iso guide - guia para expressao da incerteza de medicao

8/8/2019 ISO Guide - Guia Para Expressao Da Incerteza de Medicao

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Guia para a Expressão da

Incerteza na Medição

Tradução livre de Marco Antônio Ribeiro

Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (Corrigida e Reimpressa, 1995)

ISO Technical Advisory Group on Metrology (ISO/TAG4/WG3)

Salvador, Inverno 1996, Outono 2001



Expressão da Incerteza: 1993 (E) 0 Introdução

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0. Introdução

0.1. Quando reportando o resultado de umamedição de uma quantidade física, é obrigatórioque alguma indicação quantitativa da qualidadedo resultado seja dado de modo que quem vaiusá-la possa avaliar sua confiabilidade. Sem talindicação, os resultados da medição não podemser comparados, nem entre si e nem comvalores de referência dados em umaespecificação ou norma. É por isso necessárioque haja um procedimento prontamenteimplementado, facilmente entendido euniversalmente aceito para caracterizar a

qualidade de um resultado de uma medição, istoé, para avaliar e expressar a sua incerteza.

0.2. O conceito de incerteza como um atributoquantificável é relativamente novo na história damedição, embora erro e análise do erro tenhamuma longa participação da prática da ciência damedição ou metrologia. É atualmente largamentereconhecido que, quando todos os componentesconhecidos ou suspeitos do erro tenham sidoavaliados e as correções apropriadas tenhamsido aplicadas, há ainda uma incertezaremanescente acerca da correção do resultadoapresentado, isto é, uma dúvida acerca de quãobem o resultado da medição representa o valor da quantidade sendo medida.

0.3. Justo como o uso quase universal doSistema Internacional de Unidades (SI) trouxecoerência a todas as medições científicas etecnológicas, um consenso universal naavaliação e expressão da incerteza na mediçãopermitiria a significância de um vasto espectro deresultados de medição na ciência, engenharia,comercio, indústria e legislação a seremfacilmente entendidas a apropriadamenteinterpretadas. Nesta era da globalização da

economia, é imperativo que o método paraavaliar e expressar a incerteza seja uniformeatravés de todo o mundo de modo que asmedições feitas em diferentes países sejamfacilmente comparadas.

0.4. O método ideal para avaliar e expressar aincerteza do resultado de uma medição deve ser

- universal : o método deve ser aplicável atodos os tipos de medições a todos ostipos de dados de entrada usados nasmedições.

A quantidade real usada para expressar aincerteza deve ser:

- internamente consistente: deve ser diretamente derivável dos componentesque contribuem com a incerteza, bemcomo independente de como estescomponentes são agrupados e dadecomposição dos componentes emsubcomponentes;

- transferível : deve ser possível usar diretamente a incerteza calculada para umresultado como um componente emavaliando a incerteza de outra mediçãoem que o primeiro resultado é usado.

Além disso, em muitas aplicações industriais ecomerciais, bem como em áreas de saúde esegurança, é geralmente necessário fornecer umintervalo em torno do resultado da medição quepossa ser esperado incluir uma grande fração dadistribuição dos valores que podemrazoavelmente ser atribuídos à quantidadesujeita à medição. Assim, o método ideal paraavaliar e expressar a incerteza na medição deveser capaz de facilmente fornecer tal intervalo, emparticular, um com uma probabilidade decobertura ou nível de confiança que corresponda

de modo realístico com o requerido.0.5. O enfoque sobre o qual esta recomendaçãose baseia é o apresentado na RecomendaçãoINC-1 (1980) [2] do grupo de trabalhoconveniado com o BIPM em resposta a umarequisição do CIPM. Este enfoque, a justificativado que é discutido no Anexo E, satisfaz todas asexigências apresentadas acima. Este não éocaso para a maioria dos outros métodos emuso corrente. A recomendação INC-1 (1980) foiaprovada e reafirmada pelo CIPM em suaprópria Recomendação 1 (CI - 1981) [3] e 1 (Ci

(1986) [4];0.6. Um sumário sucinto do procedimentoespecificado neste documento guia para avaliar e expressar a incerteza na medição é dado nacláusula 8 e vários exemplos são apresentadosem detalhes no Anexo H. Outros anexos tratamdos termos gerais de metrologia (Anexo B),termos e conceitos básicos de estatística (AnexoC); valor verdadeiro, erro e incerteza (Anexo D);sugestões práticas para avaliar os componentesda incerteza (Anexo F); graus de liberdade eníveis de confiança (Anexo G); os principaissímbolos matemáticos usados através de todo o

documento (Anexo J) e referências bibliográficas(Anexo K).



Expressão da Incerteza: 1993 (E) 0 Introdução

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0.7. Recomendação INC-1 (1980)

Expressão das incertezas experimentais

1. A incerteza no resultado de uma mediçãogeralmente consiste de vários componentes quepodem agrupados em duas categorias de acordo

com o modo que seu valor numérico é estimado:A. aquelas que são avaliadas por métodosestatísticos,

B. aquelas que são avaliadas por outros meios.

Nem sempre há uma correspondência simplesentre a classificação em categorias A ou B e aclassificada usada anteriormente em incertezasaleatórias e sistemáticas. O termo incertezasistemática pode ser mal entendido e deve ser evitado.

Qualquer relatório detalhado da incerteza deveconsistir de uma lista completa doscomponentes, especificando cada método usadopara obter seu valor numérico.

2. Os componentes na categoria A sãocaracterizados pelas variâncias estimadas si

2 (ouos desvios padrão estimados s i) e o numero degraus de liberdade νi. Quando apropriado, ascovariâncias devem ser dadas.

3. Os componentes na categoria B devem ser caracterizados pelas quantidades u j

2, que podemser consideradas como aproximações das

variâncias correspondentes, cujas existênciasdevem ser assumidas. As quantidades podemser tratadas como variâncias e as quantidades u j

como desvios padrão. Onde apropriado, ascovariâncias devem ser tratadas do mesmomodo.

4. A incerteza combinada deve ser caracterizadapelo valor numérico obtido pela aplicação dométodo usual para a combinação de variâncias.A incerteza combinada e seus componentesdevem ser expressos na forma de desviospadrão.

Se, para determinada aplicação, for necessáriomultiplicar a incerteza combinada por um fator para obter a incerteza total, o fator demultiplicação usado sempre deve ser estabelecido.



Expressão da Incerteza: 1993 (E) 1 Escopo

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GUIA PARA A EXPRESSÃO DAINCERTEZA NA MEDIÇÃO

1. Escopo

1.1. Este Guide estabelece as regras geraispara avaliar e expressar a incerteza emmedição que pode ser seguida em vários níveisde exatidão e em muitos campos - do chão defábrica para a pesquisa fundamental. Assim, osprincípios deste Guide podem ser aplicáveis aum largo espectro de medições, incluindoaquelas requeridas para:

- manter o controle de qualidade e garantiada qualidade na produção

- estar de conformidade e atender leis eregulações

- conduzir pesquisa básica e aplicada edesenvolvimento em ciência e engenharia

- calibrar padrões e instrumentos e fazer testes através de um sistema completonacional de medição de modo a conseguir rastreabilidade a padrões nacionais

- desenvolver, manter e comparar padrõesde referência físicos internacionais enacionais, incluindo materiais de referência.

1.2. Este Guide está principalmenterelacionado com a expressão de incerteza na

medição de uma quantidade física bemdefinida - o mensurando - que pode ser caracterizada por um valor essencialmenteúnico. Se o fenômeno de interesse pode ser representado somente como uma distribuiçãode valores ou é dependente de um ou maisparâmetros, como o tempo, então osmensurandos requeridos para sua descriçãosão o conjunto de quantidades descrevendoesta distribuição ou esta dependência.

1.3. Este Guide é também aplicável paraavaliar e expressar a incerteza associada com

o projeto conceitual e a análise teórica deexperimentos, métodos de medição ecomponentes complexos e sistemas. Como um

resultado da medição e sua incerteza podemser conceituais e baseados inteiramente emdados hipotéticos, o termo resultado de umamedição quando usado neste Guide deve ser interpretado neste contexto mais amplo.

1.4. Este Guide fornece as regras gerais paraavaliar e expressar a incerteza na medição enão instruções detalhadas e tecnologicamenteespecíficas. Além disso, ele não discute comoa incerteza de um resultado particular de umamedição , uma vez avaliada, pode ser usadopara diferentes objetivos, por exemplo, paratirar conclusões acerca da compatibilidade

deste resultado com outros resultadossemelhantes, para estabelecer os limites detolerância em um processo de fabricação oupara decidir se um certo modo de ação podeser seguramente tomado. Pode ser necessáriodesenvolver padrões particulares baseadosneste Guide que trata de problemas peculiaresa campos específicos de medição ou com osvários usos de expressões quantitativas deincerteza. Estas normas podem ser versõessimplificadas deste Guide mas devem incluir odetalhe que é apropriado ao nível de exatidão ecomplexidade das medições e usos desejados

Nota - Pode haver situações em que o conceitode incerteza da medição é acreditado não ser totalmente aplicável, tal como quando aprecisão de um método de teste édeterminada.



Expressão da Incerteza: 1993 (E) 2 Definições

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2. Definições

2.1. Termos metrológicos geraisA definição de vários termos metrológicosgerais relevantes para este Guide, tal comoquantidade mensurável, mesurando, e errode medição são dados no Anexo B. Estasdefinições são tiradas do International vocabularly of basic and general terms inmetrology (abreviado VIM) [6]. Além disso, oAnexo C dá as definições de vários termosestatísticos básicos tirados principalmente danorma ISO 3534-1 [7]. Quando um destestermos metrológicos ou estatísticos (ou um

termo intimamente relacionado) é primeirousado no texto, começando com a cláusula 3, éimpresso em negrito e o número dasubcláusula em que ele é definido é dado emparêntesis.

Por causa de sua importância para o Guide, adefinição do termo geral metrológico incertezada medição é dado tanto no Anexo B e em2.2.3. As definições dos termos específicosmais importantes para este Guide são dadasem 2.3.1 a 2.36. Em todas estas subcláusulase nos anexos B e C, o uso de parêntesis em

torno de certas palavras de alguns termossignifica que estas palavras podem ser omitidas se isto é improvável de causar confusão.

2.2. O termo incerteza

O conceito de incerteza é discutido com maisdetalhe na cláusula 3 e Anexo D.

2.2.1. A palavra incerteza significa dúvida eassim em seu sentido mais amplo incerteza damedição significa dúvida acerca da validade do

resultado de uma medição. Por causa da faltade palavras diferentes para este conceito geral de incerteza e as quantidades específicas quefornecem medidas quantitativas do conceito,por exemplo, o desvio padrão, é necessáriousar a palavra incerteza nestes dois diferentessentidos.

2.2.2. Neste Guide, a palavra incerteza semadjetivos se refere ao conceito geral deincerteza e a qualquer ou todas medidasquantitativas deste conceito. Quando umamedida específica for pretendida, usa-se oadjetivo apropriado.

2.2.3. A definição formal do termo incerteza da

medição desenvolvida para uso neste Guide eno VIM [6 é a seguinte:

incerteza (da medição)

parâmetro, associado com o resultadode uma medição, que caracteriza adispersão dos valores que poderiamrazoavelmente ser atribuídos aomensurando.

Notas

1. O parâmetro pode ser, por exemplo, umdesvio padrão (ou um dado múltiplo dele) ou

a meia largura de um intervalo tendodeterminado nível de confiança

2. A incerteza de uma medição compreende,em geral, muitos componentes. Algunsdestes componentes podem ser avaliados dadistribuição estatística dos resultados deséries de medições e podem ser caracterizados por desvios padrãoexperimentais. Os outros componentes, quetambém podem ser caracterizados por desvios padrão, são avaliados dedistribuições de probabilidade assumidasbaseadas na experiência ou em outrasinformações.

3. É entendido que o resultado da medição éa melhor estimativa do valor do mensurandoe que todos os componentes da incerteza,incluindo os que aparecem de efeitossistemáticos, tais como os componentesassociados com correções e padrões dereferência, contribuem para a dispersão.

2.2.4. A definição de incerteza de mediçãodada em 2.2.3 é um operacional que focalizano resultado da medição e sua incertezaavaliada. Porém, não é inconsistente comoutros conceitos de incerteza da medição, tais

comouma medida do erro possível no valor estimado do mensurando comofornecido pelo resultado de umamedição;

- uma estimativa caracterizando a faixade valores dentro da qual o valor verdadeiro de um mensurando cai (VIM,entrada 3.09).

Embora estes dois conceitos tradicionais sejamválidos como ideais, eles focalizam emquantidades desconhecidas: o erro doresultado de uma medição e o valor verdadeirodo mensurando (em contraste ao seu valor



Expressão da Incerteza: 1993 (E) 2 Definições

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estimado), respectivamente. Mesmo assim,qualquer que seja o conceito de incertezaadotado, um componente de incerteza ésempre avaliado usando os mesmos dados einformação relativa (ver também E.5).

2.3. Termos específicos a este Guide

Em geral, termos que são específicos a esteGuide são definidos no teste quando sãointroduzidos inicialmente. Porém, as definiçõesdos mais importantes destes termos são dadosaqui para facilitar a referência.

Nota - Discussão adicional relativa a estestermos pode ser encontrada como segue:para 2.3.2, ver 3.3.3 e 4.2; para 2.3.3., ver 3.3.3 e 4.3; para 2.34, ver cláusula 5 e eq.(10) e (13) e para 2.3.5 e 2.3.6, ver cláusula6.

2.3.1. incerteza padrãoincerteza do resultado de uma mediçãoexpressa como um desvio padrão.

2.3.2. Avaliação Tipo A (de incerteza)método de avaliação da incerteza por análiseestatística de séries de observações.

2.3.3. Avaliação Tipo B (de incerteza)método de avaliação da incerteza por meiosdiferentes de análise estatística de séries deobservações.

2.3.4. incerteza padrão combinadaincerteza padrão do resultado de uma mediçãoquando este resultado é obtido dos valores devárias outras quantidades, iguais à raizquadrada positiva de uma soma de termos, ostermos sendo as variâncias ou covariânciasdestas outras quantidades com pesos deacordo com o modo que o resultado damedição varia com alterações destas

quantidades.

2.3.5. incerteza expandidaquantidade definindo um intervalo em do qual oresultado de uma medição que pode ser esperado incluir uma grande fração dadistribuição de valores que poderiamrazoavelmente ser atribuídos ao mensurando.

Notas

1. A fração pode ser vista como aprobabilidade de cobertura ou nível de

confiança do intervalo.

2. Para associar um nível específico deconfiança com o intervalo definido pelaincerteza expandida requer hipótesesexplícita ou implícita com relação adistribuição de probabilidade caracterizadapelo resultado da medição e sua incertezapadrão combinada. O nível de confiança que

pode ser atribuído a este intervalo pode ser conhecido somente na extensão em que taishipóteses possam ser justificadas.

3. A incerteza expandida é também chamadade incerteza total, no parágrafo 5 daRecomendação INC-1 (1980).

2.3.6. fator de coberturafator numérico usado como um multiplicador daincerteza padrão combinada de modo a obter uma incerteza expandida.

Nota - Um fator de cobertura, k, é tipicamentena faixa de 2 a 3.



Expressão da Incerteza: 1993 (E) 4 Avaliando a incerteza padrão

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3. Conceitos Básicos

A discussão adicional de conceitos básicospode ser encontrada no Anexo D, que focalizaas idéias de valor verdadeiro, erro e incerteza einclui ilustrações gráficas destes conceitos e noAnexo E que explora a motivação e a baseestatística para a Recomendação INC-1(1980), sobre a qual este Guide se baseia.Anexo J é um glossário dos principais símbolosmatemáticos usados neste Guide.

3.1. Medição

3.1.1. O objetivo de uma medição (B.2.5) édeterminar o valor (B.2.2.) de um mensurando(B.2.9), isto é, o valor de uma quantidadeparticular (B.2.1, nota 1) a ser medida. Umamedição então começa com uma especificaçãoaproximada do mensurando, o método demedição (B.2.7), e o procedimento demedição (B.2.8).

Nota - O termo valor verdadeiro (Anexo D)

não é usado neste Guide por razões dadasem D.3.5; os termos valor de um mensurando(ou de uma quantidade) e o valor verdadeirode um mensurando (ou de uma quantidade)são vistos como equivalentes.

3.1.2. Em geral, o resultado de uma medição(B.2.11) é somente uma aproximação ouestimativa (C.2.26) do valor do mensurando eassim é completo somente quandoacompanhado por uma expressão da incerteza(B.2.18) desta estimativa).

3.1.3. Na prática, a especificação requerida ou

a definição de um mensurando é ditado pelarequerida precisão da medição (B.2.14). Omensurando deve ser definido com suficientecompletude com relação à precisão requeridade modo que para todos os objetivos práticosassociados com a medição seu valor é único. Éneste sentido que a expressão valor domensurando é usado neste Guide.

Exemplo - Se o comprimento de uma barra deaço nominalmente com um metro é para ser determinado com a precisão de ummicrômetro (10-6 m), sua especificação deveincluir a temperatura e a pressão em que o

comprimento é definido. Assim, omensurando deve ser especificado como, por exemplo, o comprimento da barra em 25,00

oC e 101 325 Pa mais qualquer outroparâmetro definido associado necessário, talcomo o modo como a barra é suportada.Porém, se o comprimento é para ser determinado com precisão de milímetro (10-3

m), sua especificação não requer umatemperatura ou pressão definida ou um valor para qualquer outro parâmetro definido

Nota - A definição incompleta do mensurandopode fazer aparecer um componente da

incerteza suficientemente grande que deveser incluído na avaliação da incerteza doresultado da medição (ver D.1.1, D.3.4 eD.6.2).

3.1.4. Em muitos casos, o resultado de umamedição é determinado em base de séries deobservações obtidas sob condições derepetibilidade (B.2.15, nota 1).

3.1.5. Variações em observações repetidas sãoassumidas a aparecer por causa dasquantidades de influência (B.2.10) quepodem afetar o resultado da medição não são

mantidas completamente constantes.3.1.6. O modelo matemático da medição quetransforma o conjunto de observaçõesrepetidas no resultado da medição é deimportância crítica porque, além dasobservações, ele geralmente inclui váriasquantidades de influência que são conhecidasnão exatamente. Esta falta de conhecimentocontribui para a incerteza do resultado demedição, tal como as variações deobservações repetidas e qualquer incertezaassociada com o modelo matemático em si.

3.1.7. Este Guide trata do mensurando comoum escalar (uma quantidade simples). Aextensão para um conjunto de mensurandosrelativos determinados simultaneamente namesma medição requer a substituição domensurando escalar e sua variância (C.2.11,C.2.20, C.3.2) por um mensurando vetor ematriz de covariância (C.3.5). Tal substituiçãoé considerada neste Guide somente nosexemplos (H.2, H.3 e H.4).

3.2. Erros, Efeitos e correções

3.2.1. Em geral, uma medição temimperfeições que provocam um erro (B.2.19)



Expressão da Incerteza: 1993 (E) 3 Conceitos Básicos

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no resultado da medição. Tradicionalmente, umerro é visto como tendo dois componentes,chamados de componente aleatório (B.2.21) ecomponente sistemático (B.2.22).

Nota - O erro é um conceito idealizado e oserros não podem ser conhecidos exatamente.

3.2.2. O erro aleatório presumidamenteaparece de variações imprevisíveis ouestocásticas de tempo e espaço dequantidades de influência. Os efeitos de taisvariações, a partir de agora chamados deefeitos aleatórios, provocam variações emobservações repetidas do mensurando.Embora não seja possível compensar o erroaleatório de um resultado da medição, ele podeusualmente ser reduzido pelo aumento donúmero de observações, sua expectativa ou ovalor esperado (C.2.9, C.3.1) é zero.

Notas

1. O desvio padrão experimental da médiaaritmética ou média de uma série deobservações (ver 4.2.3) não é o erro aleatórioda média, embora isso possa aparecer emalgumas publicações. Em vez disso, ele éuma medida da incerteza da média devidaaos efeitos aleatórios. O valor exato do errona média resultante destes efeitos não podeser conhecido.

2. Neste Guide, toma-se muito cuidado paradistinguir entre os termos erro e incerteza.Eles não são sinônimos, mas representam

conceitos completamente diferentes e elesnão devem ser confundidos entre si ou malusados.

3.2.3. O erro sistemático, como o erro aleatório,não pode ser eliminado mas ele também podeser geralmente reduzido. Se um errosistemático aparece de um efeito reconhecidode uma quantidade de influência sobre oresultado da medição, a partir de agorachamado de efeito sistemático, o efeito podeser quantificado e, se ele tiver um tamanhosignificativo em relação à precisão requerida da

medição, uma correção (B.2.23) ou fator decorreção (B.2.24) pode ser aplicado paracompensar este efeito. É assumido que, depoisda correção, a expectativa ou valor esperadodo erro resultante de um efeito sistemático sejazero.

Nota - A incerteza de uma correção aplicadaa um resultado da medição para compensar um efeito sistemático não é o errosistemático, muitas vezes chamado depolarização (bias), no resultado da mediçãodevido ao efeito como ele é geralmentechamado. Em vez disso, ele é uma medidada incerteza do resultado devido aoconhecimento incompleto do valor requeridoda correção. O erro que aparece da

compensação imperfeita de um efeitosistemático não pode ser conhecidoexatamente. Os termos erro e incertezadevem ser usados corretamente e deve-secuidar para distinguir um do outro.

3.2.4. É assumido que o resultado de uma

medição tenha sido corrigido para todos osefeitos sistemáticos reconhecidamentesignificativos e que cada esforço tenha sidofeito para identificar estes efeitos.

Exemplo - Uma correção devida à impedânciade um voltímetro usado para determinar adiferença de potencial (o mensurando)através de um resistor de alta impedância éaplicada para reduzir o efeito sistemáticosobre o resultado da medição resultante doefeito de carga do voltímetro. Porém, osvalores das impedâncias do voltímetro e doresistor, que são usadas para estimar o valor

da correção e que são obtidas de outrasmedições, são também incertezas em si.Estas incertezas são usadas para avaliar ocomponente da incerteza da determinação dadiferença de potencial que aparece dacorreção e assim do efeito sistemático devidoà impedância finita do voltímetro.

Notas

1. Muitas vezes, os instrumentos e sistemasde medição são ajustados ou calibradosusando padrões de medição e materiais dereferência para eliminar os efeitossistemáticos, porém, as incertezasassociadas com estes padrões e materiaisdevem também ser consideradas.

2. O caso onde uma correção para um efeitosistemático significativo conhecido não éaplicada é discutido na nota para 6.3.1 e emF.2.4.5.

3.3. Incerteza3.3.1. A incerteza do resultado de umamedição reflete a falta do conhecimento exatodo valor do mensurando (ver 2.2). O resultadode uma medição depois da correção de efeitossistemáticos conhecidos é ainda somente umaestimativa do valor do mensurando por causada incerteza resultante dos efeitos aleatórios eda correção imperfeita do resultado dos efeitossistemáticos.

Nota - O resultado de uma medição (após acorreção) pode ser não reconhecidamentemuito próximo do valor do mensurando (eassim ter um erro desprezível) mesmoassumido que ele tenha uma grandeincerteza. Assim, a incerteza do resultado deuma medição não deve confundida com oerro remanescente desconhecido.

3.3.2. Na prática, há várias fontes possíveis deincerteza em uma medição, incluindo:




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a) definição incompleta do mensurando

b) realização imperfeita da definição deum mensurando

c) amostra não representativa - aamostra medida pode não

representar o mensurando definidod) conhecimento inadequado dos efeitos

das condições ambientais na mediçãoou a medição imperfeita dascondições ambientais

e) polarização pessoal na leitura deinstrumentos analógicos

f) resolução ou limite de discriminaçãofinito do instrumento

g) valores inexatos dos padrões emateriais de referência de medição

h) valores inexatos de constantes eoutros parâmetros obtidos de fontesexternas e usados no algoritmo deredução de dados

i) aproximações e hipótesesincorporadas no método eprocedimento de medição

j) variações em observações repetidasdo mensurando sob condiçõesaparentemente idênticas.

Estas fontes não são necessariamenteindependentes e algumas fontes (a) até (i)podem contribuir com a fonte (j). Um efeitosistemático não reconhecido não pode ser considerado na avaliação da incerteza doresultado de uma medição mas contribui comseu erro.

3.3.3. A Recomendação INC-1 (1980) agrupaos componentes da incerteza em duascategorias baseadas em seu método deavaliação, A e B. Estas categorias se aplicam aincerteza e não são substitutas para aspalavras aleatória e sistemática. A incerteza de

uma correção para um efeito sistemáticoconhecido pode, em alguns casos, ser obtidopor uma avaliação do Tipo A, enquanto emoutros casos por uma avaliação do Tipo B,como pode a incerteza caracterizando umefeito aleatório.

Nota - Em algumas publicações, oscomponentes da incerteza são categorizadoscomo aleatórios e sistemáticos e sãoassociados com erros que aparecem deefeitos aleatórios e efeitos sistemáticosconhecidos, respectivamente. Talclassificação dos componentes da incerteza

pode ser ambígua quando aplicadagenericamente. Por exemplo, um componentealeatório da incerteza em uma medição pode

se tornar um componente sistemático daincerteza em outra medição em que oresultado da primeira medição é usado comoum dado de entrada. Classificando osmétodos de avaliação dos componentes daincerteza em vez dos componentes em sievita tal ambigüidade. Ao mesmo tempo, a

classificação exclui de coletar componentesindividuais que possam ter sido avaliadospelos dois métodos diferentes em designandogrupos a serem usados para um objetivoparticular (ver 3.4.3).

3.3.4. O objetivo da classificação do Tipo A eTipo B é indicar os diferentes modos de avaliar os componentes da incerteza e é por conveniência de discussão apenas; aclassificação não significa indicar que háqualquer diferença na natureza doscomponentes resultantes dos dois tipos deavaliação. Os dois tipos de avaliação sãobaseados em distribuições de probabilidade(C.2.2) e os componentes de incertezaresultantes de qualquer tipo são quantificadospor variâncias ou desvios padrão.

3.3.5. A variância estimada u2 caracterizandoum componente da incerteza obtido de umaavaliação do Tipo A é calculada de séries deobservações repetidas e é a familiar estatisticamente estimada variância s2 (ver 4.2). O desvio padrão estimado (C.2.12,C.2.21, C.3.) u, a raiz quadrada positiva de u2,é então u = s e por conveniência, é geralmente

chamado de incerteza padrão do Tipo A. Paraum componente de incerteza obtido de umaavaliação do Tipo B, a variância estimada u2 écalculada usando conhecimento disponível (ver 4.3) e o desvio padrão estimado u égeralmente chamado de incerteza padrão doTipo B.

Assim, uma incerteza padrão do Tipo A éobtida de uma função densidade deprobabilidade (C.2.5) derivada de umadistribuição de freqüência observada(C.2.18), enquanto uma incerteza padrão do

Tipo B é obtida de uma função de densidadede probabilidade assumida baseada no grau deconfiança que um evento irá ocorrer [muitasvezes chamada de probabilidade subjetiva(C.2.1)]. Ambos os enfoques empregaminterpretações reconhecidas de probabilidade.

Nota - Uma avaliação do Tipo B de umcomponente de incerteza é usualmentebaseada em um conjunto de informaçãocomparativamente confiável (ver 4.3.1).

3.3.6. A incerteza padrão do resultado de umamedição, quando este resultado é obtido devalores de um número de outras quantidades échamada de incerteza padrão combinada erepresentada por uc. É o desvio padrão




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estimado associado com o resultado e é igual àraiz quadrada positiva da variância combinadaobtida de todos os componentes de variância ecovariância (C.3.4), porém calculados usandoo que é chamado neste Guide, a lei de propagação de incerteza (ver cláusula 5).

3.3.7. Para satisfazer as necessidades dealgumas aplicações industriais e comerciais,bem como exigências nas áreas de saúde esegurança, uma incerteza expandida U éobtida, multiplicando-se a incerteza padrãocombinada uc por um fator de cobertura k. Oobjetivo pretendido de U é fornecer umintervalo em torno do resultado de umamedição que pode ser esperada incluir umagrande fração da distribuição de valores quepoderiam razoavelmente ser atribuídos aomensurando. A escolha do fator k, que éusualmente na faixa de 2 para 3, é baseada naprobabilidade de cobertura ou nível deconfiança requerido do intervalo (ver cláusula6).

Nota - O fator de cobertura k deve ser sempreestabelecido, de modo que a incertezapadrão da quantidade medida pode ser recuperada para uso em cálculo da incertezapadrão combinada ou outros resultados damedição que podem depender destaquantidade.

3.4. Considerações práticas

3.4.1. Se todas as quantidades em que oresultado de uma medição depende sãovariadas, sua incerteza pode ser avaliada por meios estatísticos. Porém, como isto éraramente possível, na prática, devido àlimitação de tempo e fontes, a incerteza doresultado de uma medição é usualmentecalculada usando um modelo matemático damedição e a lei da propagação da incerteza.Assim, é implícito neste Guide que umamedição pode ser modelada matematicamenteem um grau imposto pela precisão requerida

da medição.3.4.2. Como o modelo matemático pode ser incompleto, todas as quantidades relevantesdevem ser variadas no máximo de suaextensão possível de modo que a avaliação daincerteza possa ser baseada em dadosobservados, o máximo possível. Sempre quepossível, o uso de modelos empíricos damedição encontrados em dados quantitativosde longa data e o uso de padrões rastreados ecartas de controle que podem indicar se umamedição está sob controle estatístico, deve ser parte do esforço para obter avaliaçõesconfiáveis da incerteza. O modelo matemáticodeve ser sempre revisado quando os dados

observados, incluindo o resultado dedeterminações independentes do mesmomensurando, demostrar que o modelo éincompleto. Um experimento bem projetadopode facilitar grandemente avaliaçõesconfiáveis da incerteza e é uma parte

importante da arte de medição.3.4.3. De modo a decidir se um sistema demedição está funcionando corretamente, avariabilidade observada experimentalmente deseus valores de saída, quando medido por seus desvios padrão observados, é geralmentecomparada com o desvio padrão previstoobtido pela combinação dos várioscomponentes da incerteza que caracterizam amedição. Em tais casos, somente estescomponentes (quer sejam obtidos deavaliações do Tipo A ou do Tipo B) quepoderiam contribuir para a variabilidadeobservada experimentalmente destes valoresde saída devem ser considerados.

Nota - Tal análise pode ser facilitadatomando-se estes componentes quecontribuem para a variabilidade e os que nãocontribuem em dois grupos separados eidentificados corretamente.

3.4.4. Em alguns casos, a incerteza de umacorreção para um efeito sistemático nãonecessita ser incluída na avaliação daincerteza do resultado de uma medição.Embora a incerteza tenha sido calculada, ela

pode ser ignorada se sua contribuição para aincerteza padrão combinada do resultado damedição seja insignificante. Se o valor dacorreção em si é insignificante comparado coma incerteza padrão combinada, ele tambémpode ser ignorado.

3.4.5. Ocorre geralmente, na prática,especialmente no domínio da metrologia legal,que um equipamento é testado através dacomparação com um padrão de medição e asincertezas associadas com o padrão e oprocedimento de comparação são desprezíveis

em relação à precisão requerida do teste. Umexemplo é o uso de um conjunto de padrões demassa bem calibrados para testar a precisãode uma balança comercial. Em tais casos,como os componentes da incerteza são tãopequenos que podem ser ignorados, a mediçãopode ser vista como determinando o erro doequipamento sob teste (ver também F.2.4.2)

3.4.6. A estimativa do valor de um mensurandofornecido pelo resultado de uma medição égeralmente expressa em termos do valor adotado de um padrão de medição em vez deser em termos da unidade relevante doSistema Internacional de Unidades (SI). Emtais casos, o tamanho da incerteza atribuída ao




11

resultado da medição pode ser significativamente menor do que o resultadoque é expresso em unidade SI. (Com efeito, omensurando tem sido redefinido como arelação do valor da quantidade a ser medidapara o valor adotado do padrão.)

Exemplo - Um padrão de voltagem Zener dealta qualidade é calibrado por comparaçãocom uma base de referência de voltagem aefeito Josephson. A incerteza padrãocombinada uc(Vs)/Vs (ver 5.1.6) da diferençade potencial calibrada V do padrão Zener é 2x 10-8 quando Vs é reportada em termos dovalor convencional, mas uc(Vs)/Vs é 4 x 10-7

quando Vs é reportada em termos da unidadeSI de diferença de potencial, V, por causa daincerteza adicional associada com os valoresSI da constante de Josephson.

3.4.7. Enganos em registrar ou analisar dados

podem introduzir um erro desconhecidosignificativo no resultado de uma medição.Grandes enganos podem usualmente ser identificados pela revisão adequada dos dados;enganos pequenos podem ser mascarados por ou mesmo aparecer como variações aleatórias.Medidas de incerteza não pretendemconsiderar tais enganos.

3.4.8. Embora este Guide forneça umareferência para estabelecer a incerteza, ele nãopode ser substituto de pensamento crítico,honestidade intelectual e habilidadeprofissional. A avaliação da incerteza não énem uma tarefa de rotina nem é puramentematemática; ela depende do conhecimentodetalhado da natureza do mensurando e damedição. A qualidade e utilidade da incertezacotada para o resultado de uma mediçãoportanto depende principalmente doentendimento, análise crítica e integridade dequem contribui para o estabelecimento de seuvalor.




12

4. Avaliando a incerteza padrão

Recomendações adicionais para avaliar oscomponentes da incerteza, principalmente denatureza prática, podem ser encontrados noAnexo F.

4.1. Modelando a medição

4.1.1. Na maioria dos casos, um mensurando Ynão é medido diretamente, mas é determinadode N outras quantidades X1, X2, ..., XN, atravésde uma relação funcional f:

Y = f(X1, X2, ..., XN) (1)

Notas

1. Por economia de notação, neste Guide, omesmo símbolo é usado para a quantidadefísica (mensurando) e para a variávelaleatória (ver 4.2.1) que representa a saídapossível de uma observação desta

quantidade. Quando se diz que Xi tem umaparticular distribuição de probabilidade, osímbolo é usado no último sentido; éassumido que a quantidade física em si podeser caracterizada por um valor essencialmente único (ver 1.1 e 3.1.3).

2. Em uma série de observações, o ko valor observado de Xi é denotado por Xi,k; assim seR denota a resistência de um resistor, o kovalor observado da resistência é denotadopor Rk.

3. A estimativa de Xi (estritamente falando, desua expectativa) é denotada por xi.

Exemplo - Se uma diferença de potencial V éaplicada aos terminais de um resistor dependente da temperatura que tem umaresistência definida Ro em uma temperaturato e um coeficiente termal linear daresistência α, a potência P (o mensurando)dissipado pelo resistor à temperatura tdepende de V, Ro, α e t de acordo com

P f V R tV

Rt to

o

o= = + −( , , , ) [ ( )]α α2

1

Nota - Outros métodos de medição de P

podem ser modelados por diferentesexpressões matemáticas.

4.1.2. As quantidades de entrada X1, X2, ..., XN

das quais a quantidade de saída Y depende,podem ser vistas como mensurandos e podemdepender de outras quantidades, incluindocorreções e fatores de correção para efeitossistemáticos, gerando assim uma relaçãofuncional complicada f que pode nunca ser escrita explicitamente. Além disso, f pode ser determinada experimentalmente (ver 5.1.4) ou

existir somente como um algoritmo que deveser calculado numericamente. A função f comoela aparece neste Guide é para ser interpretada neste contexto mais amplo, emparticular como a função que contem cadaquantidade, incluindo todas as correções efatores de correção, que pode contribuir umcomponente significativo de incerteza para oresultado da medição.

Assim, se os dados indicam que f não modelaa medição ao grau imposto pela precisãorequerida do resultado da medição,quantidades de entrada adicionais devem ser incluídas em f para eliminar a inadequação (ver 3.4.2). Isto pode requerer a introdução de umaquantidade de entrada para refletir oconhecimento incompleto de um fenômeno queafeta o mensurando. No exemplo de 4.1.1,quantidades de entrada adicionais poderiamser necessárias para considerar a distribuiçãonão uniforme da temperatura através doresistor, um possível coeficiente termal daresistência não linear ou uma possíveldependência da resistência com a pressãobarométrica.

Nota - Apesar disso, a eq. (1) pode ser tãoelementar como Y = X1 - X2. Esta expressãomodela, por exemplo, a comparação de duasdeterminações da mesma quantidade X.

4.1.3. O conjunto de entradas X1, X2, ..., X3

pode ser classificado como

- quantidades cujos valores e incertezassão diretamente determinados namedição em curso. Estes valores eincertezas podem ser obtidos de, por exemplo, uma única observação,observações repetidas ou julgamento

baseado na experiência e pode envolver a determinação de correções paraleituras do instrumento e correções para




13

as quantidades de influência, tais comotemperatura ambiente, pressãobarométrica e umidade.

- quantidades cujos valores e incertezassão trazidos para a medição de fontesexternas, tais como quantidadesassociadas com os padrões calibradosda medição, materiais de referênciacertificada e dados de referência obtidosda literatura técnica.

4.1.4. Uma estimativa do mensurando Y,denotado por y, é obtida da eq. (1) usandoestimativas de entrada x1, x2, ..., xN. Assim, aestimativa da saída y, que é o resultado damedição é dado por:

y = f(x1, x2, ..., xN) (2)

Nota - Em alguns casos a estimativa pode ser

obtida de

y Yn

Yn

f X X Xk

k

n

k k N,k= = ==

∑ ∑1 1

1

1 2( , ,..., ), ,

Isto é, y é tomado como a média aritmética(ver 4.2.1) de n determinações independentesYk de Y, cada determinação tendo a mesmaincerteza e cada uma sendo baseada em umconjunto completo de valores observados deN quantidades de entrada Xi, obtidas aomesmo tempo. Este modo de fazer média,

em vez de y f X X XN= ( , ,..., )1 2 , onde

Xn

Xi i k

k

n=

=∑1

1

, é a média aritmética das

observações individuais Xi,k, pode ser preferível quando f é uma função não linear das quantidades de entrada X1, X2, ,..., XN,mas os dois enfoques são idênticos se f for uma função linear de Xi (ver H.2 e H.4).

4.1.5. O desvio padrão estimado associadocom a estimativa de saída ou resultado damedição y, chamado de incerteza padrãocombinada e denotada por uc(y), é determinadodo desvio padrão estimado associado com

cada estimativa de entrada xi, chamadaincerteza padrão e denotada por u(xi) (ver 3.3.5e 3.3.6).

4.1.6. Cada estimativa de entrada xi e suaincerteza padrão associada u(xi) é obtida deuma distribuição de valores possíveis daquantidade de entrada Xi. Esta distribuição deprobabilidade pode ser baseada na freqüência,isto é, baseada em uma série de observaçõesXi,k de Xi, ou pode ser uma distribuição a priori .Avaliações do Tipo A de componentes deincerteza padrão são baseadas em

distribuições de freqüência enquanto asavaliações do Tipo B são baseadas emdistribuições a priori . Deve ser reconhecido que

em ambos os casos, as distribuições sãomodelos que devem ser usados pararepresentar o estado de nosso conhecimento.

4.2. Avaliação da incerteza padrão

do Tipo A4.2.1. Em muitos casos, a melhor estimativa

disponível da expectativa ou valor esperadoµq de uma quantidade q que variaaleatoriamente [uma variável aleatória(C.2.2)] e para que n observaçõesindependentes qk tem sido obtidas sob asmesmas condições de medição (ver

B.2.15), é a média aritmética q (C.2.19) de

n observações:

q n qkk

n

= =∑1

1 (3)

Assim, para uma quantidade de entrada Xi

estimada de n observações independentes

repetidas Xi,k, a média aritmética X i obtida da

eq. (3) é usada como a estimativa de entrada x i

na eq. (2) para determinar o resultado da

medição y, isto é, xi = X i . Estas estimativas de

entrada não calculadas de observaçõesrepetidas devem ser obtidas por outrosmétodos, tais como os indicados na segunda

categoria de 4.1.3.4.2.2. As observações individuais qk diferemem valor por causa das variações aleatóriasnas quantidades de influência ou efeitosaleatórios (ver 3.2.2). A variância experimentaldas observações, que estima a variância σ2 dadistribuição da probabilidade de q, é dada por:

s qn

q qk k

k

n2 2

1

1

1( ) ( )=

−−

=∑ (4)

Esta estimativa da variância e sua raizquadrada positiva s(qk), chamada de desviopadrão experimental (B.2.17), caracteriza avariabilidade dos valores observados qk oumais especificamente, sua dispersão em torno

da média q .

4.2.3. A melhor estimativa de σ2( q )=σ2/n, a

variância da média é dada por:

s qs q

n

k22

( )( )

= (5)




14

A variância experimental da média s2( q ) e o

desvio padrão experimental da média s( q )

(B.2.17, nota 2), igual à raiz quadrada positiva

de s2( q ), quantifica como q estima a

expectativa µq de q e pode ser usada comouma medida da incerteza de q .

Assim, para uma quantidade de entrada X i

determinada de n observações independentesrepetidas Xi,k, a incerteza padrão u(xi) de seuxi = X estimado é u(xi) = s(

iX ), com )X(s i2

calculado de acordo com a eq. (5). Por conveniência, )X(s)x(u i

2i

2 = e )X(s)x(u ii =são geralmente chamados de variância tipo A eincerteza padrão tipo A, respectivamente.

Notas

1. O número de observações n deve ser suficientemente grande para garantir que qseja uma estimativa confiável da expectativaµq da variável aleatória q e que )q(s2 forneça

uma estimativa confiável da variâncian)q( 22 σ=σ (ver 4.3.2, Nota). A diferença

entre )q(s2 e )q(2σ deve ser considerada

quando se constrói os intervalos de confiança(ver 6.2.2). Neste caso, se a distribuição deprobabilidade de q for uma distribuiçãonormal (ver 4.3.4), a diferença é levada emconta através da distribuição t (ver G.3.2).

2. Embora a variância )q(s2 seja a

quantidade mais fundamental, o desviopadrão )q(s é mais conveniente, na prática,

porque ele tem a mesma dimensão que q e éum valor mais facilmente compreendido doque a variância.

4.2.4. Para procedimentos de medição bemcaracterizados sob controle estatístico, uma

variância combinada ( pool ) da amostra sp2 ou

desvio padrão da amostra combinada sp para oprocedimento pode ser disponível. Em taiscasos, a variância da média de n observaçõesindependentes repetidas é sp

2 /n e a incerteza

padrão é us

n

p= (ver H.3.6).

4.2.5. Muitas vezes, o valor estimado xi de umaquantidade de entrada Xi é obtida de umacurva que foi construída de dadosexperimentais pelo método dos mínimosquadrados. A variância e a incerteza padrãoresultante dos parâmetros que caracterizam a

curva e de qualquer ponto previsível podefacilmente ser calculada por procedimentosestatísticos bem conhecidos (ver H.3 e [17]).

4.2.6. Os graus de liberdade (C.2.27) νi de xi eu(xi) (ver G.3), igual a n - 1 no campo simples

onde xi = X i e u(xi) = s( X i ) são calculados de

n observações independentes como em 4.2.1 e4.2.3, sempre devem ser dados quando

documentando avaliações do Tipo A decomponentes de incerteza.

4.2.7. Se as variações aleatórias nasobservações de uma quantidade de entradasão correlacionadas, por exemplo, no tempo, amédia e o desvio padrão da média como dadosem 4.2.1 e 4.2.3 podem ser estimadores(C.2.25) inadequados da estatística desejada(C.2.23). Em tais casos, as observaçõesdevem ser analisadas usando métodosestatísticos especialmente projetados paratratar uma série aleatória correlata demedições variando aleatoriamente.

Nota - Tais métodos especializados sãousados para tratar medições de padrões defreqüência. Porém, é possível que, quando sevai de medições de curto prazo paramedições de longo prazo de outrasquantidades metrológicas, a hipótese devariações aleatórias correlatas pode não maisser válida e os métodos especializadospodem ser também usados [16], por exemplo,para uma discussão detalhada da variânciachamada de Allan.

4.2.8. A discussão acima da avaliação do TipoA da incerteza padrão não significa que sejaexaustiva; há muitas situações, algumas maiscomplexas, que podem ser tratadas por métodos estatísticos. Um exemplo importante éo uso de projetos de calibração, geralmentebaseados no método dos mínimos quadrados,para avaliar as incertezas que aparecem devariações aleatórias de curto prazo e de longoprazo nos resultados de comparações deartefatos materiais de valor desconhecido, taiscomo blocos padrão de comprimento e padrõesde massa, com padrões de referência de valor conhecido. Em tais situações de mediçãocomparativamente simples, os componentes daincerteza são freqüentemente tratados por avaliação estatística, usando projetosconsistindo de seqüências aninhadas demedições do mensurando para um número devalores diferentes das quantidades das quaiseles dependem - a assim chamada análise devariância (ver H.5 e [19]).

Nota - Em níveis mais baixos da cadeia decalibração onde os padrões de referência sãogeralmente assumidos como exatamenteconhecidos por que eles tem sido calibradosou padrões primários ou nacionais, aincerteza de um resultado de calibração podeincluir somente uma única incerteza padrão




15

do Tipo A baseada em um desvio padrãocombinado do procedimento da medição.

4.3. Avaliação da incerteza padrãodo Tipo B

4.3.1. Para uma estimativa xi de umaquantidade de entrada Xi que foi obtida deobservações repetidas, a variância estimadau2(xi) ou incerteza padrão u(xi) é avaliada por julgamento usando todas as informaçõesrelevantes sobre a possível variabilidade de Xi.O pool de informação pode incluir

- dados de medições anteriores,

- experiência com ou o conhecimento geraldo comportamento e propriedades demateriais e instrumentos relevantes,

- especificações do fabricante,- dados fornecidos em calibração e outros

certificados e

- incertezas atribuídas a dados de referênciatomados da literatura técnica.

Por conveniência, u2(xi) e u(xi) estimados destemodo são geralmente referidas como,respectivamente, variância do Tipo B eincerteza padrão do Tipo B.

4.3.2. O uso apropriado do pool de informaçõesdisponíveis para uma avaliação da incerteza

padrão do Tipo B exige uma visão baseada naexperiência e no conhecimento geral, mas éuma habilidade que pode ser aprendida com aprática. Deve ser reconhecido que umaavaliação da incerteza padrão do tipo B podeser tão confiável quanto uma avaliação do TipoA, especialmente em uma situação de mediçãoonde uma avaliação do Tipo A é baseada emum número comparativamente menor deobservações estatisticamente independentes.

Nota - Referindo a 4.2.3, nota 1, se adistribuição de probabilidade de q é normal,

então s[s( q )/s( q )], o desvio padrão de s( q )

relativo a s( q ), é aproximadamente

[ ( )] /2 1 1 2n − − . Assim, tomando s[s( q )] como a

incerteza de s( q ) para n = 10 observações, a

incerteza relativa em s( q ) é 24%, enquanto

para n = 50 observações é de 10% (Valoresadicionais são dados na Tab. E.1, no AnexoE).

4.3.3. Se a estimativa xi é tomada de umaespecificação do fabricante, certificado de

calibração, handbook e sua incerteza cotada éestabelecida como um múltiplo particular de um

desvio padrão, a incerteza padrão u(xi) ésimplesmente o valor cotado dividido pelomultiplicado e a variância estimada u2(xi) é araiz deste quociente.

Exemplo - Um certificado de calibraçãoestabelece que a massa de padrão de aço

inoxidável mS de valor nominal de umkilograma é de 1 000,000 325 g e que aincerteza deste valor é 240 µg ao nível detrês desvios padrão. A incerteza padrão dopadrão de massa é então simplesmenteu(mS) = (240 µg)/3 = 80 µg. Isto correspondea uma incerteza padrão relativa u(mS)/mS de80 x 10-9 (ver 5.1.6). A variância estimada éu2(mS) = (80 µg)2 =6,4 x 10-9 g2.

Nota - Em muitos casos pouca ou nenhumainformação é fornecida acerca doscomponentes individuais dos quais é obtida a

incerteza cotada. Isto é geralmente poucoimportante para expressar a incerteza deacordo com as práticas deste Guide desde quetodas as incertezas padrão são tratadas domesmo modo quando se calcula a incertezapadrão combinada de um resultado de medição(ver cláusula 5).

4.3.4. A incerteza cotada de xi não énecessariamente dada como um múltiplo deum desvio padrão como em 4.3.3. Em vezdisso, pode-se encontrá-la estabelecendo quea incerteza cotada define um intervalo tendo

um nível de confiança de 90, 95 ou 99% (ver 6.2.2). A não ser que seja dito diferente, pode-se assumir que uma distribuição normal(C.2.14) foi usada para calcular a incertezacotada e recuperar a incerteza padrão de xi

dividindo a incerteza cotada pelo fator apropriado para a distribuição normal. Osfatores correspondentes aos três níveis deconfiança são 1,64; 1,96 e 2,58 (ver tambémtabela G.1 no Anexo G).

Nota - Pode não haver necessidade para talhipótese se a incerteza tem sido dada deacordo dom as recomendações deste Guide

com relação ao relatório da incerteza, queenfatiza que o fator de cobertura usado devesempre ser dado (ver 8.2.3)

Exemplo - Um certificado de calibraçãoestabelece que a resistência de um resistor padrão Rs de valor nominal de 10 ohms é10,000 742 Ω ± 129 µΩ @ 23 oC e que aincerteza cotada de 129 µΩ define umintervalo tendo um nível de confiança de 99%.A incerteza padrão do resistor pode ser tomada como u(Rs) = (129 µΩ)/2,58 = 50 µΩ,que corresponde a incerteza padrão relativau(Rs)/Rs de 5,0 x 10-6 (ver 5.1..6). A variânciaestimada é u2(Rs) = (50 µΩ)2 = 2,5 x 10-9 Ω2.




16

4.3.5. Considere-se o caso onde, baseada nainformação disponível, pode-se estabelecer que há uma chance de 50% que o valor daquantidade de entrada Xi caia no intervalo a- aa+ (em outras palavras, a probabilidade que Xi

caia dentro deste intervalo é 0,5 ou 50%).

Pode-se assumir que a distribuição de valorespossíveis de Xi seja aproximadamente normal,então a melhor estimativa xi de Xi pode ser tomada como o ponto médio do intervalo. Maisainda, se o ponto médio do intervalo éexpresso comoa = (a+ - a-)/2, pode se tomar u(xi) = 1,48a, por que para uma distribuição normal comexpectativa µ e desvio padrão σ, o intervaloµ ± σ/1,48 inclui aproximadamente 50% dadistribuição.

Exemplo - Um mecânico determina asdimensões de uma peça estima que seucomprimento caia, com probabilidade de50%, no intervalo 10,07 mm a 10,15 mm ereporta que L = (10,11 ±0,04) mm,significando que ±0,04 mm define umintervalo tendo um nível de confiança de 50%.Assim, a = 0,04 mm e se é assumida umadistribuição normal para os valores possíveisde L, a incerteza padrão do comprimento éu(L) = 1,48 x 0,04 mm =0,06 mm e a variância estimada éu2(L) = (1,48 x 0,04 mm)2 = 3,5 x 10-3 mm2.

4.3.6. Considere-se um caso similar ao de4.3.5. mas onde, baseada na informação

disponível, pode-se estabelecer que há umachance de dois para três que o valor daquantidade de entrada Xi caia no intervalo a- aa+ (em outras palavras, a probabilidade que Xi

caia dentro deste intervalo é 0,67 ou 67%).Pode-se então razoavelmente tomar u(xi) = a,porque para uma distribuição normal comexpectativa µ e desvio padrão σ, o intervalo µ ±σ inclui cerca de 68,3% da distribuição.

Nota - Deve-se dar o valor de u(xi)consideravelmente mais significativo que éobviamente garantido se fosse usar o desvionormal real 0,967 42 correspondendo àprobabilidade 2/3, isto, se fosse escrever u(xi) = a/0,967 42 = 1,033a.

4.3.7. Em outros casos, pode ser possívelestimar somente limites (superior e inferior)para Xi, em particular, para estabelecer que aprobabilidade que o valor de Xi caia dentro dintervalo a- a a+, para todos os objetivospráticos, é igual a um e a probabilidade que X i

caia fora deste intervalo é praticamente zero.Se não há conhecimento específico acerca dosvalores possíveis de Xi, dentro do intervalo,pode-se somente assumir que é igualmente

provável para Xi cair em qualquer lugar dentrodele (uma distribuição uniforme ou retangular de valores possíveis p ver 4.4.5 e fig. 2a).

Assim xi, a expectativa ou valor esperado de X i,é o ponto médio do intervalo, xi = (a- + a+)/2,com variância associada

u xa a

i2

2

12( )

( )=

−+ − (6)

Se a diferença entre os limites a+ e a- édenotada por 2a, então a eq. (6) se torna

u xa

i2

2

3( ) = (7)

Nota - Quando um componente da incertezadeterminado deste modo contribuir muito paraa incerteza do resultado da medição, éprudente obter mais dados adicionais parasua avaliação posterior.

Exemplos

1. Um handbook dá o valor do coeficiente daexpansão termal linear do cobre puro @ 20oC, α20(Cu), como 16,52 x 10-6 oC-1 esimplesmente estabelece que o erro nestevalor não deve exceder 0,40 x 10-6 oC-1.Baseado nesta informação limitada, érazoável assumir que o valor de α20(Cu) caiacom igual probabilidade no intervalo 16,12 x10-6 oC-1 a 16,92 x 10-6 oC-1 e que seja muitoimprovável que α20(Cu) caia fora desteintervalo. A variância desta distribuiçãoretangular simétrica de valores possíveis deα20(Cu) da metade do intervaloa = 0,40 x 10-6 oC-1 é então, da eq. (7),

u2

(α20) = (0,40 x 10-6

o

C-1

)2

/3 = 53,3 x 10-15

o

C-

2 e a incerteza padrão é u(α20) =

(0,40 x 10-6 oC-1)/ 3 = 0,23 x 10-6 oC-1.

2. As especificações do fabricante para umvoltímetro digital estabelecem que entre um edois anos após a calibração do instrumento,sua precisão na faixa de 1 V é de 14 x 10-6

vezes a leitura mais 2 x 10-6 vezes a faixa.Considera-se que o instrumento é usado 20meses após a calibração para medir em suafaixa de 1 V uma diferença de potencial V e amédia aritmética de um número deobservações independentes repetidas de V

dá um valor de V = 0,928 571 V com uma

incerteza padrão do Tipo A u( V ) = 12 µV.Pode-se obter a incerteza padrão associadacom as especificações do fabricante de umaavaliação do Tipo B assumindo que aprecisão estabelecida fornece limites

simétricos para uma correção aditiva para V ,

∆ V , da expectativa igual a zero e com igualprobabilidade de cair em qualquer lugar dentro dos limites. A metade a da distribuiçãoretangular simétrica dos valores possíveis de

∆ V é então

a = (14x10-6) x (0,928 571 V) + (2x10-6) x (1V) = 15 mV




17

e da eq. (7),

u2(∆ V ) = 75 mV2 e

u(∆ V ) = 8,7 mV.

A estimativa do valor do mensurando V, por simplicidade, denotado pelo mesmo símbolo

V, é dado por V = ∆ V + ∆ V = 0,928 571 V.Pode-se obter a incerteza padrão combinadadesta estimativa combinando a incertezapadrão do Tipo A, 12 mV com a incertezapadrão do Tipo B, 8,7 mV. O método geralpara combinar os componentes da incertezaé dado na cláusula 5, com este exemplotratado em 5.1.5.

4.3.8. Em 4.3.7, os limites superior e inferior a+

e a- para a quantidade de entrada Xi podem

não ser simétricos com relação a sua melhor expectativa xi, mas especificamente, se o limiteinferior é escrito como a- = xi - b- e o limitesuperior como a+ = xi + b+, então b- ≠ b+. Comoneste caso xi (assumido ser a expetativa de Xi)não é o centro do intervalo a- a a+, adistribuição da probabilidade de Xi não podeser uniforme através do intervalo. Porém, podenão haver informação disponível suficientepara escolher uma distribuição apropriada,diferentes modelos produzem expressõesdiferentes para a variância. Na ausência de talinformação, a aproximação mais simples é:

u xb b a a

i2

2 2

12 12( )

( ) ( )=

+=

−− + + − (8)

que é a variância de uma distribuiçãoretangular com comprimento total de b+ + b-.(Distribuições assimétricas são tambémdiscutidas em F.2.4.4 e G.5.3).

Exemplo - Se no exemplo 1 de 4.3.7 o valor do coeficiente é dado no handbook comoα20(Cu) = 16,52 x 10-6 oC-1 e é estabelecidoque o menor valor possível é 16,40 x 10 -6 oC-1

e o maior valor possível =e 16,92 x 10 -6 oC-1

então b- = 0,12 x 10

-6

o

C

-1

e b+ = 0,40 x 10

-6

oC-1 e da eq. (8), u(α20) = 0,15 x 10 -6 oC-1.

Notas

1. Em muitos situações práticas de mediçãoonde os limites são assimétricos, pode ser apropriado aplicar uma correção para estimar xi de magnitude (b+ - b-)/2 de modo que anova estimativa xi' de Xi está no ponto médiodos limites: xi' = (a- + a+)/2. Isto reduz asituação ao caso de 4.3.7, com novos valoresb'+ = b'- =(b+ + b-)/2 = (a+ - a-)/2 = a.

2. Baseado no princípio de máxima entropia,

a função densidade de probabilidade no casoassimétrico pode ser mostrado como sendo

p Xi AeX xi i( )

( )= − −λ

com

Ab e b e

b b=

+− +− +

1

( )λ λ

e

λλ

λ=

−

+

− +

− +

+

−+

+

e

b e b

b b

b b

( )

( )

1

Isto leva à variância

u x b bb b

i2 ( )

( )= −

−+ −

+ −

λ

Para b+ > b-, λ > 0 e para b+ < b-, λ < 0.

4.3.9. Em 4.3.7, como não havia conhecimento

específico acerca dos valores possíveis de X identro de seus limites estimados a- a a+, podia-se somente assumir que era igualmenteprovável para Xi tomar qualquer valor dentrodestes limites, com zero probabilidade de ser fora deles. Tais descontinuidades da funçãodegrau em uma distribuição de probabilidadesão geralmente não físicas. Em muitos casos,é mais realístico esperar que valores próximosdos limites são menos prováveis que aquelespróximos do ponto médio. É então, razoávelsubstituir a distribuição retangular simétrica por uma trapezoidal simétrica tendo iguais

inclinações dos lados (um trapézio isósceles),uma base de comprimentoa+ - a- = 2a e uma altura de 2ab, onde 0 ≤ b ≤ 1.Quando b →1, esta distribuição trapezoidal seaproxima da distribuição retangular de 4.3.7,enquanto para b = 0, é uma distribuiçãotriangular (ver 4.4.6 e Fig. 2b). Assumindo taldistribuição trapezoidal para Xi, acha-se que aexpectativa de Xi é xi = (a- + a+)/2 e suavariância associada é

u xa

i2

2 21

6( )

( )=

+ β(9a)

que se torna uma distribuição triangular, β = 0,

u xa

i2

2

6( ) = (9b)

Notas

1. Para uma distribuição normal comexpectativa µ e desvio padrão σ, o intervaloµ ± 3σ engloba aproximadamente 99,73% dadistribuição. Assim, se os limites superior einferior a+ e a- definem 99,73% em vez de100% e Xi pode ser assumido ser

aproximadamente normalmente distribuídoem vez de não tendo conhecimentoespecífico acerca de Xi, entre os limites como




18

em 4.2.7, então u x ai2 2 9( ) /= . Por

comparação, a variância de uma distribuiçãosimétrica retangular de meia largura a é a2/3.[eq. (7)] e que uma distribuição triangular simétrica de média largura a é a2/6 [eq. (9b)].Os tamanhos das variâncias das três

distribuições são surpreendentementesimilares em vista das grandes diferenças naquantidade de informação requerida para justificá-las.

2. A distribuição trapezoidal é equivalente àconvolução de duas distribuiçõesretangulares [10], uma com a meia largura a1

igual à média da meia largura do trapezoide,a1 = a(1 + β)/2; a outra com a meia largura a2

igual à largura média de uma das porçõestriangulares do trapezoide, a2= a(1 - β)/2. A

variância da distribuição é ua a2 1

222

3 3= + . A

distribuição convolvida pode ser interpretadacomo uma distribuição cuja largura 2a1 temuma incerteza representada por umadistribuição retangular de largura 2a2 emodela o fato que os limites em umaquantidade de entrada não são exatamenteconhecidos. Mas, mesmo se a2 é maior 30%

que a1, u excede a1/ 3 por menos que 5%.

4.3.10. É importante não contar duplamenteos componentes da incerteza. Se umcomponente de incerteza aparece de umefeito particular obtido de uma avaliação doTipo B, ele deve ser incluído como um

componente independente de incerteza nocálculo da incerteza padrão combinada doresultado da medição somente no sentido queo efeito não contribui para a variabilidadeobservada das observações. Isto é por que aincerteza devido a esta porção do efeito quecontribui para a variabilidade já está incluídano componente da incerteza obtido da análiseestatística das observações.

4.3.11. A discussão da avaliação da incertezapadrão do Tipo B em 4.3.3 a 4.3.9 ésignificativa somente por ser indicativa. Alémdisso, as avaliações da incerteza devem ser

baseadas em dados quantitativos, comoenfatizado em 3.4.1 e 3.4.2.

4.4. Ilustração gráfica da avaliaçãoda incerteza padrão

4.4.1. A Fig. 1 representa a estimativa do valor de uma quantidade de entrada Xi e a avaliaçãoda incerteza que esta estimativa da distribuiçãodesconhecida de valores medidos possíveis deXi ou a distribuição de probabilidade de X i, queé amostrada por meios de observações

repetidas.

4.4.2. Na Fig. 1a é assumido que a quantidadede entrada Xi é uma temperatura t e que dusdistribuição desconhecida é uma distribuiçãonormal com expectativa µ1 = 100 oC e desviopadrão σ = 1,5 oC. Sua função densidade deprobabilidade é então (ver C.2.14):

p t e

i

( )

( )

=−

−1

2

12

22

σ π

µ

σ

Nota - A definição de uma função dedensidade de probabilidade p(t) requer que a

relação p z dz( ) =∫ 1 seja satisfeita

4.4.3. A Fig. 1b mostra um histograma de n =20 observações repetidas tk da temperatura tque são assumidas serem tomadas

aleatoriamente da distribuição da Fig. 1a. Paraobter o histograma, as 20 observações ouamostras, cujos valores são dados na Tab. 1,são agrupados em intervalos de largura de 1oC. (A preparação de um histograma não énecessária para a análise estatística dosdados).




19

Fig. 1. Ilustração gráfica da avaliação daincerteza padrão de uma quantidade deentrada de observações repetidas

Tab.1. 20 observações repetidas datemperatura t agrupadas em intervalos de 1 oC

Intervalo t1 ≤ t ≤ t2 Temperatura t

t1/oC t2/oC t/oC

94,5 95,5 -

95,5 96,5 -

96,5 97,5 96,90

97,5 98,5 98,18; 98,25

98,5 99,5 98,61; 99,03; 99,49

99,5 100,5 99,56; 99,74; 99,89;100,07; 100,33;100,42

100,5 101,5 100,68; 100,95;101,11; 101,20

101,5 102,5 101,57; 101,84;102,36

102,4 103,5 102,72

103,5 104,5 -

104,5 105,5 -

A média aritmética t das n = 20 observações,

calculada de acordo com eq. (3) é t = 100,145oC ≅ 100,14 oC e assumido ser igual à melhor expectativa µ1 de t baseando-se nos dadosdisponíveis. O desvio padrão experimental s(tk)

calculada pela eq. (4) é s(tk) = 1,489 oC ≅ 1,49oC e o desvio padrão experimental da média

s( t ), calculado da eq. (5), que é a incerteza

padrão u( t ) da média t , é u( t ) = s( t ) =

s(tk)/ 20 = 0,333 oC ≅ 0,33 oC.

Nota - Embora os dados na Tab. 1 não sejamimplausíveis considerando o uso corrente determômetros eletrônicos digitais de altaresolução, eles são para fins ilustrativos e nãodevem ser necessariamente interpretadoscomo descrevendo uma medição real.

4.4.4. A Fig. 2 representa a estimativa do valor de uma quantidade de entrada X i e a avaliaçãoda incerteza desta estimativa de umadistribuição a priori de valores possíveis de Xi

ou distribuição de probabilidade de Xi, baseadaem toda informação disponível. Para ambos oscasos mostrados, a quantidade de entrada éainda assumida como a temperatura t.

4.4.5. Para o casos ilustrado na Fig. 2a, éassumido que pouca informação é disponívelacerca da quantidade de entrada t e que tudoque pode ser assumido é que t é descrita por

uma distribuição de probabilidade a priori ,retangular e assimétrica com limite inferior a- =96 oC, limite superior a+ = 104 oC e com meialarguraa = (a+ - a-)/2 = 4 oC (ver 4.3.7). A funçãodensidade de distribuição de t é dada por:

p(t) = 1/2a a- < t < a+

p(t) = 0, para os outros valores

Como indicado em 4.3.7, a melhor estimativade t é sua expectativa µ1 = (a+ + a-)/2 = 100 oC,que segue de C.3.1. A incerteza padrão desta

estimativa é u a( )µ13= ≅ 2,3 oC, que segue de

C.3.2 [ver eq. (7)]

4.4.6. Para o caso ilustrado na Fig. 2b, éassumido que a informação disponível acercade t é menos limitada e que t pode ser descritapor um distribuição de probabilidade a priorisimétrica e triangular, com o mesmo limiteinferior a- = 96 oC e mesmo limite superior a+ =104 oC e portando com mesma meia largura a= (a+ - a-)/2 = 4 oC como em 4.4.5 (ver 4.39). Afunção de densidade de probabilidade de t é

então:p(t) = (t - a-)/a

2 a- ≤ t ≤ (a- + a+)/2




20

p(t) = (a- - t)/a2 (a- + a+)/2 ≤ t ≤ a+

p(t) = 0, para os outros valores

Fig. 1. Ilustração gráfica da avaliação daincerteza padrão de uma quantidade deentrada de uma distribuição a priori

Como indicado em 4.3.9, a expectativa de t éµ1 = (a+ + a-)/2 = 100 oC, que segue C.3.1. Aincerteza padrão desta estimativa é

ua

( )µ16

= ≅ 1,6 oC, que segue C.3.2. [ver eq.

(9b)].

O valor acima, u( )µ1 ≅ 1,6 oC pode ser

comparada com u( )µ1 ≅ 2,3 oC obtido em 4.4.5

de uma distribuição retangular de mesma

largura 8

o

C. Com σ = 1,5

o

C da distribuiçãonormal da Fig. 1a cujo intervalo de -2,58s a+2,58s que inclui 99% da distribuição, éaproximadamente

8 oC e com u( t ) = 0,33 oC obtido em 4.4.3 de20 observações assumidas tendo sido tomadasaleatoriamente da mesma distribuição normal.



Expressão da Incerteza: 1993 (E) 5. Determinando a incerteza padrão combinada

21

5. Determinando a incerteza padrão combinada

5.1. Quantidades de entrada nãocorrelacionadas

Esta subcláusula trata do caso onde todas asquantidades de entrada são independentes(C.3.7). O caso onde duas ou maisquantidades de entrada são relacionadas, istoé, são interdependentes ou correlatas (C.2.8),é discutido em 5.2.

5.1.1. A incerteza padrão de y, onde y é aestimativa do mensurando Y e assim oresultado da medição, é obtido combinando demodo apropriado as incertezas padrão dasestimativas de entrada x1, x2, ..., xN (ver 4.1).Esta incerteza padrão combinada da estimativay é chamada de uc(y).

Nota - Por razões similares às dadas na nota

de 4.3.1, os símbolos uc(y) e u yc2 ( ) são

usados em todos os casos.

5.1.2. A incerteza padrão combinada uc(y) é araiz quadrada positiva da variância combinada

u yc2 ( ) , que é dada por

u yf

xu xc

i

i

i

N2

2

2

1

( ) ( )=

=∑

∂∂

(10)

onde f é a função dada na eq. (1). Cada u(xi) éuma incerteza padrão calculada como descritoem 4.1 (avaliação do Tipo A) ou como em 4.3(avaliação do Tipo B). A incerteza padrãocombinada uc(y) é um desvio padrão estimadoe caracteriza a dispersão dos valores quepoderiam ser razoavelmente atribuídos aomensurando Y (ver 2.2.3).

A eq. (10) e sua contrapartida paraquantidades de entrada correlatas, eq. (13),ambas das quais são baseadas em umaaproximação de primeira ordem de Taylor de Y= f(X1, X2, ..., XN), expressa o que é chamadoneste Guide, a lei de propagação da incerteza(ver E.3.1 e E.3.2).

Nota - Quando a não linearidade de f ésignificativa, termos de maior ordem na sériede expansão de Taylor devem ser incluídos

na expressão para u yc

2

( ) , eq. (10). Quando adistribuição de cada Xi é simétrica em relaçãoà sua média, os termos mais importantes da

próxima ordem mais alta a serem adicionadosaos termos da eq. (10) são:

1

2

22

3

211

2 2∂∂ ∂

∂∂

∂

∂ ∂

f

x x

f

x

f

x xu x u x

i j i i j j

N

i

N

i j

+

==

∑∑ ( ) ( )

5.1.3. As derivadas parciais ∂ ∂f x i/ são iguais

a ∂ ∂f X i/ calculadas em Xi = xi (ver nota 1

abaixo). Estas derivadas, muitas vezes

chamadas de coeficientes de sensitividade,descrevem como as estimativas de saída yvariam com alterações nos valores dasestimativas de entrada x1, x2,..., xN. Emparticular, a variação em y produzida por umapequena variação ∆xi na estimativa de entrada

xi é dada por ( )∆ ∆yf

xxi

i

i=∂∂

. Se esta variação

é gerada pela incerteza padrão da estimativa x i,a variação correspondente em y é

( / ) ( )∂ ∂f x u xi i . A variância combinada u yc2 ( )

pode, portanto, ser vista como uma soma de

termos, cada um representando a variânciaestimada associada com a estimativa de saíday gerada pela variância estimada associadacom cada estimativa de entrada xi. Isto sugereescrever a eq. (10) como

u y c u x u yc i i i

i

N

i

N2 2 2

11

( ) [ ( )] ( )= ≡==∑∑ (11a)

onde

cf

xi

i

≡∂∂

e u y c u xi i i( ) ( )≡ (11b)

Notas

1. Estritamente falando, as derivadas parciais

são ∂ ∂ ∂ ∂f x f Xi i/ /= calculadas nas

expectativas de Xi. Porém, na prática, asderivadas parciais são estimadas por:

∂∂

∂∂

f

x

f

Xi i X X XN

=1 2, ,...,

2. A incerteza padrão combinada uc(y) podeser calculada numericamente substituindo c,

u(xi) na eq. (11a) com




22

Z f x x u x x

f x x u x x

i i i N

i i N

= +

− −

1

21

1

[ ( ,..., ( ),..., )

( ,..., ( ,..., )]

Isto é, ui(y) é avaliada numericamentecalculando a variação em y devida à variação

em xi de +u(xi) e de -u(xi). O valor de ui(y)pode então ser tomado como Zi e o valor

do coeficiente de sensitividadecorrespondente ci como Zi/u(xi).

Exemplo - Para o exemplo de 4.2.2, usando omesmo símbolo para ambas as quantidades esua estimativa por simplicidade de notação,

c P V V R t t P Vo o1 2 1 2= = + − =∂ ∂ α/ / [ ( )] /

c P R V R t t P Ro o o o22 2 1= = − + − = −∂ ∂ α/ / [ ( )] /

c P V t t R t t

P t t t t

o o o

o o

32 21

1

= = − − + −

= − − + −

∂ ∂α α

α

/ ( ) / [ ( )]

( ) / [ ( )]

c P t V R t t

P t t

o o

o

42 21

1

= = − + −

= − + −

∂ ∂ α α

α α

/ / [ ( )]

/ [ ( )]

e

u PP

Vu V

P

Ru R

Pu

P

tu t

o

o2

22

22

2

2

2

2

( ) ( ) ( )

( ) ( )

=

+

+

+

+

∂∂

∂∂

∂∂α

α∂∂

ou

u P c u V c u R c u c u to2

12

22

32

42( ) [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )]= + + +α

ou ainda

u P u P u P u P u P212

22

32

42( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + + +

5.1.4. Em vez de serem calculados da função f,os coeficientes ∂ ∂f x i/ são geralmente

determinados experimentalmente: mede-se avariação em Y produzida por uma variação emum particular Xi, enquanto mantendo as outrasquantidades de entrada constantes. Nestecaso, o conhecimento da função f (ou umaporção dela quando somente alguns

coeficientes de sensitividade são assimdeterminados) é reduzido a uma expansão de

primeira ordem da série de Taylor empíricabaseada nos coeficientes de sensitividademedidos.

5.1.5. Se a eq. (1) para o mensurando Y éexpandida em torno de valores nominais Xi,0

das quantidades de entrada Xi, então para aprimeira ordem (que é usualmente umaaproximação adequada),

Y Y c c co N N= + + + +1 1 2 2δ δ δ...

onde

Y f X X Xo N,= ( , ,..., ), ,1 0 2 0 0

cf

Xi

i X Xi i

==

∂∂

,0

e

δ i i iX X= − ,0

Assim, para os objetivos de uma análise deincerteza, um mensurando é usualmenteaproximado por uma função linear de suasvariáveis, transformando suas quantidades deentrada de Xi para δi (ver E.3.1).

Exemplo - Do exemplo 2 de 4.3.7, aestimativa do valor do mensurando V é

V V V= + ∆ onde V =0,928 571 V, u( V ) =

12 µV, a correção aditiva ∆ V = 0 e u(∆ V ) =8,7 µV. Desde que

∂ ∂V V/ = 1 e ∂V d V/ ( )∆ = 1, a variância

combinada associada com V é dada por

u V u V u V V Vc2 2 2 2 212 8 7( ) ( ) ( ) ( ) ( , )= + = +∆ µ µ

u V Vc2 12 2219 10( ) = × −

e a incerteza padrão combinada é uc(V) = 15mV, que corresponde a incerteza padrãocombinada relativa uc(V)/V de 16 x 10-6 (ver 5.1.6). Este é um exemplo do caso onde omensurando já é uma função linear dasquantidades de que ele depende, comcoeficientes ci = +1. Segue-se da eq. (10) quese

Y c X c X c XN N= + + +1 1 2 2 ...

e se as constantes ci = +1 ou -1, então

u y u xc i

i

N

2 2

1( ) ( )=

=∑




23

5.1.6. Se Y é da forma Y cX X Xp p

NpN= 1 2

1 2 ... e os

expoentes pi são números conhecidospositivos ou negativos tendo incertezasdesprezíveis, a variância combinada, eq. (10),pode ser expressa como:

u y

y

p u x

x

c i i

ii

N( ) ( )

=

=∑

2 2

1

(12)

Esta é da mesma forma que a eq. (11a) mas

com a variância combinada u yc2 ( ) expressa

com a variância combinada relativa [uc(y)/y)]2 ea variância estimada u2(xi) associada com cadaexpectativa de entrada expressa como umavariância relativa estimada [u(xi)/xi]

2. A

incerteza padrão combinada relativa é uc(y)/ y

e a incerteza padrão relativa de cada

estimativa de entrada u(xi)/ x i com y ≠ 0 e

x i ≠ 0.

Notas: Quando Y tem esta forma, suatransformação para uma função linear devariáveis (ver 5.1.5) é facilmente conseguidafazendo Xi = Xi,0 (1 + δi), para assim resultar aseguinte relação aproximada:

( )Y Y

Ypi i

i

N−=

=∑0

0 1

δ

Por outro lado a transformação logarítmicaZ = ln Y e Wi = ln Xi leva a uma linearizaçãoexata em termos das novas variáveis:

Z c p Wi i

i

N

= +=∑ln

1

2. Se cada pi é +1 ou -1, a eq. (12) se torna

u y

y

u x

xc i

ii

N( ) (

=

=∑

2 2

1

que mostra que para este caso especial avariância combinada relativa associada com a

estimativa y é simplesmente igual à soma dasvariâncias relativas estimadas associadascom as estimativas de entrada xi.

5.2. Quantidades de entradacorrelatas

As eq. (10) e as suas derivadas eq. (11) e (12)são válidas somente se as quantidades deentrada Xi são independentes e não correlatas(as variáveis aleatórias, não as quantidadesfísicas que são assumidas serem invariantes -

ver 4.1.1). Se algumas das Xi sãosignificativamente correlatas, as correlaçõesdevem ser consideradas.

5.2.2. Quando as quantidades de entrada sãocorrelatas, a expressão apropriada para avariância combinada associada com oresultado de uma medição é:

u yf

x

f

x

u x xc

i j

i j

j

N

i

N2

11

( ) ( , )=== ∑∑

∂

∂

∂

∂

=

+

= +=

−

=∑∑∑

∂∂

∂∂

∂∂

f

xu x

f

x

f

xu x x

i

i

i j i

N

i

N

j

i j

i

N2

2

11

1

1

2( ) ( , )

(13)

onde xi e x j são as estimativas de Xi e X j e u(xi,x j) = u(x j,xi) é a covariância estimada associadacom xi e x j. O grau de correlação entre x i e x j é

caracterizado pelo coeficiente de correlaçãoestimado (C.3.6)

r x xu x x

u x u xi j

i j

i j

( , )( , )

( ) ( )= (14)

onde r(xi,x j) = r(x j,xi) e -1 ≤ r(xi,x j) ≤ +1. Se asestimativas xi e x j são independentes, r(xi,x j) = 0e a variação de uma não implica em variaçãoesperada na outra. (ver C.2.8, C.3.6 e C.3.7para discussão adicional).

Em termos de coeficientes de correlação, que

são mais facilmente interpretadas do quecovariâncias, a covariância da eq. (13) podeser escrito como

211

∂∂

∂∂

f

x

f

xu x x r x x

i j

i j i j

j i

N

i

N

( , ) ( , )= +=∑∑ (15)

A eq. 13 se torna, com a ajuda da eq. (11b):

u y c u x c c u x u x r x xc i i

i

N

i j i j i j

j i

N

i

N2 2 2

1 11

2( ) ( ) ( ) ( ) ( , )= += = +=∑ ∑∑

(16)

Notas

1. Para o caso muito especial onde todas asestimativas de entrada são correlacionadascom coeficientes r(xi,x j) = +1, a eq. (16) sereduz a

u y c u xf

xu xc i i

i

N

i

i

i

N2

1

2

1

2

( ) ( ) ( )=

=

= =∑ ∑

∂∂

A incerteza padrão combinada uc(y) é entãosimplesmente a raiz quadrada positiva de umasoma linear de termos representando a




24

variação da estimativa de saída y gerada pelaincerteza padrão de cada estimativa de entradaxi (ver 5.1.3). [Esta soma linear não deve ser confundida com a lei geral de propagação doerro, embora ambas tenham formas similares;incertezas padrão não são erros (ver E.3.2)].

Exemplo - Dez resistores, cada um comresistência nominal de Ri = 1000 Ω, sãocalibrados com uma incerteza de comparaçãodesprezível em termos do mesmo resistor padrão Rs de 1000 Ω, caracterizado por umaincerteza padrão de u(Rs) 1 100 mΩ, comodado no certificado de calibração. Osresistores são ligados em série com fiostendo resistência desprezível, para se obter uma resistência de referencia Rref de valor nominal de 10 kΩ. Assim,

∑ === 10

1i iiref R)R(f R

Desde que r(xi,xj) = r(Ri, Rj) = +1 para cadapar de resistor (ver F.1.2.3, exemplo 2), aequação desta nota se aplica. Desde quepara cada resistor

1R

R

x

f

i

ref

i

=∂

∂=

∂∂

e

u(xi) = u(Ri) = u(Rs) (ver F.1.2.3, exemplo2),esta equação dá para a incerteza padrãocombinada de Rref,

∑ == 10

1i sref c )R(u)R(u =

= 10 x (100 mΩ) = 1 Ω

O resultado

∑ == 10

1i s2

ref c )R(u)R(u = 0,32 Ω, obtido

da eq. (10) é incorreto porque ele nãoconsidera que todos os valores calibradosdos dez resistores são dependentes.

2. As variâncias estimadas u2(xi) ecovariâncias estimadas u(xi,xj) podem ser consideradas como elementos de uma matrizde covariancia com elementos uij. Oselementos diagonais uii da matriz são sas

variâncias u2(xi), enquanto os elementos forada diagonal uij, (i ≠ j) são sas covariânciasu(xi, xj) = u(xj, xi). Se duas entradasestimadas são independentes, suacovariância associada e os elementoscorrespondentes uij e uji são iguais a zero. Seas entradas estimadas são todasindependentes, todos os elementos fora dadiagonal são iguais a zero e a matrizcovariância é a diagonal.

3. Para os objetivos de avaliação numérica, aeq. (16) pode ser escrita como

∑ ∑= =

=N

1i

N

1 j ji ji

2c )x,x(r ZZ)y(u

onde Zi é dado em 5.1.3, nota 2.

4. Se o Xi da forma especial considerada em5.1.6 tem correlação, então os termos

∑∑−

=

−

=

1N

1i

1N

1 j ji j j jiii )x,x(r ]x/)x(up][x/)x(up[2

devem ser adicionados ao lado direito da eq.(12).

5.2.3. Sejam duas médias aritméticas q e r

que estimam as expectativas µq e µr de duasquantidades variáveis aleatórias q e r e sejam

q e r calculadas de n pares independentes de

observações simultâneas de q e r feitas sob asmesmas condições de medição (ver B.2.15).

Assim, a covariância de q e r é estimada por

(ver C.3.4):

s q r n n

q q r r k k

k

n

( , )( )

( )( )=−

− −=

∑1

1 1

(17)

onde qk e r k são as observações individuais das

quantidades q e r e q e r são calculadas das

observações de acordo com a eq. (3). Se defato as observações não são correlatas, a

covariância calculada é esperada ser próximade zero.

Assim, a covariância estimada de duasquantidades de entrada correlatas Xi e X j que

são estimadas pelas médias X i e X j

determinadas de pares independentes deobservações simultâneas repetidas é dada por

u x x s X Xi j i j( , ) ( , )= com s(X Xi j, ) calculado de

acordo com eq. 17. Esta aplicação da eq. (17)é uma avaliação de covariância do Tipo A. O

coeficiente de correlação estimado de X i e X jé obtido da eq. (14):

r x x r X Xs X X

s X s Xi j i j

i j

i j

( , ) ( , )( , )

( ) ( )= =

Nota - Exemplos onde é necessário usar covariâncias como calculadas da eq. (17) sãodados em H.2 e H.4.

5.2.4. Pode haver correlação significativa entreduas quantidades de entrada se o mesmoinstrumento de medição, padrão físico demedição ou dado de referência tendo uma

incerteza padrão significativa é usado em suadeterminação. Por exemplo, se um certo




25

termômetro é usado para determinar umacorreção de temperatura requerida naestimativa do valor da quantidade de entrada X i

e o mesmo termômetro é usado paradeterminar uma correção similar detemperatura requerida na estimativa do valor

da quantidade de entrada X j. Porém, se Xi e X jneste exemplo são definidos para seremquantidades não corrigidas e as quantidadesque definem a curva de calibração para otermômetro são incluídas como quantidades deentrada adicionais com incertezas padrãoindependentes, a correlação entre Xi e X j éremovida. (Ver F.1.2.3 e F.1.24 para discussãoadicional).

5.2.5. Correlações entre quantidades deentrada não podem ser ignoradas se presentese significativas. As covariâncias associadasdevem ser calculadas experimentalmente sepossível variando as quantidades de entradacorrelatas (ver C.3.6, nota 3) ou usando o pool de informação disponível sobre a variabilidadecorrelata das quantidades em questão(avaliação da covariância Tipo B). Deve-se ter insight baseado na experiência e noconhecimento geral (ver 4.3.1 e 4.3.2) quandoestimando o grau de correlação entrequantidades de entrada aparecendo dos efeitosde influências comuns, tais como temperaturaambiente, pressão barométrica e umidade.Felizmente, em muitos casos, os efeitos de tais

influências tem interdependência desprezível eas quantidades de entrada afetadas podem ser assumidas sem correlação. Porém, se elas nãopodem ser assumidas sem correlação, ascorrelações em si devem ser evitadas se asinfluências comuns são introduzidas comoquantidades de entradas independentesadicionais, como indicado em 5.2.4.



Expressão da Incerteza: 1993 (E) Determinando a incertezaexpandida

26

6. Determinando a incerteza expandida

6.1. Introdução

6.1.1. A Recomendação INC-1 (1980) doWorking Group on the Statement of Uncertainties em que este Guide se baseia eas Recomendações 1 (CI-1981) e 1 (CI-1986)do CIPM aprovando e reafirmando INC-1(1980) (ver Apêndice A.2 e A.3), advogam ouso da incerteza padrão combinada uc(y) comoo parâmetro para expressar quantitativamentea incerteza do resultado de uma medição.Realmente, de acordo com suasrecomendações, o CIPM tem requerido que oque é agora chamado de incerteza padrãocombinada uc(y) seja usada por todos osparticipantes em dar os resultados de todas

comparações internacionais ou outrostrabalhos feitos sob os auspícios do CIPM.

6.2. Incerteza expandida

6.2.1. A medida adicional da incerteza quesatisfaz a exigência de fornecer um intervalo dotipo indicado em 6.1.2 é chamada de incertezaexpandida e é denotada por U. A incertezaexpandida U é obtida multiplicando a incertezapadrão combinada uc(y) por um fator decobertura k.

U ku yc= ( ) (18)O resultado de uma medição é entãoconvenientemente expresso como Y = y ± U,que é interpretado para significar que a melhor estimativa do valor atribuído ao mensurando Yé u e que y - U para y + U é um intervalo quepode ser esperado incluir uma grande fraçãoda distribuição de valores que podemrazoavelmente ser atribuídos a Y. Tal intervaloé também expresso como y - U ≤ Y ≤ y +U.

6.2.2. Os termos intervalo de confiança(C.2.27, C.2.28) e nível de confiança (C.2.29)

tem definições específicas em estatística e sãoaplicáveis somente ao intervalo definido por U

quando certas condições são satisfeitas,incluindo que todos os componentes deincerteza que contribuem para uc(y) sejamobtidos de avaliações do Tipo A. Assim, nesteGuide, a palavra confiança não é usada paramodificar a palavra intervalo quando referindo

ao intervalo definido por U; e o termo nível deconfiança não é usado em ligado com esteintervalo mas como termo nível de confiança.Mais especificamente, U é interpretado comodefinindo um intervalo em torno do resultado damedição que inclui uma grande fração p dadistribuição de probabilidade caracterizado por este resultado e sua incerteza padrãocombinada e p é a probabilidade de coberturaou nível de confiança do intervalo.

6.2.3. Sempre que praticável, o nível deconfiança p associado com o intervalo definido

por U deve ser estimado e estabelecido. Deve-se reconhecer que multiplicando uc(y) por umaconstante não fornece informação nova masapresenta a informação previamente disponívelem uma forma diferente. Porém, também deveser reconhecido que, em muitos casos, o nívelde confiança p (especialmente para valores dep próximos de 1) é bastante incerto, nãosomente por causa do conhecimento limitadoda distribuição de probabilidade caracterizadapor y e uc(y) (particularmente nas porçõesextremas), mas também por causa da incertezade uc(y) em si (ver nota 2 para 2.3.5, 6.3.1 e

anexo G, especialmente G.6.6).Nota - Para modos preferidos de estabelecer os resultado de uma medição quando amedida da incerteza é uc(y) e quando é U, ver 7.2.2 e 7.2.4, respectivamente.

6.3. Escolhendo um fator decobertura

6.3.1. O valor do fator de cobertura k éescolhido com base no nível de confiançarequerido do intervalo y - U para y + U. Emgeral, k está na faixa de 2 a 3. Porém, paraaplicações especiais, k pode estar fora destafaixa. A experiência com e o conhecimento



Expressão da Incerteza: 1993 (E) Determinando a incertezaexpandida

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completo dos usos do resultado da mediçãopodem facilitar a seleção do valor apropriadode k.

Nota - Ocasionalmente, pode se achar queuma correção conhecida b para um efeitosistemático não tem sido aplicada para oresultado reportado de uma medição, mas emvez disso se tenta levar em consideração oefeito, aumentando a incerteza atribuída aoresultado. Isto deve ser evitado, somente emcircunstâncias muito especiais as correçõespara efeitos sistemáticos significativosconhecidos não devem ser aplicadas aoresultado de uma medição (ver F.2.4.5 paraum caso específico e como tratá-lo).Avaliando a incerteza de um resultado demedição não deve ser confundido comatribuindo um limite de segurança paraalguma quantidade.

6.3.2. Idealmente, deve-se ser capaz deescolher um valor específico do fator decobertura k que forneça um intervalo Y = y ± U= y ± kuc(y) correspondendo a um nívelparticular de confiança p, tais como 95 ou 99%.De modo equivalente, para um dado valor de k,deve-se ser capaz de estabelecer semambigüidade o nível de confiança associadocom este intervalo. Porém, isto não é fácil defazer, na prática, por que se requer umconhecimento extensivo da distribuição deprobabilidade caracterizada pelo resultado damedição y e sua incerteza padrão combinada

uc(y). Embora estes parâmetros sejam degrande importância, eles são insuficientes parao objetivo de estabelecer intervalos tendoexatamente níveis conhecidos de confiança.

6.3.3. A Recomendação INC-1 (1980) nãoespecifica como a relação entre k e p deve ser estabelecida. Este problema é discutido noAnexo G e um método preferido para suasolução aproximada é apresentado em G.4 eresumido em G.6.4. Porém, um enfoque maissimples, discutido em G.6.6 é geralmenteadequado em situações de medição onde a

distribuição de probabilidade caracterizada por y e uc(y) é aproximadamente normal e os grausefetivos de liberdade de uc(y) é de tamanhosignificativo. Quando este é o caso, quefreqüentemente ocorre na prática, pode-seassumir que tomando k = 2 produz um intervalotendo um nível de confiança deaproximadamente 95% e que tomando k = 3produz um intervalo tendo um nível deconfiança de aproximadamente 99%.

Nota - Um método para estimar os grausefetivos de liberdade de uc(y) é dado em G.4.A Tab. G.2 do Anexo G pode então ser usado

para ajudar a decidir se esta solução éapropriada para uma determinada medição(ver G.6.6).

=

APOSTILA\INCERTEZA Guide1.doc 15 JUL 96



Expressão da Incerteza: 1993 (E) 7. Reportando aincerteza

28

Reportando a incerteza

7.1. Recomendação geral

7.1.1. Em geral, quando se move para cima nahierarquia da medição, mais detalhes sãoexigidos em como um resultado da medição e

sua incerteza foram obtidos. Contudo, emqualquer nível desta hierarquia, incluindo asatividades comerciais e legais no mercado, otrabalho de engenharia na indústria,laboratórios de calibração de nível mais baixo,pesquisa e desenvolvimento industriais,pesquisa acadêmica, padrões primáriosindustriais e laboratórios de calibração elaboratórios nacionais e p BIPM, toda ainformação necessária para a reavaliação damedição deve ser disponível para quem podenecessitar dela. A diferença básica é que osníveis mais baixo da cadeira hierárquica, maisinformação além da necessária pode ser disponível na forma de relatórios de calibraçãoe testes publicados, especificações de teste,certificados de calibração e teste, manuais deinstrução, normas internacionais, normasnacionais e normas locais.

7.1.2. Quando os detalhes de uma medição,incluindo como a incerteza do resultado foiavaliada, são fornecidos pela referência adocumentos publicados, como é geralmente ocaso quando os resultados da calibração sãoreportados em um certificado, é imperativo que

estas publicações sejam mantidas atualizadosde modo que elas sejam consistentes com oprocedimento da medição realmente em uso.

7.1.3. Numerosas medições são feitas cada diana indústria e comércio sem qualquer relatórioexplicito da incerteza. Porém, muitas são feitascom instrumentos sujeitos a calibraçãoperiódica ou inspeção legal. Se osinstrumentos são sabidos estar deconformidade com suas especificações ou comos documentos normativos aplicáveis, asincertezas de suas indicações podem ser

inferidas destas especificações ou destesdocumentos normativos.

7.1.4. Embora na prática a quantidade deinformação necessária para documentar umresultado de medição dependa de seu usopretendido, o principio básico é o que érequerido permanece inalterado: quandoreportando o resultado de uma medição e suaincerteza, é preferível errar no lado de fornecer

informação demais do que de menos. Por exemplo, deve-se

a) descrever claramente os métodos usadospara calcular o resultado da medição e suaincerteza das observações experimentais edos dados de entrada

b) listar todos os componentes da incerteza edocumentar totalmente como eles foramavaliados

c) apresentar a análise dos dados de tal modoque cada passo importante seja facilmenteseguido e o cálculo do resultado reportadopossa ser repetido independentemente, senecessário

d) dar todas as correções e constantes usadasna análise suas fontes.

Um teste da lista anterior é se perguntar: Foi fornecida informação suficiente, de um modoclaro, de modo que o resultado pode ser atualizado no futuro, se novos dados ou novasinformações aparecerem?

7.2. Recomendação específica

7.2.1. Quando reportando o resultado de umamedição e quando a medida da incerteza for aincerteza padrão combinada, uc(y), deve-se

a) dar uma descrição completa de como omensurando é definido;

b) dar uma estimativa de y do mensurando Y esua incerteza padrão combinada uc(y); asunidades de y e uc(y) devem sempre ser dadas;

c) incluir a incerteza padrão combinada

relativa, uc(y)/ y , com y ≠ 0, quandoapropriado;




29

d) dar a informação indicada em 7.2.7 oureferir a documento publicada que acontenha.

Se for julgado útil para os usuários do resultadoda medição, por exemplo, ajudar no cálculo

futuro dos fatores de cobertura ou assistir noentendimento da medição, pode-se indicar

a) a estimativa efetiva dos graus de liberdade(ver G.4);

b) as incertezas padrão combinadas do Tipo Ae do Tipo B ucA(y) e ucB(y) e seus graus deliberdade efetivos estimados νefA e νefB ver G.4.1., nota 3)

7.2.2. Quando a medida da incerteza é uc(y), épreferível estabelecer o resultado numérico damedição em um dos seguintes quatro modosde modo a evitar mal entendidos. (Aquantidade cujo valor está sendo reportado éassumido ser um padrão de massa mS de 100g; as palavras em parênteses podem ser omitidas por brevidade se uc é definido emalgum outro lugar do documento reportando oresultado)

1) mS = 100,021 47 g com (uma incertezapadrão combinada) uc = 0,35 mg.

2) mS = 100,021 47 (35) g, onde o número emparênteses é o valor numérico da (incertezapadrão combinada) uc referido aos últimos

dígitos correspondentes do resultadocotado.

3) mS = 100,021 47 (0,000 35) g, onde onúmero em parênteses é o valor numéricoda (incerteza padrão combinada ) uc

expressa na unidade do resultado cotado.

4) mS = 100,021 47 ± 0,000 35 g, onde onúmero seguindo o símbolo ± é o valor numérico da (incerteza padrão combinada )uc e não um intervalo de confiança.

Nota - o formato ± deve ser evitado sempreque possível porque ele tem sido

tradicionalmente usado para indicar umintervalo correspondendo a um alto nível deconfiança e assim pode ser confundido com aincerteza expandida (ver 7.2.4). Além disso,embora o propósito do formato em 4) sejaevitar tal confusão, escrevendo Y = y ± uc(y)poderia ainda ser mal entendida paraimplicar, especialmente se o formato éacidentalmente omitido, que uma incertezaexpandida comk = 1 é pretendida e que o intervalo y - uc(y) ≤Y ≤ y + uc(y) tem um nível de confiançaespecificado p, por exemplo, que associadocom a distribuição normal (ver G. 1.3). Como

indicado em 6.3.2 e Anexo G, interpretandouc(y) deste modo é usualmente difícil para justificar.

Quando reportando o resultado de umamedição e quando a medida da incerteza é aincerteza expandida U = kuc(y), deve-se

a) dar uma descrição completa de como omensurando Y é definido;

b) apresentar o resultado da medição comoY = y ± U e dar as unidades de y e U;

c) incluir a incerteza expandida relativa U/ y ,

com y ≠ 0, quando apropriado;

d) dar o valor de k usado para obter U [ou,para a conveniência do usuário doresultado, dar ambos k e uc(y)];

e) dar o nível aproximado de confiançaassociado com o intervalo y ± U eapresentar como ele foi determinado;

f) dar a informação listada em 7.2.7 ou referir a documento publicado que a contenha.

7.2.4. Quando a medida da incerteza é U, épreferível, para máxima claridade, apresentar oresultado numérico da medição como noexemplo seguinte. (As palavras em parêntesespodem ser omitidas por brevidade se U, uc(y) ek são definidos em algum outro lugar nodocumento reportando o resultado.)

mS = (100,021 47 ± 0,000 79) g, onde o

número seguindo o símbolo ± é o valor

numérico de (uma incerteza expandida) U = k u c , com U determinada de (uma incerteza padrão combinada) u c = 0,35 mg e (um fator de cobertura) k = 2,26 baseado na

distribuição t para ν = 9 graus de liberdade edefine um intervalo estimado para ter umnível de confiança de 95%.

7.2.5. Se uma medição determinasimultaneamente mais do que um mensurando,isto é, se ela fornece duas ou mais estimativasde saída yi (ver H.2, H.3 e H.4), então, além dedar yi e uc(y), dar os elementos da matriz decovariância u(yi,y j) ou os elementos r(yi,y j) da

matriz de coeficientes de correlação (C.3.6,nota 2) (e preferivelmente ambos).

7.2.6. Os valores numéricos da estimativa y esua incerteza padrão uc(y) ou incertezaexpandida U não devem ser dados com umnúmero excessivo de dígitos. É usualmentesuficiente cotar uc(y) e U [bem como asincertezas padrão u(xi) das estimativas deentrada xi] com, no máximo, dois algarismossignificativos, embora em alguns casos possaser necessário reter dígitos adicionais paraevitar erros de arredondamento em cálculossubsequentes.




30

Reportando os resultados finais, pode ser apropriado, muitas vezes, arredondar asincertezas para cima, em vez de arredondar para o valor mais próximo. Por exemplo, uc(y) =10,47 mΩ deve ser arredondado para 11 mΩ,em vez de 10 mΩ. Porém , o bom senso deveprevalecer e um valor como uc(y) = 28,05 kHzdeve ser arredondado para 28 kHz. Estimativasde entrada e saída devem ser arredondadaspara ficarem consistentes com suas incertezas;por exemplo, se y = 10,057 62 Ω com uc(y) =27 mΩ, y deve ser arredondado para 10,058 Ω.Coeficientes de correlação devem ser dadoscom precisão de três dígitos se seus valoresabsolutos são próximos de 1.

7.2.7. No relatório detalhado que descrevecomo o resultado de uma medição e suaincerteza foram obtidos, deve-se seguir as

recomendações de 7.1.4 e assima) dar o valor de cada estimativa de entrada xi

e sua incerteza padrão u(xi) junto com umadescrição de como elas foram obtidas;

b) dar as covariâncias estimadas oucoeficientes de correlação estimados(preferivelmente ambos) associados comtodas estimativas de entrada que sãocorrelatas e os métodos usados para obtê-los;

c) dar o grau de liberdade para a incerteza

padrão de cada estimativa de entrada ecomo ele foi obtido;

d) dar a relação funcional Y = f(X1,X2,..., XN) equando eles parecerem úteis, as derivadasparciais ou coeficientes de sensitividade∂ ∂f x i/ . Porém, quaisquer coeficientes

determinados experimentalmente devem ser dados.

Note - Como a relação funcional f pode ser muito complexa ou pode não existir explicitamente mas somente como umprograma de computador, pode não ser

possível dar f e suas derivadas. A função f pode então ser descrita em termos gerais ouo programa usado pode ser citado por umareferência apropriada. Em tais casos, éimportante que seja claro como a estimativa ydo mensurando U e sua incerteza padrãocombinada uc(y) foram obtidas.



Expressão da Incerteza: 1993 (E) 8. Sumário do procedimento para avaliar e expressar a incerteza

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8. Sumário do procedimento para avaliar eexpressar a incerteza

Os passos a serem seguidos para avaliar e expressar a incerteza do resultado deuma medição como apresentado neste Guide podem ser resumidos como segue:1.

1. Expressar matematicamente a relação entreo mensurando Y e as quantidades de entradaXi das quais Y depende: Y = f(X1, X2,..., XN). Afunção f deve conter cada quantidade,incluindo todas as correções e fatores decorreção, que podem contribuir umcomponente significativo de incerteza para oresultado da medição (ver 4.1.1 e 4.1.2).

2. Determinar xi, o valor estimado daquantidade de entrada Xi, ou com base naanálise estatística de séries de observações oupor outros meios (ver 4.1.3).

3. Avaliar a incerteza padrão u(xi) de cadaestimativa de entrada xi. Para uma estimativade entrada obtida da análise estatística deséries de observações, a incerteza padrão éavaliada como descrito em 4.2 (avaliação daincerteza padrão do Tipo A). Para umaestimativa de entrada obtida por outros meios,a incerteza padrão u(xi) é avaliada comodescrito em 4.3 (avaliação da incerteza padrãodo Tipo B).

4. Avaliar as covariâncias associadas comtodas estimativas de entrada que sejamcorrelatas (ver 5.2).

5. Calcular o resultado da medição, isto é, aestimativa y do mensurando Y, da relaçãofuncional f usando para as quantidades deentrada Xi as estimativas xi obtidas no passo 2(ver 4.1.4).

6. Determinar a incerteza padrão combinadauc(y) do resultado da medição y das incertezaspadrão e das covariâncias associadas com asestimativas de entrada, como descrito na

cláusula 5. Se a medição determinasimultaneamente mais do uma quantidade de

saída, calcular suas covariâncias (ver 7.2.5,H.2, H.3 e H.4).

7. Se é necessário dar uma incertezaexpandida U, cujos objetivos é fornecer umintervalo y - U a y + U que pode ser esperadoincluir uma grande fração da distribuição devalores que podem razoavelmente ser atribuídos ao mensurando Y, multiplicar aincerteza padrão combinada uc(y) por um fator de cobertura k, tipicamente na faixa de 2 a 3,para obter U = k uc(y). Selecionar k com base

no nível de confiança requerido do intervalo(ver 6.2, 6.3 e especialmente anexo G, quediscute a seleção de um valor de k que produzum intervalo tendo um nível de confiançapróximo a um valor especificado.

8. Reportar o resultado da medição y junto comsua incerteza padrão combinada uc(y) ouincerteza expandida U como discutido em 7.2.1e 7.2.3, usar um dos formatos recomendadosem 7.2.2 e 7.2.4. Descrever, como listadotambém na cláusula 7, como y e uc(y) ou Uforam obtidos.



Expressão da Incerteza: 1993 (E) Anexo A: Recomendações do Grupo de Trabalho e CIPM

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Anexo A

Recomendações do Grupo de Trabalho e CIPM

A.1. Recomendação INC-1 (1980)

O Grupo de Trabalho sobre o Estabelecimento das Incertezas foi formadoem outubro de 1980 pelo Bureau Internacional des Poids et Mesures (BIPM)em resposta a umas pedido do Comité International des Poids et Mesures

(CIPM). Ele preparou um relatório detalhado para consideração pelo CIPMque concluir com a Recomendação INC-1 (2980 [2].

Expressões das incertezasexperimentais

Recomendação INC-1 (1980)1. A incerteza de um resultado de medidacompreende geralmente vários componentesque podem ser agrupados em duas categoriasbaseadas no método utilizado para estimar seuvalor numérico:

A. as que são avaliadas com ajuda de métodosestatísticos,

B. as que não avaliadas por outros meios.

Não há sempre uma correspondência simples

entre a classificação nas categorias A e B e ocaracter aleatório ou sistemático usadoanteriormente para classificar as incertezas. Aexpressão incerteza sistemática é susceptívelde conduzir a erros de interpretação e deve ser evitada.

Toda descrição detalhada da incerteza devecompreender uma lista completa de seuscomponentes e indicar para cada um o métodoutilizado para lhe atribuir um valor numérico.

2. Os componentes da categoria A devem ser caracterizados para as variâncias estimadas si

2

(ou os desvios padrão estimados s i) e onúmero de graus de liberdade νi. Ondeapropriado, as covariâncias devem ser dadas.

3. Os componentes na categoria B devem ser caracterizados pelas quantidades u j

2 quepodem ser consideradas como aproximaçõesàs correspondentes variâncias, a existênciadas quais é assumida. As quantidades u j

2

podem ser tratadas como variâncias e asquantidades u j como desvios padrão. Ondeapropriado, as covariâncias devem ser tratadasdo mesmo modo.

4. A incerteza combinada deve ser caracterizada pelo valor numérico obtido

aplicando o método usual para a combinaçãodas variâncias. A incerteza combinada e seuscomponentes devem ser expressos na formade desvios padrão.

Se, para determinada aplicação, for necessáriomultiplicar a incerteza combinada por um fator para obter uma incerteza total, o fator demultiplicação usada sempre deve ser declarado.



Expressão da Incerteza: 1993 (E) Anexo A: Recomendações do Grupo de Trabalho e CIPM

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A.2. Recomendação 1 (CI-1981)

O CIPM reviu o report submetido a ele peloWorking Group on the Statement of Uncertainties e adotou a seguinte

recomendação em seu 70o encontro ocorridoem outubro de 1981 [3]:

Recomendação 1 (CI-1981)

Expressão das incertezas experimentais

O Comité International des Poids et Mesures

considerando

- a necessidade de encontrar um modoconsensado de expressar a incerteza damedição na metrologia,

- o esforço que tem sido devotado a isto por muitas organizações durante muitos anos,

- o grande progresso feito em achar umasolução aceitável, que resultou dasdiscussões do Working Group on theStatement of Uncertainties que se reuniu noBIPM em 1980,

reconhece

- que as propostas do Working Grouppossam formar a base de um eventualacordo na expressão das incertezas,

recomenda

- que as propostas do Working Group sejamdifundidas universalmente,

- que o BIPM tente aplicar estes princípiospara comparações internacionais feitas sobseus auspícios nos próximos anos,

- que outras organizações interessadassejam encorajadas a examinar e testar estas propostas e dirijam seus comentáriosao BIPM,

- que após dois ou três anos o BIPM reveja aaplicação de sua proposta.

A3. Recomendação 1 (CI-1986)

O CIPM considerou o assunto da expressãodas incerteza em seu 75o encontro realizadoem outubro de 1986 e adotou a seguinte

recomendação [4]:

Recomendação 1 (CI-1986)

Expressão das incertezas em trabalhorealizado sob os auspícios do CIPM

O Comité International des Poids et Mesures,

considerando a adoção pelo Working Groupon the Statement of Uncertainties daRecomendação INC-1 (1980) e a adoção peloCIPM da Recomendação 1 (CI-1981),

considerando que certos membros dosComités consultivos podem querer esclarecimento desta Recomendação para oobjetivo de trabalho que caia sob sua atividade,especialmente para comparaçõesinternacionais,

reconhece que o parágrafo 5 daRecomendação INC-1 (1980) relacionado aaplicações particulares, especialmente aquelastendo significado comercial, está agora sendoconsiderado por um grupo de trabalho daInternational Standards Organization (ISO)

comum a ISO, OIML e IEC, com a concorrênciae cooperação do CIPM,

requer que o parágrafo 4 da RecomendaçãoINC-1 (1980) deve ser aplicado por todos osparticipantes em dando os resultados de todasas comparações internacionais ou outrostrabalhos feitos sob os auspícios do CIPM edos comités consultivos e que deve ser dada aincerteza combinada das incertezas do Tipo ATipo B em termos de um desvio padrão.



Expressão da Incerteza: 1993 (E) Anexo B: Termos metrológicos gerais

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Anexo B

Termos metrológicos gerais

B.1. Fonte de definições

As definições dos termos metrológicos geraisrelevantes para este Guide são dadas tendosido tiradas do International vocabulary of basicand general terms in metrology (avreviadoVIM), 2a ed. [6], publicado pela ISO, em nomedas sete organizações que suportam seu

desenvolvimento e elaborado por especialistas:Bureau Internacional de Poids et Mesures(BIPM), a International ElectrotechnicalComission (IEC), International Federation of Clicial Chemistry (IFCC), ISO, InternationalUnion of Pure and Applied Chemistry (IUPAC),Internationl Union of Pure and Appplied Physics(IUPAP) e International Organization of LegalMetrology (OIML). O VIM deve ser a primeirafonte consultada para as definições dos termosnão incluídos aqui ou no texto.

Nota: Alguns termos e conceitos estatísticos

básicos são dados no Anexo C, enquanto ostermos valor verdadeiro, erro e incerteza sãodiscutidos também no Anexo D.

B.2. Definições

Como na cláusula 2, nas definições seguintes,o uso de parênteses em torno de certaspalavras de alguns termos significa que aspalavras podem ser omitidas se isto não causar confusão.

Os termos em negrito em alguns notas sãotermos metrológicos adicionais definidosnestas notas, explicita ou implicitamente (ver referência [6]).

B.2.1. quantidade (mensurável) [VIM 1.1]

atributo de um fenômeno, corpo ou substânciaque pode ser distinguido qualitativamente edeterminado quantitativamente.

Notas

1. O termo quantidade pode se referir a umaquantidade no sentido geral [ver exemplos a)]ou a uma quantidade particular [ver exemplosb)].

Exemplos

a) quantidade no sentido geral:comprimento, tempo, massa, temperatura,resistência elétrica, concentração equantidade de substância;

b) quantidades particulares:

- comprimento de uma dada barra

- resistência elétrica de um dado fio decobre

- concentração de etanol em uma dadaamostra de vinho.

2. Quantidades que podem ser colocadas emordem de valor relativo a uma outra sãochamadas de quantidades de mesmaespécie.

3. Quantidades da mesma espécie podem ser agrupadas juntos em categorias dequantidades, por exemplo:

- trabalho, calor, energia

- espessura, circunferência, raio de círculo

e comprimento de onda,.Os símbolos para as quantidades são dadosem ISO 31.

B.2.2. valor (de uma quantidade) [VIM 1.18]

magnitude de uma quantidade particular geralmente expresso como uma unidade demedição multiplicada por um número.

Exemplos

a) comprimento de uma barra: 5,34 m ou 534cm;

b) massa de um corpo: 0,152 kg ou 152 g;

c) quantidade substância de uma amostra deágua (H2O): 0,012 mol ou 12 mmol.

Notas

1. O valor de uma quantidade pode ser positivo, negativo ou zero.

2. O valor de uma quantidade pode ser expresso em mais de um modo.

3. Os valores das quantidades de dimensão 1são expressos como números puros.

4. uma quantidade que não pode ser expressa como uma unidade de mediçãomultiplicada por um número pode ser expressa por referência a uma escala de




35

referência convencional ou por umprocedimento de medição ou por ambos.

B.2.3. valor verdadeiro (de uma quantidade)[VIM 1.19]

valor consistente com a definição de uma dada

quantidade particular.Notas

1. Este é um valor que seria obtida por umamedição perfeita

2. Valores verdadeiros são, por natureza,indeterminados

3. O artigo indefinido um, em vez do artigodefinido o, é usado em conjunto com valor verdadeiro, porque pode haver vários valoresconsistentes com a definição de uma dadaquantidade particular.

Comentário do Guide: Ver Anexo D, emparticular D.3.5, para as razões por que otermo valor verdadeiro não é usado nesteGuide e porque os termos valor verdadeiro deum mensurando (ou de uma quantidade) evalor de um mensurando (ou de umaquantidade) são vistos como equivalentes.

B.2.4. valor verdadeiro convencional (deuma quantidade) [VIM 1.20]

valor atribuído a uma quantidade particular eaceito, algumas vezes por convenção, comotendo uma incerteza apropriada para um dado

objetivo.Exemplos

a) em um dado local, o valor atribuído àquantidade realizada por um padrão dereferência pode ser tomada como um valor verdadeiro convencional;

b) o valor recomendado pelo CODATA (1986)para a constante de Avogrado:6,022 136 7 x 1023 mol-1.

Notas

a. Valor verdadeiro convencional égeralmente chamado de valor atribuído,

melhor estimativa do valor, valor convencionalou valor de referência. Valor de referência,neste sentido, não deve ser confundido com ovalor de referência no sentido usado na notapara [VIM 5.7].

2. Freqüentemente, um número de resultadosde medições de uma quantidade é usadopara estabelecer um valor verdadeiroconvencional.

Comentário do Guide: Ver o comentário doGuide para B.2.3.

B.2.5. medição [VIM 2.1]

conjunto de operações tendo o objetivo dedeterminar um valor de uma quantidade.

Nota

As operações podem ser feitasautomaticamente.

B.2.6. princípio de medição [VIM 2.3]

base científica de uma medição.

Exemplos

a) efeito termelétrico aplicado à medição detemperatura;

b) efeito Josephson aplicado à medição dediferença de potencial elétrico;

c) efeito Doppler aplicado à medição develocidade ou de vazão;

d) efeito Raman aplicado à medição donúmero de onda de vibrações moleculares.

B.2.7. método de medição [VIM 2.4]

seqüência lógica de operações, descritagenericamente, usada para fazer medições

Nota - Métodos de medição podem ser qualificados em vários modos, tais como:

- método de substituição

- método diferencial

- método de nulo

B.2.8. procedimento de medição [VIM 2.5]

conjunto de operações, descritoespecificamente, usado para fazer medições

particulares de acordo com um dado métodoNota - Um procedimento de medição éusualmente registrado no documento que égeralmente chamado de procedimento demedição (ou um método de medição) e éusualmente em detalhe suficiente parapossibilitar um operador fazer uma mediçãosem informação adicional.

B.2.9. mensurando [VIM 2.6]

quantidade particular sujeita à medição

Exemplo - pressão de vapor de uma dadaamostra de água a 20 oC.

Nota - A especificação de um mensurandopode requerer declaração acerca dequantidades como tempo, temperatura epressão.




36

B.2.10. quantidade de influência [VIM 2.7]

quantidade que não é o mensurando mas queafeta o resultado da medição

Exemplos

a) temperatura de um micrômetro usado paramedir comprimento

b) freqüência na medição da amplitude deuma diferença de potencial elétrica alternada.

c) concentração de bilirubin na medição deconcentração de hemoglobina em umaamostra de plasma sangüíneo do homem.

Comentário do Guide: A definição dequantidade de influência é entendida paraincluir valores associados com padrões demedição, materiais de referência e dados dereferência nos quais o resultado de uma

medição pode depender, bem como osfenômenos tais como flutuações rápidas doinstrumento de medição e quantidades taiscomo temperatura ambiente, pressãobarométrica e umidade.

B.2.11. resultado de uma medição [VIM 3.1.]

valor atribuído a um mensurando, obtido por medição

Notas

1. Quando um resultado é dado, deve ficar claro seele se refere a

- a indicação- o resultado não corrigido

- o resultado corrigido

e se fez a média de vários valores

2. Uma apresentação completa do resultado de umamedição inclui informação acerca da incerteza damedição.

B.2.13. resultado corrigido [VIM 3.4]

resultado de uma medição depois da correçãodo erro sistemático

B.2.14. exatidão da medição [VIM 3.5]proximidade de consenso entre o resultado deuma medição e um valor verdadeiro domensurando

Notas

1. Exatidão é um conceito qualitativo

2. O termo precisão não deve ser usado paraexatidão.

Comentário do Guide: Ver o comentário doGuide para B.2.3.

B.2.15. repetibilidade (de resultados damedição) [VIM 3.6]

proximidade de consenso entre os resultadosde medições sucessivas do mesmomensurando feitas sob as mesmas condiçõesde medição

Notas

1. Estas condições são chamadas decondições de repetibilidade

2. As condições de repetibilidade incluem

- o mesmo procedimento de medição

- o mesmo observador

- o mesmo instrumento de medição, usadosob as mesmas condições

- o mesmo local

- repetições em um curto período de tempo

3. A repetibilidade pode ser expressaquantitativamente em termos da dispersãocaracterística dos resultados.

B.2.16. reprodutibilidade (dos resultadosdas medições) [VIM 3.7]

proximidade de consenso entre os resultadosde medições sucessivas do mesmomensurando feitas sob condições diferentes demedição

Notas

1. Uma expressão válida da reprodutibilidaderequer a especificação das condiçõesvariadas.

2. As condições variadas podem incluir:

- princípio de medição

- método de medição

- observador

- instrumento de medição

- padrão de referencia

- local

- condições de uso

- tempo

3. A reprodutibilidade pode ser expressaquantitativamente em termos da dispersãocaracterística dos resultados.

4. Os resultados são aqui entendidos comoos resultados corrigidos.




37

B.2.17 desvio padrão experimental [VIM 3.8]

para uma série de n medições do mesmomensurando, a quantidade s(qk)caracterizando a dispersão dos resultados edado pela fórmula:

s q

q q

nk

k

k

n

( )

( )

=−

−=

∑ 2

1

1

qk sendo o resultado da ka medição e q sendo

a média aritmética dos n resultadosconsiderados

Notas

1. Considerando a série de n valores como

uma amostra de uma distribuição, q é uma

estimativa não polarizada da média µq e s2(qk)é uma estimativa não polarizada da variânciaσ2, desta distribuição.

2. A expressão s q nk( ) / é uma estimativa

do desvio padrão da distribuição de q e

chamado de desvio padrão experimental damédia.

3. O desvio padrão experimental da média é,às vezes, chamado incorretamente de erro padrão da média.

Comentário do Guide: Alguns dos símbolosusados no VIM tem sido trocados para ter consistência com a notação usada em 4.2deste Guide.

B.2.18. incerteza (da medição) [VIM 3.9]

parâmetro, associado com o resultado de umamedição, que caracteriza a dispersão dosvalores que poderiam razoavelmente ser atribuído ao mensurando

Notas

1. o parâmetro pode ser, por exemplo, umdesvio padrão (ou um dado múltiplo dele) oua meia largura de um intervalo tendo umdeterminado nível de confiança.

2. incerteza da medição compreende, emgeral, muitos componentes. Alguns destescomponentes podem ser avaliados dadistribuição estatística dos resultados deséries de medições e podem ser caracterizados por desvios padrãoexperimentais. Os outros componentes, quepodem também ser caracterizados por desvios padrão, são avaliados dedistribuições de probabilidade assumidasbaseadas na experiência ou outrainformação.

3. É entendido que o resultado da medição éa melhor estimativa do valor do mensurandoe que todos os componentes da incerteza,incluindo os que aparecem de efeitossistemáticos, tais como os componentesassociados com correlações e padrões dereferência, contribuem para a dispersão.

Comentário do Guide: É mostrado no VIM queesta definição e as notas são idênticas àsdeste Guide (ver 2.2.3).

B.2.19. erro (da medição) [VIM 3.10]

resultado de uma medição menos um valor verdadeiro do mensurando

Notas

1. Como um valor verdadeiro não pode ser determinado, na prática é usado um valor verdadeiro convencional 9ver [VIM] 1.19[b.2.3] e 1.20 [B.2.4]).

2. Quando for necessário distinguir erro deerro relativo, o erro é geralmente chamado deerro absoluto da medição, que não deve ser confundido com o valor absoluto do erro, queé o módulo do erro.

Comentário do Guide: Se o resultado de umamedição depende dos valores de outrasquantidades diferentes do mensurando, oserros dos valores medidos destas quantidadescontribuem para o erro do resultado damedição. Também ver o Comentário do Guidepara B.2.22 e para B.2.3.

B.2.20. erro relativo [VIM 3.12]

erro da medição dividido por um valor verdadeiro do mensurando

Nota - Desde que um valor verdadeiro nãopode ser determinado, na prática é usado umerro verdadeiro convencional (ver [VIM] 1.19[B.2.2] e 1.20 [B.2.4]).

Comentário do Guide: Ver o Comentário doGuide para B.2.3.




38

B.2.21. erro aleatório [VIM 3.13]

resultado de uma medição menos a média queresultaria de um número infinito de mediçõesdo mesmo mensurando feitas sob as condiçõesde repetibilidade

Notas

1. Erro aleatório é igual ao erro menos o errosistemático

2. Como pode ser feito somente um númerofinito de medições, é possível determinar somente uma estimativa do erro aleatório.

Comentário do Guide: Ver o Comentário doGuide para B.2.22.

B.2.22. erro sistemático [VIM 3.14]

média que resultaria de um número infinito demedições do mesmo mensurando feitas sob ascondições de repetibilidade menos um valor verdadeiro do mensurando

Notas

1. Erro sistemático é igual ao erro menos oerro aleatório

2. Como o valor verdadeiro, o errosistemático e suas causas não podem ser completamente conhecidos.

3. Para um instrumento de medição, ver polarização (bias) ([VIM] 5.25).

Comentário do Guide: O erro do resultado de

uma medição (ver B.2.19) pode geralmente ser considerado como resultante de um número deefeitos aleatórios e sistemáticos quecontribuem com componentes individuais doerro para o erro do resultado. Ver tambémComentário do Guide para B.2.19 e para B.2.3.

B.2.23. correção [VIM 3.15]

valor somado algebricamente para o resultadonão corrigido de uma medição para compensar o erro sistemático

Notas

1. A correção é igual ao negativo do errosistemático estimado.

2. Como o erro sistemático não pode ser perfeitamente conhecido, a compensação nãopode ser completa.

B.2.24. fator de correção [VIM 3.16]

fator numérico pelo qual o resultado nãocorrigido de uma medição é multiplicado paracompensar o erro sistemático

Nota - 2. Como o erro sistemático não pode

ser perfeitamente conhecido, a compensaçãonão pode ser completa.



Expressão da Incerteza: 1993 (E) Anexo C: Termos e conceitos estatísticos básicos

39

Anexo C

Termos e conceitos estatísticos básicos

C.1. Fonte de definições

As definições dos termos básicos estatísticosdados neste Anexo foram tiradas da ISO 3534-1 [7]. Esta norma deve ser a primeira fonteconsultada para as definições de termos nãoincluídos aqui. Alguns destes termos e seusconceitos são elaborados em C.3, seguindo aapresentação de suas definições formais em

C.2 de modo a facilitar o uso adicional desteGuide. Porém, C.3, que também inclui asdefinições de alguns termos relacionados, nãoé baseado diretamente na ISO 3534-1.

C.2. Definições

Como na cláusula 2 e Anexo B, o uso deparênteses em torno de certas palavras dealguns termos significa que as palavras podemser omitidas se isto não causar confusão.

Os termos C.2.1 a C.2.14 são definidos em

termos das propriedades de populações. Asdefinições dos termos C.2.15 a C.2.31 estãorelacionadas com um conjunto de observações(amostras) (ver referência [7]).

C.2.1. probabilidade [ISO 3534-1, 1.1]

Um número real na escala 0 a 1 atribuído a umevento aleatório.

Nota - A probabilidade pode se referir a umafreqüência relativa de ocorrência em longoperíodo de tempo ou a um grau de confiançaque um evento possa ocorrer. Para um altograu de confiança, a probabilidade é próxima

de 1.C.2.2. variável aleatória [ISO 3534-1, 1.2]

Uma variável que pode tomar qualquer valor deum específico conjunto de valores e com a qualé associada uma distribuição deprobabilidade ([ISO 3534-1] 1.3 [C.2.3]).

Notas:

1. Uma variável aleatória que pode tomar somente valores isolados é chamada dediscreta. Uma variável aleatória que podetomar qualquer valor dentro de um intervalofinito ou infinito é chamada de contínua.

2. A probabilidade de um evento A édenotada por Pr(A) ou P(A).

Comentário do Guide: O símbolo Pr(A) é usadoneste Guide em lugar do símbolo Pr (A) usadona ISO 3534-1.

C.2.3. distribuição de probabilidade (de umavariável aleatória [ISO 3534-1, 1.3]

Uma função dando a probabilidade que umavariável aleatória tome qualquer valor dado oupertença a um dado conjunto de valores.

Nota - A probabilidade de um conjunto inteirode valores da variável aleatória é igual a 1.

C.2.4. função distribuição [ISO 3534-1, 1.4]

Uma função dando, para cada valor x, aprobabilidade que a variável aleatória X sejamenor ou igual a x:

F(x) = Pr(X ≤ x)

C.2.5. função densidade de probabilidade(para uma variável aleatória contínua) [ISO3534-1, 1.5]

A derivada (quando ela existir) da função

distribuição:f(x) = dF(x)/dx

Nota - f(x)dx é o elemento probabilidade:

f(x)dx = Pr(x < X < x +dx)

C.2.6. função massa da probabilidade [ISO3534-1, 1.6]

Uma função dando, para cada valor x i de umavariável aleatória discreta, a probabilidade pi

que a variável aleatória X seja igual a xi:

pi = Pr(X = xi)

C.2.7. parâmetro [ISO 3534-1, 1.12]

Uma quantidade usada para descrever adistribuição de probabilidade de uma variávelaleatória.




40

C.2.8. parâmetro [ISO 3534-1, 1.13]

A relação entre duas ou várias variáveisaleatórias dentro de uma distribuição de duasou mais variáveis aleatórias.

Nota - Muitas medidas estatísticas de

correlação medem somente o grau de relaçãolinear.

C.2.9. expectativa (de uma variável aleatóriaou de uma distribuição de probabilidade;valor esperado; média [ISO 3534-1, 1.18]

1. Para uma variável aleatória discreta Xtomando os valores xi dentro dasprobabilidades pi, a expectativa, se existir, é:

µ = = ∑E X p xi i( )

a soma sendo estendida sobre todos os

valores de xi, que pode ser tomado por X.2. Para uma variável aleatória contínua X tendoa função densidade de probabilidade f(x), aexpectativa, se existir, é

µ = = ∫ E X xf x dx( ) ( )

a integral sendo estendida sobre todo ointervalo de variação de X.

C.2.10. variável aleatória centrada [ISO 3534-1, 1.21]

Uma variável aleatória cuja expectativa é iguala zero.

Nota - Se a variável aleatória X tem umaexpectativa igual a µ, a variável aleatóriacentrada correspondente é (X - µ).

C.2.11. variância (de uma variável aleatóriaou de uma distribuição de probabilidade[ISO 3534-1, 1.22]

A expressão do quadrado da variável aleatóriacentrada (ISO 3534-1, 1.21 [C.2.10]):

σ 2 2= = −V X E X E X( ) [ ( )]

C.2.12. desvio padrão (de uma variávelaleatória ou de uma distribuição deprobabilidade [ISO 3534-1, 1.23]

A raiz quadrada positiva da variância:

σ = V X( )

C.2.13. momento central de ordem q [ISO3534-1, 1.28]

Em uma distribuição com uma variável, aexpectativa da qa potência da variável aleatóriacentrada (X - µ):

E[(X - µ)q]

Nota - O momento central de ordem 1 é avariância da variável aleatória X.

C.2.14. distribuição normal; distribuição deLaplace-Gauss [ISO 3534-1, 1.37]

A distribuição de probabilidade de uma variávelaleatória continua X, a função de densidade deprobabilidade de que é

f x e

x

( ) =−

−

12

1

2

2

σ π

µ

σ

para -∞ < x < +∞

Nota - µ é a expectativa e σ é o desviopadrão da distribuição normal.

C.2.15. característica [ISO 3534-1, 2.2]

Uma propriedade que ajuda a identificar oudiferenciar entre itens de uma dada população.

Nota - A característica pode ser quantitativa(para variáveis) ou qualitativa (para atributos)

C.2.16. população [ISO 3534-1, 2.3]

A totalidade de itens sob consideração.

Nota - No caso de uma variável aleatória, adistribuição de probabilidade ([ISO 3534-1],1.3 [C.2.3]) é considerada para definir apopulação desta variável.

C.2.17. freqüência [ISO 3534-1, 2.11]

O número de ocorrências de um dado tipo deevento ou o número de observações caindo emuma classe específica.

C.2.18. distribuição de freqüência [ISO 3534-1, 2.15]

A relação empírica entre os valores de umacaracterística e suas freqüências ou suasfreqüências relativas.

Nota - A distribuição pode ser graficamenteapresentada como um histograma ([ISO3534-1], 2.17), gráfico de barra ([ISO 3534-1],2.18), polígono de freqüência cumulativa([ISO 3534-1], 2.19), ou como uma tabela deduas vias ([ISO 3534-1], 2.22),

C.2.19. média aritmética [ISO 3534-1, 2.26]

A soma dos valores dividida pelo número devalores.




41

Notas

1. O termo média pode se referir a umparâmetro da população ou ao resultado deum cálculo dos dados obtidos em umaamostra.

2. A média de uma única amostra aleatóriatomada de uma população é um estimador não polarizado da média de sua população.Porém, outros estimadores, tais como médiageométrica, média harmônica, mediana oumoda, podem também ser usados.

C.2.20. variância [ISO 3534-1, 2.33]

Uma medida da dispersão, que é a soma dosquadrados dos desvios de observações de suamédia dividida por um menos o número deobservações.

Exemplo - Para n observações x1, x2,..., xn

com média

xn

x i

i

n

==∑

1

1

a variância é

sn

x xi

i

n2 2

1

1

1=

−−

=∑( )

Notas

1. A variância da amostra é um estimador nãopolarizado da variância da população.

2. A variância é n/(n - 1) vezes o momentocentral de ordem 2 (ver nota para [ISO 3534-1] 2.39).

Comentário do Guide: A variância definida aquié mais apropriadamente chamada deestimativa da amostra da variância da população. A variância de uma amostra éusualmente definida para ser o momentocentro de ordem 2 da amostra (ver C.2.13 eC.2.22).

C.2.21. desvio padrão [ISO 3534-1, 2.34]

A raiz quadrada positiva da variância.

Nota - O desvio padrão da amostra é umestimador não polarizado do desvio padrãoda população.

C.2.22. momento central de ordem 1 [ISO3534-1, 2.37]

Em uma distribuição de uma únicacaracterística, a média aritmética da qapotência da diferença entre os valores

observados e sua média x é:

1

1nx xi

q

i

n

( )−=∑

Nota - O momento central de ordem 1 é iguala zero.

C.2.23. estatística [ISO 3534-1, 2.45]

Uma função das variáveis aleatórias daamostra.

Nota - Uma estatística, como uma função devariáveis aleatórias, é também uma variável

aleatória e como tal, assume diferentesvalores de amostra para amostra. O valor daestatística obtida usando os valoresobservados nesta função pode ser usado emum teste estatístico ou com uma estimativade um parâmetro da população, tal como umamédia ou um desvio padrão.

C.2.24. estimativa [ISO 3534-1, 2.49]

A operação de atribuir, de observações emuma amostra, valores numéricos para osparâmetros de uma distribuição escolhidacomo o modelo estatístico da população da

qual a amostra é retirada.Nota - Um resultado desta operação pode ser expresso como um valor único (pontoestimado; ver [ISO 3534-1] 2.51 [C.2.26]) oucomo um intervalo estimado ver [ISO 3534-1]2.57 [C.2.27] e 2.58 [C.2.28]).

C.2.25. estimador [ISO 3534-1, 2.50]

Uma estatística usada para estimar umparâmetro da população.

C.2.26. estimado [ISO 3534-1, 2.51]

O valor de um estimador obtido como um

resultado de uma estimativa.

C.2.27. intervalo de confiança com doislados [ISO 3534-1, 2.57]

Quando T1 e T2 são duas funções dos valoresobservados tais que, θ sendo um parâmetro dapopulação a ser estimado, a probabilidadePr(T1 ≤ T ≤ T2) é, no mínimo, igual a (1 - α)[onde (1 - α) é um número fixo, positivo emenor que 1], o intervalo entre T1 e T2 é umintervalo de confiança (1 - α) de dois lados paraθ




42

Notas

1. Os limites T1 e T2 do intervalo de confiançasão estatísticos ([ISO 3534-1] 2.45 [C.2.23]) ecomo tal, geralmente assumem valoresdiferentes de amostra para amostra.

2. Em uma longa série de amostras, afreqüência relativa de casos onde o valor verdadeiro do parâmetro da população θ écoberto pelo intervalo de confiança é maior ouigual a (1 - α).

C.2.28. intervalo de confiança com um lado[ISO 3534-1, 2.57]

Quando T é uma função dos valoresobservados tais que, θ sendo um parâmetro dapopulação a ser estimado, a probabilidade Pr(T≥ θ) [ou a probabilidade Pr (T ≤ θ)] é, nomínimo, igual a (1 - α) [onde (1 - α) é um

número fixo, positivo e menor que 1], ointervalo entre o menor valor possível de θ atéT (ou o intervalo de T até o maior valor possívelde θ) é um intervalo de confiança (1 - α) de umlado para θ

Notas

1. O limites T do intervalo de confiança é umaestatística ([ISO 3534-1] 2.45 [C.2.23]) ecomo tal, geralmente assume valoresdiferentes de amostra para amostra.

2. Ver nota 2 de [ISO 3534-1] 2.57 [C.2.27].

C.2.29. coeficiente de confiança, nível deconfiança [ISO 3534-1, 2.59]

O valor (1 - α) da probabilidade associada comum intervalo de confiança ou um intervalo decobertura estatístico. (Ver [ISO 3534-1] 2.57[C.2.27], 2.58 [C.2.28]) e 2.61 [C.2.30].)

Nota - (1 - α) é geralmente expresso empercentagem

C.2.30. intervalo estatístico de cobertura[ISO 3534-1, 2.61]

Um intervalo para o qual se pode estabelecer,

com um dado nível de confiança, que elecontem no mínimo uma proporção especificadada população.

Notas

1. Quando dois limites são definidos por estatística, o intervalo tem dois lados.Quando um dos dois limites não é finito ouconsiste do limite da variável, o intervalo é deum lado.

2. Também chamado de intervalo detolerância estatística. Este termo não deveser usado porque ele pode causar confusãocom intervalo de tolerância que é definido naISO 3534-2.

C.2.31. graus de liberdade [ISO 3534-1, 2.85]

Em geral, o número de termos em uma somamenos o número de limitações nos termos dasoma.

C.3. Elaboração dos termos econceitos

C.3.1. Expectativa

A expectativa de uma função g(z) sobre umafunção densidade de probabilidade p(z) de umavariável aleatória z é definida por:

E g z g z p z dz[ ( )] ( ) ( )= ∫

onde, da definição de p(z), p z dz( ) =∫ 1 . A

expectativa da variável aleatória z, denotadapor µz e que é também chamada de valor esperado ou a média de z, é dada por

µ z E z zp z dz= = ∫ ( ) ( )

É estimado estatisticamente por z , a médiaaritmética de n observações independes de zda variável aleatória z, a função densidade deprobabilidade da qual é p(z):

zn

z i

i

n

==∑

1

1

C.3.2. Variância

A variância de uma variável aleatória é aexpectativa de seu desvio quadrático emrelação a sua expectativa. Assim, a variânciada variável aleatória z com função densidadede probabilidade p(z) é dada por

σ µ2 2( ) ( ) ( )z z p z dzz= −∫ onde µz é a expectativa de z. A variância σ2(z)pode ser estimada por

s zn

z zi i

i

n2 2

1

11

( ) ( )=−

−=∑

onde

zn

z i

i

n

==∑

1

1

e zi são n observações independentes de z.

Notas

1. O fator (n -1) na expressão de s2(zi) vem

da correlação entre zie

ze reflete o fato que

há somente (n - 1) itens independentes no

conjunto zi - z )




43

2. Se a expectativa µz de z é conhecida, avariância pode ser estimada por:

s zn

zi ii

n2 2

1

1( ) ( )= −

=∑ µ

A variância da média aritmética dasobservações, no lugar da variância dasobservações individuais, é a medida apropriadada incerteza de um resultado da medição. Avariância de uma variável z deve ser cuidadosamente distinguida da variância da

média z . A variância da média aritmética deuma série de n observações independentes zi

de z é dada por

σσ2

2

( )( )

zz

n

i=

e é estimada pela variância experimental damédia

s zs z

n n nz zi

i

i

n2

22

1

1

1( )

( )

( )( )= =

−−

=∑

C.3.3. Desvio padrão

O desvio padrão é a raiz quadrada positiva davariância. Uma vez que uma incerteza padrãodo Tipo A é obtida tomando a raiz quadrada davariância estatisticamente calculada, égeralmente mais conveniente quandodeterminando uma incerteza padrão do Tipo Bpara avaliar um desvio padrão não estatísticoequivalente primeiro e depois obter a variânciaequivalente elevando ao quadrado o desviopadrão.

C.3.4. CovariânciaA covariância de duas variáveis aleatórias éuma medida de sua dependência mútua. Acovariância de variáveis aleatórias y e z édefinida por:

cov(y,z) = cov (z,y) = E[y-E(y)][z - E(z)]

que leva a

cov(y,z) = cov (z,y)

= − −∫ ∫ ( )( ) ( , )y z p y z dydzy zµ µ

= −∫ ∫ yzp y z dydz y z( , ) µ µ

onde p(y,z) é a função densidade deprobabilidade conjunta de duas variáveis y e z.A covariância cov(y,z)] também denotada por ν(y,z)] pode ser estimada por x(y i,zi) obtido de npares independentes de observações

simultâneas yi e zi de y e z,

s y zn

y y z zi i i i

i

n

( , ) ( )( )=−

− −=∑

1

1 1

onde

e z n zii

n

= =∑

1

1

Nota - A covariância estimada de duasmédias

y e z é dada por s( y , z ) = s(yi,zi)/n

C.3.5. Matriz de covariância

Para uma distribuição de probabilidademultivariável, a matriz V com elementos iguaisàs variâncias e covariâncias das variáveis é

chamada de matriz covariância. Os elementosdiagonais, ν(z,z) = σ2(z) ou s(zi,zi) = s2(zi), sãoas variâncias e os elementos fora da diagonal,ν(y,z) ou s(yi,zi) são as covariâncias.

C.3.6. Coeficiente de correlação

O coeficiente de correlação é uma medida dadependência mútua relativa de duas variáveis,igual à relação de suas covariâncias para a raizquadrada positiva do produto de suasvariâncias. Assim,

ρ ρ νν ν

νσ σ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )( , )

( ) ( )y z z y y z

y y z zy z

y z= = =

com estimativas

r y z r z ys y z

s y y s z z

s y z

s y s zi i i i

i i

i i i i

i i

i i

( , ) ( , )( , )

( , ) ( , )

( , )

( ) ( )= = =

O coeficiente de correlação é um número purotal que -1 ≤ ρ ≤ +1 ou -1 ≤ r(yi,zi) ≤ +1.

Notas

1. Como r e r são números puros na faixa de -

1 a +1 inclusive, enquanto as covariânciassão usualmente quantidades com dimensõesfísicas e tamanhos inconvenientes, oscoeficientes de correlação são geralmentemais úteis que as covariâncias.

2. Para distribuições de probabilidademultivariáveis, a matriz de coeficientes decorrelação é usualmente dada no lugar damatriz de covariância. Desde que ρ(y,y) = 1 er(yi,yi) = 1, os elementos da diagonal destamatriz são 1.

3. Se as estimativas de entrada x i sãocorrelatas (ver 5.2.2) e se uma variação δi em

xi produz uma variação δ j em x j, então ocoeficiente de correlação associado com xi ex j é estimado aproximadamente por




44

r x xu x

u xi j

i j

j i

( , )( )

( )=

δ

δ

Esta relação pode servir como base paraestimar experimentalmente os coeficientes decorrelação. Ela também pode ser usada para

calcular a variação aproximada em umaestimativa de entrada devido à variação emoutra se o coeficiente de correlação for conhecido.

C.3.7. Independência

Duas variáveis aleatórias são estatisticamenteindependentes se sua distribuição deprobabilidade conjunta é o produto de suasdistribuições de probabilidades individuais.

Nota - Se duas variáveis aleatórias são

independentes, sua covariância e coeficientede correlação são zeros, mas o inverso nemsempre é verdade.

C.3.8. A distribuição t; distribuiçãodo Student

A distribuição t ou distribuição de Student é adistribuição de probabilidade de uma variávelaleatória continua t cuja função densidade deprobabilidade é

p tt

( , )νπν

ν

ν ν

ν

=

+

+

−

+

1

1

2

2

12

1

2Γ

Γ

onde Γ é a função gama e ν > 0. A expectativada distribuição t é zero e sua variância é ν/(n -2) para ν > 2. Quando n → ∞, a distribuição t seaproxima da distribuição normal com µ = 0 eσ = 1 (ver C.2.14).

A distribuição probabilidade da variável

( ) / ( )z s zz− µ é a distribuição t se a variávelaleatória z é normalmente distribuída com

expectativa µz, onde z é a média aritmética den observações independentes zi de z, s(zi) é odesvio padrão experimental de n observações

e s z s z ni( ) ( ) /= é o desvio padrão

experimental da média z com n = ν - 1 grausde liberdade.



Expressão da Incerteza: 1993 (E) Anexo D: Valor verdadeiro, erro e incerteza

45

Anexo D

Valor verdadeiro, erro e incerteza

O termo valor verdadeiro (B.2.3) temtradicionalmente sido usado em publicaçõessobre incerteza mas não neste Guide pelasrazões apresentadas neste Anexo. Por causados termos mensurando, erro e incertezaserem freqüentemente mal entendidos, esteAnexo também fornece uma discussãoadicional das idéias relacionadas com elespara suplementar a discussão dada na cláusula3. Duas figuras são apresentadas para ilustrar por que o conceito de incerteza adotada nesteGuide é baseado no resultado da medição esua incerteza avaliada em vez de se basear emquantidades desconhecidas de valor verdadeiro e erro.

D.1. O mensurando

D.1.1. O primeiro passo quando se faz umamedição é especificar o mensurando - aquantidade a ser medida; o mensurando nãopode ser especificado por um valor massomente por uma descrição de umaquantidade. Porém, em princípio, ummensurando não pode ser completamentedescrito sem uma quantidade infinita deinformação. Assim, para a extensão que ledeixa espaço para interpretação, a definição

incompleta do mensurando introduz naincerteza do resultado de uma medição umacomponente de incerteza que pode ou nãopode ser significativa com relação à exatidãorequerida da medição.

D.1.2. Comumente, a definição de ummensurando especifica certos estados econdições físicos.

Exemplo - A velocidade do som no ar seco decomposição (fração molar): N2 = 0,7808,O2 = 0,1095, Ar = 0,009 35 e CO2 = 0,000 35à temperatura T = 273,15 K e pressão

p = 101 325 Pa.

D.2. Quantidade realizada

D.2.1. Idealmente, a quantidade realizada para

medição deve ser totalmente consistente com adefinição do mensurando. Muitas vezes,porém, tal quantidade não pode ser realizada ea medição é feita sobre uma quantidade que éuma aproximação do mensurando.

D.3. O valor verdadeiro e o valor corrigido

D.3.1. O resultado de uma medição daquantidade realizada é corrigido para adiferença entre esta quantidade e omensurando de modo a prever o que oresultado da medição teria sido se aquantidade realizada, de fato, satisfizessetotalmente a definição do mensurando. Oresultado da medição da quantidade realizadaé também corrigido para todos os outros efeitossistemáticos significativos reconhecidos.Embora o resultado final corrigido final sejageralmente visto como a melhor estimativa dovalor verdadeiro do mensurando, na realidadeo resultado é simplesmente a melhor estimativado valor da quantidade que se quer medir.

D.3.2. Como exemplo, suponha que o

mensurando é a espessura de uma dada folhade material em uma especificada temperatura.A peça é trazida para a temperatura próximada temperatura especificada e sua espessura,em um determinado local, é medida com ummicrômetro. A espessura do material nestelocal e temperatura, sob a pressão aplicadapelo micrômetro, é a quantidade realizada.

D.3.3. A temperatura do material na hora damedição e a pressão aplicada sãodeterminadas. O resultado não corrigido damedição da quantidade realizada é então

corrigido levando em conta a curva decalibração do micrômetro, o afastamento datemperatura do equipamento da temperatura




46

especificada e a leve compressão da peça soba pressão aplicada.

D.3.4. O resultado corrigido pode ser chamadoa melhor estimativa do valor verdadeiro,verdadeiro no sentido que é o valor daquantidade que se acredita satisfazer totalmente a definição do mensurando mas temo micrômetro sido aplicado para uma partediferente da folha de material, a quantidaderealizada teria sido diferente com um diferentevalor verdadeiro. Porém, este valor verdadeiroseria consistente com a definição domensurando porque o último não especificouque a espessura era para ser determinadaneste determinado ponto da folha. Assim, nestecaso, por causa de uma definição incompletado mensurando, o valor verdadeiro tem umaincerteza que pode ser avaliada das medidas

feitas em diferentes pontos da folha. Em algumnível, cada mensurando tem uma incertezaintrínseca que pode, em princípio, ser estimadade algum modo. Esta é a mínima incerteza comque um mensurando pode ser determinado ecada medição tem tiver esta incerteza pode ser vista como a melhor medição possível domensurando. Para obter um valor daquantidade em questão tendo uma menor incerteza requer que o mensurando sejadefinido com mais detalhes.

Notas

1. No exemplo, a especificação domensurando deixa muitos outras informaçõesem dúvida que poderiam afetar a espessura:pressão barométrica, umidade, atitude dafolha no campo gravitacional, o modo comoela é suportada.

2. Embora um mensurando seja definido emdetalhe suficiente, de modo que qualquer incerteza resultante de sua definiçãoincompleta seja desprezível em comparaçãocom a exatidão requerida da medição, deveser reconhecido que isto pode nem sempreser praticável. A definição pode, por exemplo,ser incompleta porque ela não especifica

parâmetros que deveriam ser assumidos,injustificadamente, tendo efeito desprezível;ou ela pode implicar condições que nuncasão totalmente satisfeitas e cuja realizaçãoimperfeita é difícil de considerar. Por exemplo, no exemplo de D.1.2, a velocidadedo som implica ondas planas infinitas compequena amplitude. Para o objetivo que amedição não satisfaz estas condições, adifração e os efeitos não lineares devem ser considerados.

3. Especificação inadequada do mensurandopode levar a discrepâncias dos resultadosdas medições da ostensivamente mesma

quantidade feitas em diferentes laboratórios.

D.3.5. O termo valor verdadeiro de ummensurando ou de uma quantidade (muitasvezes truncado para valor verdadeiro) é evitadoneste Guide porque a palavra verdadeiro évista como redundante. Mensurando (ver B.2.9)significa quantidade particular sujeita à

medição, assim valor de um mensurandosignifica valor de uma quantidade particular sujeita à medição. Desde que quantidadeparticular é geralmente entendida parasignificar uma quantidade definida ouespecificada (ver B.2.1, nota 1), o adjetivoverdadeiro em valor verdadeiro de ummensurando (ou em valor verdade de umaquantidade) é desnecessário - o valor verdadeiro do mensurando (ou quantidade) ésimplesmente o valor do mensurando (ouquantidade). Além disso, como indicado nadiscussão acima, um único valor verdadeiro é

apenas um conceito idealizado.

D.4. Erro

Um resultado correto da medição não é o valor do mensurando - isto é, ele está em erro - por causa da medição imperfeita da quantidaderealizada devido a variações aleatórias dasobservações (efeitos aleatórios), determinaçãoinadequada das correções para os efeitossistemáticos e o conhecimento incompleto decertos fenômenos físicos (também efeitossistemáticos). Nem o valor da quantidaderealizada nem o valor do mensurando pode ser conhecido exatamente; tudo que pode ser conhecido são seus valores estimados. Noexemplo acima da medida da espessura dachapa pode estar em erro, isto é, pode diferir do valor do mensurando (a espessura dachapa), por causa de cada uma das seguintescontribuições para um erro desconhecido parao resultado da medição:

a) pequenas diferenças entre asindicações do micrômetro quando érepetidamente aplicada à mesma

quantidade realizada;b) calibração imperfeita do micrômetro;

c) medição imperfeita da temperatura eda pressão aplicadas;

d) conhecimento incompleto dos efeitosda temperatura, pressão barométricae umidade na peça ou no micrômetroou em ambos.

D.5. Incerteza

D.5.1. Uma vez que os valores exatos dascontribuições para o erro de um resultado de




47

uma medição são desconhecidos edesconhecíveis, as incertezas associadas comos efeitos aleatórios e sistemáticos queprovocam o erro podem ser avaliadas. Masmesmo se as incertezas avaliadas sãopequenas, ainda não há garantia que o erro no

resultado da medição é pequeno; para adeterminação de uma correção ou na avaliaçãodo conhecimento incompleto, um efeitosistemático pode sido omitido por que ele não éreconhecido. Assim, a incerteza de umresultado de uma medição não énecessariamente uma indicação daprobabilidade que o resultado da medição estápróximo do valor do mensurando; ele ésimplesmente uma estimativa da probabilidadede proximidade ao melhor valor que éconsistente com o conhecimento atualmentedisponível.

D.5.2. A incerteza da medição é assim umaexpressão do fato que, para um dadomensurando e um dado resultado da mediçãodele, não há um valor mas um número infinitode valores dispersos em torno do resultado quesão consistente com todas as observações edados e seu conhecimento do mundo físico eque, com graus variáveis de credibilidade,podem ser atribuídos ao mensurando.

D.5.3. Felizmente, em muitas mediçõespráticas, muito da discussão deste Anexo nãose aplica. Exemplos são quando o mensurando

é adequadamente bem definido, quandopadrões ou instrumentos são calibradosusando padrões de referência bem conhecidosque são rastreáveis a padrões nacionais; equando as incertezas das correções dacalibração aparecem de efeitos aleatórios nasindicações de instrumentos ou de um númerolimitado de observações (ver E.4.3.). Todavia,o conhecimento incompleto das quantidades deinfluência e seus efeitos podem geralmentecontribuir significativamente para a incerteza doresultado de uma medição.

D.6. Representação gráfica

D.6.a. A Fig. D.1. mostra algumas das idéiasdiscutidas na cláusula 3 deste Guide e nesteAnexo. Ela ilustra por que o foco deste Guide éa incerteza e não o erro. O erro exato de umresultado de uma medição é, em geral,desconhecido e desconhecível. Tudo que sepode fazer é estimar os valores dasquantidades de entrada, incluindo correçõespara os efeitos sistemáticos reconhecidos, junto com suas incertezas padrões (desvios

padrão estimados), ou de distribuições deprobabilidade desconhecidos que sãoamostradas por meio de observações repetidas

ou de distribuições subjetivas ou a priori baseadas em um pool de informaçãodisponível e então calcular o resultado damedição dos valores estimados dasquantidades de entrada e a incerteza padrãocombinada das incertezas padrão destes

valores estimados. Somente se há uma baseboa para acreditar que tudo isso possa ser feitocorretamente, com nenhum efeito sistemáticosignificativo tendo sido omitido, pode-seassumir que o resultado da medição é umaestimativa confiável do valor do mensurando eque sua incerteza padrão combinada é umamedida confiável do erro possível.

Notas

1. Na Fig. D.1a as observações sãomostradas como um histograma para finsilustrativos (ver 4.4.3 e Fig. 1b).

2. A correção para um erro é igual aonegativo da estimativa do erro. Assim, na Fig.D.1 e na fig. D.2, uma seta que ilustra acorreção para um erro é igual emcomprimento mas aponta no sentido oposto àseta que ilustra o erro e vice-versa. O textoda figura torna claro se uma seta particular ilustra uma correção ou um erro.

D.6.2. Fig. D.2 mostra algumas das idéiasilustradas na Fig. D.1 mas de modo diferente.Mais ainda, ela também mostra a idéia quepode haver muitos valores do mensurando se adefinição do mensurando é incompleta (entrada

g da figura). A incerteza resultante destadefinição incompleta como medida pelavariância é avaliada da medição de realizaçõesmúltiplas do mensurando, usando o mesmométodo, instrumentos, local.

Nota - Na coluna Variância as variâncias sãoentendida serem as variâncias u i

2(y) definidasna eq. (11) em 5.1.3; assim elas se somamlinearmente, como mostrado.



Expressão da Incerteza: 1993 (E) Anexo E: Motivação e base para a Recomendação INC-1 (1980)

48

Anexo E

Motivação e base para a Recomendação INC-1 (1980)

Este anexo faz uma breve discussão damotivação e da base estatística para aRecomendação INC-1 (1980) do Grupo deTrabalho no Estabelecimento das Incertezas,sobre o qual este Guide se baseia. Paradiscussão adicional, ver Ref. 1, 2, 11 e 12.

E.1. Seguro, aleatório e sistemático

E.1.1. Este Guide apresenta um método

largamente empregado para avaliar eexpressar a incerteza na medição. Ele forneceum valor realístico em vez de um valor seguroda incerteza, baseando-se no conceito que nãohá diferença inerente entre os componentesaleatórios e sistemáticos da incerteza (ver 3.2.2e 3.2.3). O método se difere, portanto, de ummétodo antigo que tem as duas idéiasseguintes em comum.

E.1.2. A primeira idéia é que a incertezarelatada deve ser segura ou conservativa,significando que ela nunca deve cair no ladode ser muito menor. De fato, como a avaliaçãoda incerteza do resultado de uma medição éproblemática, ela geralmente se tornadeliberadamente grande.

E.1.3. A segunda idéia é que as influências queafetam a incerteza foram sempre consideradascomo ou aleatórias ou sistemáticas, comambas sendo de naturezas diferentes, asincertezas associadas com cada uma formacombinadas de modo próprio e foramreportadas separadamente, (ou quando umúnico numero era requerido, combinadas dealgum modo específico). De fato, o método de

combinar incertezas era geralmentedesenvolvido para satisfazer a exigência desegurança.

E.2. Justificativa de avaliaçõesrealistas da incerteza

E.2.1. Quando o valor de um mensurando éreportado, a melhor estimativa de seu valor e amelhor avaliação da incerteza desta estimativadevem ser dadas, para se a incerteza estiver errada, não é normalmente possível decidir em

que direção ela deve errar seguramente. Umasub-estimativa das incertezas poderia causar muito mais confiança a ser colocada nos

valores reportados, geralmente comconseqüências danosas ou mesmodesastrosas. Uma superestimativa deliberadadas incertezas também poderia ter repercussãoindesejável. Ele poderia fazer o usuário doinstrumento de medição comprar instrumentosmais caros que o necessário ou poderia causar a rejeição desnecessária de produtos caros oua rejeição indevida de serviços de laboratóriode calibração.

E.2.2. Não se deve dizer que aqueles usandoum resultado da medição não poderiam aplicar seu próprio fator de multiplicação a suaincerteza estabelecida de modo a obter umaincerteza expandida que defina um intervalotendo um nível específico de confiança e quesatisfaça suas próprias necessidades nem emcertas circunstâncias que instituiçõesfornecendo resultados de medição poderiamnão aplicar rotineiramente um fator queforneça uma incerteza expandida similar quesatisfaça as necessidades de uma classeparticular de usuários de seus resultados.

Porém, tais fatores (sempre a seremestabelecidos) devem ser aplicados à incertezaquando determinada por um método realista esomente após a incerteza ter sido assimdeterminada, de modo que o intervalo definidopela incerteza expandida tenha o nível deconfiança requerido e a operação possa ser facilmente revertida.

E.2.3. As pessoas envolvidas na mediçãogeralmente devem incorporar em suas analisesos resultados das medições feitas por outros,com cada um destes outros resultadospossuindo uma incerteza própria. Na avaliaçãoda incerteza de seus próprios resultados demedição eles precisam ter o melhor valor, nãoum valor seguro, da incerteza de cada um cósresultados incorporados de outro local.Adicionalmente, deve haver um modo lógico esimples em que estas incertezas importadaspossam ser combinadas com as incertezas desuas próprias observações para dar a incertezade seu próprio resultado. A RecomendaçãoINC-1 (1980) fornece este modo.




49

E.3. Justificativa para tratar todoscomponentes da incerteza domesmo modo

O foco da discussão desta seção é umexemplo simples que ilustra como este Guidetrata os componentes da incerteza queaparecem de efeitos aleatórios e de correçõespara efeitos sistemáticos exatamente domesmo modo na avaliação da incerteza doresultado de uma medição. Isto exemplifica oponto de vista adotado neste Guide e citadoem E.1.1., ou seja, que todos os componentesda incerteza sejam da mesma natureza esejam tratados do mesmo modo. O ponto departida da discussão é uma derivadasimplificada da expressão matemática para apropagação de desvios padrão, chamada nesteGuide a lei da propagação da incerteza.

E.3.1. Seja a quantidade de saídaz = f(w1, w2, ..., wN) função de N quantidades deentrada w1, w2, ..., wN, onde cada wi é descritapor uma distribuição de probabilidadeapropriada. A expansão de f em torno dasexpectativas de wi, E(wi) = µi, em uma série deTaylor de primeira ordem, dá para pequenosdesvios de z em torno de µz em termos depequenos desvios de wi em torno de µi.

∑=

Ζ µ−∂∂=µ−Ζ

N

1iii

i

)w(wf

(E.1)

onde todos termos de maior ordem sãoassumidos desprezíveis e µz = f(µ1, µ2, ...,µN). O quadrado do desvio z - µz é dado por:

2N

1iii

i

2 )w(w

f )(

µ−

∂∂

=µ−Ζ ∑=

Ζ (E.2a)

que pode re-rescrito como:

+µ−

∂∂

=µ−Ζ ∑=

Ζ2

ii

2N

1i i

2 )w(w

f )( (E.2b)

∑ ∑∂

∂+

w

f 2

A expectativa do desvio quadrado (z - µz)2 é a

variância de z, isto é , E[(z-µz)2] = σz

2 e assim aeq. (E.2b) fica

(E.3)

Nesta expressão, σi2 = E[(wi - µi)

2] é a variânciade wi e ρij = ν(wi, w j)/(σi

2σ j2)1/2 é o coeficiente de

correlação de wi e w j, ondeν(wi, w j) = E[(w1 - µ j)] é covariância de wi e w j.

Notas

1. σz2 e σi

2 são, respectivamente, os momentoscentrais de ordem 2 (ver C.2.13 e C.2.22) dasdistribuições de probabilidade de z e w1. Adistribuição de probabilidade pode ser completamente caracterizada por sua

expectativa, variância e momentos centrais demaior ordem.

2. A eq. (13) em 5.2.2 [junto com a eq. (15)], queé usada para calcular a incerteza padrãocombinada, é idêntica à eq. (E.3), exceto que aeq. (13) é expressa em termos de estimativasdas variâncias, desvios padrão e coeficientes decorrelação.

E.3.2. Na terminologia tradicional, a eq. (E.3) égeralmente chamada a lei geral dapropagação do erro, uma apelação é maisbem aplicada para uma expressão da forma

∑ =∆

∂∂

=∆Ζ N

1i i

i

ww

f

onde ∆Z é a mudança em Z devido apequenas mudanças ∆wi em wi [ver eq. (e.8)].De fato, é apropriado chamar a eq. (E.3) a leida propagação da incerteza como feito nesteGuide, porque ela mostra como as incertezasdas quantidades de entrada wi, tomadas iguais

aos desvios padrão das distribuições deprobabilidade de wi, combinam para dar aincerteza da quantidade de saída z se estaincerteza é tomada igual ao desvio padrão dadistribuição de probabilidade de z.




50




51

Anexo F

Guia prático para avaliar

componentes da incerteza




52

Anexo G

Graus de liberdade e

níveis de confiança




53

Anexo H

Exemplos




54

Anexo J

Glossário dos principais

símbolos




Anexo K

Bibliografia

iso guide - guia para expressao da incerteza de medicao

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