Já definimos o coeficiente angular de uma curva y = f(x) no ponto onde x = x0.

Derivadas

h

xfhxfh

)()(lim 00

0

Chamamos esse limite, quando ele existia, de derivada de f em x0.

Definição de Derivada – Função Derivada

A derivada de uma função f(x) em relação à variável x é a funçãof´ cujo valor em x é:

h

xfhxfxf

h

)()(lim)´(

0

desde que o limite exista.

Calculando f´(x) a partir da Definição de Derivada

1) Escreva expressões para f(x) e f(x + h).

2) Desenvolva e simplifique o quociente de diferença

h

xfhxf )()(

3) Usando o quociente simplificado, encontre f´(x) calculando oLimite:

h

xfhxfxf

h

)()(lim)´(

0

• y’ y linha

• derivada de y em relação a x

• derivada de f em relação a x

• operação de derivada realizada em f(x)

Modos de representar as derivadas de uma função y = f(x).

dx

dydx

dy

dx

df

)(xfdx

d

Operação

dx

d)(xfy

dx

dfy ´

Operação para obter uma derivada em relação a x

Como ler os símbolos de derivadas:

´y

´´y

2

2

dx

yd

´´´y

)(ny

n

n

dx

yd

“y linha”

“y duas linhas”

“d dois y d x dois”

“y três linhas”

“n” ou “a derivada enésima de y”

“d n y d x n”

Exemplo – Aplicando a Definição

Encontre a derivada de exy 0x

1) xxf )( e hxhxf )(

2)

xhx

xhxh

xhxh

xhx

h

xfhxf

1

)(

)(

)()(

3)xxhx

xfh 2

11lim)´(

0

0, xxy

0,2

1' x

xy

Reta tangente que passa por (2, )

)2(2

22

1)2('

xmy

ym2

Regra 1 – Derivada de uma Função Constante

Se f tem o valor constante f(x) = c, então

.0)( cdx

d

dx

df

Exemplo – Usando a Regra 1

Se f tem o valor constante f(x) = 8, então

.0)8( dx

d

dx

df

De maneira similar,

02

dx

d e .03 dx

d

Regra 2 – Regra de Derivação para Potências Inteiras Positivas, Inteiras Negativas e Racional.

Se n for um positivo ou negativo inteiro ou racional, então1 nn nxx

dx

d

Regra 3 – Regra da Multiplicação por Constante

Se u é uma função derivável de x e c é uma constante, então

dx

duccu

dx

d)(

Exemplo 4 – Usando a Regra 3

(a) xxx

dx

d62.3)3( 2

Interpretação: Multiplicando-se cada ordenada por 3 para obter outraescala no gráfico y = x2, multiplica-se o coeficiente angular em cada ponto por 3.

(b) Um caso especial útil: a derivada da oposta de uma função derivável é a oposta da derivada da função. A Regra 3 com c = - 1 fornece

dx

duu

dx

du

dx

du

dx

d )(.1).1()(

Regra 4 – Regra da Derivada da Soma

Se u e v são funções deriváveis de x, então a soma das duas u + v éderivável em qualquer ponto onde ambas são deriváveis. Nessespontos,

.)(dx

dv

dx

duvu

dx

d

Exemplo 5 – Derivada de uma Soma

124

)12()(

12

3

4

4

x

xdx

dx

dx

d

dx

dy

xxy

Derivável em um Intervalo; Derivadas Laterais

Uma função y = f(x) será derivável em um intervalo aberto (finito ouinfinito) se tiver uma derivada em cada ponto do intervalo. Será derivável em um intervalo fechado [a, b] se for derivável no interior(a, b) e se os limites

h

afhafh

)()(lim

0

h

bfhbfh

)()(lim

0

Derivada à direita em a

Derivada à esquerda em b

existirem nas extremidades.

Figura 2.7: Derivadas em extremidades são limites laterais.

+ -

+ -

Derivada à esquerda de b

Derivada à direita de a

Derivadas à direita e à esquerda

Podem ser definidas em qualquer ponto do domínio de uma função.

Uma função terá uma derivada em um ponto se e somente se tiver derivadas à direita e à esquerda nesse ponto e se essas derivadas laterais forem iguais.

Exemplo – y = | x | Não é Derivável na Origem

Mostre que a função y = | x | é derivável em e , mas não tem derivada em x = 0.

)0,( ),0(

Solução À direita da origem, .1).1()(|)(| xdx

dx

dx

dx

dx

d

À esquerda

.1).1()(|)(| xdx

dx

dx

dx

dx

d

É possível que não haja derivada na origem porque lá as derivadas Laterais são diferentes:

Derivada de | x | à direita em zero:

.11limlim

||lim

|0||0|lim

00

00

hh

hh

h

hh

h

h

h

Derivada de | x | à esquerda em zero:

.11limlim

||lim

|0||0|lim

00

00

hh

hh

h

hh

h

h

h

Teorema 1 – Diferenciabilidade (Derivabilidade) Implica Continuidade

Se f tem uma derivada em x = c, então f é contínua em x = c.

Teorema 2 – Propriedade do Valor Intermediário para Derivadas

Se a e b são dois pontos quaisquer de um intervalo em que f é derivável, então f´ assume qualquer valor entref´(a) e f´(b).

Regra 5 Regra do Produto

Se u e v são deriváveis em x, então o produto uv também é e

Usando a Regra 5(do Produto) encontre a derivada de

)1

(1 2

xx

xy

Aplicando a Regra do Produto e :x

u1

x

xv12

333

22

22

21

11

12

)1

)(1

()1

2(1

)1

(1

xxx

xxx

xx

xxx

xdx

d

Regra 6 - Regra da Derivada do Quociente

Se u e v são deriváveis em v(x) 0, então o quociente u/v é derivável em x e

Exemplo: Usando a Regra 6 (do quociente) encontre a derivada de

1

12

2

t

ty

Aplicando a Regra 6 com e :12 tu 12 tu

2222

33

22

22

)1(

4

)1(

2222

)1(

2).1(2).1(

t

t

t

tttt

t

tttt

dt

dy

A derivada da função seno é a função cosseno

xxdx

dcos)(sen

Exemplo 1 – Derivadas Envolvendo Seno

(a) xxy sen2

)(sen2 xdx

dx

dx

dy xx cos2

(b)x

xy

sen

2

1sen)(sen

x

xxdxd

x

dx

dy

2

sencos

x

xxx

A derivada da função cosseno é a oposta da função seno

xxdx

dsen)(cos

Exemplo 2 – Revendo as Regras da Derivada

(a) xxy cossen

)(sencos)(cossen xdx

dxx

dx

dx

dx

dy )(coscos)sen(sen xxxx

xx 22 sencos (b)

x

xy

sen1

cos

2)sen1(

)sen1(cos)(cos)sen1(

x

xdxd

xxdxd

x

dx

dy

2)sen1(

)cos0(cos)sen)(sen1(

x

xxxx

2)sen1(

sen1

x

x

xsen1

1

Derivadas de Outras Funções Trigonométricas Básicas

xxtgdx

d 2sec) (

xtgxxdx

d sec)(sec

xxdx

d 2cosec) cotg(

xxxdx

d cotg cosec) cosec(

Exemplo 5 – Derivadas da Função Tangente

Encontre d(tg x)/d x

Solução

x

xdxd

xxdxd

x

x

x

dx

dxtg

dx

d2cos

)(cossen)(sencos

cos

sen) (

x

xxxx2cos

)sen(sencoscos

x

xx2

22

cos

sencos

xx

22

seccos

1