JORNAL DO PROFESSOR DE MATEMATICA

No. 08 Julho 2008Versao eletronica em www.ime.unicamp.br/lem

Editorial

E com muita satisfacao que reiniciamos a pu-blicacao do JPM. Nesta edicao apresentamossugestoes de atividades cujos autores obtive-ram exito ao aplica-las em suas aulas, desa-fios matematicos, passatempo, etc. A secao decursos traz a programacao das atividades queserao oferecidas pelo LEM durante o proximosemestre. Esperamos que tenham um momentoagradavel de leitura, e aguardamos suas su-gestoes, opinioes ou crıticas tendo como obje-tivo sempre a melhoria desse meio de comu-nicacao e proximidade dos interesses de nossosleitores.

Para Usar em Sala de Aula

Aritmetica do Amor

Os professores estao sempre se perguntandosobre o que devem fazer para que os alunosrealmente aprendam. Motiva-los seria uma res-posta. Entendendo como motivacao o ato deexpor as causas, a animacao e o entusiasmo.Desta definicao, pode-se concluir que estar mo-tivado e estar animado, entusiasmado. Paraisso, e necessario ter motivos para se chegar aesse estado. Para qualquer coisa que se facana vida, e necessario primeiro a vontade derealiza-la, senao nada acontece. Isso tambemocorre na educacao. Deve existir a vontade,nesse caso, a vontade de aprender. O profes-sor deve fornecer estımulos para que o alunose sinta entusiasmado a aprender. Daı apre-sentamos uma proposta ludica de trabalharmosconceitos como: operacoes basicas, aritmeticados restos e Triangulo de Pascal. Para p natural,denotaremos por p mod 10 o resto da divisaode p por 10 (congruencia modulo 10).

Uma pergunta que por vezes acomete o coracao

dos apaixonados e: quantas horas por dia apessoa que gosto pensa em mim ? A respostapode ser dada pelo teste da aritmetica do amor,seguindo os passos abaixo:Passo 1: Escreva seu nome seguido da letra“E” e do nome da outra pessoa.Passo 2: Ignore as consoantes e substi-tua as vogais seguindo as correspondencias:a → 1, e → 2, i → 3, o → 4, u → 5; com-plete essa disposicao numerica acrescentandoa data do dia em que se encontra na formaddmmaaaa.Passo 3: Escreva uma nova linha usando osnumeros obtidos no resto da divisao por 10 dasoma de cada termo da linha inicial com seuvizinho da direita.Passo 4: Repita o passo 3 ate restar apenasum numero. Este numero, entre 0 e 9, e a quan-tidade de horas que a pessoa esta pensando naoutra naquele dia.

Suponha que MARIA esteja gostando deJOAO. Para decidir se investe em uma propostade namoro, ela deve seguir os procedimentos(suponha que o dia corrente seja 01/05/2008):J O A O E M A R I A 0 1 0 5 2 0 0 8.Fazendo a substituicao obtemos a linha L1:4 1 4 2 1 3 1 0 1 0 5 2 0 0 8. Considerando a1

i

o i-esimo elemento de L1, obtemos o primeiroelemento da segunda linha (L2) resolvendo aoperacao a2

1 = [a11 + a1

2] mod 10, sendo a21 um

numero entre 0 e 9. Repetimos o procedimento,a2

i = [a1i + a1

i+1] mod 10, para i variando en-tre 2 e n − 1, onde n refere-se ao numero totalde termos em L1. Para o exemplo dado te-mos a2

1 = [4 + 1] mod 10 = 5, a22 = [1 + 4]

mod 10 = 5, a23 = [4 + 2] mod 10 = 6, ...,

a214 = [0 + 8] mod 10 = 8. Portanto, L2 e dada

por: 5 5 6 3 4 4 1 1 1 5 7 2 0 8. Aplicandonovamente o mesmo raciocınio para L2, obte-remos L3: 0 1 9 7 8 5 2 2 6 2 9 2 8. Com esseprocedimento aplicado recursivamente, temos

1

ao final que JOAO passa 4 horas do seu diapensando em MARIA, o que e um indıcio paraque ela considere a possibilidade de propo-lonamoro com grandes chances de uma respostapositiva.

E facil perceber que essa brincadeira pode levaro aluno a um numero relativamente grande deoperacoes. O exemplo anterior possui 7 vogaismais 8 algarismos referentes a data, o que daum total de 15 algarismos que somados 2 a 2geram uma linha de 14 algarismos e essa por suavez se somada gera uma linha de 13 algarismos.Como para cada linha de n numeros realizamos2(n−1) operacoes, sendo n−1 somas e n−1 di-visoes; a quantidade final de operacoes e obtidaao somarmos 2× (15− 1) + 2× (14− 1) + 2×(13−1)+ · · ·+2×(2−1). Para o exemplo dadotemos uma progressao aritmetica de razao −2,com o primeiro termo igual a 28 e um total de14 termos. Totalizando nosso enfardo algebricoem (28+2)×14/2 = 210 operacoes. Percebe-seentao, apos algum tempo se exaurindo em con-tas, a necessidade da construcao de um metodomenos desgastante. Daı vem o resultado verda-deiramente valioso dessa proposta.

Um tratamento investigativo pode resultar emdiversas metodologias para reduzir o esforcode calculo. A ideia principal neste ponto eo aprimoramento da capacidade analıtica doaluno. Uma sugestao de um metodo desenvol-vido na parceria aluno e professor e a obtencaoda soma final pela utilizacao do Triangulo dePascal (veja a figura acima). Pode-se usar a li-nha correspondente do triangulo de Pascal (emcongruencia modulo 10) obtendo o resultado

final de forma muito mais direta. Vejamos,a linha 15 do triangulo de Pascal e dada por:1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001364 91 14 1. Colocando-se cada elemento dessalinha em congruencia modulo 10 obtemos `15:1 4 1 4 1 2 3 2 3 2 1 4 1 4 1. Daı, aplicandoa multiplicacao dos termos em posicoes corres-pondentes de L1 com `15 e somando os valoresobtidos, temos: [(1×4)+(4×1)+(1×4)+(4×2)+(1×1)+(2×3)+(3×1)+(2×0)+(3×1)+(2×0)+(1×5)+(4×2)+(1×0)+(4×0)+(1×8)]mod 10 = [4 + 4 + 4 + 8 + 1 + 6 + 3 + 0 + 3 +0 + 5 + 8 + 0 + 0 + 8] mod 10 = 4.

Aqui foi descrito objetivamente um resultadoque decorreu de algumas poucas operacoes.Mas o metodo desenvolvido ainda e relativa-mente custoso, dado que decorar o triangulode Pascal e realizar multiplicacoes diversas, porvezes, se torna uma tarefa tao ardua quanto asoma recursiva. Entretanto, e aı que residea verdadeira beleza dessa proposta. Pode-se sugerir que os alunos facam uma aborda-gem estatıstica para descobrir, em seu espacoamostral, qual a quantidade mais frequentedas vogais levando-se em conta as combinacoespossıveis dos nomes de meninos e meninas emsua sala. Determinada a quantidade que maisocorre, escolhe-se a linha correspondente doTriangulo de Pascal.

Uma forma alternativa de se usar esse metodoe aplica-lo nao so para obter a soma final,mas tambem para obter alguma linha sub-sequente. Considere a disposicao numericadada por a1

1 a12 · · · a1

12. Poderıamos apli-car a resolucao usando `12 do triangulo dePascal, 1 1 5 5 0 2 2 0 5 5 1 1. Entre-tanto, podemos montar dois blocos a partir dosnumeros de nossa disposicao numerica e usar`11: 1 0 5 0 0 2 0 0 5 0 1. Para isso determina-se o bloco B1 com os onze primeiros termos deL1: a1

1 · · · a111 e o bloco B2 com os ultimos onze

termos, a12 · · · a1

12. Aplicamos entao o metodousando `11 em B1 e B2. Esse procedimentonos da dois numeros: a11

1 e a112 , que sao exa-

tamente os termos da penultima linha do pro-cesso de soma recursiva. Daı, para o resultadofinal basta computar [a11

1 + a112 ] mod 10. Essa

abordagem alternativa e interessante dado afrequencia de zeros presentes em `11. Para o

2

calculo de a111 , soma-se a1

1 + a111 + 2 × a1

6, ea esse numero, dado que nosso interesse e noresto da divisao por 10, somamos 5 caso a somaa1

3+a19 seja ımpar. Isso decorre do fato que para

todo a ∈ {0, 1, ..., 9}, [5 × a] mod 10 = 0 ou5, o valor dependendo apenas de a ser par ouımpar. O mesmo se aplica para o calculo de a11

2 .

A analise detalhada de todas as etapas desteprocesso se mostrou uma ferramenta didaticavaliosa. Competicoes de velocidade podem vali-dar o interesse, mas deve-se evitar que os alunosse preocupem demais em memorizar os proce-dimentos e percam o foco sobre a analise. Aintencao e de que eles sejam capazes de refinaro metodo de forma a obter o resultado final emum tempo menor com esforco algebrico redu-zido. Os conceitos teoricos envolvidos podemser apresentados na medida que se tornem ne-cessarios e deve-se permitir aos alunos que ten-tem por si so chegarem a conclusoes proprias.

Wanderson L.Silva, Pos-Graduacao em Matematica Aplicada– IMECC – UNICAMP & Lucas M. Avelleda,Escola Comunitaria de Campinas

Colorindo Mapas: Quatro Cores SaoSuficientes

Entre os problemas fa-mosos em Matematicaencontra-se aquele quee conhecido como o Pro-blema das Quatro Co-res. O estudo desteproblema e responsavelpor importante desen-volvimento na Teoriados Grafos. Tudo teveinıcio quando, em me-

ados do seculo XIX, um jovem ingles, Fran-cis Guthrie, que foi botanico, advogado ematematico, ao constatar que necessitava deapenas quatro cores para colorir o mapa daInglaterra, de forma que distritos adjacentestivessem sempre cores distintas, formulou a se-guinte conjectura: “e possıvel colorir qualquermapa, plano ou sobre a superfıcie de uma es-fera, com apenas quatro cores, de modo que

regioes vizinhas recebam cores diferentes”. Ob-servamos que regioes com um unico ponto comofronteira nao sao admitidas.

Um problema aparentemente simples, mas ocu-pou as mentes de matematicos profissionais eamadores por mais de um seculo. Somente em1976 o problema foi realmente resolvido, com aajuda de um computador, por Kenneth Ap-pel e Wolfgang Haken, da Universidadede Illinois (EUA), que apresentaram uma de-monstracao extremamente complicada daqueleque ficou conhecido como o Teorema da QuatroCores. Agora sabemos que quatro cores sao su-ficientes para colorir qualquer mapa, mas istonao significa que sejam todas necessarias paracada mapa. A figura abaixo exibe exemplosem que duas cores sao suficientes, em que senecessita de tres cores e em que tres cores naobastam.

Atividade 1: Incentivar os alunos a colorir di-versos tipos de mapas ou bandeiras, propostospelo professor ou inventados por eles, com a fi-nalidade de descobrirem a quantidade de coresnecessarias para colori-los. Investigar em quecondicoes e possıvel colorir com apenas duascores, com apenas tres cores e assim, sucessi-vamente, conduzir para a sistematizacao dosprocessos encontrados com o objetivo de de-terminar o menor numero de cores necessariaspara cada mapa.

Atividade 2: De quantasmaneiras diferentes po-demos colorir o mapada regiao sudeste doBrasil (figura ao lado)usando apenas as qua-tro cores indicadas?

Atividade 3: Pinte o mapa abaixo com ape-nas quatro cores. Voce seria capaz de dizer

3

de quantas maneiras di-ferentes pode-se coloriresse mapa usando ape-nas as quatro cores uti-lizadas?

Jogo 1: Dois jogadores, A e B, tem quatro lapisde cores diferentes e um mapa para colorir deforma que regioes limıtrofes tenham cores dis-tintas. Cada um dos jogadores, na sua vez,pinta uma regiao do mapa. Perde o primeiroque nao conseguir colorir adequadamente ne-nhuma das regioes ainda sem cor.

O texto a seguir e uma traducao livre e adap-tada de Benarroch et al.: “Ainda que ascoisas sejam possıveis, nem sempre sao faceisde conseguir. Prova disto e o jogo proposto haalguns anos por Stephen Barr e apresentadopor Martin Gardnerem um de seus livrosde Matematica Recrea-tiva como metodo maisrapido ... para apreciaras complicacoes que apa-recem ao se tentar de-monstrar o Teorema dasQuatro Cores.”

Jogo 2: Dois jogadores, A e B, tem quatro lapisde cores diferentes e uma folha em branco. Ojogador A desenha uma regiao fechada e co-nexa. O jogador B deve colori-la e desenharoutra regiao que faca fronteira com a anterior

e que deve ser coloridapor A. E assim sucessi-vamente. Observando-se que: (i) um so pontode contato entre duasregioes nao e conside-rado fronteira; (ii) naose permite regiao total-

mente rodeada por outra; (iii) duas regioeslimıtrofes nao podem ter a mesma cor. Perde ojogador que nao for capaz de colorir adequada-mente a regiao desenhada por seu adversario.

Referencias: M. C. Benarroch et al.,Nudos e Nexos: Redes En La Escuela, EditorialSintesis, 1989 • H. Eves, Introducao a Historia

da Matematica, Editora da UNICAMP, 1995• M. Guzman, Contos com Contas, Gra-diva, 1991 • O. Ore, The Four–Color Pro-blem, Academic Press, 1967 • Sıtio na internet:www.ipv.pt/millenium/Millenium24/12.pdf.

M. Carmelina Fernandes, LEM – UNICAMP

Humor

Numerologia da Besta

666 Numero da BestaDCLXVI Numero da Besta romana666,0000 Numero da Besta em alta precisao0,666 Numero da Milibesta1010011010 Numero da Besta binaria666 + 666 i Numero da Besta complexa00.666–666 Codigo Postal da Besta0–900–666–666 Fale com a Besta!

Apenas R$ 6,66 o minutoR$ 665,95 Preco de liquidacao da BestaBR–666 Rodovia da Besta6,66% Taxa de juros Bestial

Adaptado da revista “The College MathematicsJournal” 31 (2000)

Artigo

Flores, o Numero de Ouro e asFracoes Contınuas

Os numeros de Fibonacci e a proporcao aureasao onipresentes na natureza. O numero deouro φ = (1 +

√5)/2 ≈ 1.6180 aparece em

quase todos os arranjos de folhas, sementes eespirais em plantas das mais diferentes origens.O numero π ≈ 3.1416, razao entre o compri-mento da circunferencia e seu diametro, e outronumero muito conhecido da humanidade, masnao comum na natureza como o φ. Ainda as-sim, desperta a curiosidade e a imaginacao decientistas e leigos.

Quando uma planta como, por exemplo, o giras-sol, cresce, ela produz novas sementes no centroda flor que empurram as outras sementes parafora. A posicao de cada nova semente e tal que o

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angulo de rotacao em relacao a semente anteriore constante. Devido a esse processo de rotacaoaparecem padroes espiralados no nucleo da flor.Veja as figuras abaixo. A natureza escolhe oangulo de rotacao de forma que os arranjos defolhas, sementes e espirais em plantas fiquemdistribuidos uniformemente.

Dadas k sementes ao redor do centro da espiral,a semente mais recente sera a denotada por 1,a semente anterior por 2, e assim por diante, demaneira que a semente mais longe do centro e asemente de numero k. Aproximando a area decada semente por 1, a area da espiral sera k, e oraio sera

√k/π. Assim, a distancia do centro da

flor a cada semente varia proporcionalmente araiz quadrada do numero da semente. Se deno-minarmos o angulo de rotacao de β, assumindoque β seja constante, o angulo de rotacao dasemente k sera kβ. Se β for um multiplo raci-onal de uma volta completa (revolucao), isto e,β = r · 360o, com r racional, apos algumas vol-tas o angulo de uma n-esima semente coincidiracom o da primeira semente, o da (n + 1)-esimacom a segunda e assim por diante. Por exem-plo, se β = 60o, ou 1/6 de uma volta completa,a setima sementeestara alinhadacom a primeira,a oitava com a se-gunda, etc. Vejana figura ao ladoum exemplo dessecaso com 12 se-mentes. Na ilus-tracao a seguirexibimos o padrao da espiral que surge no casoem que r = 0.123. Note o aparecimento inicialde uma espiral que gradualmente se torna um

padrao periodico.

Esse tipo de padrao nao preenche uniforme-mente. Para que isso nao ocorra, r deve serescolhido irracional. Podemos entao nos per-guntar o que acontece se r for φ, π ou mesmo√

2. Estas questoes podem ser respondidas ob-servando a representacao dos numeros irracio-nais em fracoes contınuas. Uma fracao contınuae uma expressao da forma

f = a0 +1

a1 +1

a2 + · · ·

= [a0; a1, a2, . . .],

onde a0 e um numero inteiro e a1, a2, . . .sao numeros inteiros positivos. Um resul-tado importante e que qualquer numero realpode ser escrito como uma fracao contınuae, se o numero for racional a expansao e fi-nita. Como exemplo, vamos calcular primei-ramente a fracao contınua do numero raci-onal 10/7: 10/7 = 1.4185 . . . e, portanto,10/7 = 1 + 0.4185 . . . = 1 + 1/(1/0.4185 . . .) =1 + 1/2.3333 . . .; agora, 2.3333 . . . = 2 +0.3333 . . . = 2 + 1/(1/0.3333 . . .) = 2 + 1/3,ou seja, 10/7 = 1 + 1/(2 + 1/3) = [1; 2, 3].Aplicando o mesmo procedimento para π te-mos: π = 3.1415 . . . = 3 + 0.1415 . . . =3 + 1/(1/0.1415 . . .) = 3 + 1/7.0625 . . .; agora,7.0625 . . . = 7+0.0625 . . . = 7+1/(1/0.0625) =7 + 1/15.9965 . . .; continuando, 15.9965 . . . =15 + 0.9965 . . . = 15 + 1/(1/0.9965 . . . = 15 +1/1.0034 . . ., etc; portanto, π = [3; 7, 15, 1, . . .].Para o numero de ouro φ e a raız quadradade 2 temos as seguintes fracoes contınuas:φ = [1; 1, 1, 1, . . .] e

√2 = [1; 2, 2, 2, . . .].

A partir das fracoes contınuas podemos obteraproximacoes racionais, chamadas de fracoes re-

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duzidas. Para o caso de φ temos, [1] = 1, [1, 1] =2, [1, 1, 1] = 3/2, [1, 1, 1, 1] = 5/3, [1, 1, 1, 1, 1] =8/5, [1, 1, 1, 1, 1, 1] = 13/8, [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] =21/13, etc. Observe a ocorrencia da sequencia deFibonacci. Para π as primeiras fracoes reduzidassao, [3] = 3, [3, 7] = 22/7, [3, 7, 15] = 333/106 e[3, 7, 15, 1] = 355/113. Quando os numeros daexpansao se tornam grandes, a fracao reduzidase aproxima muito rapido de um numero raci-onal e assim, apos algumas voltas, percebemosfacilmente a formacao de um ciclo, o que e in-desejavel para a natureza, pois nao ha preenchi-mento com as sementes. Portanto, o melhor r aser escolhido deve ser φ, pois os termos da suafracao contınua, [1, 1, 1, 1, 1, . . .], sao os menorespossıveis, e consequentemente, os numeros dassuas fracoes reduzidas sao os menores tambem.Podemos observar esta analise a partir das figu-ras a seguir. Primeiramente, para r = π,

Observe o aprecimento de uma espiral, comoprevisto na discussao acima. O preenchimentonao se torna uniforme. Ja para r = φ, o preen-chimento e muito mais uniforme, como ilustradoabaixo.

Compare a simulacao acima com a foto exibidano inıcio do artigo. Deixamos para o leitor a

analise do caso r =√

2 = [1, 2, 2, 2, . . .].

Referencia: M. Naylor, Golden,√

2, andπ Flowers: A Spiral Story, Mathematics Maga-zine, 75, 163–172, 2002.

Marcela Asato, Graduada emMatematica Aplicada – UNICAMP & Lucio T.Santos, IMECC – UNICAMP

Passatempo Matematico

Cruzadas Naturais

Horizontais – A: Produto do numero de doisalgarismos uv pelo numero de dois algaris-mos vu onde u e v sao as raızes da equacaox2 − 5x + 4 = 0; o menor primo de tres algaris-mos nao nulos distintos. B: O maior quadradoperfeito de tres algarismos; 2008 · sin 30o. C:O maior numero palındromo de cinco algaris-mos formado com tres algarismos diferentes; ounico numero primo par. D: O menor numeroperfeito; o perıodo da dızima que representa afracao 1/7. E: O menor expoente na decom-posicao de 1400 em fatores primos; o produtodo segundo numero em D horizontal por 3. F:O numero das dezenas de 709. G: O resultadoda adicao na base 3: (10121)3 + (2112)3. H:O numero diferente de zero que se escreve domesmo modo em qualquer sistema posicional debase b, qualquer que seja b; o menor multiplode todos os numeros naturais; o menor numero

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formado pelos algarismos dos quatro menoresdivisores de 28.

Verticais – A: O maior primo menor que 60;o quadragesimo-segundo termo da progressaoaritmetica de razao 15 e primeiro termo iguala 2; o elemento neutro da multiplicacao. B:A diferenca entre a soma dos divisores de 769e 1; os dois ultimos algarismos da raiz qua-drada de 492804. C: O numero palındromo decinco algarismos que e multiplo de 6969; os doisultimos algarismos de 102. D: O numero emromanos DCCXLII no sistema decimal; o al-garismo das unidades de F horizontal. E: Onumero 1403 escrito na base 9; o menor primode dois algarismos. F: O produto de 5 pelo cubode 13; os dois ultimos algarismos do numero100, quando escrito na base 7. G: Um quintode 100; um numero cuja soma de seus algaris-mos e 12; o quadrado do menor primo. H: Omınimo multiplo comum de 43 e 797; o maiorprimo com apenas um algarismo.

M. Carmelina Fernandes & M. Lucia B.Queiroz, LEM – UNICAMP

Desafio Matematico

Torneio de Tenis

Quatro casais participarao de um torneio detenis em duplas mistas. Pelo regulamento dotorneio as duplas devem ser formadas por umhomem e uma mulher e cada participante naopode jogar com ou contra qualquer outro parti-cipante mais de uma vez. O torneio sera reali-zado em tres dias sucessivos com duas partidasdiarias. Distribua os participantes nas seis par-tidas, seguindo as condicoes do regulamento.

Extraıdo do livro “Amusements inMathematics” de H.E. Dudeney

Primos

Sabemos, desde crianca, que um numero natu-ral p > 1 e um numero primo se p tiver exata-mente dois divisores positivos; caso contrario,o numero p e chamado numero composto. O

Teorema Fundamental da Aritmetica garanteque todo numero natural n > 1 pode ser re-presentado, de modo unico, como um produtode numeros primos. O prıncipio multiplicativopermite concluir que se n = pα1

1 pα22 · · · pαr

r ,onde p1, p2, . . . , pr sao numeros primos, entaoo numero de divisores de n e dado por(α1 + 1) (α2 + 1) · · · (αr + 1).

Desafio 1: Um numero natural n possui exa-tamente tres divisores se e somente se n = p2,onde p e um numero primo. Estes numeros saochamados primos em segundo grau.

Em geral, e bem complicado saber se um dadonumero natural e primo ou nao, especialmentese sua representacao na base 10 exigir cente-nas de algarismos. Um problema antigo masinteressante (nao sei se esta completamente re-solvido) e o seguinte: entre os numeros na-turais que se escrevem na base 10, usandoum unico dıigito, quais sao primos? E claroque se este dıgito for diferente de 1, o talnumero e composto. E, entre os que se escre-vem usando apenas o dıgito 1, vale o seguinte:se A = 111 . . . 1, com n > 1 algarismos iguais aodıgito 1 e n composto, entao A tambem e com-posto. De fato, se n = a.b com a, b ≥ 2 entao:A = 10n−1 + 10n−2 + · · · + 10 + 1 = [10a(b−1) +10a(b−2)+..+10+1]×[10a−1+10a−2+· · ·+10+1].Verifique com cuidado tal fatoracao, escreva al-guns exemplos e constate que A e composto.Para n > 1, primo, pelo que me consta, exis-tem muitas respostas parciais, mas o problemacontinua aberto.

Desafio 2: Quais sao os valores de n primo, paraos quais A e composto? E claro que o compu-tador pode ajudar, mas e a reposta completa?E, para teminar, deixo o seguinte problema(tambem antigo), dividido em duas partes:

Desafio 3: (i) Encontre o menor multiplo de84 que se escreve na base 10 usando apenas osdıgitos 6 e 7; (ii) Mostre que todo numero na-tural, que nao e multiplo de 5, tem um multiploque se escreve na base 10 usando apenas osdıgitos 6 e 7. Nao conheco a demonstracao, see que ela existe!

Antonio C. Patrocınio, LEM – UNICAMP

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Cursos no LEM

MAT 0148: Atividades com BlocosLogicos na Educacao Infantil e SeriesIniciaisProfessora: Renata F. S. Bosso, CEFEM, Ame-ricana.Horario: 16/Agosto/2008, 8h30min – 17h30min.Inscricoes: 07/Julho a 01/Agosto/2008.

MAT 0037: Trigonometria doTriangulo Retangulo, Funcoes Trigo-nometricas e Problemas de AplicacaoProfessora: Dra. Maria Lucia B. Queiroz, LEM– UNICAMP.Horario: 16/Agosto/2008, 8h30min – 17h30min.Inscricoes: 07/Julho a 01/Agosto/2008.

MAT 0093: A Matematica nas SeriesIniciais por Meio de Atividades Inter-disciplinaresProfessor: Luiz Augusto Arlindo, E.E. Prof.Carlos F. de Paula, Campinas.Horario: 27/Setembro/2008, 8h30min –17h30min.Inscricoes: 01/Agosto a 05/Setembro/2008.

MAT 0166: Atividades Interdisci-plinares Envolvendo Matematica eFısicaProfessor: Dr. Andre K. T. Assis, IF – UNI-CAMP.Horario: 27/Setembro/2008, 8h30min –17h30min.Inscricoes: 01/Agosto a 05/Setembro/2008.

MAT 0018: Atividades com MaterialDouradoProfessora: Miriam S. Santinho, LEM – UNI-CAMP.Horario: 18/Outubro/2008, 8h30min –17h30min.Inscricoes: 05/Setembro a 07/Outubro/2008.

MAT 0163: A Matematica nos Es-portes: Um Recurso de Apoio aAprendizagem nas Aulas de Ma-tematicaProfessoras: Marılia F. Souza, NIPEC – UNI-CAMP & Dra. Otılia T. W. Paques, LEM –UNICAMP.Horario: 18/Outubro/2008, 8h30min –17h30min.Inscricoes: 05/Setembro a 07/Outubro/2008.

MAT 0168: Trabalho em Grupo:Vivencia e Reflexoes sobre sua In-fluencia na AprendizagemProfessora: Dra. Raquel N. M. Brumatti, PUC– Campinas.Horario: 29/Novembro/2008, 8h30min –17h30min.Inscricoes: 07/Outubro a 07/Novembro/2008.

MAT 100: Curso de Especializacaoem Matematica para Professores doEnsino Fundamental e MedioCarga Horaria: 360 horas.Previsao de Inıcio: Fevereiro/2009.Previsao de Inscricao:. Novembro/2008.Acompanhe as informacoes no sıtio:www.ime.unicamp.br/lem

Jornal do Professor de MatematicaElaborado pelo Laboratorio de Ensino de Matematica (LEM) do Instituto de Ma-tematica, Estatıstica e Computacao Cientıfica (IMECC) da Universidade Estadual deCampinas (UNICAMP). Correspondencia e Sugestoes: LEM – IMECC – UNICAMP,Caixa Postal 6065, 13083–970, Campinas (SP). Telefone: (0**19) 3521–6017. E-mail:jpm@ime.unicamp.br. Editores: Lucio T. Santos, M. Carmelina Fernandes, Claudina I.Rodrigues e Miriam S. Santinho. Os artigos assinados sao de responsabilidade dos autores.E permitida a reproducao de artigos, desde que seja citada a fonte.

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