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Juros Compostos

Prof. Me. Josivaldo Nascimento dos Passos

Matematica Financeira - Juros compostos

24 de fevereiro de 2017

Matematica Financeira

Juros Compostos

Sumario

Capitalizacao composta

Calculo do montante e do principal a juros compostos

Equivalencia de capitais a juros compostos

A equacao de valor

Calculo com prazos fracionarios


Juros Compostos

Regime de capitalizacao composta ou exponencial

No regime de juros compostos, os juros gerados a cada perıodosao incorporados ao principal para o calculo dos juros do perıodoseguinte. Ou seja, o rendimento gerado pela aplicacao sera incor-porado a ela, passando a participar da geracao do rendimento doperıodo seguinte; dizemos, entao, que os juros sao capitalizados.Chamamos de capitalizacao o momento em que os juros sao incorpo-rados ao principal. No regime de juros simples nao ha capitalizacao,pois apenas o capital inicial rende juros.


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Se aplicarmos R$1000, 00 durante tres meses a taxa de 20%a.m.,teremos os seguintes rendimentos e montantes no regime de jurossimples e no regime de juros compostos.


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O dinheiro cresce mais rapidamente a juros compostos do que a jurossimples. A juros compostos o dinheiro cresce exponencialmente emprogressao geometrica ao longo do tempo, dado que os rendimentosde cada perıodo sao incorporados ao saldo anterior e passam, porsua vez, a render juros. No regime de juros simples o montantecresce linearmente, pois o juros de um determinado perıodo nao saoincorporados ao principl para o calculo dos juros do perıodo seguinte(nao ha capitalizacao de juros nesse regime).


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Capitalizacao e desconto a juros compostos: calculo domontante e do principal

Vejamos o que acontece com o montante de um capital aplicado ajuros compostos por tres meses:

Termino do mes 1: S=P.(1+i)Termino do mes 2: S=P.(1+i).(1+i)Termino do mes 3: S=P.(1+i)(1+i)(1+i)

Generalizando, podemos calcular diretamente o montante S resul-tante da aplicacao do principal P durante n perıodos a uma taxa dejuros composta i :

S=P.(1+i)n (1)


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A formula (1) expressa o montante ao fim de n perıodos comouma funcao exponencial do capital inicial aplicado. A taxa de jurosdeve ser sempre referida a mesma unidade de tempo do perıodofinanceiro. O fator (1 + i)n e chamado fator de capitalizacao oufator de valor futuro para aplicacao unica. E o numero pelo qualdevemos multiplicar o valor principal inicial para obtermos seu valorfuturo ou de resgate.Se o capital fosse de R$1000, 00, a taxa composta, de 20%a.m., e oprazo, de 3 meses, o montante ao termino do terceiro mes poderiaser calculado diretamente da seguinte forma:

S = 1000.(1 + 0, 2)3 = 1728

Portanto, o montante e de R$1728, 00.


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O calculo do valor presente de um montante unico e simplesmenteo inverso do calculo do montante:

P=S.(1+i)−n (2)

O fator (1 + i)−n e conhecido como fator de valor presente, fatorde desconto ou fator de atualizacao para pagamento unico. Esque-maticamente, os fatores de valor futuro (1 + i)n e de valor presente(1 + i)−n permitem efetuar as seguintes operacoes:


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No diagrama, a flecha horizontal superior representa o processo dedesconto de um pagamento ou montante unico e a flecha inferior,o processo de capitalizacao de um principal.Os fatores (1 + i)n e (1 + i)−n tem a seguinte finalidade:

O fator (1 + i)n “empurra” grandezas para a frente; permiteencontrar o montante ou valor futuro de uma aplicacao. Ouseja, capitaliza um principal levando-o a uma data posterior.

O fator (1+i)−n “puxa” grandezas para tras; permite encontraro principal de um determinado montante. Ou seja, descontaum valor futuro trazendo-o a uma data anterior.

Exemplo

A juros compostos de 20%a.m., qual o montante de R$3500, 00 em8 meses?


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Exemplo

Qual o capital que em 6 anos a taxa de juros compostos de 15%a.a.,monta R$14000, 00?

Exemplo

Em que prazo um emprestimo de R$55000, 00 pode ser quitado pormeio de um unico pagamento de R$110624, 80 se a taxa de juroscompostos cobrada for de 15%a.m.?

Exemplo

A que taxa de juros compostos, um capital de R$13200, 00pode transformar-se em R$35112, 26, considerando um perıodo deaplicacao de sete meses?


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Uso basico da calculadora financeira HP − 12C

A calculadora financeira HP −12C possui ate tres funcoes por tecla:brancas, amarelas e azuis. As funcoes brancas sao automaticas e asamarelas e azuis aparecem acima e abaixo das teclas - Para ativa-lase necessario que se pressione antes a tecla (f) ou (g), respectiva-mente.


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Vejamos a seguir algumas operacoes basicas da HP − 12C :

Ligar a calculadora: (ON)

Apagar o conteudo de todos os registros: (f)(REG)

Introduzir um numero: (numero) (ENTER)

Calculo simples: (numero )(ENTER)(numero)(operacao)

Calcular porcentagem: (numero)(ENTER)(percentual)(%)

Potenciacao: (numero)(ENTER)(expoente)(y x)

Radiciacao: (numero)(ENTER)(ındice)(1/X )(y x)

Fixar quantidade de casas decimais: (f)(numero)


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Resolvamos os exemplos (1), (2), (3) e (4), com o uso da calculadoraHP − 12C . Para tanto, acesse o emulator.


https://epxx.co/ctb/hp12c.html

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Equivalencia de capitais a juros compostos - a equacao devalor

Diz-se que dois capitais, com datas de vencimento determinadas,sao equivalentes quando, levados para uma mesma data a mesmataxa de juros, tiverem valores iguais. Para melhor compreensao doconceito de equivalencia, consideremos S1,S2, . . . ,Sn como valoresde n capitais resgataveis nos prazos t1, t2, . . . , tn, respectivamente:

Dizemos que esses capitais sao equivalentes em determinada datat se apresentarem valores iguais avaliados naquela data para umamesma taxa de juros compostos. Assim, os capitais citados seraoequivalentes na data t se a seguinte igualdade se verificar:


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S1(1 + i)t−t1 = S2(1 + i)t−t2 =Sn

(1 + i)tn−t

O conjunto de capitais anterior e o conjunto a seguir:

serao equivalentes na data t se:

S1(1+i)t−t1+S2(1+i)t−t2+Sn

(1 + i)tn−t= M1(1+i)t−t3+M2(1+i)t−t4

(3)


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A equacao 3, chama-se equacao de valor na data t. E impor-tante ressaltar que, no regime de juros compostos, dois conjuntos deobrigacoes equivalentes em uma determinada data o serao tambemem qualquer outra. Como vimos anteriormente, isso nao ocorre noregime de juros simples.


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Exemplo

Calcular o valor presente do conjunto de capitais apresentado a se-guir e verificar se a juros compostos de 10%a.m. eles sao equivalentes

Capital (R$) Mes de Vencimento

2000 1

2200 2

2420 3

2662 4


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Exemplo

Verificar se os conjuntos de capitais A e B sao equivalentes, consi-derando uma taxa de juros de 10%a.m.


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Exemplo

Uma pessoa deve R$3000, 00 com vencimento em dois anos eR$4500, 00 com vencimento em seis anos. Pretende pagar seusdebitos por meio de um pagamento unico a ser realizado no final dequatro anos. Considerando uma taxa de juros efetiva de 10%a.a.,determinar o valor unico que liquida a dıvida.

Exemplo

Uma dıvida de R$10000, 00 vence daqui a dez meses. Entretanto,o devedor propoe-se dividi-la em tres parcelas semestrais iguais. Ajuros efetivos de 5%a.m., calcular o valor das parcelas.


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Exemplo

Uma pessoa dispoe de tres formas de pagamento na compra de umbem de R$4800, 00. Na primeira forma paga-se a vista R$4800, 00;na segunda paga-se 20% de entrada e duas prestacoes mensais iguaise consecutivas, sendo a primeira para 30 dias; na terceira, o valor avista e acrescido de 30% e, desse valor majorado, 20% e pago comoentrada e o saldo, dividido em dois pagamentos mensais iguais semjuros, sendo o primeiro para 30 dias. Pede-se:

a) a juros efetivos de 20%a.m., calcular o valor das prestacoesmensais na segunda forma de pagamento;

b) calcular a taxa de juros efeiva embutida na terceira forma depagamento.


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No calculo financeiro a juros compostos, muitas vezes o prazo daaplicacao nao corresponde a um numero ineteiro de perıodos a quese refere a taxa de juros, mas a um numero fracionario. Nesse caso,geralmente admitem-se duas alternativas de calculo: calculo pelaconvencao linear e calculo pela convencao exponencial.

Calculo pela convencao linear - os juros compostos sao usadospara o numero inteiro de perıodos e os juros simples para aparte fracionaria de perıodos

Calculo pela convencao exponencial - os juros compostos saousados tanto para o numero ineteiro de perıodos quanto paraa parte fracionaira de perıodos.


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Exemplo

Para um capital de R$25000, 00, aplicado durante dias a juros de5%a.m., calcular o montante utilizando as convencoes linear e ex-ponencial.

Exemplo

Um determinado capital, aplicado a juros efetivos de 40%a.a. du-rante 4 anos e 11 meses, resultou em um montante de R$10000, 00.Determinar (pelas convencoes linear e exponencial) o valor do capi-tal.


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CRESPO, Antonio Arnot, MATEMATICA FINANCEIRA

FACIL, 14 ed. Sao Paulo: Editora Saraiva, 2009

IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel; DEGENSZAJN, David,

FUNDAMENTOS DE MATEMATICAELEMENTAR-Matematica comercial, Matematica financeira,Estatıstica descritiva, 2 ed. Sao Paulo: Atual Editora, 2013.

SAMANEZ, Carlos Patricio, MATEMATICA FINANCEIRA -Aplicacoes a Analise de Investimentos, 3 ed. Sao Paulo:ABDR, 2002.


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