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2.2 – Implicação Lógica
Lógica Matemática e Computacional
• Definição:
Dadas as proposições compostas P e Q, diz-se que
ocorre uma implicação lógica (ou relação de
implicação) entre P e Q quando a proposição
condicional P Q é uma tautologia.
• Notação: P Q
Implicação Lógica
Portanto, dizemos que P Q quando nas
respectivas tabelas-verdade dessas duas
proposições não aparece V na última coluna de P e F
na última coluna de Q, com V e F em uma mesma
linha, isto é, não ocorre P e Q com valores lógicos
simultâneos respectivamente V e F.
Implicação Lógica
Em particular, toda proposição implica uma
tautologia e somente uma contradição implica outra
contradição.
Implicação Lógica
Exemplos:
a) 3 = 2 + 1 3² = (2 + 1)².
Podemos usar o símbolo , pois a proposição
condicional: 3 = 2 + 1 3²= (2 + 1)² é verdadeira.
b) Não podemos escrever que 3 > 2 3 > 4, pois
a proposição condicional: 3 > 2 3 > 4 é falsa.
• Observação: Os símbolos e têm
significados diferentes: O símbolo
entre duas proposições dadas indica uma
relação, isto é, que a proposição
condicional associada é uma tautologia,
enquanto realiza uma operação entre
proposições dando origem a uma nova
proposição p q (que pode conter
valores lógicos V ou F.
Implicação Lógica
Implicação - Propriedades
Propriedade Reflexiva:
P(p,q,r,...) P(p,q,r,...)
Propriedade Transitiva:
Se P(p,q,r,...) Q(p,q,r,...) E
Q(p,q,r,...) R(p,q,r,...), ENTÃO
P(p,q,r,...) R(p,q,r,...)
p ^ q, p v q, p q
p q p ^ q p v q p q
V V V V V
V F F V F
F V F V F
F F F F V
Exemplo
Exemplo
p ^ q, p v q, p q
p q p ^ q p v q p q
V V V V V
V F F V F
F V F V F
F F F F V
Assim, diz-se que p ^ q p v q
e p ^ q p q
Exemplo
p ^ q, p v q, p q
p q p ^ q p v q p q
V V V V V
V F F V F
F V F V F
F F F F VREGRA DE INFERÊNCIA: p p v q
(Adição)
Exemplo
p ^ q, p v q, p q
p q p ^ q p v q p q
V V V V V
V F F V F
F V F V F
F F F F VREGRA DE INFERÊNCIA: q p v q
(Adição)
Exemplo
p ^ q, p v q, p q
p q p ^ q p v q p q
V V V V V
V F F V F
F V F V F
F F F F V
REGRA DE INFERÊNCIA: p ^ q p
(Simplificação)
Exemplo
p ^ q, p v q, p q
p q p ^ q p v q p q
V V V V V
V F F V F
F V F V F
F F F F V
REGRA DE INFERÊNCIA: p ^ q q
(Simplificação)
Implicação
p q p q
p q q p
PROVE!
Implicação
(p v q) ^ ~p q
(p v q) ^ ~q p
REGRA DE INFERÊNCIA:
SILOGISMO DISJUNTIVO
Implicação
(p q) ^ p q
REGRA MODUS ponens
(p q) ^ ~q ~p
REGRA MODUS tollens
TAUTOLOGIA e IMPLICAÇÃO LÓGICA
Teorema: A proposição P(p,q,r,...) IMPLICA a
proposição Q(p,q,r,...) se e somente se a
condicional P Q é tautológica.
P(p,q,r,...) Q(p,q,r,...) se e somente se:
V(P Q) = V (tautológica).
Exemplo de Implicação e Tautologia
P(p,q,r,...) Q(p,q,r,...) se e somente se:
V(P Q) = V (tautológica).
A condicional:
(p q) ^ (q ^ r) (p r) é Tautologia.
Logo, deduz-se a implicação lógica:
(p q) ^ (q ^ r) p r
(Regra do SILOGISMO HIPOTÉTICO)
Implicação Lógica
Exemplo: Mostrar que (p ^ q) p
p q p ^ q
V V V
V F F
F V F
F F F
Como (p ^ q) p é uma tautologia, então (p ^ q) p,isto é, ocorre a implicação lógica.
(p ^ q) p
V
V
V
V
Implicação Lógica
1. As tabelas-verdade das proposições p ^ q, p v q, p q
são:
p q p ^ q p v q p q
V
V
F
F
p ^ q p v q e p ^ q p q
F
V
F
V
F
V
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
A proposição “p ^ q” é verdadeira (V)
somente na linha 1 e, nesta linha, as
proposições “p v q” e “p q” também
são verdadeiras (V). Logo, a primeira
posição implica cada uma das outras
posições, isto é:
V V V
As mesmas tabelas-verdade também demonstramas importantes Regras de Inferência:
(i) p p v q e q p v q (Adição)
(ii) p ^ q p e p ^ q q (Simplificação)
Implicação Lógica
p q p ^ q p v q p q
V
V
F
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
V V V
Implicação Lógica
Regras de Inferência
Adição disjuntiva (AD) p p q
Simplificação conjuntiva(SIM) p q p ou p q q
Modus Ponens(MP) ( p q ) p q
Modus Tollens(MT) ( p q ) ~q ~p
Silogismo Disjuntivo(SD) ( p q ) ~q p
Silogismo Hipotético(SH) ( p q ) ( q r ) p r
Dilema Construtivo(DC) ( p q ) ( r s ) ( p r ) q s
Dilema Destrutivo(DD) ( p q ) ( r s ) ( ~q ~s ) ~p ~r
Absorção(ABS) p q p ( p q )
2. As tabelas-verdade das proposições p q, p q, q p
são:
p q p q p q q p
V
V
F
F
p q p q e p q q p
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
V
F
A proposição “p q” é verdadeira (V)
nas linhas 1 e 4 e, nestas linhas, as
proposições “p q” e “q p” também
são verdadeiras (V). Logo, a primeira
posição implica cada uma das outras
duas posições, isto é:
Implicação Lógica
V V V
V V V
3. A tabela-verdade da proposição “(p v q) ^ ~p”
é:
p q p v q ~p (p v q) ^ ~p
V
V
F
F(p v q) ^ ~p q ,
F
V
F
V
V
V
F
V
F
F
V
V
F
F
F
V
Esta proposição é verdadeira (V)
somente na linha 3 e, nesta linha, a
proposição “q” também é verdadeira.
Logo, subsiste a implicação lógica:
Implicação Lógica
4. A tabela-verdade da proposição “(p q) ^ p”
são:
p q p q (p q) ^ p
V
V
F
F(p q) ^ p q ,
denominada Regra Modus ponens.
F
V
F
V
F
V
V
V
F
V
F
F
Esta proposição é verdadeira (V)
somente na linha 1 e, nesta linha, a
proposição “q” também é verdadeira.
Logo, subsiste a implicação lógica:
Implicação Lógica
V V V V
5. As tabelas-verdade das proposições “(p q) ^ ~q” e “~p”
são:
p q p q ~q (pq) ^ ~q ~p
V
V
F
F(p q) ^ ~q ~p ,
denominada Regra do Modus tollens.
As mesmas tabelas-verdade também mostram que “~p”
implica “p q”, isto é: ~p p q
F
V
F
V
F
V
V
V
V
F
V
F
F
F
V
F
Esta proposição é verdadeira (V)
somente na linha 4 e, nesta linha, a
proposição “~p” também é verdadeira.
Logo, subsiste a implicação lógica: F
F
V
V
Implicação Lógica
V V V V