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AstronomiaUm curso para o Ensino Médio
Aula 7• Movimentos planetários
• Leis de Kepler
ABC da Astronomia | Kepler
https://bit.ly/astroAula071
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introdução!
Constelações
Johannes de Kepler
▪ Johannes Kepler nasceu em 1571 na cidade
alemã de Weil e morreu em 1630, na cidade de
Regensburg.
▪ Em 1594 Kepler se tornou professor de
matemática em Graz, Áustria.
▪ Em 1600, foi convidado por Tycho Brahe para
trabalhar em Praga. Após a morte de Brahe em
1601, Kepler foi nomeado “Matemático
Imperial”, título que teve até 1612.
Leis de Kepler
Com os dados de excelente qualidade de Tycho
Brahe, em particular em relação às posições de
Marte, Kepler descobriu as três leis de
movimento planetário que levam o seu nome:
▪ 1ª lei (1609) As órbitas dos planetas são
elipses, com o Sol localizado em um dos
focos.
▪ 2ª lei (1609) A linha ligando o Sol ao
planeta varre áreas iguais em intervalos de
tempo iguais.
A 1ª e 2ª leis foram publicadas na obra
“Astronomia nova”
Leis de Kepler
Com os dados de excelente qualidade de Tycho
Brahe, em particular em relação às posições de
Marte, Kepler descobriu as três leis de
movimento planetário que levam o seu nome:
▪ 3ª lei (1619) O quadrado da razão dos
períodos de translação de 2 planetas é
proporcional ao cubo da razão de seus
semieixos maiores.
A 3ª lei foi publicada no livro “Harmonice
Mundi ”
Leis de Kepler
As leis de Kepler, deduzidas empiricamente,
podem ser deduzidas a partir da teoria da
gravitação universal de Isaac Newton (Principia
Mathematica, publicado em 1687).
Primeira Lei de Kepler
▪ Rigorosamente, em um sistema de dois corpos puntiformes que
interagem apenas pela gravitação, cada corpo descreve uma seção
cônica (círculo, elipse, parábola ou hipérbole), com o centro de massa da
dupla em um dos focos.
▪ Se os corpos estão ligados gravitacionalmente, como no caso dos
planetas com o Sol, por exemplo, então as órbitas são esféricas ou
elípticas.
No caso onde a massa de um dos corpos é
muito maior que do outro o centro de massa
coincide, com grande precisão, com o corpo
mais maciço.
▪ Conta a história que, ao descobrir que as órbitas descritas pelos planetas
não eram circulares, mas sim elípticas, Kepler se sentiu profundamente
decepcionado.
▪ Apesar de cientista, sua arraigada concepção religiosa tinha dificuldade
em aceitar que Deus tivesse criado algo que não fosse perfeito.
▪ A crença predominante em sua época era de que o movimento dos
astros, sendo uma criação divina, teria de ser circular, considerado o
movimento perfeito.
No entanto, mesmo contrariando sua fé religiosa,
Kepler fez prevalecer sua condição de cientista e
enunciou suas leis.
Primeira Lei de Kepler
Primeira Lei de Kepler
Socrática | 1ª Lei de Kepler
https://bit.ly/astroAula0722
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Segunda Lei de Kepler
A segunda lei de Kepler é uma consequência da conservação do momento
angular.
Segunda lei de Kepler: o segmento imaginário
que une o centro do Sol e o centro do planeta
(raio-vetor) varre áreas proporcionais aos
intervalos de tempo dos percursos
Na figura as áreas a, b, c e d são iguais.
Segunda Lei de Kepler
Considere A a área descrita no intervalo de tempo Δt pelo raio-vetor de um
planeta (P) qualquer. De acordo com a segunda lei de Kepler, temos:
A constante de proporcionalidade k depende
do planeta e é denominada velocidade areolar
do planeta.= A k. t
Segunda Lei de Kepler
Socrática | 2ª Lei de Kepler
https://bit.ly/astroAula073
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Terceira Lei de Kepler
A terceira lei de Kepler, ou lei dos períodos, está relacionada com a
conservação de energia e estabelece que:
O quadrado do período de translação de cada planeta em torno do Sol é
proporcional ao cubo do raio médio da respectiva órbita.
O raio médio (r) da órbita de um
planeta coincide com a média
aritmética entre a distância do Sol
ao afélio (ra) e a distância do Sol
ao periélio (rp).+
=a pr r
r2
Terceira Lei de Kepler
Sendo T o período de translação do planeta, isto é, o intervalo de tempo
para ele dar uma volta completa em torno do Sol, e r a medida do raio
médio, a terceira lei de Kepler pode ser escrita algebricamente como:
=2 3T kr=
2
3
Tk
r
ou
▪ A constante de proporcionalidade k depende das
massas do Sol e do planeta.
▪ Como a massa do planeta é desprezível em
relação à do Sol, considera-se que a
constante k depende só da massa do Sol.
Terceira Lei de Kepler
Consequência direta da terceira lei de Kepler:
Quanto mais distante do Sol for a órbita de um planeta, maior será o período
de translação desse planeta, isto é, maior o seu ano*.
* um ano é o intervalo de tempo necessário para que um planeta dê uma volta em torno do Sol.
Variações seculares dos movimentos da Terra
▪ A órbita da Terra ao redor do Sol não é fixa, assim como a orientação da
Terra, a inclinação do eixo de rotação em relação à eclíptica (obliquidade)
também não é.
▪ A órbita da Terra é descrita por parâmetros orbitais que definem a
trajetória da Terra no espaço.
▪ Devido às perturbações gravitacionais planetárias, não esfericidade do
Sol e da Terra, e efeitos relativísticas, a órbita da Terra não é uma elipse
fixa no espaço.
▪ Além de alterar a posição da Terra, e consequentemente, dos astros na
esfera celeste, estas alterações podem ter um impacto no clima terrestre.
Variações seculares dos movimentos da Terra
Variação secular de alguns parâmetros orbitais terrestre no intervalo de
tempo de 2 milhões de anos
A duração das
estações do ano,
definida pelas
passagens do Sol
pelos equinócios e
solstícios também
são afetadas pelas
variações seculares
do movimento da
Terra.
Variações seculares dos movimentos da Terra
A duração das estações do ano, definida pelas passagens do Sol pelos
equinócios e solstícios também são afetadas pelas variações seculares do
movimento da Terra.
▪ Durante o século XIII, a duração do Outono (hemisfério Sul) era
virtualmente igual à duração do Inverno (93 dias e 7 horas), enquanto que
a Primavera e o Verão tinham a mesma duração de 89 dias e 8 horas cada.
▪ Devido a não simetria da distribuição de massas continentais e oceanos, a
variação da duração das estações do ano podem levar a variações
climáticas.
▪ As variações do movimento da Terra podem levar a mudanças climáticas
em escalas de tempo de dezenas ou centenas de milhares de anos, mas
não podem explicar alterações no clima em escalas de alguns séculos.
Aplicação
1- De quantos anos terrestres seria o período de um planeta que, girando em
torno do Sol, tivesse o raio médio de sua órbita 9 vezes maior do que o raio
médio da órbita da Terra?
Aplicação
2- (Unicamp-SP) A figura abaixo representa exageradamente a trajetória de
um planeta em torno do Sol. O sentido do percurso é indicado pela seta.
O ponto V marca o início do verão no hemisfério
Sul e o ponto I marca o início do inverno. O
ponto P indica a maior aproximação do planeta
ao Sol, o ponto A marca o maior afastamento. Os
pontos V, I e o Sol são colineares, bem como os
pontos P, A e o Sol.
Em que ponto da trajetória a velocidade do planeta é máxima? Em que ponto
essa velocidade é mínima? Justifique sua resposta.
Aplicação
▪ A velocidade orbital do planeta aumenta à medida que ele se aproxima
do Sol e diminui quando se afasta (Segunda Lei de Kepler).
▪ Portanto, a velocidade do planeta é máxima no ponto P e mínima no
ponto A.
Aplicação
3- Um planeta descreve um quarto de sua órbita em torno de seu Sol, num
sistema planetário de outra galáxia, em 28 dias terrestres.
Determine:
a) o período de translação desse
planeta em torno de seu Sol;
b) a velocidade areolar desse
planeta, supondo que o raio de
sua órbita, considerada circular,
vale 5.000 km.
Aplicação
Determine:
a) o período de translação desse planeta em torno de seu Sol;
b) a velocidade areolar desse planeta, supondo que o raio de sua órbita,
considerada circular, vale 5.000 km.
