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ESFORÇOS MÃX1MOS EM PONTES TIPO GRELHA
Henrique Innecco Longo
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS
DE PÕS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO
DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÃRIOS PARA A OB
TENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM Cil'.NCIAS (M.Sc.)
Aprovada por:
e Carlos Henrique Holck
(Presidente)
:::;.%, .,,, . o J. Q<Lµ., o:. Fernando L. Lobo Carneiro
~_..~r. ·-~-e_:;..,.----------~ .. ---;_·
RIO DE JANEIRO, RJ -.BRASIL
ABRIL DE 1979
i
LONGO, HENRIQUE INNECCO
Esforços Mãximos em Pontes Tipo Grelha
[Rio de Janeiro] 1979.
VII, 217p. 29,7cm (COPPE-UFRJ, M.Sc.,
Engenharia Ctvil, 1979).
Tese - Univ. Fed. Rio de Janeiro, Esc.
de Engenharia.
l. Pontes I. COPPE/UFR.J II. Titulo
(serie).
a minha filha
MARIANE
i i i
AGRADECIMENTOS
A meus pais, por tudo que fizeram pela minh~ for
maçao.
à minha esposa, pelo incentivo permanente.
Ao professor Carlos Henrique Holck, pelas suges
tões e orientação deste trabalho.
Ao professor Fernando Lobo Carneiro, pelos ensina
mentas recebidos.
Ao Conselho Nacional de Peiquisas, pela bolsa de
estudos oferecida durante o perfodo de tempo integral.
à Coordenação dos Programas de Pós-Graduação de
Engenharia~ pela oportunidade concedida para a realização de~
te trabalho.
SINOPSE
O objettvo deste trabalho ia determinação de es
forços mãximos em pontes rodoviãrtas, atravis de uma progra
mação .:~m computador. , A superestrutura da ponte e formada
por uma grelha que pode ser reta, esconsa, simplesmente apo!
ada ou contínua.
A pesquisa da posição mafs desfavorãvel do ~
ve1
culo, e feita por um mitodo de procura direta, levando-se em
conta o conceito de superfícies de fnfluincia. As ordenadas
dessa superfície, no interior da grelha, são obtidas atravês
de uma função de interpolação.
O programa fornece os momentos fletores mãximos
devido ãs cargas mõveis e os coeficientes {;~e distribuição
transversal, que poderão ser utjlizados na determinação dos
esforças cortantes mãximos.
ABSTRACT
The scope of this work is the determination of
the maximum forces in highway bridges, by a computer program.
The bridge superstructure is composed by a grid which can be
orthogonal, skew, simply supported or continuous;
The searching of the unfavorable vehicle position
is done by a direct search method, considering the influence
surfaces concept. The surface1 ordinates in the interior
grid, are obtained by a interpolation function.
The program gives the maximum bending moments
dueto moving loads and the transve~sal distributi-0n
coefficients, which can be utilized in the determi~ation of
maximum shear forces.
fNDICE
CAP!TULO I - INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 01
1.1 - Objetivos .................................. ; .. 01 1.2 - Definiçio de ponte tipo grelha ................ 04 1.3 - Comportamento estrutural •.•................... 06 1.4 - Considerações sobre a contribuiçio da laje .... 07 ,:: 'i"":..)
l .5 - Vantagens estruturais 1.6 - Aspectos construtivos .............. ;,. ......... .
08
08
CAP!TULO II - REVISÃO DA LITERATURA .................... 10
2.1 - Métodos de anãlise de pontes ...............•.. 10 2.2 - ~eorta da Equivalincia Elãstica de Huber ..•... 12 2.3 - Método de Guyon-Massonnet ..................... 13 2.4 - Método de Pelikan-Esslinger ................... 15 2.5 - Método de Engesser-Courbon .................... 15 2.6 - Método de Leonhardt ..•........................ 16
CAP!TULO III - ANÃLISE DA GRELHA PELO MtTODO DA RIGIDEZ. 19
3.1 - Hipóteses consideradas ........................ 19 3.2 - Método da Rigidez ......••................•.... 2\ 3.3 - Matriz de rigidez de um membro ................ 24 3.4 - Geração da matriz de rigidez global .......•... 25 3.5 - Cargas externas aplicadas .........••.......... 27
CAP!TULO IV - SUPERF!CIES DE INFLUENCIA ................ _ 30
4.1 - Superffcies de influincia nas grelhas ......... 30 4.2 - Expressio analftica das superffcies de influin-
cia de momento fletor ............... , ......... 31 4.3 - Derivadas parciais nos pontos nodais .......... 46 4.4 - Volumes de influincia ......................... 52
CAPITULO V - CARGAS MÕVEIS ........ ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1 - Cargas mõveis em pontes rodoviãrias .....•..... 55 5.2 - Coordenadas das rodas do veículo .............. 55 5.3 - Posições extremas do veículo ..........•....... 58
CAPITULO VI - ESFORÇOS MÃXIMOS : ..•............. , ....... 60
6.1 - Definiçio da Funçio Obj~tiva .................. 60 6.2 - Mitodo de Procura Direta FOMAX ................ - 61 6.3 - Esforços devido is cargas de multidio ......... 75 6~4 - Momentos Fletores máximos ..................... 76
6.5 - Esforços Cortantes mãximos .................... 76
CAPITULO VII - PROGRAMA GRELHA ......................... 82
7.1 - Finalidades do programa grelha ................ 82
7.2 - Entrada de dados .............................. 83 7.3 - Definiçio das variáveis ....................... 86 7.4 - Diagramas de blocos ........................... 87
CAPITULO VIII - EXEMPLOS NUMrRICOS ..................... 121
CAPITULO IX - DISCUSSÃO DOS RESULTADOS ................. 156
9.1 - Comparaçio dos coeficientes de distribuiçio ... 156 9.2 - Comparaçio dos Momentos Fletores Máximos .•.... 158
CAPITULO X - CONCLUSÕES ................................ 1 61
REFERl:NCIAS BIBLIOGRÃFICAS .......................... 162
ANEXO I - Listagem do programa ...................... 165
1
CAPITULO I
INTRODUÇI\O
1 .1 - Objetivos
Em pontes rodoviãrias, os esforços máximos depe~
dem essencialmente da posiçio mais desfavorãvel das cargasm§
veis. Para resistir a estes esforços extremos, devem ser prg
jetados todos os elementos estruturais de uma ponte.
A finalidade desse trabalho visa determinar tais
esforços mãxtmos em pontes com superestrutura em grelha reta,
esconsa, simplesmente apoiada ou contínua.
Por ser uma estrutura altamente ')fi:j:~e'restãtica, a
resoluçio do sistema::: formado pela grelha requer .~m}!~,:}grande
quantidade de. cãlculos m.atemãticos, tornando a soluçio manual
praticamente irrealizãvel. O problema somente poderá ser r~
solvido por mitodos aproximados ou atravis de programas comp~
tacionais.
No presente estudo, foi elaborado um programa de . -computador que calcula os momentos fletores maximos, levando-
se em conta o conceito de superfícies de influincit. A pe§
quisa da posiçio mais desfavorável do veículo i feita por um
mitodo iterativo, denominado Mitodo de Procura Direta Fomax.
Os momentos fletores máximos, para cada seção da estrutura,
sao determinados pela soma das cargas m5veis e permanentes.
A descontinuidade da iuperfície de influincia de
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TRANSVERSINA
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LONGARINA
FIG. 1 ~ SEÇÃO TRANSVERSAL DE UMA PONTE EM GRELHA
GUARDA - CORPO
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LAJE 1
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FfG. 2 - CORTE INFERIOR DE UM TABULEI~O DE PONTE EM GRELHA
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esforço cortante, que se propaga ao longo da estrutura, difi
culta a utilização de um processo iterativo genêrico. Para
solucionar esta questão, o programa elaborado fornece os coe
fictentes de dtstribuição transversal, que poderão ser empr!
gados na obtenção dos esforços cortantes máximos.
1.2 - Definição de Ponte tipo Grelha
Uma ponte tipo grelha ê constttuida por um tabu
leiro, formado por uma laje flexfvel e por um sistema de ~i
gas longitudtnais (longarinas) e transversais (transversinas).
As vigas são rigidamente ligadas em suas inters!
çoes, sendo que os nõs são capazes de transmitir momento fle
tor, momento torsor e esforço cortante de um membro a outro,
quando sujeitos ãs cargas verticais.
Para atender ãs exigências do método proposto, as
longarinas devem estar sempre paralelas entre si, igualmente
espaçadas ou não, assim como as transversinas, dependendo das
caracterfsticas de cada projeto.
SAWK0 1 recomenda, para efeitos práticos, que as
transversinas devem estar situadas a uma distância de duas vê·
zes e meta a distância entre as longarinas.
De acordo com o tipo de apoio das longarinas, a
estrutura pode·estar simplesmente apoiada ou continua.
Nas pontes em que as longartnas formam um ângulo
reto com as transverslnas, a grelha ê denominada reta. Em ca
so contrário, isto ê, quando este ângulo for diferente de no
venta graus, ela ê denominada esconsa.
5
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( a l ( b)
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FIG. 3 - GRELHAS RETA, ESCONSA, CONTINUA E EM BALANÇO
6
l .3 - Comportamento Estrutural da Ponte tipo Grelha
Sob a açio de cargas verticais, a grelha iri se
deformar provocando uma tteraçio entre todos os elementos es
truturais. Este efeito i devido i continuidade da transver
sina e da ligaçio rfgida com as longarinas. As vigas sofrem
deslocamentos verticais e rotações das seções em torno de s~s
eixos, produzindo tensões de flexio, torçio e cisalhamento.
Deste modo, a grelha apresenta um comportamento semelhante ~o
das placas.
Quando uma das longarinas i carregada, as demais
vigas principais sio tambim solicitadas, contribuindo para a
viga diretamente carregada apenas uma parcela da carga total.
A repartição das cargas depende principalmente do valor da ri
gidez das vigas transversais. Se a rigidez i nula, a repar
tiçio e pequena e toda a carga vai praticamente para a viga
diretamente carregada. Para um valor dl rigidez infinita, a
transversina se desloca, teoricamente, paralelamente a~ mes
ma para a~ cargas centradas e girando com um certo ingulo pa
ra as cargas excêntricas.
As pontes que possuem longarinas com grande rig!
dez.i torçio e transversinas com grande rigidez i flexão, o
efeito de grelha ê mais favorivel, resultando deformações a
proximadamente iguais nas transversinas, mesmo para as car
gas excêntricas.
As transversinas possuem um papel importantfssi
mo na estrutura, pois alim de serem responsiveis pela distri
buiçio de cargas,· enrijecem as almas das longarinas e funcig
7
nam tambim como apoios recalcivets dessas vigas. Por conse
guinte, o aumento do número de transversinas provoca uma dis
tribuição mats uniforme~ dos esforços.
A laje da plataforma tambim e um elemento impor
tante de distribuição de cargas, tendo em vista que as vigas
são ltgadas entre si atravis dela.
1.4 - Considerações sobre a Contributção da Laje
Nas pontes em grelha, com uma laje superior fle
xivel, em que as vigas são os principais elementos estrutu
rais, a anilise da estrutura pode ser feita como uma grelha
aberta equivalente.
Uma parcela da laje, em cada painel, pode ser con
siderada atuando junto com as vigas da estrutura. Essa par
cela de contrtbuição da laje i levada em conta na inircia ~s
vigas atravis da largura efetiva, supondo uma seção transver
sal em forma de T.
A largura efetiva da mesa de compressao
lor tal que as tensões de compressão são consideradas unifor
mes, substituindo a largura real da mesa, sem modificar a ca
pacidade resistente da viga. O valor dessa largura efetiva
depende de diversos fatores, tais como do tipo de apoio das
vigas, da distância entre pontos de momento nulo, tipo de car
regamento e das dimensões das vigas.
Experimentalmente, SAWK0 2 realizou testes em mo
delos de plataformas de pontes, comprovando a boa precisão do
conceito de largura efetiva.
8
1.5 - Vantagens Estruturais da Ponte tipo Grelha
Umas das vantagens estruturais da ponte em gre
lha sobre os tipos convencionats, reside no seu alt-0 grau de
resistincia i torçio e a flexão.- Por outro lado, a sua gra~
de capacidade resistente i açio de cargas concentradas prov~
nientes. de veiculas pesa·dos, constitui uma de suas principais
caracteristicas. A continuidade da rigidez i flexão das trafl§.
versinas, assegura uma boa capacidade de distribuição de car
gas, resultando um fator de segurança relativamente alto pa
ra a estrutura.
Em conseqUincia dessas vantagens, o comportamento
em conjunto de todos os elementos estruturais, permite uma
maior economia em relação is demais estruturas sem capacidade
de distribuição de cargas. Os ensaios efetuados em vãrias
pontes jã construidas, demonstraram a grande capacidade de dis
tribuição de cargas apresentado pelos tabuleiros de pontes
em grelha.
1.6 - Aspectos Construtivos
As pontes em grelha podem ser de concreto armado,
concreto protendido, metãlicas ou mistas.
Nas pontes de concreto armado, as vi~as podem ser
concrJ!ta:dà.'s no 1 oca 1 ou pre-mol dadas. O transporte das 1 on
garinas pré-moldadas e feito por meto de carros especiais e
são posicionadas por guindastes, no caso de viadutos, ou por
treliças de lançamento: no caso de pontes. A utilização des
se tipo de viga, conduz a um processo construtivo mais rãpi-
9
do e econõmico. Em inümeras pontes foram usadas as vigas
pré-moldadas, como por exemplo na Ponte sobre o Rio Paraná
em Presidente Epitácio (Rodovia São Paulo - Mato Grosso), com
vigas de 45 metros de vão.
Na ponte St. Alban em .,éasiléia, Suiça, foram u
tili2ados mõdulos pré-mo~dados de grelha. Tais mõdul~. con!•
tituidos de vigas pré-moldadas, são apoiados em longarinas
principais, previamente concretadas.
No Elevado da Avenida Perimetral, a superestrut~
ra é do tipo mista, com a laje de concreto armado e vigas me
tãlicas.
Vários fatores influenciam a escolha adequada do
tipo ideal de estrutura. Na maioria dos casos, esta escolha
está relacionada com os aspectos econõmicos, condições locais
de trabalho, dimensões da ponte e equipamentos disponíveis.
Somente um estudo comparativo, com base nas características
de cada projeto, poderá indicar a melhor solução.
10
CAPfTULO II
REVISÃO DA LITERATURA
2.1 - Métodos de Análise de Pontes
Antes do aparecimento dos métodos clássicos de
análise de pontes, os projetistas tinham grandes dificuldades
no cálculo de estruturas em grelha. Intcialmente, o proble
ma foi contornado pelo método tradicional, que estudava os e
lementos estruturais independentemente do conjunto. Neste pr~
cedimento, a determinação dos esforços era bastante facilita
da, pois desprezava a iteração entre as vigas. No entanto,
os dados experimentais comprovaram que as tensões obtidas di
feriam dos valores medidos na prática.
Um dos primeiros estudos do comportamento de uma
ponte em grelha, considerando a influência da distribuição
de cargas, foi realizado por ZSCHETSCHE em 1898. A aplica
çao da teoria das placas ortõtropas nestas estruturas so ocor
reu em 1914.
HUBER estudou as lajes de concreto armado com pro
priedades elásticas diferentes em duas direções ortogonais,
ou seja analisando-as como placas ortõtropas. O Método de
Equivalência Elástica, basead~ na teoria de HUBER, consiste
basicamente em substituir a estrutura real por uma placa or
tõtropa equivalente.
Apõs estes estudos iniciais, vários métodos de anã
11
lise foram propostos, baseados nos princípios da resistência
dos materiais, com a finalidade de simplificação do projeto.
Diferentes processos aproximados foram estabelecidos, facili
tando os cálculos mas prejudi can.do ãs vezes a precisão dos re
sultàdos.
Em 1946, GUYDN estudou a possibi 1 idade de aplicar
o principio de equivalêncta elástica a um sistema de pontes
em grelha. Entretanto, no mêtodo de GUYON somente foram ana
lisadas estruturas com rigtdez ã torção desprezíveis.
Em 1950, MASS0NNET 3 aprimorou o mêtodo de GUYON,
introduzindo na análise o efeito de torção.
BARtS 4 aperfeiçoou este processo.
Mais tarde,
- . 8 No metodo de PELIKAN-ESSLIN~ER e utilizada a
equaçao de HUBER simplificada, desprezando a rigidez a tor
çao e uma das rijezas ã flexão. O mêtodo de ENGESSER-COURBON 6,
atribuido a ENGESSER e desenvolvido na França por COURBON e
MALLET, considera a transversiana com rigidez infinita sem o
efeito de torção. Já no processo de LEONHAROT 5, a estrutura
real ê substituída por uma grelha com longarinas ligadas por
transversinas flexíveis. No Brasil, FERRAz 1º aplicou o de
senvolvimento em sêries de Fourier para as cargas, esforços
e deformações ao longo das vigas principais.
Com o aparecimento dos computadores, novos mêto
dos de análise foram propostos. VAz 11 estudou a grelha pelo
Método dos Elementos Finitos, utilizando um elemento tridi
mensional, sem contudo determinar os esforços para as cargas
mõveis.
12
As investigações experimentais em modelos reduzi
dos e em estruturas reais, mostraram uma precisão satisfató
ria para estes métodos.
2.2 - Teoria da Equivaléncia Elãstica de HUBER
Este estudo é baseado na teoria das placas ortõ
tropas e o seu principio fundamental consiste em substituir
a estrutura real da ponte em grelha, por uma placa ortõtropa
equivalente de espessura constante. Para que a estruturar~
al, caracterizada por um.sistema discreto de vigas, possa ser
substituid! pelo sistema continuo, caracterizado pela placa
ortõtropa, é necessãrio que os espaçamentos entre as vigas
sejam pequenos em relação ãs dimensões externas di!'.)p_gntà.,t:,As
rijezas são consideradas uniformem'ente distribuidas em duas
direções e além disso, elas não dependem das condições de
bordo da placa ou da distribuição das cargas atuantes.
A equação diferencia 1 c[a~:;p,laç~ ortQ,tr.g_p'a ou eque
çao de HUBER é a seguinte:
2H
w
p(x,y)
p(x,y)
rijezas a flexão nas, direções X e Y
rigidez a torção ··\ ' ?1 .·.,~\ e.f e.t1.v.a ... . ·~· _....,. . --·
deformação da placa
carregamento externo
A solução da equaçao de HUBER, tendo em vista as
1 3
condições de bordo do problema e o tipo de carregamento, for
nece as tensões em qualquer ponto da placa.
Embora a estrutura real não possa ser substitui-- . 9 . da completamente pela placa ortotropa, SZILARD afirma que de
acordo com os dados experimentais, esta idealização estrut~
ral conduz a resultados bastante razoãveis.
Esta teoria de HUBER é pouco utilizada na práti
ca, devido as dificuldades matemáticas na resolução da equ~
çao diferencial. Entretanto, ela serviu de base para todos
os métodos aproximados de tálculo.
2. 3 - Método de GUYON - MASS0NNET 3' 7 ·
O objetivo desse método, também chamado de método
dos coeficientes de distribuição transversal, consiste na d~
terminação da distribuição transversal de cargas ao longo das
longartnas, para os diversos graus de rijezas transversais e
resistência a torção.
A solução desse problema é feita através da equi
valência elástica de HUBER, levando-se em conta a equação di
ferencial das placas ortõtropas. O comportamento da ponte é
definido pelo parámetro de flexão e, que caracteriza as pro
priedades de flexão da estrutura, e pelo parimetro de torção
a, que caracteriza a influência relativa da torção.
Neste método, o carregamento real e substituido
por uma carga senoidal ao longo de uma linha, no sentido lon
gitudinal da ponte. MASSONNET justifica esta hipõtese, expli
cando que em pontes rodoviárias o carregamento obtido pela so
14
ma das cargas mõvets com as cargas permanentes tem o aspecto
senoidal.
O coeficiente de distributção transversal ê defi
nido como a relaçio entre o deslocamento verti.cal W de um
ponto da estrutura, so~ o efeito de uma carga senoidal em li
nha, pelo deslocamento vertical W0
do mesmo ponto, sob o
efeito da carga dtstribuida senoidalmente por toda a ponte:
K(y)
O coeficiente K depende do parimetro de flexão,
do parimetro de torção, da excentricidade relativa da carga
senoidal e da ordenada relativa do ponto considerado.
GUYON determinou os valores· do coeficiente~ dis
tribuição para pontes sem rigidez ã torção (a. = O) e MASSONNET
para pontes com rigidez ã torção infinita (a.= 1). Os valo
res intermediirios são .obtidos pela seguinte equaçao:
Os valores de· Ka sao fornecidos em tabelas nu
mêricas por BARtS 4 em função do parãmetro de flexão.
A determinação do momento fletor miximo nas lon
garinas e feita por tentativas para uma disposição adequada
das cargas no sentido transversal. Assim sendo, através dos
coeficientes de distribuição transversal pode-se pesquisar a
repartição de cargas mais desfavorivel. ·
1 5
Vários autores verificaram experimentalmente es
te método em modelos e obras construidas, demonstrando a sua
eficiência. Segundo MASS0NNET 3, este processo foi comprova
do em pontes executadas na Bélgica, Inglaterra, Alemanha,
Canadá e Japão.
2 .4 - Método de Pf;L•IKAN-ESSLINGER8
Este método, normalmente utilizado em pontes me
tãl i cas, é baseado na equação de HUBER sob uma forma mais sim
plificada. O tabuleiro, considerado como placa ort5tropa, é
apoiado rigidamente nas vigas pfincipais e elasticamente nas
longarinas.
Na primeira etapa do método, as vigas principais
sao consideradas rígidas. Em seguida, as longarinas são co~
sideradas como apoios elásticos, sendo que os esforços finais
sao calculados por superposição desses dois casos.
A rigidez ã flexão D e a rigidez ã torção H, X
sao desprezadas por serem pequenas em relação ã rigidez a
flexão Dy. O cãlculo é feito por faixas apoiadas nas tran~
versinas, de maneira que a equaçao de HUBER tem o seguinte as
pecto:
2.5 - Método de ENGESSER-COURaoN 6
A hip5tese básica do método e que as transver-
16
sinas sao consideradas com rigidez infinita, desprezando-se
assim o efeito de torção. Por esta razão, o eixo d1a, trâ'ils,-.... . ...,.
,v1e:r,~jl~.ª~.::::A,~O ·l!!ª.G:fe~. reto após a deformação, segundo uma equ!!
ção do tipo:
y = a + bx
O problema fundamental do método consiste em de
terminar as reaçoes para uma carga f, atuando na transversi
na e supondo as longarinas igualmente espaçadas. Essas rea
çoes são calculadas através das equações de equilfbrio ~ for
ças, sendo que cada reaçao sera considerada proporcional ao
deslocamento vertical e ao momento de inércia correspondente
a cada longarina.
Nos pontos de cruzamento entre as longêrinas e
as transversinas não carregadas, nenhuma reaçao é considera
da. · O tabuleiro se comporta como se nao possui sse transver
sinas e desta forma a carga P se distribui entre as long!!
rinas, proporcionalmente a um coeficiente :t~e distribuição
transversal.
Na p'f'ãtica, este método somente é aplicado para
pontes de pequena largura em relação ao vão, para que as trans
versinas possam ser consideradas suficientemente rfgidas.
2.6 - Método de LEONHARDT 6
Neste método, a estrutura em grelha formada por
longarinas, transversinas e a laje, é substituida por um sis
l 7
tema de vigas longidutinais ligadas por vigas transversais,
desprezando a laje como elemento de distribuição transversal.
A ligação das longarinas com .as transversinas i feita atra
vis de uma articulação e por esta razão, as vigas transver
sais são consideradas flexiveis e apoiadas nas vigas longitu
dinais.
Segundo LEONHARDT, a distribuição transversal de
cargas e definida pelo grau de rigidez Z, que caracteriza a
estrutura em grelha:
z = i k
.e, a - vao e espaçamento das longarinas
J, J
k
i
momento de inircia das transversinas e longarinas
coeficiente das condições de apoio
,.) coeficiente da transversina
Quanto maior o valor do grau de rigidez, melhor
serã a distribuição transversal, de tal forma que para tran~
versinas muito rigidas conduz a uma distribuição mais efici
ente.
O coeficiente de distribuição transversal ri~ e
definido.como sendo a reação correspondente a longarina i,
quando a carga unitãria atua n·a longarina .::J)·'.b A.) obtenção
·desses coeficientes i feita pelas equações de equilibrio de
forças e pela igualdade de flechas nos pontos nodais.
Uma das vantagens do mitodo, i que ele pode ser
18
estendido para grelhas com longarinas engastadas ou contfnu~
e pàra grelhas com longarinas extremas reforçadas.
19
CAPfTULO III
ANÃLISE DA GRELHA PELO Mrrooo DA RIGIDEZ
3.1 - Hipóteses Consideradas
Na anãlise da grelha pelo método da rigidez, o
tabuleiro da ponte é substituido por um sistema de grelha e
quivalente, constituido por longarinas e transversinas, com"'
a laje contribuindo nos momentos de inércia das vigas.
A estrutura é considerada reticulada, isto e, os
membros sao longos em relação is dimensões das seções trans
versais~ Além disso, esses elementos devem ser prismãticos,
flexíveis e rigidamente conectados nos pontos nodais.
Por hipótese, o material da estrutura segue a lei
dê HOOKE, os deslocamentos são pequenos em comparaçao com as
dimensões dos elementos e as iteraçõés de flexão-compressão
são desprezadas. Deste modo, a grelha é suposta linearmente
elãstica e é vãlido o princípio de superposição dos efeitos.
A estrutura é estudada em relação a um sistema
ortogonal de eixo globais (X, Y, Z) e a um sistema de eixos
da grelha (XGR, YGR, ZGR).
No caso de grelhas esconsas, as coordenadas dos
pontos nodais da estrutura são estudadas em relação aos ei
xos da grelha. As coordenadas de um ponto J em relação a
esses eixos são dadas pelas seguintes fórmulas:
20
/\ y Y GR "
'---.__..~--'----'---'------_,.__-----,.__ __ >XGR X GR( J) 1 NLG
o'----------x--"---(J~l-------~> x
·------------·----- - --
FfG. 4 - COORDENADAS DE UM PONTO J
21
YGR(J) = Y(J) - Y(l) sen e
O ângulo de esconsidade e e definido por:
sen e= Y(NJ) ~ Y(NLG) DI
X(NJ) - X(NLG) cos e ~. -------
DI
Cada nõ rígido da estrutura pode sofrer uma trans
lação, perpendicular ao plano da grelha, e uma rotação sobre
os eixos ortogonais neste mesmo plano. Para que isso aconte
ça, as cargas externas atuantes são sempre normais ao plano
da grelha e os vetores momentos aplicados se situam neste pla
no. Em conseqHência, os elementos estruturais estarão subme
tidos â torção, flexão e cortante.
3.2 - Método da Rigidez 12 •13
O Método da Rigidez ou Método dos Deslocamentos
tem por finalidade a determinação das forças internas e ex
ternas, as quais devem satisfazer as condições de equilíbrio
e produzir deformações compatíveis com as condições de apoio.
As incógnitas do método são os deslocamentos, translação e
rotação, dos pontos nodais da estrutura.
Para a solução do problema estrutural, sao adiei
onadas restrições nos pontos nodais para impedir os desloca-
22
mentos nestes pontos e sao determinadas as forças necessãrias
para produzir tats restrições. Em seguida, fazemos atuar os
deslocamentos nodais até que as forças de restrição desapare
çam. Conhecidos os deslocamentos, os esforços são c~lculados
pelo princípio de superposição dos efeitos.
As equaçoes de equilíbrio do nõ sao expressas em
termos dos deslocamentos:
(AJ) vetor das açoes externas
(AJL) vetor das açoes nos nos 1 i v re s e restringidos
(SJ) matriz de rigidez global da estrutura
(D J) vetor dos deslocamentos
A matriz de rigidez global da estrutura envolve to
dos os nos da estrutura. Os coeficientes dessa matriz são de
terminados, supondo toda a estrutura restringida, aplicando
se separadamente deslocamentos unitãrios nos nos e calculan
do as açoes de restrições resultantes.
Para o caso de uma estrutura em grelha, o numero
de deslocamentos desconhecidos ou numero de graus de liberda
de é calculado por:
N = 3 x NJ - NR
NJ numero de nos da estrutura
NR numero de restrições
23
1zM 1 .
1 1 -:,
/\ //YM /\
3 /// 6
/ /
/ '/ > 1 JJ 1 4
>-----> l JK XM •
FIG. 5 - VETORES DESLOCAMENTOS NOS EXTREMOS DO MEMBRO DA GRELHA
24
3.3 - Matriz de Rigidez·de um Membro da Grelha
Os coeficientes da matriz de rigidez (SM) domem
bro de grelha, sao as açoes de restrição de um membro res
tringido, devido a deslocamentos unitários aplicados nos ex
tremas deste membro.
Um elemento S(i ,j) desta matriz ê definido como
uma força produzida na direção i para um deslocamento uni
tãrio na direção j, sendo os demais deslocamentos nulos. A
matriz (SM) para um membro de seção constante, em relaçio
a um sistema de eixos locais, ê uma matriz quadrada e simê
tri ca. Esta matriz, forneci da por GERE 12 , depende dos segui!!
tes parâmetros:
momentos de inércia em relação aos eixos locais do
membro
E, G m6dulos de elásticidade caracterfstic~s do material
L -,comprimento do membro
A matriz (SM) ê transformada dos eixos locais
para os eixos globais, com o auxflio da matriz de rotação de
transformação (RJ), para a geração da matriz (SMD):
sendo: .: _;~;_~.li
(SMD) = (RT)T x (SM) x (RT)
( RT) • [:;:
ex
(R) = -eY
g o
ey
ex
o
o
o
l
25
ex, ev - co - senos diretores do membro
{RT)T - matriz transposta de {RT)
A matriz auxiliar (SMR) fica definida por:
{SMR) = {SM) x {RT)
Portanto, a matriz (SMD) sera:
{SMD) = (RT)T x {SMR)
3.4 - Geração da Matriz de Rigidez Global
A matriz de rigidez global (S) i gerada ·atravis
da transferincia dos elementos da matriz de rigidez do ele
mento (SMD), em relação aos eixos globais. A sua obtenção i
feita pela soma das contribuições das matrizes de rigidez ~s
elementos.
A matriz (S) i montada de tal forma que os Índi
ces correspondentes aos graus de liberdade, fiquem separados
dos Índices correspondentes ãs restrições de apoio. Para isso,
os índices dos deslocamentos dos nõs são modificados, tendo
em vista as restrições dos deslocamentos.
A numeraçao dos nõs da estrutura deve ser feita de
tal modo que a diferença de numeração destes pontos seja a
me.(!é>]:, possível. Desta maneira, os elementos não nulos da ma
26
1
U BW
1
UBW
1 7
o :1
1
-~> 1 11
1
N N
1/ 1/
~ :/ 01 l/
o
N
FIG. 6 - ARMAZENAMENTO DA BANDA SUPERIOR DA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL
~ ·_
1
27
trtz (S) ftcarão disposto~ ao longo da diagonal.
A largura superior de banda (UBW) da matriz (S) i
defintda como a mixtma diferença entre o fndice da coluna de
um elemento não nulo e o rndice da coluna da diagonal princi
pal, relativo a uma mesma linha. Na maioria dos casos, a mi
nimização da largura da banda acarreta uma redução do tempo
necessirio para a resolução do sistema de equações.
Durante a resolução do sistema de equações, somen
te sao armazenados os elementos da banda superior de (S). Es
ses elementos são dispostos em uma matriz retangular, de mo
do que os elementos da diagonal principal de (S) fiquem na pri
meira coluna da nova matriz.
3.5 - Cargas Externas Aplicadas na Estrutura
As ações externas aplicadas na grelha podem ser
de dots tipos: cargas aplicadas diretamente nos pontos nodais
e cargas aplicadas nos membros da estrutura.
As cargas aplicadas nos nõs são sempre referidas
ao sistema de eixos globais da estrutura. Tais cargas podem
ser as componentes do vetor momento nas direções X e Y, e uma
força concentrada paralela ao eixo Z. Para o nõ K essas car
gas são as seguintes:
MX = A(3K - 2)
MY = A (3K - 1 )
PZ = A(3K)
28
Por outro -lado, as cargas aplicadas nos membros
sao sempre referidas ao.sistema de eixos locais .do membro
(XM, YM, ZM). Esse carregamento provocari ~o· aparecime~to
das ações de restrições (AML) nos extremos do membro bi-en
gastado da grelha.
29
ZM
"AML·s
FIG. 7 - AÇDES DE RESTRtÇDES NO MEMBRO DA GRELHA
30.
CAP!TULO IV
SUPERFICIES DE INFLUtNCIA
4.1 - Superfícies de Influência nas Grelhas
A principal finalidade das superfícies de influ
ência e a de analisar os efeitos das cargas mõveis agindo so
bre uma estrutura bi-dimensional. As formas destas superff
cies são muito importantes, pois elas nos indicam as regiões
da estrutura a serem carregadas para a obtenção dos esforços
mãximos.
As superfícies de influência sao estudadas de ma
neira anãloga ao conceito geral de linhas de infiuência. Elas
representam a variação de um determinado esforço, em uma dada
seção, devido a uma carga unitãria se deslocando em uma es
trutura. Quando a carga unitãria estiver situada em uma PQ
sição qualquer, ela irã provocar esforços que variam a medi
da que essa carga se desloca na ponte. Para a obtenção da sy
perfície de influência, basta,tp'l, . .O.làr_;>os valores destes es
forços nos pontos de aplicação da carga unitãria. Portanto,
cada ordenada W(x,y) da superfície irã repiesent~r o esforço
produzido em uma determinada seção, quando a carga· unitãria
estiver situada no ponto de coordenadas (x,y).
As ordenadas da superfície de influência nos po~
tos nodais da grelha são obtidas atravis de u~ programa de
computador, elaborado no presente trabalho. Cada nõ da es-
31
trutura ê carregado sucessivamehte com uma carga unitiria ver
ti cal e para cada um desses carregamentoi são calculados~ es
forços na seção estudada. Para a determinação de tais esfor
ços, o sistema de equações ê resolvido, modificando-se o ve
tor das ações e conservando constante a matriz de rigidez da
estrutura.
De acordo com o·Prtncípio de MULLER-BRESLAU de
deformações elisticas, as coordenadas da superfície de influ
ência são sempre iguais is ordenadas da curva deformada da es
trutura. Deste modo, a geração das superfícies de influência
de momento0fletor pode ser· feita pela ligação das ordenadas o~
tidas, por curvas suaNes nas direções X e Y. A única singulg
ridade ocorre na seção em estudo, onde a curva apresenta uma
variação unitiria na tangente, tambêm prevista pelo referido . ~ . pr1nc1p10.
Por outro lado, a superfície de influência de es
forço cortante ê uma superfície totalmente irregular, sendo
que a descontinuidade não ê apenas localizada em um único po~
to mas se propaga ao longo de quase toda a superfície, dificu!.
tando a sua correta definição.
4.2 - Expressão Analítica das Superfícies de Influência de M~
mento Fletor
A superfície de influência de momento fletor ê re
presentada por uma expressão analítica, que fornece as ordeng
das dessa superfície em qualquer ponto no interior da grelha.
Essa expressão ê dada em função das ordenadas da superfície
32
-·------
--·--·---
FIG; 8 - SUPERFICIE DE INFLUÊNCIA DE MOMENTO FLETOR
33
nos pontos nodafs da gralha e das derivadas parciais nas dire
ções X e Y nestes mesmos pontos.
AYER 14 constatou que a forma básica das superfí
cies de influincia se mantim aproximadamente a mesma, desde
que a variação do tamanho relativo dos membros não seja muito
grande. Alim disso, a continuidade das deformações, ao longo
das vigas na grelha, e garantida pela hipótese de nõs rigida
mente conectados, resultando com isso uma continuidade das tan
gentes nas direções X e Y, exceto no ponto de singularidade.
Baseado nestas conclusões, i possível estudar u-a expressão a
nalitica que represente a forma aproximada das superfícies.
Ao longo das longarinas e transversinas, as super
ficies de influincia devem ser compatíveis com as linhas dei~
fluincia de uma viga isolada. Pelo principio de MULLER-BRESLAU,
a linha de influincia de momento fletor para uma viga conti-. nua, correspondente a curva deformada da estrutura, obedece a
uma equação diferencial do quarto grau do tipo yIV = O, condu
zindo portanto a uma equação do terceiro grau para a variável
y. Desta maneira, as linhas de influincia ào longo das vigas
na grelha, podem ser representadas por polinômios do terceiro
grau ..
Em conseqUincia, a função de interpolação SS, de
finida para cada painel da grelha, será obtida por uma combi
nação de polinômios tambim do terceiro grau. Essa função de
ve representar uma superfície suave, que coincida com cada u
ma das quatro curvas polinomiais, definidas ao longo de cada
lado do painel.
34
b
XGR
1 •
FfG. 9 - PAINEL NO INTERIOR DA GRELHA
35
Os referidos polinômios correspondem is equaçoes
da linha elistica de vigas bi-engastadas, de comprimento uni
tirio, sujeitas is seguintes deformações ~nitirias nos extre
mos:
Rotaçio unitiria no nõ inicial
~(E) = e(l-e) 2 sendo O< E< 1
-.;;Rotaçio unitiria no no final
2 ~(1-E) = (1-E)E
Deslocamento .unitirio no no inicial
Deslocamento unitirio no no final
2 <P(e) = (3 - 2e)e
Da mesma maneira, os polinômios sao tambêm desen
volvidos na direçio n, de tal forma que a coordenada relati
va varie de O a 1.
No t!,êtodo dos Elementos Finitos, B0GNER 15 dese!:!
volveu a funçio deslocamento, para um elemento retangular de
placa, em termos dos polinômios de HERMITE. Tais polinômios
sio anilagos aos anteriormente mo~trados, de acordo com as
seguintes igualdades:
Hll = ~(E)
Hl2 = ~(1-0
H01 = l - <P(e)
Ho2 = <P(e)
JV J 't (q)
~~--t
f ft t 1
1- ;;f (q)
i [L ------~~--->
9
36
r, 1 1
11/(I-q)
r-1Y~,
FI·G. 10 - REPRESENTAÇÃp:., DAS FUNÇÕES POLINOMIAIS
37
----- --- --- . ------ -
,-------------~--~-----~~~(
/\
H (t;)
-~=2:::::::::.t _______ J..::::::::~~L--:> q
--------------·-
FtG; 11 - POLfNÕMtOS DE HERMITE
•
38
Os polinamios de HERMITE seguem as mesmas propr!
edades das equaçaes da linha elistica de vigas bi-engastadas:
HOi(Ei) = 1 para E = E . 1
d H1.(E.) 1 - = para ·E = Ei dE 1 1
Hij(Ej) = o para e: = Ej
d H Qj ( E j) o para = E = Ej dE
Quando o painel da grelha estiver submetido a uma
deformaçio unitiria em um dos pontos nodais do painel, a equa
çio da funçio deformação sera obtida pelo produto dos poling
mios de HERMITE.
Em .um painel de grelha (a x b), as funções defor
maçoes, devido a deslocamentos unitirios nos pontos nodais,
são as seguintes:
- Deslocamento unitirio no no i
S] ( E , T'J ) = (l - <j> (E)); X ( 1 - <j> ( T'J ) )
Deslocamento unitirio no no j
Deslocamento unitirio no nõ k
39
{llll. 1
2 k. 1
)-------/
'/ / '/ 7 / / / X /
/ / / / . / 1 1 / 1 I /
/ /
.i >
i q
sl. (é,, nz ) l-,.@(9) 1 - j/ (fll)
---.----
FtG. 12 - OBTENÇÃO DA FUNÇÃO DEFORMAÇÃO Sl
40
Deslocamento unitirio no nõ l
S4 (e:,11) = (1 - cj,(e:)) X cj,(11)
As funções deformações, devido a rotação unitã
riaj nos pontos nodais na direção 11, sao:
R~tação unitãria no nõ i
S5 (e:,11) = a 1/l(e:) X (l -cj,(11))
Rotação unitãria no nõ j
S6 (e:,11) = a 1/1(1- e:) X (l-cj,(11))
Rotação unitãria no nõ k
S7 (e:,11) = a 1/1(1 - e:) X cj,(11)
Rotação unitãria no nõ l
s8 (e:,n) = a 1/l(e:) x cp(11)
As funções deformações, devido a rotações unitã
rias nos nõs na direção e:, valem:
Rotação unitãria no no i
S9(e:,11) = b 1/1(11) X (1 - cj,(e:))
Rotação unitãria no no j
SlO(e:,11) = b 1/1(11) x cj,(e:)
R~tação unitãria no nõ k
S11(e:,11) = b 1/1(1-n) x cj,(e:)
.. 41
~ e 1
7 /
- X / /
I
l / I
;:, ). j 9
S5 (9, fl2 l qf(9) l - :ff (fll )
FIG. 13 - OBTENÇÃO DA FUNÇÃO DEFORMAÇÃO S5
42
. ·- --·· ·---·-·- ---------
X
"-----~L--> .i j q
b 't (fTl)
----- - -- -•~" ~ a -~,- --- --
FlG. 14 - OBTENÇÃO DA FUNÇÃO DEFORMAÇÃO §g
43
Rotação unitária no nõ l
s 12 (e:,n) = b 1/J(l-n) x (1-q,(e:))
A função de interpolação i determinada pela com
binação linear das funções deformações:
12 ss(e:,n) = l ªi si
i=l (IV-1)
Desenvolvendo-se a equaçao (IV-1) e calculando-se
as derivaâas parciais da função de interpolação, pode-se de
terminar os coeficientes a pelas seguintes condições de con
torno:
- No ponto de coordenadas e: = o e n = o
ss = wi
ass . 1
= ( wx) i ae:
ass 1
= ( wy) i an
- No ponto de coordenadas e: = 1 e n = o
ss = wj
ass 1 = (Wx) . ae: J
ass ~-(H;)j ----
an
44
·''"'No ·~:..,;. ponto de coordenadas e: = l e 11 =
ss = w k
ass = ( w 1 )
íle: :,:; k
ass 1
= (Wy\ an
- No ponto de coordenadas e: = o e n =
ss = Wt
ass 1
= (W:x:) l ae:
ass ( w 1 ) = íln y l
Deste modo os coeficientes a
ª1 = wi ª2 =
ª3 = wk ª4 =
1
ªs = (W:x:) i ª6 =
1
ª7 = - (W:x:)k ªs =
,::a9 = ( w 1 ) ª10 = y i .,
1
ª11 = - (WYjk ª12 = J
Substituindo os coeficientes
teremos, a função de interpolação:
l
l
sera o os seguintes:
w. J
Wt
(W~)j
1
(W:x:) l
(W;\
1 - (Wy) l
na equaçao (IV-1)
w' X
6
/ /
45
í' tr/.
/ ® ® ,_1_----1......._;--------+----· >
- . FtG, 15 - DESLOCAMENTOS NODAIS NO PAtNEL DA GRELHA
46
SS(e:,n) = w. sl + wj S2 + wk S3 + w.e S4 + 1
1 1 1 1
( w ) . S5 - ( w ) . S6 - (Wx)k S7 + (Wx)l S8 + X 1 X J
1 1 1 1
(WY),i Sg + C~y1· 510 - (W) s11 - (Wy) l 512 J y k
A continuidade da função de interpolação nos bo~
dos e assegurada, pois nos paineis adjacentes são considera
das expressoes analfticas similares para a superffcie, com os 1 1
mesmos valores de W, W e W nos nos comuns. X y
Para se levar em cónta a singularidade da super
ffcie de influência, a derivada parcial ê calculada em uma
seçao imediatamente antes e em uma outra depois do ponto sin
gular. Desta maneira, a função de interpolação pode ser uti
lizada mesmo em um painel adjacente ao nõ da descontinuidade.
Por esta razão, um p~queno erro ê introduzido nas expressoes
correspondentes ao painel com um nõ singular. No entanto,
este erro ê considerado desprezfvel em presença de outras a
proximações feitas na anãlise.
Teoricamente, as ordenadas da superffcie de in
fluência dependem de muitos fatores, tais como a rigidez re
al da laje, o tipo de conecção entre as vigas e a laje, e do
comportamento da estrutura em conjunto. Contudo, os valores
das ordenadas obtidas pela fÕrmul a de i nterpo,l;ação, podem ser
considerados como satisfatõrios.
4.3 - Derivadas Parciais nos Pontos Nodais
As derivadas parciais, nas direções X e Y, em um
47
determinado nõ da grelha sao calculadas em função das ordena
das da superficie de influência nos pontos nodais adjacentes.
Quando a distãncia entre os pontos nodais fur mui
to grande, e aconselhável introduzir nõs intermediários, pa
ra que a precisão do cálculo das derivadas possa ser melhor~
da, embora este procedimento implique em um aumento signifi
cativo no numero de incógnitas do problema.
A derivada parcial em um ponto nodal sera deter
minada pela derivada do polinômio de interpolação de LAGRANGE
do segundo grau.
Seja o polinômio de LAGRANGE passando por três
pontos de ordenadas conhecidas:
p(x) (x-x1)(x- x2 )
f(x0
) + = (xo - xl) (xo - x2)
(x:,-.lr0
) (x - x2) f (x1) +
(xl - ~SJ) (xl:~'lx2) ·~O·, ',, tJ
(:?_-x0)(x-x1)
f (x 2) (x2r k
0) (x2 - x1)
Diferenciando este polinômio, temos:
p' (x) = (x - X]) + (X(f X2)
f(x0
) + (xo - xl) (xo - x2)
(x-x0
) + (x-x2) f (x1 ) +
(xl - xo) (~1 - x2)
(x -x0
) + (x,-'i5:,1) f(x 2 )
(f,2 - xo) (x2 - xl)
f (X)
f (.X2l
f (X1l
f (.Xol
'
" .
o -'.
:1
48
2 - p (.X)
l
- - ~ > X
FIG. 16 - REPRESENTAÇÃO DO POLfNÕMfO DE LAGRANGE
49
w
J-1 J J+l
~~ -- ----------------FIG. 17 - PONTO NODAL J NO INTERIOR DA GRELHA
50
•
--------·
I!.
w
W(J-1 w (J+l)
J-2 J·l J Jt l Jt2
FlG. 18 - PONTO NODAL J DE DESCONTINUIDADE
51
--·-----,
" w
W (J +2)
'-------,'-:---~------'------~> J J+l Jt2 X
FIG. 19 - PONTO NODAL J NOS BORDOS DA GRELHA
52
Esta equaçao iri fornecer a derivada parcial em
um nõ da grelha em função das ordenadas da superfície de in
fluência nos pontos nodais adjacentes.
Para que este cilculo possa ser automati~ado, e ·'
necessirio que a numeração dos pontos nodais obedeça a um
critêrio, conforme especificado~no manual de entrada do pro
grama.
A escolha dos pontos nodais adjacentes iri depen
der da localização do ponto nodal considerado. Quando o po~
to J estiver no interior da grelha, os pontos adjacentes es
colhidos serão os nõs (J -1) e (J+.l), respectivamente situa ,e
dos ã esquerda e a direita do ponto J.
Quando o ponto J for uma singularidade, sao uti
lizados os pontos (J -1) e (J - 2) para o cii'culo da derivada
parcial ã esquerda e os pontos (J+l) e (J+2) para a deriva
da parcial ã direita.
Quando J estiver situaqo,nos bordos da grelha,s~
rao usados os pontos (J + 1) e (J + 2) para a obtenção da deri
vada.
4.4 - Volumes de Influência
O volume de inf,luência positivo ou negativo ê d~
finido como o volume de uma região, limitado pela superfície
de influência e o plano da grelha. Tais volumes serão empr~
gados no cálculo dos esforços devido ãs cargas distribuidas,
conforme mostrado no item 6.3.
O cálculo aproximado dos volumes de influência e
53
. /\
z
FIG. 20 - tNTEGRAÇ~O OA CURVA LONGITUDINAL
'
54
fetto com o auxflio de curvas longitudinais auxiliares, que
sao obtidas pela interseção de planos paralelos ãs longari
nas com a superffcie de influência.
Inicialmente, é feita a integração numérica da
parte positiva ou negativa sob cada curva longitudinal auxi
liar, pela regra do trapézio. Para isso, a curva é dividida
em trechos equidistantes e a ãrea sob essa curva, em cada
trecho, é aproximada;·p~e.}a área do trapéiio:
Ai = (ZA + ZB) x (YB - YA) 2 ,
A area total sob cada curva auxiliar sera a soma
das areas dos trapézios:
A = n I
i=l A.
l
O volume de i nfl uê,rLcii·, entre ·duas curvas 1 ongi -
tudinais adjacentes >é aproximado pela seguinte (]fórmula:
DC - di stâncJà 5 entre duas curvas 1 ongi tudi nai s adjacentes
A1 ,A 2 - areas sob as curvas auxiliares adjacentes.
O volume de influência total sera a soma dos vo
lumes entre as curvas longitudinais:
n v = I vi
i=l
•
55
CAPITULO V
CARGAS MÕVEIS
5.1 - Cargas MÕvets em Pontes Rodoviãr}as
As cargas mõveis, utilizadas nas pontes rodoviã
rias, sao geralmente padronizadas por normas técnicas de cãl
culo. Es.tas cargas sã'i:i;.;consti tui das por um veículo,, repre~
sentado por cargas concentradas aplicadas, e por cargas de
multidão, uniformemente distribuidas, aplica~as dentro e fo
ra da faixa em que estã situado o veículo. Por hipÕtese, o
veículo deve se deslocar sempre na direção·:· longitudinal da
ponte, paralelamente ao eixo das longarinas .
Segundo a Norma Brasileira 23 NB-6 (1960), que e!
tipula as cargas mõveis em pontes rodoviãrias, o veículo po
de ter seis ou quatro rodas, dependendo da classe da ponte.
5.2 - Coordenadas das Rodas do Veículo
As coordenadas das rodas do veículo Rl a R6 sãp;
dadas em função dos eixos da grelha (XGR, YGR). Tais coorde
nadas são determinadas a partir das coordenadas da roda Rl
do veículo, supondo fixas as distãncias entre as rodas e man . tendo a direção de trifego paralela ~is lo~garinas:
XR2 = XRl + VA sen e
56
I XRl
----> XGR
FIG. 21 - COORDENADAS DA RODA Rl DO VEÍCULO
57
XR3 = XRS = XR.l
XR4 = XR6 = XR2
YR2 = Y R l - VA cos e -sen e
YR3 = Y Rl + VB1
YR4 = YR2 + VB1
YRS = YR3 + VB2
YR6 = YR4 + VB2
Do mesmo· modo, as coordenadas das extremidades do
vefculo tamb~m sao dadas em funçio da coordenada da roda ini
cial Rl:
XEl = X R l - (DA- VA)
2 sen e
XE2 XEl + DA
= sen e
XE3 = XEl
XE4 = XE2
YEl YRl DB - VB l - VB2 ( DA - VA) cos e
1
= -2 2 sen e
YE2 YEl DA ·cos e = -sen e
YE3. = YEl + DB ~-":.'.: ·,_)
YE4 = YE2 + DB
Baseado nestas considerações_.·,: pode-se verificar
que a posiçio:;;do. vefculo, dentro da ponte, fica perfeita.mente
defini da em funçio das coord'enadas da roda Rl.
58
5.3 - Posições Extremas do Veiculo
As posições extremas do veiéulo, sao garantidasª
travis de restrições matemiticas is coordenadas da rodà Rl,
para que o veiculo possa ser considerado fisicamente dentro da
ponte. Essas posições correspondem ao veiculo encostado nos
extremos laterais da ponte e o veiculo com pelo menos uma ro
da dentro do tabuleiro:
a) Veiculo encostado no bordo esquerdo
XRl > O
b) Veiculo encostado no bordo direito
. XRl < XGR(NLG) - VA sen e
c) Veiculo entrando na ponte
YRl·> - (YB1 +VB2) para e < 90°
YRl > - (VB1 + VB2 - VA cos 8 ) _.sen e para e > 90°
d) Veiculo saindo da ponte
YRl < YGR(NJ) + VA cos 8 sen e
YRl < YGR(NJ)
para e< 90°
para .e > 90°
59
XRl XGR
(a)
,--~----;::---~---:> XGR
( e )
Rl/
I I I
/ I XGR ~~--------·>
XRl XGR (NLG)
( b)
e
'---'-------'---~·> XGH
(d)
-- - - - - ----------------------·
FIG. 22 - POSIÇÕES EXTREMAS DO VEICULO
60
CAPITULO Vl
ESFORÇOS M~XIMOS
6.1 - Definição da Função Objetiva
O ciJculo de um esforço, devido ãs cargas de um
veiculo e baseado no conceito de superficies de influência,
io feito atravis da função objetiva. Ela iJdefinida pelo so
matõrio do produto das cargas aplicadas pelas ordenadas cor
respondentes na superficie de influência:
n FO(x,y) = l Pi W(xi,yi)
i = 1
FO(x,y) - função objetiva com a roda Rl do veiculo colocada
no ponto (x,y)
P. - intensidade da carga concentrada da rodai -1
W(xi,yi) - ordenada da superficie de influência corresponde~:te
ãs coordenadas (xi ,y i) da roda i.
No ponto de coordenadas (XRl, YRl), a função ob-
jeti va sera:
FO(XRl, YRl) =PlxW(XRl,YRl) +
P2 x W(XR2, YR2) + P3 x W(XR3, YR3) +
P4 x W(XR4, YR4) + PS x W(XRS, YRS) +
P6 x W(XR6, YR6)
61
Corno as coordenadas das rodas do veiculo sõ de
pendem das coordenadas da roda Rl, a função objetiva também
sõ irã depender dessas coordenadas para sua correta defini
çao. Conseqüentemente, para a determinação dos esforços ma
xirnos, devido ãs cargas do veiculo, deve-se procurar a posf
ção mais desfavorável da roda Rl correspondente ao valor mã-•
ximo da função:objetiva.
6. 2 - Mét6.do de Procura Direta FOMI\X·
Este método tem por finalidade a determinação da
função objetiva mãxirna, posjtiva ou negativa, em uma seçao
da estrutura, para um certo esforço.
O probl~ma da obtenção do valor mãximo da função
objetiva e,sernelhante a um problema de otimização com restri
ções. São as limitações da posição do veiculo dentro da ponte,
conforme mostrado no item 5.3, as restrições impostas.
De acordo com os métodos de otimização, a prime!
ra providência seria a estimativa do ponto inicial do proce~
so)ter,ativo. A partir deste ponto, éc/realizada a procura
do ponto Õtirno, visando o menor trajeto possível e um mínimo
tem·po cornputaci ona l.
No Método de Procura Direta, o ponto ini_tial s~,.:.
rã'.:a primeira posição da roda Rl do veiculo, enquanto que o
ponto Õtimo serã a posição desta roda Rl correspondente afun
çao objetiva rnãxirna.
Jã no Método do gradiente, a direção do mais ra
pido caminho ao valor rnãxirno é.)indicada pelo gradiente da fun
62
çao a ser otimizada. Deste modo, seria necessário o desenvol
vimento matemático da superficie de influência e a determina
ção de derivadas parciais, para a utilização deste método.
Uma das grandes ~antagens do Método de Procura Di
reta FOMAX, ê .. que não são calculadas as derivadas parciais du
rante o processo iterativo. Além disso, a singularidade da
superficie de influência de momento fletor, causaria muitas
dificuldades se um método matemático fosse empregado.
Em principio, o Método FOMAX poderia ser utiliza
do para qualquer esforço na grelha. No entanto, a acentuada
descontinuidade e irregularidade de certas superfities de in
fluências, forna impraticável o uso deste método para o esfor
ço cortante.
Para cada superficie de influência de momento fle
tor, correspondente a uma determinada seça~, o Método FOMAX é
caracterizado pelas seguintes etapas:
a 1- etapa - Estimativa do ponto inicial
O ponto inicial positivo Wf será escolhido como o
maior valor positivo entre as ordenadas das superficie~de in
fluência nos pontos nodais. Analogamente, o ponto inicial ne
gativo WN será o maior valor negativo entre as ordenadas da
superficie de influência nos nos· da grelha.
Quando a superficie possuir todas as ordenadas PQ
sitivas, a funçãoJobjetiva máxima negativa será nula. Em ca
so contrário, isto é, quando a superficie de influência furto
da negativa, a função objetiva máxima positiva será igual a ze
ro.
63
2~·)~~a,pa:-~ Determinação da função objetiva auxiliar
A função objetiva auxiliar FAUX i calculada com
o veículo em uma posição tal que a roda Rl, de coordenadas
(XRl, YRl), fique situada sobre o ponto inicial:
FAUX = FO(XRl, YRl)
3~ etapa - Obtençã~;da ordenada máxima global
Nesta etapa, será empregado um algoritmo para a
estimativa do valor máximo global da superfície de influên
cia. Para uma maior eficiência do processo, o algoritmo faz
uma distinção entre máximo local e global nos casos em que a
superfície apresenta vãrios máximos, como por exemplo em gr~
lhas contínuas.
O processo iterativo i iniciado a partir do pon
to (XRl, YRl), correspondente i ordenada WMAX do ponto inici -·
al da superfície de influência. Este ponto serã considerado,
para efeito de comparação, o ponto máximo local de ordenada
WLOC.
A estratigia do mitodo consiste na pesquisado PºD
to máximo global, atravis de oito sentidos de procura, par-
tindo do ponto máximo local. /~\. -·l
Estes sentidos de procura;;,..-sâ:9),
respectivamente, sentidos positivd e negativo dos eixos X e Y
e os sentidos intermediãrios.
Ao longo de cada sentido, sao efetuados acresci
mos nas variáveis X e Y, definidos pelas seguintes equações:
XT = XT (anterior)+ dx
YT = YJ;J(anterior) + dy '~'
s"
64
3 "
V 7
·--------
'72 •
>18
FIG. 23 - SENTIDOS DE PROCURA DO MrTODO
65
Nestas equaçaes, as variiveis XT e YT represen
tam as coordenadas do ponto tentativa de ordenada ,:JWT • na su
perfície de influência.
Os acréscimos dx e dy sao expressos por:
dy = 2i-l,x t,y
sendo i > l
As constantes t,x e t,y podem assumir os seguintes
valores, de acordo com o sentido de procura:
,SENTIDO t,x t,y
l +O, l o 2 +O, l +O, l
3 o +O; l
4 -o, l +O, l
5 -o, l o 6 -O, l -o, l 7 o -o, l
8 +O, l -o, l'
Por exemplo, no sentido l o acréscimo dx éJ dado
pela expressao:
i - l d:FJ = 2 X Ü, l
Pelo grifice da variação de dx com o valor dei,
pode-se sentir a tendência de aumento da variivel dx ãJm~di-
66
" dx
10
5
OL....ç========--~----~-> 1 5 i
------- - ---------------· ------ -· -1
FIG. 24 - CURVA DE VARIAÇÃO DO ACRrscIMO
WMAX
1 1 1 i d.x..i
67
WT > WMAX Í+l
FIG. 25 - EXAME SEQUENCIAL DOS PONTOS TENTATIVAS
68
da que cresce o valor dei.
As alteraçaes feitas n~s coordenadas do ponto te~
tativa caracterizam o Método de Procura Direta e a eficiência
da técnica esti vinculada a esta estratégia.
Durante cada passo da iteração, em um determinado
sentido de procura, é .realizado um exame seqüêncial de pontos
tentativas. A ordenada WT da superffcie de influência dopo~
to tentativa e comparada com a ordenada vlMAX do ponto inicial.
Se a ordenada WT for menor do que a ordenada WMAX, o ~asso de
iteração éjaumentado. Em ca~o contrãrio, isto ê, quando a or
denada WT for maior do que a ordenada WMAX, tomamos o
tentativa como um novo ponto inicial e retornamos ao
do proiesso para a diminuição do passo de iteração.
ponto . ~ . 1n1c10
Deste modo, poderemos ter as seguintes situações:
Se WT < WMAX então:
XT = XT (anterior) + dx
YT = YT (anterior) + dy
Se l4T > WMAX então:
WMAX = WT .
A iteração, em um sentido de procura, sõ ·irã ter
minar quando as coordenadas do ponto tentativa não satisfiz~
rem ãs restrições impostas ãs coordenadas da roda Rl do vefc~
lo. Este procedimento é seguido, para evitar que o mãximo
global seja confundido com o mãxtmo local.
A partir do ponto de ordenada WLOC, sao feitas
69
-·-------- --·-----·-------------
" YGR
VA 1 1
1 1 1
1 1
1 1 1 1 1
3 1 1
4 2 1
1
1
1
5 ) 1 f
6
7
- -- > XGR
----------------"·----- ·-- --· - - . ---
FIG. 26 - LIMITAÇÕES DOS SENTIDOS DE PROCURA
WT4<WMAX 4
70
WT3<WMAX · 3
WT2>WMAX WMAX=WT2
2
WT5<WMAX Wil<WMAX 5 ________ __.,.f-;.;-;-;ac;s----,-;-;--,-;-;:-,-;-----+ 1
Wi6fWMAX WMAX=WT6
- ------·---
7 WT7<WMAX
8 WT8<WMAX
---------
FIG. 27 - ESCOLHA DO PONTO DE ORDENADA MÃXIMA
71
as pesquisas nos oito sentidos de procura para· a obtenção d~
ordenada WMAX. As etapas deste procedimento estio ilustra
das na figura 27. Neste exemplo, podemos constatar que a o~
denada WMAX serio ponto tentativa correspondente ao sentido
seis de procura.
Apôs a obtenção da ordenada mixima WMAX, é feita
uma comparaçao entre essa ordenada e a ordenada WLOC.
Se a ordenada WMAX for ma) or do que , ,a ordenada
WLOC, redefinimos o ponto inicial da roda Rl e reiniciamos o
processo a partir deste ponto. Em caso contririo, isto é~se
a ordenada WMAX for menor ou igual a ordenada WLOC, o ponto
miximo global corresponderi ã ordenada WLOC.
Portanto poderemos ter os dois casos:
WMAX > WLOC ------.. reinicio do processo
WMAX < WLOC ---- WLOC e o miximo global
Por intermédio deste planejamento, pode-segara~
tir uma maior segurança ao método e um tempo satisfatõrio de
execuçao do programa para o computador.
4! etapa - Determinação da funçi~ objetiva local
O -veiculo sera colocado em virias posições, em tor
no da ordenada mixima global, e a função objetiva é calcula
da para cada uma dessas posições.
Inicialmente a função objetiva ;;,é determinada com
a roda Rl do veiculo colocada sobre o ponto miximo global ,o~
tido na 3! etapa ..
72
" YGR
•
4
Rl 2
c__ ________________ _.1 ___ ,.
XGR
---·----·-----
FIG. 28 - VE!CULO COM A RODA Rl NO MÃXIMO GLOBAL
73
-----
YGR
L-----~------------~--> XGR
- ---~-~- -------- ~--··
FIG. 29 - VEICULO CENTRADO NO MÃXIMO GLOBAL
74
Postertormente, a função objetivai calculada Pê
ra posições tais que as rodas RZ a R6 fiquem sobre este mes
mo ponto. De maneira .i-í:i'âloga, o veículo tambim i posicionê'.;
do de tal forma que o ponto máximo fique entre as rodas Rl e
R2, R3 e R4, R5 e R6.
A função objetiva local sera a maior das funções
objetivas entre as funções calculadas para as diversas posi
ções do veículo.
5ê etapa - Verificação da função objetiva máxima
Nesta etapa i feita uma comparação entre o valor
da função objetiva local FLOC, obtido na etapa anterior, e o
valor da função objetiva auxiliar FAUX, calculado na 2ê etapa.
Se a função FLOC for maior do que a função auxi
liar FAUX, então a roda Rl do veículo será colocada sobre o
ponto correspondente ã função FLOC e todo o processo de pr9
curai reinictado. Em caso contrário, isto e, se a função
FLOC for menor do que a função FAUX, então a função objetiva
mãxima FMAX será igual a esta função FAUX:
FLOC > FAUX ---,. rei ni cio do processo
FLOC < FAUX --,. FMAX = FAUX
O Mitodo de Procura Direta FOMAX, caracterizado
por estas etapas, estabelece portanto a função objetiva mãxi
ma. Este processo serã utilizado no programa GRELHA, descri
to no., c?fiftulo VII, para a determinação dos momentos fleto
res mãximos devido ãs cargas do veículo.
- 14 No metodo apresentado por AYER e CORNELL , a pes
75
quisa somente ê realizada em quatro sentidos de procura. Alêm
disso a anãlise, em cada sentido, termina quando se atinge um
valor mãximo e não quando se atinge as restrições impostas p~
ra a roda Rl. Desta maneira, pode-se obter facilmente um pon
to de mãximo local em vez de um mãximo global. A outra des-
vantagem do mêtodo de AYER, ê~que a função objetiva mãxima não
ê.·.verificada em torno do ponto mãximo global, prejudicando as
sim a precisão dos resultados.
6.3 - Esforços Devido ãs Cargas de Multidão
Estes esforços são determinados pelo produto da in
tensidade da carga de multidão pelo volume de influência cor
respondente.
Apôs a fixação da posição mais desfavorãvel do vei
culo, as cargas de multidão são aplicadas dentro e fora da
faixa deste veiculo. Os esforços provenientes destas cargas
serao:
EF = PF x (Vl + V2)
EM= PM x (V3 + V4)
EF, EM - esforços dentro e fora da faixa do veiculo
PF, PM - cargas de multidão dentro e fora da faixa do veículo
Vl, V2 - volumes de influência na faixa do veículo, respecti-
vamente, ã frente e atrãs do mesmo
V3, -V4 - voJumes de influência fora da faixa d~ veículo, situ
ados ã esquerda e ã direita desta faixa.
76
6.4 - Momentos Fletores Máximos~ -ic..~
Os momentos fletores máximos, positfvos e negat!
vos, devido as cargas mõveis são determinados pela soma da
função objetiva máxima com os esforços devido ãs cargas de
multidão, sendo que cada termo deve ser multiplicado pelo co -,
eficiente de segurança correspondente:
E(+) = G0
x FMAX(+) + GF x EF{+) + GM x EM(+)
E(-)= G0
x FMAX(-) + GF x EF(-) + GM x EM(-)
Os momentos fletores máximos totais, positivos e
negativos, serao dados pela soma dos momentos máximos devido
as cargas mõveis com os momentos devido ãs cargas permanent~:
M ( +) =
M ( - ) =
E(+)+ G x MP p , .. .1
E(-)+ G x MP p
G - coeficiente de segurança para cargas permanentes g,
MP - momentos fletor devido ãs cargas permanentes.
6.5 - Esforços Cortantes Máximos
Levando-se ·em conta que a descontinuidade das su
6~rficies de influincia de esforço cortante não eJlocalizada
em um ponto, mas se propaga ao longo de quase toda a estrutu
ra, a caracterização matemática dessa superficie se torna ba§
tante complexa. Pa~a uma correta definição do problema, se
ria necessário considerar, em várias seçoes no interior da
grelha, pelo menos duas ordenadas da superficie. Além disso,
77
a descontinuidade poderia facilmente conduzir a valores ir-
reais e incompativeis durante o processo iterativo. Por ou
tro lado, o tempo de computação seria enormemente aumentado,
tornando impraticãvel a utilização do Método de Procura Dire
ta.
Para contornar essa dificuldade, os esforços cor
tantes mãximos poderão ser determinados a partir dos coefici
entes de distribuição transversal, fornecidos pelo programa
GRELHA (capitulo VII). Tais valores foram obtidos pelas or
denadas da superficie de influencia, segundo a definição clã!
sica de coeficientes de distribuição transversal.
Conforme os métodos tradicionais, as cargas mo
veis sao posicionadas na linha de distribuição transversal,
nas posições mais desfavorãveis. O trem-tipo positivo e ne
gativo, para cada longarina, é obtido pela multiplicação das
cargas mõveis pelas ordenadas ou pelas ãreas correspondentes
na referida linha:
T = P, (Wl + W2) ,..,. .. ·
cl = ql X Al
c2 = g2 X A2
e carga concentrada do veiculo ..__..-..,:.,
q1, q2 - cargas distribuidas de multidão
w1, w2 - ordenadas da linha de distribuição
Al, A2 - ãreas na linha de distribuição
T carga concentrada do trem-tipo •
78
p p
v
A2
---·---------
FIG. 30 - CARGAS MÕVEIS POSICIONADAS NA LINHA DE DISTRIBUIÇÃO
79
T T T
Cl l v v l Cl
I y
r C2
FIG. 31 - TREM-TIPO CALCULADO
80
c1, c2 - cargas distribuidas do trem-tipo
Em seguida, o trem-ttjo anteriormente obtido ê:c2
locado na linha de influência de esforço cortante da seção·em
estudo; na posição mais desfavorãvel.
O esforço cortante mãximo positivo serã determin~
do pela multiplicação das cargas do t~em-tipo, pelas ordena
das ou pelas ãreas correspondentes na linha de influência:
EQ(+) ~ T(W3 + W4 + W5) + c2(A3 + A4) + cl x A4
Do mesmo modo, o esforço cortante mãximo negativo
poderã ser obtido com a aplicação das cargas m6~eis, sobre as
partes negativas das lin~as de distribuição transversal e das
linhas de influência.
Os esforços cortantes mãximos totais, positivos e
negativos, serao dados pela soma dos cortantes mãximos devido
as cargas m6veis com os cortantes devido ãs cargas permanen
tes:
Q(+) = EQ(+) + G X Q~, ,P ~/
,~),. Qf::1) = EQ(-) + Gfl X Q~
.-
QP - esforço cortante devido ãs cargas permanentes. ::....-'
81
..,. __
T T T
y 
82
CAPfTULO VU
PROGRAMA GRELHA
7.1 - Fi·nali·dades do Programa GRELHA
O programa GRELHA, elaborado em linguagem FORTRAN,
tem por objetivo a determinação de momentos fletores máximos
em pontes rodoviárias tipo grelha. Alêm disso, são forneci
dos os coeficientes de distribuição transversal, que poderãqj
ser utilizados no cálculo dos esforços cortantes máximos.
A estrutura em grelha pode ser reta, esconsa, sim
plesmente apoiada ou continua. As vigas podem ter momentos de
inêrcia diferentes, desde que possuam a mesma seção transver
sal em cada membro. Para satisfazer .certas hip;teses estuda
das, a numeração dos ptintos nodais deve obedecer as exigên
ctas do manual de entrada do programa, enquanto que as long!
ri nas e transversinas devem estar sempre paralelas en.tre si,
igualmente espaçadas ou nao.
Na parte inicial do programa, sao feitas as leitu
ras dos dados característicos da estrutura e a montagem da ma
triz de rigidez global. A banda superior dessa matriz êtar~!:
zenada sob forma de matriz retangular, para a resolução do sis
tema de equações de equilíbrio. Os. esforços devido as cargas
permanentes são calculados para que se possa levar em conta
nesta aniltse o peso pr;prio da estrutura e outras cargas adi
cionais.
,a.o*·• 83
A funçã·o de i nterpol açã·o, para a determinação das
ordenadas da superflcie de influincfa no interior da grelha,
i deftnfda a parti·r das deri~adas parciais e das ordenadas da
superflcie nos pontos nodais ..
Os momentos fletores máximos, devido ãs cargas mg
vets, são c•lculados pelo Mitodo de Procura Direta FOMAX, des
crito no capitulo VI.
O programa imprime para cada seçao estudada, alim
dos coeficientes de distribuição transversal, os momentos fl~
tores máximos totais devido ãs cargas mõveis e permanentes.
Para uma melhor visualisação dos resultados, tambim são forne
cidas as coordenadas da roda Rl do veiculo na posição mais des
favorável. Quando a ponte for esconsa, essas coordenadas sao
dadas em relação aos eixos da grelha.
Para a elaboração do programa GRELHA, foi utiliza
do o computador BURROUGHS, modelo B6700, do Núcleo de Comput~
ção Eletrônica da Universidade Federal do Rio de Janeiro.
7.2 - Entrada de Dados do Programa
lQ) Cartão comentário (coluna 2 a 70)
2Q) Parãmetros e mÕdulos de elasticidade
M, NJ, NR, NRJ, E, G•
formato (4110, 2F10.0)
3Q) Coordenadas dos nos
J, X(J), Y(J) formato (110, 2Fl0.0) número de cartões= NJ
84
Os .nõs devem ser sempre numerados no sentido po
sittvo do ei~o X, da esquerda para a direita, ao longri de ca
da transversfna, de tal modo que o nilm~ro do nõ final seja
sempre maior do que o numero do nõ i:rHc{âl (ver exemplos 1 e:·2).
Nos casos em que as transverstnas são muito esp!
çadas entre st, i aconselhivel a utilização de nõs intermedii
rios nas longari·nas para uma melhor precisão dos resultados.
49) Caracterfsticas dos membros
I, JJ(I), JK(I), IX{I), IY(I)
formato (3Il0, 2Fl0.0)
nilmero de cartões= M
59) Restrições dos nos
J, RLl{3J-2), RL(3J-l), RL(3J)
formato (4110)
n9 de cartões -= n9 de nos restringidos
69) Nilmero de nos carregados
NLJ
formato (I10)
Caso não haja nos carregados, colocar um cartão
em branco e passar para o 89 cartão
79) Cargas aplicadas nos nõs em relação aos eixos glo-
bais
85
J, MX, MY',. PZ
formato (tlO, 3Fl0.0)
nQ de cartões= NLJ
8Q) Carregamento nas barras em relação aos eixos locais
do membro
I, ICAR, PZ, 01
formato (2110, 2Fl0.0)
nQ de cartões= nQ de membros carregados
Os valores de ICAR são os seguintes:
ICAR = 1 - carga uniformemente distribuida
ICAR = 2 - carga concentrada vertical
Ap5s o Gltimo cartão de carregamento, colocar um
cartão em branco. Caso não haja carregamento nas barras, co
locar um cartão branco.
9Q) !ndice de impressão das ordenadas das superfícies de
influência.
ISU
formato (I10)
Quando quisermos imprimir essas ordenadas fazer
ISU = 1 e em caso contrãrio colocar um cartão em branco.
lOQ) Seções para cilculo dos coeficientes de distribui
çao transversal
JCD, ICD
formato (2110)
86
n9 de cartões= n9 de seçoes pedidas
Apõs a Glttma seçio colocar um cartio em branco.
119) Característica do veiculo
VA, VB1, VB2, DA, DB
formato (5FlD.O)
129) Cargas das rodas do
P l, P2, P3, P4, PS,
formato (6Fl0.0)
139) Cargas de multidio
PF, PM
formato (2Fl0.0)
veiculo
P6
149) Coeficientes de segurança
GFO, GF, GM, GP
formato (4Fl0.0)
7.3 - Definiçio das Variãveis dos Cartões de Dados
M - nQ de membros
NJ - n9 de nos
NR n9 de restrições de apoio
· NRJ - n9 de nõs com restrições
E,G - mõdulos de elasticidade do material
87
J - nQ do no
X(J), YlJ) - coordenadis do nõ J
I - nQ do membro
JJ(I), JJ(K) - nQ do nõ inictal e final do membro
IX(!) - momento de torção do membro I
IY(I) - momento de inercia ã ,flexão do membro I
RL(J) - índice de restrição do deslocamento do nõ
NLJ - nQ de nõs carregados
-MX, MY, PZ - cargas aplicadas nos nos
ICAR - índice do carregamento
PZ - carga vertical concentrada ou distribuida
01 - distância da carga ao extremo esquerdo do membro
ISU - Índice das ordenadas da superfície de influência
JCD - nõ para cilculo dos coeficientes de distribuição
ICD - membro para cilculo dos coeficientes de distribuição
VA - distância entre as rodas do veículo
VB1, VB2 - distância entre os eixos das rodas
DA, DB - dimensões externas do veículo
Pl a P6 - cargas das rodas
PF - carga de multidão na faixa do :-'l,~Ículo
PM - carga de multidão fora da faixa do veículo
GFO - coeficiente de segurança para, cargas das rodas
GF, GM - coeficientes de segurança das cargas de multidão
GP - coeficiente de segurança das cargas permanentes.
7.4 - Diagramas de Blocos Simplificados
Os diagramas de blocos, apresentados de uma ma-
neira simplificada, se destinam a visualizar a seq!lênci a 1 õ·'. -,,
88
gica do programa GRELHA. A significaçio dos blocos usados P2
de.ser encontrad~ na referincia 20.
PROGRAMA PRINCIPAL GRELHA
INICIO
~.,:Subrotina para leitura e impressão das características da es
trutura
0
fÂLL DÂ[JÔS
Subrotina para montagem da matriz de rigidez da estrutura
CALL MONTA
Subrotina para decomposição da semi-banda superior· da ma
triz de rigidez, arm-zenada como matriz retangular, em matriz
triangular superior
' '~-C_A_L_L_D_E c_o_M _ ___,
- Subrotina para cilculo dos esforços devido as cargas perma-~
nentes
CALL PERMA
89
~ Subrottna para determtnaçio das ordenadas da superffcie de
influincia nos pontos nodats da estrutura
,____CA_L_L_S U_P_E_R -~'
-.Leitura e impressio das caracterfsticas do vefculo
( VA, VBl, VB2, DA, DB
-~Leitura e i mpress io das cargas mõvei s
Pl a P6
PF, PM
- Leitura e impressio dos coeficientes de segurança
. ( GFO, GF, GM, GP 1
- Leitura dos {ndices da seçao, para o cilculo dos coeficien
tes de distribuiçio transversal
( JCD, ICD
- Soma das ordenadas da superffcie de influincia
•
90
~-11_=~1_,_N_J_~)>---------
SO = SO + AM(JCD, 1CD, Il)
- Coeficientes de distribuição transversal para cada longari-
na
= ' I2 1 NLG > 1
1 I3 - I2, NJ, NLG
J 1 SL = SL + AM(JCD, ICD, I3)
1 CD = SL / SO 1
1
CD 1
- Determinação das ordenadas da superfície de influência, na
seção (I, JDESC)
IM = 1 ' 1
M ) ;,, J4ooo[
J = 2' 6. 3 >· ), j4000\ 1
K = 1 ' NJ > 1 .
W ( K) = AM( J, IM, K)
'
91
- Determinação do no de descontinuidade
J - 3 >-'>::..__:eo ____ l J º E se = J K ( r M , /
JDESC = JJ(IM) ,. '---~-
- Esforço devido a carga permanente na seçao considerada
EP = AP(IM, J)
- Subrotina para cilculo dos esforços miximos, positivo! e ne
gati VO,
CALL FOMAX l
END
92
10) SUBROTINA DADOS - leitura e i~pressio das caracterfsticas
da estrutura
- Leitura e i·mpressio dos parâmetros
M, NJ, NR, NRJ, E, G
N = 3NJ - NR
M, N, NJ, NR, NRJ, E, G
Leitura e impressio das coordenadas
IC=l,NJ ">----,
J, X(J), Y(J')
J, X(J), Y(J)
Co - senos diretores dos membros
IC = 1, M /
CX(I) = XCL/L(I)
CY(I) = YCL/L(I) ' ,
93
- Impressão das características dos membros
I, JJ~ JK, IX, IV, .L, ex, CV ·,~·
Leitura e impressão das restrições
1 IC = l , N RJ .., -
( K, RL l , RL2, RL3 1
K, Rll, RL2, RL3 l r
- Restrições acumuladas
1 CRL ( l) = RL ( 1 ) 1
1 K 2, ND " =
1 CRL(K) = CRL(K-1) + RL(K) i 1
1 E.ND 1
94
29) SUBROT1NA AUX - geraçao da matrfz auxiliar (~MR} e nume-. .,,..J
ráção origfnal dos .deslocamentos exttemos dos elementos.
2 Determinaçio da matriz de ~igidez do elemento de grelha no
sistema local
SM(l,l) = G. IX(I)/L(I)
atê
SM(6,6) = 12.E. IY(I)/L(I) 3
Geração da matriz auxiliar (SMR)
(SMR) = (SM).(RT)
- Numeração original dos deslocamentos
JlA = 3JJ(I) - 2
atê
K3A = 3JK(I)
95
39) SUBROTINA MONTA - montagem da matriz de rigidez da estru
tura
-:Início. da iteração para os ·elementos
1 I = l, M
'
_ IL.. __ c_A_L_L_A_u _x _ J
Geração da matriz (SMD)
(SMD) = (RT/ .(SMR) r
- Distribuição dos elementos das linhas da matriz (SMD)
(essa distribuição é feita conforme o diagrama de blocos ápr~
sentado na referência 17)
49) SUBROTINA DECOM - decomposição da matriz retangular das~
mi-banda superior da matriz (S) em matriz triangular supe
rior
(yer diagrama de blocos nas referências 17 e 22). 'v~l
96
59) ~UBROTtNA RESOL - resolução do ststema de equaçoes partt~
do da matri'Z tri,angular obti·da pela subrotina DECOM
(ver diagrama de blocos nas referincias 17 e 22)
69) SUBROTINA PERMA - c~lculo dos esforços devido as cargas
permanentes
- Leitura dos nos carregados
( NLJ
- Leitura e impressão das cargas nos nos
1 IC=l,NLJ
( K, Al, A2, A3 1 '
l K, Al, A2, A3 J-----+ .------Leitura dos carregamentos nas barras
/ , I, ICAR, PZ, Dl
- Esforços de engastamentos
GOTO (100, 200) ICAR
97
- Carga i.rni fo rme
<' ") ;" \j _.. ' ( { \,..,...
: 1001
1 Q = PZ 1
AML(I,3) = Q.L(I)/2
a tê" ·,,,)
AML(I,5) = - Q.L(I) 2/12
- Carga concentrada
AML(I,3) = PZ.02 2.c1iL(I) 2
atê
AML(I,5) = PZ.Ol 2.Di/L(I) 2
- Cargas equivalentes nos nos
1 I = 1 • M /
. '
(AE) = (AE) - (RT)T.(AML)
98
Cargas combinadas nos nos. com reordenaçio
J - 1, NO
LO RL(J) K = J - CRL ( J)
~o
i K = N + CRL(J)
AC(K) = A(J) + AE(J)
- Resolução do sistema de equaçoes
~-C_A_L_L _R_E_s_o_L _ _,I_
·~ Retorno dos deslocamentos a numeraçao original
J = N + 1 1
99
JEE=l,ND
JE = ND + 1 - JEE
L. Q
1
J = J - l RL(JE)
D(JE) = D(J)
>º D(JE) = O·
,--
- Ações nos extremos dos elementos
I = l , M '-.., j 4891 /
1
1 CALL AUX
>---J _=_·1 _. 6_~>-~-----~
AMAC(J) = (SMR). (D)
! AP(I,J) = AML(I,J) + AMAC(J)
100
cãlculo das reações de apoio
(AR)= (RT)T.(AMAC) .l
1-----=-.,.----114891
K = l,ND
RL(K}
>o
L . -º
AR(K} = AR(K) - A(K} - AE(K)
END . I•
79) SUBROTINA SUPER - determinação das ordenadas da superfí
cie de influência nos pontos nodais da grelha
Início da iteração nos pontos nodais
.___K_=_l_, _N_J_~>-------14401
lo l
- Geração da carga unitirta
RL(3K) '>'->_o_~--~
Lo
J = 1, ND
"-----'-A_( J_) ~=-º---"-_,I
A(3K) = - l "1
Reordenação do vetor das açoes
~-<< ___ .,.__,_ __ __,
· 1
J = 1, ND
Lo RL ( J) KI = J - CRL(J)
KI = N + CRL{J) '
A(KI) = A(J)
102
::: ,Resolução do sistema de equaçoes ........ J '\)
CALL .RESOL
-c:Retorno .a numeraçao origina 1 dos des 1 ocamentos
J = N + 1
< JEE = 1 ND •
1 JE = ND + 1 - JEE
1
..
<SJE) L o. J = J --
D(JE) · 1>º
1 D(JE) = o - 1
Ações nas extremidades dos elementos
I = 1 , M "->----,
CALL AUX
J = 1 , 6
(AM) = (SMR)(D)
1-----<EE(~---il 440 1
END
=
,
1
D(J)
l O 3 .
8Q) SUBROTINA DERIV - cilculo ~-s dertvadas parciais nos pon
tos nodais da superffcte de influincia
Definição da função FDW que calcu]a·a derivada de um ponto
U passando pelos pontos XO, Xi, X2
FDW(U, XO! Xl, X2, FO, Fl, F2)
- Numero de longarinas NLG
K = . l , NJ
Lo
>o
NLG = K
- Seno eco-seno do ângulo da grelha
STETA = (Y(NJ) Y{NLG))/Dl
CTETA = (X(NJ) - X(NLG))/ DI
104
- Mudança de coordenadas
L.._I _K__;_= _1 _. ·_NJ_~>-· -----,
YGR(K) e XGR(K)
- Infeto da tteraçio
.__J_=_l_,_N_J _~>>---4>---tl 2 000 1 .
- NÕ J nos cantos da grelha
u = XO = YGR{J} '"
Xl = YGR( J + NLG)
X2 = YGR(J + 2NLG)
DY(J) = FDW(U)
1,
u = xo = XGR(J)
Xl = XGR(J + l )
X2 = XGR(J + 2)
DX(J) = FDl~(U)
105
. NÕ J no interi'or da grelha
u = Xl = YGR(J)
xo = YGR(J - NLG)
X2 = YGR(J + NLG)
DY(J) = FDW(U)
u = Xl = XGR(J)
xo = XGR(J-1)
X2 = XG R ( J + 1 )
DX(J) = FDW(U)
NÕ J no bordo da grelha
u = xo = XGR(J)
Xl = XGR(J+l)
X2 = XGR(J + 2)
DX(J) = FDW(U)
- NÕ J de descon tinuidade
u = xo = XGR(J)
Xl = XGR(J+l)
X2 = XGR(J + 2)
DXD = FDW(U)
106
u = X2 = XGR(J)
xo = XGR(J - 2)
Xl = XGR(J-1)
DXA = FDW{U)
. 12000!
1. END 1
99) SUBROTINA INTER - cilculo das ordenadas da superffcie de
influindia no interior da grelha atravis de uma funCão de in
terpolação. ,
- Definição das funções auxiliares
PSI ( 2) = 2. ( l - 2) 2
FI (2) = (3 - 22)2 2
- Coordenadas relativas do ponto P
CSI = (XGRP - XGR(K)) / A
ETA= {Y~RP - YGR(K))/ B
107
Definiçio da função de interpolação SS
(ver fórmula do item 4.2)
lOQ) SUBROTINA OBJET - cãlculo da função objetiva em relação
ãs coordenadas da roda Rl do veículo.
- Ordenada da superffcie de influência da roda Rl
XGRP = XRl
YGRP = YRl
CALL INTER 1
'I Wl = ss
- Coordenadas da roda R2
XR2 = XRl + VA / STETA
YR2 = YRl - (VA.CTETA) / STETA
Ordenada da superffcie de influência da roda R2
X'GRP = XR2
YGRP = YR2
108
· 1 CALL INTER '---~-------'
W2 = SS
De maneira anâloga, sao calculadas as outras or
denadas das rodas R3 a R6
- Função Objetiva
6 F.O = l
i = 1 '
1 END 1 ~----->
llQ) SUBROTINA SMAX - determinação da ordenada mãxima global
da superfície de influência.
Definição do ponto mâximo local provisório
XLOC =.XRl
YLOC = YRl
CALL INTER
1 WLOC = SS
109
- Incremento da va~iivel XT, sentido positivo
ID = 1 .
DELTX = O. 1 .
DELTY = o.
1 GO·TO 2000 1
. I' 1
Incremento da vàriivel XT, sentido negativo
1 DELTX = - 0.1
1 GOTO 200ó 1
De maneira aniloga, sao feitos os incrementos cor
respondente aos 8 sentidos de procura
- Definição do ponto inicial da iteração
1---4"(--------a[ 2000\
XT = X R 1
YT = YRl
11 O
Infeto da iteração da procura
I = 2, 20 · •
"" l 20051
XT = XT + DELTX.2i-l
YT = YT + DELTY.2i-l
Verificação das restrições das variãveis XT e YT
Caso haja restrições (item 5.3), ir para o nüme,ró
2500 .
- Ordenada da superfície de influ~ncia correspondente ao pon
to (XT, YT)
1
1 CALL.INTER
WT = SS
Verificação do valor.mâximo local
f ~o l~~--=='----< WMAX - WT
- Retorno ao início do processo para a diminuição do passo de
iteração
111
Mudança do sentido da iteração
GOTO (100, 200, ... 700,
1 < j 30001
- Verificação do valor mãximo global
WMAX - WLOC >o
LO
XMAX = XLOC
YMAX = YLOC
WMAX = WLOC
, __ E_N_D _ ___.
3000) ID
XRl = XMAX
YRl = YMAX
INTCIO
12Q) SUBROTINA FOLOC - cálculo da função objetiva em torno de
um ponto mãximo local
Rodá Rl no ponto de ordenada mãxima
/ XLOC - XMAX
YLOC = YMAX
112
- Funçio objetiva
.I . CALL OBJET
FLOC = FO . ' 1
- Roda R2 no po~to de .ordenada mixima
IR - 1 •
XT = XMAX - VA / STETA
YT = YMAX + (VA.CTETA) ./ STETA
GOTO 2000
- Roda R3 no ponto de ordenada mixima
IR= 2
XT = XMAX
YT = YMAX - VBl
:1~~G_O~T0~_2_0_0_0~__.·1
1--caE'--/ 2 o o 1
11 3
Analogamente, outras posiç&es do veiculo sao colo
cadas no ponto de ordenada máxima.
1--.:;-----1! 2 o o o 1
Verificaçio das restr1ções das variáveis XT e YT
Caso haja restrições (item 5.3), ir para o numero
2500
Oeterminaçio da funçio objetiva
CALL OBJET
FT = FO
- Verificaçio do valor máximo da função objetiva
LO FLOC'·- FT -~~~
~1---1
FLOC = FT
XLOC = XT
YLOC = YT
GOTO (1-00, 200 ..• 700, 3000)IR
END
114
13Q) SUBROTINA MULTI - cilculo dos esfo~ços devido as cargas
de multidão
Cilculo das coordenadas da extremidade do veículo
(ver fórmulas no item 5.2)
- Volume de influência na região fora da faixa do veículo
GOTO 450
Vl = V
IN = 2
GOTO 450
V2 = V
- Esforço devido a carga de multidão fora da faixa do veículo
EM = PM{Vl + V2)
11 5
- Volume de ;,nfluência fora da faixa
1 IN = 3 1
GOTO 485 1
V3 = V 1
IN = 4
J GO TO 485
1
E l 4oo'I
V4 = V
- Esforço ~evido a carga de multidão na faixa do vefculo
EF = PF(V3+V4) 1
1 , END
116
Distincia entre as curvas longitudinais
t------<"C---<j 4501
J DC = XQl - XTl
- Inicio da iteração
V O
GO TO 3000 .
- Volume entre as areas Ale A2
(ver f~rmula no item 4.4)
·. GO TO (100, 200, 300, 400) IN
- Ãrea positiva sob a curva
A = l ( z B + ZA ( y B - y A ) ) 2 1 1 ~-------.-------
· ·~I _G_o_To_so_o_~
117
. 14Q) SUBROTINA FOMAX - determinaçio dos esforços miximos, PQ~
sitivos e negativos, devido is cargas móveis
- Definiçio das ordenadas iniciais
WP=W(l)
WN=W(l)
- Cilculo dos valores miximos iniciais
,--------1 J = 2 , N J > <----~---~
WP = W(J)
Xl = X(J)
Yl = Y(J)
WN = W(J)
X2 = X (J)
Y2 = Y(J)
Lo·
~o
118
- Cilculo das derivadas parciais nos nos
CALL DERIV
Mudança de coordenadas da roda Rl
YRl = (Yl - Y(l))/STETA
XRl = Xl - X(l) - YRl.CTETA
Verificação das restrições as coordenadas de Rl
(de acordo com o ftem 5.3)
- Valor inicial da ordenada mixima
· CALL INTER
XMAX = XRl
YMAX = YRl
WMAX = SS
Funçio objetiva correspondente
CALL OBJET
FAUX = FO
~ 11000!
119
Valores auxiliares de cilculo
XAUX = XRl
YAUX = YR.1
- Valor miximo global da superffcie de. influincia
CALL SMAX
- Função objetiva em torno do ponto miximo
CALl FOlOC
FMAX = FLOC
- Verificação do valor miximo positivo da função objetiva
FMAX FAUX ~o XLOC XAUX - =
YLOC = YAUX ·~)
>o FMAX = FAUX
1260\
1 20
XMAX XLOC +
YMAX - YLOC
Impres~io d~ funçio objetiva mixim• positiva
[ XLOC, YLOC, FMAX
XRl XLOC
YRl = YLOC
FAUX = FMAX
1000
- Esforços miximos positivos devido is cargas de ~ultidio
L__C_A_L L_M_U_L_T_I _ _,_,
J~
Esforço-total miximo positivo devido as cargas mõveis
ETP GFO.FMAX + GF.EF + GM.EM + GP.EP
O esforço miximo negativo ETN i:feito de maneira
aniloga, atravis da inversio de sinais da superffcie de in
fluência.
121
CAPITULO VIII
EXEMPLOS. NUMfRICOS
Neste capítulo, serao analisadas duas pontes ro-
doviárias, uma reta e outra esconsa, com superestrutura em
grelha. As pontes possuem cinco longarinas, quatro transver . -sianas internas e duas transversinas de apoio. Na seçio tra~
versal, apresentada na figura 33, sio mostradas as dimensões
das vigas longitudinais, bem como a expessura da laje do ta
buleiro. A numeração dos nõs e dos membros estio indicadas
nas figuras 34 e 3ij, sendo que cada estrutura possui 30 po~
tos nodais e 49 elementos.
Em cada um destes exemplos, o processador central
gastou cerca de 11 minutos para a execução do programa, en
quanto que na entrada e saída foram gastos uma média de 20
segundos.
-----,-- -
•
1250
1 '
1 - .
1 i rr
~i . 81 : 20 20 · 20 20
•. t." .~/; f · }: 1{ \.:
-16:l w Ui ~ . ~5 -~l--~2~5º~--1-l--~2~5º~--,---=2~5º~--;---=25~0~·--t-=12=5~~
t '"''---------------,-----------~~~-----------~~~---------_________ ___, i'' ------·-----.--,'
FIG. 33 - SEÇ~O TRANSVERSAL DA PONTE ESTUDADA
N N
o ô ,-<
l(í) ·i,
1
® ,,
2
® "
3
.@ '
4
@ '
X v
5
6
7
8
9
30,0
® 14 @ 23 @ 32 @ !
10 19 28 37i
0 15 @ 24 @ 33 @
11 20 i 291 . 38
® 16 @ 25 @ 34 @
12 21 30 39
® 17 @) 26 @) 35 @
13 22 31 .. 40
@ 18 @ 27 @ 36 @
FIG. 34 - SISTEMA E~TRUTURAL DA GRELHA RETA (EXEMPLO 1)
41
42
43
44
45
@ ' .
46
® .~ 47
@ ' .
48
@> •
49
@ ,,
y >
N w
@ 23 32 41
l 46
® @ 6 15 24 33 42
2
® 7 16 25 34 43
~
3 48 N _,,.
0 @ 8 17 26 35 44
4 40 49
0 @ @ @) @ @ 9 18 27 36 45
. --·----~--·-.,,.__...,,........_,_. ___ ..... _ .. , __ _ FfG. 35 - SISTEMA ESTRUTURAL DA GRELHA ESCONSA (EXEMPLO 2)
125
-~-----------------------------------------------------------------~-COORDENACAO DOS PR~GRAH(S DE PDS•GRADUACAO EM ENGENHARIA• COPPE/UFRJ
PROGRAMA OE ENGENHlRlA CIVIL •AREA ESTRUTURAS• HENRIQUE INNECCD LONGO
TESE OE MESTRADO• ESFORCGS MAXIMGS EM PONTES TIPO GRELHA
--------------------·----------------------------------------------.--
126
--
- --, •
1
~-------------------------------------------------------------~-p R ú R M A G R E L H A
••••••e••••••••••••-••••••-•••••••••••••••••••••••••••••-•••••~•
EXEMPLO 1 PONfE EM GRELHA RETA
~--------------~--·-----------------~---------------------------
1
-- - ---- ----- -------- ' -----
127
- - - ------·--· .. -.. -,.. ... ---... ----- ·--···----- .. ----· -----------........... -·--·- .• -----DAO[S CAR•crERISTICOS DA ESTRUTURA
--------------------5·----~M-----------------------------------------~ PARAMETROS E MOOULOS DE ELASTICIDADE
M N NJ NR
49 6 O 3 O l O
NRJ 10
E
2100000.
G
8 40000.
---------------------------------------------------------------------COORDENADA~ DOS NOS
J )( y
1 o. 00 O o. 000 2 2. 50 O o. 00 O 3 s.ooo o. 000 4 7.500 o. 000 5 10.00" o. 000 b . o.coo 5. 000 7 2. 500 6. 000 8 5.000 6. 00 D 9 7. soo 6. 000
10 10. 00 O 5. 000 11 o.oo o 12. 00 O 12 2. 500 12. 000 13 5.000 l 2. 00 O 14 7. 50 O 12. 00 O 15 10.000 12. 00 O H, o. 00 O lB.000 17 2. 500 l ª· 000 18 5.ooo l 8. 00 O 19 7.500 18. 00 O 20 10. 00 O 18.000 21 º·ººº 24. 000 22 2. 5 O O ? 4. 00 O 23 5.000 24. 00 O 24 7.500 2 4. 00 O 25 10. 000 2 4. 00 O 26 º·ººº 30,000 27 2. 50 O 30. 000 28 s.ooo rn. ao o 29 7,500 30. 000 30 10.000 30. 00 O
-----------·------------------------·---------------------------------PROPRIEDADES [ CA" A e TER Is TI e As DOS MEMBROS
I j .! JK !X IY L ex CY
~ l 1 8:88~88 8:i~188 ~:~88 1:888 8: 8188 ' 3 .,
4 0.00500 0.13300 2.soo 1.000 º·ººº , 4 r+ 5 o. 00.500 0,13300 2.500 1. 000 o. 0100 5 1 6 0.00900 0.46800 6 .o 00 0.000 l, 0100 6 < 7 o. 00900 0.46300 &.ooo 0,000 1.000 7 3 6 0.00900 0.45800 6,000 0.000 l , O'O O
.,
8 ~ 9 10
0,00901) 0.00900
0,4&800 0.46300 6 ·ººº 0,000 1.0100 '
9 6.000 º·ººº l. 000 1 H ~ 7 o. 00500 0.13300 2,~00 1.300
<l 0,00500 0.13300 2. ºº 1 •. 00 8: 888 12 e 9 0.00500 0.13300 2.soo l:888 8:888 13 9 10 o. 00500 0.13300 2. soo 14 ~ 11 0.00900 0,46800 E.·ººº 8·ººº 1. º'8º 15 12 O. 00 900 0.46800 6.000 ·ººº 1. º· O 16 • li o. 00980 0.46880 6.,000 8:888 l: 8881 17 5 O. 00 9 O o.4&e o 6.000 18 1 e 15 0.00900 0.46800 6.000 º·ººº 1.000 ~g l l 12 o.ogsgo g.13388 ~:~88 1.000 o.oco
l ' 13 o.o 5 O , l 3 3 1.000 º·ººº 21 l .3 14 0,00500·· 0.-1130G 2.500 1,000 .o.oco 22 l L 15 0.00500 o. 13300 2.500 1. ,ogo __ . 0.000
128
23 11 16 0.00900 o. 4 68ÓÕ e.; o to o. 000 · T~õõõ. 24 · 12 17 0.00900 o. 468-00 E.0()0 0.000 1.000 25 13 16 0.00900 L•. 46800 E. O ilO o.oco 1.000 26 14 19 0.00900 o. 46800 E. O t.O 0.000 1.000 27 15 20 0.00900 u. 46800 E.) (;0 o. 0(10 1. 000 26 16 17 0.00500 Q.13300 2. 5 4:0 1• ODO o. 000
- ~ - ---"~---· ------·--- ... --- . ---- ..
29 17 18 0.005()0 ~.13300 2.5 00 1.000 o.coo 30 18 19 8·º8580 0• 133gg (• 5 "8 f:888 8:888 31 19 20 .o 5 O 0.133 • ,.5.li~ 32 1 r, 21 0.00900 Cio!+ 6800 E• O liO o. 000 1.000 33 17 22 0.()0900 o. 4 6800 Eo 3 uO 0.000 lo 000 34 1 tl 23 8·º8900 r;. 46880 6. O ti(\ º·8ºº f: 888 35 19 24 • O 9 OíJ o. 4 68 O E• OU) a. oo 36 20 25 0.00900 o. 46800 6.) ()0 o. 000 loºº·º 37 21 22 0.00500 0..13300 2. s vo 1.000 º·ººº 36 22 23 /J. 00 500 0.13300 <• 5 00 1.000 o.oop 39 23 24 o.0050() ~-1 3300 2. 5 (10 1. 000 o. 000 40 24 25 0.00500 o. 13300 , • 5 l/0 1. 000 0.000 41 21 26 0.00900 e,. 46800 e. O i,O o. 000 1. 000 42 22 27 0.00900 o. 4 6800 6.) \;~ o .• Ouô lo 000 43 23 28 0.00900 o. 46800 E. O (J o. 000 1. 000 44 24 29 0.00900 o. 46800 é.3l;0 0.000 1. 000 45 25 30 0.00900 e. 46800 e. o oo 0.000 1. 000 46 26 27 g-00530 o. 1 3300 ,. 5 iiO 1. 000 o. 000 47 21 28 .005 o 0.13300 2.51;0 1.000 0.000 46 28 29 o.00500 0.13300 ;'.5 (;ô 1.000 0.000 49 29 30 o.oosoo 0-13300 ,. 5 (10 1· 000 o. OOiO
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L 1STA bE: RE S 1 RI COES DOS NO 5 - -
J Rt. X RLY RLZ
1 t o 1 2 () o l 3 t o l 4 t' o 1 5 t o 1
26 (l o 1 H () o l 26 () o 1 29 -O o 1 30 (l o 1
~-·-··----------------------------------------·---------------------- 1
129
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-------------~------------------------------------------------·------CARGAS PERMANENTES
--------------------·-----·------------------------------------------CARREGAMENHJ NAS Bf,1-:R!sS E·~ RELA.CAD ~os EIXOS LOCAIS 00 MEMBRO
I ICAR C ~ RGA D l
1 1 -1. 00 O º·ººº 2 1 -1. 000 º·ººº 3 1 -1. 00 O º·ººº 4 1 -1. 00 O o.coo 5 l •3. 440 0.000 6 l -2 • 74 O o. oco 7 1 -2. 74 O º·ººº ô l •2.?40 0.000 9 l -3. 44 O º·ººº 10 1 -1. 000 º·ººº 11 1 -1. 000 º·ººº 12 1 -1. 00 O º· 000
13 l -1. 00 O 0.000 14 l -3.440 º·ººº 15 1 -2. 74 O º· 000 16 1 -2. 74 O o.coo 17 1 -2. 740 º·ººº 18 1 -3. 44 O º·ººº 19 1 • l. 00 O º·ººº íf f ·r · ºº& • • 00 8·8° 0
• 00
~1 l • 1. 00 O 0.000 l -3. 44 O º·ººº 24 l -2. 74 O º·ººº 25 1 -2.740 º·ººº 26 1 •2.740 o.oco
27 l -3 • 44 0 º·ººº 28 l -1.000 º·ººº 29 1 -1. 00 O o.oco 30 l -1. 00 O o. 000 31 1 • l. 00 O o.coo
_ 32 1 -3.44·0- -0.-00-0 33 l -2. 74 O º·ººº 34 1 -2. 740 0.000 35 1 -2.740 o.oco 36 1 -3. 44 O º·ººº 37 1 • 1. 00 O 0.000 38 1 -1. 000 º·ººº 39 1 -1. 000 º·ººº 40 .l - 1. 00 O º·ººº 41 1 •3.440 0.000 42 1 -2. 740 c.ooo 43 1 -2.l40 º·ººº 44 1 -2. 74 O º· 000 45 1 -3.440 º·ººº 4& l -1. 00 O º·ººº 47 1 -1. 000 0.000 48 1 -1. 00 O o.oco 49 1 -1.000 0.000
---------------------------------------------------------------------· DESLOCAMENTOS DOS P GN TOS NODAIS
J DX OY DZ 1 -0.004 o. 000 º·ººº 2 -o.ao~ -o. 000 o.oco 3 -0.004 -o. 000 º·ººº 4 -o. 00 4 º· 000 º·ººº 5 -o.oot -o. 00 O o.coo 6 -o. 00 3 -o. 000 •º·O 21 7 -o. DO 3 -o. 0()0 -0.021 a -o. 00 3 -o. 00 O -o. 021 9- -o.o o 3 o. 000 -0.021
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13©: -
11 --0.001 -o. 000 -0.034 12 -o.001 -o. 000 "'0,034 13 -o, 00 1 -o. 000 •0,034 14 -o. 00 1 o. 000 -0,034 15 -o. 00 1 o. 000 -0,034 16 O, 00 1 -o.coo -0,034 17 o.ao 1 -o. 000 •0,034 16 o. 00 1 -o. 000 -0,034 19 8· 00 1 o. 000 •0,034 20 , 00 l o.ººº •0,034 21 8· 00 ~ -o. 00 O :8:8~l 22 ,00 3 -o. 00 O 23 · o. 00 3 •O, 00 O -0.021 24 o. 00 3 o. 000 -0.021 25 º· 00 3 o. 000 .-0.021 26 o. 00 4 o. 000 º·ººº 27 o.ooi. -o. 000 º·ººº 28 o. 00 4 -o. 000 º·ººº 29 0,004 o. 000 º·ººº 30 0,004 •O, 00 D o.coo
------------------------------------·------------------------------,--REACOES DE APOIO
J RX R y RZ 1 º·ººº o. 000 51,634 2 0,000 o. 000 51,308 3 º· 000 o. 000 50,él6 4 º·ººº o. 000 51. 308 5 o. 000 o. 000 51,634
26 0.000 o. 000 51,634 27 o. 00 O º· 000 51,308 28 0.000 o. 000 50,616 29 º·ºº o o. 000 51,.108 30 o. 00 O º· 000 51,634
--------------------------·------------------------------------------
1131
• - • • ••• •·••-• ••• • ••••~·aoaotl!!lt?G ft!latfflDl!!I al!aQ·e~·~•--..,"~--"'"' • ... n.,,.•----n, ..,.--------.,..,.,0,,...,a, Cü~FICHNT[S DS DI5lRI8UIC.A0 TRfNSVfRSAL
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LONGAR!NA 1 o. 5 8C84 LONGARINA 2 o.3a399 LONGARIN4 3 (1,19,2[! LONGARINA 4 e,. oa ss-1 LONGA R INA 5 -t,,16t55
Sf:CAO I ?. 24 K ,a 12
LONGAR!NA 1 l\,38~05 LONG,\R!NA 2 Co29Itó~ LONGAH!NA 3 c-.2il:BL' LONGARINÁ 4 ü.l{lé!J6 LONG~ R INA e (). ú O 94 5 .,
SEC AO I " 25 K "' 13
LONGARINA 1 (), 19,2) LONGARWA 2 0.20~,3(1 LONGARINA 3 o.2ot:g1 LONGARINA 4 (l,2/)3 l LONGARINA 5 tí.19,20
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CARACTERIS TICAS OAS CARGAS rnv t.IS
OIMENSOES 00 VEICULC
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CARGAS CONCí::NTRADAS DAS ROO AS
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CARGAS Df.:
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----------------------------~~--~-------------·-----------------~ COEFICIENTES DE SEGIJRANCA
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GF (M " 1,500
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-----------·-----------~-------------------------------~----------------~--------~----~~~~-l . . . ~
_, ___ ------- ·----~-:_: _:_~_ ~-~ _:_~_:_ ---~-~--- _:_~_:_ ~-~-~-~----:-~-~-:-~_ : ______________ -~-r SECAO C~RGA
PERMANENTE SI N .~L POSICAO DA RODA Rl FUNCAO
OBJETIVA CARGAS DE MULTIDAO ESF!1RCD
TOTAL
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I K EP (+)/(•) XO YO FO EF EM ET l 1 -0.060 MA X C + ) e. ooo 12.000 º· 84 ó O • .H 2 º· 20 3 2.2!12
MA X ( • ) o. ao e 10.900 -0.932 -o. 3 92 •0.076 -2.457
---~-------·-·--------------------------------------------------~--------------------------I K EP (+)/(•) xo YO FO EF EM ET 1 2 --o. G 3 .r~ MAX(+) 0.000 11.500 0.583 0.243 0.051 O .53 6
M>IX (• l a.ooo 12.000 -0.532 -0.233 •0.128 -2.443.
~----------·--------·-----··---------~-------------------------------·-------------------··· I K EP (+)/(•) XO YO FO EF EM ET 2 2 -o. ó 7 7 )14X(+l 8.000 12.000 0.331 o. 14 7 0.069 -o .1 O O
MA X(•) º·ººº 11.300 -0.:143 •0.153 •0.041 -1.920
-----------·-----------------------------------------------------------------------------~-I K EP e•> te•> xo YO FO EF EM ET 2 3 -o. 4 4 1 MAX(+) o.ººº 11.soo o.451 0.201 º· 059 o.532
MA X(•> s.ooo 12.000 -0.445 •0.198 -o. 085 -1.883 -•••••••••••••-••••••••••••••••~•••••••••-•••n•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••-•
1 K EP (+)/(•) xo YO FO EF EM ET 3 3 -o. 44 3 M,U ( +) 8.000 10.900 0.451 0.201 O. 079 O• 56 1
MA (( • l º·ººº 11.800 •0.44S •0.19B -0.065 -1. 85 3
~----------·--------------~---------------------------------------·------------------------I K EP (+)/(•) XO YO FO EF E M ET 3 4 •O.ó77 M.O f +) MA X •)
o. 000 e. ooo Uí:i88 0.33} -0.34
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•2. 4 O l
·----------·-----------------------------------------------------------------------·-----~~! l K EP (+)/(•) xo YC FO EF EM ET 4 5 -o.o6n ~~ X l + l º·ººº 12.000 0.846 0.372 º· 160 2.216
f!~XC•l a.ooo 11, O 00 -o.932 -o. 3 92 -0.109 --2~504
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9 5 -0.041 MA X C + l º·ººº t 2 ·º 00 0.507 0.222 0.097 1. 322 MAX(•J e.ooo 10.1,00 -0.550 •0.236 -o.056 -1.499
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I K EP (+)/(•) xo y(I FO EF EM ET 12 8 •4 • f.l 4 7 MA.XC+l 3.000 ó.DOO 14.797 3.087 2.369 2 7. 32 ó
MAXC•l 8.000 ó.000 -8.368 -1.357 -1. 829 -27.877
-------------.------------------ª·---------------------------------------------------------· X O YO FO EF EM ET I K EP (+)/(•) 12 9 •3.81? MAX(+) 5.500 4.500 13.640 2. 4 38 1.275 24.200
MA.X(•} o.lo o 5.200 -4.933 -0.957 -2.027 -lil.999
-----------·-------------------------------------------------------------------------------l K EP (+)/(•). XO YO FO EF EM E T 13 9 -3.83q MA X C + ) s. 500 4.500 13.667 2.389 1. 303 24.175
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-----------·----~--------------------------------------------------------------------------11
K EP (+)/(•) XO YO FO EF EM ET 10 0.039 IHX(+l e.ooo 6.000 0.421 O. 14 1 º· 05 7 1.108'
10.200 -o. 31.;4 -0.137 •0.096 •0.907 MAX C• > º·ººº ~----------··------------------------------------------------·------------------------~----ª l K Ef' (+)/(•) XO YO FO EF EM ET 14 6 241.703 MA XC +) o. 000 6.000 96.225 27.652 20.666 589.243
M~.K(•) ª·ººº E,.300 -13.269 -4.305 -o. 01:lf, 331.533
·------------------------------------------------------------------------------------------l 14
K 11
EP 361.1,34
(+)/(•) MA X C + l MA X C • )
xu º·ººº e.ooo
FO 1?5.291 -21.379
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3·
•7.64
EM 32.676 .... a.002
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15 7 241.625 MAXC+J o.soo 6.0 00 56.157 22.996 2 3. 080 531.809 >1AX(•} ª·ººº -1. 80 O o.399 -0.092 o. 000 363.011
-----------·-ª·-----------·------------------------------------------------·----------------I K EP ( •)/(•) xo YO FC EF EM ET 15 12 3_62.74Q MA X<+ l º·ºº8 11.000 84.40f; ~8:b8f 38:b~8 ~95.2~1 - - . MAX(•) a.ao .. -2.200 O• 42'; 44.8 9
~-------------------------·----------------------------------------------------------------I K EP <•l!C•l XO YO FO EF EM ET 16 8 2~0.545 MAX(+) 3.000 4.500 44.33& 13.697 35.995 514.496
MAXC•l 0.000 0.000 O.DOO 0.000 O.DOO 360.817
-------------------·-·""·---------------------------------·---------------------------------1 K EP (+l/C•l XO YO FO EF EM ET : 1r, 13 3&2.435 MAXC•> 3.ooo 10.soo 58.352 10.869 s2.910 755.479
MAX(•) O.DOO 0.000 0.000 O.DOO 0 0 000 543.652 ---------•••••••••••••••••~•-•••N•M•••••••~--------•••••••••••••••••••-••••••••••••••••••••
K 9
EP 21+1.625.
(tl/C•l XO YO FU EF EM 571 E •. 1o 9. HAXC+l· 7.500 6.000 56.157 22.996 23~080 a u ·MAxc-r 1r.o·<ro ·2.500·· 3.068 •0.029 ·o.ooo 367.aro ~----------------------------------------------------------------------------------------~~
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EM o.01'J
-o.,J65
ET 0-561
·1.853 ----------------------------~------------------------------·---------------------------------
I 48
K. 29
EP ·(+)/(-> -- -- ··XC -o.6n MAxc •J o.aoo
Mf\XC-l e.noo YO
14.90il 16-200
FO O. 3 3 1
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-EF () • l 4 7
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EM o.osJ
-o. o 5 7
FT -0.125 ·1.943
----------------------·~-------------------------------------------------------~------------l K EP (+ l/( ·l XO YO FO EF EM E1' 49 29 -o.6J4 MAX<•> p.oon
0 1&.2gg g.sB3 3-2•9 0.012 o.s11
M A X ( • ) O • D tl 11, • 2 u r - • 5 3 1 • • 2 3 4 - O • 1 0 l • , • 4 O 1 -------------------------------------------------------------------------------------------1 ~ EP (+)/(-) Xíl YO FO EF EH ET
49·····-30·· -0,0·60 M;\X<•J 0,000 14.lOC Q.84', Q.372 0,160 2,215 HAXC-l 8.000 16.COC -Q.932 •Q.392 -o.t09 ·Z.504
----------~---·------------~~------~-~-----~----------------~-------------~---------------- 1
142
·--------~------------------------------------------------------PROGRAMA GRELHA
~-~~---------------------------------~---·----------------------
-C.
~r--------------------------------~------------------------------· EXEMPLO 2 PONTE EM GRF:LHA ESCONSA
~------------~-----------~-----------~-----------------------~--
143 '
----
-~-------------------------------------------------------------------DADOS CARl,CTEH!STICGS DA ESTRUTURA
---------------------------------------~-----------------------------PARAMETROS E MODULOS )E ELASTICIDADF '
M-
49
N
80
NJ
30
NR
10
NRJ
10
E
2100000.
G
840000.
---------------------------------------------------------------------1COORDENAO AS DOS NOS
J X y
1 0.000 o.coo 2 2. soo o. 000 3 5-000 0.000 4 1 •. soo o. 000 5 10.000 0.000 6 2. 180 6-000 7 4 .• 6 8 O 6.000 8 7. 18 O 6.QOO 9 9.660 6-000
10 12.180 6.000 11 4. 360 12.000 12 6.860 12.000 13 9. 36 O 12.000 14 11-860 12.000 15 14.360 12.000 16 6.540 16.000 17 9.040 1 8. 000 18 11. 5 4 O 1 3. 000 19 14.040 18. O 00 20 ló-540 1 8. 000 21 8.720 24-000 22 11.220 24.000
·--2 3 13. 720 .. 2-4 .o.o O 24 16.220 24.000 25 18.720 24.000 26 10.900 3 o. 000 27 1 3. 4 O O 30.000 28 15.900 30.000 29 18-400 30.000 30 20. 9 00 30.000
--------------------------------------------------------------------· PROPRIEOt_O[S é: e ARA e T f. R ! s T l e As D:J S MEMBROS
I JJ J li IX IY L ex CY 1 1 2 0.00500 0.13~00 2.500 1.000 0.000 2 2 3 0.00500 0.13300 2.soo 1.000 0.000 3 3 4 Q.00500 0, 1330-0 2.soo 1.000 0.000 4 4 s. 0.00500 0.13300 2.soo 1.000 0.000 s l 6 o. 00900 0-46800 6-384 0.341_ o. 91,0 6 2 l o. 00900 0-46800 6.384 0.341 o.940 7 3 8 O .• OC900 0.46800 6.384 0.341 0.940 8 4 9 o. 00900 o. 46800 6-384 o. 3 41 Q.9.40, 9 s 10 Q.00900 0-46800 5. 3 84 0.341 Q.940,
10 6 7 o. 00500 0.13300 2.500 1.000 º·ºººi 11 7 a o.oosoo 0-13300 2.soo 1.000 0.000 12 , 8 9 o.oosoo 0-13300 2.soo 1.000 0.000'. 13 9 10 0.00500 Q.13300 2. soo 1.000 O. 000 '. 14 6 11 o. 00900 o. 46800 6-384 0-341 o.940r 15 7 12 o. 00900 0--46800 6. 384 0.341 o.940: 16 8 . 1 3 o. 00900 o.4Geoo 6.3€4 O .3 41 0.940' 17 9 14 0.00900 0-46800 6.384 0.341 Q.940 18 10 15 0.00900 o.46800 6.384 0-341 Q.940: 19 11 12 o.oosoo 0.13300 2.soo 1.000 0.000. 20 12 13 o. 00500 0-13300 2.soo 1--000 0.000, 21 13- 14 o. 005-00 -0--13300 2.soo 1.000- 0.000 22 14 15 o .• 00500 o. 13 ~ºº--- 2.soo 1. O_O_O_ o.oo_o __
144·_
- -· --- - -- -~ . ---
-2·3- 11 - 1-6 o. 00900" -ó-:-46800 ~ 6.000 0.000 1.000 24 12 17 0.00900· 0.46~00 6.000 º·ººº- .l.,.000 25 13 18 o.00900 0-46800 6-000 0.000 1.000 26 14 19 o. 00900 0,46800 6,000 0.000 1.000 27 15 20 0.00900 0.46800 6.000 0.000 1 • 00 º· 28 16 17 0.00500 Q.13300 2.500 1.000 o.coo 29 17 18 o. 00500 0-13300 2.500 1.000 o.coo
__ 30 .18 Jg- ----8:88~88 0.13}_00 ____ 2 .soo ·J:8-88- 0.000 31 19 Q.13300 2.soo - ·o.ooo 32 16 21 Q.00900 0-46800 6-000 o.oco 1.000 33 17 22 o .• 00900 o.46eoo 6.000 o.oco 1.000 34 .1 8 23 Q.00900 Q,. -46801} 5.000 0.000 1.000 35 19 24 o. 00900 Q.46800 6-000 o.oco 1.000 3 r, 20 25 o. 00900 0.46eOO 6.000 0.000 1.000 37 21 22 o. 00500 0,13300 2. 500 1.000 0.000 38 22 23 o. 00500 0,13300 2.soo 1.000 0.000 39 23 24 o.ocsoc 0.13300 2.soo 1.000 0.000 40 24 25 Q.00500 0, 13300 2.soo 1.000 o.coo 41 21 26 o. 009 00 0-46800 r,.ooo 0.000 1.000 42 22 27 o. 00900 0.46800 6.000 o.coo 1.000 43 23 28 0.00900 0-46800 6,000 0.000 1.000 44 24 29 o.oo?oo 0.46800 6.QQO 0.000 1.·000 45 25 30 O.OC900 0.46900 6.000 0.000 1.000 4& 26 27 o. 00500 0.13300 2.soo 1.000 0.000 47 27 28 o.oosoo 0-13300 2.soo 1.000 0.000 46 2B 29 0.00500 0 • .13300 2.soo 1.000 o.oco 49 29 30 o. 00500 0-13300 2.soo 1. 000 0.000
---------------------------------------------------------------------LISTA DE RE.STRICOES DOS NOS
J RLX RLY RLZ
1 o o 1 2 o o 1 3 o o 1 4 o o 1 5 o o 1
26 o o 1 27 o o 1 28 o o 1 29 o o 1 30 o o 1
-----------·-------·---------------------------------------------------
145,
-------------------------------------~-------------------------------CARGAS PERMANENTES
---------------------------------------------------------------------CARREGAMENTO ~AS BARRAS EM RELACAO 105 EIXOS LOCAIS 00 MEMBRO 1
I ICAR CARGA D 1
1 1 - 1. 000 o. 000 2 l -1.000 O.()OO 3 1 -1.000 0.000 4 l -1.000 o.coo 5 l ·3.440 0.000 6 1 -2-740 0.000 7 1 -2.740 0.000 8 1 -2.740 º·ººº 9 l -3.440 o.coo
10 1 -1.000 o. 000 11 l -1.000 0.000 12 l -1.000 0 .• -000 13 1 -1.000 0.000 1 4 1 -3.440 º·ªºº 15 1 -2.740 o. coo 16 1 ·2-740 o.coo 17 1 -2.740 0.000 1a 1 - 3~ 44 O 0.000 19 1 -1.000 o. 000 20 l -1.000 º·ººº 21 1 -1.000 o. 000 22 1 -1.000 o .• 000 23 1 -3.440 o.coo 24 1 ·2-740 0.000 25 1 -2.740 0.000 26 1 ·2.740 o.coo 27 1 - 3. 44 O o.ººº 28 1 -1.000 o. 000 29 1 -1.000 0.000 30 l -1.000 o.ººº 31 1 _-1. 000 º··ººº 32 1 -3.440 o. coo 33 1 -2.740 o.coo 34 1 ·2-740 O. 000 35 1 -2.740 o.ººº 36 1 -3.440 o.coo 37 1 -1.000 o. 000 3.s 1 -1.000 o.coo 39 l -1.000 o.coo 40 1 -1.000 0.000 ;41 1 -3.440 0.000 42 1 ·2-740 o.coo 43- 1 -2.740 O. 000 44 l ·2-740 o.coo
:45 1 - 3. 4 4 O 0.000 4 r, 1 -1.000 0.000 41 l -1.000 o.coo 48 1 -1.000 0.000 49 1 -1.000 o. 000
·----------------------------------------·-------------------~--------1
DESLOCA.ME NTOS DOS PONTOS NODA [S
J
1 2 3 4 s ó 7 8 9
10 -1_1-__ _
DX
• o. 00 5 ·0-005 -o.oos -o.aos -o.oos •o.O O 4 -0.004 • o. 00 4 • o. 00 4 • o. 004--0. oo 1
OY
o. 000 - o. 000
0.000 0.000
-o. 000 - o. 000 -0.000
o. coo -0-000 o.oco -o. 000
Dl
0.000 0.000 0.000
º·ººº 0.000 -0.021 ·0.027 •Q,.027 -0.021 ·0.027 -0.044
146'
- 12 :o.oor -~
-o.coo --0.04_3"_ _13 -o. 00 1 0.000 ·0.043 14 -0.001 0.000 ·0.043 15 • o.001 0.000 ·0-044 16 o. 00 1 - O. 000 ·0.044 17 o.001 - e. ooo -0.1)43 18 o.001 • o. 000 ·0--043
- 19 o. O O 1 o.ºº-º - --·0.043_ 20 o.o o 1 0.000 ·0 .• 04.4 21 o. 00 4 - o. 000 ·0-027 22 0.004 -o.oco -0.027 23 0.004 -o.oco ·o. 02 7 24 o. 00 4 o. 000 ·0.1)2 7 25 o. 00 4 0.000 ·0.027 26 o.oos o. 000 0.000 27 o.aos • o. 000 0--000 28 o.oos -o.coo 0.000 29 o. 005 0.000 0.000 30 o. 00 5 - o. 000 0 .• 000
--------------------------------------------------------------------· R(ACO( S D t: APOIO
J RX RY RZ
1 o. 000 0.000 5 4. 140 2 o. 000 o. 000 54-246 3 0.000 o. oco 53. 4 73 4 0.000 0.000 54.063 5 0.000 o. 000 55.065
26 o. 000 0.000 5 5. O 65 27 o. 000 o. 000 5 4. O 63 28 0.000 o. 000 53.475 29 o.coo Q. 000 54-24& 30 0.000 0.000 54 .• 140
---------------~-----------------------------------------------------
147
',· ~ -
----------------------------------------------------------·-----------CARACTERISTICAS DAS CARGAS MOVEIS
-------------------------------------------------------------------~-DIMENSOl:S 00 VEICULO
'VA = 2-000
DA = · .3. 000
V81 =
DB =
1. 500
ó. ooc V82 = 1. 500
---:-·-- ·------ ·- -·----- ----- --__ , __ ,_ ----------·- -- ----·---·-·------- --·-·- -- -·-----CAREAS CONCENTRADAS
p l =
P4 =
6.000
ó-000
DAS FODA.S
P2 =
PS =
&.ooo ó-000
P3
Pó
=
=
6.000
6.0GO
---------------------------------------------------------------------CARGAS DE MULTIDAO DENTRO E FORA DA FAIXA
Pf = 0.500 PM = 0.300
-------------------------------------------·------------------------·--COEFICIENTES DE SEGURANCA
GFO =
GP =
1.785
1.soo GF = 1- 500 GM = 1-500
•!- - --·-·---- - -·----- - ---- - - - --·-·- --- - - --- -- - -- -----·- - - -- - -------- ------------ - -
- --- -·--- ·- ---~---~- "!.~.- .. -- .......... -- ....... - - • --- ..... -- - -- •-_ .. -· ________ " _______ -- __ .... ____ .., __ - ... _. ________ ....... -
r:NVOLTORI;, O f;' ~ .. MOM(NTO flf:.TOR
-----------------------·-----------------------------------·------------------·--------------~ St:CAO CAHC;\ .S!NJIL
PERMANENTE POSICAO DA Roo• R1 FUNCAO CARGAS OE HULT!OAO
O 8 JE 1 IV A ESFORCO.
T Oí AL
-------------~----------------------------------------------------------------------------- í
I l
~ 1
(+)/(-) ~LIX(+) MA)((-J
xo 1 • e 12 O. 1 00
YO 13.768 13-268
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l K 2
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(+)/(-) MAX(+) MAX(-)
~o 0.100 7. A. 7 2
YO 12.968 13.568
FO 0.514
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-0.:,02
EM 0.039
-(1.162 --------·-----~----------------~--------------------·----------~-----------------------------I
2 K 2
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-2.023 -----------------·--------------------------------------------------------------------------' ' 2
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(+)/(-) MAX(+) MA~(-J
XO O • 1 O O 7. 8 72
YO 12.166 12.768
FU 0.555
·0.600
[H 1J. o 5 4
-0.136
/f:.''T o.s22
•?.. 7 U --------------------------------------~----------------------------------------------------1,.. .• 11,
l K E P ( t l / ( - l X Q Y O F O [F EM ET -- ) 3 3 -Q.232 M,~X(>l 7.872 12.768 0.51,z 0.282 0--119 1.;,21
MAX(-) 0.100 12.i,68 -0.489 -0.257 -0.053 ·l.685' -----------·----------------------------------------------------·----------------------------I
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(+)/(-) XO VO FO EF f.M El MAXC+l a.100 12.568 o.J2e 0.11s a.031 -o.336 HAX(-l 7.872 12.768 -0.3&8 -0.198 -0.083 ·2.J18
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K ,, EP -o. 350
1 (+)/(-) xa YO FO EF EM WT MAX(+) 7.872 11,268 0.838 0.422 0.12S 1:795 MAxc-i 0.100 13.368 -0.1.20 -o.381 -o.ioa -2.545,
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M•xc-i 1.e12 11.,.68 -t.485 -0.130 -0.210 -4.a10 ------------------------------------------------------------------------~------------------' K f'.P 0)/(-l XO YO FO EF EM ET
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MAX(+) Q.GOO 6.484 0.396 Q.1&7 0.025 MAX(-} 7.872 13.551 -0.357 •0.175 ·G.118 ·1.231 ------------------------------~----------------------------------------------------~--------
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8 9 272.164 M.AX( t) 7. S 00 6.384 59.016 26./0l 2b.634 593 .591 MAX(-) o.r;oo 2 -1 e 4 3. 1 t 9 -0.011 0.000 ,,n. 10a
----------------~----------------·-----------------------------------------------------~----I ~ EP (+)/(•) xo YQ FO EF EM ET 9 5 -Q.2.14 MA"XC+l o. 100 13-268 0.9B5 0-518 O. l 60 2. 4 25
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I K EP (+}/(•) XO YO FO EF EM Eí 9 lo 272. 730 MAXCt) 7. ~ 72 6 -384 90. 175 34-111 28-115 úE3.395
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-19.775 ------------------------------------·-------------------------------------·---------------· 1 K EP (t)/[-) xr YO FO EF EM ET
40 25 Q.649 MAXCtl 7~B72 18.135 t.038 0.3&6 0.132 3.572 MAX(·) o.too 17.951 -O.b07 ·C.297 -0.111 ·0.724
-------------------------------------------------------------------------------------------4Í K
21 (+)/{•) XO YO FO rr EM ET
HAX(t) 0.100 22.535 88.359 J5:oo2 21.310 6~1-284 MAX(•) 7.872 22-551 ·t3.906 -5.337 -0.04! 37&.201
------------------------------------------------------------------------------~----------·-! ~ EP (tl/C-J ~G YO FO EF EM ET 41 26 -Q.234 MAX(+) 7.872 17.151 1.004 0.507 Q .• 240 2.562
MAX(-) Q.108 18.951 -1.070 ·0.554 -Q.089 •].224 ---~~----------------------------------------------------~-
·--------~-~---- -------------------- --------------------------~--.--------·-------------~' I
42 K
22 EP
272-1&4 <•>I(•)
MA:<C•l MAX(•)
:rn 0.012 7.c72
YO 2.3.262 31.S 35
FO 59.546 -0.098
EF 25.295 -o.oaE
EM 2a.as1
0.000
ET 595.756 4Cl.943 ----·----------------------------4·---------------------------------------------------------
I 42
li 27
EP -0.131
(t)/(-) MAX{+) MAX(-)
xo 7. ~ 72 O. 100
y !J 17.851 16.351
FO 0.380
-o. 3 88
EF O .19 8
-0.217
CM Q.072
-•J.Q 61
ET Q.685
·t.308 ----------------------·---------------------------------------------------------------"·----- ... J
43 --~- - E P ,. 23 270.650
( + ) /.( - ) . M.~X(•l M1\XC-l
_ xn. s.coo 0.000
·- . y o . 24-035 o.coo
FO 1,6.583
0.000
u: .17.239 0.000
EM 39.il4?
0.000
ET 574 .756 4C5.976
------------------------------------------------------------------------------~------------I ~- EP C>lt{-l ~C YO FO EF EN ET
43 28 -0.113 MAX(+) 7.A72 19.151 o.JB2 0.196 0°051 o.883 M;~X(•l O.lOü 16.1,51 ·0.369 -0.199 ·ú.089 ·1.2&0 ~--------------~-----------------------------------------------------------------·-----------
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(+)/(•) M~X(+l MAX(-)
X (1 7.?00 0 -100
YO 22 .5:35 26.835
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lt"T 603'::43'5 !,15.341
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1------------------·----~~~~:! ..... ~:!22 .... !~:~~~----=9:~~! .... :2:!!! .... :~:2~! ____ :!:!~~--l K EP (+l/(•l XfJ YO FO EF EM ET
45 25 270.672 MAX(+) 7.872 21.135 132.061 35.015 27.815 735.9A2 MAX(•) 0.100 20.051 •13.076 •5.332 -0.025 374.631
~---------,---------------·------------------------------------------------------------------1
45 ~
30 E P
-0.111 (t)/(-)
MAX(+) MAX(-)
·,n o :100 '{.872
YO !7.651 18.535
FO 0.211
-0.325
EF 1) .J 1,3
-0.164
[M o. O 4 2
-0.051
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-1.160 ----·---------------------~-------------------·------------·---------------------------------
1 K E i' (+)/(-) :<o YO Fü EF EM ET 46 26 -0.539 MAXC+J f.872 11.05.1 1. 2 9 7 0.654 0.299 2.?36
MAX(·) O. 1 Oú lê.651 -1.435 -0.744 -0.122 ·4.669 -----------------·------------------------------------------------------------4·-----------1 K EP (+)/(-) xo YO FO EF EM ET
... 6 27 -0.350 MAX{+) O.\ 00 17.'.l51 Q.313 O. 4 22 O. O 7 5 1.&71 MAX{-) 1. e 72 17.051 -0.735 -0.371 -0.166 -Z.643
-----------------------------------------·-----------------------------------------------·-I K f;p (tl/(-J XO YG FO f:F [M (T 47 27 ~D.827 MAX(•) 7.!72 16.551 0.337 0.173 o.OóJ -a.285 ,
MAX(·) 0.100 16.351 -0.358 •.Q.193 •0.05é ·Z.248 ./, -~----------~-----------~-----------------------------------------------------~----------~- !
1 47
K 28
EP -Q.232
(+)/(•) M/\X(tl MAX(-)
~o O. 1 O.O 1. e 12
YO 16.451 16.951
FO 0.528
-0.502
EF O. 2·ft2 -
. -0.257
EM o-.075
-o.o9G -------------------------~-----------· ---------------- -------------- -
n --1.131 ·t.765
---------------------~------ ·--------------------------------~-----------------~-------~--· I K. EP (+)/(•) XC YG FO EF EM ET 48 2a -o.654 MAX<+> 1.a12 16-751 o.sra 0.290 0.09( 0;&11
MAX(-) 0.100 16,251 -0.585 -0.311 -Q.089 -2.626 ·---------------------~-----------------------------------------------------------·------~-~ 1 - - K - F.P -- <+J/(-l - XO YG --- - FO f.F--- [-H------ El 1
48 29 -U.527 MAX(+l 0,100 15,951 Q.473 0,252 0,080 0,552 MAX(•) 7.872 18,051 -0,475 -0.238 •0,070 -2.10~
l K EP {+)/(-) xo YO FO EF EM ET 49 29 -0.90., MAX(+ l 7 • . ~ J? 16-851 0 • 5 9 1, (1.28J 0 .o 6 9 O -2f M ,, X - l iJ .1oõ 16-651 -0.582 -o.so - :,..1 .• 1 1.2 -3.0 J
-----------------~----------------------------------------------------~---------------··-·--T K EP (+)/(-) XO YO FO EF EM ET • 49 30 Q.383 MAX(+) o. 100 16-651 0,803 O. 4 27 ü • 15 < 2.8811 MAX(-) 7. ~ 72 15.951 -0.805 ·0.380 -o.09C ·1.565
1-' u, u,
CAPITULO IX
DISCUSSÃO DOS RESULTADOS
Para uma melhor avaliação dos resultados encon
trados pelo programa GRELHA, serã feita uma análise compar~
tiva com os seguintes métodos:
Método de ENGESSER-COURBON
Método de GUYON-MASSONNET-BARtS
Mêtodo de LEONHARDT
9.1 - Comparação dos Coeficientes de Distribuição Transver~l
Os coeficientes de distribuição transversal, for
necidos pelo programa GRELHA, poderão ser utilizados para a
determinação dos esforços cortantes mãximos, conforme foi ex
plicado no item 6.5.
Nos quadros comparativos, mostrados a seguir,são
apresentados os coeficientes de distribuição para duas seções
situadas na longarina extrema, correspondente ao exemplo 1
(capitulo VII).
SEÇÃO 51 - MEMBRO 23, NÕ 11
LONGARINA COURBON GUYON LEONHARDT PROGRAMA
1 0,600 0,645 0,6J) 0,581
2 0,400 0,413 0,391 0,384
3 . 0,200 O, 180 O, 183 O, 19 2
4 0,000 -0,015 -0,006 0,010
5 -0,200 -0,208 -0,185 -0, 167
SEÇÃO 52 - MEMBRO 14, NÕ 6
LONGARINA COURBON GUYON LEONHARDT PROGRAMA
1 0,600 0,645 0,616 O, 5.9 7
2 0,400 0,413 0,391 0,372
3 0,200 O, 180 O, 183 O, 177
4 0,000 -0,015 -0,006 0,007
5 -0,200 -0,208 -0 1'185 ~· . ..-"-/ -0,153
De acordo com os valores encontrados, podemos v~
rificar que os coeficientes, calculados pelo programa,sãobem
próximos aos obtidos . . /
pelos métodos tradicionais. Por out.ro
lado, podemos também constatar que os coeficientes determina
dos por estes métodos, para duas seções na mesma longarina,
sao exatamente os mesmos enquanto que tais valores são ligei
ramente diferentes no programa GRELHA.
9.2 - Comparaçio dos Mo~e~t6S Fletores Miximos
Os momentos fletores miximos devidos is cargas mo
veis, obtidos pelo programa GRELHA, serio comparados com os
fornecidos pelos mitodos tradicionais e tambim por um progr!
ma de computador tipo STRESS. Neste ultimo processo, os mo
mentos fletores sio determinados atravis de coeficientes. de
distribuiçio transversal, calculados por um programa para a
obtençio de esforços em estruturas reticuladas.
No quadro comparativo, apresentado a seguir, sao
mostrados os momentos fletores miximo~. devido as cargas mo
veis, correspondentes ao exemplo 1 (capítulo VIII).
MOMENTOS FLETORES MÃXIMOS (mtf)
(.---
NO MEMBRO COURBON GUYON LEONHARDT STRESS PROGRAMA
11 23 202,68 214,12 203,34 196,65 199,34
11 23 -38,30 -41 , 43 -37,40 -30,23 -28,82
1 2 24 156,31 156,85 156,30 147,02 .151,36
13 25 132,61 114,94 121,33 118,11 13D,13
6 14 130,95 138;28 131 ,31 125,46 134,74.
6 14 -24,61 -26,63 -24,01 -17,59 -18,16
7 1 5 1 00, 1 7 101,51 · 101,19 98,52 102,24
8 1 6 75, 1 O 77,84 78,96 90,87 94,03
Pela verificatão do quadro comparativo, podemm
observar que os esforços mãximos, fornecidos pelo programa,
estão compativeis com os valor~s calculados pelos m;todos a
presentados.
l 61
CAPÍTULO X
CONCLUS.ÕES
Em pontes rodoviãrias tipo grelha, os momenta; fl~
tores mãximos podem ser obtidos por um programa de computador,
levando-se em conta o conceito de superfícies de influência.
A descontinuidade e a irregularidade dessas superfícies para
os esforços cortantes dificultam a utilização de um processo
iterativo. Para solucionar esse impasse, os esforços corta~
tes mãximos poderão ser determinados a partir dos coeficien
tes de distribuição transversal.
A rapidez e a versatilidade de um programa de com
putador, traz amplas vantagens sobre os mêtodos numêricos tra
dicionais, como por exemplo, a possibilidade do cãlculo de J'.10!]
tes contínua~ ou esconsas. Alêm disso, a eficiência do mêtQ
do proposto ê demonstrada pelas comparações efetuadas com os
processos existentes, jã comprovados experimentalmente. Por
tanto este estudo poderã ser amplamente aproveitado nos pro
jetos estruturais de pontes rodoviãrias, acarretando maior e
conomia de tempo e maior precisão nos resultados.
1 62
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em Estruturas de Edifícios - tese para obten
çio do M.Sc., COPPE, UFRJ, 1971.
23. NORMA NB6 (1960) - Cargas-MÕveis em Pontes Rodoviárias -
ABNT.
165
ANEXO I - LISTAGEM DO PROGRAMA GRELHA
. -ê ...
e·· ~--------·----------------~---~---·-----------·-·-·--·--8----~~--~-c --------------------------------~-----------------------------------e C HENRIQUE JNNECCO LONGO• COPPE /UFRJ• CURSO CIVIL/ ESTRUTURAS e C TESE DE MESTRADO• ESFORCOS MAXIMOS EM PONTES TIPO GRELHA e C
C •• •• • • •• • •••••••••••• -- - ........... -- - • •••• ••·• •• •• •••• -- ••••••••••• - ••. -- -- -----. ------~- -- --- ------ -- -- , ........... ------------------ .. ---- ---e e C PROGRAMA PRINCif'AL GRELHA e e
e e
5
b
7
9
10
15
REAL LC85l,I•<e5>>IY<S5> INTEGER RLC 150>,CRLC 150 >,UBW COHMO~ M,NJ,NR,NRJ,E.GiN•l.,IX,IY,ERRIJ,NO.CRL,RL,1,UBW,
l JlA•J2A,J3A•~1A,K2A•K5A,VA•VB1,VB2.DA,DB,PF,PM,JDESC,XR1,YR1, Z STET~,CTETA,Pl,P2.P3,P4,P5.P6,NLG,XGRP,YGRP,S5,FO,XMAX,YMAX, 3 WMAX,XLOC,YLDC,FLOC•Ef,EM, 4 X C 5 O l, H 5 O ) , J J ( 6 5 l , JK ( 6 5 l, C X ( il 5 l, C Yl EI 5 l, S M R < f, , 6 > , S C 1 5 O, 2 l l , 5 0(150>,AMC&,85•50l.AC150J.MCSO>,XG~(50l,YGRC50>,DXC50>,DY(50l, f, DXA< 50l,DX0(50l ,DYAC50 l,OYDC50l
DIMENSION APC85,6l
IMPRESSAO DE TITULOS DO PROGRAMA WRITE (5 .1313 l WRITE <5,5> fORMATC• CODRDENACAO DOS PROGRAMAS OE POS•GRADUACAO EM'
1 'ENGENH/\RIA • COPPE/UFRJ',/ll WRITEC5,6> fORMAT<' PROGRAMA DE E~GUHIARIA CIVIL •AREA ESTRUTUR/IS• ',
1 'HEN~IQUE INNECC/J LONbO',//l
~M~~~f/:7fESC,: DE ME.SfRAOO ·•,tJX,'ESFORCOS MAXIHOS· EH '•
t•PONTES TIPO GRELHA' l WRITE<S.1313) WRITEC5,9l FORMA T( 'l' l WRITE C5,1313l WRITE CS,10> FORMAT<23X,•P fl CIG RAM A G R E L H A'l WRITE CS,lH~l RE AD C 8, 15 l FORMATC'
1 t t l WRITE C5'15J WR!TE C5,1313l WRtTE C 5,9 l
' . ..
e -e e
20 e e
25 e e e e
27 e e
e e e
·2 li e e
29 30 e e 32
:33
34
SUBROTINA PARA LEifURA E IMPRESSAO DE DADOS CARAClERISTICOS DA ESTRUTURA CALL DADOS IF < ERRO > 20,20.4000 CONTI~UE
SUBROTINA PARA MONTAGEM DA MATRIZ DE RIGIDEZ GERAL D~ ESTRUTURA CALL ~ONTA IF < ERRO> 25.25,4000 CONTI~UE
CH8MACA DA SURROfIN, QUE OECDMPUE A SEMI• BANDA SUPERIOR DA MA• TRiZ (Sl,ARMAZENADA COMO MITRIZ RETANGULAR, EM MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR CALL DECOM IF<ERFO> 27,27,4000 CONTI~UE
CALCULO DOS [SFORCOS DEVIDO AS CARGAS PERMANENTES WRITECS,9> WRITE <5, 1313> CALL FERMA(A.''l WRITE (5,13131
SUBROl!NA PAR~ DETERMINAC,~O DAS OROENI\D,~S OAS SUPERF!CIES OE IN• FLUENC!AS NO'à PONTOS NODAIS DA ESTRUTUR,, C A LL SUPER IF (ERRO> 28,28,4000 ---·c-of'(rr~uE-- - · · -- ---------·· --· -- ·- ---~---- -----·-·--- - -----·---·- -- - - -- ·----·· CORRECAO DO SINAL 00 NO FINAL ao MEMBRO DO 30 I,,1,M 00 30 ~.=1,NJ 00 30 J=l,6 . IFCJ•H 30,30,29 AM(J,I,K> = -1.oA~<J,I,Kl CONTI ~UE
IMPRE!SAO DAS ORDENADAS DA SUPERFICIE DE INFLUENCIA NAS JUNTAS READC8,32l !Sll F0RMAT<I10> , IFCISll 33,37,33
. WRITE <5,9 l WRITE CS,13131 WRITE<S,34> FORMAHT16,•0ROENA.DAS DA SUPERFICIE OE INFLUENCIA' l D037 I=l•M WRITEC5,l313l II = 1
35
1 ' 36
37
e e
370 ' e:
371 372 37 3
!
374
375
376 e 377
3,78 e
385 387
390
WRITE <5,35> I,II FORMAT CT1,•POS1CA0',Tl6,'MEM8RO•,I3,• .. NO IN!C1AL',T4&,-
l1MEMBFO',I3,' • NO FHJAL 1,/,T5,'DE',/,T3,•P e •1T',Tl6,'MT', 2T26, 1 ~r•,T36, •Q•, T46,'MT 1 ,T56, 'MF',166, tQt l
WR!TE (5 ,1H3 l WRITE (5,36) (K,(AMCJ,l,10,J.,l,Gl,K,.l,NJ) FORMAl CI5,5X,6Fl0. ~I CONTI~UE wRITE CS,13131
COEFICIENTES DE OISTRIBUICAO TRANSVERSAL MRITE (5,9> W R lT E < 5, 131 3 l WRITE (5,3701 FORMAlCTZO,'COEFICIENTES DE OISTRIBUICAO TRANSVERSAL' 1 WRITE (5,131~1 LE!TUFA DA SECAO READ (8,372) JC'D,ICD íORMAl C2ll0l FORMAl CT.3,'5EU,O',T13,'I" ',I3,T23,•K = 1 ,I3,I>. IF CJCDI 390,390,374 WRITE <5,3731 ICO,JCD IF CJCD•JJCI!'.:Dll 390,375,376-
• JCD = ·z . · - · GO TO 377 JCD=S SOMA CAS ORDENADAS s o "º. DO 378 Il=l,NJ
Nà~Ê~s+t~<~sílGl~~N1t 1
D O 3 8 C K = 1 , IJ J lí CY(K+l) • Y(K)J 330,3d0,381 CONTINUE NLG = K COEFICI~NTES PARA CADA LONGARINA DO 387 12= l,NLG SL = C. DO 383 I3 = !2,NJ•NLG SL = SL + AiH JCD, !C0,13) CD = ~LISO WRITE (5,3B5) 1z~cD FORMAT (T3,'LDNGARINA',I2,T21,F8.5l CONTHUE
E8Nt~~üt 1
WRH.E CS,13131
39
40
43
45
e e 47
50 53 e e 55
57
60 e e 62
63
64
e ç
e
LEITU~A E IMPRESStO DAS CARACTERISfICAS DO VEICULO WRITE C5,9J ~~!ff!§:!J\ 3
> FORMAT(Tl9, 1 CARACTER!STICAS DAS CARGAS MOVEIS'> WR!TEC5,1313l READCe ,4Dl VA,VBl,V82,DA,DB FORMA HSflO. OJ WRlTEC5,43J fORMAT CT3,'01MEMS0ES DO VEICULO',/! W~ITE<S,45) VA,V81,V82,DA,DB f O R M ,\ TC TS, ' V .~ = ' , f 8. 3, T 2 6, ' V B 1 = 1 , f 8. 3, T 4 6, ' V 8 2 = 1 , f 8. 3, / / ,
1 T5,'DA ::',Fil.3,T26, 1 D8 =•,F,9,3)
LEITUFA E IMPRESSAO DAS CARGAS CONCENTRADAS DAS ROD~S REAO Cl'I ,47) P1'P2,P1,P4,P5,Pó FORMAT<6Fl0, Ol WRITE<S,1313' WRITE<S,SOJ fORrl1n- - (T3, 1Ti\RG-AS CONCENTR,\DAS DAS RODAS',/) WRITE(5,53l Pl,P2,P3,P4,P5,P6 f O R M A 1( TS , 1 P 1. e ' , F 8 • 3, T 2 6, ' P 2 = 1 , F 8 • 3 , T 4 6, ' P 3 "' ' , F 8 • 3, / / ,
1 T5,'P4 =',F6 •. 3,T26,'P5 =',Fd,3,T46, 1 P6 "',F8.3l
LEITURA DAS CARGAS DE MULTIDAO DENTRO E FORA DA FAIXA READ(B ,55) Pf,PM FORMAT<2F10, 01 WRITE (5,13131 WRITEC5,57> FORMAT. (T3, 1 CARGAS DE MULTIDAO DENTRO E FORA DA fAIXA',/l WR!TE<5,60) PF,PM FORMA l( T5, 1 PF =' ,F8,3, f2f,- 'PM -=' ,f a. 3)
LEITU~A E IHPRESSAO DOS COEFICIENTES DE SEGURANCA READCf,62) GrO,GF,GH,GP FORMAH4Fl0. OI WRITEC5,1313l WRITE (5,ó3l FORMATCT3, 1 COEtIC[ENTES DE SEGURANCA',/J WRITE(5,64l GFO,GF,GM,G? FORM!\ 1( T5, 'GfO "' ,F8, 3, T2ó, 'GF "' ,f 8, 3,T4G, 'GM =• ,F8 •. 3, //,
1 TS,•GP =',"8,3l WRITE CS,1.313 l
OEFINICAO DO TNDICE D~ ENVOLTORIA IE = 2 WRITEC5,9l WRITE C5,1314l
e 77
6&
87
e e e
86
90 C· e 95
100 105 e e e e 200 210 e e e e 1313
1314
1315
IMPRES5AO DAS ORDENADAS DA [NVOLTORIA DOS ESFORtOS MAXIMOS WRITECS,77> F ORH AH T18, 'f: N V O L T O R l -~ D E M O M E N T O 1
• l 1FLET0~ 1 >
WRITE <5,1314> WRITECS,66} F o R M A T ( TS • ' s i:: e" o 1
• T l 5. ' e AR G A ' • T 2 5 •• s I NA L ' • T 3 4 • ' p o s I C A o D A R o D A ' • 1 • Rl•,T55,'FUNCA0 1 ,Tó4,'CARGAS OE MULTIDA0 1 ,T85, 1 ESFORCC 1 l
WRITE{S ,87) FORMA H T 1 3, ' PER MANE N fE. 1 , TS 4, ' O 8 J E TI V ,\ ' , T ô 6, ' TO TAL' l WRITEC5,Ul4l
DETERnNACAO D~.s ORDENADAS º" SUPERF ICIE DE INFLUENCIA NA SEC AO CORRE SPONOENTE AIJ MEMBHO I E NIJ JDESC DO 40CO IM=l,>1 DO 40CO J=IE,E,,3 WR!TE <5,8ill FORMA T ( T5 • 1 1 1 , T 1 O , ' K '• T 1 7 , 1 E P ' , T 2 4, ' C + > / C • l 1 , T 3 7, ' X O ' , T 4 7 , ' Y O 1 ,
1 T57,'FO',T67,'EF',T77,'EM',T87,'ET 1 l 00 90 K=l,NJ W(~)=jMCJ,!M,Kl
DETERn NACAO DlJ NU DE DESCONT! NUIDAOE lF CJ•3 l 1()0, l.00,95 JDESC•JK<!M> GO TO 105 JDESC=JJCIM> CONTIHIE
ESFORCO DEVIDO A CARGA PERMANENTE NA SECAD CONSIDERADA IM,J EP=APCIM,Jl
CORRECAO 00 SINAL DO NO FINAL DO MEMBRO IF CJ•J> 210,210,200 EP "' •l.•EP CONT HUE
CHAMACO DA SllBRDTINA PARA CALCULO oas ESFORCOS TOTAIS MAXtMOS POSITI os E NEGATIVOS Dtvroo AS CARGAS MOVEIS CALL FOMAXCEº,IM,GFO,GF,G~,GPl
FORMAt {/,•••••••••••••••••••••••••••-••••••••••••a•••••-••••••••-1-•••••••••••••-•,t>
(ORHAT (/,,·-·--·-----------------------------------·M·-·-----~---· l•••••w•w-•••••~•••••••-••••••••••••••',/) ,
WRITE C5,1315J FORMAT (•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 1-------------~-----------------------•)
4000 CONTI~UE CALL F.XIT E NO
• 86700/37700 F J R T R A N COMPILATION ~ A R K
SUBRO UTI NE DADOS e e--------------------------------------------------------------------e LEITURA E I~PRESSAO OJS DADOS CARlCTERISTICOS DA ESTRUTURA
e --------------------------------------------------------------------e
e e
10
13
15 e
25
REAL LC85l,IXC85l,IYC85l INTEGER RL( 150) .c~u 150>, UBW COMMON ~,NJ,NR,NRJ,,~,G,N,L,IX,IY,ERRO,NO,CRL,RL,I,UBW,
1 J1A,J2A,J3A,Kl~,(2,,K3A,VA,VB1,VB2,0A,08,PF,PM,JOESC,XR!,YR1, 2 5 TETA,: 'fE TA, Pl, P~, > 3 .P4, PS,? ó,NLG,XGRP, YGRP, SS, FO,Xl-11\X, YMAX, 3 WMAX,XLOC,YLOC,FLOC,EF,EM, 4 XC50l,YC50l,JJC85l,JKCB5l,CXC85J,CYC85l,SMRCó,&l,SC150,2ll, 5 UC150),AHC6,85,50l,A<150),WC50l,XGRC50l,YGR(50l,OXC50l,OYC50l, 6 OXAC50l,OXDC501,)YAC50l,OYDC 50>
LEITURA E IMPREss,o DOS PARAHETROS E MODULO OE ~LAST!CIDAOE READ CB,10) t1,N.l-,~R,NRJ,E,G FORMAT C4Il0,2Fl0,0l WRITE CS, 1313) W R l TE C 5 , 1 3 l FDRMAT CT19,'J~fl0S CARACT~R!STICOS DA ESTRUTJRA'l WRITEcs; 1313) WRITE C5,15l FORMAT CT3,'PARA~ETR0S E MOOULOS OE ELASTICIDA)E',/l CALCULO 00 NUMERO OE GRAUS DE LIBERDADE OA ESTRJTURA N= 3 * .~J - NR WRITE e;, 25> FORMA T C T 5 ·, 1 M ' , T l 5 , ' N 1 , T 2 4, 1 N J • , T 3 4, ' N R' , T 4 4, • i'H J 1 • T 5 5,' E • • T 6 5 •
1 'G',/l WHITE C5,30l M,N,~Jd/R,NRJ,E, G FORMAT C IS,4110,Fts. O,FlO.O)
e
35
40
45 50 55 e e
60
-IHPREss,o OAS COO~O[NA)AS DOS NOS WRITE <>,1313) W11ITE Ci, 35> FORMAT CT3,'COO~O:C:Ni\QAS DOS NOS',/) WRITE C5,40l FORHAT CT5,'J',Tl7,'X',T27,'Y',/l 00 50 I: = l,NJ READ C3,45l J,XCJ),YCJ> FORMAT cr10,2F10.J) WlilTECS,55) J,X(Jl,YCJ> FORMAT CI5,F15,.~,.0 10.3>
· PROPRIEJADES E CA~ACTERISTICAS DOS MEMBROS WRITE 0,13131 WRITE <>,&Ol FURMAT CT3,•PRO•RIEDADES E CARACTERISTICAS 005 MEMBROS',/) WRITE O,ó5l
6 5· F O R MA T C T 5 , ' I 1 , T 1 ~ , ' J J 1
, T 1 8, ' .J K 1 , T 2 ó , ' I ·x ' , T 3 6 , ' l Y ' , T 4 7 , ' L ' , T 5 7,
.1 •ex• ,r;r,•cv•,11 e CALCULO aos COSSE~OS DIRETORES DOS MEMBROS
DO 84 E = 1, M READ C8,70l I,J.JCI>, JKC 11,IXC I >.IYCI l
;70 FORMATOI10,2F10.J)
1
1 80 e
BJ2 83
J J I = J JC I 1 JK I = J,H I l XCL = XCJKil - XCJJIJ YCL = Y(JKil - YCJJ!J LCil = 5QRT<XCL••~ • YCL••2l CXCI) = XCL / L(l) CVCIJ = YCL / LClJ WRITE C5,80l I,JJ(IJ,JKC!l,IXCI>,IYCIJ,LCIJ,CXCI l,CY<ll F O í<MA T C I 5, I 8, I F,, 0 11 • 5, F 1 O. 5, 3 F 1 O. 3) VERIFic,cAO DA NU~ERACAO DOS NOS. IF CJKCI > - JJC I > > 82,82, 84 WRITE 0,83> I FORMAT (/,T3,'.~ BARRA',13, 1 ESTA COM NUMERACAO :RRADA',I) ERRO = L. GO TO 1~5 CONTl NU:
,,
e C IMPRE$S\0 DA Llsr, )E RESTRICDES aos NOS
WRITE Ci,1.313> io/RITE Ci,85)
85 FORMAT {T3, 1 L!ST~ DE RESTRICOES aos NOS 1 ,/l WRITE 0,90>
90 FORMAT C T5,'J 1 ,TH, 1 Rl:<. 1 ,T24, •RLY 1 ,Ll4, 1 RLZ 1 ,/l C ZERAGEM DOS V_ETORé:S RL E CRL
NO = 3 • NJ O ü 95 K = 1, N D CRL<K) = O
95 RL<K) = O DO 105 !C = 1,NRJ READ {H,100) K,RLC3•K-Zl,RLC3•K-ll,RLC3•Kl
10() FORMAT (4!10) 105 ·~RlTE CS,110) K,~LC3•K-2>,RLC3•K-ll,RU~•Kl 110 FORMA T C I5.3I10l C DETERMINACAO DA LISTA DE RESTRICDES ACUMULADAS
CRL<ll = RLCll D O 11 5 .~ = 2 , NO
U5 CRLCK) = CRLCK-l) • RL(Kl WRITE (j,1313)
1·3 13 F OHM A T C / • '·- - - - --- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~ - - - - - • • • - - - - • •• • • - • - - - - - -1--·-------------•,,,
125 CONTI NUC: R E TUR N ENO
e
B670 0/3 7 7 00
SUBRO UT! NE AUX
FJRTRAN- COMPILATlON M A R K
e--------------------------------------------------------------------e GERACAO OA ~ATRIZ AUX[L!AR CSMR) = (SMJ * RT E A OETERMINACAO DA NU-C MERACAO ORIGINAL DOS JE5LOCAMENT0S EXTREMOS DOS ELE~ENTOS e--------------------------------------------------------------------e
·e e e e
REAL L05l,IXC851.IYC851 INTEGER RLC150l ,CRLC 150),UBW COMMON ~,NJ,NR,NRJ,E,G,N,L,IX,IY,ERRO,NO,CRL,RL,I,UBW,
1 J1A,J2~,J3A,KlA,{2A,KlA,VA,VB1,VB2,DA,OB,PF,PM,JOESC,X~l,YRl, 2 STETA,:TETA,Pl,PZ,?3,P4,P5,P&,NLG,XGRP,YGRP,SS,FO,XMAX,YMAX, 3 WMAX,X.OC,YLOC,FLOC,EF,EM, 4 X-C 5 O > , t C 5 O>, JJ C 3 > 1 , J K < 8 5 > , C X C 8 5 > , C Y ( 8 5 > , SM R C 6, '> 1 , S C 1 5 O, 2 1 > , 5 D C 15 O >, A M C 6, 85, 5 O l, A C 15 O ) , •,; C 5 O >, X G~ C 5 O 1 , YG R C 5 O> , /J X C 5 O >, D Y C 5 O >, ó OXAC501,0X0(50l.OYAC501,DYOC50>
DIMENS!ON SMCó,61
DETERMI~ACAO DA MATRIZ OE RI~IDEZ CSMJ DO ELEME~TO DE GqELHA RETO DE S~CAO CONSTINTE NO SISTEMA LOCAL ZERAGEM DA MATRIZ CSMl 00 10 J = 1,ó DO 10 K = 1,6
1 O S M C J, K ) = O. e CALCULO aos TERMOS )A GIAGDNAL PRINCIPAL E os NlO NULOS ABAIXO
SMCl,1> = G * IXCIJ / L(I) SMC2,2> = 4. *E• IYCI} / LCI> SM<3,2> = - 6. * ~ * IYCIJ / CLCI> ** 21 S M C 3, 3 > = t2. * E * l Y< r-> - /· -c-L·<I ) -u 3 l SMC4,ll • - G * IXCI J / LC!l SMC4, 41 = G * IXCI > / LCI) SMCS,2) = 2. *E• IYCI> / LCI> SMC5~3l = - ó.*~• !YC!) / CLCI> •* 2) SMCS,SJ = 4. *E• IY<I> / L<I> SMC6,2> = 6. •E• IYCI> / CL(ll ••2l SMC&,Jl = - 12. •E• IYCI> / <L<I> ** 3l SM(ó,5) = ó.• E• IYCil / (LCI) **2l SMC&,6> ~ 12. *E* IY'é.I> / CLCI> ** 3J
2.
·e
15 e e
20 e C'
DETERMI~ACAO DOS JE~MOS SIHEfRICOS ACIMA DA DIA;ONAL PRINCIPAL D O 15 J = 1,6 DO 15 K = 1,J SMCK,Jl = SM<J,Kl
GERACAO DA MATRIZ AUXILIAR (SMR> = CSM> • RT D O 20 K = 1,2 D O 20 J = 1, 6 SMR(J,3•K-2l = SMCJ, 3•K-Zl * CXCI l - SMC J,3•K-ll * CY< fl SMRCJ,3•K-1J = S,~CJ,3•,~-2) • CYCI> + SMCJ,.J*K-l) • CXCI} S M R ( J , J• K l = S M C J, 3 • K )
NUMERAc,o ORIGINAL 005 OESLO:AMENTDS NOS EXTREM)S DOS. ELEMENTOS JlA= 3 * JJCil • 2 J2A=3•JJCI1-1 J3A=3*JJCI> K 1 A = 3 • JKC I) - 2 K2A=3•JKCI>-1 K3A = 3 • JKCI> RETU.~N END
867001:!77 ao fJ~TRAN- COMPilATION ~ A R K
SUBROUTINE MONTA e e---------------------------~----------------------------------------e MONTAGEM DA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DA ESTRUTURA <5>
e --------------------------------------------------------------------e
12 iJ e;
e
REAL LC351,IXCB51,IYC851 INTEGE_R HLC150l,CRLC 150l,U8W,RD'll,COL COMMON ~,NJ,NR,NRJ,E,G,N,L,IX,IY,ERRO,ND,CRL,RL,I,UBW,
1 J1A,J2,,J3A,K1A,C2A,K3A,VA,VB1,VB2,0A,08,Pf,PM,JDESC,XR1,YR1, 2 STETA,:TETA,P1,P2,P3,?4,P5,?&,NLG,XGRP,YGRP,SS,f0,XMAX,YMAX, 3 WMAX,XLOC,YLOC,F~OC,EF,EM, 4 X C 5 O l, f < 5 O>, JJ C 8 5 J, J K (8 5 J , C X< a 5 l , C Y( 8 5 > , SM R < 6,:; 1 , S ( 1 5 O, 2 1 l , 5 C C 15 O l, A M C 6, 85, 5 O J, AC 15 O 1 , W ( 5 O l, X G R C 5 O 1 , YG R C 5 O l , D Xf 5 O 1, D Y C 5 O l • 6 DXAC50l,OXOC5Dl,)YAC50l,DY0C50)
DIMENSIJN 5MOC6,6l
ZERAGEM DA MATRIZ CS J DO 120 {=1,N DO 120 J=-1,21 SCK,J l=). ZERAGEM DOS INDIC~S OE CONTROLE OE BANDA UBW E JE COLUN4 COL U BW = O COL = O
C INICIO )A ITERACA) QUE Pt.RCO~RE TODOS OS ELEMENTOS DA ESTRUTURA DO 390 l = 1,M
e C CHI\MkDA OI\ SUBRE1T!N, -QUE-GERA- A MATRIZ AUXILIAR (SMR-> E A NUME -C ~ACAO OlS OESLOC,MENTOS NOS EXTREMOS OOS ELEMENTOS
CALL AU( e .. e· GERACAO DA MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO CSMDl = CRTl' * CSMRl C NO S!ST~MA GLOBAL
00 125 {=1,2 00 125 J=t,6
·2.'
125 e e e e e e
13 r,
13,5
· 14 ü 14 5
150 15 5
SMDC3•K•2,J> = C~Cll•SMRC3•K-2,J> - CYCll•SMRC3•K-1.Jl SNDC3•K·l,Jl • CYCll•SMRC3•K-2,Jl + CXCIJ•SMRC3•K-1,Jl SMDC3•K,JJ = SMRC3•,~•J> MONTAGEi DA MATR!l QE RIGIDEZ CSl DA ESTRUTURA,4RMAZENANOO A SEMI-BANO\ SUPERIOR DE CSl COM] MATRIZ RETANGULAR, SENDO ESTA MONTAGEM FEITA SIMULTANEAMENTE COM A RENUMERACAO lOS DESLJCAMENTOS DA ESTRUTURA E COM A OECALAGEM PARA A ESQUERDA )A SEMI-BANDA
DISTRIBJICAO DOS :'.LEMENTOS OI< LINtiA 1 DE CSMO l IF CRLCJlA)J 130,13J,190 R O·~ = Jl A - C Rl C J 1 A l CDL = JlA • CRLCJ!Al • Rü'A + 1 SCROW.COL> = S(ROo,COll + SM)Cl'1l IF CRLCJ2All 135,135,140 COL = RA • CRL( nAl • RO\i + 1 SCROW,C)ll = SCRDo,COU t SM)Cl,2) IF CRL<J3All 145,145,150 COL = J3A • CRLCJ3A.l • RO'II + l S(ROW,CJLl = S(RO>l,SOL) • SMDC1,3l If <RLC,~lAll 155,155,150 COL = KLA - CRL(KlAl • ROw + 1 SCRO'o,C]ll = SMDCl,~l
ló O IF <RlC~2A ll 1&5,165, 170 165 COL = K!A - CRLCK!Al • ROW + 1
S(ROW,COLl = SHOC1,5l 171) "If CRLC~3Al) 175,175,l:lO 175 CUL = K3A• CRL<K3Al - RO'~ + l
SCROW,CJLl = SMDC1,6l C CONTROL:'. DA LARGU~A MAl!HA DE BANDA 180 !F CC OL-UBWl 190,190,135 185 UBW = OL e C DISTRIBUICAO DA LINHA 2 DE CSMDJ A PARTIR DA OI~GONAL PRINCIPAL 19 1) If CRLCJ2All 195,195,245
. 195 ROW = RA - CRLCJ!Al C ÍJ L = J? A • C RL ( J '. A l • R IJ W + 1 S,(RO,i,C[}L) ""S(ROo,:ou ~ SM9(2.2) lf CRL(J3All 200,!0),2D5
2.00 COl. = J3A - CRLr J3A) • ROW- +1 S(ROW,C,JLI = S<R04,;QL) • SMDC2,3l·
20 5. If ( R L H 1 A ll 21 O•~ l O• 215 210 COL = KlA - CRLCKlA) - R0'.1 + 1
215 220
225 230
e 235 24 O e e 24 5 25 O
25 5
SCROW ,CJL l = SMDC2,4 l IF CRLC~2All 220,220,225 COL = K2A - CRLCK2Al - ROW • l SCROW,COL> = SMDC2,5J IF CRLCK3All 230,230,235 COL = K3A - CRL C·K3Al - RIJW + 1 SCROW,COLI = SMDC2,6l CONTOLE DA LARGURA HAXIMA OE BANDA IF CCQL•Ullwl 21,5,21,5,240 UBW = CDL
01STRIBUICAO DA LINrlA 3 OE CSMOI A PARTIR DA DIAGONAL PRINCIPAL If CRLCJ3A» 250,250,295 ROW = J3A - CRL(J3Al C O L = J3 I\ - C RL ( J 3 A> - R O W + 1 SCROW,CJLl = SCRO~,:OLI + SMDC3,Jl IF C~LC.~lA)) 255,255,2&0 COL = KlA - CRLCKlAl - ROW • l S(ROW,C•JL> = SM0<3,41
260 IF (.~ LC:t2A I l 265,265,270 265 COL = K2A - CRLCK2AI - RDW + l
27 O 27 5
,C 280 28 5 e e 29 5 300
SCROW,COLJ = SM0<3,5l IF CRLC<3AJ) 275,~75, 230 CU L = K3 ~ - C Rl ( K 3 A l - R O;; + 1 SCROW,C~L) = SMOC3,&l CONTROLc DA LARGU~A MAXIMA DE BANDA IF CCOL·UBWl 295,~95, 285 U8W = CDL
DISTRIBUICAO DA LINHA 4 OE CSMO) A PARTIR DA OI4GONAL PRINCIPAL If CRLC<lAJJ 300d00,335 R O W = K l A - C RL ( K t U C O L. = Kt A .- C RL ( K l A 1 - flO W • 1
_SJ_R!)H,C)Ll =_SCROA,_COLÍ • SM'.lC4,4l
! . ·,
If CRL1{2A>> 310,310·~315 310 COL = K~A - CRLCK2Al - ROW + 1
SCRDW,COL> = SCRO~oCOL) t SMDC4,51 315 If CRL(~3All 321),320,325 320 COL = K3A - CRLCK3Al • ROW + 1
SCROW,COLl = SCR04,COLl • SM0(4,6) C CONTOLE DA LARGURA MAXIMA DE BANDA 325 If CCOL·UBWl 335d35,330 33 O U 8 W = C,J L
·e C DISTRIBUICAO DA LINrlA 5 DE {SMD) A PARTIR DA or,GONAL PRINCIPAL 33'> If CRLC{2All 340,340,350 340 ROW = KZA - CRLCKZA>
34 5
e 35 O 35 5 e e 36 O 36 5
e
37 O e; 317 5 38 O 38 5
39 'J
C O l = K2 A - C Rl C K 2 A l • R O >I t 1 S<ROW,CjL) = SCR04,COL> • SHDC5,5) If CRLC{3All 345,345,350 C O L = K 3 A - C RL ( K 3 A > • R O li + 1 S{ROw,CJL) = S(RO~.:ou t SMDCS.&J CONTOLE DA LARGUR' HAXIHA OE. BANDA IF CCOL·UBW) 360,3&0,355 UBW = CJL
O!STRIBJICAO DA LINHA b DE CSMDl A PARTIR DA DI,GONAL PRINCIPAL IF CRL{~3All 365,365,375 R O W = K3 A - C RL ( K 3 A) COL= K3\ • CRL(K3\) • ROW + 1 S<ROW,CJLl = SCR04,COL> • SMD(ó,ól CONTRO.Lc DA LARGU~A MAXHIA OE. BANO.A If <COL·UBWl 375d75,,l70 uaw = CJL VERIFIC\CAO DA LA~GURA MAXIHA OE BANDA IF <UBW•21l 390,HO, 380 W RI TE e; • 3 65 l fORMATCf/,T3, 1 A L\RGURA DE BANDA ULTRAPASSOU D VALOR MAXIMD',//l ERRO = t. CONTINUc RE TUR N ENO
(
tl6700/377.00 r·J.~TRAN- _ÇOMPILA.TION ~ A R K
SUSROUTINE OECOM e e --------------------------------------------------------------------e SUBROíINA QJE DECOMPO~ A ~~TRIZ RETANGULAR DA SEMI - BANDA. SUPERIOR C IJA MATRIZ (5 l EM MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
e --------------------------------------------------------------------e
e
REAL Ln 5 l , IX< 8 S > , I Y C 8 5 l INTEGER RLC150J,C~L( 150>,UBW COMMON .~,NJ,NR,NRJ,E,G,N,L,IX,IY,ERRO,ND,CRL,RL,I,UBW,
l JlA, J2~. J:3A, KlA, {2A, K3.~, VA, Vi31, V!32, OA,08,PF,PM, JOESC ,x.~ 1, Yfn, 2 STETA,CTETA,Pl,P!,~3,P4,P5,P6,NLG,XGRP,YGRP,SS,FO,XMAX,YHAX, 3 WMAX,XLOC,YLOC,FLOC,EF,EM, ~ X C 5 O l , f < 5 O l, J J ( R 3 l, J K ( 8 5 ) , C X < 8 5 l , C Y< 5 5 l , S M R ( 6,; ) , S C 15 O, 2 1 l , 5 U fl 5 O l, A M C 6, 8 5 , 3 O ) , A ( l 5 O l , WC 5 O l , X G R C 5 O) , Y G R ( 5 O l , O X ( 5 O l, [J Y( 5 O l , r, OXAC 50l,DXDC50J,)YA(50),0YD( 50)
00 85 IL'l,N IP=N - !L + 1 IF CUBW - !PJ 10.tS, 15
10 l P = UHW 15 CONTI NUê
DO 85 J = 1,IP I Q = U BW - J I F C I L ·t - I Q l2 ,1, ~ 5, 2 5
20 IQ=IL·l 25 SUM=SCIL,Jl
!F C!Q • 1> 40,30,30 · 3 O·- - - -co N T l N Uê
DO 35 K = 1,l<J IA=IL-K JA = J t K
35 SUM = SUM - SCIA,(tll k S(IA,JAl 40 IF CJ - li 45,50,~5 45 se IL, J):S.LJM.•TE:M.P
GO TO !H -- - -
2.
1-' co o
\ 50 55 60
65 70 75
80
1 85 1.0 o
If <SUM) 55,55,E,5 ·wRITEC5,fiOlIL,J,SJM
t FORMAT (/t,T3,'• SUBROTINA DECOM NAO E ADEQUADA PARA A ~ESOLUCAO
100 SIST:MA',/,T3, 1 IL= 1 ,I:,,•. J= 1 ,I3,•. SUM = 1 ,Fl0.4,//) ERRO = 1. GO TO DO IF CSUM - O.ll 70,80,80 WRITE 0,75) SUM FORMAT C//,T3,•su~ =',FB.5,• *** O PEQUENO VAL)R DESTA VARIAVEL
l PODE T:R INTRODUllJO ERRO NA RESOLUCAO 00 SISTEMA •••',til ERRO = 1. GO TO DO TEMP = 1. / SQRTCSU.~ l SlIL, Jl=TEMP CUNTI NU: CONTI NU:: RETURN ENO
86700137700 T . J R T R A N· C O M P I l A T I O N l1 A R K
SUBRO UT! NE RESOL 'C e --------------------------------------------------------------------e SUBROTINA QJE RESOLVE O SISTEMA DE EílUACOES PARTINJO DA MATRIZ TRI C ANGULAR OBTIDA PELA SUBROTINA OECOM
e--------------------------------------------------------------------e
10 15
20
25 30
REAL LC35l,IXC85l.IYC35l INTEGER RL(150l ,C,L< 150),UB'il COMMON .'1,NJ,Nfl,NRJ,E,G,N,L,IX,IY,ERRO,NO,CRL,RL,I,UBW,
1 J1A,J2\,J3A,K1A,(2A,K3A,VA,VB1,VB2,0A,DB,PF,PH,JDESC,XR1,YR1, 2 STET A,: TE TA,Pl ,p~,,>3 ,P4, PS,~ 6,NLG,XGRP, YGRf', SS, FO,XMAX, YMAX, 3 WMAX ,XLOC,YLOC,FLO: ,EF,E/"1, 4 X ( 5 O l • Y C 5 O l, J J( 8 5 l , J K ( R 5 h C X ( 8 5 l , C Y ( 8 5 l , SM R ( 6 , ; l , S ( 1 5 O, 2 1 l , 5 0( 150), AMC6, 85, 5J l, A{ 150 l,WC 50), XGR<SOl, YGR( 50), DXC 50), OYCSOl, 6 üXAC50l,DXDC50l,)YA(50l,OYOC50l
DO 30 IL=l,N J= IL - J B W + 1 IF CIL t 1 - UBW)l0,10,15 J = 1 S UM = AC I L l Il=IL - 1 IF CJ - Ill 20,20,30 00 25 K = J, I 1 KA= Il - K + 1 SUM = SUM - SCK,KA> • OCK> DCILl=SJM•SCIL,l> DO 55 I~ = 1, N IL=N·IA+l J = IL • UBW - l IF (J - N l ,_4.0,4 Odj J = N,
2-
•
40
45
50 55
t
·suM= DCIL> Il = IL + 1 IF CI1 • Jl 45,45,55 D O 50 K = I 1, J K A= K - l L • 1 SUM = SUM - SCIL,(A> * DCKl DCIU = 3UM * SCIL,1) RE TUR N Hto ----- -~ -~- - --- -
r
f
''\ . __ ---·•
B6700/B7700 F O R T R A N C O M P l L A T l O N
SURROUTINE pERMl(API e e-·---------------·------------~-------·-----------------------------L =~~=~~~-~::_:::~~~~:-~=~~~~-~~-=~~~~:-~=~~~~=~~:: ______ e ___________ _ e
e e
1 O
12
15 e
REAL Ll85),IX(85l,!YIRS) JNTEGER RLC!SOJ,CRLC\50),UBW COMMON M,NJ,NR,NRJ,E,G,N,L,IX,IY,ERRO,ND,CRL,RL,I,UBW,
1 JIA,J2A,J3A,K1A,K2A,K1A,VA,V8\,Víl2,DA,D8,PF,PM,JOESC,XR1,YRI, 2 STETA,CTETA,P\,P2,P3,P4,p5,P6,NLG,XGRP,vGRP,SS,FO,XMAX,YMAX, 3 WMAX,XLOC,YLOC,FLOC,EF,EM, 4 X(50),Y(50),JJ(85),JK(85J,CX(RSJ,CY(85J,SMR(6,b),S(l50,211, 5 D C 1 5 O ) , A M ( 6 , 8 5 , 5 O ) , 1, C ( l 5 llj , W ( 5 O ) , X G R ( 5 O ) , y G ll ( '5 O J , D X C 5 O J , D y ( 5 O ) , 6 DXA(50),DXD(50),DYA(50J,DYD(511)
DTMENSION AE(t50),AR(t50),AML(B5,6J,AMAC(6),AP(85,6),A(15ol
ZERAMENTO DOS VETORES DAS ACOES DO 1 O ,1= l, NO A(JJ:0. ,\E!Jl=O. AR(Jl:O, DO 12 K:\,6 IIMAC(K):O. DO !5 I:1,M IJO 1'5 J:1,6 AML(T,Jl:O,
WRtTE(S,17) -17- F0RMAT(-T27, 'CARG.AS PE;:/MANENTl:S 1 )
Wf<TTE (5, 1313) e e 20
LEtTuRA ªº NUMERO aE NOS çARREcAoOS !lfAD (8,20) NLJ FORMAT (110) JF .(NLJ) 55,72,55
2,
=
C, e 55 57
bQ
bl
b2 70 e e e
7'7
'lo. 92
LEITURA E IMPRESSAO DAS CARGAS APLICADAS NOS NOS olRITE ('i,57) FORMAT (T3,'CARGAS APLICADAS NOS PONTOS NODAIS EM RELACAO AOS'
1 ,' EIXOS GLOBAIS',!) wRrrE C'i,60l FOpMAT (T5,'J',T\7, 1 MX',T27,'MY',T37,'PZ 1 ,/)
DO 7() IC=t ,NL.J READ(8,61) K,A(3•K-2J,A(3*K-\),A(3•K) FORMAT [I!0,3F10,0) WRITE (5,62) K,A(3*K-2),A(3*K-1),A(3*K) FORflAT (I5,5X,3F10,3J CONTINUE
lEITURA DOS CARREGAMENTOS NAS RARRAS RELATIVO AOS EIXOS LOCAIS DO MEMBfW v!RITE (5,1313) 1•/RTTE (5,751 FORMAT (T3, 'CARRFG~MENTO NAS BARRAS EM RELACAO AOS EIXOS',
1 1 LOCAIS DO MEMRRO',I) wRTTE (5,77) FüRMAT (T5,'1',T16,'IcAR',r26,'c•\rlGA',T.37,'Dl',/') AEAD (8,92) t,IC~R,PZ,D1 FDRMAT (2(10,2FIO.OJ IF ([)95,250,95
95 WRirE (5,97) I,lCAR,PZ,DI 97 --F-QRHAT (I5·,U·2,3X,2Fto;·3i----· e e e
' (! .
too
fSFORCOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO NOS ELEMENros CARREGADOS GOTO (!00,2DOJ,TCAR
e A RREGAME rno UN l F QRf!Et•!EN TE [) t s TR HIU IDO O=PZ AMLcI,3J:-O*L(IJl2. + AML(I,3) AMLCI,hl=•o*l.(I)/2, t AML(I,61 AML(I,2l= O•ILII)••2J/12, + AML(I,21 A 11 L.J_I , 5 )_ = - O• ( L ( Il ** 2 l / 12 , + MI l ( I , 5 ) r,o TO 90
e 200
250 e e
4 35 e c
437
440 443 e e e
-CARGA CONCENTRADA VERTICIL APLICADA Ó2: LCIJ-6f-. -Cl: 3,-(2,* D2/L(l)l C2= 3,-(2,• D!IL(J)) AML(I,31=-pZ * ID2 **2) • Cll(L([)••2) • AML(T,3) AML(I,6l=-PZ• (01•*21 • C2/(L(Il••21 • AMLl[,6) AML(I,21= PZ•Dl•CD2••2l /IL(I)••2l +AML(l,2) AML(l,SJ:-PZ* IDl•*2J * D2 ;(L(ll**2l + AML(T,Sl GOTO 90 CONTINUE
CAR~A5 EQUIVALENTES NOS NOS COM NUMERACAO OR!GTNAL no 035 I=l,M JJT:,IJ(Il JK[:JK(l) AE(3*JJl-2J:AE(3•JJl•2)-(CX(IJ•AML(l,1J-CY(IJ•IML(l,2JJ •Ec3•JJI-tJ=•Ec3•JJ!-IJ-(CY(lJ•AML(I,lJtCX(]1•AML(l.,2)) AE(3•JJJJ=AE(3•JJJI-AML(I,3) AEC3•JKJ-2l=AEl3•JK[-2)-(CX(Jl•AHl(I,4l-CY(rJ•AML(I,5ll AE(3•JKI-tJ:AE(3•JKI-ll-(CY(!J,AMLCI,4ltCXII)oAMLCI,5)) AEC3*JKIJ=AE(3*JKI)-AML(l,6)
CARGAS COMBINADAS NOS NOS COM REORDENACAO DO a43 J:t,ND IF(RL(JJ)Q37,437,44D K:J•CRL(JJ GOTO 443 K=NtCRL(J) AC(K):A(JJ+AE(JJ
AESOLUCAO Díl SISTEMA DE EQUACOES - CALCULO Dos DESLOCAMENTOS D CALL RfSOL
C RETORNO DOS DESLOCAMENTOS D A NUMERACAO ORIGINAL J:N+I DO 451 JEE=l,ND . JE=ND+l-JEE
'
[FCRL(JE)J4~1,447;44~ 1147 J:,1-1
DCJEJ:ll(JJ GO TO 115\
44'1 D(,JE):O. 451 CONTINUE e C lMPRESSAO DOS DESLOCAMENTOS NOS NOS
viRITE(S, 13\3) l•RITt(S,453)
453 FORHAT (T3,'DESLOCAMENT0S DOS PONTOS NODAIS',;) viRJ TE (5, 4511)
4 511
458 e e
460 e e
46 3 465 46 7 1!70 117 2 117 5 117 7 480 482 1185 487 489
FORMAT(TS, 'J 1 ,T'l7, 1r1x 1 ,T;,7, 'Dy 1 ,T37, •Dz<,/J WRJTEC5,45B)(J,D(3•J-?l,D(3•J-ll,DC3•J),J:l,NJJ
FQRMAT 1IS,5X,3Ft0,3)
ACOES NAS EjTREMIDADES DOS ELEMENTOS DO 489 I:1,M CAL.L AUX DO 4n0 J:1,6 .HI AC ( J ) : S M R ( J , 1 J • D ( J 1 A l + S M ll (J , 2 ) • D C J 2 ,\ l + S ,1 R e ,J , 3 ) * O ( J 3 A J + S M r, ( J , 4 )
l•D(K1Al+SHR(J,5)*D(K2Al+SMR(J,h)*D(K3Al Ap(I,Jl = AML(!,JJ+AMAC(J)
CALCULO [)AS REACOES DE APOIO !F(RL(J1All465,4n5,46J AR(JIA):ARIJIA)+CX(l)•AMAC(ll-CYII)*AMAC(2) !F(Rl(J2A)l47D,q7o,4&7 ARIJ2Al=ARCJ2Al+Cy(!l•AMAC(l)+CX(J)•AMAC12l IF(RL(J3A))475,475,U72 AR(J3A):AR(J3A)+AMAÇ(3) I F ( R l. ( K 1 A. ) ) 4 8 O , 4 8 O , 1n 7 AR(K\A):AR(K1A)+CX(Il•AMAC(4)•CY(Il•AMAC(5l !F(RL(K2All4BS,485,482 AR[K2A):AR(K2A)•CY(IJ•AMAC(4l+CX(!)•AMAC(5) !F(RL(K3AJ)48'1,489,ü8J AR(K3A):AR(K3A)+AMAC(6) CONTINUE·
q93 495
503
505
507 509 S 1 1 1313
DO 495 K.:J,ND JF (RL(K)) 495,495,493 h R ( K ) : Af< ( K J - A ( K ) • ,\ E ( K ) CONT'TNUE WRITE(S, 1313) i,RJ TE(S, 503) FORMAT (T3,'REACOES DE APOI0 1 ,/J Wf<!TE(S,505) F0RMAT(TS,'J',Tl7,'RX',T27,'Ry',T37,'RZ 1 ,/l llo 511 K = 1,,~J JUN:RL(3•K~zltRL(3•K-!l+RLC3•K) !F (JUN) 511,511,507 WRITE(S,509) K,AR(3*K-2J,AR(3*K•IJ,AR(3*K) FORtlAT tI5,5X,3F10.3J CO~JT HIUE
FORMAf(/, '-------------------~---------~---------------------• 1 , ____ .,. ________ ... ____ ..,. t, /)
RETIJRN F N!)
\
1-' CX> CX>
B67)0/ElJ_700 FORTRAN C O M P I L A T I O N M A R li
SUBROUTINE SUPER ,e e :- -- -- - --- --- ---- - - --- - ---- .. --- ------- ---- -- - ----- - -- - --- - --- - ---- - --e 1 0ETERMINACAO DAS ORDENADAS DA SUPERFICIE OE INFLUENCIA NOS PONTOS NO
'C 'DAIS DA ESTRUTURA e,--------------------------------------------------------------------e
e· :C e
C:
REAL LC851,IXC85l,IY<85l INTEGER RLC150l,CRLC150l,UBW COMMDN M,NJ,NR,NRJ,E,G,N,L,IX,IY,ERRO,ND,CRL,RL,I,UBW,
1 JlA,J2A,J3A,KlA,K2A,K3A,VA,VB1,VB2,DA,DB,PF,PM,JOESC,XRl,YR1i 2 STETA,CTETA,Pl,P2,P3,P4,P5,P6,NLG,XGRP,YGRP,SS,FO,XMAX,YMAX, 3 WMAX,XLOC,YLOC~FLOC,EF,EM, . • 4 XCSJ > ,Y<50),JJC85 hJKC BSl,CXC 651,CYC 65 l,SMRC6,ó >,SC 150,211, 5 D C 15 O l, AM C 6, 8 5, 5 O 1, AC l 5 O l, WC 5 O > , X G R( 5 O l , r GR e 5 O J , D XC 5 O >, O Y C 5 O >, 6 DXAC50),DXOC50l,OYAC50),DYDC50l
INICIO OA ITERACAO QUE APLICA EM TODOS OS PONTOS NODAIS DA ESTRU TURA UMA CARGA VERTICAL UNITARIA DE - 1 TONELADAS DOHOK=l,NJ
C GERACAO DA ACAO VERTICAL UNITARIA DE -l TON APLICADA EM UM PONTO C · NOOA_ DA ESTRUTU.~ A QUE NAD TENHA RESTRICAO NA OIREC~O Z
Ií CRLC3•Kl) 39D,390,440 iC: ZERAGEM DO VETOR CAI DAS ACOES
390 00 4)0 J =1,ND 400 ACJ) = O.
AC 3•.~ l=-1. ic C REORDENACAO DO VETOR DAS ACOES <A>
DO 430 J = 1,ND IF CRLCJ>> 420,420,425
420 ·· KI = J - CRL·<J>· ---- · - ·-1 GO TO 430 0
425 KI ~ N • CRLCJ) _!,lD_ACKII = ACJI
-e e e
432
433 434 e e
e· e.
RESO_UCAD DJ SISTEMA DE [QUACOES - CAlCUL·o DOS DESLOCAMENTOS CD). COM A CHAMADA DA SUBROTINA PARA RESOLUCAO 00 SISTEMA OE EQUACOE~. CALL RESOL RETORNO DOS DESLOCAMENTOS CD) A NUMERACAO ORIGINAL J = N + 1 DO 434 JEE = 1,ND JE =NO+ 1 - JEE IF C~~ CJE)) 432,452,433 J = J - 1 OCJE> = OC J> GO TD 434 DCJE> = O.
CONT I~ UE
ACOE5 NAS EXTREMIDADES DOS ELEMENTOS 00 435 I = l, M
CHAMADA DA SUBROTINA QUE GERA A MATRIZ AUXILIAR <SMR> E A NUME -RACAO DOS DESLOCAMENTOS NOS EXTREMOS DOS ELEMENTOS C ALl AUX
C OETERMINACA) OE CAM> = CSMR> * <O> DO 435 J =1,ó
435 AM<J•l•K> = 5MR<J•l> * O(JlA) + SMRCJ,2) * OCJ2Al + t SHRCJ,3) * OCJ3A> + SMR CJ,4) * OCKlA> +
2 SMRCJ,5J * DCK2Al + SMR<J,ó) * O<K3AI 440 CONTINUE
RE TU~ N . ENO
B6100 FORTRAN . C O M P I L ~ T I O N M A R K 2.
H E N R I O E R I V = = :: = = = = = = =
e SUBROUIINC lH:RIV
e-------------------------------------------------------······-------e e 1; e
e e
10 15 e í:
17
20 e (;
SUEROTINA QIJE CALCULA AS DERIVAD1\S P,IRCIAIS EM FELACAO A X E A Y NOS PO~TOS NODAIS DA SUPERFICIE DE INFLUENCIA DA GRELl1A -------------------------------~------------------------------------
RL~L LC85J,IX(8Sl,lH85) INTEGEF f1LC 150l,CRLC150),lJ8~ COMMON M,NJ,NR,NRJ,E,G,N,L,[M,[Y,ERRO,ND,CRL,RL,I,URW,
1 J1A,J2A,J3A,K1A,K2A,K3A,VA,VBl,VB2,0A,DB,PF,PM,J0ESC,XRJ,YR1, 2 S1ETA,CTETA,Pl,P2,P3,P4,P5,P6,NLG,XGRP,YGRP,SS,FO,XMAX,YMAX, 3 WMAX,XLOC,YlOC,FLOC,EF,EM, 4 X ( 5 O l , Y C 5 O L, J J ( 8 5 l , J r; ( 85 J , C ~ ( B 5 l • C Y C 8 ':í l • S ~ R C 6 , f, l • S < 1 Sü , 2 1 J , 5 D C l 5 O)• Â H( 6 , 8 5, 5 O > , A ( 1 5 O l , 'H 5 C l , X G 11 ( 5 O ) , Y G R ( 5 O ) , D .X ( 5 O) , D Y ( 5 O l , 6 OXAC5Gl,DXDCSOJ,DfA(50l,DYOC5G)
O(fINICilO ü,\ FUNC:AO rOW QUt: CALCULA,, OLRIVAGA OE UI' PONTG U PAR JINDO 00 POLI~OMIO DE INTERPOLACAO DE LAGRANGE DE GRAU 2 FOWCU,XO,Xl,X2,FO,Fl,F2l = ((2,•U-X1•X2)•FOJ / l(XO-XlJ•(XO-X21)
1 + ((2,•u-xo-.x2l•Fll 1 «n-xohCxt·x2» + Cf2.•u-xo-x1>•F2l 1 2 (CX2-XOl•CX2-Xlll
DETERHINACAO DO NUMERO OE LONGARINAS NLG DDlOK=l,NJ {F(YCK+l)-YCK>l 10,!0dS
C. O NT l NUE NLG = ~
CALCULO 00 V!ILOR llO S[êNfJ E CO·SC:NO 00 ANGUUJ TETA DA GRELH,1 IF C'( ( N J l - Y. ( ~ LG l l 1 l • 1 7, 19 STt'i ,\=l. CTETA=O. G G TO 20 D I=S Q RH ( X( N J) • X 01 LG l J •" 2 + C Y C N J l -Y ( N LG .l l • ~z l STETA=CY(NJJ-Y(NLGl)/DI
· -·--·C'fl:.1' A =lcX<'NJ)·-n NU, +l /D·I·· CONTINUE
MUO/,NC;\ O[ COORtE:N,HJ;iiS DOS i, IXOS 0025~=1,i'(j YGRCKl=CY(Kl•Y(iJ)/S"[ÉT{ ~GR{Kl-=XCKl•X(lJ-YGF R)•CTETA
X,Y PARA os r:rxos XGR,YGH
-(;
, C Z!:R/,GEM DOS VETORES OAS DF.R!V.i\D/,S D030J=l,~J DX(Jl=Q. OYCJl=Q. D X A( J) =O. DX[H Jl=O. o Y A e J >=o.
30 DYD(Jl=o. ,C
C CALCULO DAS OEH!VAD~S PAHCIHS NOS PONTOS NODJI IS 01\ GR!::L~A DO :>OOC J ·= 1,NJ
e ·C
40 50 &O
. 70
80 90 100 110
120
. 130
. 14 O ; 200 i z to
220
NG J NOS C/1,NTllS 1:11', GRf::ll·I/\ IF CJ-1) 40,~0,40 lF C J-NLGl 90, 50,90 IF (J•~LG-JOESCJ 70,60,70 Jl=JtNLG UYCJl = (M(Jll-W(Jll / CYGR(Jll•Y(JJJ G O TO 80 XJ\=YG RCJl Jl=J;.NLG XK=YGR(.11) J2=J • 2·•NLG X9=YGH(J2 l F/1,=WCJl FK=wC Jll FB=W(J2) DYCJl=FDWCXA,XA,XK,XB,FA,fK,FGJ lF(J-1) 200,100,200 ff(J·C~J-NLGtl)) 140,100,140 IF C J + 1 • JDE S C > l 2 O , 11 O , 1 2 O OX(Jl = (W(J+l)•W{JJ} / CXGR(J+!)•XGR(J)J GO TO no XA=XGHCJ) XK=~.G R(Jtl > XB=XGRU+2) FA=f.'( J) FK=~I ( J+ll FB=fl ( J+2) DXCJJ=FDW(XA,XA,XK,XB,FA,FK,FBJ IFCJ-ll 300,2000,300 !FCJ•NJ) .B0,200,.330 IF{J• L·JDESC l 22ú,21íl,220 OXCJ}=CNCJJ•WCJ·t))/(XGR!J)•XGRCJ·lll IF CJ-NLG l 300,2000, 300 XA=XG RLJ-2 l
. -x·K·=X-tlR(J-n- .. ___ ,._ ..... - -· -iB=XGR(Jl
300 '310 1
:sz o
no '335
-5 1, 0 i 14 5 · 35:0
35,2 35·5
360 ; 362 . 36 5
:Ho
-F A=ll < J-2) FK=fl(J-t) FB=rl ( J) ll X ( J l =fD W ( X 8 , X A, X K , ':< B , U, , F K, F 8 l lF(J-NLG) 300,2000,300 lF(J-NU,-JO~:sc) 320,310,320 Jl = J-NLG OY(JJ= (W(J)-W(Jl))/CYGIHJ)-YGF(Ji)l GO TO 2DOO J1=J-2*NLG XA=YG R(Jl) J2=J• NLG XK=YGIHJ2l XB=YGR(Jl fA=iHJll FK=W(J2) FO=W( J) OYCJl=FDW(X9,XA,XK,XB,FA,FK,fH) GO iO 2000 !F (XGP(J)) :ns,:\520335 IF CXGR<J)-XGR{NLGJl:l4iJ,352,34C IF C YGR( Jl l 3,,5, .l62 ,31,5 !F CYGRIJl-VGR(NJll 350,362,350 IF C J-JDESC) 355,800,355 lf C J•JDESC J 355,9 00-355 Jl=J-NUi XA=YGR{Jt) XK=YGR(JJ J2=J+NLG XB=YG RCJ2) FA=rHJll FK=W< JJ ---r B = ,n-J 2,- -- - - -- - - · - --- -- - - -- - -- -- -- -DYCJl= FDWCXK,XA,XK,XH,FA,FK,F8J IF (XGR(Jll 360,400,360 IF (XGRCJJ-XGRCNLGJJ 365,500,3E5 !F (J-JDESGJ 365•800,365 XA =XGR(J-ll XK =XGR(JJ XB =XGRCJ+ll F A = •,; C J- 1l FK' = W(Jl FB··=WCJ+IJ OXlJJ= FDW(XK,XA,XK,XB,FA,FK,FBl lf(YGR(J)) 37iJ,ó00,370 !F(YGR(JJ-YGR(NJlJ 2000,700,2000
e C . NC J NA LONGARINA INICIAL 400 IFCJ+l•JDESC} 420,410,420 410 OXCJI= CWIJ+ll•NCJll/CXGRIJ+1J•XGRCJ)}
GO TO 2000 1,20 XA=XGRCJ)
e
~ºº 510
520
e
XK=XGR(J+ll XB=XGR(J+Z) fA=W(J) FK=WCJ+ll FB=rl{ J+2l O X ( J l ·=FD WC X A , :<A, XK , XH , F A, F K, F B l GO TO 2000
NO J NA LONGARINA FINAL IFCJ-1-J!J::scl 520,510,520 D X ( J) · = OI ( J > - IH J - .l l l / < X G R (J > - ~ G R ( J - 1 l l GO TO 2000 XA= XGR( J-:>. l XK= XGR(J•ll Xd= XGR( J} FA= W(J-21 FK= WCJ•l) FB= HCJJ OXCJ) = F!lW(XB,XA,XK,XB,FA,FK,FBl GO TO 2000
C NO J NA 'íRANS\/E'<SI ~/.;\ IN IC TAL &00 IF CJ•~LG-JDESCJ62G,610,620 610 Jl=J+NLG
·-· D 'HJ·-l= -+W [-J l l -WC J ) .. ) /-( Y SR C J 1 l--Y G-R CJ I l GO TO 2000
&20 XA=YGR(Jl Jl=J+NLG XK=YGR(Jl) J2=J + 2*f•ILG XB=Y G R( J2) FA= W(Jl f K= W < Jl J fB= W(J2) OY(Jl=FDW(XA,XA,XK,X9,FA,FK,FB1 GO TO 2000
NO J NA TRANSVERS!NA FINAL l F C J - Nu; - Jl) E se l 7 2 O , 7 1 O , 7 2 O Jl=J~NLG ,
_OY(JJ = (~CJ)~WCJlll/(YGR(Jl-YGR(Jlll
1 120
e e. 500 810
820
630 84 O
35 O
860 il 6 5 870
875
88 O
GO TO 2000 J l=J- 2*-NLG. XA=YG RCJ ll J2= J-~LG XK= YGR( J2l XB= YGF(Jl fA= IHJll fK= WCJ2l fB= W(Jl 0Y(Jl=FDWCXB,XA,XK,X8,FA,FK,f8) GO TO 2000
NO J OE DESCONJINIJID~D~ DO !NTFRIOR DA GRELHA lf (XGF(J>ll-XGRINLGll320,8t0,92D D XD C J l =(;; C J+ 1)-W ( J l l / ( XG R C J >1 J - XG R ( J J) Gü TO 830 XA =XGR{ JJ XK =X:GR(Jtl) XB =XGRC J+2 J FA =W(Jl FK =w(Jtl) FB =ôCJ•2J CXOCJl=FONCXA,XA,XK,XB,fA,FK,FEl IF CXGR(J-lll850,840,850 DXA(JJ= OICJJ-\;(J-l)l/(XGR(J)-~GR(J-1.ll GO TO 860 XA=XG R(J-2)
· --Xit=XGRC-J-U·----- --- --------··-- - ---- ---- - - ---- - -- --------------------XB=XG R( Jl Fll=WCJ-2) FK=li{J-ll fB=l/(J) DXA(Jl= fD 1a(~8,XA,XK,XB,FA,FK,F8l H" (YGR(J)) 865,S00,'3&5 If C YGR(JJ-YGRCNJl )Bl0,700,870 Jt= J•NLG !F (YGR(Jl)·YGROJJ)) e.e0,875,880 OYO(Jl = (W(Jl)-W(J)) / (YGR{Jl)-YGRC.J)l G O TO 88 5 XA = YGR(Jl XK = YGH(Jl) J2=J + 2*~1LG XB = YGR(J2l fA = W(Jl FK = W(Jl) FB = IHJ2) OYOCJl: FDN(XA,XA,MK,XB,FA,FK,FB)
38 5
890
895
9 Oi)
91_0
920
930
940
950
960 2000
-Jl = J-~JLG If CYGRCJlJ) 895,890,995 DYA(Jl = C~CJ)·l/(Jlll/CYGRCJ)·YGR(Jl )) GO TO 2000 J2= J·2*NLG XA= YGRC J2) XK = YGR< Jll XB = YGíi(Jl FA = \ICJ2l fK = W(Jll f8 = W(J) DYA(Jl = FOWIXB,XA,XK,XB,FA,fK,FBJ GO TO 2000 Jl = J+NLG IFCYGR(Jll•YGRCNJ)J 920,910,920 OYO( J) = CWCJl.l·W(Jll / (YGRCJl)·YGRCJ)) Go ro 930 XA = YGRC JJ XK = YGR(Jl) J2 = J+2*NLG XB = YGfl( JZ l FA = W(Jl FK = W(Jll FB = iHJ2l OYQ(.J.). = F.OM(.X.A,-~A,:XK,XB,E-A,FK,FOl Jl=J·NLG !F CYGR<Jlll950,940,950 DYA(JJ = CkCJl·IHJl ll/CYGR(Jl·YGR(Jl ll GO TO 960 J2 = J·Z•NLG XA = YGR(J2) XK = YGR<Jl l XB = YGR( Jl FA = WCJ2l FK = 'HJll Fil = W(Jl DYA(Jl = FOWCXS,XA,XK,XB,FA,F~,FBl IF(XGRCJJJ 5D0•40Q,5DO CONTINU,: RETURN E ND
86700/87700 F O R T R A N' C O H P I L A T I O N M A R K SU8RDUTINE INTER
e e--------------------------------------------------------------------e e g
SUBROTINA QUE CALCULA AS OROENAOAS OA SUPERFICIE OE INFLUENCIA OE UH PONTO P ~D INTERIOR OE UM PAINEL DA GRELHA ATRAVES DE UMA FUNCAO OE I NTERPOUICAO SS --------------------------------------------------------------------'C
,e ·c
c e 1000 1010 1838 1040 c c
10 20
30 40 41 42
R E AL L C 13 5 >. I X C 65 > • I Y .< 6 5 ) INTEGER RLC150}•CRLC150),U8W COHHON H,NJ,NR,NRJ,E,G,N,L,IX,IY,ERRO,ND,CRL,RL,I,UBW,
1 J1A,J2A,J3A,K1A,K2A,K3A,VA,V81,V82,DA,D8,PF,PM,JDESC,XR1,YR1, 2 STEíA,CTETA,Pl,P2,P3,P4,P5,P6,NLG,XGRP,YGRP.ss.ro,XMAX,YMAX, 3 WHAX,XLOC,YLJC,FLOC,Ef,EH, 4 XC5)),YC50},JJC65),JKC85>•CXC85),CYC85),SHRC6,ó),SC150,21l, 5 OC150},AHC6,65,50l,AC150}.W(50>,XGRC50l,YGRC50l,DXC5Dl,DYC50l,
DXAC50),0XOC50>,DYAC50l,OYDC5D) 6
DEFINICAO DAS FUNCOES PSI E FI PSI(Z) = Z * cc1.-ZJ••2) FICZJ = (3.-2.•Zl * CZ••2l
~rRf~b~~~A~o~6.Yo68~I8ob ESTA DENTRO IF CXGRP-XGRCNLG)) 1010,1010,1030 If CYGRP) 1030,1020,1020 ~[ ~y~~P-YGRCNJ)l 1040,1040,1030
GO TO 350 CONT I ~UE
VERIFICACAO 00 PAINEL CORRESPONDENTE DO 1l J = 1, N J IF CYGRCJ>-YGRPl 10,20,20 CONTINUE 00 -30· -.Jl-=.t·,N·J· - ·-- --l FC XG R C Jl ).-XGRP)30 ,40, 40 CONTINUE IFCYGRP) 44,41•44 IFCXG.RPl 43,42,43. .. _. K=t
DA PONTE
AO PONTO P
2.
GO Têl 47 43 K=Jl·l
GO TJ 47 44 Ií<XtiRP> 46,45,46 45 K=Jl-~LG
GOTO 47 , 46 K=Jl•NLG•l
e C DEíINICAO DAS COORDENADAS RELATIVAS CSI E ETA DO PONTO P 47 Kl=K+NLG
CSI=<XGRP•XGRCK))/CXGRCK+l>-XGRCK>>
e ETA=CYGRP•YGR<K))/CYGR<Kl>·YGR<K>>
C AOAPTACAO DAS FORMULAS DAS DERIVADAS PARCIAIS NOS PONTOS OE OES• C CONTINUIDADE ?ARA O EMPREGO DA íUNCAO DE INTERPOLACAO SS
IíCOXDCK))50,60,50 50 OXCK>=OXOCK)
60
90 100 110
120 130
140 150
160 . t70. 160 190 200 e e
IíCOYDCK>>70,80,70 OYCK )=OYOC K) GO TO 200 IíCOIACK.+1))90,100,90
OXCK+l >=OXACK+l) IíCOYOCK.+1))110,120,110 OYCK+l >=OYDCK+l) GO Hl 200 IíCDIACK1+1))130,140,130 OXCK1+1)=0XACK1+1>
IíCOYACKt.+ll/150,1.60,150 OYCKl+l>=DYA Kl+l) GO TO 200 IíCOXDCKl)l170,160,170 D X (K 1 )=OXO C K·l·> · · Ií<OYACK1>)190,200,190 DY(Kl >=DYA<Kl > CONTINUE
DEíINICAO DAS VARIAVEIS AUXILIARES CSI1 E ETAl cs Il= 1.-cs I ETAl = 1. •ETA
1,
-C'\ C'
e
e
e e 35J
·,\-
- -- -\--O[Fl~ICAO DA FUNCAO O[ INTERPOLACAO SS Sl=WCKl•Cl.-FICCSlll•Cl.-FICETAll + WCK+ll•Cl.-FI<ETAll•Fl<CSil
1 + WCKl+ll•FICETA>•FICCSll • WCKll•Cl.-FICCSll)•FIC:'.TAl
S2=CXGRCK+lJ-XGRCKll•CCDXCKl•PSICCSll•<l.-FICETAlll• 1 CDXCK+ll•PSICCSlll•Cl.-FICETAlll•OXCKl+ll•PSICCSill•FICETAl + 2 <DXCKll•PSICCSIJ•FI<ETA>ll
S3=CYGRCK1J-YGRCKl)*CCDYCKl•PSICETAl*<l.-Fl<CS1lll+ 1 OYCC+ll•PSICETAl•FICCSll •CDY<Kl+ll•PSICETAll•FICCSlll• 2 COYCK1l•PSICETA1l~Cl.-FICCS1llll
SS=S 1 +52 +S 3
CONTINUE RETUHI [N·D \;
SUBRlUTINE OBJET e
. c-~-------------------------------------------------------------------c SUBROTINA QUE CALCULA A FUNCAO OBJETIVA EM RELACAO AS COORDENADAS OA ,CRODARl : e---------------------------------------------------------------------,e
e
REAL LC85),IXC851,IY~85) INTEGER RLC150>,CRLC1501,UBW COHM)N H•~J,NR,N~J,E,G,N,L,IX•IY,ERRO,NO,CRL,RL,I,UBW,
1 JlA,J2A,J3A,KlA,K2A,K3A,VA,VB1,VB2,0A,DB,PF,PH,JOESC,XR1,YR1, 2 STETA,CTETA,Pl,P2,P3,P4,P5,P6,NLG,XGRP,YGRP,SS,FO,XMAX,YMAX, 3 WMAX,XLOC,YLOC,FLOC,EF,EM, 4 XC5)l,Y(50),JJ(85l,JKC85l,CXC85l,CY(85l,SMRC6,5l,SC150,21>, 5 O C 1 5 O ) , AM < 6 , 8 5 • 5 O l, A< 1 5 O l , W C 5 O ) • X G R C 5 O ) • Y G R C 5 O l , D X< 5 O l • O Y C 5 O ) , 6 DXAC50l,OXDC50l,OYAC50l,OYDC50l
C OROEiAOA DA SUPERFICIE DE INFLUENCIA CORRESPONDENT~ A RODA Rl XGRP=XRl YGRP= Y Rl CALL INTER Wl=SS
e C COORQENAOAS DA RODA R2
XR2=(Rl+VA/STETA YR2=YR1-CVA•CTETAl1STETA
e e e
' e
CHAMADA DA INFLUENCIA XGRP=XRZ YGRP=YRZ
CALL INTER --wz-,,ss
SUBROTINA PARA CALCULO DA ORDENADA DA SUPERFICIE DE ClRRESPONOENTE A RODA R2
j C OROE~ADA DA SUPE~FICIE DE INFLUENCIA CORRESPONDENTE A RODA R3 XR3=XR1 YR3=YR1+VB1 XGRP=XR3 YGRP=YR3 CALL INTER W3=S5
1\)
o o
c e
e
.:.-
ORDE~ADA DA SUPERFICIE DE INFLUENCIA CORRESPONDENTE A R4-XR4=(R2 YR4=YR2+VB1 XGRP=XR4 YGRP=YR4 CALL INTER
W4=Si 1 C ORDE~ADA DA SUPERFICIE DE INFLUENCIA CORRESPONDENTE A R5
X R 5= ( R 1
c e
c
YRS=YR 3+VB2 XGRP=XRS YGRP=YRS CALL INTER W5=S5
ORDE~ADA OA SUPERFICIE DE INFLUENCIA CORRESPONDENTE AR& XR6=XR2 YR &=Y R 4+VB2 XGRP=XR& YGRP=YR& CALL INTER W6=S5
C CALCULO DA FUNCAO OBJETIVA FO FO=Pl•Wl+P2•W2+P3•W3+P4•W4+P5•WS•P&•W6
e .. , RETURN END
• 1
86700/87700 FORTRAN C O M P I L A T I O N M A R K SUBRJUTINE SMAX e !
e·--------------------------------------------------------------------c e c
CALCULO OA ORDENADA MAXIMA DA SUPERFICIE DE INFLUENCIA --------------------------------------------------------------------
c c
REAL L<8S>,IXC85>,IY(65) INTEGER RLC150),CRLC150),U8W COMMON M,NJ,NR,NRJ,E,G,N,L,IX,IY,ERRO,NO,CRL,RL,I,UBW,
1 JlA,J2A,J3A,KlAoK2AoK3A,VA,VBl,V82oDA,OB,PF,PM,JOESCoXRloYRl, 2 STETA,CTETA,P1,P2,P3,P4,P5,P6,NLG,XGRP,YGRP,SS,FO,XMAX,YMAX, 3 WMAX,XLOC,YLOC,FLOC,EF,EM, · · . 4 X C 5 ,J ) , Y C 5 O > , J J( 8 5 l, J K C B 5 ) , C )( ( 8 5 > , C Y( 8 5 ) , S MR C 6, ó >, S C 1 5 O• 2 1 J , 5 DC150J,AMC6,85,50),AC150),W(50),XGRC50),YGRC50),0XC50),DYC50),, 6 DXACSO>,OXOCSO),DYACSO>,OYOCSO)
C DEFI~ICAO DJ ~ONTO MAXIMO LOCAL PROVISORIO 50 XLOC=XR1
' , e! c e e
c c 100
e 200
YL OC= YR1 XGRP=XLOC YGRP= YLOC CALL INTER WLOC=SS
GERACAO DO !~DICE OE CONTROLE DOS INCREMENTO$ DAS VARIAVEIS I O=l
INCREMENTO DA VARIAVEL XT NO SENTIDO POSITIVO DELTX=Ool OELTY=O. GO TJ 2000
INCRE.~ EN TO 10=2 - -OELTX=•0.1 GO TO 2000
INCREMENTO I 0=3 DELTX=O. OELTV=0.1 GO TJ 2000
DA VA~IAVEL ~T NO SENTIDO NEGATIVO
DA VARIAVEL YT NO SENTIDO POSITIVO
2.
,.
1\)
o 1\)
e C INCRE~ENTJ DA VA~IAVEL YT NO SENTIDO NEGATIVO 300 I D=4
DELTY=:-0.1 GO Tl 2000
e C INCRE~ENT~ SIMULTANEO OE XT E YT NO SENTIDO NORDESTê 400 I 0=5
OELTX=0.1 OELTY=0.1 GO TO 2000
E INCREMENTO SIMULTANEO OE XT E YT NO SENTIDO NOROESTE 500 10=6
DELTX=-0.1 GO Til 2000
E INCREMENTO SIMULTANEO DE XT E YT NO SENTIDO SUDESTE 60 O
e
I0=7 OELTX=0.1 OELTY=-0.1 GO TD 2000
C INCREMENTO SIMULTANEO OE XT E YT NO SENTIDO SUDOESTê 700 I 0=8
DEL T X= -O .1 e C OEFI~ICAO 00 PONTO INICIAL DA ITERACAO 2000 XT=XR 1
YT·=YR 1 -· 2005 CONTINUE e C INICIO DA ITERACAO DE PROCURA DA ORDENADA MAXIMA
DO 2100 I=l,20 e
XT=XT+OELTX•C2 .• ••CI-l)l YT=YT+pELTY~<2•••tI:-~Jl
1
.1
~
C VERIFICACAQ DAS ~ESTRICOES DAS VARIAVEIS XT E YT
20,10 2020 2030 2040 20,s o 20ó0 e e 2010
e
IF CXT) 2500,2010,2010 IF<xT-CXGRCNLGl-VA/STETAlJ2020,2020,2500 IF<CTETA> 2050,2030,2030 IF<YT+YBl+VB2> 25-00,2500,2040 Ií<YT-YGRCNJl-VA*CTETA/STETAl 2070,2500,2500 IFCYT+VB1+VB2-VA*CTETA/STETA> 2500,2500,2060 IF (YT-YGRCNJ)) 2070,2500,2500
OROE~AOA DA SUPERFICIE OE INFLUENCIA CORRESPONDENTE XGRP= XT YGRP=YT CALL INTER WT=SS
C VERIFICACAO Do VALOR MAXIMO LOCAL IF (W~AX-WT) 2150,2100,2100
2100 CONTINUE 2150 XMAX= XT
YMAlC=YT WMAX=WT
c
A CXT,YT)
C RETORNO AO INICIO 00 PROCESSO OIMIN.UlNOO O PASSSO DA lTERACAO GO TO 2005
c e ' 25.00
' 3000 c t· c 1 :
1
c ' c 3100
'
e . c 3200
' 1.
MUDA~CA OD SENTIDO NA ITERACAO CONTINUE GOTO (100,200,300,400,S00,600,700,3000>,ID CONTINUE
VERIFICACAO DO MAXIMO GLOBAL lF CWMAX-WLJCl 3200,3200,3100
REOEFINICAO DO PONTO INICIAL OE ITERACAO XRl=XMAX YR l=YMAX GO TJ 50
OEFI~ICAO O) VALOR MAXIMO GLOBAL XMAX=XLOC YM AK= YLOC WMAX= WLOC RETURN ENO
86700/87700 r O R T R A•N COMPILATION M A R K
SUBRJUTINE íDLOC e e-----------------~--------------------------------------------------c CALCULO DA íUNCAQ OBJETIVA MAXIMA EM TORNO DE UM PONTO MAXIMO LOCAL C DA SUPER 0 ICIE DE INFLUENCIA e--------------------------------------------------------------------e
c c
e
REAL LC85),IXC85),IYC85l INTEüER RLC150),CRLC150l,UBW COMMJN M,~J,NR,NRJ,E,G,N,L•IX,IY,ERRO,NO,CRL,RL,I,UBW,
1 JlA,J2A,J3A,KlA,K2A,K3A,VA,VB1,VB2,DA,OB,Pí,PM,JDESC,XR1,YR1o 2 STETA,CTETA,Pl,P2,P3,P4,P5,P6,NLG,XGRP,YGRP,SS,íO,XMAX,YMAX, 3 WMAX,XLOC,YLOC,ílOC,Eí,EM, 4 X C 5 O l • YC 5 D l • J J( 8 5 ) • J K C 8 5 l, C X C 8 5 l • C Y C 8 5) • S MR C 6 • 5 ) • S C 1 5 O• 21 l • 5 D <150 l,AMC6,85,50 l,A< 15ClloWCS0) • XGRC 50 l,YGR( 50) ,DXC 50l,DYC50 >, 6 DXAC50),DXDC50>,DYAC50l,DYOC50l
RODA Rl NO PaNTO DE ORDENADA MAXIMA XL OC= XMAX YLOC= YMAX
C DETER~ HIACA) DA íUNCAO OBJETIVA
e
XRl=XLOC YR 1= Y L OC C All O BJET íLOC=íO
e P~!J~ICAo oo INDICE DE CONTROLE DA RODA
e C RODA R2 NO P)NTO DE ORDENADA MAXIMA
XT=X1 AX-VA/STETA Y T = Y ~ A X+ C V A* CTE TA rt S T ETA GO Tl 2000 e
C RODA R3 NO P)NTO OE ORDENADA MAXIMA 100 I R=2
XT=X-~ AX YT=Y't AX-VB1
2,
1\)
0 V,
GO TO 2000 e C RODA R4 NO PJNTO OE ORDENADA MAXIMA 2.00 IR=3
e
XT=X4AX-VA/STETA YT=Y~AX-VBl+CVA*CTETA)/STETA GO TJ 2000
C RODA RS NO PJNTO DE ORDENADA MAXIMA 300 IR=4
e
XT=X1AX YT=Y4 AX-VB1-VB2 GD TO 2000
C RODA R6 NO PONTO DE ORDENADA_MAXIMA 4
00 i~~~4AX-VA/STETA
e e 500
e
YT=YMAX-VB1-VB2+CVA*CTETAJ/STETA GO TJ 2000
PONTO EQUIDISTANTE DAS RODAS Rl E R2 NA ORDENADA MAXIMA IR=6 XT=X4AX-VA/C2.*STETA) YT=Y~AX+CVA*CTETAJ/(2,•STETA> GD TO 2000
C PONTO EQUIDISTANTE DAS RODAS R3 E R4 NA ORDENADA MAXIMA 600 IR=7
e
XT=X~AX-VA/C2.•STETA) YT=Y4AX-V81+CVA•CTETA)/C2.•STETA> GO Hl 2000
C PONTO EQUZ-DISTANTE DAS-RODAS RS·E ·R6 NA" ORDENADA MAXIMA 700 IR=8
XT=X4AX-VA/C2.•STETA> YT=Y~AX-VB1-V82+CVA•CTETA)/C2o•STETA)
2000 · CONTI~UE -e
-J . e 2010 20 20 2030 2040 2050 20ó0 20 65
e
--~-~ -~.
VERIFICACAO DAS REST~ICOES DAS VARIAVEIS XT E YT rr CXT) 2065,2010,2010 IF CXT•CXGRCNLG)•VA/STETAl> 2020,2020,2065 IF<CTETA> 2050,2030,2030 IF<YT+VB1+VB2> 2065,2065,2040 IFCYT·YGRCNJl•VA•CTETA/STETA> 2070,2065,2065
IFCYT+VB1+VB~·VA•CTETA/STETA> 2065,2065,2060 IF CYT•YGRCNJ)) 2070,2065,2065 FT=O. GO ra 2500
C OETERMINACAJ DA FUNCAO OBJETIVA 2070 XRl=KT
e
YRl=YT C ALL O BJET FT=FJ
C VERIFICACAO DO VALOR MAKIMO DA FUNCAO OBJETIVA IF <FLOC-FT} 2100,2500,2500
2100 FLOC=FT XLOC= XT
YLOC=YT 2500 CONTINUE e
GO TJ Cl00,200,300,400,500,600,700,3000>,IR 3000 CONTINUE
RE TUR N END
•
B67J0/B7700 FORTRAN C O M P I L A T I O N M A R K
SUBROUTINE MULTI (j
e--------------------------------------------------------------------SUBROTINA PARA CALCULO DOS ESFORCO$ DEVIDO AS CARGAS DE MULTIDAO . e ·e e --------------------------------------------------------------------
REAL cC8Sl,IXC85l,IYC85) INTEGER RLC150>,CRLC150l,UBW . COMMJN ~•MJ,NR•NRJ•E,G,N,L,IX,IY,ERRO,ND,CRL,RL,I,UBW,
1 J1A,J2A,J3A,K1A,K2A,K3A,VA,VB1,VB2,DA,DB,PF,PM,JDESC,XR1,YR1, 2 STEfA,CTETA,~1,P2,P3,P4,PS,P6,NLG,XGRP,YGRP,SS,FD,XMAX,YMAX, 3 WMAX,XLOC,YLDC,FLOC,EF,EM, 4 XC50),YC50),JJC65l,JKC85},CXC85l,CYC85),SMRC6,&l,SC150,21l, 5 OC150l,AMC6,65,50>,AC150),WCS0),XGRCSO>,YGRCSO>,OXC50>,DYC50l, 6 DXAC50l,DXDC50l,DYAC50l,OYDC50>
c E CALCULO DAS COORDENADAS DA EXTREMIDADE INICIAL DO VEICULO
XEl=XLDC-CCDA-VAl/C2,*SfETA>l YE1=YLDC-CCDB-VB1-VB2l/2,-CCDA-VAl*CTETAl/C2,*STETAll XE2=XEl+CDA/STETAl Y E 2= Y E 1 - COA• C TETA l /S TE T A XE3=XE1 YE3=Y El+DB XE4=XE2 YE4=YE2+DB
c C VOLU~E DE IMFLUENCIA NO LADO ESQUERDO DA FAIXA DO VEICULO IN=l IFCXC:1) 50,50,55
50 V 1=0,
55
100 i· t
e
GO T,J 115
XT l=). YT 1=0 • X T 2=). YT2=YGRCNJ) XQt=·XTl --- --· YQ 1=) •
XQ2=XE1 YQ2=YGR(NJ} GO TO 450 Vl=V VOLU~E DE IMFLUENCIA NO LADO DIREITO DA FAIXA DO VEICULO
2.
115
, 150
155
IN=2 IF<X~2-XGR<NJ)) 155,150,150 V2=0• GO Ta 215 XT l=X E2 Y T 1= J •
XT2=XE2 YT2=YGR<NJ) XQl=XGRCNJ) Y Q 1=0. XQ2=XGR<NJ) YQ2=YGR<NJ) GO TJ 450
200 V2=V e C ESFORCOS OEVIOO A CARGA DE MULTIDAO FORA DA FAIXA DO VEICULO 215 EH=P~•CVl+V2)
e e
250
255
VOLU~E DE I~FLUENCIA NA REGIAO DA FAIXA ATRAS 00 VEICULO I N=3 IFCY~l> 250,250,255 V 3=0. GO TO 315 X T 1= X E 1 YTl=)o XT2=XE1
1 - - • ·- ·-
YT 2= Y E 1 X<H=X E2 YQl=J. XQ2=X E2 YQ2=YE2
2óíl
265 270
275
30 J c . e 1
315
lF(Xfll 260,265,265 X T 1= J. X T 2=0 • IFCXQl-XGRCNJ)) 275,275,270 XQ l=X GR( NJ) XQ2=XQ1 CON,TINUE OC=CXQl-XTl>/3. GOTO 485 V3=V
VOLUME DE INFLUENCIA NA REGIAO DA FAIXA NA FRENTE DO VEICULO . IN=4
·- IF(Y~3-YGRCNJ)) 355,350,350
355
360
365 370
375
400 c c 415
e e 450 465
48D e e 485
e e e
GO TJ 415 XT l= X E 3 YT1=YE3 XT2=XE3 Y T 2= Y G R OI J > XCH=XE4 YQ1=YE4 XQ2=X E4 YQ2=Y GR< NJ) If<Xfl) 360,365,365 XTl=Jo . XT 2=J • If(XQl-XGR(NJ)) 375,375,370 XQ l=X GRC NJ) XQ2= X Q 1 CONTINUE UC=(XQl-nl>/3. GOTO 485 V4=V
ESFORCOS DEVIDO A CARGA OE MULTIDAO NA FAIXA 00 VEICULO Ef=PF * CV3+V4 > GO T.J 4000
DEFI~ICAO DA DISfANCIA ENTRE AS CURVAS LONGITUDINAIS IFCXQl-XTl-1.0) 480,480,465 OC=l• GO TJ 485 OC=CXQl-XTll
PONTOS INICIAIS LIMITES PARA INTEGRACAO NUMERICA XL l=XTl YLl=YTl XL2=XT1 YL2=YT2
INICIO OA ITERACAO PARA CALCULO 00 VOLUME OE INFLUENCIA V=O.
C AREADA CURVA LIMITADA POR Ll E L2 GO TO 3000
· 500 IFCX.1-XTl> 520,510,520 510 Al=AREA
GO TJ 530 . 520 A2=AREA e_ .. -
C VDL u~ E ENTRE AS ARE AS Al E A2 V=V+OC*(Al+A2+4.*<<Al+A2>12.)J/6. Al=A2
C· C INCREMENTO DAS VARIAVEIS 530 IF<XLl•XQl) 535,540,540 53-5- XL l=XL l+OC
537
540 e . c e 3000 e c 3020
30 25 3030 e c
c
YLl=YLl•(YTl•YQl)/5. YL2=rL2·<YT2•YQ2)/5. IF (KLl•XQl) 3000,3000,537
XL l=XQl YL l=YQl YL 2=Y Q2 GO TJ 3000 GOTO (100,200,300,400>,IN
CALCUaO DA AREA POSITIVA SOB A CURVA ENTRE OS PONTOS Ll E L2
AREA=O.
DEFINICAO DA CONSTANTE DE INCREMENTO DA VARIAVEL Y IF<Y-2-Yll·l.> 3025,3025,3020 OI =1. GO TJ 3030 DI=<YL2•YL1) CONTINUE
ORDENADA DA SUPERFICIE DE INFLUENCIA CORRESPONDENTE A Ll YA=Ll XGRP= Xll
YGRP=YL1 CALL INTER ZA=Si
C INCRE~ENTD DA COORDENADA YA 3100 YB=YA+DI
IF <YB·YL2> 3120,3120,3110 3110 OI=YL2•(YB•Dil
e e 3120
YB=Y-2
ORDENADA DA SUPERFICIE YGRP=YB CALL INTER ZB=Si
DE INFLUENCIA CORRESPONDENTE A L2
e e.
3130 3140
3:150
3:160 3:110
3180
É 3-190
VERIFICACAO DAS ORDENADAS POSITIVAS IF CZBl 3130,3130,31&0 IF CZAl 3140,3140,3150 YA=YB ZA=ZB !FCY8-YL2l 3100,3240,3100
YB=YA+ZA•CYB-YAl/CZA-ZBl ZB=O, GO TJ 3180 IF cz·A > 3170, 3170·,31aoYA=vB-ZB•< YB-YA>tczs-zA> ZA=O, CONTINUE
VERIFICACAO OE UMA DESCONTINUIDADE ENTRE OS PONTOS A E 8 IF CX"l-XGRCJDESC)I 3220,3190,3220 IF CYGRCJOESCl-YAl3220,3220,3200
3200 IF CYGRCJDESC>-YB13210,3220,3220 e C ORDENADA DA SUPERFICIE OE INFLUENCIA NO PONTO OE DESCONTINUIDADE 3210 YGRP=YGRCJDESC)
3220 C' e,
e e
3230
3240 e. 400.0
CALL INTER ZB=Si YB=YGRCJOESC> CONTINUE
AREA 00 TRAPEZIO ENTRE OS PONTOS A E B AREA=AREA+CZB+ZA)*CYB-YAl/2.
VERIFICACAO DO FINAL OA ITERACAO IF CYB-YL2) 3230,3240,3230 YA=YB ZA=ZB GO TO 3100 CONTI~UE
GOTO 500 CONTJ~UE ~~~URN
1\) f-' 1\)
.867) O /87700 FORTRAN COMPILA T.I O N M A R K
c SUBRQUTINE FJMAX CEP,IM,GFO,GF,GM,GPl
c---------------------------------------------------------------------c CALCULO DOS ESFORCOS TOTAIS MAXIMOS POSITIVO E NEGATIVO DEVIDO AS C CARGAS MOVEIS e---------------------------------------------------------------------. c
c c e e
c
REAL LC85l,IXC85l,IYC85l INTEGER RLC150l,CRLC150l,UBH COMMON M,NJ,NR,NRJ,E,G,N,L,IX,IY,ERRO,ND,CRL,RL,I,UBW,
1 JlA,J2A,J3A,KlA,K2A,K3A,VA,VB1,VB2,0A,OB,PF,PM,JOESC,XR1,YRl, 2 STETA,CTETA,Pl,P2,P3,P4,P5,P6,NLG,XGRP,YGRP,SS,FO,XMAX,YMAX, 3 WMAX,XLOC,YLDC,FLOC,EF,EM, 4 X< 5) l • Y C 5 O l • J J( 8 5 1 • JK < S 5 >, C X C 8 5 l • C Y( 8 5 ) , S MR < 6, 5 >•Se 1 50, 2 1 l , 5 DC15Dl,AMC6,85,50l,AC150),WC50l,XGRC50l,YGRC50>,0XC50l,OYC50l, 6 DXAC50),DXDC50),DYAC50l,DYDC50)
GERACAD 00 !~DICE OE CONTROLE DA FUNCAO OBJETIVA I D=l
COORDENADAS INICIAIS PARA A DETERMINACAO DOS MAXIMOS Wf'=WC 1) Xl=XC 1) Yl=YCll WN=WCl) X2=XC 1 l Y2=YC 1 l
C VALO~ES AUXILIARES INICIAIS DOS ESFORCO$ TOTAIS E T P= 1 •
c c;
E T N=l.
CALCULO DOS VALORES MAXIMOS INICIAIS DO 2J J=2,NJ - - . - .
IF {W(J)-WP) 12 ,12 ,11 C VALOR MAXIMO POSITIVO INICIAL 11 WP=WC J l
X 1 =X C J l
2.
L2 c 13
20 c c
45
50
51 52 55 60
70 75
Yl=YCJ) IF (W(J)-W~> 13 ,20 ,20 VALOR MAXIMD NEGATIVO INICIAL WN=IH J l X2=XCJ) Y2=YCJ> CONTINUE
Y~~ÕFICACAO SE A SUPERFICIE OE INFLUENCIA E TODA POSITIVA
NZ=O 00 80 J=l,NJ IF <WCJ))51•45•50 NZ=NZ+l GO TJ 52 I.S=I5+1 G O TO 52
IS=I:i-1 IF<J-NJ>B0,55,80 IF<NJ-IS-~Z) 70,60,70 E T N=G. G O T íl 80 IFCNJ+IS-NZ>B0,75,80 ETP=GP•EP XLDC=O. YLOC=O. FMAX=O• EF=O, EM=O. GO TJ 1372
80 CONTINUE e C CHAMADA DA· SUBROTINA·PARA CALCUl:.O D·AS··DERIVADA·S-PARCIAIS EM RELA C CAO A X E A Y NOS PONTOS NODAIS DA SUPERFICIE DE INFLUENCIA 500 CONTINUE
CALL DERIV e C MUOA~CA DAS COORDENADAS DA RODA Rl PARA OS EIXOS DA GRELHA 510 YRl = <Yl-Y(l))/STETA
XRl = Xl-XCl)-YRl•CTETA
e e e 550
e e 600
610 61 5 e c
e e
c
_._ --------. ----- --VERIFICACAO DAS ~ESTRICOES A COORDENADA XRl DA RODA Rl IF C<Rl-CXGRCNLG)-VA/STETA>>600,600,550 VEICU~O SERA COLOCADO COM AS RODAS R2,R4,R6 NA LONGARINA FINAL XRl = XGR<NLG>-VA/STETA
OROE1AOA DA SUPERFICIE DE INFLUENCIA CORRESPONDENTE A CXRl,YRl) XGRP = XRl YGRP = YRl CALL INTER WS=S> IFCI0-1) 615,615,610 WS=-l•*WS CONTINUE
VALOR !)l!CIAL DA ORDENADA MAXIMA DA SUPERFICIE DE INFLUENCIA XMAX=XRl YMAX=YRl WMAX=SS
FUNCAD OBJETIVA CORRESPONDENTE A C XRl,YRl > CALL OBJET FAUX=FO
C VALORES AUXILIARES DE CALCULO 1000 XAUX=XRl
c e
e e 1100
e
YAUX=YRl
CALCULO 00 VALOR MAXIMO DA CALL SMAX 1-r cro-1 > 3000,1100,3000--
cALCLJLD OA FUNCAO OBJETIVA CONTINUE CALL FOLOC FM AX= FLO C
ORDENADA DA SUPERFICIE DE INFLUENCIA
EM TORNO DO PONTO CXMAX,YMAX>
e VERIFICACAO Du VALOR MAXIMO POSITIVO DA FUNCAO OBJETIVA IF CFMAX-FAUX) 1240,1240,1250
1240 XLOC=XAUX YLOC=YAUX FM AX= F AU X
1\)
1-' V,
···-GO Tl 1260
1250 IF CXMAX-XLJC+YMAX-YLOC) 1255,1260,1255 12'55 XRl= XLOC
1260 c c c c 137 2
138 5
138 7
1390 c c
c 1 c
1400 c c c C, .
1'41 O
YR 1= YLO C FAUX=FMAX GO Tl 1000 CONTINUE
CALCULO DOS ESFORCOS DEVIDO AS CARGAS DE MULTIO~O CALL MUL T 1
ESFORCO TOTAL MAXIMO POSITIVO ETP = GfO•fMAX + GF•Ef + GM•EM + GP•EP CONTINUE HRIT~C5,1385lIM,JOESr.,EP,XLOC,YLOC,fMAX,EF,EM,ETP fORMAT<2I5,F 0.3,4X,'MAXC+J 1 ,6Fl0.3> IFCEíN) 1390,1387,1390
XLOC=O. YLOC=O. fMIN=O. EF=O. EM=O, ETN=GP•EP GO Til 3062 CONTINUE
CALCULO DA FUNCAO OBJETIVA MAXIMA NEGATIVA Xl=X2 Yl=YZ
INVERSAO DE SINAL DAS ORDENADAS DA SUPERFICIE OE INFLUENCIA 00 HOO J=l,NJ WC J ) = -1. *WC J)
!NO!CE OE CO~TROLE DA FJNCAO OBJETIVA 10=2
CALCU_O DAS DERIVADAS ~EGATIVAS IF C~TP) 1410,SOD,1410 O O 14 1 5 J= 1 • ~ J OXCJ.)=-1.•DXC J> DYCJl=-1.•DYC J)
DXA(J)=·l.•DXA<J) DXO(J)=-1.•DXD(J) DYA<J)=·l.•DYA<J>
1415 DYOCJ )=·l. •DYD<JJ GD TJ 510
e C VAOR MAXIMO ~EGATIVO DA SUPERf!CIE OE INFLUENCIA 3000 WMl N= WMAX
e XMIN=XMAX YMIN=YMAX
C FUNCAO OBJETIVA EM T DR NO OE CX MIN,Y M!Nl CALL FOLOC
e e 3'o20
3030 303 2
c
FMIN=FLOC
VERIFICACA3 DO VALOR MAX!MO NEGATIVO DA fUNCAO OBJETIVA IF CFMIN·FAUXJ 3020,3020,3030 XLDC=XAUX YLOC=YAUX fMIN=FAUX
GO TJ 3035 IF CXMIN·XLOC+YMIN•YLOC> 3032,3035,3032 XRl=XLOC YRl=YLOC f AUX= FMIN GO T) 1000
C VALORES NEGATIVOS CALCULADOS 3035 WMI,~=-1.•WMIN
FMIN=·l.•FMI~ c C CALCULO DOS ESFORCOS DEVIDO AS CARGAS DE MULTIOAD
CALL MULTI
c e 306 2
EF=-1. •EF EM=•l. •EM
ESFORCO TOTAL MAXIMO NEGATIVO ETN = GFO•FMIN + GF•tF + GM•EM + GP•EP WRITêCS,3065) XLOC,YLOC,FMIN,EF,EM,ETN
3065 FDRMATCT25,•MAXC•) 1 ,6F1D.3l RE TUR N ENO ------· --