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ANÁLISE COMPARATIVA ENTRE OS MODELOS ANALÍTICOS

DE DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS EM TABULEIROS DE PONTES

COM LONGARINAS RETAS DE ENGESSER-COURBON E

GUYON-MASSONET COM O MODELO DAS REAÇÕES DE

APOIO PROPOSTO.

ULANA DE ANDRADE MEDINO

TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO

(MODALIDADE - MONOGRAFIA)

NATAL-RN

2016

U F R N

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

ULANA DE ANDRADE MEDINO

ANÁLISE COMPARATIVA ENTRE OS MODELOS ANALÍTICOS

DE DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS EM TABULEIROS DE PONTES

COM LONGARINAS RETAS DE ENGESSER-COURBON E

GUYON-MASSONET COM O MODELO DAS REAÇÕES DE

APOIO PROPOSTO.

Trabalho de Conclusão de Curso na

modalidade Monografia, submetido ao

Departamento de Engenharia Civil da

Universidade Federal do Rio Grande do

Norte como parte dos requisitos necessários

para a obtenção do Título de Bacharel em

Engenharia Civil.

Orientador: Prof. Dr. José Neres da Silva Filho.

Co-orientador: Arthur da Silva Rebouças

NATAL/RN, 30 DE MAIO DE 2016

Dedico este trabalho à

CLENILDE TOMAZ DE ANDRADE e

YULA KARLA ANDRADE MEDINO.

AGRADECIMENTOS

À minha mãe, Clenilde Andrade por toda dedicação, coragem e sabedoria para lidar

com as adversidades da vida e por todo sacrifício feito para que eu chegasse até aqui.

À minha irmã, Yula Karla por acreditar sempre no meu potencial e me inspirar a ser

uma pessoa melhor.

Ao meu orientador, José Neres pela seriedade e dedicação no exercício de sua profissão.

Pela disponibilidade e paciência para me orientar, além de toda ajuda para que eu

concluísse este trabalho e principalmente por ser um exemplo de professor, com quem

adquiri não apenas conhecimentos relacionados à engenharia estrutural, mas também o

significado do compromisso de um professor com os seus alunos e com a universidade.

Ao meu Co-Orientador, Arthur Rebouças pelo tempo cedido para me ajudar a elaborar

este trabalho, sempre que precisei, e pelo apoio e incentivo para alcaçar meus objetivos

profissionais.

Á professora Fernanda Mittelbach pelo seu desempenho exemplar como professora,

sempre competente e dedicada e por ser, para mim, uma verdadeira inspiração

profissional.

A todos aqueles que contribuíram de maneira direta ou indireta para a realização deste

trabalho.

RESUMO

Análise comparativa entre modelos analíticos de distribuição de cargas em tabuleiro de pontes com longarinas retas de Engesser-Courbon e Guyon-Massonet com o modelo das reações de apoio proposto. Autor: Ulana de Andrade Medino Orientador: Dr. José Neres da Silva Filho Departamento de Engenharia Civil - UFRN Natal, Maio de 2016 Pontes com tabuleiros de vigas múltiplas são aquelas cuja superestrutura é formada por

mais de duas vigas principais, mais conhecidas como longarinas. A utilização desse tipo

de sistema estrutural tem sido comumente implantada quando comparado aos diversos

tipos estruturais utilizados na atualidade. Desta forma, o estudo da distribuição

transversal de cargas em tabuleiros deste tipo de ponte é de extrema importância para

dimensionar os elementos da superestrutura. No entanto, este estudo não é uma tarefa

fácil para o engenheiro projetista, uma vez que o problema apresenta elevado grau de

hiperestaticidade. A obtenção dos esforços solicitantes e reações de apoio em tabuleiros

de vigas múltiplas ainda são realizadas através de soluções simplificadas de cálculo. As

atuais normas vigentes brasileiras não especificam nenhum método de cálculo para o

caso em questão, este fato motiva o estudo e aprimoramento dos modelos existentes. O

presente trabalho visa descrever e comparar alguns modelos analíticos com o objetivo

de quantificar as parcelas de cargas atribuídas efetivamente a cada uma das longarinas,

possibilitando assim o dimensionamento desses elementos estruturais. São eles o

método de Engesser-Courbon e Guyon-Massonet. O método de Engesser-Courbon é

classificado como descontínuo, onde o problema é resolvido por meio da analogia de

grelha, o método de Guyon-Massonnet, por sua vez, é classificado como contínuo,

sendo a análise feita como laje ortotrópica. Após a descrição dos métodos, serão

apresentados dois modelos estruturais de ponte com tabuleiro composto por três e sete

longarinas. A esses modelos serão aplicados os métodos de repartição de carga

estudados, a fim de analisar os esforços de momento fletor e cortante máximos. Os

resultados alcançados serão comparados com os resultados de um modelo proposto pelo

autor que consiste na determinação das reações de apoio correspondentes a cada

longarina quando o veículo tipo é posicionado da maneira mais desfavorável.

Palavras Chave: Pontes. Concreto Armado. Distribuição de cargas. Tabuleiros de vigas

múltiplas.

ABSTRACT Comparative analysis among analitic models of load distribution in bridge decks with straight stringers of Engesser-Courbon and Guyon-Massonet with the support reactions model proposed. Author: Ulana de andrade Medino Supervisor: Dr. José Neres da Silva Filho Department of Civil Engineering, Federal University of Rio Grande do Norte, Brazil, Natal, May 2015

Bridge decks with multiple girders are those whose superstructure is composed by more

than two main beams, better known as stringers. The use of this type of structural

system has been commonly implanted when compared to many strructural types used

currently. Thus, the study of cross load distribution on decks of this kind of bridges is

extremely impportant to design the elements of the superestructure. However, this study

is not an easy task to the design engineer, since the problem is highly hyperstatic. The

obtaining of internal forces and support reactions to bridge decks with multiple beams

still being realized using simplified solutions. The current brazilian regulations do not

specify any calculation method to this case, this fact induce the study and enhancement

of existente models. This work aims describe and compare some analytical models to

quantify the load portion apportioned to each stringer, enabling the design of this

structural elements. They are the mothod of Engesser-Courbon and Guyon-Massonet.

The mothod of Engesser-Courbon is classified as discontinuos, using the grillage

analogy to solve the problem, the method of Guyon-Massonet, on the other hand, it is

classified as continuos, being the analysis made as orthotropic plates. After the

description of the methods will be presented two structural models of bridges with

decks composed by three and seven stringers. To this models will be applied the

methods of load partition aiming to analyse the maximum bending moment and shear

force. The results achieved will be compared with the results of a model proposed by

the author that consists of determining the support reactions corresponding to each

stringer when the vehicle type is positioned in the most unfavorable way.

Keywords: Bridges. Reinforced Concrete. Load Distribution. Decks with Multiple

Girders.

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1 Modelo esquemático de uma ponte. ................................................................ 1

Figura 2 Linha de aplicação da carga senoidal em um tabuleiro de comprimento L e

largura 2b. ............................................................................................................... 22

Figura 3 Esquema geral da ponte. ............................................................................... 25

Figura 4 Detalhes da barreira lateral, pingadeira, aba lateral e cortina ....................... 26

Figura 5 Detalhes da cortina e laje de aproximação. ................................................... 26

Figura 6 Dimensões da seção transversal da ponte com três longarinas para o meio do

vão. ......................................................................................................................... 27

Figura 7 Dimensões da seção transversal da ponte com três longarinas para os apoios.

................................................................................................................................ 27

. Figura 8 Dimensões da seção transversal da ponte com sete longarinas para o meio

do vão. .................................................................................................................... 28

Figura 9 Dimensões da seção transversal da ponte com sete longarinas para os apoios.

................................................................................................................................ 28

Figura 10 Seção transversal da ponte composta por três longarinas. .......................... 30

Figura 11 Áreas de concreto e pavimentação para as vigas extremas do meio do vão.

................................................................................................................................ 31

.... 31

.... 32

............ 32

Figura 15 Dimensões da transversina intermediária.................................................... 33

Figura 16 Esquema estrutural das cargas permanentes que atuam nas longarinas

externas. .................................................................................................................. 35

................................................................................................................................ 35

Figura 18 Diagrama de esforço cortante para as vigas externas da ponte com

superestrutura composta por três longarinas (KN). ................................................ 36

Figura 19 Diagrama de momento fletor para as vigas externas da ponte com

superestrutura composta por três longarinas (KN.m). ............................................ 36

superestrutura composta por três longarinas (KN). ................................................ 37

superestrutura composta por três longarinas (KN.m). ............................................ 37

Figura 22 Veículo tipo padrão segundo a NBR-7188/2013 ........................................ 38

Figura 23 Representação dos cortes A-A e B-B no tabuleiro da ponte. ...................... 39

Figura 24 Veículo tipo simplificado ............................................................................ 42

Figura 25 Excentricidade das longarinas. .................................................................... 43

Figura 26 Distribuição de carga de Engesser-Courbon para vigas extremas .............. 44

-Courbon para vigas extremas

(Corte B-B). ............................................................................................................ 45

Figura 28 Composição do veículo tipo simplificado para as vigas extremas. ............. 46

-Courbon para a viga interna

(Corte A-A). ........................................................................................................... 46

-Courbon para vigas extremas

(Corte B-B). ............................................................................................................ 47

................... 47

Figura 32 Seções de cálculo adotadas para o traçado das linhas de influência das vigas

extremas. ................................................................................................................. 48

Figura 33 Linha de influência do esforço cortante na seção 4. ................................... 49

Figura 34 Linha de influência de momento fletor na seção 4. .................................... 49

Figura 37 Envoltória de esforço cortante para as vigas mais solicitadas V1 e V3

(KN). ....................................................................................................................... 50

Figura 38 Envoltória de momento fletor para as vigas mais solicitadas V1 e V3

(KN.m). ................................................................................................................... 50

Figura 39 Esquematização do tabuleiro da ponte composto por três longarinas e três

transversinas. .......................................................................................................... 51

Figura 40 Determinação da largura colaborante b f de acordo com a NBR 6118 ...... 51

Figura 41 Dimensões de cálculo da seção transversal das longarinas. ........................ 52

x Posição da carga, para a viga localizada em y=0. ................. 55

x Posição da carga, para a viga localizada em y = 3b/4. ......... 56

-A para a viga V2 ( intermediária). .............................. 57

-B para a viga V2 ( intermediária). .............................. 57

Figura 46 - Veículo tipo longitudinal simplificado para a viga V2. ............................... 58

-A para as vigas V1 e V2 ( extremas). .......................... 58

-B para as vigas V1 e V2 ( extremas). .......................... 59

Veículo tipo longitudinal simplificado para as vigas V1 e V7. .................. 59

licitadas V1 e V3 ..... 60

(KN.m). ................................................................................................................... 60

-A para a viga V1. ......................................................... 61

-B para a viga V1. ......................................................... 62

............................................ 62

.................. 63

corte A-A para a viga V2. ......................................................... 63

-B para a viga V2. ......................................................... 63

............................................ 64

............................. 64

forço cortante para as vigas mais solicitadas (KN). .......... 65

vigas mais solicitadas (KN.m). ...... 65

Figura 66 Seção transversal da ponte composta por sete longarinas. .......................... 66

Figura 67 Áreas de concreto e pavimentação para as vigas extremas. ........................ 66

Figura 68 Áreas de concreto e pavimentação para as vigas extremas dos apoios. ...... 67

Figura 69 Áreas de concreto e pavimentação para as vigas internas do meio do vão. 67

Figura 70 Áreas de concreto e pavimentação para as vigas internas dos apoios......... 68

Figura 71 Esquema estrutural das cargas permanentes que atuam nas longarinas

extremas. ................................................................................................................. 70

internas. .................................................................................................................. 70

Figura 73 Diagrama de esforço cortante para as vigas extremas da ponte com

superestrutura composta por sete longarinas (KN)................................................. 71

superestrutura composta por sete longarinas (KN.m). ........................................... 71

superestrutura composta por sete longarinas (KN)................................................. 72

superestrutura composta por sete longarinas (KN.m). ........................................... 72

Figura 77 Excentricidade das longarinas. .................................................................... 73

Figura 78 Posicionamento do veículo tipo na seção transversal das vigas V1 e V7 para

a determinação do veículo tipo longitudinal........................................................... 75

.................. 76


.................. 78


.................. 80

determinação do veículo tipo longitudinal. ............................................................ 81

.............................. 82

Figura 88 Envoltória de força cortante para as vigas mais solicitadas (V1 e V7)

(KN). ....................................................................................................................... 82

(KN.m). ................................................................................................................... 83

transversinas. .......................................................................................................... 83

Figura 91 Dimensões de cálculo da seção transversal das longarinas. ........................ 84

Figura 92 Gráfico K x Posição da carga, para a viga localizada em y=0. ................. 87

x Posição da carga, para a viga localizada em y = b/4. ........... 87

x Posição da carga, para a viga localizada em y = b/2. ........... 88

x Posição da carga, para a viga localizada em y = 3b/4. ......... 88

-A para a vigas V4. ...................................................... 89

-B para a viga V4. ......................................................... 89

.............................. 90

-A para as vigas V3 e V5. ............................................. 90

-B para as viga V3 e V5. ............................................. 91

................ 91

do corte A-A para as vigas V2 e V6. ........................................... 92

-B para as vigas V2 e V6. ........................................... 92

................ 93

-A para as vigas V1 e V7. ........................................... 93

-B para as vigas V1 e V7. ........................................... 94

................ 94

ria de força cortante para as vigas mais solicitadas ..................... 95

vigas mais solicitadas (KN.m). ... 95

Figura 112 Analise do corte A-A para a viga V1. ....................................................... 96

-B para a viga V1. ....................................................... 97

Figura 114 Linha de influência de reação para a viga V1. .......................................... 97

simplificado para as vigas V1 e V7. ................ 98

-A para a viga V2. ....................................................... 98

-B para a viga V2. ....................................................... 98

.......................................... 99

................ 99

do corte A-A para a viga V3. ..................................................... 100

-B para a viga V3. ..................................................... 100

........................................ 100

.............. 101

se do corte A-A para a viga V4. ..................................................... 101

-B para a viga V4. ..................................................... 102

........................................ 102

.......................... 103

força cortante para as vigas mais solicitadas (V1 e V7) .. 103

solicitadas (V1 e V7) 104

Figura 132 Curvas de distribuição transversal para as vigas de extremidade (V1=V3).

.............................................................................................................................. 106

........ 106

.............................................................................................................................. 107

....... 108

aplicados. .............................................................................................................. 111

aplicados. .............................................................................................................. 111

Figura 139 Gráfico do resumo dos valores das armaduras de flexão para os métodos

aplicados. .............................................................................................................. 115

ÍNDICE DE TABELAS

Tabela 1 Valores dos coeficientes de distribuição transversal (K 0 e K 1

............................................................................... 54

Tabela 2

0,6. .......................................................................................................................... 55

Tabela 3 Coeficientes de repartição de carga de Engesser-Courbon para as longarinas

do caso de estudo II ................................................................................................ 74

0 e K 1

............................................................................... 86

0,5. .......................................................................................................................... 86

Tabela 6 Valores dos coeficientes de repartição em função da posição da carga. .... 105

.... 107

Tabela 8 Resumo dos esforços solicitantes máximos positivos e negativos para os

diferentes modelos nas vigas V1 e V3.................................................................. 110

dos esforços solicitantes máximos positivos e negativos para os

diferentes modelos nas vigas V1 e V7.................................................................. 110

Tabela 10 Valores da profundidade da linha neutra para os diversos modelos. ........ 113

Tabela 11 Valores das áreas de aço na seção do meio do vão das vigas V1 e V3 para

os modelos aplicados. ........................................................................................... 114

........ 114

os modelos aplicados. ........................................................................................... 115

SIMBOLOGIA SÍMBOLO SIGNIFICADO

e excentricidade da carga

E Módulo de elasticidade longitudinal do material

G Módulo de elasticidade transversal

I Momento de inércia à flexão de uma longarina

I 0 momento de inércia de torção de uma longarina

J Momento de inércia à flexão de uma transversina

J 0 Momento de inércia de torção de uma transversina

n Número de longarinas

K Coeficiente de repartição de carga

l Largura do tabuleiro

L Comprimento do tabuleiro

P Carga total sobre o tabuleiro

Pi Parcela de carga atribuída para cada longarina

t Número de transversinas

W Deslocamento transversal

X i Abscissa do ponto de aplicação da parcela do carregamento atribuído a

longarina i

X Centro elástico da seção transversal do tabuleiro

Parâmetro adimensional de entrada para as tabelas dos coeficientes de

repartição de carga

Flecha da viga

Parâmetro adimensional de entrada para as tabelas dos coeficientes de

repartição de carga

x e y Coeficientes que caracterizam o efeito de Poisson

L Rigidez à flexão por unidade de largura

T Rigidez à flexão por unidade de comprimento

L Rigidez à torção por unidade de largura

T Rigidez à flexão por unidade de comprimento

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 1

1.1 Considerações Iniciais ........................................................................................... 1

1.2 Objetivo Geral ........................................................................................................ 3

1.3 Objetivos Específicos ............................................................................................ 3

1.4 Justificativa ........................................................................................................... 4

1.5 Estrutura da Pesquisa ............................................................................................. 5

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .................................................................................. 6

2.1 Generalidades ......................................................................................................... 6

2.2 Evolução dos Métodos de Cálculo aproximados ................................................... 6

2.3 Métodos de Repartição de carga para tabuleiros de pontes em vigas múltiplas .... 8 2.3.1 Método de Engesser-Courbon ....................................................................... 11 2.3.2 Método de Guyon-Massonet ......................................................................... 18 2.3.3 Método das reações de apoio ........................................................................ 24

3 ESTUDO DE CASO DE UMA PONTE ................................................................. 25

3.1 Considerações Iniciais ......................................................................................... 25

3.2 Características Gerais da Ponte ............................................................................ 25

3.3 Seção Transversal da Ponte ................................................................................. 27 3.3.1 Caso de estudo I ............................................................................................ 27 3.3.2 Caso de estudo II ........................................................................................... 28

4 ANÁLISE DOS ESFORÇOS SOLICITANTES NAS VIGAS PRINCIPAIS...... 29

4.1 Análise dos esforços solicitantes para o caso de estudo I: Superestrutura composta por três longarinas ...................................................................................... 30

4.1.1 Solicitações decorrentes das cargas permanentes ......................................... 30 4.1.1.1 Carregamentos distribuídos ................................................................... 30 4.1.1.2 Cargas concentradas ............................................................................... 33 4.1.1.3 Esquema estrutural das cargas permanentes nas longarinas ................... 35 4.1.1.4 Diagrama dos esforços solicitantes devido às cargas permanentes ........ 35

4.1.2 Solicitações decorrentes das cargas móveis .................................................. 38 4.1.2.1 Método de Repartição de Carga de Engesser-Courbon .......................... 43 4.1.2.2 Método de Guyon-Massonet .................................................................. 51 4.1.2.3 Método das reações de apoio .................................................................. 61

4.2 Análise dos esforços solicitantes para o caso de estudo II: Superestrutura composta por sete longarinas ...................................................................................... 66

4.2.1 Solicitações decorrentes das cargas permanentes ......................................... 66 4.2.1.1 Carregamentos distribuídos ..................................................................... 66 4.2.1.2 Cargas concentradas ............................................................................... 68 4.2.1.3 Esquema estrutural das cargas permanentes nas longarinas ................... 70 4.2.1.4 Diagrama dos esforços solicitantes devido às cargas permanentes ........ 71

4.2.2 Solicitações decorrentes das cargas móveis .................................................. 73 4.2.2.1 Método de Repartição de Carga de Engesser-Courbon .......................... 73 4.2.2.2 Método de Guyon-Massonet .................................................................. 83 4.2.2.3 Método das reações de apoio .................................................................. 96

5 ANÁLISE DOS RESULTADOS ........................................................................... 105

5.1 Comparação entre as curvas de distribuição transversal ................................... 105 5.1.1 Curvas de distribuição transversal para o caso de estudo I ......................... 105 5.1.2 Curvas de distribuição transversal para o caso de estudo II ........................ 107 5.1.3 Análise dos resultados ................................................................................. 108

5.2 Comparação entre os esforços solicitantes ........................................................ 109 5.2.1 Comparação entre os esforços solicitantes para o caso de estudo I ............ 109 5.2.2 Comparação entre os esforços solicitantes para o caso de estudo II ........... 110 5.2.3 Análise dos resultados ................................................................................ 110

5.3 Comparação entre as armaduras de flexão ........................................................ 112 5.3.1 Armaduras de flexão no meio do vão para as longarinas V1 e V3 do caso de estudo I .................................................................................................................. 113 5.3.2 Armaduras de flexão no meio do vão para as longarinas V1 e V7 do caso de estudo II ................................................................................................................. 114 5.3.3 Análise dos resultados ................................................................................. 115

6 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ................ 116

6.1 Conclusões ......................................................................................................... 117

6.2 Sugestões para trabalhos futuros ........................................................................ 118

1

1 INTRODUÇÃO

1.1 Considerações Iniciais

função é ligar dois pontos separados por obstáculos naturais ou por aqueles construídos

pelo homem. A NBR 7188/2013 define pontes como sendo estruturas sujeitas a ação de

carga em movimento, com posicionamento variável, utilizada para transpor um

obstáculo natural. Quando o obstáculo a ser vencido não é constituído por água, a ponte

é chamada de viaduto e quando a estrutura permite somente a passagem de pedestres,

ela é chamada de passarela. O projeto de uma obra tão grandiosa é resultado de um

processo sequencial de alternativas cujo objetivo é atender, além da funcionalidade, a

segurança, a economia e a estética.

Os elementos que constituem a estrutura de uma ponte são a superestrutura, a

mesoestrutura e a infraestrutura. A superestrutura é a parte destinada a, além de vencer o

obstáculo, receber diretamente as cargas provenientes do tráfego. A mesoestrutura é

encarregada de receber os esforços da superestrutura e transmití-los para a

infraestrutura, é o caso dos aparelhos de apoio e pilares. A infraestrutura, por sua vez, é

a parte com a função de transmitir ao terreno os esforços provenientes da mesoestrutura,

essa transmissão de esforços é feita pelas fundações.

Figura 1 Modelo esquemático de uma ponte.

Fonte: Pfeil (1979)

A escolha do sistema estrutural adotado para o projeto de pontes envolve uma

série de fatores como local de execução da obra, materiais disponíveis, economia,

tempo, etc. Devido às vantagens econômicas e construtivas da utilização de tabuleiros

2

de vigas múltiplas de concreto, esta solução é bastante difundida no Brasil em obras

ferroviárias, rodoviárias, metrôs de superfície e passarelas. Este tipo de seção

transversal é adotada quando a obra exige um maior número de faixas de tráfego,

podendo as longarinas serem de concreto armado ou protendido.

Em pontes com tabuleiro de vigas múltiplas são utilizados elementos pré-

moldados ou pré- fabricados. Os elementos pré-moldados são produzidos no próprio

canteiro de obras, já para os pré-fabricados a produção é feita em usinas e os elementos

são transportados até o local da obra. Este tipo de solução apresenta várias vantagens

dispensado, gerando assim economia, além da rapidez de execução (Figura 2).

Figura 2 Pontes com longarinas retas

Fonte: http://rotesma.com.br/site/obras/ (2016)

3

A análise estrutural para a obtenção dos esforços solicitantes e reações de apoio

neste tipo de obra é realizado por meio de modelos simplificados, onde a análise da

superestrutura é realizada separadamente dos demais elementos constituintes da ponte, a

meso e a infraestrutura. Além disso, o modelo estrutural de grelha da superestrutura

formada pelas vigas principais e pelas transversinas é assimilado a um modelo menos

rigoroso através da aplicação de modelos analíticos que serão descritos e analisados no

decorrer do presente trabalho. Serão apresentados os fundamentos teóricos dos métodos

de Engesser-Courbon e Guyon-Massonet e do modelo simplificado proposto.

1.2 Objetivo Geral

Esse trabalho tem como objetivo geral analisar a distribuição de carregamentos

em tabuleiros de pontes em vigas múltiplas de concreto armado, a fim de comparar os

resultados dos esforços obtidos pela aplicação dos métodos analíticos de distribuição de

carga de Engesser-Courbon e Guyon-Massonet com o método proposto pela autora que

assume de maneira simplificada que o quinhão de carga atribuído a cada longarina

corresponde à reação de apoio referente aquela longarina, quando o veículo tipo é

posicionado de maneira a gerar os maiores esforços na mesma.

1.3 Objetivos Específicos

O estudo ainda tem como objetivos específicos:

Descrever os métodos analíticos tradicionais empregados para análise de

tabuleiros de vigas múltiplas de concreto armado: método sem consideração da

torção nas vigas (Engesser-Courbon) e método que considera a rigidez à torção

nas vigas (Guyon-Massonnet), bem como o modelo das reações de apoio

proposto pelo autora;

Aplicar os Métodos de Repartição de Carga a fim de analisar os esforços de

momento fletor e cortante máximos para os casos em que a superestrutura da

ponte é composta por três e sete longarinas;

Aplicar o método simplificado proposto, determinando as reações de apoio

para o posicionamento mais desfavorável do veículo tipo por meio das linhas de

4

influência de reação para as longarinas em estudo, a fim de analisar os esforços

de momento fletor e cortante máximos;

Comparar as curvas de distribuição de transversal de carga, os esforços

solicitantes máximos e as armaduras de flexão nas longarinas mais solicitadas de

cada caso de estudo obtidas pela aplicação dos Métodos de Repartição de Carga,

com o método da determinação das reações de apoio, a fim de verificar o grau de

segurança do cálculo.

1.4 Justificativa

A justificativa deste trabalho se baseia na quantidade relativamente pequena de

estudos de distribuição de cargas em tabuleiros de pontes com vigas longarinas

múltiplas. Vale salientar que na obtenção de solicitações e reações de apoio em

tabuleiros de vigas múltiplas, em função da elevada hiperestaticidade do problema,

ainda são utilizadas soluções simplificadas de cálculo.

Essa complexidade motivou o desenvolvimento de diversos métodos

simplificados, a fim de tentar quantificar as parcelas de cargas que efetivamente seriam

atribuídas a cada longarina da ponte, com objetivo de possibilitar o seu

dimensionamento. Nesse contexto, a análise do comportamento estrutural de grelhas

ainda constituiu numa tarefa bastante trabalhosa para os engenheiros projetistas de

pontes.

Com a evolução dos processos numéricos, observa-se uma tendência de se

trabalhar na busca de resultados mais refinados e próximos dos obtidos

experimentalmente. Isso, por si só, justifica a investigação proposta no sentido de

entender melhor esses modelos analíticos clássicos, a fim de verificar os seus graus de

confiabilidade e, possibilitar a posteriori implementações computacionais em modelos

numéricos utilizando, por exemplo, o Método dos Elementos Finitos.

5

1.5 Estrutura da Pesquisa

A pesquisa está desenvolvida em seis capítulos, incluindo este primeiro.

O segundo capítulo trata da revisão da literatura sobre os Métodos de Analíticos

de Engesser-Courbon e Guyon Massonet, onde, inicialmente, é descrito um breve

histórico da evolução destes métodos e, nos demais tópicos, é feita a descrição

detalhada das considerações e desenvolvimento de cada método. Por fim, são mostradas

as considerações de cálculo do modelo proposto pela autora que será comparado com os

demais supracitados.

O capítulo 3 traz o estudo de caso de uma ponte que será utilizada para a

aplicação dos métodos descritos no capítulo 2. Neste capítulo, são mostradas as

dimensões e características da ponte. Serão utilizados dois casos de estudo com

diferentes números de longarinas para a obtenção de melhores resultados.

No capítulo quarto são aplicados os Métodos de Repartição de Carga para a

obtenção do quinhão de carga absorvido por cada longarina e, posteriormente, são

determinados os esforços máximos de momento fletor e cortante na viga mais solicitada

para a ponte com três e sete longarinas. Ainda neste capítulo são determinados os

esforços solicitantes nas longarinas para estes dois casos de estudo através do cálculo

das reações de apoio proposto pela autora.

No capítulo 5 é realizada a análise e comparação das curvas de distribuição

transversal de carga, dos esforços solicitantes máximos e das armaduras de flexão para o

meio do vão das vigas mais solicitadas de cada caso de estudo.

Finalmente, no sexto e último capítulo são feitas as considerações finais,

conclusões do estudo realizado e sugestões para trabalhos futuros nesta linha de

pesquisa.

6

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 Generalidades

No presente capítulo, serão discutidos os aspectos relevantes aos métodos

aproximados de cálculo para a obtenção dos esforços solicitantes e reações de apoio em

tabuleiros de vigas múltiplas. Para este estudo foram escolhidos os métodos analíticos

tradicionalmente utilizados devido à sua simplicidade e aplicação imediata. Inicialmente

será descrito um breve histórico da evolução de tais métodos. Nos demais tópicos, a

descrição dos métodos foi realizada de maneira separada de acordo com a análise da

estrutura como grelha sem considerar os efeitos provenientes da torção e a análise como

placa ortotrópica.

2.2 Evolução dos Métodos de Cálculo aproximados

Uma grelha nada mais é do que um sistema plano formado por dois grupos de

vigas cruzadas em direções ortogonais ou inclinadas, onde cada viga apresenta sua

rigidez e condições de apoio. A complexidade da análise da estrutura como uma grelha

se deve ao elevado grau de hiperestaticidade do problema. Esta complexidade motivou

o desenvolvimento dos métodos simplificados de cálculo de repartição de cargas em

tabuleiros de pontes com múltiplas longarinas

A seguir será apresentada a contribuição de alguns trabalhos para a evolução do

estudo da distribuição de carga entre os elementos de uma grelha.

Em 1893, Zschetzsche, desenvolveu um trabalho baseado no método das forças,

cujas incógnitas eram as reações nos pontos de cruzamento, no qual não obteve êxitos

maiores em aplicações prática, devido as dificuldades e complexidades numéricas de

cálculo [5].

Em 1912, Kögler efetuou o estudo de uma ponte de concreto com cinco

longarinas e uma transversina, obtendo entre outras, a conclusão de que o momento de

inércia da viga transversal pouco influencia na distribuição transversal da carga. No

7

mesmo ano, Lossier, baseando-se na teoria de vigas contínuas sobre apoios elásticos,

apresentou também um trabalho [6].

Em 1922, Thullie analisou o problema das grelhas, considerando infinita a

rigidez das transversinas [7].

Em 1925, Petermann adotou como incógnitas do problema geral das grelhas os

momentos nos nós, no entanto ele se deparou como dificuldades numéricas [8].

Em 1926, Faltus alcançou resultados significativos para a distribuição de cargas

no meio do vão, simulando pela primeira vez, o efeito de todas as transversinas do

tabuleiro, representando-as por uma única transversina fictícia [9].

Em 1927, Bleich e Melan desprezando os efeitos proveniente da torção dos

elementos da grelha, chegaram a solução de um sistema de equações diferenciais

parciais, a partir da equação de Clapeyron [10].

Em 1928, Gennter considerou em seu estudo a rigidez torsional dos elementos

da grelha, no entanto ele não obteve bons resultados na resolução das equações

diferenciais parciais [11].

Em 1930, Ostenfeld, partindo da hipótese da existência em cada nó da grelha de

um apoio irrecalcável e baseando-se no método das deformações, chegou a um sistema

de equações cujo número de incógnitas era igual ao número de nós [12].

Em 1938, Um trabalho muito importante a respeito de grelhas apoiadas em dois

bordos foi apresentado por Leonhardt. Neste trabalho, foram estudados os coeficientes

de distribuição transversal, desprezando-se os efeitos da torção e considerando a laje

apenas como uma parcela colaborante da inércia das vigas [13].

Em 1940, Courbon desenvolveu o método dos coeficientes de distribuição

transversal para grelhas constituídas por uma viga com rigidez infinita. Tal método

- devido a contribuição de

Engesser para o estudo [14].

De 1946 a 1949, Guyon desenvolveu o método inicialmente proposto por Huber

para uma grelha composta por elementos sem rigidez torsional. Baseando-se na hipótese

8

da alta densidade dos feixes de vigas longitudinais e transversais, de modo a ser

possível assimilar tal estrutura a um sistema contínuo [15].

Em 1950, Massonet deu continuidade ao estudo de Guyon e passou a considerar

a torção nas vigas, aprimorando assim o método que passou a ser chamado de

dos Coeficientes de Distribuição Transversal de Guyon- em

1965, o método foi ampliado por Barés [15].

Em 1951, o professor brasileiro Figueiredo Ferraz, apresentou um trabalho que

se baseiava na utilização de funções ortogonais para a resolução das equações

diferenciais do problema de uma placa ortotrópica equivalente a uma grelha [16].

Em 1956, Homberg e Weinmeister abordaram o problema das grelhas sem

considerar os efeitos de torção, empregando como hiperestáticos grupos de cargas que

obedecem a certos princípios de ortogonalização [17].

Em 1962, Homberg e Trenks, apresentaram um trabalho no qual os efeitos de

torção foram incluídos [17].

Mais recentemente vários pesquisadores vêem se dedicado tanto no estudo da

influência da utilização de transversinas internas na distribuição de cargas (Júdice et.al.

e Araújo et.al.) quanto na discretização da superestrutura utilizando elementos finitos de

barra e casca através do programa computacionais para modelar o comportamento plano

e tridimensional dos tabuleiros de pontes hiperestáticas (Júdice et.al., Jovem et.al.).

2.3 Métodos de Repartição de carga para tabuleiros de pontes em vigas múltiplas

Segundo Stanton Apud Gavioli (1998) os métodos de análise de tabuleiros

podem ser didaticamente agrupados em quatro categorias: método de placa equivalente,

método de grelha, método dos elementos finitos e métodos das faixas finitas. Neste

trabalho serão abordadas somente as duas primeiras categorias.

O primeiro método baseia-se na teoria geral das placas ortotrópicas, onde o

tabuleiro como um todo, constituído por laje, longarinas e transversinas é substituído

por uma placa ortotrópica equivalente, na qual as propriedades longitudinais e

9

transversais representam a média das propriedades do modelo. Desde que os

espaçamentos entre as longarinas e transversinas sejam suficientemente pequenos.

Desprezando o efeito da torção e utilizando o efeito dos coeficientes de

repartição na consideração das cargas, em 1946, Guyon propôs o método da placa

equivalente, que foi posteriormente aprimorado por Massonnet através da consideração

do efeito de torção nas vigas. Segundo Gavioli (1998), o método é conveniente porque

permite a análise de vários tipos de tabuleiro, considerando-se apenas a geometria e

parâmetros de rigidez, que podemos representar por um pequeno número de tabelas

dimensionais. A utilização do método é ainda mais eficaz quando o tabuleiro é

composto por elementos justapostos, onde as rigidezes tornam-se uniformes.

No método de grelha, o tabuleiro composto pela laje apoiada nas longarinas

(vigas longitudinais) e transversinas (vigas transversais) forma uma grelha de vigas

equivalentes. Tal sistema passou a ser bastante utilizado devido a fácil assimilação por

parte dos engenheiros principalmente após o advento dos microcomputadores. De

acordo com Gavioli (1998) a vantagem deste método é que a esconsidade, chaves de

cisalhamento entre os elementos pré-moldados, diafragmas e rigidez da viga de borda

podem ser facilmente modelados. Por outro lado, o método apresenta desvantagens, tais

como a necessidade do cálculo das características geométricas das barras equivalentes e

a necessidade de aumentar o número de barras em regiões onde se deseja a análise local

do tabuleiro sob efeito de um carregamento.

Dentre os modelos analíticos de distribuição de carga em tabuleiros com vigas

múltiplas que utilizam o método de grelha, destacam-se os métodos de Engesser-

Courbon e o de Leonhart. Tais métodos consideram as hipóteses básicas da Teoria das

Estruturas:

Comportamento Linear Elástico: as deformações são linearmente

proporcionais aos carregamentos aplicados (Lei de Hooke);

Pequenas Deformações: As deformações são muito pequenas quando

comparadas com as dimensões da estrutura, de modo que o equilíbrio pode ser

tomado na configuração indeformada;

Seções Planas: Seções retas e planas, normais ao plano médio do elemento

estrutural antes da deformação, permanecem retas, planas, inalteradas em seu

comprimento e normais ao plano médio após a deformação;

10

Princípio de Saint-Venant: O efeito de forças ou tensões aplicadas sobre

uma pequena área podeser tratado atravésde um sistema estaticamente

equivalente, causando efeitos idênticos em pontos suficientemente afastados da

região de aplicação das cargas.

Segundo Albuquerque (2014), o método de Engesser-Courbon considera o

tabuleiro monolítico, transformando numa malha de vigas longitudinais e transversais;

despreza o efeito da torção nas vigas e a transversina é suposta como tendo rigidez à

flexão infinita. Como complemento, as deformações das transversinas em relação às

deformações das longarinas são desprezadas, o que significa que o comportamento

mecânico do conjunto à flexão transversal, na região das transversinas, é o de uma viga

deslocando como corpo rígido sob apoios elásticos. De acordo com Courbon apud San

Martin (1981), essa simplificação foi feita porque as deformações elásticas das

transversinas, devido à limitação da largura do tabuleiro, seriam muito pequenas quando

comparadas às das longarinas. Já o método de Leonhardt considera as mesmas

hipóteses, no entanto a transversina é considerada flexível.

Figura 3 .

Fonte: Jovem et.al. (2016)

11

2.3.1 Método de Engesser-Courbon

O processo de cálculo de Engesser-Courbon baseia-se no método de grelha para

a análise da distribuição de carga em pontes de tabuleiro de vigas múltiplas. Os

resultados obtidos pelo uso deste método são satisfatórios quando o tabuleiro analisado

possui a dimensão longitudinal predominante em relação à dimensão transversal (vão da

obra maior do que o dobro da largura da mesma L/b >2), a altura das transversinas é da

mesma ordem de grandeza das longarinas e as espessuras das longarinas e das lajes são

pequenas. Isso se deve às hipóteses simplificadoras adotadas para o presente método em

estudo.

Segundo Alves (1994), além das hipóteses básicas relativas à Teoria das

Estruturas (comportamento linear elástico, pequenas deformações, seções planas e

princípio de Saint-Venant) foram ainda assumidas as abaixo descritas:

As longarinas são paralelas, ligadas entre si perpendicularmente por

transversinas e possuem inércia constante;

As transversinas estão simplesmente apoiadas nas longarinas e admite-se que

estas possuem rigidez infinita a flexão, desprezando-se suas deformações em

relação às deformações das longarinas;

Desprezam-se os efeitos de torção: a reação mútua nos cruzamentos das vigas

longitudinais com as transversais é unicamente uma força vertical.

Figura 4 Representação do tabuleiro de vigas múltiplas para aplicação do método de Engesser-Courbon.

Fonte: Autora (2016)

12

Devido às hipóteses simplificadoras assumidas, podemos concluir que as

transversinas comportam-se como barras rígidas, onde seu eixo se mantém reto após a

deformação, segundo uma equação do tipo:

(2.1)

Figura 5 Esquematização gráfica do modelo analítico de Engesser-Courbon.


O cálculo das parcelas de carga para cada longarina (Pi) pode ser feito com base

na compatibilização das flechas das vigas. A flecha da viga i é expressa pela seguinte

equação:

i = .

i

i

IEp.

(2.2)

13

Onde:

é uma constante que depende do vão da viga e do esquema estático da mesma;

E é o módulo de elasticidade do material que constitui a viga;

I i é o momento de inércia da seção transversal da viga.

O centro elástico da seção transversal do tabuleiro pode ser definido como o

ponto onde se P for a ele aplicado teremos uma rotação nula e constante. Este ponto

pode ser facilmente determinado pela seguinte expressão:

X =

i

ii

IXI .

(2.3)

Onde:

X i é a abscissa do ponto de aplicação da parcela do carregamento atribuído a

longarina i.

Figura 6 Representação gráfica do Centro Elástico.


Tal expressão pode ser facilmente deduzida Considerando que é constante,

podemos escrever:

14

11

IP =

22

IP =

33

IP = ... =

i

i

IP = ... =

n

n

IP

Logo: i

i

IP =

i

i

IP

= iI

P :

P i = P.

i

i

II

(2.4)

O cálculo do centro elástico pode então ser determinado conforme a seguinte

expressão:

P 1 . X1 + P 2 . X 2 + ... + P n . X n = ii XP . = P. X

Assim:

X =

PXP ii .

(2.5)

Substituindo a equação (2.4) em (2.5) obtemos:

X = i

ii

I

XI .

De acordo com as simplificações acima descritas para o presente método em

estudo, pode-se utilizar o método da superposição de efeitos para o caso em que a carga

P for aplicada em um ponto diferente do centro elástico, uma vez que a estrutura

apresenta um comportamento linear elástico. Para este caso, serão determinadas duas

parcelas para cada longarina, sendo elas:

P 'i : parcela da carga P para o caso em que P é aplicada no centro elástico;

P ''i : parcela da carga P para o caso em que existe uma excentricidade e entre o

ponto de aplicação da carga P e o centro elástico;

Sendo:

P i = P 'i + P ''

i (2.6)

15

De acordo com a equação (2.4), temos:

P '

i = P. i

i

II

(2.7)

Figura 7 Distribuição de carga para aplicação da carga P fora do Centro Elástico.


Conforme o esquema a seguir:

i

1 = iX

X1

(2.8)

16

Figura 8 Representação gráfica das deformações das longarinas.


Onde as deformações 1 e i são dadas pelas seguintes expressões:

1 =

1

''1

EIP

(2.9)

i =

i

i

EIP ''

(2.10)

Subistituindo as equações (2.9) e (2.10) em (2.8), obtemos:

iXX1 = (

1

''1

EIP ) / (

i

i

EIP ''

) = 1

''1

IP

/ i

i

IP ''

Desta forma podemos determinar a expressão para P ''i :

P ''

i = P ''1

11 XIXI ii

(2.11)

De acordo com os princípios da estática CEM = 0 . Assim:

P. e - ii XP '' = 0

(2.12)

17

A substituição da equação (2.11) em (2.12) resulta em:

P.e = P ''1

11

2

XIXI ii ''

1 = P.e 211

ii XIXI

Para uma parcela de carga P ''i genérica:

P ''

i = P.e 2ii

ii

XIXI

(2.13)

Finalmente podemos determinar a parcela da carga P correspondente a cada

longarina:

P i = P 'i + P ''

i i = P. i

i

II

+ P.e 2ii

ii

XIXI

P i = P 2

ii

ii

i

i

XIXIe

II

(2.14)

Para o caso em que as longarinas apresentam a mesma inércia, a expressão

acima pode ser escrita como:

P i = P 21

i

i

XeX

n

Onde:

P i é a parcela de carga da viga longitudinal i;

P é a carga total;

e é a excentricidade da carga total;

n é o número de longarinas;

X i é a distância da viga i em relação ao eixo de simetria da seção transversal.

18

Segundo Alves (1994), os resultados obtidos por este método serão mais

satisfatórios, na medida em que o parâmetro for menor, sendo:

= 4

....

2 T

L

tlnL

Ll

(2.15)

Onde:

L é o comprimento do tabuleiro;

l é a largura do tabuleiro;


t é o número de transversinas;

L é a rigidez média das longarinas;

T é a rigidez média das transversinas.

2.3.2 Método de Guyon-Massonet

O Método de Guyon-Massonet consiste na assimilação da estrutura do tabuleiro

de ponte como um todo, composto por laje, vigas principais e transversinas, a uma placa

ortotrópica equivalente, atribuindo-lhe diferentes rigidezes nos sentidos longitudinal e

transversal, para a determinação dos esforços e deslocamentos. A resolução da placa

ortotrópica é feita por meio da interpolação entre os casos extremos: grelha ortotrópica

sem resistência à torção e laje maciça isotrópica.

Para que a assimilação do tabuleiro a uma laje homogênea ortotrópica seja

utilizada com maior exatidão, é necessário que o tabuleiro seja composto por um

número suficiente de longarinas, ou seja, os espaçamentos entre longarinas e

transversinas devem ser suficientemente pequenos.

Alves (1994) explica que a teoria geral das lajes ortotrópicas admite as seguintes

hipóteses básicas:

A espessura da placa é constante e pequena em relação às outras dimensões;

19

As deformações são puramente elásticas, obedecendo assim a lei de Hooke;

Os deslocamentos são pequenos em relação à espessura da laje;

Pontos alinhados segundo uma normal à superfície média da laje indeformada

encontram-se também linearmente dispostos em uma normal à superfície média

na configuração deformada;

Pontos situados na superfície média da laje deslocam-se somente normalmente

à mesma;

As propriedades elásticas em relação ao material são constantes, podendo ser

diferentes nas duas direções ortogonais.

Seja um tabuleiro de ponte de largura 2b a e vão L simplesmente apoiado com

eixos coordenados de referência x e y indicados na figura 2.7

Figura 10 Tabuleiro de pontes em grelha.


20

O comportamento estático do tabuleiro assimilado a uma placa ortotrópica é

representado pela seguinte equação diferencial:

L 4

4

xw + 2H 22

4

yxw + T 4

4

yw = p ( x,y)

(2.16)

Onde:

W = deslocamento transversal;

L = t

EI = rigidez à flexão por unidade de largura;

T = q

EJ = rigidez à flexão por unidade de comprimento;

E = módulo de elasticidade;

I = momento de inércia de uma longarina;

J = momento de inércia de uma transversina.

2H é o coeficiente que caracteriza a contribuição da torção, calculado pela

seguinte expressão:

2H = x L + y T + L + T

(2.17)

Onde:

x e y = coeficientes que caracterizam o efeito de Poisson;

L = t

GIO = rigidez à torção por unidade de largura;

T = q

GJO = rigidez à flexão por unidade de comprimento;

I 0 = momento de inércia de torção de uma longarina;

J 0 = Momento de inércia de torção de uma transversina;

G = módulo de elasticidade transversal.

21

comportamento à torção, sendo:

TL

(2.18)

Desta forma, a equação diferencial da placa ortotrópica pode ser escrita da

seguinte maneira:

L 4

4

xw TL 22

4

yxw + T 4

4

yw = p( x,y)

(2.19)

Desse modo, com base num tabuleiro de largura infinita e comprimento finito L

e em outro de dimensões finitas (Figura 10) procurou-se obter uma solução exata para a

equação supracitada.

Figura 11 Tabuleiro de largura e dimensões finitas

Fonte: San Martin (1981)

Com o objetivo de possibilitar a resolução desta equação, Guyon & Massonet

apud San Martin (1981) levaram em consideração a composição de um trem tipo de

pontes rodoviárias usuais acrescidas do peso próprio e concluíram que a melhor

aproximação seria a de um carregamento senoidal.

p(x) = p senLx

(2.20)

22

Esta expressão define um carregamento senoidal aplicado a uma faixa genérica

Figura 2 Linha de aplicação da carga senoidal em um tabuleiro de comprimento L e largura 2b.


Com isso, os autores conduziram a solução do problema baseando-se em duas

premissas: tabuleiro com poucas longarinas e com muitas longarinas. Para o primeiro

caso, a solução encontrada é idêntica à do método de Leonhardt. Já no segundo caso,

considera-se uma transversina elementar de largura dx como uma viga apoiada sobre

uma base elástica (Figura 10).

Figura 10 Transversina sobre base elástica

Fonte: Jovem et.al. (2016)

Para a aplicação do processo de cálculo, são determinados, por meio da

expressão seguinte, os valores dos índices de repartição transversal (K).

K = ),(),(

0 yxWyxW (2.21)

23

Onde:

W (x,y) = deslocamento da placa ortotrópica devido à aplicação da carga

senoidal segundo uma linha;

W 0 (x,y) = deslocamento da placa ortotrópica, com a mesma carga distribuída

sobre o tabuleiro de largura 2b.

Diante da complexidade da expressão, resultante da solução da equação

diferencial da placa ortotrópica, que permite calculá-lo, Guyon e Massonet

simplificaram o problema conduzindo a utilização de uma série de tabelas e gráficos,

nos quais são encontrados os valores dos índices de repartição transversal K que

dependem dos seguintes parâmetros adimensionais:

TL

TL

2 com 0 1

(2.22)

Onde:

torção;

Lb 4

T

L

(2.23)

Além dos parâmetros adimensionais acima descritos, a determinação dos índices

de repartição transversal depende da posição da carga, que é definida pela sua

excentricidade, e da posição da viga em que se quer obter o índice.

Os valores de K obtidos pelas tabelas são utilizados como se fossem as parcelas

de carga nas vigas, uma vez que os dois valores são diretamente proporcionais.

24

2.3.3 Método das reações de apoio

O método proposto pela autora consiste na determinação do quinhão de carga

correspondente a cada longarina da seção transversal por meio das linhas de influência

de reação. Para isso, o veículo tipo transversal é posicionado de maneira mais

desfavorável, ou seja, gerando os maiores esforços e as reações de apoio são

determinadas para a longarina em estudo.

De acordo com esse método, as longarinas são consideras como apoios rígidos e,

portanto, não há compatibilização dos deslocamentos dos elementos que constituem a

superestrutura da ponte, diferentemente das considerações dos modelos analíticos de

repartição de carga estudados. O modelo de Engesser-Courbon analisa o tabuleiro da

ponte como uma grelha e seu desenvolvimento é baseado na compatibilização dos

deslocamentos nos encontros das longarinas e transversinas, já o modelo de Guyon-

Massonet considera que a estrutura do tabuleiro comporta-se como uma placa

ortotrópica considerando inclusive os efeitos gerados pela torção dos elelemtos.

Sabe-se que o método das reações de apoio apresenta resultados satisfatórios

para o caso em que a seção transversal da ponte é constituída de um sistema isostático

formado por duas longarinas, onde o dimensionamento é feito para uma das vigas e por

simetria, é repetido para a outra. Pretende-se, portanto, com este trabalho analisar o

comportamento deste método para o caso em que a ponte é formada por mais de duas

longarinas por meio da comparação com os métodos analíticos clássicos estudados. Para

isso, o método das reações de apoio será aplicado para a seção transversal da ponte

composta por três e sete vigas principais.

25

3 ESTUDO DE CASO DE UMA PONTE

3.1 Considerações Iniciais

No presente capítulo serão apresentadas as características e detalhes da ponte

que será utilizada como caso de estudo para a aplicação dos métodos analíticos de

repartição de carga descritos no capítulo anterior. Serão estudados dois casos:

Caso I: Ponte cuja superestrutura é composta por três longarinas, duas

transversinas de apoio e uma transversina intermediária;

Caso II: Ponte cuja superestrutura é composta por sete longarinas, duas

transversinas de apoio e uma transversina intermediária.

3.2 Características Gerais da Ponte

Figura 3 Esquema geral da ponte.

Fonte: Autora 2016.

A ponte do presente caso de estudo apresenta as seguintes características gerais:

Ponte com longarinas reta;

Extensão total de 34 m sendo um vão de 25 m e balanços nas extremidades de 4.5 m;

Lajes de transição de 3,0 m de comprimento em ambas as extremidades;

Pilares de seção circular;

Armadura adotada: aço CA-50;

26

Resistência característica do concreto de 30 MPa ( f ck = 30 MPa);

Cobrimento nominal de 4 cm e classe de agressividade ambiental III;

O capeamento asfáltico tem espessura constante de 5 cm e a inclinação da pista é de

2% , na laje do tabuleiro, em declive a partir do centro do tabuleiro.

Os detalhes da barreira lateral, da pingadeira, aba lateral, cortina e laje de

transição estão indicados nas figuras a seguir:

Figura 4 Detalhes da barreira lateral, pingadeira, aba lateral e cortina com dimensões em cm.

Fonte: Silva Filho & Nagato (2012)

Figura 5 Detalhes da cortina e laje de aproximação.

Fonte : Marchetti (2008)

27

3.3 Seção Transversal da Ponte

3.3.1 Caso de estudo I

O caso de estudo I refere-se à superestrutura da ponte composta por três

longarinas e três transversinas, sendo uma intermediária e duas de apoio. A extensão

total da seção transversal do presente caso é de 16 m, sendo 6 m a distância entre eixos

das vigas longitudinais na seção do meio do vão e nos apoios.

Para as mísulas da seção transversal foram adotadas as seguintes medidas: 20 cm na

direção vertical e 80 cm na direção horizontal, a partir da face das longarinas.

As seções transversais obtidas para os apoios e para o meio do vão respectivamente,

estão indicadas nas figuras a seguir:

Figura 6 Dimensões da seção transversal da ponte com três longarinas para o meio do vão.


Figura 7 Dimensões da seção transversal da ponte com três longarinas para os apoios.


28

3.3.2 Caso de estudo II

Para o caso de estudo II, a superestrutura da ponte será considerada composta

por sete longarinas, duas transversinas de apoio e uma transversina intermediária. A

extensão total da seção transversal para este caso é de 16 m, sendo 2,0 m a distância

entre eixos das vigas longitudinais na seção do meio do vão e nos apoios.

Também foram adotados para o caso de estudo II, mísulas da seção transversal

com as seguintes medidas: 20 cm na direção vertical e 80 cm na direção horizontal, a

partir da face das longarinas.

As figuras a seguir indicam as dimensões das seções transversais da ponte para

os apoios e para o meio do vão:

Figura 8 Dimensões da seção transversal da ponte com sete longarinas para o meio do vão.


Figura 9 Dimensões da seção transversal da ponte com sete longarinas para os apoios.


29

4 ANÁLISE DOS ESFORÇOS SOLICITANTES NAS VIGAS PRINCIPAIS

Este capítulo tem como objetivo apresentar o cálculo dos esforços solicitantes

na superestrutura para os casos de estudos apresentados no capítulo anterior. Tais

esforços são gerados pelos carregamentos móveis e permanentes.

As ações permanentes compreendem o peso próprio dos elementos estruturais

(vigas, lajes, transversinas e cortinas), além da sobrecarga fixa proveniente da

pavimentação, guarda-rodas e reação da laje de transição. Para o caso de seção

transversal com duas vigas, cada uma recebe metade do peso próprio da superestrutura.

Para os casos de estudo apresentados neste trabalho, a superestrutura é composta por

três longarinas no caso I, e por sete longarinas no caso II. Devido ao fato de o

comprimento do balanço da laje ser diferente da metade da distância entre vigas, as

ações permanentes atribuídas às vigas internas serão diferentes das atribuídas às vigas

extremas.

A análise das cargas móveis que cada viga recebe é feita posicionando as cargas

móveis numa seção próxima ao meio do vão, na posição mais desfavorável para a viga

em questão e obtendo-se o seu trem-tipo, cuja determinação depende do número de

vigas principais, presença ou não de laje inferior e, sobretudo, das dimensões

transversais do tabuleiro. Para a determinação das parcelas de cargas móveis atribuídas

a cada longarina, serão utilizados os métodos de repartição de cargas anteriormente

apresentados, bem como o método das reações de apoio proposto pela autora.

30

4.1 Análise dos esforços solicitantes para o caso de estudo I: Superestrutura

composta por três longarinas

Figura 10 Seção transversal da ponte composta por três longarinas.


4.1.1 Solicitações decorrentes das cargas permanentes

Neste item serão determinados os carregamentos decorrentes do peso próprio sobre cada longarina. Estas cargas podem ser de dois tipos: distribuídas e concentradas.

4.1.1.1 Carregamentos distribuídos

De posse da área

determina-se a carga permanente distribuída através da seguinte expressão:

q = Ac x c + Ap x p

(4.1)

Onde:

Ac = Área de concreto da seção transversal atribuída a viga;

Ap = Área da pavimentação da seção transversal atribuída a viga;

c c = 25KN/m³);

p p = 24KN/m³).

As áreas de concreto e da pavimentação, representadas respectivamente por Ac e

Ap, foram obtidas como auxílio do software AutoCAD.

31

a) Vigas extremas

q 1 : Carga referente ao peso próprio atribuído as vigas externas na seção do meio do vão. Figura 11 Áreas de concreto e pavimentação para as vigas extremas do meio do vão.


Ac = 2,21 m² e Ap = 0,25 m²

q 1 = 2,21 x 25+ 0,25 x 24 = 61,25

q1 = 61,25 KN/m

q 2 : Carga referente ao peso próprio atribuído as vigas externas na seção dos apoios.

Figura 12 de concreto e pavimentação para as vigas extremas dos apoios.


Ac = 2,61 m² e Ap = 0,25 m²

q 2 = 2,61 x 25+ 0,25 x 24 = 71,25

q 2 = 71,25 KN/m

32

b) Viga interna

q 1 Carga referente ao peso próprio atribuído à viga interna na seção do meio do vão.

Figura 13 ão para a viga interna do meio do vão.


Ac = 1,83 m² e Ap = 0,25 m²

q 1 = 1,83 x 25+ 0,25 x 24 = 51,75

q 1 51,75 KN/m

q 2 Carga referente ao peso próprio atribuído a viga interna na seção dos

apoios.

Figura 14 s apoios.


Ac = 2,23 m² e Ap = 0,25 m²

q 2 = 2,23 x 25+ 0,25 x 24 = 61,75

q 2 61,75 KN/m

33

4.1.1.2 Cargas concentradas

Após a determinação do volume dos elementos, calculam-se as cargas concentradas através da seguinte expressão:

(4.2)

Onde:

= Peso específico do material constituinte do elemento;

V = Volume do elemento.

a) Vigas extremas

g 1 : carga concentrada referente ao pesos das transversinas e suas mísulas no meio do vão.

Figura 15 Dimensões da transversina intermediária.


Peso da transversina intermediária = 0,3 x 1,8 x 2,85 x 25 = 38,48 KN

Mísula da laje = 0,20 x 0,6 x 2,85 x 25 = 8,55 KN

g 1 = 38,48 + 8,55 = 47,03 KN

g 2 : carga concentrada referente ao pesos das transversinas e suas mísulas nos apoios.



g 2 = 37,13 + 8,25 = 45,38 KN

34

g 3 : carga concentrada referente ao peso da cortina

Cortina = 0,2 x (2,1 + 0,3) x 5,65 = 2,71 m³

Mísula da laje = 21 x 0,20 x 0,6 x 5,65 = 0,34 m³

Consolo de apoio da laje de aproximação =21 x (0,30 + 0,5) x 0,2 x 5,65 =

0,45 m³

Laje de aproximação = 0,2 x 25,2 x 5,65 = 1,41 m³

Cortina lateral = 0,2 )26,25,01,2(1,24,0 xx = 0,85 m³

Total = 5,76 m³

g 3 = 5,76 x 25 = 144 KN

b) Viga interna

g 1 carga concentrada referente ao pesos das transversinas e suas mísulas no meio do vão.

Peso da transversina intermediária = 0,3 x 1,8 x (6-0,3) x 25 = 76.95 KN


g 1 KN

g 2 carga concentrada referente aos pesos das transversinas e suas mísulas nos apoios.

Peso da transversina intermediária = 0,3 x 1,8 x (6-0,5) x 25 = 74,25 KN


g 2 KN

g 3 carga concentrada referente ao peso da cortina

Cortina = 0,2 x (2,1 + 0,3) x 5 = 2,4 m³

Mísula da laje = 21 x 0,20 x 0,6 x 5 = 0,3 m³

35

Consolo de apoio da laje de aproximação =21 x (0,30 + 0,5) x 0,2 x 5 =

0,4 m³

Laje de aproximação = 0,2 x 25,2 x 5 = 1,25 m³

Total = 4,35 m³

g 3 = 4,35 x 25 = 108,75 KN

4.1.1.3 Esquema estrutural das cargas permanentes nas longarinas

Figura 16 Esquema estrutural das cargas permanentes que atuam nas longarinas externas.

Fonte: Ftool (MARTHA, 2012)

Figura 17

interna.


36

4.1.1.4 Diagrama dos esforços solicitantes provenientes das cargas permanentes

a) Vigas extremas

a.1) Diagrama de Esforço Cortante

Figura 18 Diagrama de esforço cortante para as vigas externas da ponte com superestrutura composta por três longarinas (KN).


a.2) Diagrama de Momento Fletor

Figura 19 Diagrama de momento fletor para as vigas externas da ponte com superestrutura composta por três longarinas (KN.m).


37

b) Viga interna

b.1) Diagrama de Esforço Cortante

Figura 20 Diagrama de esforço cortante para a viga interna da ponte com superestrutura composta por três longarinas (KN).


b.2) Diagrama de Momento Fletor

Figura 21 superestrutura composta por três longarinas (KN.m).


38

4.1.2 Solicitações decorrentes das cargas móveis

Segundo a NBR-7188/2013, o carregamento móvel atuante na estrutura,

proveniente da ação de veículos e pedestres, é simulado por um veículo tipo hipotético,

de peso e geometria estabelecidos pela mesma.

A carga móvel rodoviária padrão TB-450 é definida por um veículo tipo de

450KN, com 6 rodas, P = 75KN, 3 eixos de carga afastados entre si de 1,5m, com área

de ocupação de 18,0m², circundado por uma carga uniformemente distribuída constante

p = 5KN/m², conforme a figura 22:

Figura 22 Veículo tipo padrão segundo a NBR-7188/2013

Fonte: NBR 7188/2013

A carga móvel assume posição qualquer em toda a pista rodoviária, com as

rodas na posição mais desfavorável, inclusive acostamento e faixas de segurança. A

carga distribuída deve ser aplicada na posição mais desfavorável, independentemente

das faixas rodoviárias.

39

Para a determinação do veículo tipo, serão utilizados os Métodos de Repartição

de Carga. Para a aplicação destes métodos, foram escolhidos os modelos analíticos de

Engesser-Courbon entre os métodos que desconsideram o efeito da torção nas vigas e o

modelo de Guyon-Massonet representando os métodos que levam em consideração os

efeitos torcionais. Posteriormente, será aplicado o método das reações de apoio,

proposto pela autora.

Para obter a configuração do veículo tipo longitudinal, são analisados dois cortes

transversais sobre o tabuleiro, onde um corta a faixa do veículo tipo (corte A-A) e o

outro passa por fora da faixa do veículo tipo (corte B-B) de acordo com a figura 23.

Figura 23 Representação dos cortes A-A e B-B no tabuleiro da ponte.


40

As cargas P (KN) e p (KN/m²) são definidas respectivamente como a carga

vertical estática concentrada e carga vertical estática uniformemente distribuída,

aplicadas no nível do pavimento, com valor característico e sem qualquer majoração.

Para obter os valores das cargas verticais móveis, Q (KN) e q (KN/m²), aplicadas no

nível do pavimento, devem-se majorar os valores das cargas estáticas de acordo com as

seguintes expressões:

Q=P*CIV*CNF*CIA

(4.3)

q = p* CIV*CNF*CIA (4.4)

Onde:

CIV = Coeficiente de Impacto Vertical;

CNF = Coeficiente de Número de Faixas;

CIA = Coeficiente de Impacto Adicional.

Coeficiente de Impacto Vertical

As cargas móveis verticais características devem ser majoradas para o

dimensionamento de todos os elementos estruturais pelo Coeficiente de Impacto

-

estruturais. Sendo:

CIV = 1,35 para estruturas com vão menor do que 10,0 m;

CIV = 1 + 1,06 *50)20(

Liv para 10,0 200,0 m.

(4.5)

Onde:

Liv = L para estruturas de vão isostático;

Liv: media aritmética dos vãos nos casos de vãos contínuos;

Liv: comprimento do próprio balanço para estruturas em balanço;

L: vão em metros.

41

Para o caso de estudo temos:

L = 25 m

CIV = 1 + 1,06 *5025)20( = 1,28

Coeficiente de Número de Faixas

As cargas móveis verticais características devem ser ajustadas pelo Coeficiente

CNF = 1-0,05*(n-2) >0,9 (4.6)

Onde:

n: número (inteiro) de faixas de tráfego rodoviário a serem carregadas sobre um

tabuleiro transversalmente contínuo.

Para o caso de estudo serão adotadas duas faixas de tráfego (n=2), portanto:

CNF = 1-0,05*(2-2) = 1

Coeficiente de Impacto Adicional

Os esforços das cargas móveis verticais devem ser majorados na região das

juntas estruturais e extremidades da obra. Todas as seções dos elementos estruturais a

uma distância horizontal, normal à junta, inferior a 5,0m para cada lado da junta ou

descontinuidade estrutural, devem ser dimensionadas com os esforços das cargas

móveis majorados pelo Coeficiente de Impacto Adicional, abaixo definido.

CIA = 1,25 para obras em concreto ou mistas;

CIA = 1,15 para obras em aço.

Para o caso em estudo serão utilizadas na estrutura lajes de continuidade e,

portanto, CIA = 1,0.

42

Determinação das cargas móveis

As cargas concentradas e distribuídas majoradas pelo coeficiente de impacto são

dadas por:

Q = 75 x 1,28 x 1,0 x 1,0 = 96 KN

q = 5 x 1,28 x 1,0 x 1,0 = 6,4 KN/m²

Veículo tipo simplificado

Conforme permitido pela antiga norma NB6/1982, a composição do veículo tipo

obtida, pode ser simplificada resultando na seguinte composição:

Figura 24 Veículo tipo simplificado

Fonte: Autor (2016)

Onde:

RP = esforço na longarina em estudo referentes às cargas concentradas;

Rp1 = esforço na longarina em estudo referentes à uniformemente distribuída

(Corte A-A);

Rp 2 = esforço na longarina em estudo referente à carga uniformemente

distribuída que ocupa a posição do veículo tipo (Corte B-B);

-

RP = Rp 2 x 36 .

43

4.1.2.1 Método de Repartição de Carga de Engesser-Courbon

a) Determinação do veículo tipo

A distribuição de cargas para as vigas é dada pela seguinte equação:

r i = 2

1

i

i

XeX

n

(4.7)

Onde :

r i é a parcela de carga da viga longitudinal i;

e é a excentricidade da carga;



a.1) Vigas extremas (V1 e V3)

Figura 25 Excentricidade das longarinas.

Fonte: Autor (2016)

2ix = 6² + (-6)² = 72

44

r 1 = 31 +

7266x = 0,833

r 2 = 31 -

7206x = 0,333

r 3 = 31 -

7266x = - 0,167

As figuras 29 e 30 representam de maneira gráfica, os resultados dos

coeficientes de repartição de cargas encontrados. Para obter a configuração do veículo

tipo longitudinal, são analisados dois cortes transversais sobre o tabuleiro, onde um

corta a faixa do veículo tipo (corte A-A) e o outro passa por fora da faixa do veículo

tipo (corte B-B). A carga móvel é disposta na posição mais desfavorável, ou seja, no

local onde gera maiores reações na viga extrema.

Corte A-A

Figura 26 Distribuição de carga de Engesser-Courbon para vigas extremas

(Corte A-A).

Fonte: Autor (2016)

RP = (96 x 0,925) + (96 x 0,758) = 161,6 KN

Rp 1 = 6,4 x 3,08 = 19,7 KN/m

45

Figura 27 Distribuição de carga de Engesser-Courbon para vigas extremas (Corte B-B).

Fonte: Autor (2016)

Rp 2 = 6,4 x 2,52 = 16,1 KN/m


Rp1 + Rp 2 = 19,7 + 16,1 = 35,8 KN/m

-

RP = Rp 2 x 36 = 16,1 x 2 = 32,2 KN

32,2 = 129,4 KN

46

Figura 28 Composição do veículo tipo simplificado para as vigas extremas.

Fonte: Autor (2016)

a.2) Viga interna (V2)

A viga interna (V2) Encontra-se no centro elástico da seção transversal, assim:

r1 = r 2 = r 3 = 31 = 0,33

Corte A-A

Figura 29 Distribuição de carga de Engesser-Courbon para a viga interna (Corte A-A).

Fonte: Autor (2016)

RP = (96 x 0,33) x 2 = 63,4 KN, Rp 1 = 6,4 x 4,03 = 25,8 KN/m

47

Corte B-B

Figura 30 Distribuição de carga de Engesser-Courbon para vigas extremas (Corte B-B).

Fonte: Autor (2016)

Rp 2 = 6,4 x 0,99 = 6,3 KN/m

A composição do veículo tipo obtida, pode ser simplificada resultando na

seguinte composição:

Rp 1 + Rp 2 = 25,8 + 6,3 = 32,1 KN/m

-

RP = Rp 2 x 36 = 6,3 x 2 = 12,6 KN

12,6 = 50,8 KN

Figura 31 Composição do veículo tipo simplificado para a viga interna.

Fonte: Autor (2016)

48

b) Traçado das Linhas de Influência

A linha de influência de um efeito elástico (momento fletor, esforço cortante,

reação de apoio e deformação), em uma determinada seção, pode ser definida como a

representação gráfica ou analítica dos valores deste efeito naquela seção, gerado por

uma carga concentrada unitária, de cima para baixo, que percorre a estrutura

(Sussekind,1997).

Para cada seção de cálculo da longarina, são traçadas as linhas de influência de

momento fletor e força cortante, para em seguida posicionar o veículo tipo e determinar

as envoltórias dos esforços solicitantes. Para a determinação das linhas de influência das

longarinas, foi utilizado o programa de análise estrutural ftool (MARTHA, 2012).

O traçado das linhas de influência será realizado para as vigas mais solicitadas.

De acordo com a determinação dos veículos tipo para as vigas extremas e interna,

realizada no tópico anterior, podemos concluir que as vigas extremas são as vigas mais

solicitadas. Portanto, serão traçadas as linhas de influencia de momento fletor e força

cortante para as vigas V1 e V3.

As seções de cálculo adotadas e as linhas de influencia de momento fletor e

força cortante para a seção 4 estão representadas nas figuras a seguir:

Figura 32 Seções de cálculo adotadas para o traçado das linhas de influência das vigas extremas.


49

Figura 33 Linha de influência do esforço cortante na seção 4.


Figura 34 Linha de influência de momento fletor na seção 4.


c) Envoltória de solicitações

As envoltórias de solicitações são obtidas através da soma das solicitações

decorrentes do peso próprio com as decorrentes da carga móvel, levando em

consideração o efeito dinâmico por meio da multiplicação pelo coeficiente de impacto.

As solicitações resultantes das envoltórias são denominadas em serviço, uma vez que

não foram majoradas pelos coeficientes adequados.

As vigas principais são dimensionadas para os valores extremos dessas

envoltórias, sendo assim, para qualquer posição da carga móvel sobre o tabuleiro, a

resistência estará garantida.

50

Figura 35 Envoltória de esforço cortante para as vigas mais solicitadas V1 e V3 (KN).


Figura 36 Envoltória de momento fletor para as vigas mais solicitadas V1 e V3 (KN.m).


51

4.1.2.2 Método de Guyon-Massonet

Figura 37 Esquematização do tabuleiro da ponte composto por três longarinas e três transversinas.


a) Características geométricas das longarinas e transversinas

No caso do tabuleiro da ponte em estudo, as vigas são ligadas à laje, devendo-se,

portanto, incluir a contribuição da mesma nas rigidezes à flexão e a torção das vigas.

Desta forma, é necessária a determinação da largura colaborante, definida pela NBR

6118 de acordo com a figura abaixo:

Figura 38 Determinação da largura colaborante b f de acordo com a NBR 6118

Fonte: NBR 6118/2014

52

viga em que houver laje colaborante. Para o caso de vãos com momento fletor negativo

nos dois apoios, o valor desse termo é igual a três quintos do comprimento do vão.

Assim:

a = 53 x 25 = 15 m

b 1 mxa

mxb5,1151,01,0

9,2)2,00,6(5,05,0 2 b1 = 1,5m

b 3 mxamb

5,1151,01,06,14,00,24 b 3 = 1,5m

b f = b 1 + b w + b 3 = 1,5 + 0,3 + 1,5 = 3,3

b f = 3,3 m

a.1) Momentos de inércia

I = 2,72 m 4

J = 0,15 m 4

I 0 = 0,029 m 4

Figura 39 Dimensões de cálculo da seção transversal das longarinas


53

J 0 = 0,0017 m 4

a.2) Rigidezes à flexão e à torção

L = t

EI = 6

72,26,26071 x

largura;

T = q

EJ = 5,12

15,06,26071 x

comprimento;

Onde:

E = 4760 ckf (4.8)

E = 4760 30 = 26071,6 MPa

L = t

GIO = 6

029,010863x = 52,5

largura;

T = q

GJO = 5,120017,010863x = 1,48

comprimento.

Onde:

G =

)1(2E

(4.9)

G = )2,01(2

6,26071 = 10863 Mpa

Para aplicações em concreto armado, a NBR 6118 fixa o valor do coeficiente de

poison em 0,2.

54

b) Determinação dos coeficientes de distribuição transversal

Inicialmente, determinam-se os valores dos parâmetros adimensionais

TL

TL

2 =

86,31211819248,15,52

x = 0,014

4

T

L

Lb = 4

86,31211819 x

340,8 0,6

minam-se a os coeficientes de distribuição

transversal para a viga em estudo, por meio da utilização de tabelas de cálculo retiradas

do livro: Cálculo de Tabuleiro de Pontes (San Martin,1981). Os valores dos coeficientes

Tabela 1 Valores dos coeficientes de distribuição transversal (K 0 e K 1 )

Para obter os valores dos coeficientes de distribuição transversal referentes a

0,015, realiza-se a interpolação por meio da seguinte expressão:

K = K 0 + (K 1 - K 0 )

(4.10)

Onde:

55

K

K 0

K 1

Os resultados obtidos estão indicados na tabela 2.

Tabela 2 e

As figuras a seguir representam de maneira gráfica, os resultados dos coeficientes de repartição de cargas encontrados para cada longarina.

Figura 40 K x Posição da carga, para a viga localizada em y=0.


56

Figura 41 K x Posição da carga, para a viga localizada em y = 3b/4.


c) Determinação do veículo tipo

Os coeficientes acima tabelados dizem respeito a grandezas definidas para

placas. Devemos, portanto, dividir os coeficientes K pela largura do tabuleiro (2b =

16m) e multiplica-los pela largura de influência abrangida por cada viga longitudinal.

Para as vigas extremas, a largura de influência é igual a 5m e para a intermediária, igual

a 6m. Os valores encontrados estão representados nas figuras a seguir.

57

c.1) Veículo tipo para a viga V2 ( y = 0)

Figura 42 Análise do corte A-A para a viga V2 ( intermediária).


RP = 96 x 0,201 + 96 x 0,326 = 50,6 KN

Rp1 = 6,4 x 5,04 = 32,3 KN/m

Figura 43 -B para a viga V2 ( intermediária).


Rp 2 = 6,4 x 0,79 = 5,1 KN/m


Rp1 + Rp 2 = 32,3 + 5,1 = 37,4 KN/m

-

RP = Rp 2 x 36 = 5,1 x 2 = 10,2 KN

58

10,2 = 40,4 KN

Figura 44 - Veículo tipo longitudinal simplificado para a viga V2.


c.2) Veículo tipo para as vigas V1 e V3 ( y = 3b/4)

Figura 45 do corte A-A para as vigas V1 e V3 ( extremas).


RP = 96 x 0,76 + 96 x 0,99 = 168 KN

Rp1 = 6,4 x 5,85 = 37,4 KN/m

59

Figura 46 Análise do corte B-B para as vigas V1 e V3 ( extremas).


Rp 2 = 6,4 x 2,63 = 16,8 KN/m


Rp 1 + Rp 2 = 37,4 + 16,8 = 54,2 KN/m

-

RP = Rp 2 x 36 = 16,8 x 2 = 33,6 KN

168 33,6 = 134,4 KN

Figura 47 Veículo tipo longitudinal simplificado para as vigas V1 e V3.


60

d) Envoltória de solicitações

Figura 48 de esforço cortante para as vigas mais solicitadas V1 e V3

(KN).


Figura 49 Envoltória de momento fletor para as vigas mais solicitadas V1 e V3 (KN.m).


61

4.1.2.3 Método das reações de apoio

A fim de comparar com os resultados obtidos pelos métodos de distribuição de

carga de Engesser-Courbon e Guyon Massonet, a autora propõe a aplicação do método

das reações de apoio da viga em estudo para a determinação das parcelas de carga

atribuídas para cada longarina. De acordo com este método, considera-se a seção

transversal constituída de um sistema hiperestático, onde o quinhão de carga atribuído

às longarinas é determinado por meio do cálculo das reações quando o veículo tipo é

posicionado de maneira a gerar os maiores esforços nas vigas. Para a determinação das

reações do sistema hiperestático, foi utilizado o programa de análise estrutural ftool

(MARTHA, 2012).

a) Determinação do Veículo Tipo

Para obter a configuração do veículo tipo longitudinal, inicialmente serão

traçadas as linhas de influência de reação para cada viga em estudo, posteriormente

serão analisados dois cortes transversais sobre o tabuleiro, onde um corta a faixa do

veículo tipo (corte A-A) e o outro passa por fora da faixa do veículo tipo (corte B-B),

onde o veículo tipo transversal será posicionado de maneira a gerar os maiores valores

de reação para as longarinas. Os alívios gerados pelo posicionamento do veículo tipo

em determinadas regiões, serão desconsiderados.

a.1) Vigas extremas (V1 e V3)

Figura 50 Análise do corte A-A para a viga V1.


62

Figura 51 Análise do corte B-B para a viga V1.


Figura 52 Linha de influência de reação para a viga V1.


RP = 212 KN, Rp1 = 11,6 KN/m Rp 2 = 21,2 KN/m


Rp 1 + Rp 2 = 11,6 + 21,2 = 32,8 KN/m

-

RP = Rp 2 x 36 = 21,2 x 2 = 42,4 KN

42,4 = 169,6 KN

63



a.2) Viga intermediária (V2)

Figura 54 Análise do corte A-A para a viga V2.


Figura 55 lise do corte B-B para a viga V2.


64



RP = 184,4 KN, Rp1 = 29,36 KN/m Rp 2 = 18,64 KN/m


Rp1 + Rp 2 = 29,36 + 18,64 = 48 KN/m

-

RP = Rp 2 x 36 = 18,64 x 2 = 37,3 KN

37,3 = 147,1 KN

Figura 57 Veículo tipo longitudinal simplificado para a viga V2.


65

b) Envoltória de solicitações

Figura 58 de esforço cortante para as vigas mais solicitadas (V1 e V3) (KN).


Figura 59 de momento fletor para as vigas mais solicitadas (V1 e V3) (KN.m).


66

4.2 Análise dos esforços solicitantes para o caso de estudo II: Superestrutura

composta por sete longarinas

Figura 60 Seção transversal da ponte composta por sete longarinas.


4.2.1 Solicitações decorrentes das cargas permanentes

Neste item serão determinados os carregamentos decorrentes do peso próprio

sobre cada longarina. Estas cargas podem ser de dois tipos: distribuídas e concentradas.

4.2.1.1 Carregamentos distribuídos a) Vigas extremas

q 1 : Carga referente ao peso próprio atribuído as vigas externas na seção do meio do vão.

Figura 61 Áreas de concreto e pavimentação para as vigas extremas.


Ac = 1,69 m², Ap = 0,15 m²

q 1 = 1,69 x 25+ 0,15 x 24 = 45,85

67

q1 = 45,85 KN/m

q 2 : Carga referente ao peso próprio atribuído as vigas externas na seção dos

apoios.

Figura 62 Áreas de concreto e pavimentação para as vigas extremas dos apoios.


Ac = 2,05 m², Ap = 0,15 m²

q 2 = 2,05 x 25+ 0,15 x 24 = 54,85

q 2 = 54,85 KN/m

b) Vigas internas

q 1 Carga referente ao peso próprio atribuído à viga interna na seção do meio do vão.

Figura 63 Áreas de concreto e pavimentação para as vigas internas do meio do vão.


Ac = 1,16 m², Ap = 0,10 m²

q 1 = 1,16 x 25+ 0,1 x 24 = 31,4

q 1 31,4 KN/m

68

q 2 Carga referente ao peso próprio atribuído a viga interna na seção dos apoios.

Figura 64 Áreas de concreto e pavimentação para as vigas internas dos apoios.


Ac = 1,52 m² e Ap = 0,10 m²

q 2 = 1,52 x 25+ 0,10 x 24 = 40,4

q 2 40,4 KN/m

4.2.1.2 Cargas concentradas

a) Vigas extremas

g 1 : carga concentrada referente ao pesos das transversinas e suas mísulas no meio do vão.



g 1 = 11,48 + 2,55 = 14,03 KN

g 2 : carga concentrada referente ao pesos das transversinas e suas mísulas nos apoios.



g 2 = 10,13 + 2,25 = 12,38 KN

g 3 : carga concentrada referente ao peso da cortina

Cortina = 0,2 x (2,1 + 0,3) x 3,0 = 1,44 m³

69



0,24 m³

Laje de aproximação = 0,2 x 25,2 x 3,0 = 075 m³


Total = 3,46 m³

g 3 = 3,46 x 25 = 85,5 KN

b) Vigas internas

g 1 carga concentrada referente aos pesos das transversinas e suas mísulas no meio do vão.



g 1 KN

g 2 carga concentrada referente ao pesos das transversinas e suas mísulas nos apoios.



g 2 KN

g 3 carga concentrada referente ao peso da cortina

Cortina = 0,2 x (2,1 + 0,3) x 2,0 = 0,96 m³



0,16 m³

70

Laje de aproximação = 0,2 x 25,2 x 2,0 = 0,5 m³


Total = 2,59 m³

g 3 2,59 x 25 = 64,75 KN

4.2.1.3 Esquema estrutural das cargas permanentes nas longarinas

a) Vigas extremas

Figura 65 Esquema estrutural das cargas permanentes que atuam nas longarinas extremas.


b) Vigas internas

Figura 66 Esquema estrutural das cargas permanentes que atuam nas longarinas internas.


71

4.2.1.4 Diagrama dos esforços solicitantes provenientes das cargas permanentes

a) Viga extremas

a.1) Diagrama de Esforço Cortante

Figura 67 Diagrama de esforço cortante para as vigas extremas da ponte com superestrutura composta por sete longarinas (KN)


a.2) Diagrama de Momento Fletor

Figura 68 Diagrama de momento fletor para as vigas extremas da ponte com superestrutura composta por sete longarinas (KN.m)


72

b) Vigas internas

b.1) Diagrama de Esforço Cortante

Figura 69

superestrutura composta por sete longarinas (KN).


b.2) Diagrama de Momento Fletor

Figura 70 Diagrama de momento fletor para as vigas internas da ponte com superestrutura composta por sete longarinas (KN.m)


73

4.2.2 Solicitações decorrentes das cargas móveis

Para o caso de estudo II, as solicitações decorrentes das cargas móveis serão

determinadas da mesma maneira que para o caso de estudo I, por meio da aplicação dos

métodos de repartição de carga de Engesser-Courbon e Guyon-Massonet. Por fim, será

ainda aplicado o método da determinação das reações de apoio.

4.2.2.1 Método de Repartição de Carga de Engesser-Courbon

a) Determinação do veículo tipo

A distribuição de cargas para as vigas é dada pela seguinte equação (4.3):

r i = 21

i

i

XeX

n

Onde :

r i é a parcela de carga da viga longitudinal i;

e é a excentricidade da carga;



Figura 71 Excentricidade das longarinas.


74

2ix = 6² + 4² + 2² + (-2)² + (-4)² + (-6)² = 112

Os resultados obtidos pela aplicação do método de repartição de carga de Engesser-Courbon para as vigas principais do caso em estudo encontram-se na tabela a seguir:

Tabela 3 Coeficientes de repartição de carga de Engesser-Courbon para as longarinas do caso de estudo II

As figuras a seguir representam de maneira gráfica, os resultados dos

coeficientes de repartição de cargas encontrados. Para obter a configuração do veículo

tipo longitudinal, são analisados dois cortes transversais sobre o tabuleiro, onde um

corta a faixa do veículo tipo (corte A-A) e o outro passa por fora da faixa do veículo

tipo (corte B-B). A carga móvel é disposta na posição mais desfavorável, ou seja, no

local onde gera maiores reações nas vigas.

75

a.1) Veículo tipo para as vigas V1 e V7

Figura 72 Posicionamento do veículo tipo na seção transversal das vigas V1 e V7 para a determinação do veículo tipo longitudinal.


RP = 96x (0,523 + 0,416) = 90,1 KN, Rp 1 = 6,4 x 1,415 = 9,1 KN/m

Rp 2 = 6,4 x 1,408 = 9,0 KN/m

76


Rp1 + Rp 2 = 9,1 + 9,0 = 18,1 KN/m

-

RP = Rp 2 x 36 = 9,0 x 2 = 18,0 KN

18,0 = 72,1 KN

Figura 73 tipo longitudinal simplificado para as vigas V1 e V7.


77


Figura 74 Posicionamento do veículo tipo na seção transversal das vigas V2 e V6 para a determinação do veículo tipo longitudinal.


RP = 96 x (0,396 + 0,325) = 69,2 KN, Rp 1 = 6,4 x 1,322 = 8,5 KN/m

Rp 2 = 6,4 x 1,082 = 6,9 KN/m

78


Rp1 + Rp 2 = 8,5 + 6,9 = 15,4 KN/m

-

RP = Rp 2 x 36 = 6,9 x 2 = 13,8 KN

13,8 = 55,4 KN



79


Figura 76 do veículo tipo na seção transversal das vigas V3 e V5 para a determinação do veículo tipo longitudinal.


RP = 96 x (0,269 + 0,234) = 48,3 KN, Rp 1 = 6,4 x 1,418 = 9,1 KN/m

Rp 2 = 6,4 x 0,755 = 4,8 KN/m

80


Rp1 + Rp 2 = 9,1 + 4,8 = 13,9 KN/m

-

RP = Rp 2 x 36 = 4,8 x 2 = 9,6 KN

RP 9,6 = 38,7KN

Figura 77 tipo longitudinal simplificado para as vigas V3 e V5.


81

a.4) Veículo tipo para a viga V4

Figura 78 ão transversal da viga V4 para a determinação do veículo tipo longitudinal.


RP = 96 x 0,143 x 2 = 27,5 KN, Rp1 = 6,4 x 1,859 = 11,9 KN/m

Rp 2 = 6,4 x 0,429 = 2,7 KN/m

82


Rp1 + Rp 2 = 11,9 + 2,7 = 14,6 KN/m

-

RP = Rp 2 x 36 = 2,7 x 2 = 5,4 KN

5,4 = 22,1 KN




Figura 80 Envoltória de força cortante para as vigas mais solicitadas (V1 e V7) (KN).


83

Figura 81 Envoltória de momento fletor para as vigas mais solicitadas (V1 e V7) (KN.m).


4.2.2.2 Método de Guyon-Massonet .

Figura 82 do tabuleiro da ponte composto por sete longarinas e três transversinas.


a) Características geométricas das longarinas e transversinas

a.1) Largura colaborante

a = 53 x 25 = 15 m

b 1 mxa

mxb5,1151,01,0

75,0)2,07,1(5,05,0 2 b 1 = 0,75 m

84

b 3 mxamb

5,1151,01,06,14,00,24 b 3 = 1,5m

b f = b 1 + b w + b 3 = 0,75 + 0,3 + 1,5 = 2,55

b f = 2,5 m

Segundo Mason (1977), a contribuição da laje a ser considerada será igual a t, se

t for menor do que a largura útil da mesa. Como para o caso em estudo t < b f , então

b= 2,0 m.

Figura 83 Dimensões de cálculo da seção transversal das longarinas.


a.2) Momentos de inércia

I = 0,49 m 4

J = 0,15 m 4

I 0 = 0,023 m 4

J 0 = 0,0017 m 4 rcia de torção da transversina.

a.3) Rigidezes à flexão e à torção

L = t

EI = 2

49,06,26071 x

largura;

85

T = q

EJ = 5,12

15,06,26071 x

comprimento;

Onde:

E = 4760 ckf = 4760 30 = 26071,6 MPa

L = t

GIO = 2

023,010863x = 124,92 unidade de

largura;

T = q

GJO = 5,120017,010863x = 1,48

comprimento.

Onde:

G = )1(2

E = )2,01(2

6,26071 = 10863 Mpa

Para aplicações em concreto armado, a NBR 6118 fixa o valor do coeficiente de

poison em 0,2.

b) Determinação dos coeficientes de distribuição transversal

Inicialmente, determinam-se os valores dos parâmetros adimensionais

TL

TL

2 =

86,31254,6387248,192,124

x = 0,045

4

T

L

Lb = 4

86,31254,6387 x

340,8 0,5

mina-se a os coeficientes de distribuição

transversal para a viga em estudo, por meio da utilização de tabelas de cálculo retiradas

do livro: Cálculo de Tabuleiro de Pontes (San Martin,1981). Os valores dos coeficientes

de distribuição transversal são tabelados para

86

0,045, realiza-se a interpolação por meio da equação (4.6):

K = K 0 + (K 1 - K 0 )

Os resultados obtidos estão indicados na tabela 5.

Tabela 4 Valores dos coeficientes de distribuição transversal (K 0 e K 1 )

= 0,045 e

As figuras a seguir representam de maneira gráfica, os resultados dos coeficientes de repartição de cargas encontrados para cada longarina.

87

Figura 84 Gráfico K x Posição da carga, para a viga localizada em y=0.


Figura 85 Gráfico K x Posição da carga, para a viga localizada em y = b/4.


88

Figura 86 Gráfico K x Posição da carga, para a viga localizada em y = b/2.


Figura 87 Gráfico K x Posição da carga, para a viga localizada em y = 3b/4.


89

c) Determinação do veículo tipo

Os coeficientes tabelados no item anterior dizem respeito a grandezas definidas

para placas. Devemos, portanto, dividir os coeficientes K pela largura do tabuleiro (2b

= 16m) e multiplica-los pela largura de influência abrangida por cada viga longitudinal.

Para as vigas extremas V1 e V7, a largura de influência é de 3m e para as demais vigas

é de 2m. Os resultados obtidos estão representados nas figuras a seguir:

c.1) Veículo tipo para as vigas V4 ( y = 0)

Figura 88 lise do corte A-A para a vigas V4.


RP = 96 x 0,094 + 96 x 0,116 = 20,2 KN

Rp 1 = 6,4 x 1,6 = 10,2 KN/m



Rp 2 = 6,4 x 0,315 = 2,0 KN/m

90


Rp1 + Rp 2 = 10,2 + 2,0 = 12,2 KN/m

= RP -

RP = Rp 2 x 36 = 2,0 x 2 = 4,0 KN

4,0 = 16,2 KN



c.2) Veículo tipo para as vigas V3 e V5 ( y = b/4)

Figura 91 Análise do corte A-A para as vigas V3 e V5.


RP = 96 x 0,168 + 96 x 0,172 = 32,6 KN, Rp 1 = 6,4 x 1,41 = 9,0 KN/m

91

Figura 92 lise do corte B-B para as viga V3 e V5.


Rp 2 = 6,4 x 0,51 = 3,3 KN/m


Rp1 + Rp 2 = 9,0 + 3,3 = 12,3 KN/m

-

RP = Rp 2 x 36 = 3,3 x 2 = 6,6 KN

6,6 = 26 KN



92

c.3) Veículo tipo para as vigas V2 e V6 ( y = b/2)

Figura 94 -A para as vigas V2 e V6.


RP = 96 x 0,25 + 96 x 0,23 = 46,1 KN

Rp1 = 6,4 x 1,196 = 7,6 KN/m

Figura 95 do corte B-B para as vigas V2 e V6.


Rp 2 = 6,4 x 0,73 = 4,7 KN/m

93


Rp1 + Rp 2 = 7,6 + 4,7 = 12,3 KN/m

-

RP = Rp 2 x 36 = 4,7 x 2 = 9,4 KN

9,4 = 36,7 KN



c.4) Veículo tipo para as vigas V1 e V7 ( y = 3b/4)

Figura 97 do corte A-A para as vigas V1 e V7.


94

RP = 96 x 0,54 + 96 x 0,43 = 93,1 KN

Rp1 = 6,4 x 1,58 = 10,1 KN/m

Figura 98 -B para as vigas V1 e V7.


Rp 2 = 6,4 x 1,44 = 9,2 KN/m


Rp1 + Rp 2 = 10,1 + 9,2 = 19,3 KN/m

-

RP = Rp 2 x 36 = 9,2 x 2 = 18,4 KN

18,4 = 74,7 KN



95

e) Envoltória de solicitações

Figura 100 de força cortante para as vigas mais solicitadas (V1 e V7)

(KN).


Figura 101 de momento fletor para as vigas mais solicitadas (V1 e V7) (KN.m).


96

4.2.2.3 Método das reações de apoio

A fim de comparar com os resultados obtidos pelos métodos de distribuição de

carga de Engesser-Courbon e Guyon Massonet, a autora propõe a aplicação do método

das reações de apoio da viga em estudo para a determinação das parcelas de carga

atribuídas para cada longarina. De acordo com este método, considera-se a seção

transversal constituída de um sistema hiperestático, onde o quinhão de carga atribuído

às longarinas é determinado por meio do cálculo das reações quando o veículo tipo é

posicionado de maneira a gerar os maiores esforços nas vigas. Para a determinação das

reações do sistema hiperestático, foi utilizado o programa de análise estrutural ftool

(MARTHA, 2012).

a) Determinação do Veículo Tipo

Para obter a configuração do veículo tipo longitudinal, inicialmente serão

traçadas as linhas de influência de reação para cada viga em estudo, posteriormente

serão analisados dois cortes transversais sobre o tabuleiro, onde um corta a faixa do

veículo tipo (corte A-A) e o outro passa por fora da faixa do veículo tipo (corte B-B),

onde o veículo tipo transversal será posicionado de maneira a gerar os maiores valores

de reação para as longarinas. Os alívios gerados pelo posicionamento do veículo tipo

em determinadas regiões serão desconsiderados.

Figura 102 Analise do corte A-A para a viga V1.


97

Figura 103 -B para a viga V1.




RP = 253,3 KN, Rp1 = 1,12 KN/m e Rp 2 = 25,3 KN/m


Rp 1 + Rp 2 = 1,12 + 25,3 = 26,4 KN/m

-

RP = Rp 2 x 36 = 25,3 x 2 = 50,6 KN

253,3 50,6 = 202,7 KN

98


Fonte: Autor (2016)

Figura 106 -A para a viga V2.


Figura 107 -B para a viga V2.


99

Figura 108 uência de reação para a viga V2.


RP = 124,25 KN, Rp1 = 1,0 KN/m Rp 2 = 14,3 KN/m


Rp1 + Rp 2 = 1,0 + 14,3 = 15,3 KN/m

-

RP = Rp 2 x 36 = 14,3 x 2 = 28,6 KN

28,6 = 95,65 KN


Fonte: Autor (2016)

100

Figura 110 do corte A-A para a viga V3.


Figura 111 do corte B-B para a viga V3.


Figura 112 de influência de reação para a viga V3.


RP = 115,9 KN, Rp1 = 3,6 KN/m Rp 2 = 13,8 KN/m

101


Rp1 + Rp 2 = 3,6 + 13,8 = 17,4 KN/m

-

RP = Rp 2 x 36 = 13,8 x 2 = 27,6 KN

27,6 = 88,3 KN


Fonte: Autor (2016)

Figura 114 lise do corte A-A para a viga V4.


102





RP = 115,4 KN, Rp1 = 1,54 KN/m Rp 2 = 13,7 KN/m


Rp 1 + Rp 2 = 1,54 + 13,7 = 15,2 KN/m

-

RP = Rp 2 x 36 = 13,7 x 2 = 27,4 KN

27,4 = 88,0 KN

103


Fonte: Autor (2016)


Figura 118 Envoltória de força cortante para as vigas mais solicitadas (V1 e V7)

(KN).


104

Figura 119 de momento fletor para as vigas mais solicitadas (V1 e V7)

(KN.m).


105

5 ANÁLISE DOS RESULTADOS

Neste capítulo busca-se apresentar e comparar os resultados obitidos pela

aplicação dos modelos analíticos estudados. Inicialmente é feita a comparação entre os

coeficientes de repartição de carga, para os modelos de Engesser-Courbon e Guyon-

Massonet e a linha de influência elástica para o método das reações de apoio, para os

casos em que a superestrutura da ponte em estudo é composta por três e sete longarinas.

Posteriormente, com intuito de quantificar como um modelo varia em relação ao outro,

serão comparados os valores dos esforços solicitantes máximos, bem como os valores

das armaduras de flexão para o meio do vão das vigas mais solicitadas de cada caso de

estudo.

5.1 Comparação entre as curvas de distribuição transversal

Neste item são apresentadas as sobreposições dos gráficos dos coeficientes de

distribuição transversal de carga, obtidas pela aplicação dos diferentes modelos

estudados, com o objetivo de analisar a variação desses modelos para o caso de estudo I

e II.

5.1.1 Curvas de distribuição transversal para o caso de estudo I

A tabela 6 mostra os valores dos coeficientes de distribuição de carga para as

vigas V1, V2 e V3 do caso de estudo I, obtidos pela aplicação dos métodos analíticos de

Engesser-Courbon, Guyon-Massonet e pelo método das reações de apoio utilizando as

linhas de influência elásticas.

Tabela 6 Valores dos coeficientes de repartição em função da posição da

carga.

106

As figuras 120 e 121 representam de maneira gráfica a sobreposição das curvas de

distribuição transversal obtidas pela aplicação dos métodos estudados para as longarinas

do o tabuleiro da ponte em estudo formado por três longarinas.

Figura 120 Curvas de distribuição transversal para as vigas de extremidade (V1=V3).


Figura 121 de distribuição transversal para a viga intermediária (V2).


107

5.1.2 Curvas de distribuição transversal para o caso de estudo II

A tabela 7 mostra os valores dos coeficientes de distribuição de carga para as

vigas extremas V1 = V7 e para a viga intemediária V4 do caso de estudo II obtidos pela

aplicação dos métodos analíticos de Engesser-Courbon, Guyon-Massonet e pelo método

das reações de apoio utilizando as linhas de influência elásticas.

Valores dos coeficientes de repartição em função da posição da carga.

Os valores mostrados na tabela estão representados de maneira gráfica nas

figuras abaixo.

Figura 122 de distribuição transversal para as vigas de extremidade (V1=V7).


108

Figura 123 a viga Intermediária (V4).


5.1.3 Análise dos resultados

De acordo com as sobreposições das curvas de distribuição transversal

apresentadas nos itens anteriores, pode-se observar que para o caso de estudo I, os

coeficientes de repartição de carga obtidos pela aplicação dos modelos analíticos de

Engesser-Courbon e Guyon-Massonet apresentam uma variação um pouco maior

quando comparados com o caso de estudo II. A aproximação das curvas com o aumento

do número de vigas principais é devido ao fato de que para o caso de estudo I onde a

superestrutura da ponte é composta por apenas três longarinas e três transversinas, duas

nos apoios e uma central, o modelo se afasta do comportamento de placa ortotrópica e

aproxima-se do comportamento de grelha. A introdução de mais quatro longarinas

aproxima sensivelmente o comportamento da estrutura para o de uma placa ortotrópica

fazendo com que as curvas dos dois modelos se aproximem.

Quanto ao método de comparação proposto pelo autor, onde a determinação da

distribuição transversal de carga é realizada por meio das linhas de influência elástica de

reação, observa-se que as curvas de distribuição para o caso de estudo I apresentam um

aspecto semelhante ao das curvas obitidas pela aplicação dos modelos convencionais de

Engesser-Courbon e Guyon-Massonet. No entanto, para o caso de estudo II, há uma

109

considerável discrepância no comportamento das curvas. Tal discrepância reflete a

diferença das considerações de cada modelo.

O método da determinação das reações de apoio por meio das linhas de

influência não considera a compatibilização entre os deslocamentos dos elementos

estruturais que compõem o tabuleiro da ponte, uma vez que para este modelo, as

longarinas são consideradas como apoios rígidos. Desta forma, a análise do

comportamento da estrutura é feita por meio de uma única seção que representa as

demais. O modelo de Engesser-Courbon, por sua vez, analisa a estrutura como uma

grelha, onde as transversinas com rigidez infinita apoiam-se sobre apoios elásticos,

considerando, portanto, a compatibilização entre os deslocamentos das longarinas e

transversinas. Finalmente, o modelo de Guyon-Massonet considera o tabuleiro da ponte

como uma placa ortotrópica onde além da compatibilização dos deslocamentos, são

considerados os efeitos da torção dos elementos.

As diferenças nas considerações de cada modelo ficam mais evidentes à medida

que aumentamos o número de vigas principais, pois para o método da linha de

influência, devido à rigidez dos apoios, quando a carga se aproxima da viga em estudo

até ser aplicada sobre a mesma, esta recebe 100% da carga aplicada e por consequência

as demais vigas recebem 0%. Desta forma, quanto maior for o número de vigas menos

uniforme será a distribuição transversal de carga, o que não ocorre com os demais

métodos aplicados.

5.2 Comparação entre os esforços solicitantes

Neste item, são comparados os valores de esforço cortante e momento fletor

máximos para as vigas mais carregadas de cada caso de estudo, a fim de quantificar a

variação dos modelos aplicados.

5.2.1 Comparação entre os esforços solicitantes para o caso de estudo I

A tabela 8 apresenta os valores máximos positivos e negativos de esforço

cortante e momento fletor nas vigas mais solicitadas do caso de estudo I, sendo estas as

vigas de extremidade V1 e V3, obtidos das envoltórias de solicitações para os métodos

110

de repartição de carga de Engesser-Courbon e Guyon-Massonet, além do método das

reações de apoio utilizando linhas de influência elásticas.

Tabela 8 Resumo dos esforços solicitantes máximos positivos e negativos para os diferentes modelos nas vigas V1 e V3.

5.2.2 Comparação entre os esforços solicitantes para o caso de estudo II

A tabela 9 apresenta os valores máximos positivos e negativos de esforço

cortante e momento fletor nas vigas mais solicitadas do caso de estudo II, sendo estas as

vigas de extremidade V1 e V7.

Tabela 9 Resumo dos esforços solicitantes máximos positivos e negativos para os diferentes modelos nas vigas V1 e V7.

5.2.3 Análise dos resultados

As figuas a seguir representam, de maneira gráfica, os valores de esforço

cortante e momento fletor máximos nas vigas mais solicitadas dos casos de estudo I e II

para os diferentes modelos de distribuição de carga estudados, com o intuito de

quantificar as análises feitas para as curvas de distribuição de carga no item 5.1.3.

111

Figura 124 Gráfico do resumo dos valores de esforço cortante para os métodos aplicados.


Figura 125 Gráfico do resumo dos valores de momento fletor para os métodos aplicados.


De acordo com os gráficos acima, podemos quantificar a aproximação dos

valores obtidos para os modelos de Engesser-Courbon e Guyon-Massonet com o

aumento do número de vigas do caso de estudo I para o caso de estudo II. Para o caso I,

há uma diferença de aproximadamente 13% entre os valores de esforço cortante e 15%

entre os valores de momento fletor para cada método, já para o caso II esses valores são

reduzidos para 2% e 2,5 %, respectivamente.

112

Podemos ainda quantificar as diferenças dos valores dos esforços solicitantes obtidos

pela aplicação do método proposto pela autora em relação aos modelos analíticos

estudados para os casos I e II. Para o caso em que a superestrutura da ponte é composta

por três longarinas, a diferença de esforço cortante em relação a modelo de Engesser-

Courbon é de 4,37% e em relação ao de Guyon-Massonet 9,38%, já para o momento

fletor esses valores são de respectivamente 4,96% e 10,32%. Quando o numero de vigas

é aumentado para sete, estes valores sobem para 31,28%e 29,78% para o esforço

cortante em relação aos modelos de Engesser-Courbon e Guyon-Massonet,

respectivamente, e para o momento fletor, esses valores correspondem respectivamente

a 34,26% e 32,63%.

5.3 Comparação entre as armaduras de flexão

Neste item busca-se determinar e comparar as áreas de aço para a seção do meio

do vão nas longarinas mais solicitadas de cada caso de estudo, com o intuito de analisar

a economia de armadura para os diferentes métodos de repartição de carga aplicados.

Para a o cálculo da armadura, utiliza-se a seguinte expressão:

A s =

yd

d

fdKZM

.).(

(5.1)

Onde:

M d M máxk , momento fletor solicitante de cálculo);

d = distância entre o centro de gravidade da armadura longitudinal tracionada até

a fibra mais comprimida de concreto;

yd 15,1ykf

yk 500 MPa para o aço CA50;

dx sendo x a profundidade da linha neutra.

113

5.3.1 Armaduras de flexão no meio do vão para as longarinas V1 e V3 do caso de estudo I

Para a seção em questão, o momento fletor máximo característico é positivo e,

portanto deve-se verificar se a linha neutra passa pela mesa ou pela alma da seção para

assim admitir a seção da viga retangular ou Para a determinação da posição da

linha neutra utiliza -se a equação do momento reduzido de cálculo (KMD) :

KMD = cdw

d

fdbM

²..

(5.2)

Onde:

b w = largura da seção transversal das vigas de seção retangular ou da alma das

f cd = resistência de cálculo à compressão do concreto.

Considera-se inicialmente a seção retangular de 330 x 220 cm e d = 2,0 m. Os

valores obtidos encontram-se na tabela 10.

Tabela 10 Valores da profundidade da linha neutra para os diversos modelos.

Para os três métodos, temos x < hf, logo a seção da viga será considerada como

retangular.

114

Tabela 11 Valores das áreas de aço na seção do meio do vão das vigas V1 e V3 para os modelos aplicados.

5.3.2 Armaduras de flexão no meio do vão para as longarinas V1 e V7 do caso de estudo II

Deve-se verificar se a linha neutra passa pela mesa ou pela alma da seção para

assim admitir a seção da viga retangular ou Considera-se inicialmente a seção

retangular de 200 x 220 cm e d = 2,0 m.

Tabela 12 da profundidade da linha neutra para os diversos modelos

De acordo com os valores obtidos na tabela 12, para os métodos de Engesser-

Courbon e Guyon-Massonet, temos x < hf, portanto a seção será considerada retangular.

Para o métdo da linha de Influência, por sua vez, temos x > hf, implicando que a seção

será admitida como T.

Para o cálculo da área de aço para uma seção T, utiliza-se a seguinte expressão:

A s =

sf f

hd

M

.2

1 + sfdKZ

M..

2 (5.3)

Onde:

M1 = 0,85.f cd .h f .( b f - b w ).( d -

2fh

) (5.4)

M 2 = M d - M 1 (5.5)

115

Tabela 13 das áreas de aço na seção do meio do vão das vigas V1 e V7 para os modelos aplicados.

5.3.3 Análise dos resultados A figura abaixo representa de maneira gráfica o resumo dos valores encontrados

para as armaduras de flexão na seção do meio do vão das vigas mais solicitadas de cada

caso de estudo.

Figura 126 Gráfico do resumo dos valores das armaduras de flexão para os métodos aplicados.

Fonte: Autor (2016)

Como já esperado, o aumento do número de vigas principais reduz a área de aço

requerida para cada longarina, uma vez que para o caso de estudo I as cargas são

distribuídas para apenas três longarinas e para o caso de estudo II, o mesmo

carregamento é distribuído para sete vigas. No entanto, não se pode afirmar que adotar a

solução com um maior número de longarinas é sempre mais econômico, pois o aumento

do número de longarinas gera um maior consumo de concreto, além de maior tempo de

execução. Assim, deve-se analisar cautelosamente, levando em conta os diversos

116

fatores, até que ponto aumentar o número de longarinas para reduzir a área de aço é

vantajoso do ponto de vista econômico.

Segundo os dados obitdos pelo gráfico, houve uma redução de 36,6% na área de

aço na seção do meio do vão para a aplicação do modelo de Engesser-Courbon, 44,8%

para o modelo de Guyon-Massonet e de apenas 6,27% para o método que utiliza a linha

de influência de reação. Esses valores quantificam a analise de que para o método

proposto pela autora, há uma distribuição concentrada dos esforços e, portanto quanto

maior o número de vigas principais mais superdimensionadas serão as longarinas da

ponte.

117

6 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

6.1 Conclusões

O trabalho aqui desenvolvido teve como objetivo apresentar as considerações e o

desenvolvimento dos modelos analíticos tradicionais de distribuição de carga de

Engesser-Courbon e Guyon-Massonet para tabuleiro de pontes com múltiplas

longarinas. Bem como, aplicar estes métodos para a determinação dos esforços

provenientes das cargas móveis e posterior determinação das envoltórias de esforço

cortante e momento fletor, das quais são retirados os valores máximos dos esforços para

o dimensionamento das vigas principais. Além de comparar os resultados obtidos com o

método de determinação das reações nas longarinas por meio das linhas de influência de

reação, proposto pelo autor. Essas comparações foram feitas através das curvas de

distribuição transversal de carga, valores dos esforços solicitantes máximos e armadura

de flexão na seção do meio do vão das vigas mais solicitadas para cada caso de estudo.

Para a plicação e comparação dos métodos estudados foram utilizados dois casos

de estudo. Para o caso de estudo I, a superestrutura da ponte é composta por três vigas

principais e três transversinas, duas nos apoios e uma no meio do vão. Já para o caso de

estudo II, foram mantidos o número de transversinas e o número de vigas principais

aumentou para sete. Desta forma, pôde-se analisar a variação do comportamento dos

modelos com o aumento do número de longarinas.

As curvas de distribuição transversal de cargas, obtidas pela aplicação dos

métodos estudados, foram sobrepostas e comparadas para os dois casos de estudo. A

análise mostrou que os coeficientes de repartição de carga obtidos pela aplicação dos

modelos analíticos de Engesser-Courbon e Guyon-Massonet apresentam uma variação

um pouco maior para o caso de estudo I quando comparados com o caso de estudo II,

devido à aproximação do comportamento do tabuleiro da ponte para uma laje

ortotrópica com a dimuição do espaçamento entre os elementos constituintes da

superestrutura da ponte. Em termos de esforços solicitantes, a variação entre os métodos

para o caso de estudo I é de aproximadamente 13% entre os valores de esforço cortante

e 15% entre os valores de momento fletor para cada método e para o caso II esses

valores são reduzidos para 2% e 2,5 %, respectivamente.

118

Ainda em relação à comparação entre as cuvas de distribuição transversal foi

observado que o comportamento do método de repartição de carga proposto pela autora

se afasta do comportamento dos demais modelos aplicados com o aumento do número

de longarinas por causa da concentração dos esforços na longarina em estudo, à medida

que a carga se aproxima da mesma. Essa análise foi quantificada em relação aos

esforços solicitantes, sendo obtida uma diferença máxima de 9,38% para o esforço

cortante e de 10,32% para o momento fletor, entre os modelos, para o caso de estudo I e

de 31,28% e 34,26%%, respectivamente, parao caso de estudo II.

Em termos de armadura de flexão para o meio do vão das vigas mais solicitadas

de cada caso de estudo, concluiu-se que há uma considerável diminuição para os

modelos de Engesser-Courbon e Guyon-Massonet de respectivamente 36,6% e 44,8%

quando o número de vigas é aumentado de três para sete. No entanto, para o método de

comparação proposto pelo autor, esta redução foi de apenas 6,27%. De acordo com

esses dados pôde-se concluir que à medida que o número de vigas principais é

aumentado, o método de distribuição de carga por meio das linhas de influência de

reação se afasta do comportamento real do tabuleiro de vigas múltiplas, devido à

desconsideração da compatibilidade entre os elementos constituintes do mesmo. A

utilização desse método é inviável para a superestrutura de pontes com múltiplas

longarinas, uma vez que este gera um superdimensionamento dos elementos estruturais.

6.2 Sugestões para trabalhos futuros

Para a complementação das análises realizadas neste trabalho sobre a

distribuição transversal de carga em tabuleiros de vigas múltiplas, sugere-se:

Aumentar o número de longarinas e transversinas de modo que os

espaçamentos entre os elementos sejam suficientemente pequenos para que

o comportamento do tabuleiro se aproxime ao de uma placa ortotrópica com

o objetivo de melhor analisar as variações de esforços para a aplicação dos

métodos de Engesser-Courbon e Guyon-Massonet;

Aplicar outros métodos de distribuição de carga como o método de

Leonhardt e o método de Homberg-Trenks tendo assim, parâmetros a mais

para uma melhor comparação entre os molelos analíticos tradicionais;

119

Analisar, de maneira criteriosa, até que ponto é vantajoso

economicamente a utilização de um número maior de longarinas levando

em conta os diversos fatores que influenciam esta análise;

Analisar o comportamento do tabuleiro de pontes em vigas múltiplas por

meio de programas computacionais, a fim de comparar com os modelos

analíticos tradicionais e verificar o grau de segurança da utilização desses

modelos;

Comparar os resultados obtidos pela aplicação dos modelos analíticos

clássicos e pela utilização de programas computacionais com modelos

experimentais.

120

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