidesz = 4x2 + 2y2 e z = 12 + x2 − y2. Idem com respeito aosparaboloides z = x2 + 3y2 e z = 4− y2 (Respostas: 24π e 4π).
(14) Seja V := 84∫
x=0
√16−x2∫y=0
√16− x2dydx. Interprete V como sendo
o volume de uma certa regiao do espaco delimitada por doiscilindros. Calcule V (Resposta: 1024/3). Veja Figura 7.
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Figura 7
(15) Considere a regiao R do plano delimitada pelas parabolas y =x2 + 1 e y = −x2 + 9.(a) Calcule a area de R (Resposta: 64/3).(b) Calcule o centroide de R (Resposta: 5).(c) Calcule o valor medio da funcao f(x, y) = x2 em R (Re-
sposta: 12/5).(16) Considere as regioes R1, R2 do plano dadas por:
R1 ={(x, y) ∈ R2; 0 6 x 6 y 6 1}R2 = {(x, y) ∈ R2; 1− x2 6 y2}
Seja R := R1 ∩R2.
Considere a integral dupla I :=
∫∫
R
y
x2 + y2dxdy.
(a) Faca o desenho da regiao R. Escreva, usando coordenadasretangulares x, y, sem fazer calculos, uma integral iterada,que seja igual a I.
(b) Escreva sem fazer calculos, usando coordenadas polares umaformula, que seja igual a I.
(c) Calcule I. Resposta: π/4−√2/2.(17) Seja R := {(x, y) ∈ R2; 0 6 x 6 y, x2 + (y − 1)2 6 1}.
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(a) Determine R usando coordenadas polares. Sug: esboce umdesenho.
(b) Escreva a integral dupla I =
∫∫
R
4(x2 + y2) dxdy, usando
coordenadas polares.
(c) Usando que
∫ π/2
π/4
sen 4θdθ = 3π/32 + 1/4, deduza que I =
3π/2 + 4(18) Considere U a regiao solida interior a esfera dada por x2 + y2 +
z2 = 16, que esta tambem no interior do cilindro dado porx2 + (y − 2)2 = 4.(a) Determine U usando desigualdades e faca um desenho da
regiao.(b) Calcule o volume de U (Resposta: 128π/3 + 512/9).
(19) Considere a regiao A delimitada pelo cardioide dado em coor-denadas polares por r = 2 + cos θ. Calcule a area da regiaoR obtida removendo-se de A o disco de raio 1/2 centrado naorigem. (Resposta: 4π + π/4). Veja Figura 8.
Figura 8
(20) Considere a regiao A delimitada pelo cardioide dado em coor-denadas polares por r = 1 + cos θ. Calcule a area da regiao R
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obtida removendo-se de A, a parte que esta contida em A dodisco de raio 1/2 centrado na origem .
(21) Seja R1 a regiao do plano dada em coordenadas polares por0 6 r 6 sen 2θ, 0 6 θ 6 π/2. Veja Figura 9.Considere R := R1 ∩ {(x, y) ∈ R2; x2 + y2 > 3/4}. Veja Figura10.
Figura 9
Figura 10
(a) Seja I :=∫∫R
F (x, y)dxdy. Escreva I usando coordenadas
polares. OBS: (Mini-tabela). sen π/4 = cos π/4 =√
2/2, sen π/6 =cos π/3 = 1/2, sen π/3 = cos π/6 =
√3/2.
(b) Calcule a area de R. Resposta: area(R) = −π/48+√
3/16.(22) Calcule I determinando as regioes de integracao e interpretando
o resultado
I =
2∫
x=0
2∫
y=x
x√x2 + y2
dydx +
∫∫
R
√1− x2 − y2/4 dxdy
onde R e a regiao do plano dada por x2+y2/4 6 1 (Resposta:2√
2− 2 + 2π/3).(23) Seja R := {(x, y) ∈ R2; x2/4 + y2/9 6 1}. Calcule o volume da
regiao U de R3 delimitada pelo grafico da funcoes z = x2+y2+1e z = 2xy restritas a regiao R (Resposta: 51π/2).
LISTA 1 DE CALCULO ESPECIAL INTEGRAL A VARIAS VARIAVEIS 11
(24) Calcule a integral
I =
∫∫
R
√1− x2/a2 − y2/b2 dx dy, a > b > 0
onde R e a regiao delimitada pela elipse x2/a2 + y2/b2 = 1.(25) Encontre a area da regiao delimitada pelas curvas x2 + 2y2 =
1, x2 + 2y2 = 4, y = 2x, y = 5x, fazendo uma mudanca devariaveis adequada.
(26) Seja R = {(x, y) ∈ R2, 1 6 xy 6 2, 1 6 x2 − y2 6 4, x > 0}.Calcule
I =
∫∫
R
xy(x2 + y2)
x2 − y2dx dy
fazendo uma mudanca de variaveis adequada.(27) Considere T o toro solido (regiao do espaco) gerado pela rotacao
do disco R no plano yz de raio r centrado em (R, 0), R > r > 0,em torno do eixo z.(a) Escreva T, usando coordenadas cartesianas (x, y, z) na forma
implıcita f(x, y, z) = 0, onde f(x, y, z) e uma funcao a de-terminar.
(b) Escreva a fronteira de T como uniao de duas superfıciesS1 e S2 que sao geradas pela rotacao em torno do eixo zde dois graficos horizontais y = f(z) e y = g(z), explici-tando tais funcoes f, g e seus respectivos domınios. Ex-plicite tambem S1 e S2 como graficos de funcoes, determi-nando estas funcoes, exibindo as formulas e os domınios.
(c) Considere a regiao do espacoU = {(x, y, z) ∈ R3; x2 + y2 6 f 2(z), a 6 z 6 b}, onde fe uma funcao contınua positiva definida no intervalo [a, b].Levando em consideracao a formula do volume de um solidode revolucao em torno do eixo z, dada por
volume(U) = πb∫
a
f 2(z) dz; calcule o volume de T.
(d) Confira a resposta do item anterior aplicando o teorema dePappus.
(28) Aplique o teorema de Pappus para encontrar o centro de massado semi-disco homogeneo D de raio R.
(29) Considere a integral I abaixo:
I =
∫ 1
0
∫ 2−2y
0
e(x−2y)/(x+2y) dx dy
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(a) Interprete I como volume de uma certa regiao U de R3,determinando U usando desigualdades.
(b) Encontre uma mudanca de coordenadas linear da formau = ax+b, v = cx+d de maneira que “separe” as variaveisdo integrando, i.e e(x−2y)/(x+2y) = ef(u)g(v). Calcule I.
(30) Seja R a regiao do primeiro quadrante dada porx4 + y4 6 1, x > 0, y > 0. Seja
I =
∫∫
R
x3y3√
1− x4 − y4 dx dy
Descubra uma mudanca de variaveis inspirada nas coorde-nadas polares da forma x = f(r, θ), y = g(r, θ) e calcule I.