ListadeExerccios1LucasLugaoGuimar aes5deAgostode2014Questao1a) OconjuntoV = {A M33(R): detA =0}sobreosreaiscomasopera coesusuaisdematrizesnaoeespacovetorial poisnaoexisteelementoneutroE V tal queA + E=AparatodoA Vviolandoumdosaxiomasdeespa covetorial(existenciadeelementoneutro).Demonstracao:Suponhamosporabsurdoque(V, R, +, )eespacovetorial. SejaA V umamatrizqualquerdeve haver uma matriz E Vtal que A+E= A. Dessa maneira se representarmos as matrizescomosesegueA =a11a12a13a21a22a23a31a32a33e E=e11e12e13e21e22e23e31e32e33podemosescreveraultimaequac aocomo:a11a12a13a21a22a23a31a32a33+e11e12e13e21e22e23e31e32e33=a11a12a13a21a22a23a31a32a33a11 + e11a12 + e12a13 + e13a21 + e21a22 + e22a23 + e23a31 + e31a32 + e32a33 + e33=a11a12a13a21a22a23a31a32a33Oque everdadese,esomentesetodososelementoscorrespondentesforemidenticos:aij+ eij= aij, i = 1, 2, 3, j= 1, 2, 3Eassim:eij= 0 , i = 1, 2, 3, j= 1, 2, 3DemodoqueamatrizEseradadapor:E=0 0 00 0 00 0 0OquelevaaumabsurdoumavezquedetE=0eporissoE V provandoque(V, R, +, )nao eespa covetorial. b) Paraprovarqueoespa coemquestaodefatotrata-sedeumespa covetorial mostraremosqueeleatendeatodososaxiomasdeespacovetorial. Considereparaissoosseguintesvetores:v= (a, b), u = (c, d), w = (e, f) talque u, v, w VEosescalares, , R.1i) Associatividadedasoma:(v u) w = v (u w) v, u, w V (1)((a, b) (c, d)) (e, f) = (ac, bd) (e, f) = (ace, bdf)(a, b) ((c, d) (e, f)) = (a, b) (ce, df) = (ace, bdf) ((a, b) (c, d)) (e, f) = (a, b) ((c, d) (e, f) ii) Comutatividadedasoma:v u = u v v, u V (2)(a, b) (c, d) = (ac, bd)(c, d) (a, b) = (ca, db) = (ac, db) (a, b) (c, d) = (c, d) (a, b) iii) Existenciadeelementoneutroaditivo(vetornulo): u0 V | u0 u = u, u V (3)(u0a, u0b) (a, b) = (a, b)(u0aa, u0bb) = (a, b) u0= (1, 1) u0= (1, 1) | u0 u = u u V iv) Existenciadeinversoaditivo u V, u V | u u = u0(4)Seja u = (A, B):(a, b) (A, B) = (1, 1)(aA, bB) = (1, 1) A = a1e B= b1 u = (a1, b1) | u u = u0 u V v) Associatividadedamultiplica caoporescalar( )u = (u), , R, u V (5)( )(a, b) = (a, b)((a, b)) = (a, b) = (a, b) ( )u = (u), , R, u Vvi) Compatibilidadedoelementoneutromultiplicativo1 u = u, u V (6)1 (a, b) = (a1, b1) = (a, b) 1 u = u, u V2vii) Distributividadedeumvetoremrela cao`asomaescalar( + ) u = u u, , R, u E (7)( + ) (a, b) = (a+, b+)(a, b) (a, b) = (a, b) (a, b) = (a a, b b) = (a+, b+) ( + ) u = u u, , R, u Eviii) Distributividadedeumesaclaremrela cao`asomavetorial (u v) = u v, R, u, v E (8)((a, b) (c, d)) = (ac, bd) = ((ac), (bd)) = (ac, bd) (a, b) (c, d) = (a, b) (c, d) = (ac, bd) (u v) = u v, R, u, v EQuestao2a) ParamostrarqueA = ((i, 0), (2, 3))gera C2sobre Cmostremosque[A] C2e C2 [A]emque[A] = {

ni=1 ivi; i Kevi A, i = 1, . . . , n} eoespa cogeradoporA.i) Provadeque[A] C2:Sejam=(a + bi)e=(c + di) Ccoma, b, c, d Rescalares quaisquer, entaoacom-bina caolinear(i, 0) + (2, 3) = (a + bi)(i, 0) + (c + di)(2, 3) = (b + ai) + (2c + 2di, 3d 3di)podeserescritanaforma:((2c b) + (2d + a)i, (3c) + (3d)i)quepertencea C2eportanto[A] C2. ii) Provadeque C2 [A]:Sejav=(a + bi, c + di) C2coma, b, c, d Rumvetorqualquerde C2, entaobastatomar=

b +2d3

a +2c3

ie= c3 d3iescalares, Cdemodoqueacombinacaolinear(i, 0) + (2, 3)torna-se:(i, 0) + (2, 3) =

a +2c3+

b +2d3

i, 0

+

2c32d3i, c + di

== (a + bi, c + di) = vLogo, paraqualquervetorv C2epossvel escreve-lonaforma(i, 0) + (2, 3)eportantoC2 [A].ParaprovarqueAnaogera C2comoespa covetorialsobre RsuponhaporabsurdoqueAgera C2comoespacovetorial sobre Reportantoumaduplaqualquerdecomplexosdevepertencera[A].Parasimplicar,consideremoscomocontraexemploadupla(0, 3)queaprincpiodevepertencera[A],sendoasssim e Rtaisque(i, 0) + (2, 3) = (0, 3) (2 + i, 3) = (0, 3)oque e absurdo ja que para isso se deveria ter = 0 e = 1 levando a conclusao de que [A] = C2. 3b) OsubconjuntoB= {(i, 0), (0, i), (2, 3), (1, 0)}contemAegera C2comoespacovetorial sobre R.Paraprovaressefatoprovemosque[B] C2etambem C2 [B].i) Provadeque[B] C2:Sejam, , e Rescalares quaisquer entaoumvetor genericoem[B] podeser escritocomo:v= (i, 0) + (0, i) + (2, 3) + (1, 0)v= (( + 2) + i, 3 + i)Queedaforma(a + bi, c + di)eportantoeelementode C2concluindoaprovadeque[B] C2. ii) Provadeque C2 [B]:Tomemos os escalares =b, =d, =c3, =a+2c3coma, b, c e e numeros reaisquaisquerdemodoqueacombina caolinear(i, 0) + (0, i) + (2, 3) + (1, 0)torna-se:(i, 0) + (0, i) + (2, 3) + (1, 0) = b(i, 0) + d(0, i) c3(2, 3) +

a +2c3

(1, 0)(bi, 0) + (0, di) +

2c3, c

+

a +2c3, 0

= (a + bi, c + di)Oquemostraqueepossvel representarqualquervetordoespacovetorial C2porumacom-bina caolineardoselementosdeBeportanto C2 [B]. Questao3a) Para mostrar que a soma WS= W1+. . . +Wn= {w1+. . . +wn: wj Wj, j= 1, . . . , n} e subespacovetorialdeV bastamostrarqueosubconjuntoWsatendeasduascondicoesabaixo:i) Paraquaisqueru, v Wstem-seu + v Wsu Ws u =n

i=1wuicom wui Wi, i = 1, . . . , nv Ws u =n

i=1wvicom wvi Wi, i = 1, . . . , nLogo:u + v=n

i=1wui +n

i=1wvi=n

i=1(wui + wvi)Poroutrolado,comoWiesubespacovetorialdeV entaoumavezquewui, wvi Witeremoswui + wvi Wiparai = 1, . . . , nmostrandoqueasomau + vedaforma:u + v=n

i=1wsicomwsi= wui + wvi Wi, i = 1, . . . , nEportantoparaquaisqueru, v Wstem-seu + v Ws. 4ii) Paraquaisquer Kev Wstem-sev Ws:u Ws u =n

i=1wicom wi Wi, i = 1, . . . , nAssim,se K eumescalarqualquer:u = n

i=1wi=n

i=1(wi)Poroutrolado,comoosWisaosubespacosdeV entaoumavezquewi Wientaowi Wiparai = 1, . . . , nmostrandoqueoprodutou edaforma:u =n

i=1wpicomwpi= wi Wi, i = 1, . . . , nOquelevaaconcluirqueparaquaisquer Kev Wstem-sev Ws. b) ParaprovarqueW1 + . . . + Wn=[S1 . . . Sn] provemosqueW1 + . . . + Wn [S1 . . . Sn] etambemque[S1 . . . Sn] W1 + . . . + Wn:i) W1 + . . . + Wn [S1 . . . Sn]:Sev W1+ . . . + Wnpeladenicaodasomadesubespacos tem-sequevpodeser escritonaforma:v=k

i=1wicom wi Wi, i = 1, . . . , nPoroutrolado, comowi WieWi=[Si] entaoexistemescalaresij Kcomj=1, . . . , miemquemieon umerodevetoresdosubconjuntoSitaisque:wi=mi

j=1ijsijcom sij Si j= 1, . . . , mie i = 1, . . . , nEsseresultadoporsuavezpermitereescreverovetorvcomosesegue:v=k

i=1mi

j=1ijsijcom sij Si j= 1, . . . , mie i = 1, . . . , nNoteagoraqueaexpressaorepresentaumacombina caolineardosvetoressijqueporsuavezestao contidos no conjunto das unioes S1. . . Snpara todo i = 1, . . . , n e j= 1, . . . , mi. Dessaforma como o vetor v e uma combina cao linear de vetores na uniao dos subconjuntos S1, . . . , Snentaov [S1 . . . Sn]. 5ii) [S1 . . . Sn] W1 + . . . + Wn:Considere ovetor v[S1 . . . Sn] e ointeiroMcorrespondente aon umerode vetoresdauniaoS1. . . Sn,assim,peladeni caodeespacogerado,tem-sequevpodeserescritonaforma:v=M

j=1jsjcom sj S1 . . . Sn j= 1, . . . , MEmquej Ksaoescalares. Dessamaneira,semieon umerodevetoresdoconjuntoSiparatodoi = 1, . . . , n epossvelsepararosomatorioacimadaseguintemaneira:v=m1

j=11js1j+ . . . +mn

j=1njsnjSendoquecadavetorsijpertenceaosubconjuntoSieportantocadasomatorioeumacom-bina caolineardevetoresdossubconjuntosSi:mi

j=1ijsij [Si]Por m, basta denotar por wi=

mij=1 ijsijcada uma dessas combinacoes lineares para que setenhawi [Si] wi Wipermitindoqueseescrevaovetorvcomosesegue:v=n

i=1mi

j=1ijsij=n

i=1wicom wi Wi i = 1, . . . , nOuseja,ovetorvpodeserescritocomoumasomadeelementosdosconjuntosWieportantov W1 + . . . + Wn. 6