lfa: unidade 03 – parte b

LFA:Unidade 03 – Parte B

Engenharia/Ciência da ComputaçãoProf. Franç[email protected]

Equivalência entre AFN e AFD

Teorema: Equivalência entre AFD e AFN A classe dos AFD é equivalente à classe dos

AFN. A prova consiste em mostrar que para todo AFN

M é possível construir um AFD M’ que realiza o mesmo processamento, ou seja, M’ simula M.

A demonstração apresenta um algoritmo para converter um AFN qualquer em um AFD equivalente.

Equivalência entre AFN e AFD A idéia central do algoritmo é a construção

de estados de M’ que simulem as diversas combinações de estados de M.

A transformação contrária - construir um AFN a partir de um AFD - não necessita ser demonstrada, uma vez que decorre trivialmente das definições (Por quê? Porque a função programa do AFN contém a função programa ’ do AFD).

Seja M = (, Q, , q0, F) um AFN qualquer e seja M’ = (’, Q’, ’, <q0>, F’) um AFD construído a partir de M como se segue:

Equivalência entre AFN e AFD Q’ :Conjunto de todas as combinações, sem

repetições, de estados de Q, as quais são denotadas por <q1q2...qn> onde qi Q para i em {1, 2, ..., n}. Note-se que a ordem dos elementos não identifica mais combinações. Por exemplo: <quqv> = <qvqu>.

’ : Tal que ’(<q1...qn>, a) = <p1...pm> sss ({q1, ..., qn}, a) = {p1, ..., pm}, ou seja, um estado de M’ representa uma imagem de todos os estados alternativos de M.

<q0>:Estado inicial. F’ :Conjunto de todos os estados <q1q2...qn> Q’ tal

que alguma componente qi F, para i {1, 2, ..., n}.

Equivalência entre AFN e AFD PROVA: A demonstração de que o AFD M’ simula o

processamento do AFN M é dada por indução sobre o tamanho da palavra. Deve-se provar que, para uma palavra qualquer w de :

’(<q0>, w) = <q1...qu> sse ({q0}, w) = {q1, ..., qu}

(A prova está no livro, na página 58). Exemplo: Construção de um AFD a partir de um

AFN. Seja o AFN M6 = ({a,b}, {q0, q1, q2, qf}, 6, q0, {qf}),

dado no exemplo anterior e representado abaixo:

Equivalência entre AFN e AFD O AFD M6’ = ({a, b}, Q’, ’, <q0>, F’),

construído conforme o algoritmo dado é:

p0 p1 p2 pfa a a

b

b b b

a


onde: Q’ =

{<q0>,<q1>,<q2>,<qf>,<q0q1>,<q0q2>, ...,<q0q1q2qf>}

F’ = {<qf>,<q0qf>,<q1qf>,...,<q0q1q2qf>}

6’ = É tal conforme os valores dados na tabela abaixo:


6’ a b

<q0> <q0q1> <q0>

<q0q1> <q0q1q2> <q0>

<q0q1q2> <q0q1q2qf> <q0>

<q0q1q2qf> <q0q1q2qf> <q0>


No grafo que representa M6’, acima, p0, p1, p2 e pf denotam respectivamente <q0>, <q0q1>, <q0q1q2>, <q0q1q2qf>.

AF com Movimento vazio Autômato Finito com Movimento Vazio Movimentos vazios constituem uma generalização dos

AFN e são transições que ocorrem sem que haja a leitura de símbolo algum

Os movimentos vazios podem ser interpretados como um não-determinismo interno do autômato, que é encapsulado.

A não ser por uma eventual mudança de estados, nada mais pode ser observado sobre um movimento vazio..

Qualquer AF pode ser simulado por um autômato finito não-determinístico

AF com Movimento vazio

Definição: Autômato Finito com Movimento Vazio (AF)

Um autômato finito não-determinístico e com movimento vazio (AFN), ou simplesmente autômato finito com movimento vazio (AF), é uma quíntupla:

M = (, Q, , q0, F), onde:

AF com Movimento vazio - Alfabeto de símbolos de entrada Q - Conjunto finito de estados possíveis do

autômato - Função programa ou função de

transição : Q x ( {}) 2Q, parcial. q0 - Estado inicial tal que q0 Q F - Conjunto de estados finais, tais que F

Q. Portanto os componentes do AF são os

mesmos do AFN, com exceção da função programa (ver figura abaixo).


p1

q

p0 pn

a1

an

...

AF com Movimento vazio O processamento dos AF é similar ao dos AFN. Por

analogia o processamento de uma transição para uma entrada vazia também é não-determinística. Assim um AF ao processar uma entrada vazia assume simultaneamente os estados de origem e destino da transição.

Exemplo: Autômato Finito com Movimento Vazio O AF M7 = ({a,b}, {q0, qf}, 7, q0, {qf}),

representado na figura abaixo reconhece a linguagem L7 ={ w | qualquer símbolo a antecede qualquer símbolo b }, onde 7 é representada na forma da tabela:


7 a b

q0 {q0} - {qf}

qf - {qf} -

Computação Vazia Seja M = (, Q, , q0, F) um autômato finito

com movimentos vazios. a) A Computação Vazia ou Função Fecho Vazio,

a partir de um estado, denotada por: : Q 2Q , e é indutivamente definida como segue:

(q) ={q}, se (q, ) é indefinida; (q) ={q} U (q, ) U (Up(p)), caso

contrário; b) a Computação Vazia ou Função Fecho Vazio,

a partir de um conjunto de estados finito, denotada por:

Computação Vazia * : 2Q 2Q é tal que * (P) = Uqp (q) Lembrar que * e são agrupadas em . Considere o autômato finito com movimentos

vazios do exemplo anterior. Então: (q0) = {q0, qf } (qf) = {qf} ({q0,qf) = {q0, qf }

Computação Vazia A computação de um autômato finito com

movimentos vazios, para uma palavra de entrada w, consiste na sucessiva aplicação da função programa para cada símbolo de w (da esquerda para a direita), cada passo de aplicação intercalado com computações vazias, até ocorrer uma condição de parada. Assim, para cada conjunto de estados alternativos assumido pelo autômato, antes de processar a próxima transição, é necessário determinar todos os demais estados atingíveis exclusivamente por movimentos vazios.

Computação Vazia Definição - Função Programa Estendida,

Computação Seja M = (, Q, , q0, F) um autômato finito

com movimentos vazios. A Função Programa Estendida ou Computação de M, denotada por:

* : 2Q x * 2Q é a função programa: : Q x ( U {}) 2Q estendida para um conjunto finito de estados e

para uma palavra e é indutivamente definida como segue:

Computação Vazia

*(P, ) = (P) *(P,wa) = (R) onde R={r|r (s,a) e s

*(P,w)} A parada do processamento, a linguagem

aceita e a rejeitada é igual à do AFN ACEITA(M)={w | *({qo}, w) ∩ F ≠Ф} REJEITA(M)={w | *({qo}, w) ∩ F = Ф ou

*({qo}, w) é indefinida}

Computação Vazia Exemplo de Computação Vazia Considere a seguinte linguagem sobre o

alfabeto { a, b, c}, La = {w | w possui como sufIxo a ou bb ou ccc}

O autômato finito com movimentos vazios:

Computação Vazia

O autômato descrito acima M8 = ({ a, b, c}, {q0, q1, q2, q3, q4, q5, q6, qf}, 8, q0, {qf})

é tal que ACEITA(M8) = L8

E em relação à computação vazia, vale que, por exemplo:,

({q0}) = {q0, q1, q2, q4} E a computação da entrada abb é:

Computação Vazia *({qo},abb) = ({r |r (s,b) e s

*({q0},ab)}) (1) Sendo que *({qo},ab) = ({r |r (s,b) e s

*({q0},a)}) (2) E *({qo},a) = ({r |r (s,a) e s *({q0},

)}) (3) Como *({qo}, ) = ({q0})={q0, q1, q2, q4}

Computação Vazia

O qual considerado em (3): *({qo},a) = })={q0, q1, q2, q4,qf} O qual considerado em (2): *({qo},ab) = })={q0, q1, q2, q3,q4} O qual considerado em (1): *({qo},abb) = })={q0, q1, q2, q3, q4,

qf}

Computação Vazia Equivalência entre AFN e AFN Seja M = (, Q, , q0, F) um AFN. E MN = (, Q,

, q0, FN ) um autômato construído a partir de M como segue:

a) N : Q x 2Q é tq N (q,a) = * ({q},a)

b) FN é o conjunto de todos os estados q pertencentes a Q tq: (q) ∩ F ≠Ф (todos os estados que atingem estados finais via computações vazias).

Computação Vazia EXEMPLO - Construção de AFN a partir de AFN Considere o autômato finito com movimentos

vazios M9 na figura abaixo::

Computação Vazia

E 9 dado por

9 a b

q0 {q0} - {q1}

q1 - {q1} {q2}

q2 {q2} - -

Computação Vazia Assim o automato M9 = ({a, b}, {q0, q1, q2},

9, qo, {q2}) E o correspondente AFN: M9N = ({a, b}, {q0, q1, q2}, 9N, qo, FN) é

construído assim: FN = {q0, q1, q2, pois: (q0) = {q0, q1, q2} (q1) = {q1, q2} (q2) = {q2}

Computação Vazia

Na construção de 9N note-se que: 9*({q0}, ))={q0, q1, q2} 9*({q1}, ))={q1, q2} 9*({q2}, ))={q2} Assim, 9N é tq: 9N (q0,a)= 9*({q0},a)= ({r |r (s,a)

e s *({q0}, )})= {q0, q1, q2}

Computação Vazia

9N (q0,b)= 9*({q0},b)= ({r |r (s,b) e s *({q0}, )})= {q1, q2}

9N (q1,a)= 9*({q1},a)= ({r |r (s,a) e s *({q1}, )})= {q2}

9N (q1,b)= 9*({q1},b)= ({r |r (s,b) e s *({q1}, )})= {q1, q2}

9N (q2,a)= 9*({q2},a)= ({r |r (s,a) e s *({q2}, )})= {q2}

Computação Vazia

9N (q2,b)= 9*({q2},b)= ({r |r (s,b) e s *({q2}, )}) é indefinida

E o AFN equivalente é:

lfa: unidade 03 – parte b

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