EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA COM CÁLCULO VETORIALLISTA 1

Os exercícios devem, preferencialmente, ser feitos com o Monitor. 1) Sendo = 2 , = 3 e o ângulo { , } = 30 , calcule : (i) + (ii) - (iii) 3 - 2 . 2) Dados os pontos A = ( 2 , 2 , 1 ) e B = ( 3 , -2 , 6 ), determine o vetor normado (versor) do vetor .3) Dados os vetores = + 2 - ; = 2 - e = - 3 + 4 , determine o vetor unitário, desentido contrário e paralelo ao vetor = 2 - + .4) Verifique se os vetores abaixo são colineares (paralelos ou de mesma direção) : i ) = ( -2 , 4 , 1 ) e = ( 4 , -8 , -2 ) ; ii) = ( -7 , 2 , 3 ) e = ( 14 , 4 , 6 ) ; iii) = ( 5 , 3 , 7 ) e = ( 6 , -5 , -1 ) ; iv) = ( 0 , -8 , -2 ) e = ( 0 , 2 , 0 ) .5) Determine os vetores de norma igual a 14 que sejam paralelos (mesma direção) ao vetor resultante da da adição entre os vetores = 2 + -3 e = 4 -3 + 6 .

6) Se as duas primeiras coordenadas x = 4 , y = -12 são do vetor do 3R , calcule sua terceira

coordenada z de modo que = 13.7) Os vetores ( com = 5 ) e ( com. = 12 ) são perpendiculares , calcule : i) + e ii) - .8) Os vetores e formam um ângulo = 120. Sabendo-se que = 5. e = 8 , calcule : i) + e ii) - . 9) Os vetores = 2 + 3 - e = - 6 + 2 são colineares ( paralelos ou de mesma direção), calcule os valores de e .10) Verifique se os quatro pontos A = ( 3 , -1 , 2 ) , B = ( 1 , 2 , -1 ) , C = ( -1 , 1 , -3 ) e D = ( 3 , -5 , 3 ) são os vértices de um trapézio.11) Dada a decomposição do vetor , em relação à base canônica = { , , }, onde = 16 -15 + 12 , decomponha o vetor paralelo ( de mesma direção ) e sentido contrário em relação a , referente à mesma base , se = 75.12 ) Os dois vetores = ( 2 , -3 , 6 ) e = ( -1 , 2 , -2 ) , foram representados com a mesma origem. Calcule as coordenadas do vetor que a direção da bissetriz do ângulo formado pelos vetores

e , sabendo-se que = 3 42 .13) No triângulo ABC , os vértices são A = ( 1 , 2 ) , B = ( -2 , 3 ) e C = ( 0 , 5 ). i) Determine a natureza do triângulo [ i.1 - quanto aos lados e i.2 - quanto aos ângulos ]; ii) Calcule o comprimento da mediana AM, sendo M o ponto médio de BC.14) Qual a condição ( relação entre x e y ) para que um ponto P = ( x , y ) seja equidistante dos pontos A = ( 1 , 1 ) e B = ( 3 , 4 ) ?15) Ache um vetor de norma igual a 4 e com a mesma direção ( paralelo ) e com o mesmo sentido do vetor = 6 -2 -3 . 16) Dados os vetores : = ( 1 , -1 , 0 ) ; = ( 3 , -1 , 1 ) ; = ( 2 , 2 , 1 ) e = ( 4 , -3 , 1 ) . Calcule as coordenadas do vetor = ( x , y , z ) , tal que : ( + ) seja paralelo ao vetor e ( + ) paralelo ao vetor .17) Demonstre que as coordenadas do baricentro da área de um triângulo ABC -representado no

3R - podem ser obtidas através da média aritmética simples das coordenadas dos seus

vértices.

18) Dado um triângulo ABC , no 3R , sendo M e N os pontos médios dos lados AB e AC,

respectivamente. Demonstre que o vetor é igual ao dobro do vetor .

19) Demonstre que em um quadrilátero qualquer ( não necessariamente convexo ) ABCD , os pontos médios E , F , G e H ( dos lados AB , BC , CD e DE ) são vértices de um paralelogramo.

20) Sejam , e as medianas de um triângulo qualquer ABC. Demonstre que + + = .21) Prove (usando vetores) que em todo triângulo retângulo, o segmento de reta que une o vértice do ângulo reto ao ponto médio da hipotenusa tem por medida a metade da medida da hipo- tenusa.22) Prove (usando vetores) que as diagonais de um quadrado cortam-se nos pontos médios.23) Imagine um paralelogramo ABCD onde I é o ponto de interseção das diagonais e marque nas afirmativas abaixo : (V) nas verdadeiras e (F) nas falsas. i) ( ) = ; ii) ( ) = ; iii) ( ) + = ; iv) ( ) + = ; v) + = 2 ; vi) ( ) + + = 0 . 24) ABCDEF é um hexágono regular onde cada lado tem medida R . Observe a figura, analise as afirmativas abaixo e marque ( V ) nas verdadeiras e (F ) nas falsas : E D i) ( ) + + = ii) ( ) + + = 3R iii) ( ) + = R F O C iv) ( ) + = + v) ( ) - - A B25) Desenhe o vetor soma dos vetores indicados em cada figura abaixo :

i) D ii) D

C

C A B A B iii) H G iv) H G E F F E D C D C A B A B

F E F E v) vi) A D A D

B C B C vii)

[ Os círculos estão divididos em seis partes iguais ] F E

A D

B C

26) A figura apresenta um cubo e uma pirâmide regular justapostos onde cada aresta tem medida a :

A

E D

B C

I H

F G Marque (V) nas sentenças verdadeiras que vêm abaixo e (F) nas falsas :i) ( ) AB AC AD AE

4a

ii) ( ) AB BF FI IE AE

iii) ( ) BC CD DE FI

iv) ( ) DE CI

v) ( ) GE

= CI

= DF

= BH

vi) ( ) AB AE AC AD

vii) ( ) AC CE = AD DB

viii) ( ) AC CE = AD DB

ix) ( ) BC CD = a 3

x) ( ) CG GI = a 3

xi) ( ) FE GD

; xii) ( ) AB BC CD DH HI IA

0

B27) Na figura ao lado, DC AD

2 .

A C Exprimir BD

em função de BA

e BC

D