Lista 3 - Matematica Discreta

Professor: Marcio Rodrigues Sabino - e-mail: marcio.sabino@fatec.sp.gov.br

1 Nome : Ra : ADS /Noite Data :

1. Seja p : “Esta frio” e q : “Esta chovendo”. Determine uma sentenca verbal simples que descreva cada umadas seguintes proposicoes:

(a) ∼ p

(b) p ∧ q

(c) p ∨ q

(d) q ↔ p

(e) p → ∼ q

(f) q ∨ ∼ p

(g) ∼ p ∧ ∼ q

(h) p ↔ ∼ q

(i) ∼ ∼ q

(j) (p ∧ ∼ q) → p

2. Seja p : “Ele e alto” e q : “Ele e elegante”. Escreva cada uma das proposicoes na forma simbolica usando p eq:

(a) Ele e alto e elegante.

(b) Ele e alto e nao e elegante.

(c) E falso que, ele e baixo ou elegante.

(d) Ele nao e alto e Ele nao e elegante.

(e) Ele e alto ou, ele e baixo e elegante.

(f) Nao e verdade que, ele e baixo ou nao e elegante.

3. Determine o verdadeiro valor para cada uma das seguintes proposicoes compostas:

(a) Se 3 + 2 = 7, entao 4 + 4 = 8.

(b) Nao e verdade que, 2 + 2 = 5 se, e somente se, 4 + 4 = 10.

(c) Paris esta na Inglaterra ou Londres esta na Franca.

(d) Nao e verdade que, 1 + 1 = 3 ou 2 + 1 = 3.

(e) E falso que Paris esta na Inglaterra, entao Londres esta na Franca.

4. Determine a tabela verdade para cada uma das seguintes proposicoes:

(a) ∼ p ∧ q

(b) ∼ (p → ∼ q)

(c) (p ∧ q) → (p ∨ q)

(d) ∼ (p ∧ q) ∨ ∼ (q ↔ p)

5. Determine a tabela verdade para cada uma das seguintes proposicoes:

(a) (p → q) ∨ ∼ (p ↔ ∼ q) (b) [p → (∼ q ∨ r)] ∧ ∼ [q ∨ (p↔ ∼ r)]

6. Verificar, por tabela verdade, que as proposicoes abaixo sao logicamente equivalentes:

(a) ∼ (p ∧ q) ≡ ∼ p ∨ ∼ q (Lei de Morgan)

(b) ∼ (p ∨ q) ≡ ∼ p ∧ ∼ q (Lei de Morgan)

(c) ∼ (p → q) ≡ p ∧ ∼ q

(d) ∼ (p ↔ q) ≡ p ↔ ∼ q ≡ ∼ p ↔ q

(e) ∼ ∼ ≡ p

7. Utilize os resultados dos problemas do exercıcio 6 para simplificar cada uma das seguintes proposicoes:

(a) ∼ (p ∨ ∼ q)

(b) ∼ (∼ p → q)

(c) ∼ (p ∧ ∼ q)

(d) ∼ (∼ p ∧ ∼ q)

(e) ∼ (∼ p ↔ q)

(f) ∼ (∼ p → ∼ q)

1Lista 3: Logica Formal e Proposicional - 2◦ Semestre - 2015

2 Lista 3: Logica Formal e Proposicional

8. Simplificar cada uma das seguintes proposicoes:

(a) Nao e verdade que rosas sao vermelhas implica em violetas sao azuis.

(b) Nao e verdade que esta frio e chovendo.

(c) Nao e verdade que ele e baixo ou elegante.

(d) Nao e verdade que nao esta frio ou esta chovendo.

(e) Nao e verdade que se esta chovendo entao esta frio.

(f) Nao e verdade que rosas sao vermelhas se violetas sao azuis.

9. Prove as seguintes leis atraves de tabela verdade:

(a) (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) (Lei Associativa)

(b) p ∨ (p ∧ q) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) (Lei Distributiva)

10. Prove que:

(a) p ∨ q ≡ ∼ (∼ p ∧ ∼ q)

(b) p→ (q ∧ r) ≡ (p → q) ∧ (p → r)

11. Utilize as leis de algebra de proposicoes para simplificar:

(a) (p ∨ q) ∧ ∼ p

(b) p ∨ (p ∧ q)

(c) ∼ (p ∨ q) ∨ (∼ p ∧ q)

12. Decida se cada uma das seguintes proposicoes sao verdadeiras ou falsas:

(a) p → p ∧ q

(b) p → p ∨ q

13. Verifique se p ∧ q implica p ↔ q e uma tautologia ou uma contradicao. Justifique com a tabela verdade.

1. Respostas

(1a) Nao esta frio.

(1b) Esta frio e chovendo.

(1c) Esta frio ou esta chovendo.

(1d) Esta chovendo se, e somente se, esta frio.

(1e) Se esta frio, entao nao esta chovendo.

(1f) Esta chovendo ou nao esta frio.

(1g) Nao esta frio e nao esta chovendo.

(1h) Esta frio se, e somente se, nao esta chovendo.

(1i) Nao e verdade que nao esta chovendo.

(1j) Se esta frio e nao esta chovendo, entao esta frio.

(2a) p ∧ q

(2b) p ∧ ∼ q

(2c) ∼ (∼ p ∨ q)

(2d) ∼ p ∧ ∼ q

(2e) p ∨ (∼ p ∧ q)

(2f) ∼ (∼ p ∨ ∼ q)

(3a) V (3b) F (3c) F (3d) F (3e) F

(4a)

∼ p ∧ q

FFVF

(4b)

∼ (p → ∼ q)

VFFF

(4c)

(p ∧ q) → (p ∨ q)

VVVV

(4d)

∼ (p ∧ q) ∨ ∼ (q ↔ p)

FVVV

(5a) Segue que:

(p → q) ∨ ∼ (p ↔ ∼ q)

VFVV (5b) Segue que:

[p → (∼ q ∨ r)] ∧ ∼ [q ∨ (p↔ ∼ r)]

FFVFFFFV

3

(6a)

∼ (p ∧ q) ∼ p ∨ ∼ q

F FV VV VV V

(6b)

∼ (p ∨ q) ∼ p ∧ ∼ q

F FF FF FV V

(6c)

∼ (p → q) p ∧ ∼ q

F FV VF FF F

(6d)

∼ (p ↔ q) p ↔ ∼ q ≡ ∼ p ↔ q

F FV VV VF F

(6e)

∼ ∼ p p

V VF F

(7a) ∼ (p ∨ ∼ q) ≡ ∼ p ∧ ∼ ∼ q ≡ ∼ p ∧ q

(7b) ∼ (∼ p → q) ≡ ∼ p ∧ ∼ q

(7c) ∼ (p ∧ ∼ q) ≡ ∼ p ∨ ∼ ∼ q ≡ ∼ p ∨ q

(7d) ∼ (∼ p ∧ ∼ q) ≡ ∼ ∼ p ∨ ∼ ∼ q ≡ p ∨ q

(7e) ∼ (∼ p ↔ q) ≡ ∼ ∼ p ↔ q ≡ p↔ q

(7f) ∼ (∼ p → ∼ q) ≡ ∼ p ∧ ∼ ∼ q ≡ ∼ p ∧ q

(8a) “Rosas sao vermelhas e violetas nao sao azuis”.

(8b) “Nao esta frio ou nao esta chovendo”.

(8c) “Ele nao e baixo e ele nao e elegante”.

(8d) “Esta frio e nao esta chovendo”.

(8e) “Esta chovendo e nao esta frio”.

(8f) “Rosas sao vermelhas se violetas nao sao azuis”.

(9a)

(p ∧ q) ∧ r p ∧ (q ∧ r)

V VF FF FF FF FF FF FF F

(9b)

p ∨ (p ∧ q) (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

V VV VV VV VV VF FF FF F

(10a) Segue que:

p ∨ q ∼ (∼ p ∧ ∼ q)

V VV VV VF F (10b) Segue que:

p→ (q ∧ r) (p → q) ∧ (p → r)

V VF FF FF FV VV VV VV V

(11a) (p ∨ q) ∧ ∼ p ≡ ∼ p ∧ (p ∨ q) ≡ (∼ p ∧ p) ∨ (∼ p ∧ q) ≡ F ∨ (∼ p ∧ q) ≡ ∼ p ∧ q

(11b) p ∨ (p ∧ q) ≡ (p ∧ V ) ∨ (p ∧ q) ≡ p ∧ (V ∨ q) ≡ p ∧ V ≡ p

(11c) ∼ (p ∨ q) ∨ (∼ p ∧ q) ≡ (∼ p ∧ ∼ q) ∨ (∼ p ∧ q) ≡ ∼ p ∧ (∼ q ∨ q) ≡ ∼ p ∧ V ≡ ∼ p

(12a) F (12b) V

(13) Tautologia