Exercícios sobre Lei de Gauss

1 . Um campo elétrico não uniforme é dado pela expressão:

zcxybzxayE ˆˆˆ ++=r

,

onde a, b e c são constantes. Determine o fluxo do campo elétrico através de uma superfície retangular contida no plano xy e com dois lados indo de x = 0 até x = w e y = 0 até y = h. 2. Uma barra cilíndrica condutora muito longa de raio R1 e comprimento L, carregada com carga Q1= +q, é envolta por uma casca cilíndrica, de raio R2 e mesmo comprimento L, carregada com uma carga Q2 = -2q. Use a lei de Gauss para determinar: a) o vetor campo elétrico a uma distância radial r > R2; b) o vetor campo elétrico a uma distância radial R1 < r < R2; c) a carga nas superfícies interna e externa da casca. 3. Uma carga está distribuída uniformemente através do volume de um cilindro muito longo de raio R.

a) mostre que para uma distância r do eixo do cilindro e com r < R, temos :

02ερ r

E = ,

onde ρ é a densidade volumétrica de cargas no cilindro.

b) Escreva uma expressão para E quando r > R .

4. Uma placa espessa plana de espessura d possui uma densidade de carga volumétrica uniforme ρ. Determine a intensidade do campo elétrico em todos os pontos do espaço: a) tanto dentro b) quanto fora da placa, em termos de x, com a distância medida a partir do centro da placa espessa. 5. As componentes do campo elétrico, existente na figura

imediatamente abaixo, são 1/2, 0 0.x y zE bx E e E= = = Calcule:

a) o fluxo de Eφ através do cubo;

b) a carga elétrica contida no cubo.

Dados 10a cm= e 1/2800 / .b N C m= ⋅

6. A figura mostra o módulo do campo elétrico do lado de dentro e do lado de fora de uma esfera com uma distribuição de cargas positivas em função da distância ao centro da esfera. A escala do eixo vertical é definida por Es = 5,0 x 107 N/C. Qual a carga da esfera?

7. Um condutor isolado de forma arbitrária possui um excesso de carga –Q . No condutor existe uma cavidade em cujo interior há uma carga . Sendo q positiva, determine: a) o campo elétrico em todos os pontos do condutor; b) a carga qp sobre a parede da cavidade; c) carga qs sobre a superfície externa do condutor; d) trace algumas linhas de força, evidenciando o que é importante no traçado (dentro da cavidade, nas proximidades da superfície externa e muito distante).

8. Em uma região específica da atmosfera da Terra, o campo elétrico acima da superfície foi medido e registraram-se os seguintes valores: 150 N/C orientado para baixo a uma altitude de 250 m e 170 N/C orientado para baixo a uma altitude de 400 m. Calcule a densidade volumétrica de carga da atmosfera admitindo que seja uniforme entre 250 e 400m. (Pode-se desprezar a curvatura da Terra? Por quê?)

9. A figura mostra uma camada esférica com uma densidade volumétrica de cargas uniforme ρ = 1,84 nC/m3, raio interno a = 10 cm e

raio externo b = 20 cm. Determine o módulo do campo elétrico em: a) r = 0 ; b) r = a ; c) r = 1,5a ; d) r = b ; e) r =3 b ;

10. A figura ao lado mostra a seção reta de duas esferas de raio R, com distribuições volumétricas uniformes de cargas. O ponto P está sobre a reta que liga os centros das esferas e se encontra a uma distância r/2 do centro da esfera 1. Se o campo elétrico no ponto P é zero, qual é a razão q1/q2 entre a carga da esfera 2 e a carga da esfera 1?

11. Uma carga Q está distribuída uniformemente por todo o volume de uma esfera de raio R. a) que fração da carga está contida em uma esfera de raio r = R/2 ? b) Qual a razão entre o módulo do campo elétrico no ponto r = R/2 e o módulo do campo elétrico na superfície da esfera?

12. Uma esfera de raio R envolve uma partícula de carga Q, localizada no seu centro. a) Mostre que o fluxo do campo elétrico através de um tampão circular com meio-ângulo θ ( figura ) é igual a:

( )θε

φ cos12 0

−= QE

b) Qual é o fluxo para θ = π/2? e para θ = π ?

)( Qqq <

( )jn ˆˆ

( )jn ˆˆ−

Terra

m400

m250

iEr

h

fEr

A

13. Considere uma esfera e uma camada esférica concêntricas, ambas condutoras. A camada externa é oca e tem inicialmente uma carga de -7Q. A esfera interna é maciça e tem carga de +2Q.

a) Como é a distribuição da carga na camada ? Isto é, quais os valores das cargas nas suas faces interna e externa da camada?

b) Calcule o campo entre elétrico entre a esfera e a camada. c) suponha que um fio condutor seja conectado entre a esfera e a camada. Após o

equilíbrio eletrostático ser estabelecido, qual o valor da carga na camada esférica?

d) aterrando-se a camada externa com um fio condutor (antes da conexão do item c) e, em seguida desconectando-a, qual o valor total da carga na camada?

e) quais serão os novos valores das cargas nas faces interna e externa da camada?

14. Uma esfera sólida isolante de raio a está carregada com densidade volumétrica ρ uniforme e carga total Q. Concêntrica a esta esfera existe uma camada condutora de raios b e c, conforme figura ao lado.

a) Calcule o vetor campo elétrico para as seguintes regiões: r < a, a < r < b, b < r < c e r > c; b) Determine a carga induzida por unidade de área sobre as superfícies interna e externa da camada condutora.

15. Uma esfera sólida condutora de raio a tem uma carga positiva igual 2Q. Uma camada condutora de raio interno igual a b e raio externo igual a c é concêntrica à esfera, conforme figura ao lado. Esta camada possui uma carga igual a – Q.

a) Usando a lei de Gauss, calcule o vetor campo elétrico nas regiões 1, 2, 3, e 4; b) Determine a distribuição de carga nas superfícies interna externa da camada, quando o sistema está em equilíbrio eletrostático.

16. Na figura ao lado temos uma esfera central isolante de raio a e carga 3Q. Concêntrica a esta esfera temos uma camada, também isolante, com raios interno e externo iguais respectivamente a b e c e carregada com uma carga igual –Q. Usando a lei de Gauss calcule o vetor campo elétrico para: a) r < a; b) a < r < b; c) b < r < c; d) r > c.

17. Considere um simples, porém surpreendente e preciso modelo para a molécula de hidrogênio: duas cargas puntiformes positivas, cada uma com carga +e, colocadas no interior de uma esfera de raio R, que tem uma carga –2e uniformemente distribuída. As duas cargas puntiformes

-2e

+e +e

R

a a

são posicionadas simetricamente. Determine a distância ao centro, a, onde a força resultante em ambas as cargas seja nula.

18. Desafio: a) Mostre que num plano infinito de cargas e numa superfície esférica, o campo elétrico é

descontínuo na região das cargas superficiais, e a descontinuidade é 0/σ ε .

b) Prove que, em geral, quando há uma densidade superficial de carga σ , a descontinuidade

do campo vale 0/σ ε .

Faça a demonstração construindo uma superfície gaussiana cilíndrica, com as faces planas de um e outro lado da superfície e a parte cilíndrica normal à superfície. Utilize a lei de

Gauss para calcular 2 1E E− , onde 2E é a componente normal de Er

de um lado, e 1E a

componente normal do outro lado da superfície.