la hipótesis del continuo: una proposición independiente

La Hipótesis del ContinuoUna proposición independiente

Freddy William Bustos Rengifo

Matemáticas - Unicauca

3 de abril de 2013

(Matemáticas - Unicauca ) La Hipótesis del Continuo 3 de abril de 2013 1 / 30

Cálculo Proposicional

Elementos

p, q, r , ..., p0 , p1 , p2 , ...

:,_,^,),,, (, )

Si A es fórmula v (A) = F o v (A) = V



InterpretaciónA : (p , q) , B : (q _ (:r)) , C : (r ) p)

v (p) = V , v (q) = V , v (r) = F (modelo)

v (A) = V , v (B) = V , v (C ) = V

v (p) = V , v (q) = F , v (r) = V

v (A) = F , v (B) = F , v (C ) = V



DeducciónA : (p , q) , B : (q _ (:r)) , C : (r ) p) , D : (r ) (p ^ q))

Si v (A) = v (B) = v (C ) = V entonces v (D) = V

p q r D

V V V VV V F VF F F V



Deducción

A : (p , q) , B : (q _ (:r)) , C : (r ) p) , E : (r ^ (:p))

Si v (A) = v (B) = v (C ) = V entonces v (E ) = F

p q r E

V V V FV V F FF F F F



Inconsistencia

A : (p () q) , B : (p ^ (:q))

Si v (A) = v (B) = V entonces v (q) = F y v (q) = V

Se deduce una contradicción de la forma "q es verdadero y q es falso"



Consistencia

Un conjunto de fórmulas es consistente si no es inconsistente

Si existe una interpretación en la cual son verdaderas todas

las fórmulas de un conjunto, el conjunto es consistente



Independencia

A : (p , q) , B : (q _ (:r)) , C : (r ) p) , G : (r _ (:p))

Si v (A) = v (B) = v (C ) = V

p q r G

V V V VV V F F

El conjunto fA,B,C ,Gg es consistente.

El conjunto fA,B,C ,:Gg es consistente(Matemáticas - Unicauca ) La Hipótesis del Continuo 3 de abril de 2013 8 / 30

Cálculo de Predicados

Elementos

p, q, r , ..., p0 , p1 , p2 , ...

:,_,^,),,, (, )

8, 9P (x) ,Q (x , y) ,R(x , y , z), ...

Si A es fórmula v (A) = F o v (A) = V



InterpretaciónA : (8a 2 P) ((9y 2 L) ^ (9z 2 L)) ((y 6= z) ^ E (a, y) ^ E (a, z))B : (8x 2 L) ((9a 2 P) ^ (9b 2 P)) ((a 6= b) ^ E (a, x) ^ E (b, x))

P : profesores de la Universidad del Cauca I - 2013L : estudiantes de la Universidad del Cauca I - 2013E (t, u) : t es alumno de u

v (A) =?, v (B) =?

P : puntos en el plano ΠL : rectas en el plano ΠE (t, u) : t está en u o u pasa por t (modelo)

v (A) = V , v (B) = V



Inconsistencia

Un conjunto de fórmulas es inconsistente si para cualquier

interpretación, de ellas se deduce una contradicción de

la forma "q es verdadero y q es falso"



Consistencia

Un conjunto de fórmulas es consistente si no es inconsistente

¿Si existe una interpretación en la cual son verdaderas todas

las fórmulas de un conjunto, el conjunto es consistente?

Si en la interpretación es válida la ley decontradicción la respuesta es sí.



Ley de Contradicción

(8x 2 A) (: (P (x) ^ :P (x)))


Sistemas Formales

Elementos

términos no de�nidos

postulados

reglas de deducción


Una Geometría Finita

V un conjunto de puntos y líneas."x está en y" expresa la misma idea que "y tiene a x".Cada punto esta en exactamente dos líneas.Cada par de líneas distintas tienen un único punto en común.

cuatro "líneas", seis "puntos"



cuatro "líneas", seis "puntos"



siete líneas, veintiún puntos



La proposición "existen cuatro líneas" es una

proposición independiente ya que agregando

a los postulados de nuestra geometría �nita

esta proposición o su negación, se obtienen

sistemas consistentes.


El Sistema ZFC

Sistema de Zermelo - Fraenkel conAxioma de Elección

Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (Berlín, 27 de julio de 1871 - 21 demayo de 1953) presentó en1908 una lista de axiomas para la teoría deconjuntos con la intención de fundamentar las matemáticas.

Adolf Abraham Halevi Fraenkel (Munich, 17 de febrero de 1891 -Jerusalén, 15 de octubre de 1965) presentó en 1922 el axioma deesquema de reemplazo, el cual perfeccionó el sistema de Zermelo.También Fraenkel demostró la independencia del Axioma de Elección(Zermelo, 1904).

ZFC da sustento a toda la matemática conocida.

Usando ZFC no han aparecido contradicciones.

ZFC podría ser inconsistente.


Cardinalidad

Cantidad de Elementos en unConjunto

1 El conjunto A tiene la misma cantidad de elementos que el conjunto B.2 El conjunto A tiene a lo sumo la misma cantidad de elementos que elconjunto B.

3 El conjunto A tiene menos elementos que el conjunto B.4 El conjunto A tiene siete elementos.5 El conjunto A tiene @α elementos.


Cardinalidad

De�niciones y Notaciones1 Existe una biyección de A en BjAj = jB j

2 Existe una función uno a uno (inyectiva) de A en BjAj � jB j

3 jAj � jB j pero no se tiene jAj = jB j jAj < jB j4 Existe una biyección entre A y el conjunto f0, 1, 2, 3, 4, 5, 6g = 7jAj = 7

5 Existe una biyección entre A y el conjunto ωα jAj = @α


Cardinalidad

Operaciones

Si κ y λ son cardinales y los conjuntos disjuntos A y B son tales quejAj = κ y jB j = λ, entonces κ + λ = jA[ B j

Si κ y λ son cardinales y los conjuntos A y B son tales que jAj = κ y

jB j = λ, entonces κ � λ = jA� B jSi κ y λ son cardinales y los conjuntos A y B son tales que jAj = κ y

jB j = λ, entonces κλ =��AB ��

AB es el conjunto de todas las funciones con dominio A e imagen en B


Cardinalidad

Cardinales Finitos e In�nitos

Los cardinales �nitos son los números naturales.

Los cardinales in�nitos son los aleph y están ordenadosconsecutivamente así .

@0 < @1 < @2 < ... < @n < @n+1 < ...

Hay un cardinal in�nito para cada natural n, pero hay más!


Cardinalidad

Algunos Resultados Conocidos

El conjunto de números naturales es N = ω = ω0 y jNj = @0 , elprimer cardinal in�nito.

El conjunto de números reales, R satisface jRj = jP (N)j =��2N

�� ,luego jRj = 2@0 (la cardinalidad del continuo).Para cualquier conjunto A se tiene que jAj < jP (A)j (Teorema deCantor).

Entonces jNj < jRj .Se tiene que jZj = jQj = jNj = @0 y jIj = 2@0 .


Hipótesis del Continuo


Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (San Petersburgo, 3 de marzode 1845 - Halle, 6 de enero de 1918).

En 1877, Cantor conjeturó que 2@0 era el siguiente cardinal despuésde @0.Equivalente: No existe un subconjunto de números reales con unacardinalidad intermedia entre la de N y la de R.

También: No existe un conjunto con cardinalidad κ con@0 < κ < 2@0 .



David Hilbert (23 de enero de 1862, Königsberg (Prusia Oriental) -14 de febrero de 1943, Gotinga.

Hilbert presentó en el II Congreso Internacional de Matemáticasrealizado en París en 1900 una lista de 23 problemas que según élorientarían el desarrollo de la matemática en el nuevo siglo. Elprimero de la lista es ¿cuál es el cardinal del continuo?



No Refutabilidad

Kurt Friedrich Gödel (28 de abril de 1906,Brünn - 14 de enero de

1978, Princeton).

Gödel construyó un modelo para teoría de conjuntos en 1939 llamado"modelo construible", el cual satisface todos los axiomas de ZFC, unnuevo axioma (axioma de construibilidad) y la hipótesis del continuo.



Independencia

Paul Joseph Cohen (2 de abril de 1934, Long Branch - 23 de marzo

de 2007, Stanford).

Cohen descubrió un método que le permitió construir un modelo endonde se satisfacen lo axiomas ZFC y la hipótesis del continuo falla.

El método descubierto por Cohen (forcing) permite construir modelosen donde 2@0 = @α para diferentes valores de α.

Por este trabajo, Cohen recibió la Medalla Fields en 1966 y laNational Medal of Science en 1967.


Referencias

Hrbacek, Karel - Jech, Thomas. Introduction to Set Theory. MarcelDekker, Inc.,1999.

Stabler, Edward Russell.R.An Introduction to Mathematical Thought.Addison-Wesley Publishing Company, Inc., 1953.

McGough, Nancy. The Continuum Hypothesis.http://www.ii.com/math/ch/#overview


Fin

GRACIASMUCHAS GRACIAS

MUCHÍSIMAS GRACIAS


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