Leis de Kepler e Gravitação Universal

João Socorro Pinheiro Ferreira*UNIFAP

George C. Almeida†IFMA

Michael K. V. Gondim‡UNEMAT

25 de Maio de 2015

Resumo

Este artigo acadêmico dispõe sobre as três Leis de Kepler (1571 - 1630) e teve como finalidadea de proporcionar aos autores a prática de descrição de modelagem matemática (MM),através de EDO’s - Equações Diferenciais Ordinárias. A metodologia utilizada para escreversobre as três leis foi a de se pesquisar em diversas obras bibliográficas sobre as leis, inclusivea da gravitação universal, cujos primeiros registros são creditados aos gregos, antes deCristo, e posteriormente sendo mais formalizada pelo astrônomo Tycho Brahe (1546 - 1601)e também Galileo Galilei (1564 - 1642). O resultado apresentado no texto final destacou agrande contribuição de Isaac Newton (1642 - 1727), para a formulação matemáticas das leis,pois com a sua descoberta do cálculo diferencial (fluxo) e integral (refluxo) pode descrevera trajetória, a área e o período T, através de funções matemáticas (soluções de EDO’s).Palavras-chaves: Gravitação Universal. Elipse. Área. Período. Kepler. Newton.

1 Introdução

Este trabalho acadêmico sobre as Leis de Kepler (1571 - 1630) foi escrito como parte daavaliação da disciplina PM007 - Modelos e Métodos Matemáticos, do Mestrado Profissional emMatemática Aplicada e Computacional, do IMECC, UNICAMP, com o objetivo de colocar emprática a modelagem matemática.

Para escrever sobre as três leis de Kepler, primeiramente estudamos sobre as leis da gravita-ção universal, cujos primeiros registros são dos gregos, antes de Cristo, posteriormente sendomais formalizada pelo astrônomo Tycho Brahe (1546 - 1601) e também por Galileo Galilei (1564- 1642). Todos os trabalhos registrados eram empíricos, pois com instrumentos artesanais, es-tes abnegados pesquisadores produziram à tecnologia daquela época para procurar descreveralguma teoria satisfatória para o movimento dos planetas.

Kepler teorizou, a partir de suas observações e dos outros cientistas citados anteriormente,que os planetas descreviam trajetórias elípticas, onde um dos focos era ocupado pelo Sol. Mediua excentricidade de várias órbitas e constatou que as mesmas estavam muito próximas de zero;uma consequência disto é que as mesmas eram definidas como circulares, pois causavam aimpressão de que o Sol girava em torno da Terra (como ocorre hoje). A excentricidade é a razão

entre a metade da distância focal c e a metade do eixo maior a de uma elipse, isto é, e =ca

.Descobriu também que os planetas realizam durante o período de translação em torno do

Sol, percorrendo áreas iguais em tempos iguais, e uma consequência (bem evidente) dessa leié que o planeta tem a sua velocidade escalar aumentada à medida que se aproxima do Sol, ediminuída quando se afasta.

*joaoferreira@unifap.br†george.ifma@gmail.com‡kennedylevita12@gmail.com

1

A terceira lei de Kepler afirma que o quocienteT2

a3 = K tem o mesmo valor K para todos os

planetas, onde T é o tempo gasto pelo planeta numa revolução completa, em torno do Sol.Não podemos deixar de citar neste trabalho a grande contribuição de Isaac Newton (1642 -

1727), pois com a sua descoberta do cálculo diferencial (fluxo) e integral (refluxo) pode descrevertodas as equações matemáticas, e segundo a história, quando lhe perguntaram sobre: “Qual é aforma da órbita de um planeta atraído pelo Sol por uma força que varia com o inverso do qua-drado da distância?", Newton respondeu imediatamente: “Uma elipse". Desconcertado, Halleyperguntou: “Como sabe?", ao que Newton lhe respondeu que já havia resolvido esse problema.Newton procurou o papel com a prova mas não o encontrou, mas prometeu reconstruí-la elhe enviá-la, e assim Halley teve que aguardar, e só recebeu a prova em novembro de 1684,sob o título De Motu Corporum in Gyrum (“Sobre o movimento dos corpos em órbita"). Halleyimediatamente percebeu a importância do resultado e do método empregado por Newton, eo visitou novamente, decidido a convencê-lo a publicar suas descobertas. E assim Newtoncomeçou a escrever o Principia, cujos custos de publicação foram todos arcados por Halley (aRoyal Society estava muito mal financeiramente, e Newton não queria gastar dinheiro com apublicação). (O final deste parágrafo encontra-se Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton#Lei_da_gravita.C3.A7.C3.A3o_universal. Acesso em: 19 Maio 2015).

Por fim, a equipe desenvolveu todos os cálculos existentes nas entrelinhas dos textos pes-quisados, procurando com isto entender em mínimos detalhes a grandiosidades das três leis ede seu colabores para o avanço da ciência.

2 Leis de Kepler e Newton

Nesta seção iremos enunciar as três Leis de Kepler, a Primeira e Segunda Lei de Newton etambém a Lei da Gravitação Universal.

2.0.1 Leis de Kepler

As três leis que Kepler enunciou em seus trabalhos foram as seguintes:

Primeira Lei. Cada planeta se move em uma órbita elíptica, tendo o Sol em um dos focos.

Segunda Lei. O raio vetor ligando o Sol a um dado planeta varre áreas iguais em tempos iguais.

Terceira Lei. A razão entre o quadrado do período de um planeta e o cubo do semi-eixo maiorde sua órbita é a mesma para todos os planetas.

Nosso objetivo é demonstrar as três leis de Kepler e aplicar esse conhecimento. Para issoiremos enunciar algumas Leis que Newton enunciou e demonstrou através de sua Mecânica.

2.0.2 Leis de Newton

Para auxiliar nas demonstrações, iremos fazer o uso das Leis de Newton, que ele próprio usouem seu livro Principia Mathematica, para demonstrar as Leis de Kepler.

A primeira lei de Newton diz respeito a uma velocidade nula ou constante, onde não háaceleração sobro o corpo em estudo. De acordo com Halliday and Resnick (2008a) temos:

Enunciado 2.1. Se nenhuma força resultante atua sobre um corpo, sua velocidade não pode mudar, ouseja, o corpo não pode sofrer uma aceleração.

Em termos matemáticos,

~Fres = 0 (2.1)

2

Agora, quando um corpo sofre uma mudança de velocidade, ou seja, ~Fres , 0, então estecorpo está submetido a uma aceleração. Halliday and Resnick (2008b) nos enuncia a SegundaLei da seguinte maneira.

Enunciado 2.2. A força resultante que age sobre um corpo é igual ao produto da massa do corpo pelasua aceleração.

Em termos matemáticos,

~Fres = m~a

e em módulo

F = ma (2.2)

Newton propôs uma lei para a força gravitacional, Halliday and Resnick (2009) a enunciada seguinte maneira:

Enunciado 2.3. Toda partícula do universo atrai todas as outras partículas com uma força gravitacionalcujo módulo é dado por

F = Gm1m2

r2 (2.3)

onde m1 e m2 são as massas das partículas, r é a distância entre elas e G é uma constante,conhecida como constante gravitacional, cujo valor é

G = 6, 67 × 10−1N ·m2/kg2

= 6, 67 × 10−1m3/kg · s2 (2.4)

3 Órbita do Planeta

Vamos agora ao nosso problema. Suponhamos um sistema tridimensional no qual o Solesteja no centro. Suponhamos ainda, que exista um planeta 𝒫 de massa m cuja órbita ao redordo Sol é dada por X(t) = (x(t), y(t), z(t)). A fim de usarmos as derivadas de primeira e segundaordem de X(t), assumiremos que tal curva seja de classe C2. Com isso podemos introduzir asgrandezas cinemáticas como feito por de Figueiredo and Neves (2002b):

X(t) = (x(t), y(t), z(t))

será designado o vetor posição de 𝒫 no instante t, ao qual denotaremos raio vetor. O vetorvelocidade é a derivada

X(t) = (x(t), y(t), z(t))

do vetor posição. Defini-se o vetor aceleração como sendo a a derivada

X(t) = (x(t), y(t), z(t))

do vetor velocidade.

3

Sol

Raio vetor

Planeta

órbita

Figura 1: Órbita do planeta

Como o planeta está em movimento, temos pela Segunda Lei de Newton que

F = mX, (3.1)

lembrando que a interpretação física da segunda derivada (X) é a aceleração no instante t e m éa massa do planeta 𝒫. Temos ainda pela Lei da Gravitação Universal que

F = −GmM||X||2

X||X||

, (3.2)

na qual, M é a massa do Sol e o sinal negativo é porque a força gravitacional é de atração.Chamando r = ||X||, segue que

F = −GmM

r3 X (3.3)

Das equações 2.2 e 3.3, segue que

mX = −GmM

r3 X

X = −GMr3 X (3.4)

A seguir vamos mostrar que a órbita de 𝒫 está contida em um plano. Assim, passaremos aanalisar o movimento e as forças no plano (x, y).

Duas observações importantes serão levadas em consideração, que é posta de forma clarapor de Figueiredo and Neves (2002a), que são:

Observação 3.1. Suporemos que o Sol esteja fixo.

De forma bem rigorosa, tanto o planeta quanto o Sol estão em movimento, o que nos leva aum problema mais complexo que tem por nome Problema de Dois Corpos.

4

Observação 3.2. Desprezaremos as forças gravitacionais dos outro planetas sobre o planeta em estudo.

Como o a força gravitacional do Sol é muito grande em comparação ao dos planetas, não háprejuízo em desconsiderarmos a existência dos outros planetas quando se estuda a maior partedos planetas.

3.0.3 Momento Angular

O momento angular está associado com a rotação e a translação do planeta. da Rocha (2013)define o momento angular da seguinte maneira.

Definição 3.1. O momento angular Y, associado ao planeta 𝒫 é dado pela curva

Y = X × X. (3.5)

Concluímos assim, que o momento angular é ortogonal ao raio vetor e ao vetor velocidadede 𝒫 definido por X(t).

Lema 3.1. A órbita do planeta 𝒫 é uma curva plana.

Demonstração. Para isso, basta mostrarmos que o momento angular é constante. De fato, bastamostrarmos que a derivada do momento angular é nula. Vamos então, calcular a derivada deY, assim temos

Y = X × X + X × X

Como, X × X = 0 e usando a 3.4 segue que

Y = X ×(−

MGr3

)X =

(1 −

MGr3

)(X × X) = 0

Daí, temos

Y = 0⇒ Y(t) ≡ constante (3.6)

Caso Y = ~0, teremos

ddt

(Xr

)=

rX − rXr2

=rX − rX

r2 ·rr

=(X · X)X − (X · X)X

r3

=(X × X) × X

r3

=Y × X

r3

= 0

com isso, vemos que X(t) = cte · r(t) (integrando) e portanto a órbita de 𝒫 seria uma reta, o queneste caso não é uma verdade. Concluímos então que Y(t) = ~c = (c1, c2, c3) , 0, o que nos dizque a órbita de 𝒫 é uma curva plana. �

5

3.0.4 Coordenadas Polares

Na subseção anterior mostramos que X é uma órbita plana, assim iremos considerar que oplano z = 0 é o plano que contém a órbita de 𝒫 e nossa curva passa a ser da forma

X(t) = (x(t), y(t), 0) (3.7)

e além disso, o momento angular será apenas Y(t) = (0, 0, x(t)y − xy(t)), que devido a equação3.6, temos que Y(t) é igual a uma constante que denominaremos por κ, assim

x(t)y − xy(t) = κ (constante). (3.8)

De agora em diante iremos fazer uso das coordenadas polares para representar a órbita de𝒫, disto teremos

r(t) = ||X(t)||, x(t) = r(t) cosθ(t) e y(t) = r(t)senθ(t) (3.9)

r cos θ

r sen θ

Figura 2: Coordenadas Polares

3.0.5 Velocidade Areolar

De acordo com de S. Ávila (2004), se r = r(θ) é a equação polar da órbita do planeta, então

A(θ) =∫ θ(t)

θ(t0)

12

r2dθ (3.10)

é a área varrida pelo raio da órbita.

Demonstração. Queremos provar queA = A(t)

é a área varrida por r = r(θ) num tempo t, a partir de uma certa posição de 𝒫, digamos P0.Segundo de Figueiredo and Neves (2002c), “A derivada de A(t) com relação a t é chamada

velocidade areolar”. Resolvendo a Equação 3.10, temos:

A(θ) =12

∫ θ(t)

θ(t0)[r(θ)]2dθ

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, segue-se que

A(θ) =12

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝ [r(θ)]3

3

θ(t)

θ(t0)

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠A(θ) =

12

([r(θ(t))]3

3−

[r(θ(t0))]3

3

)6

Entre as direções θ(t0) = 0 e θ(t) = θ, tem-se:

A(θ) =12

([r(θ)]3

3−

[r(0)]3

3

)Considerando que no instante inicial t0 = 0 a posição inicial é r(0) = r0, a expressão acima

passa a ser:

A(θ) =12

([r(θ)]3

3−

[r0]3

3

)(3.11)

Derivando a Equação 3.11 em relação a θ, tem-se:

A(θ) =12

(3 ·

[r(θ)]2

3− 0

)dAdθ= A(θ) =

12

[r(θ)]2 (3.12)

Temos ainda, pela Regra da Cadeia, que:

A(t) =dAdt=

dAdθ·

dθdt= A · θ (3.13)

Substituindo a Equação 3.13 na Equação 3.12, tem-se a Equação (4.138), do texto de de Fi-gueiredo and Neves (2002c), conforme a seguir

A(t) =12

r2θ (3.14)

Voltando a Equação 3.9 e 3.8, temos:

x(t) = r(t) cosθ(t), y(t) = r(t)senθ(t) e x(t)y − xy(t) = κ (constante)

assim, teremos

x = r cosθ − rθsenθ e y = rsenθ + rθ cosθ (3.15)

e portanto,

const ≡ κ = xy − xy= r cosθ(rsenθ + rθ cosθ) − (r cosθ − rθsenθ)rsenθ= r2θ (3.16)

Assim, das Equações 3.14 e 3.16, segue que

A(t) =12

r2θ =12κ ≡ constante (3.17)

�

3.0.6 Fórmula de Binet

Vamos voltar as equações 3.9 e 3.15 acima, assim

x = r cosθ e y = rsenθx = r cosθ − rθsenθ e y = rsenθ + rθ cosθ

7

Temos então, as expressões

x = r cosθ − 2rθsenθ − rθ2 cosθ − rθsenθ (3.18)y = rsenθ + 2rθ cosθ − rθ2senθ + rθ cosθ (3.19)

Substituindo nas componentes da equação 3.4, temos

r cosθ − 2rθsenθ − rθ2 cosθ − rθsenθ = −MGr2 cosθ (3.20)

rsenθ + 2rθ cosθ − rθ2senθ + rθ cosθ = −MGr2 senθ, (3.21)

vamos fazer: cosθ · 3.20 + senθ · 3.21, daí obtemos

r − rθ2 = −MGr2 (3.22)

multiplicando por −1

r2θ2, temos

−r

r2θ2+

rθ2

r2θ2=

MG(r2θ2)2

−rθκ+

1r=

MGκ2 (3.23)

Como feito por da Rocha (2013), segue o seguinte lema sobre a fórmula de Binet

Lema 3.2 (Fórmula de Binet). A função r = r(θ) satisfaz a equação diferencial

d2

dθ2

(1r

)+

1r=

MGκ2 (3.24)

Demonstração. Vamos usar a Regra da Cadeia

drdθ= r ·

dtdθ=

rθ

edrdθ= r ·

dtdθ=

rθ

Observação 3.3. Estamos vendo a função t = t(θ) pelo fato de θ(t) , 0, ∀t e aplicando o Teorema daFunção Implícita para funções de uma variável. Assim,

dt(θ)dθ

=1

θ(t(θ))Disto, segue que

ddθ

(1r

)= −r−2

·drdθ

= −r

r2θ

= −rκ

(κ = θr2 eq.: 3.16) (3.25)

Derivando novamente, temos:

d2

dθ2

(1r

)=

ddθ

(d

dθ

(1r

))= −

1κ·

drdθ

= −rκθ

(3.26)

Portanto, nossa Equação 3.23

−rθκ+

1r=

MGκ2

satisfaz a fórmula de Binet. �

8

4 Demonstração das Leis

Como visto na seção anterior, a equação 3.23 que é dada por

rθκ+

1r=

MGκ2

satisfaz a fórmula de Binet,d2

dθ2

(1r

)+

1r=

MGκ2

o que para nós é bem interessante, pois por se tratar de uma equação do tipo oscilador harmônico(cf.de Figueiredo and Neves (2002a), seção 4.5.1) é relativamente fácil de ser resolvida.

Teorema 4.1. A solução geral da equação

d2

dθ2

(1r

)+

1r=

MGκ2

é dada por

1r= α · cosθ + β · senθ +

MGκ2 (4.1)

onde α e β são constantes dependendo dos dados iniciais.

Demonstração. De fato, façamos u =1r

, então

d2

dθ2(u) + u =

MGκ2

u + u =MGκ2 (4.2)

Usando a equação auxiliar associada a ED 4.2, temos

m2 + 1 = 0m2 = −1m = ±i (4.3)

logo a solução homogênea associada a ED 4.2 é dada por:

uh(θ) = e0θ(c1 cosθ + c2senθ)= c1 cosθ + c2senθ (4.4)

Por coeficientes a determinar, supomos que a solução particular é dada por:

up(θ) = (Aθ + B)MGκ2 (4.5)

assim,

up(θ) = AMGκ2 e up = 0

9

substituindo, na equação 4.2, segue que

up + up =MGκ2

0 + (Aθ + B)MGκ2 =

MGκ2

A = 0 e B = 1

Logo,

up =MGκ2 (4.6)

é a solução particular da ED 4.2. Assim,

u = uh + up

= c1 cosθ + c2senθ +MGκ2 (4.7)

e portanto, fazendo c1 = α, c2 = β e u =1r

, segue que

1r= α cosθ + βsenθ +

MGκ2 . (4.8)

�

Observação 4.1. Só foi possível a resolução do caso particular dessa EDO, pois mostramos na equação3.16, que o fator κ = θr2 é uma constante.

4.1 Primeira Lei de Newton

Lei 1 (Leis das Órbitas). Cada planeta se move em uma órbita elíptica, tendo o Sol em um dos focos.

Demonstração. Suponhamos sem perda de generalidade que

t = 0⇒ θ(0) = 0 e r(0) = r0,

ou seja, que no tempo inicial o planeta se encontrava a uma distância r0 do Sol e sob o eixo dosx. Logo,

1r0= α · cos 0 + β · sen0⇒ α =

1r0

(4.9)

e ainda, fazendo r0 = r(0)

ddθ

(1r

)= −α · sen0 + β · cos 0⇒ β = −

r0

κ(4.10)

Então

1r=

1r0· cosθ −

r0

κ· senθ +

MGκ2 (4.11)

Considere agora,1r0= λ · cosω e −

r0

κ= λ · senω, substituindo na equação 4.11, temos

1r= λ · cos(θ − ω) +

MGκ2 (4.12)

10

Chamando λ2 =( 1r0

)2+

( r0

κ

)2e ω = tg−1(−r0r0κ−1) e substituindo na equação 4.12 obtemos

r =

κ2

MG

1 +λκ2

MG· cos(θ − ω)

(4.13)

e ainda, fazendo e =λκ2

MGe d = λ−1, chegamos a equação:

r =d · e

1 + e · cos(θ − ω)(4.14)

que afirmamos ser a equação da elipse com excentricidade e e centro no ponto(

e2d(1 − e2)

, 0).

Observação 4.2. Observe que fizemos uma mudança de coordenadas polares fazendo

x = r · cos(θ − ω) e y = r · sen(θ − ω) (4.15)

o que somente muda o ângulo que consideramos.

Observação 4.3. Assumiremos que e < 1, pois r0, M e G são constantes razoavelmente grandes e κ épequeno, pois se trata da velocidade areolar de um planeta.

Vamos mostrar que a equação 4.14 é de fato uma elipse. Temos que

r + e · r cos(θ − ω) = d · e,

vamos elevar ao quadrado ambos os lados da equação e usar a equação 4.15, disto segue que

x2 + y2 = e2(d2− 2dx + x2)

o que implica(1 + e2)x2 + 2de2x + y2 = e2d2,

completando quadrado, temos(x +

e2d1 − e2

)2

+y2

1 − e2 =e2d2

(1 − e2)2 ,

chamando

c =e2d

1 − e2 , a2 =

e2d2

(1 − e2)2 e b2 =e2d2

1 − e2

segue que,

(x + c)2

a2 +y2

b2 = 1 (4.16)

Assumindo que e < 1 como feito na Observação 4.3 e assim, c > 0 e ainda,

0 < (1 − e2)2 < 1 − e2 < 1⇒ a > b

temos uma equação com eixo maior sobre o eixo dos x. O que prova a Primeira Lei de Kepler. �

11

Sol

raio vetor

planeta

órbita

Figura 3: Órbita do planeta

4.2 Segunda Lei de Kepler

Lei 2 (Leis das Áreas). O raio vetor ligando o Sol a um dado planeta varre áreas iguais em temposiguais.

Demonstração. Vimos na seção 3.0.3, a equação 3.17,

A(t) =12

r2θ

que diz respeito a velocidade areolar do planeta. Integrando a equação 3.17, temos que

A(t) =12κ · t + A(0) (4.17)

Agora vamos considerar dois intervalos de tempos iguais, sem perda de generalidade, sejamI1 = (t1, t2) e I2 = (t3, t4) dois intervalos de tempos, tais que t2−t1 = t4−t3. Aplicando na equação4.17 temos que:

A(t2) − A(t1) =12κ · (t2 − t1)

=12κ · (t4 − t3)

= A(t4) − A(t3) (4.18)

Portanto, provamos que o raio vetor varre áreas iguais em tempos iguais. �

12

Área 2

Área 1t1

t2

t3t4

SOL

Figura 4: Tempos iguais... áreas iguais

4.3 Terceira Lei de Kepler

Lei 3 (Lei dos Períodos). A razão entre o quadrado do período de um planeta e o cubo do semi-eixomaior de sua órbita é a mesma para todos os planetas.

Demonstração. Como visto na Primeira Lei de Kepler a órbita de um planeta é uma elipse eobservando o fato de que as órbitas dos planetas são periódicas, vamos supor, um sistema decoordenadas no qual o Sol é a origem, e mais, o Sol é um dos focos dessa elipse, e ainda, semperda de generalidade, suporemos que o eixo maior está sobre o eixo dos x. Tal elipse temequação

(x + c)2

a2 +y2

b2 = 1 (4.19)

vamos considerar a corda focal dessa elipse de comprimento 2l, que é perpendicular ao eixomaior e passa por um dos focos, assim

c2

a2 +l2

b2 = 1

o que implica

l2 =b2(a2

− c2)a2 =

b2· b2

a2 =b4

a2 (4.20)

logo,

l =b2

a=

e2d2

1 − e2

ed1 − e2

= e · d =λκ2

MG·

1λ=

κ2

MG(4.21)

Da equação 3.17, temos que a velocidade areolar A é constante. Chamaremos de T o períododo planeta. Assim,

T2

a3 =

(2πabκ

)a3 =

4π2b2

aκ2 =b2

a·

4π2

κ2 = l ·4π2

κ2 =κ2

MG·

4π2

κ2 =4π2

MG(4.22)

13

Provamos assim, a Terceira Lei de Kepler. �

5 Aplicação

Em seu livro Philosophie naturalis principia mathematica, Newton considerou o lançamento deum satélite artificial, isso através de um canhão. Mas somente após a Segunda Guerra Mundial,que surge a ideia de satélites de comunicações, pelo então oficial de radar Arthur C. Claker. Eem 1957, tivemos o lançamento do primeiro satélite artificial, o Sputinik–1, satélite russo paratransmissão de rádio.

Uma órbita geoestacionária é uma órbita circular sobre o plano do Equador da Terra a35786 km de altitude, girando na mesma direção e velocidade angular que o planeta, dando aimpressão de que ele estaria parado sobre o mesmo ponto Mota and Hinckel (2013). Esse tipode satélite é também chamado de síncrono.

Exemplo 5.1. Qual a altura de um satélite geoestacionário?

Demonstração. Como o satélite é geoestacionário, então ele “permanece no mesmo ponto” sobrea Terra, isto é, seu período orbital é de um dia sideral d = 23h56min. Pela Terceira Lei de Kepler,segue que

T2

a3 =4π2

MG⇒ a3 =

MG4π2 · T

2

onde, a massa da Terra M = 5, 98×1024kg, G = 6, 67×10−11N ·m2/kg2 é a constante gravitacionale T = 86160s é o período de órbita em segundos, disto temos:

a3 =5, 98 × 1024

· 6, 67 × 10−11

4π2 · 86160

a =

[5, 98 × 1024

· 6, 67 × 10−11

4π2 · 86160]1/3

a = 42172km

Como o raio da Terra RT = 6370km, então a altura será

a − RT = 42172 − 6370 = 35800km

SATÉLITE

TERRA

RAIO

Figura 5: Satélite em órbita circular

�

14

Referências

da Rocha, H. B. V. L. (2013). As leis de kepler. Master’s thesis, Universidade Federal do Piauí.5, 8

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