ipem pe - assistente - matemática

7/22/2019 IPEM PE - ASSISTENTE - Matemtica

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APOSTILAS OPO A Sua Melhor Opo em Concursos Pblicos

Matemtica A Opo Certa Para a Sua Realizao1

Conjuntos: linguagem bsica, pertinncia; incluso; igualda-de; reunio e interseo.Nmeros naturais, inteiros, racionais e reais: adio, subtra-

o, multiplicao, diviso e potenciao. Mltiplos e diviso-res, fatorao, mximo divisor comum e mnimo mltiplocomum.Medidas: comprimento, rea, volume, ngulo, tempo e mas-sa.Propores e Matemtica Comercial: grandezas diretamentee inversamente proporcionais. Regra de trs simples e com-posta. Porcentagem, juros e descontos simples.Clculo Algbrico: identidades algbricas notveis. Opera-es com expresses algbricas. Operaes com polinmios.Equaes e Inequaes: equaes do 1 e 2 graus. Interpre-tao de grficos. Sistemas de equaes de 1 e 2 graus.Anlise Combinatria e Probabilidade: arranjos, combinaese permutaes simples. Probabilidade de um evento.

Progresses: progresses aritmtica e geomtrica.Geometrias Plana e Slida: geometria plana: elementos pri-mitivos. Retas perpendiculares e planas. Teorema de Tales.Relaes mtricas e trigonomtricas em tringulos retngu-los. reas de tringulos, paralelogramos, trapzios e discos.reas e volumes de prismas, pirmides, cilindros, cones eesferas.Funes: operaes com funes de 1 e 2 graus. Grficosde funes de 1 e 2 graus. Mximo e mnimo da funo de2 grau.Funes logaritmo e exponencial.Trigonometria: funes trigonomtricas. Identidades funda-mentais. Aplicao da trigonometria ao clculo de elementosde um tringulo.Raciocnio lgico. Raciocnio sequencial. Orientaes espaci-al e temporal. Formao de conceitos. Discriminao deelementos. Compreenso do processo lgico que, a partir deum conjunto de hipteses, conduz, de forma vlida, a conclu-ses determinadas. Obs.: Em todas as questes ser avalia-da a capacidade do candidato de analisar e interpretar situa-es que envolvem conceitos matemticos fundamentaispara o exerccio do cargo postulado.

TEORIA DOS CONJUNTOS

CONJUNTO

Em matemtica, um conjunto uma coleo deelementos. No interessa a ordem e quantas vezes oselementos esto listados na coleo. Em contraste,uma coleo de elementos na qual a multiplicidade,mas no a ordem, relevante, chamadamulticonjunto.

Conjuntos so um dos conceitos bsicos damatemtica. Um conjunto apenas uma coleo deentidades, chamadas de elementos. A notao padrolista os elementos separados por vrgulas entre chaves(o uso de "parnteses" ou "colchetes" incomum)como os seguintes exemplos:

{1, 2, 3}

{1, 2, 2, 1, 3, 2}

{x: x um nmero inteiro tal que 0


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3. Representao dos conjuntos

Um conjunto pode ser representado de trsmaneiras:

por enumerao de seus elementos; por descrio de uma propriedade

caracterstica do conjunto;

atravs de uma representao grfica.Um conjunto representado por enumerao

quando todos os seus elementos so indicados ecolocados dentro de um par de chaves.

Exemplo:

a) A = ( 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 ) indica o conjuntoformado pelos algarismos do nosso sistema denumerao.

b) B = ( a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, l, m, n, o, p, q, r, s, t,u, v, x, z ) indica o conjunto formado pelas letras donosso alfabeto.

c) Quando um conjunto possui nmero elevado deelementos, porm apresenta lei de formao bem clara,podemos representa-lo, por enumerao, indicando osprimeiros e os ltimos elementos, intercalados porreticncias. Assim: C = ( 2; 4; 6;... ; 98 ) indica oconjunto dos nmeros pares positivos, menores doque100.

d) Ainda usando reticncias, podemos representar,por enumerao, conjuntos com infinitas elementos quetenham uma lei de formao bem clara, como osseguintes:

D = ( 0; 1; 2; 3; .. . ) indica o conjunto dos nmeros

inteiros no negativos;E = ( ... ; -2; -1; 0; 1; 2; . .. ) indica o conjunto dos

nmeros inteiros;F = ( 1; 3; 5; 7; . . . ) indica o conjunto dos nmeros

mpares positivos.

A representao de um conjunto por meio da des-crio de uma propriedade caracterstica mais sintti-ca que sua representao por enumerao. Neste ca-so, um conjunto C, de elementos x, ser representadoda seguinte maneira:

C = { x | x possui uma determinada propriedade }

que se l: C o conjunto dos elementos x tal quepossui uma determinada propriedade:

Exemplos

O conjunto A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 } pode serrepresentado por descrio da seguinte maneira: A ={ x | x algarismo do nosso sistema de numerao }

O conjunto G = { a; e; i; o, u } pode serrepresentado por descrio da seguinte maneira G ={ x | x vogal do nosso alfabeto }

O conjunto H = { 2; 4; 6; 8; . . . } pode serrepresentado por descrio da seguinte maneira:

H = { x | x par positivo }

A representao grfica de um conjunto bastantecmoda. Atravs dela, os elementos de um conjuntoso representados por pontos interiores a uma linhafechada que no se entrelaa. Os pontos exteriores aesta linha representam os elementos que no perten-cem ao conjunto.

Exemplo

Por esse tipo de representao grfica, chamadadiagrama de Euler-Venn, percebemos que x C, y C, z C; e que a C, b C, c C, d C.

4 Nmero de elementos de um conjunto

Consideremos um conjunto C. Chamamos de nme-ro de elementos deste conjunto, e indicamos com n(C),ao nmero de elementos diferentes entre si, que per-tencem ao conjunto.

Exemplos

a) O conjunto A = { a; e; i; o; u } tal que n(A) = 5.b) O conjunto B = { 0; 1; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 } tal

que n(B) = 10.c) O conjunto C = ( 1; 2; 3; 4;... ; 99 ) tal que n

(C) = 99.

5 Conjunto unitrio e conjunto vazio

Chamamos de conjunto unitrio a todo conjunto C,tal que n (C) = 1.

Exemplo: C = ( 3 )

E chamamos de conjunto vazio a todo conjunto c,tal que n(C) = 0.

Exemplo: M = { x | x2= -25}

O conjunto vazio representado por { } ou por .

Exerccio resolvido

Determine o nmero de elementos dos seguintescom juntos :

a) A = { x | x letra da palavra amor}b) B = { x | x letra da palavra alegria}c) c o conjunto esquematizado a seguir


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d) D = ( 2; 4; 6; . . . ; 98 )e) E o conjunto dos pontos comuns s

relas r e s, esquematizadas a seguir :

Resoluo

a) n(A) = 4b) n(B) = 6,'pois a palavra alegria, apesar de

possuir dote letras, possui apenas seis letras distintasentre si.

c) n(C) = 2, pois h dois elementos quepertencem a C: c e C e d e C

d) observe que:2 = 2 . 1 o 1 par positivo

4 = 2 . 2 o 2 par positivo6 = 2 . 3 o 3 par positivo8 = 2 . 4 o 4 par positivo

. .

. .

. .98 = 2 . 49 o 49 par positivo

logo: n(D) = 49

e) As duas retas, esquematizadas nafigura, possuem apenas um ponto comum.

Logo, n( E ) = 1, e o conjunto E , portanto, unitrio.

6 igualdade de conjuntos

Vamos dizer que dois conjuntos A e 8 so iguais, eindicaremos com A = 8, se ambos possurem os mes-mos elementos. Quando isto no ocorrer, diremos queos conjuntos so diferentes e indicaremos com A B.Exemplos .

a) {a;e;i;o;u} = {a;e;i;o;u}b) {a;e;i;o,u} = {i;u;o,e;a}c) {a;e;i;o;u} = {a;a;e;i;i;i;o;u;u}d) {a;e;i;o;u} {a;e;i;o}

e) { x | x2 = 100} = {10; -10}f) { x | x2 = 400} {20}

7 Subconjuntos de um conjunto

Dizemos que um conjunto A um subconjunto deum conjunto B se todo elemento, que pertencer a A,tambm pertencer a B.

Neste caso, usando os diagramas de Euler-Venn, oconjunto A estar "totalmente dentro" do conjunto B :

Indicamos que A um subconjunto de B de duasmaneiras:

a) A B; que deve ser lido : A subconjunto deB ou A est contido em B ou A parte de B;

b) B A; que deve ser lido: B contm A ou Binclui A.

Exemplo

Sejam os conjuntos A = {x | x mineiro} e B = { x | x brasileiro} ; temos ento que A B e que B A.

Observaes:

Quando A no subconjunto de B, indicamoscom A B ou B A.

Admitiremos que o conjunto vazio est contidoem qualquer conjunto.

8 Nmero de subconjuntos de um conjunto dado

Pode-se mostrar que, se um conjunto possui nelementos, ento este conjunto ter 2n subconjuntos.Exemplo

O conjunto C = {1; 2 } possui dois elementos; logo,ele ter 22= 4 subconjuntos.

Exerccio resolvido:

1. Determine o nmero de subconjuntos do conjuntoC = (a; e; i; o; u ) .

Resoluo: Como o conjunto C possui cincoelementos, o nmero dos seus subconjuntos ser 25=32.

Exerccios propostas:

2. Determine o nmero de subconjuntos do conjuntoC = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 }

Resposta: 1024

3. Determine o nmero de subconjuntos do conjunto

C =1

2

1

3

1

4

2

4

3

4

3

5

; ; ; ; ;

Resposta: 32

B) OPERA ES COM CONJUNTOS

1 Unio de conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, chamamos unio oureunio de A com B, e indicamos com A B, ao con-junto constitudo por todos os elementos que perten-cem a A ou a B.

Usando os diagramas de Euler-Venn, erepresentando com hachuras a interseo dosconjuntos, temos:


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Exemplos

a) {a;b;c} U {d;e}= {a;b;c;d;e}b) {a;b;c} U {b;c;d}={a;b;c;d}c) {a;b;c} U {a;c}={a;b;c}

2 Interseco de conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, chamamos de interse-o de A com B, e indicamos com A B, ao conjuntoconstitudo por todos os elementos que pertencem a Ae a B.

Usando os diagramas de Euler-Venn, erepresentando com hachuras a interseco dos

conjuntos, temos:

Exemplosa) {a;b;c} {d;e} = b) {a;b;c} {b;c,d} = {b;c}

c) {a;b;c} {a;c} = {a;c}

Quando a interseco de dois conjuntos vazia,como no exemplo a, dizemos que os conjuntos sodisjuntos.

Exerccios resolvidos

1. Sendo A = ( x; y; z ); B = ( x; w; v ) e C = ( y; u; t), determinar os seguintes conjuntos:

a) A B f) B Cb) A B g) A B C

c) A C h) A B Cd) A C i) (A B) U (A C)e) B C

Resoluoa) A B = {x; y; z; w; v }b) A B = {x }c) A C = {x; y;z; u; t }d) A C = {y }e) B C={x;w;v;y;u;t}f) B C= g) A B C= {x;y;z;w;v;u;t}

h) A B C= i) (A B) u (A C)={x} {y}={x;y}

2. Dado o diagrama seguinte, represente comhachuras os conjuntos: :

a) A B Cb) (A B) (A C)

.Resoluo

3. No diagrama seguinte temos:n(A) = 20n(B) = 30n(A B) = 5

Determine n(A B).Resoluo

Se juntarmos, aos 20 elementos de A, os 30elementos de B, estaremos considerando os 5elementos de A n B duas vezes; o que, evidentemente, incorreto; e, para corrigir este erro, devemos subtrairuma vez os 5 elementos de A n B; teremos ento:

n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B) ou seja:

n(A B) = 20 + 30 5 e ento:

n(A B) = 45.

4 Conjunto complementar


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Dados dois conjuntos A e B, com B A,chamamos de conjunto complementar de B em relaoa A, e indicamos com CA B, ao conjunto A - B.

Observao:O complementar um caso particularde diferena em que o segundo conjunto subconjuntodo primeiro.

Usando os diagramas de Euler-Venn, e

representando com hachuras o complementar de B emrelao a A, temos:

Exemplo: {a;b;c;d;e;f} - {b;d;e}= {a;c;f}

Observao: O conjunto complementar de Bem relao a A formado pelos elementos quefaltam para "B chegar a A"; isto , para B seigualar a A.

Exerccios resolvidos:

4. Sendo A = { x; y; z } , B = { x; w; v } e C = { y;u; t }, determinar os seguintes conjuntos:

A BB A

A C

C - AB C

C BResoluo

a) A - B = { y; z }b) B - A= {w;v}c) A - C= {x;z}d) C A = {u;t}e) B C = {x;w;v}f) C B = {y;u;t}

Exemplos de conjuntos compostos por nmeros

Nota: Nesta seo, a, b e c so nmeros naturais,enquanto re sso nmeros reais.

1. Nmeros naturais so usados para contar. Osmbolo usualmente representa este conjunto.

2. Nmeros inteiros aparecem como solues deequaes como x + a = b. O smbolo usualmenterepresenta este conjunto (do termo alemo Zahlenquesignifica nmeros).

3. Nmeros racionais aparecem como solues

de equaes como a + bx = c. O smbolousualmente representa este conjunto (da palavraquociente).

4. Nmeros algbricos aparecem como soluesde equaes polinomiais (com coeficientes inteiros) eenvolvem razes e alguns outros nmeros irracionais. O

smbolo ou usualmente representa esteconjunto.

5. Nmeros reais incluem os nmeros algbricos

e os nmeros transcendentais. O smbolousualmente representa este conjunto.

6. Nmeros imaginrios aparecem como soluesde equaes como x2+ r = 0 onde r > 0. O smbolousualmente representa este conjunto.

7. Nmeros complexos a soma dos nmeros

reais e dos imaginrios: . Aqui tanto rquanto spodem ser iguais a zero; ento os conjuntos dosnmeros reais e o dos imaginrios so subconjuntos doconjunto dos nmeros complexos. O smbolousualmente representa este conjunto.

NMEROS NATURAIS, INTEIROS, RACIONAIS,IRRACIONAIS E REAIS.

Conjuntos numricos podem ser representados dediversas formas. A forma mais simples dar um nomeao conjunto e expor todos os seus elementos, um aolado do outro, entre os sinais de chaves. Veja o exem-plo abaixo:

A = {51, 27, -3}

Esse conjunto se chama "A" e possui trs termos,que esto listados entre chaves.

Os nomes dos conjuntos so sempre letras mais-culas. Quando criamos um conjunto, podemos utilizarqualquer letra.

Vamos comear nos primrdios da matemtica.- Se eu pedisse para voc contar at 10, o que voc

me diria?- Um, dois, trs, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove

e dez.

Pois , estes nmeros que saem naturalmente desua boca quando solicitado, so chamados de nmerosNATURAIS, o qual representado pela letra .

Foi o primeiro conjunto inventado pelos homens, etinha como inteno mostrar quantidades.

*Obs.: Originalmente, o zero no estava includoneste conjunto, mas pela necessidade de representaruma quantia nula, definiu-se este nmero como sendopertencente ao conjunto dos Naturais. Portanto:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Obs.2:Como o zero originou-se depois dos outrosnmeros e possui algumas propriedades prprias, al-gumas vezes teremos a necessidade de representar oconjunto dos nmeros naturais sem incluir o zero. Paraisso foi definido que o smbolo * (asterisco) empregado


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ao lado do smbolo do conjunto, iria representar a au-sncia do zero. Veja o exemplo abaixo:

N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

Estes nmeros foram suficientes para a sociedadedurante algum tempo. Com o passar dos anos, e oaumento das "trocas" de mercadorias entre os homens,foi necessrio criar uma representao numrica para

as dvidas.

Com isso inventou-se os chamados "nmeros nega-tivos", e junto com estes nmeros, um novo conjunto: oconjunto dos nmeros inteiros, representado pela letra

.

O conjunto dos nmeros inteiros formado por to-dos os nmeros NATURAIS mais todos os seus repre-sentantes negativos.

Note que este conjunto no possui incio nem fim(ao contrrio dos naturais, que possui um incio e no

possui fim).

Assim como no conjunto dos naturais, podemos re-presentar todos os inteiros sem o ZERO com a mesmanotao usada para os NATURAIS.

Z* = {..., -2, -1, 1, 2, ...}

Em algumas situaes, teremos a necessidade derepresentar o conjunto dos nmeros inteiros que NOSO NEGATIVOS.

Para isso emprega-se o sinal "+" ao lado do smbolodo conjunto (vale a pena lembrar que esta simbologia

representa os nmeros NO NEGATIVOS, e no osnmeros POSITIVOS, como muita gente diz). Veja oexemplo abaixo:

Z+= {0,1, 2, 3, 4, 5, ...}

Obs.1: Note que agora sim este conjunto possui umincio. E voc pode estar pensando "mas o zero no positivo". O zero no positivo nem negativo, zero NULO.

Ele est contido neste conjunto, pois a simbologiado sinalzinho positivo representa todos os nmerosNO NEGATIVOS, e o zero se enquadra nisto.

Se quisermos representar somente os positivos (ouseja, os no negativos sem o zero), escrevemos:

Z*+= {1, 2, 3, 4, 5, ...}

Pois assim teremos apenas os positivos, j que ozero no positivo.

Ou tambm podemos representar somente os intei-ros NO POSITIVOS com:

Z -={...,- 4, - 3, - 2, -1 , 0}

Obs.: Este conjunto possui final, mas no possui i-ncio.

E tambm os inteiros negativos (ou seja, os no po-sitivos sem o zero):

Z*-={...,- 4, - 3, - 2, -1}

Assim:

Conjunto dos Nmeros NaturaisSo todos os nmeros inteiros positivos, incluindo o

zero. representado pela letra maiscula N.Caso queira representar o conjunto dos nmeros natu-rais no-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um *ao lado do N:

N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...}N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...}

Conjunto dos Nmeros InteirosSo todos os nmeros que pertencem ao conjunto

dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negati-vos).

So representados pela letra Z:Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos,eles so:

- Inteiros no negativosSo todos os nmeros inteiros que no so negati-

vos. Logo percebemos que este conjunto igual aoconjunto dos nmeros naturais.

representado por Z+:Z+= {0,1,2,3,4,5,6, ...}

- Inteiros no positivos

So todos os nmeros inteiros que no so positi-vos. representado por Z-:Z-= {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}

- Inteiros no negativos e no-nulos o conjunto Z+excluindo o zero. Representa-se es-

se subconjunto por Z*+:Z*+= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}Z*+= N*

- Inteiros no positivos e no nulosSo todos os nmeros do conjunto Z- excluindo o

zero. Representa-se por Z*-.

Z*-= {... -4, -3, -2, -1}Conjunto dos Nmeros RacionaisOs nmeros racionais um conjunto que engloba

os nmeros inteiros (Z), nmeros decimais finitos (porexemplo, 743,8432) e os nmeros decimais infinitosperidicos (que repete uma sequncia de algarismosda parte decimal infinitamente), como "12,050505...",so tambm conhecidas como dzimas peridicas.

Os racionais so representados pela letra Q.

Conjunto dos Nmeros Irracionais

formado pelos nmeros decimais infinitos no-peridicos. Um bom exemplo de nmero irracional onmero PI (resultado da diviso do permetro de umacircunferncia pelo seu dimetro), que vale 3,14159265.... Atualmente, supercomputadores j conseguiram


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calcular bilhes de casas decimais para o PI.

Tambm so irracionais todas as razes no exatas,como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 ...)

Conjunto dos Nmeros Reais formado por todos os conjuntos citados anterior-

mente (unio do conjunto dos racionais com os irracio-

nais).

Representado pela letra R.

Representao geomtrica deA cada ponto de uma reta podemos associar um -

nico nmero real, e a cada nmero real podemos asso-ciar um nico ponto na reta.

Dizemos que o conjunto denso, pois entre doisnmeros reais existem infinitos nmeros reais (ou seja,na reta, entre dois pontos associados a dois nmerosreais, existem infinitos pontos).

Veja a representao na reta de :

Fonte:http://www.infoescola.com/matematica/conjuntos-

numericos/

CONJUNTO DOS NMEROS NATURAIS (N)

ADIO E SUBTRAOVeja a operao: 2 + 3 = 5 .A operao efetuada chama-se adio e indicada

escrevendo-se o sinal + (l-se: mais") entre os nme-ros.

Os nmeros 2 e 3 so chamados parcelas. 0 nme-ro 5, resultado da operao, chamado soma.

2 parcela+ 3 parcela

5 soma

A adio de trs ou mais parcelas pode ser efetua-

da adicionando-se o terceiro nmero soma dos doisprimeiros ; o quarto nmero soma dos trs primeirose assim por diante.

3 + 2 + 6 =5 + 6 = 11

Veja agora outra operao: 7 3 = 4

Quando tiramos um subconjunto de um conjunto,realizamos a operao de subtrao, que indicamospelo sinal - .

7 minuendo

3 subtraendo4 resto ou diferena

0 minuendo o conjunto maior, o subtraendo o sub-conjunto que se tira e o resto ou diferena o conjunto

que sobra.

Somando a diferena com o subtraendo obtemos ominuendo. Dessa forma tiramos a prova da subtrao.

4 + 3 = 7

EXPRESSES NUMRICAS

Para calcular o valor de uma expresso numricaenvolvendo adio e subtrao, efetuamos essas ope-raes na ordem em que elas aparecem na expresso.

Exemplos: 35 18 + 13 =17 + 13 = 30

Veja outro exemplo: 47 + 35 42 15 =82 42 15=

40 15 = 25

Quando uma expresso numrica contiver os sinaisde parnteses ( ), colchetes [ ] e chaves { }, procede-remos do seguinte modo:

1 Efetuamos as operaes indicadas dentro dosparnteses;

2 efetuamos as operaes indicadas dentro doscolchetes;

3 efetuamos as operaes indicadas dentro daschaves.

1) 35 +[ 80 (42 + 11) ] == 35 + [ 80 53] =

= 35 + 27 = 62

2) 18 + { 72 [ 43 + (35 28 + 13) ] } == 18 + { 72 [ 43 + 20 ] } =

= 18 + { 72 63} == 18 + 9 = 27

CLCULO DO VALOR DESCONHECIDO

Quando pretendemos determinar um nmero natu-ral em certos tipos de problemas, procedemos do se-guinte modo:

- chamamos o nmero (desconhecido) de x ouqualquer outra incgnita ( letra )

- escrevemos a igualdade correspondente- calculamos o seu valor

Exemplos:1) Qual o nmero que, adicionado a 15, igual a 31?

Soluo:Seja x o nmero desconhecido. A igualdade cor-

respondente ser:x + 15 = 31

Calculando o valor de x temos:x + 15 = 31

x + 15 15 = 31 15x = 31 15

x = 16Na prtica , quando um nmero passa de um lado

para outro da igualdade ele muda de sinal.


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2) Subtraindo 25 de um certo nmero obtemos 11.Qual esse nmero?

Soluo:Seja x o nmero desconhecido. A igualdade corres-

pondente ser:x 25 = 11x = 11 + 25

x = 36

Passamos o nmero 25 para o outro lado da igual-dade e com isso ele mudou de sinal.

3) Qual o nmero natural que, adicionado a 8, i-gual a 20?

Soluo:x + 8 = 20x = 20 8

x = 12

4) Determine o nmero natural do qual, subtraindo

62, obtemos 43.Soluo:x 62 = 43

x = 43 + 62x = 105

Para sabermos se o problema est correto sim-ples, basta substituir o xpelo valor encontrado e reali-zarmos a operao. No ltimo exemplo temos:

x = 105105 62 = 43

MULTIPLICAO

Observe: 4 X 3 =12

A operao efetuada chama-se multiplicao e in-dicada escrevendo-se um ponto ou o sinal x entre osnmeros.

Os nmeros 3 e 4 so chamados fatores. O nmero12, resultado da operao, chamado produto.

3 X 4 = 12

3 fatoresX 4

12 produto

Por conveno, dizemos que a multiplicao dequalquer nmero por 1 igual ao prprio nmero.

A multiplicao de qualquer nmero por 0 igual a 0.

A multiplicao de trs ou mais fatores pode ser efe-tuada multiplicando-se o terceiro nmero pelo produtodos dois primeiros; o quarto numero pelo produto dostrs primeiros; e assim por diante.

3 x 4 x 2 x 5 =

12 x 2 x 524 x 5 = 120

EXPRESSES NUMRICAS

Sinais de associaoO valor das expresses numricas envolvendo as

operaes de adio, subtrao e multiplicao obti-do do seguinte modo:

- efetuamos as multiplicaes- efetuamos as adies e subtraes, na ordem

em que aparecem.

1) 3 . 4 + 5 . 8 2 . 9 ==12 + 40 18= 34

2) 9 . 6 4 . 12 + 7 . 2 == 54 48 + 14 == 20

No se esquea:Se na expresso ocorrem sinais de parnteses col-

chetes e chaves, efetuamos as operaes na ordemem que aparecem:

1) as que esto dentro dos parnteses

2) as que esto dentro dos colchetes3) as que esto dentro das chaves.

Exemplo:22 + {12 +[ ( 6 . 8 + 4 . 9 ) 3 . 7] 8 . 9 }= 22 + { 12 + [ ( 48 + 36 ) 21] 72 } == 22 + { 12 + [ 84 21] 72 } == 22 + { 12 + 63 72 } == 22 + 3 == 25

DIVISO

Observe a operao: 30 : 6 = 5

Tambm podemos representar a diviso das se-guintes maneiras:

30 6 ou 56

30=

0 5

O dividendo (D) o nmero de elementos do con-junto que dividimos o divisor (d) o nmero de elemen-tos do subconjunto pelo qual dividimos o dividendo e oquociente (c) o nmero de subconjuntos obtidos com

a diviso.

Essa diviso exata e considerada a operaoinversa da multiplicao.

SE 30 : 6 = 5, ENTO 5 x 6 = 30

observe agora esta outra diviso:

32 62 5

32 = dividendo6 = divisor5 = quociente2 = resto

Essa diviso no exata e chamada diviso apro-ximada.


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ATENO:1) Na diviso de nmeros naturais, o quociente

sempre menor ou igual ao dividendo.2) O resto sempre menor que o divisor.3) O resto no pode ser igual ou maior que o divi-

sor.4) O resto sempre da mesma espcie do divi-

dendo. Exemplo: dividindo-se laranjas por certo

nmero, o resto ser laranjas.5) impossvel dividir um nmero por 0 (zero),porque no existe um nmero que multiplicadopor 0 d o quociente da diviso.

PROBLEMAS

1) Determine um nmero natural que, multiplica-do por 17, resulte 238.X . 17 = 238

X = 238 : 17X = 14

Prova: 14 . 17 = 238

2) Determine um nmero natural que, divididopor 62, resulte 49.x : 62 = 49

x = 49 . 62x = 3038

3) Determine um nmero natural que, adicionadoa 15, d como resultado 32

x + 15 = 32x = 32 15x =17

4) Quanto devemos adicionar a 112, a fim de ob-termos 186?x + 112 = 186x = 186 112

x = 74

5) Quanto devemos subtrair de 134 para obter-mos 81?134 x = 81 x = 81 134 x = 53 (multiplicando por 1)

x = 53Prova: 134 53 = 81

6) Ricardo pensou em um nmero natural, adi-cionou-lhe 35, subtraiu 18 e obteve 40 no re-sultado. Qual o nmero pensado?x + 35 18 = 40

x= 40 35 + 18x = 23

Prova: 23 + 35 18 = 40

7) Adicionando 1 ao dobro de certo nmero ob-temos 7. Qual esse numero?2 . x +1 = 72x = 7 1

2x = 6x = 6 : 2x = 3O nmero procurado 3.Prova: 2. 3 +1 = 7

8) Subtraindo 12 do triplo de certo nmero obte-mos 18. Determinar esse nmero.3 . x -12 = 18

3 x = 18 + 123 x = 30x = 30 : 3x = 10

9) Dividindo 1736 por um nmero natural, encon-tramos 56. Qual o valor deste numero natural?1736 : x = 56

1736 = 56 . x56 . x = 1736x. 56 = 1736

x = 1736 : 56x = 31

10) O dobro de um nmero igual a 30. Qual onmero?2 . x = 30

2x = 30x = 30 : 2x = 15

11) O dobro de um nmero mais 4 igual a 20.Qual o nmero ?2 . x + 4 = 20

2 x = 20 42 x = 16

x = 16 : 2x = 8

12) Paulo e Jos tm juntos 12 lpis. Paulo tem o

dobro dos lpis de Jos. Quantos lpis temcada menino?Jos: xPaulo: 2xPaulo e Jos: x + x + x = 123x = 12x = 12 : 3x = 4Jos: 4 - Paulo: 8

13) A soma de dois nmeros 28. Um o triplodo outro. Quais so esses nmeros?um nmero: x

o outro nmero: 3xx + x + x + x = 28 (os dois nmeros)

4 x = 28x = 28 : 4x = 7 (um nmero)

3x = 3 .7 = 21 (o outro nmero).Resposta: 7 e 21

14) Pedro e Marcelo possuem juntos 30 bolinhas.Marcelo tem 6 bolinhas a mais que Pedro.Quantas bolinhas tem cada um?Pedro: x

Marcelo: x + 6x + x + 6 = 30 ( Marcelo e Pedro)2 x + 6 = 30

2 x = 30 62 x = 24


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x = 24 : 2x = 12 (Pedro)

Marcelo: x + 6 =12 + 6 =18

EXPRESSES NUMRICAS ENVOLVENDO ASQUATRO OPERAES

Sinais de associao:

O valor das expresses numricas envolvendo asquatro operaes obtido do seguinte modo:- efetuamos as multiplicaes e as divises, na

ordem em que aparecem;- efetuamos as adies e as subtraes, na ordem

em que aparecem;

Exemplo 1) 3 .15 + 36 : 9 == 45 + 4= 49

Exemplo 2) 18 :3 .2 + 8 6 .5 :10 == 6 . 2 + 8 30 : 10 == 12 + 8 3 =

= 20 3= 17

POTENCIAO

Considere a multiplicao: 2 . 2 .2 em que os trsfatores so todos iguais a 2.

Esse produto pode ser escrito ou indicado na forma23(l-se: dois elevado terceira potncia), em que o 2 o fator que se repete e o 3 corresponde quantidadedesses fatores.

Assim, escrevemos: 23= 2 . 2 . 2 = 8 (3 fatores)

A operao realizada chama-se potenciao.O nmero que se repete chama-se base.O nmero que indica a quantidade de fatores iguais

a base chama-se expoente.O resultado da operao chama-se potncia.

2 3 = 83 expoente

base potncia

Observaes:1) os expoentes 2 e 3 recebem os nomes especi-

ais de quadrado e cubo, respectivamente.2) As potncias de base 0 so iguais a zero. 02=

0 . 0 = 03) As potncias de base um so iguais a um.

Exemplos: 13= 1 . 1 . 1 = 115 = 1 . 1 . 1 . 1 . 1 = 1

4) Por conveno, tem-se que:- a potncia de expoente zero igual a 1 (a0= 1,

a 0)30= 1 ; 50= 1 ; 120 = 1

- a potncia de expoente um igual base (a1=

a)21 = 2 ; 71 = 7 ; 1001 =100

PROPRIEDADES DAS POTNCIAS

1) para multiplicar potncias de mesma base,conserva-se a base e adicionam-se os expoen-tes.am. an= a m + n

Exemplos: 32. 38= 32 + 8 = 310

5 . 56 = 51+6= 572) para dividir potncias de mesma base, conser-

va-se a base e subtraem-se os expoentes.

am: an= am - nExemplos:37 : 33 = 3 7 3 = 34510: 58 = 5 10 8 = 52

3) para elevar uma potncia a um outro expoente,conserva-se base e multiplicam-se os expoen-tes.Exemplo: (32)4= 32 . 4= 38

4) para elevar um produto a um expoente, eleva-se cada fator a esse expoente.(a. b)m= am. bm

Exemplos: (4 . 7)3= 43. 73 ; (3. 5)2= 32 . 52

RADICIAO

Suponha que desejemos determinar um nmeroque, elevado ao quadrado, seja igual a 9. Sendo x essenmero, escrevemos: X2= 9

De acordo com a potenciao, temos que x = 3, ouseja: 32 = 9

A operao que se realiza para determinar essenmero 3 chamada radiciao, que a operao

inversa da potenciao.

Indica-se por:

392 = (l-se: raiz quadrada de 9 igual a 3)

Da , escrevemos:

9339 22 ==

Na expresso acima, temos que:- o smbolo chama-se sinal da raiz- o nmero 2 chama-se ndice- o nmero 9 chama-se radicando- o nmero 3 chama-se raiz,- o smbolo 2 9 chama-se radical

As razes recebem denominaes de acordo com ondice. Por exemplo:

2 36 raiz quadrada de 363 125 raiz cbica de 1254 81 raiz quarta de 81

5 32 raiz quinta de 32 e assim por diante

No caso da raiz quadrada, convencionou-se no es-crever o ndice 2.

Exemplo : 49 49 7 492 = = =, pois 72


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EXERCCIOS

01) Calcule:a) 10 10 : 5 = b) 45 : 9 + 6 =c) 20 + 40 : 10 = d) 9. 7 3 =e) 30 : 5 + 5 = f) 6 . 15 56 : 4 =g) 63 : 9 . 2 2 = h) 56 34 : 17 . 19 =i) 3 . 15 : 9 + 54 :18 = j) 24 12 : 4+1. 0 =

Respostas:a) 8c) 24e) 11g) 12i) 8

b) 11d) 60f) 76h) 18j) 21

02) Calcule o valor das expresses:a) 23+ 32=b) 3 . 52 72=c) 2 . 33 4. 23=d) 53 3 . 62+ 22 1 =

e) (2 + 3)2+ 2 . 34 152: 5 =f) 1 + 72 3 . 24+ (12 : 4)2=

Respostas:a) 17c) 22e) 142

b) 26d) 20f) 11

03) Uma indstria de automveis produz, por dia,1270 unidades. Se cada veculo comporta 5pneus, quantos pneus sero utilizados ao finalde 30 dias? (Resposta: 190.500)

04) Numa diviso, o divisor 9,o quociente 12 e oresto 5. Qual o dividendo? (113)

05) Numa diviso, o dividendo 227, o divisor 15e o resto 2. Qual o quociente? (15)

06) Numa diviso, o dividendo 320, o quociente 45 e o resto 5. Qual o divisor? (7)

07) Num diviso, o dividendo 625, o divisor 25 eo quociente 25. Qual o resto? (0)

08) Numa chcara havia galinhas e cabras em igualquantidade. Sabendo-se que o total de ps des-ses animais era 90, qual o nmero de galinhas?Resposta: 15 ( 2 ps + 4 ps = 6 ps ; 90 : 6 =15).

09) O dobro de um nmero adicionado a 3 igual a13. Calcule o nmero.(5)

10) Subtraindo 12 do qudruplo de um nmero ob-temos 60. Qual esse nmero (Resp: 18)

11) Num joguinho de "pega-varetas", Andr e Rena-to fizeram 235 pontos no total. Renato fez 51pontos a mais que Andr. Quantos pontos fezcada um? ( Andr-92 e Renato-143)

12) Subtraindo 15 do triplo de um nmero obtemos

39. Qual o nmero? (18)

13) Distribuo 50 balas, em iguais quantidades, a 3amigos. No final sobraram 2. Quantas balascoube a cada um? (16)

14) A diferena entre dois nmeros naturais zeroe a sua soma 30. Quais so esses nmeros?

(15)

15) Um aluno ganha 5 pontos por exerccio que a-certa e perde 3 pontos por exerccio que erra.Ao final de 50 exerccios tinha 130 pontos.Quantos exerccios acertou? (35)

16) Um edifcio tem 15 andares; cada andar, 30 sa-las; cada sala, 3 mesas; cada mesa, 2 gavetas;cada gaveta, 1 chave. Quantas chaves diferen-tes sero necessrias para abrir todas as gave-tas? (2700).

17) Se eu tivesse 3 dzias de balas a mais do quetenho, daria 5 e ficaria com 100. Quantas balastenho realmente? (69)

18) A soma de dois nmeros 428 e a diferenaentre eles 34. Qual o nmero maior? (231)

19) Pensei num nmero e juntei a ele 5, obtendo 31.Qual o nmero? (26)

20) Qual o nmero que multiplicado por 7 resulta56? (8)

21) O dobro das balas que possuo mais 10 36.Quantas balas possuo? (13).

22) Raul e Lus pescaram 18 peixinhos. Raulpescou o dobro de Lus. Quanto pescou cadaum? (Raul-12 e Lus-6)

PROBLEMAS

Vamos calcular o valor de x nos mais diversos ca-sos:

1) x + 4 = 10Obtm-se o valor de x, aplicando a operao inver-

sa da adio:x = 10 4x = 6

2) 5x = 20Aplicando a operao inversa da multiplicao, te-

mos:x = 20 : 5x = 4

3) x 5 = 10Obtm-se o valor de x, aplicando a operao inver-

sa da subtrao:x = 10 + 5x =15


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4) x : 2 = 4Aplicando a operao inversa da diviso, temos:

x = 4 . 2x = 8

COMO ACHAR O VALOR DESCONHECIDO EM UMPROBLEMA

Usando a letra x para representar um nmero, po-demos expressar, em linguagem matemtica, fatos esentenas da linguagem corrente referentes a essenmero, observe:

- duas vezes o nmero 2 . x

- o nmero mais 2 x + 2

- a metade do nmero2

x

- a soma do dobro com a metade do nmero

2

2x

x +

- a quarta parte do nmero4

x

PROBLEMA 1Vera e Paula tm juntas R$ 1.080,00. Vera tem otriplo do que tem Paula. Quanto tem cada uma?Soluo:

x + 3x = 10804x= 1080x =1080 : 4x= 270

3 . 270 = 810Resposta: Vera R$ 810,00 e Paula R$ 270,00

PROBLEMA 2Paulo foi comprar um computador e uma bicicleta.Pagou por tudo R$ 5.600,00. Quanto custou cadaum, sabendo-se que a computador seis vezesmais caro que a bicicleta?Soluo:

x + 6x = 56007x = 5600x = 5600 : 7x = 800

6 . 800= 4800R: computador R$ 4.800,00 e bicicleta R$ 800,00

PROBLEMA 3Repartir 21 cadernos entre Jos e suas duas irms,de modo que cada menina receba o triplo do querecebe Jos. Quantos cadernos receber Jos?Soluo:

x + 3x + 3x = 217x = 21x = 21 : 7x = 3

Resposta: 3 cadernos

PROBLEMA 4Repartir R$ 2.100,00 entre trs irmos de modo queo 2 receba o dobro do que recebe o 1 , e o 3 odobro do que recebe o 2. Quanto receber cada

um?Soluo:

x + 2x + 4x = 21007x = 2100x = 2100 : 7

x = 300300 . 2 = 600300 . 4 =1200

Resposta: R$ 300,00; R$ 600,00; R$ 1200,00

PROBLEMA 5A soma das idades de duas pessoas 40 anos. Aidade de uma o triplo da idade da outra. Qual a i-dade de cada uma?Soluo:

3x + x = 404x = 40x = 40 : 4x = 10

3 . 10 = 30Resposta: 10 e 30 anos.

PROBLEMA 6A soma das nossas idades 45 anos. Eu sou 5 a-nos mais velho que voc. Quantos anos eu tenho?

x + x + 5 = 45x + x= 45 5

2x = 40x = 20

20 + 5 = 25Resposta: 25 anos

PROBLEMA 7Sua bola custou R$ 10,00 menos que a minha.

Quanto pagamos por elas, se ambas custaram R$150,00?Soluo:

x + x 10= 1502x = 150 + 102x = 160x = 160 : 2x = 80

80 10 = 70Resposta: R$ 70,00 e R$ 80,00

PROBLEMA 8Jos tem o dobro do que tem Srgio, e Paulo tanto

quanto os dois anteriores juntos. Quanto tem cadaum, se os trs juntos possuem R$ 624,00?Soluo: x + 2x + x + 2x = 624

6x = 624x = 624 : 6x = 104

Resposta:S-R$ 104,00; J-R$ 208,00; P- R$ 312,00

PROBLEMA 9Se eu tivesse 4 rosas a mais do que tenho, poderiadar a voc 7 rosas e ainda ficaria com 2. Quantasrosas tenho?Soluo: x + 4 7 = 2

x + 4 = 7 + 2x + 4 = 9x = 9 4x = 5

Resposta: 5


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CONJUNTO DOS NMEROS INTEIROS (Z)

Conhecemos o conjunto N dos nmeros naturais: N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, .....,}

Assim, os nmeros precedidos do sinal + chamam-se positivos, e os precedidos de - so negativos.

Exemplos:Nmeros inteiros positivos: {+1, +2, +3, +4, ....}Nmeros inteiros negativos: {-1, -2, -3, -4, ....}

O conjunto dos nmeros inteiros relativos formadopelos nmeros inteiros positivos, pelo zero e pelos n-meros inteiros negativos. Tambm o chamamos deCONJUNTO DOS NMEROS INTEIROS e o represen-tamos pela letra Z, isto : Z = {..., -3, -2, -1, 0, +1,+2, +3, ... }

O zero no um nmero positivo nem negativo. To-do nmero positivo escrito sem o seu sinal positivo.

Exemplo: + 3 = 3 ; +10 = 10Ento, podemos escrever: Z = {..., -3, -2, -1, 0 ,

1, 2, 3, ...}

N um subconjunto de Z.

REPRESENTAO GEOMTRICACada nmero inteiro pode ser representado por um

ponto sobre uma reta. Por exemplo:

... -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 ...... C B A 0 A B C D ...

Ao ponto zero, chamamos origem, corresponde onmero zero.

Nas representaes geomtricas, temos direita dozero os nmeros inteiros positivos, e esquerda dozero, os nmeros inteiros negativos.

Observando a figura anterior, vemos que cada pon-to a representao geomtrica de um nmero inteiro.

Exemplos: ponto C a representao geomtrica do nme-

ro +3 ponto B' a representao geomtrica do nme-

ro -2

ADIO DE DOIS NMEROS INTEIROS1) A soma de zero com um nmero inteiro o pr-

prio nmero inteiro: 0 + (-2) = -22) A soma de dois nmeros inteiros positivos um

nmero inteiro positivo igual soma dos mdulosdos nmeros dados: (+700) + (+200) = +900

3) A soma de dois nmeros inteiros negativos umnmero inteiro negativo igual soma dos mdu-los dos nmeros dados: (-2) + (-4) = -6

4) A soma de dois nmeros inteiros de sinais contr-rios igual diferena dos mdulos, e o sinal

o da parcela de maior mdulo: (-800) + (+300) =-500

ADIO DE TRS OU MAIS NMEROS INTEIROSA soma de trs ou mais nmeros inteiros efetuada

adicionando-se todos os nmeros positivos e todos osnegativos e, em seguida, efetuando-se a soma do n-mero negativo.

Exemplos: 1) (+6) + (+3) + (-6) + (-5) + (+8) =(+17) + (-11) = +6

2) (+3) + (-4) + (+2) + (-8) =(+5) + (-12) = -7

PROPRIEDADES DA ADIOA adio de nmeros inteiros possui as seguintes

propriedades:

1) FECHAMENTOA soma de dois nmeros inteiros sempre um n-

mero inteiro: (-3) + (+6) = + 3 Z2) ASSOCIATIVASe a, b, c so nmeros inteiros quaisquer, ento: a

+ (b + c) = (a + b) + c

Exemplo:(+3) +[(-4) + (+2)] = [(+3) + (-4)] + (+2)(+3) + (-2) = (-1) + (+2)+1 = +1

3) ELEMENTO NEUTROSe a um nmero inteiro qualquer, temos: a+ 0 = a

e 0 + a = a

Isto significa que o zero elemento neutro para aadio.

Exemplo: (+2) + 0 = +2 e 0 + (+2) = +2

4) OPOSTO OU SIMTRICOSe a um nmero inteiro qualquer, existe um niconmero oposto ou simtrico representado por (-a),tal que: (+a) + (-a) = 0 = (-a) + (+a)

Exemplos: (+5) + ( -5) = 0 ( -5) + (+5) = 0

5) COMUTATIVASe a e b so nmeros inteiros, ento:a + b = b + a

Exemplo: (+4) + (-6) = (-6) + (+4)-2 = -2

SUBTRAO DE NMEROS INTEIROSEm certo local, a temperatura passou de -3C para

5C, sofrendo, portanto, um aumento de 8C, aumentoesse que pode ser representado por: (+5) - (-3) = (+5) +(+3) = +8

Portanto:A diferena entre dois nmeros dados numa certa

ordem a soma do primeiro com o oposto do segundo.

Exemplos: 1) (+6) - (+2) = (+6) + (-2 ) = +4


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2) (-8 ) - (-1 ) = (-8 ) + (+1) = -73) (-5 ) - (+2) = (-5 ) + (-2 ) = -7

Na prtica, efetuamos diretamente a subtrao, eli-minando os parnteses

- (+4 ) = -4- ( -4 ) = +4

Observao:Permitindo a eliminao dos parnteses, os sinaispodem ser resumidos do seguinte modo:

( + ) = + + ( - ) = -- ( + ) = - - ( - ) = +

Exemplos: - ( -2) = +2 +(-6 ) = -6- (+3) = -3 +(+1) = +1

PROPRIEDADE DA SUBTRAOA subtrao possui uma propriedade.

FECHAMENTO: A diferena de dois nmeros intei-

ros sempre um nmero inteiro.

MULTIPLICAO DE NMEROS INTEIROS1 CASO: OS DOIS FATORES SO NMEROS

INTEIROS POSITIVOS

Lembremos que: 3 . 2 = 2 + 2 + 2 = 6Exemplo:(+3) . (+2) = 3 . (+2) = (+2) + (+2) + (+2) = +6Logo: (+3) . (+2) = +6

Observando essa igualdade, conclumos: na multi-plicao de nmeros inteiros, temos:

(+) . (+) =+

2 CASO: UM FATOR POSITIVO E O OUTRO NEGATIVO

Exemplos:1) (+3) . (-4) = 3 . (-4) = (-4) + (-4) + (-4) = -12ou seja: (+3) . (-4) = -12

2) Lembremos que: -(+2) = -2(-3) . (+5) = - (+3) . (+5) = -(+15) = - 15ou seja: (-3) . (+5) = -15

Concluso: na multiplicao de nmeros inteiros,temos: ( + ) . ( - ) = - ( - ) . ( + ) = -

Exemplos :(+5) . (-10) = -50(+1) . (-8) = -8(-2 ) . (+6 ) = -12(-7) . (+1) = -7

3 CASO: OS DOIS FATORES SO NMEROS IN-TEIROS NEGATIVOS

Exemplo: (-3) . (-6) = -(+3) . (-6) = -(-18) = +18isto : (-3) . (-6) = +18

Concluso: na multiplicao de nmeros inteiros,temos: ( - ) . ( - ) = +

Exemplos: (-4) . (-2) = +8 (-5) . (-4) = +20

As regras dos sinais anteriormente vistas podem serresumidas na seguinte:

( + ) . ( + ) = + ( + ) . ( - ) = -( - ) . ( - ) = + ( - ) . ( + ) = -

Quando um dos fatores o 0 (zero), o produto i-gual a 0: (+5) . 0 = 0

PRODUTO DE TRS OU MAIS NMEROS IN-TEIROS

Exemplos: 1) (+5 ) . ( -4 ) . (-2 ) . (+3 ) =(-20) . (-2 ) . (+3 ) =(+40) . (+3 ) = +120

2) (-2 ) . ( -1 ) . (+3 ) . (-2 ) =(+2 ) . (+3 ) . (-2 ) =(+6 ) . (-2 ) = -12

Podemos concluir que:- Quando o nmero de fatores negativos par, o

produto sempre positivo.- Quando o nmero de fatores negativos mpar,

o produto sempre negativo.

PROPRIEDADES DA MULTIPLICAONo conjunto Z dos nmeros inteiros so vlidas asseguintes propriedades:

1) FECHAMENTOExemplo: (+4 ) . (-2 ) = - 8 ZEnto o produto de dois nmeros inteiros inteiro.

2) ASSOCIATIVAExemplo: (+2 ) . (-3 ) . (+4 )Este clculo pode ser feito diretamente, mas tam-

bm podemos faz-lo, agrupando os fatores de duasmaneiras:

(+2 ) . [(-3 ) . (+4 )] = [(+2 ) . ( -3 )]. (+4 )(+2 ) . (-12) = (-6 ) . (+4 )

-24 = -24

De modo geral, temos o seguinte:Se a, b, c representam nmeros inteiros quaisquer,

ento: a . (b . c) = (a . b) . c

3) ELEMENTO NEUTROObserve que:(+4 ) . (+1 ) = +4 e (+1 ) . (+4 ) = +4

Qualquer que seja o nmero inteiro a, temos:

a . (+1 ) = a e (+1 ) . a = a

O nmero inteiro +1 chama-se neutro para a multi-plicao.

4) COMUTATIVAObservemos que: (+2). (-4 ) = - 8

e (-4 ) . (+2 ) = - 8Portanto: (+2 ) . (-4 ) = (-4 ) . (+2 )

Se a e b so nmeros inteiros quaisquer, ento: a .b = b . a, isto , a ordem dos fatores no altera o pro-duto.

5) DISTRIBUTIVA EM RELAO ADIO E SUBTRAO

Observe os exemplos:(+3 ) . [( -5 ) + (+2 )] = (+3 ) . ( -5 ) + (+3 ) . (+2 )


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(+4 ) . [( -2 ) - (+8 )] = (+4 ) . ( -2 ) - (+4 ) . (+8 )

Concluso:Se a, b, c representam nmeros inteiros quaisquer,

temos:a) a . [b + c] = a . b + a . c

A igualdade acima conhecida como proprieda-de distributiva da multiplicao em relao adi-

o.b) a . [b c] = a . b - a . cA igualdade acima conhecida como proprieda-de distributiva da multiplicao em relao sub-trao.

DIVISO DE NMEROS INTEIROS

CONCEITODividir (+16) por 2 achar um nmero que, multipli-

cado por 2, d 16.16 : 2 = ? 2 . ( ? ) = 16

O nmero procurado 8. Analogamente, temos:1) (+12) : (+3 ) = +4 porque (+4 ) . (+3 ) = +122) (+12) : ( -3 ) = - 4 porque (- 4 ) . ( -3 ) = +123) ( -12) : (+3 ) = - 4 porque (- 4 ) . (+3 ) = -124) ( -12) : ( -3 ) = +4 porque (+4 ) . ( -3 ) = -12

A diviso de nmeros inteiros s pode ser realizadaquando o quociente um nmero inteiro, ou seja,quando o dividendo mltiplo do divisor.

Portanto, o quociente deve ser um nmero inteiro.

Exemplos:

( -8 ) :(+2 ) = -4( -4 ) :(+3 ) = no um nmero inteiro

Lembramos que a regra dos sinais para a diviso a mesma que vimos para a multiplicao:

( + ) : ( + ) = + ( + ) : ( - ) = -( - ) : ( - ) = + ( - ) : ( + ) = -

Exemplos:( +8 ) : ( -2 ) = -4 (-10) : ( -5 ) = +2(+1 ) : ( -1 ) = -1 (-12) : (+3 ) = -4

PROPRIEDADE

Como vimos: (+4 ) : (+3 ) Z

Portanto, no vale em Z a propriedade do fecha-mento para a diviso. Alem disso, tambm no sovlidas as proposies associativa, comutativa e doelemento neutro.

POTENCIAO DE NMEROS INTEIROS

CONCEITOA notao(+2 )3= (+2 ) . (+2 ) . (+2 )

um produto de trs fatores iguais

Analogamente:

( -2 )4= ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 )

um produto de quatro fatores iguais

Portanto potncia um produto de fatores iguais.

Na potncia (+5 )2= +25, temos:

+5 ---------- base2 ---------- expoente+25 ---------- potncia

Observaces :(+2 )1 significa +2, isto , (+2 )1= +2( -3 )1 significa -3, isto , ( -3 )1= -3

CLCULOS

O EXPOENTE PARCalcular as potncias1) (+2 )4= (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) = +16 isto ,

(+2)4

= +162) ( -2 )4= ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) = +16 isto ,(-2 )4= +16

Observamos que: (+2)4= +16 e (-2)4= +16

Ento, de modo geral, temos a regra:

Quando o expoente par, a potncia sempre umnmero positivo.

Outros exemplos: (-1)6= +1 (+3)2= +9

O EXPOENTE MPARCalcular as potncias:1) (+2 )3= (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) = +8

isto , (+2)3= + 82) ( -2 )3= ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) = -8

ou seja, (-2)3= -8

Observamos que: (+2 )3= +8 e ( -2 )3= -8

Da, a regra:Quando o expoente mpar, a potncia tem o

mesmo sinal da base.

Outros exemplos: (- 3)3 = - 27 (+2)4= +16

PROPRIEDADES

PRODUTO DE POTNCIAS DE MESMA BASEExemplos: (+2 )3. (+2 )2= (+2 )3+22= (+2 )5( -2 )2. ( -2 )3. ( -2 )5= ( -2 )2 + 3 + 5 = ( -2 )10

Para multiplicar potncias de mesma base, mante-mos a base e somamos os expoentes.

QUOCIENTE DE POTNCIAS DE MESMA BASE(+2 )5 : (+2 )2= (+2 )5-2= (+2 )3( -2 )7: ( -2 )3= ( -2 )7-3= ( -2 )4Para dividir potncias de mesma base em que o ex-

poente do dividendo maior que o expoente do divisor,mantemos a base e subtramos os expoentes.


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POTNCIA DE POTNCIA[( -4 )3]5= ( -4 )3 . 5= ( -4 )15Para calcular uma potncia de potncia, conserva-

mos a base da primeira potncia e multiplicamos osexpoentes .

POTNCIA DE UM PRODUTO

[( -2 ) . (+3 ) . ( -5 )]4= ( -2 )4. (+3 )4. ( -5 )4

Para calcular a potncia de um produto, sendo n oexpoente, elevamos cada fator ao expoente n.

POTNCIA DE EXPOENTE ZERO(+2 )5: (+2 )5= (+2 )5-5= (+2 )0e (+2 )5: (+2 )5= 1

Consequentemente: (+2 )0= 1 ( -4 )0= 1

Qualquer potncia de expoente zero igual a 1.

Observao:No confundir -32com ( -3 )2, porque -32significa

-( 3 )2e portanto-32= -( 3 )2 = -9enquanto que: ( -3 )2= ( -3 ) . ( -3 ) = +9Logo: -32 ( -3 )2

CLCULOS

O EXPOENTE PARCalcular as potncias(+2 )4= (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) = +16 isto , (+2) 4

= +16( -2 )4= ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) = +16 isto , (-2 ) 4= +16

Observamos que: (+2)4= +16 e (-2)4= +16

Ento, de modo geral, temos a regra:Quando o expoente par, a potncia sempre um

nmero positivo.

Outros exemplos: (-1)6= +1 (+3)2= +9

O EXPOENTE MPAR

Exemplos:Calcular as potncias:1) (+2 )3= (+2 ) . (+2 ) . (+2 ) = +8

isto , (+2)3= + 82) ( -2 )3= ( -2 ) . ( -2 ) . ( -2 ) = -8

ou seja, (-2)3= -8

Observamos que: (+2 )3= +8 e ( -2 )3= -8

Da, a regra:Quando o expoente mpar, a potncia tem o

mesmo sinal da base.

Outros exemplos: (- 3)3 = - 27 (+2)4= +16PROPRIEDADESPRODUTO DE POTNCIAS DE MESMA BASEExemplos: (+2 )3. (+2 )2= (+2 )3+22= (+2 )5

( -2 )2. ( -2 )3. ( -2 )5= ( -2 )2 + 3 + 5 = ( -2 )10

Para multiplicar potncias de mesma base, mante-mos a base e somamos os expoentes.

QUOCIENTE DE POTNCIAS DE MESMA BASE(+2 )5 : (+2 )2= (+2 )5-2= (+2 )3( -2 )7: ( -2 )3= ( -2 )7-3= ( -2 )4

Para dividir potncias de mesma base em que o ex-poente do dividendo maior que o expoente do divisor,mantemos a base e subtramos os expoentes.

POTNCIA DE POTNCIA[( -4 )3]5= ( -4 )3 . 5= ( -4 )15Para calcular uma potncia de potncia, conserva-

mos a base da primeira potncia e multiplicamos osexpoentes .

POTNCIA DE UM PRODUTO[( -2 ) . (+3 ) . ( -5 )]4= ( -2 )4. (+3 )4. ( -5 )4Para calcular a potncia de um produto, sendo n o

expoente, elevamos cada fator ao expoente n.

POTNCIA DE EXPOENTE ZERO(+2 )5: (+2 )5= (+2 )5-5= (+2 )0e (+2 )5: (+2 )5= 1Consequentemente: (+2 )0= 1 ( -4 )0= 1Qualquer potncia de expoente zero igual a 1.

Observao:No confundir-32com (-3)2, porque -32significa -( 3 )2e portanto: -32= -( 3 )2 = -9

enquanto que: ( -3 )2= ( -3 ) . ( -3 ) = +9Logo: -32 ( -3 )2

NMEROS PARES E MPARES

Os pitagricos estudavam natureza dos nmeros, ebaseado nesta natureza criaram sua filosofia e modo devida. Vamos definir nmeros pares e mpares de acordocom a concepo pitagrica:

par o nmero que pode ser dividido em duas par-tes iguais, sem que uma unidade fique no meio, empar aquele que no pode ser dividido em duaspartes iguais, porque sempre h uma unidade nomeio

Uma outra caracterizao, nos mostra a preocupao

com natureza dos nmeros: nmero par aquele que tanto pode ser dividido

em duas partes iguais como em partes desiguais,mas de forma tal que em nenhuma destas diviseshaja uma mistura da natureza par com a naturezampar, nem da mpar com a par. Isto tem uma ni-ca exceo, que o princpio do par, o nmero 2,que no admite a diviso em partes desiguais, por-que ele formado por duas unidades e, se isto po-de ser dito, do primeiro nmero par, 2.

Para exemplificar o texto acima, considere o nmero10, que par, pode ser dividido como a soma de 5 e 5,

mas tambm como a soma de 7 e 3 (que so ambosmpares) ou como a soma de 6 e 4 (ambos so pares);mas nunca como a soma de um nmero par e outro m-par. J o nmero 11, que mpar pode ser escrito comosoma de 8 e 3, um par e um mpar. Atualmente, definimos


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nmeros pares como sendo o nmero que ao ser divididopor dois tm resto zero e nmeros mpares aqueles queao serem divididos por dois tm resto diferente de zero.Por exemplo, 12 dividido por 2 tm resto zero, portanto 12 par. J o nmero 13 ao ser dividido por 2 deixa resto 1,portanto 13 mpar.

MLTIPLOS E DIVISORES

DIVISIBILIDADEUm nmero divisvel por 2 quando termina em 0, 2, 4,

6 ou 8. Ex.: O nmero 74 divisvel por 2, pois termina em4.

Um nmero divisvel por 3 quando a soma dos valo-res absolutos dos seus algarismos um nmero divisvelpor 3. Ex.: 123 divisvel por 3, pois 1+2+3 = 6 e 6 divi-svel por 3

Um nmero divisvel por 5 quando o algarismo dasunidades 0 ou 5 (ou quando termina em o ou 5). Ex.: O

nmero 320 divisvel por 5, pois termina em 0.

Um nmero divisvel por 10 quando o algarismo dasunidades 0 (ou quando termina em 0). Ex.: O nmero500 divisvel por 10, pois termina em 0.

NMEROS PRIMOS

Um nmero natural primo quando divisvel apenaspor dois nmeros distintos: ele prprio e o 1.

Exemplos: O nmero 2 primo, pois divisvel apenas por dois

nmeros diferentes: ele prprio e o 1. O nmero 5 primo, pois divisvel apenas por dois

nmeros distintos: ele prprio e o 1. O nmero natural que divisvel por mais de dois

nmeros diferentes chamado composto. O nmero 4 composto, pois divisvel por 1, 2, 4. O nmero 1 no primo nem composto, pois divi-

svel apenas por um nmero (ele mesmo). O nmero 2 o nico nmero par primo.

DECOMPOSIO EM FATORES PRIMOS (FATORA-O)

Um nmero composto pode ser escrito sob a forma deum produto de fatores primos.

Por exemplo, o nmero 60 pode ser escrito na forma:60 = 2 . 2 . 3 . 5 = 22. 3 . 5que chamada de forma fato-rada.

Para escrever um nmero na forma fatorada, devemosdecompor esse nmero em fatores primos, procedendodo seguinte modo:

Dividimos o nmero considerado pelo menor nmero

primo possvel de modo que a diviso seja exata.Dividimos o quociente obtido pelo menor nmero pri-mo possvel.

Dividimos, sucessivamente, cada novo quociente pelo

menor nmero primo possvel, at que se obtenha o quo-ciente 1.

Exemplo:60 2

0 30 2

0 15 35 0 5

1Portanto: 60 = 2 . 2 . 3 . 5

Na prtica, costuma-se traar uma barra vertical di-reita do nmero e, direita dessa barra, escrever os divi-sores primos; abaixo do nmero escrevem-se os quocien-tes obtidos. A decomposio em fatores primos estarterminada quando o ltimo quociente for igual a 1.

Exemplo:

6030155

1

2235

Logo: 60 = 2 . 2 . 3 . 5

DIVISORES DE UM NMERO

Consideremos o nmero 12 e vamos determinar todosos seus divisores Uma maneira de obter esse resultado escrever os nmeros naturais de 1 a 12 e verificar secada um ou no divisor de 12, assinalando os divisores.

1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12= = = = = ==Indicando por D(12) (l-se: "D de 12) o conjunto dos

divisores do nmero 12, temos:D (12) = { 1, 2, 3, 4, 6, 12}

Na prtica, a maneira mais usada a seguinte:1) Decompomos em fatores primos o nmero consi-derado.

12631

223

2) Colocamos um trao vertical ao lado os fatoresprimos e, sua direita e acima, escrevemos o nume-ro 1 que divisor de todos os nmeros.

12631

223

1

3) Multiplicamos o fator primo 2 pelo divisor 1 e es-crevemos o produto obtido na linha correspondente.

12631

223

x1

2


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4) Multiplicamos, a seguir, cada fator primo pelosdivisores j obtidos, escrevendo os produtos naslinhas correspondentes, sem repeti-los.

12631

223

x124

12631

223

x1243, 6, 12

Os nmeros obtidos direita dos fatores primos soos divisores do nmero considerado. Portanto:

D(12) = { 1, 2, 4, 3, 6, 12}

Exemplos:1)

18931

233

123, 69, 18

D(18) = {1, 2 , 3, 6, 9, 18}

2)

301551

235

123, 65, 10, 15, 30

D(30) = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

MXIMO DIVISOR COMUM

Recebe o nome de mximo divisor comum de dois oumais nmeros o maior dos divisores comuns a essesnmeros.

Um mtodo prtico para o clculo do M.D.C. de doisnmeros o chamado mtodo das divises sucessivas(ou algoritmo de Euclides), que consiste das etapas se-guintes:

1) Divide-se o maior dos nmeros pelo menor. Se adiviso for exata, o M.D.C. entre esses nmeros o menor deles.

2) Se a diviso no for exata, divide-se o divisor (omenor dos dois nmeros) pelo resto obtido na di-viso anterior, e, assim, sucessivamente, at seobter resto zero. 0 ultimo divisor, assim determi-nado, ser o M.D.C. dos nmeros considerados.

Exemplo:Calcular o M.D.C. (24, 32)

32 24 24 8

8 1 0 3

Resposta: M.D.C. (24, 32) = 8

MNIMO MLTIPLO COMUM

Recebe o nome de mnimo mltiplo comum de dois oumais nmeros o menor dos mltiplos (diferente de zero)comuns a esses nmeros.

O processo prtico para o clculo do M.M.C de dois oumais nmeros, chamado de decomposio em fatores

primos, consiste das seguintes etapas:1) Decompem-se em fatores primos os nmerosapresentados.

2) Determina-se o produto entre os fatores primoscomuns e no-comuns com seus maiores expo-entes. Esse produto o M.M.C procurado.

Exemplos: Calcular o M.M.C (12, 18)

Decompondo em fatores primos esses nmeros, te-mos:

12 2 18 26 2 9 3

3 3 3 31 1

12 = 22. 3 18 = 2 . 32Resposta: M.M.C (12, 18) = 22. 32= 36

Observao: Esse processo prtico costuma ser sim-plificado fazendo-se uma decomposio simultnea dosnmeros. Para isso, escrevem-se os nmeros, um aolado do outro, separando-os por vrgula, e, direita dabarra vertical, colocada aps o ltimo nmero, escrevem-se os fatores primos comuns e no-comuns. 0 calculoestar terminado quando a ltima linha do dispositivo for

composta somente pelo nmero 1. O M.M.C dos nmerosapresentados ser o produto dos fatores.

Exemplo:Calcular o M.M.C (36, 48, 60)

36, 48, 6018, 24, 309, 12, 159, 6, 159, 3, 153, 1, 51, 1 51, 1, 1

2222335

Resposta: M.M.C (36, 48, 60) = 24. 32. 5 = 720

RAZ QUADRADA EXATA DE NMEROS INTEIROS

CONCEITOConsideremos o seguinte problema:Descobrir os nmeros inteiros cujo quadrado +25.Soluo: (+5 )2= +25 e ( -5 )2=+25Resposta: +5 e -5

Os nmeros +5 e -5 chamam-se razes quadradas de

+25.Outros exemplos:

Nmero Razes quadradas+9 + 3 e -3


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+16+1+64+81+49+36

+ 4 e -4+ 1 e -1+ 8 e -8+ 9 e -9+ 7 e -7+6 e -6

O smbolo 25 significa a raiz quadrada de 25, isto

25 = +5Como 25 = +5 , ento: 525 = Agora, consideremos este problema.

Qual ou quais os nmeros inteiros cujo quadrado -25?

Soluo: (+5 )2= +25 e (-5 )2= +25Resposta: no existe nmero inteiro cujo quadrado

seja -25, isto , 25 no existe no conjunto Z dosnmeros inteiros.

Concluso: os nmeros inteiros positivos tm, como

raiz quadrada, um nmero positivo, os nmeros inteirosnegativos no tm raiz quadrada no conjunto Z dos n-meros inteiros.

RADICIAO

A raiz n-sima de um nmero b um nmero a tal quean= b.

2325 =

5 ndice32 radicando pois 25= 32

raiz

2 radical

Outros exemplos : 3 8 = 2 pois 23 = 83 8 = - 2 pois ( -2 )3= -8

PROPRIEDADES (para a 0, b 0)

1)

pm pnm n

aa

: :

= 3 215 10

33 = 2) nnn baba = 326 =

3) nnn baba :: = 4

4

4

16

5

16

5=

4) ( ) m nnm aa = ( ) 3 553 xx = 5) nmm n aa = 126 33=

EXPRESSES NUMRICAS COM NMEROS IN-TEIROS ENVOLVENDO AS QUATRO OPERAES

Para calcular o valor de uma expresso numrica comnmeros inteiros, procedemos por etapas.

1 ETAPA:a) efetuamos o que est entre parnteses ( )

b) eliminamos os parnteses

2 ETAPA:a) efetuamos o que est entre colchetes [ ]b) eliminamos os colchetes

3 ETAPA:a) efetuamos o que est entre chaves { }

b) eliminamos as chaves

Em cada etapa, as operaes devem ser efetuadas naseguinte ordem:

1) Potenciao e radiciao na ordem em que apa-recem.

2) Multiplicao e diviso na ordem em que apare-cem.

3) Adio e subtrao na ordem em que aparecem.

Exemplos:1) 2 + 7 . (-3 + 4) =

2 + 7 . (+1) = 2 + 7 = 9

2) (-1 )3+ (-2 )2: (+2 ) =-1+ (+4) : (+2 ) =-1 + (+2 ) =-1 + 2 = +1

3) -(-4 +1) [-(3 +1)] =-(-3) - [-4 ] =+3 + 4 = 7

4) 2( -3 1)2 +3 . ( -1 3)3 + 4-2 . ( -4 )2 + 3 . ( - 4 )3 + 4 =-2 . (+16) + 3 . (- 64) + 4 =

-32 192 + 4 =-212 + 4 = - 208

5) (-288) : (-12)2- (-125) : ( -5 )2=(-288) : (+144) - (-125) : (+25) =(-2 ) - (- 5 ) = -2 + 5 = +3

6) (-10 - 8) : (+6 ) - (-25) : (-2 + 7 ) =(-18) : (+6 ) - (-25) : (+5 ) =-3 - (- 5) =- 3 + 5 = +2

7) 52: (+25) - (-4 )2: 24- 12=

-25 : (+25) - (+16) : 16 - 1 =-1 - (+1) 1 = -1 -1 1 = -3

8) 2 . ( -3 )2+ (-40) : (+2)3- 22=2 . (+9 ) + (-40) : (+8 ) - 4 =+18 + (-5) - 4 =+ 18 - 9 = +9

CONJUNTO DOS NMEROS RACIONAIS (Q)

Os nmeros racionais so representados por um

numeral em forma de frao ou razo,a

b, sendo a e b

nmeros naturais, com a condio de b ser diferente dezero.

1. NMERO FRACIONARIO. A todo par ordenado(a, b) de nmeros naturais, sendo b 0, corresponde

baab nn ==


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um nmero fracionriob

a.O termo a chama-se nume-

rador e o termo b denominador.

2. TODO NMERO NATURAL pode ser represen-tado por uma frao de denominador 1. Logo, poss-vel reunir tanto os nmeros naturais como os fracion-

rios num nico conjunto, denominado conjunto dosnmeros racionais absolutos, ou simplesmente conjun-to dos nmeros racionais Q.

Qual seria a definio de um nmero racional abso-luto ou simplesmente racional? A definio dependedas seguintes consideraes:

a) O nmero representado por uma frao no mu-da de valor quando multiplicamos ou dividimostanto o numerador como o denominador por ummesmo nmero natural, diferente de zero.Exemplos: usando um novo smbolo: o smbolo de equivalncia para fraes

3020

215210

1510

5352

32

b) Classe de equivalncia. o conjunto de todas asfraes equivalentes a uma frao dada.

,4

12,

3

9,

2

6,

1

3 (classe de equivalncia da fra-

o:1

3)

Agora j podemos definir nmero racional : nmeroracional aquele definido por uma classe de equiva-

lncia da qual cada frao um representante.NMERO RACIONAL NATURAL ou NMERO

NATURAL:

===2

0

1

00 (definido pela classe de equiva-

lncia que representa o mesmonmero racional 0)

===2

2

1

11 (definido pela classe de equiva-

lncia que representa o mesmonmero racional 1)

e assim por diante.

NMERO RACIONAL FRACIONRIO ou NME-RO FRACIONRIO:

===6

3

4

2

2

1(definido pela classe de equivaln-

cia que representa o mesmonmero racional 1/2).

NOMES DADOS S FRAES DIVERSASDecimais: quando tm como denominador 10 ou

uma potncia de 10

,100

7,10

5 etc.

b) prprias: aquelas que representam quantidades

menores do que 1.

,7

2,

4

3,

2

1etc.

c) imprprias: as que indicam quantidades iguais oumaiores que 1.

,5

9,

1

8,

5

5etc.

d) aparentes: todas as que simbolizam um nmeronatural.

204

5 4= =,82

, etc.

e) ordinrias: o nome geral dado a todas as fra-es, com exceo daquelas que possuem como de-nominador 10, 102, 103 ...

f) fraes iguais: so as que possuem os termos i-

guais 34

85

= 34

85

, = , etc.

g) forma mista de uma frao: o nome dado aonumeral formado por uma parte natural e uma parte

fracionria;

7

42 A parte natural 2 e a parte fracio-

nria7

4.

h) irredutvel: aquela que no pode ser mais sim-

plificada, por ter seus termos primos entre si.34

, ,5

12

37

, etc.

4. PARA SIMPLIFICAR UMA FRAO, desde queno possua termos primos entre si, basta dividir os doisternos pelo seu divisor comum.

3

2

4:12

4:8

12

8==

5. COMPARAO DE FRAES.Para comparar duas ou mais fraes quaisquer pri-

meiramente convertemos em fraes equivalentes demesmo denominador. De duas fraes que tm omesmo denominador, a maior a que tem maior nume-rador. Logo:

4

3

3

2

2

1

12

9

12

8

12

6


21/196



A soma ou a diferena de duas fraes uma outrafrao, cujo calculo recai em um dos dois casos seguin-tes:

1 CASO: Fraes com mesmo denominador. Ob-servemos as figuras seguintes:

36

26

56

Indicamos por:6

5

6

2

6

3=+

26

56

36

Indicamos por:

6

3

6

2

6

5=

Assim, para adicionar ou subtrair fraes de mesmodenominador, procedemos do seguinte modo:

adicionamos ou subtramos os numeradores emantemos o denominador comum.

simplificamos o resultado, sempre que possvel.

Exemplos:

5

4

5

13

5

1

5

3=

+=+

3

4

9

12

9

84

9

8

9

4

==

+

=+

3

2

6

4

6

37

6

3

6

7==

=

07

0

7

22

7

2

7

2==

=

Observao: A subtrao s pode ser efetuadaquando o minuendo maior que o subtraendo, ou iguala ele.

2 CASO:Fraes com denominadores diferentes:

Neste caso, para adicionar ou subtrair fraes comdenominadores diferentes, procedemos do seguintemodo:

Reduzimos as fraes ao mesmo denominador. Efetuamos a operao indicada, de acordo com o

caso anterior. Simplificamos o resultado (quando possvel).

Exemplos:

6

5

12

10

12

64

12

6

12

4

4

2

3

1)1

==

=+

=

=+=

=+

8

9

24

27

24

121524

12

24

15

6

3

8

5)2

==

=+

=

=+=

=+

Observaes:Para adicionar mais de duas fraes, reduzimos to-

das ao mesmo denominador e, em seguida, efetuamosa operao.

Exemplos.

5

4

15

12

15

372

15

3

15

7

15

2)

==

=++

=

=++a

24

53

24

1232018

24

12

24

3

24

20

24

18

2

1

8

1

6

5

4

3)

=

=+++

=

=+++=

=+++b

Havendo nmero misto, devemos transform-lo emfrao imprpria:

Exemplo:

213

512

316

73

512

196

2812

512

3812

28 5 3812

7112

+ + =

+ + =

+ + =

+ +=

Se a expresso apresenta os sinais de parnteses (), colchetes [ ] e chaves { }, observamos a mesmaordem:

1) efetuamos as operaes no interior dos parnte-ses;

2) as operaes no interior dos colchetes;3) as operaes no interior das chaves.

Exemplos:


22/196



12

11

12

6

12

17

2

1

12

17

2

1

12

9

12

8

2

4

2

5

4

3

3

2)1

=

==

==

=

+=

=

+

1217

1229

1246

1229

623

1229

67

630

129

1220

67

5

43

35

62

69

5

43

32

131

23

5)2

=

==

==

=

=

=

+

=

=

+

=

=

+

NMEROS RACIONAIS

Um crculo foi dividido em duas partes iguais. Dize-mos que uma unidade dividida em duas partes iguais eindicamos 1/2.

onde: 1 = numerador e 2 = denominador

Um crculo dividido em 3 partes iguais indicamos(das trs partes hachuramos 2).

Quando o numerador menor que o denominadortemos uma frao prpria. Observe:

Observe:

Quando o numerador maior que o denominadortemos uma frao imprpria.

FRAES EQUIVALENTES

Duas ou mais fraes so equivalentes, quando re-presentam a mesma quantidade.

Dizemos que:63

42

21

==

- Para obter fraes equivalentes, devemos multi-plicar ou dividir o numerador por mesmo nmero dife-rente de zero.

Ex:63

33.

21ou

42

22

21 ==

Para simplificar fraes devemos dividir o numera-dor e o denominador, por um mesmo nmero diferentede zero.

Quando no for mais possvel efetuar as divisesdizemos que a frao irredutvel.

Exemplo:

==

6

3

6

9

2

2:

12

18 Frao Irredutvel ou Sim-

plificada

Exemplo:43

e31

Calcular o M.M.C. (3,4): M.M.C.(3,4) = 12

43

e31

=( ) ( )12

34:12e

1213:12 temos:

129

e124

A frao31

equivalente a124

.

A frao43

equivalente129

.


23/196



Exerccios:1) Achar trs fraes equivalentes s seguintes fra-

es:

1)41

2)32

Respostas: 1)164

,123

,82

2)128

,96

,64

COMPARAO DE FRAES

a) Fraes de denominadores iguais.Se duas fraes tem denominadores iguais a maior

ser aquela: que tiver maior numerador.

Ex.:43

41

ou41

43

b) Fraes com numeradores iguaisSe duas fraes tiverem numeradores iguais, a me-

nor ser aquela que tiver maior denominador.

Ex.: 4757ou5747

c) Fraes com numeradores e denominadoresreceptivamente diferentes.

Reduzimos ao mesmo denominador e depois com-paramos. Exemplos:

31

32

> denominadores iguais (ordem decrescente)

34

54

> numeradores iguais (ordem crescente)

SIMPLIFICAO DE FRAES

Para simplificar fraes devemos dividir o numera-dor e o denominador por um nmero diferente de zero.

Quando no for mais possvel efetuar as divises,dizemos que a frao irredutvel. Exemplo:

23

33

:6:9

22

:12:18

==

Frao irredutvel ou simplificada.

Exerccios: Simplificar 1)12

9 2)

45

36

Respostas: 1)43

2)54

REDUO DE FRAES AO MENOR DENOMINA-DOR COMUM

Ex.:43

e31

Calcular o M.M.C. (3,4) = 12

4

3

e3

1

=

( ) ( )

12

34:12

e12

13:12

temos:

129

e124

A frao31

equivalente a124

. A frao43

equiva-

lente129

.

Exemplo:

5

4?

3

2 numeradores diferentes e denomina-

dores diferentes m.m.c.(3, 5) = 15

15(15.5).4

?15

3).2:(15 =

1512

1510

< (ordem

crescente)

Exerccios: Colocar em ordem crescente:

1)32

e52

2)34

e35

3)54

e32

,65

Respostas: 1) 3

2

5

2

< 2) 3

5

3

4

<

3)23

65

34


24/196



Exemplo:

103

206

43

x52

43

.52

===

Exerccios: Calcular:

1)45

52

2)34

23

52

3)

+

31

32

53

51

Respostas: 1)65

1210 = 2)

54

3024 = 3)

154

DIVISO DE FRAES

Para dividir duas fraes conserva-se a primeira emultiplica-se pelo inverso da Segunda.

Exemplo:56

1012

23

.54

32

:54

===

Exerccios. Calcular:

1) 92

:34

2) 256

:158

3)

+ 3

134

:53

52

Respostas: 1) 6 2)920

3) 1

POTENCIAO DE FRAES

Eleva o numerador e o denominador ao expoentedado. Exemplo:

278

3

232

3

33

==

Exerccios. Efetuar:

1)2

43

2)

4

21

3)

32

21

34

Respostas: 1)169

2)161

3)72

119

RADICIAO DE FRAES

Extrai raiz do numerador e do denominador.

Exemplo:32

9

494

==

Exerccios. Efetuar:

1)91

2)2516

3)2

21

169

+

Respostas: 1)31

2)54

3) 1

NMEROS DECIMAISToda frao com denominador 10, 100, 1000,...etc,

chama-se frao decimal.

Ex:100

7,

1004

,103

, etc

Escrevendo estas fraes na forma decimal temos:

103

= trs dcimos,

100

4= quatro centsimos

10007

= sete milsimos

Escrevendo estas fraes na forma decimal temos:

103

=0,3100

4= 0,04

10007

= 0,007

Outros exemplos:

1)1034

= 3,4 2)100635

= 6,35 3)10

2187=218,7

Note que a vrgula caminha da direita para a es-querda, a quantidade de casas deslocadas a mesmaquantidade de zeros do denominador.

Exerccios. Representar em nmeros decimais:

1)1035

2)100473

3)1000430

Respostas: 1) 3,5 2) 4,73 3) 0,430

LEITURA DE UM NMERO DECIMAL

Ex.:

OPERAES COM NMEROS DECIMAIS

Adio e SubtraoColoca-se vrgula sob virgula e somam-se ou sub-

traem-se unidades de mesma ordem. Exemplo 1:

10 + 0,453 + 2,83210,000

+ 0,4532,832

_______13,285

Exemplo 2:


25/196



47,3 - 9,3547,309,35

______37,95

Exerccios. Efetuar as operaes:1) 0,357 + 4,321 + 31,45

2) 114,37 - 93,43) 83,7 + 0,53 - 15, 3

Respostas: 1) 36,128 2) 20,97 3) 68,93

MULTIPLICAO COM NMEROS DECIMAIS

Multiplicam-se dois nmeros decimais como se fos-sem inteiros e separam-se os resultados a partir dadireita, tantas casas decimais quantos forem os alga-rismos decimais dos nmeros dados.

Exemplo: 5,32 x 3,8

5,32 2 casas,x 3,81 casa aps a virgula______

42561596 +

______20,216 3 casas aps a vrgula

Exerccios. Efetuar as operaes:1) 2,41 . 6,3 2) 173,4 . 3,5 + 5 . 4,63) 31,2 . 0,753

Respostas: 1) 15,183 2) 629,9

3) 23,4936

DIVISO DE NMEROS DECIMAIS

Igualamos as casas decimais entre o dividendo e odivisor e quando o dividendo for menor que o divisoracrescentamos um zero antes da vrgula no quociente.

Ex.:a) 3:4

3 |_4_30 0,7520

0b) 4,6:2

4,6 |2,0 = 46 | 2060 2,30

Obs.: Para transformar qualquer frao em nmerodecimal basta dividir o numerador pelo denominador.

Ex.: 2/5 = 2 | 5 , ento 2/5=0,420 0,4

Exerccios1) Transformar as fraes em nmeros decimais.

1) 51

2) 54

3) 4

1

Respostas: 1) 0,2 2) 0,8 3) 0,25

2) Efetuar as operaes:

1) 1,6 : 0,4 2) 25,8 : 0,23) 45,6 : 1,23 4) 178 : 4,5-3,4.1/25) 235,6 : 1,2 + 5 . 3/4

Respostas: 1) 4 2) 129 3) 35,074) 37,855 5) 200,0833....

Multiplicao de um nmero decimal por 10, 100,

1000

Para tornar um nmero decimal 10, 100, 1000.....vezes maior, desloca-se a vrgula para a direita, res-pectivamente, uma, duas, trs, ...casas decimais.2,75 x 10 = 27,5 6,50 x 100 = 6500,125 x 100 = 12,5 2,780 x 1.000 = 2.7800,060 x 1.000 = 60 0,825 x 1.000 = 825

DIVISOPara dividir os nmeros decimais, procede-se as-

sim:1) iguala-se o nmero de casas decimais;

2) suprimem-se as vrgulas;3) efetua-se a diviso como se fossem nmeros in-

teiros.

Exemplos: 6 : 0,15 = 6,00 0,15

000 40Igualam se as casas decimais.Cortam-se as vrgulas.

7,85 : 5 = 7,85 : 5,00 785 : 500 = 1,57

Dividindo 785 por 500 obtm-se quociente 1 e resto285

Como 285 menor que 500, acrescenta-se umavrgula ao quociente e zeros ao resto

2 : 4 0,5

Como 2 no divisvel por 4, coloca-se zero e vr-gula no quociente e zero no dividendo

0,35 : 7 = 0,350 7,00 350 : 700 =0,05

Como 35 no divisvel por 700, coloca-se zero e vr-

gula no quociente e um zero no dividendo. Como 350no divisvel por 700, acrescenta-se outro zero aoquociente e outro ao dividendo

Diviso de um nmero decimal por 10, 100, 1000

Para tornar um nmero decimal 10, 100, 1000, ....vezes menor, desloca-se a vrgula para a esquerda,respectivamente, uma, duas, trs, ...casas decimais.

Exemplos:25,6 : 10 = 2,5604 : 10 = 0,4

315,2 : 100 = 3,152018 : 100 = 0,180042,5 : 1.000 = 0,04250015 : 1.000 = 0,015


26/196



milhar centena dezena Unidadesimples

dcimo centsimo milsimo

1 000 100 10 1 0,1 0,01 0,001

LEITURA DE UM NMERO DECIMALProcedemos do seguinte modo:1) Lemos a parte inteira (como um nmero natural).

2) Lemos a parte decimal (como um nmero natu-ral), acompanhada de uma das palavras:- dcimos, se houver uma ordem (ou casa) deci-

mal- centsimos, se houver duas ordens decimais;- milsimos, se houver trs ordens decimais.

Exemplos:1) 1,2 L-se:"um inteiro e

dois dcimos".

2) 12,75 L-se:"doze inteirose setenta e cinco

centsimos".3) 8,309 L-se:"oito inteiros e

trezentos e novemilsimos''.

Observaes:1) Quando a parte inteira zero, apenas a parte de-

cimal lida.Exemplos:

a) 0,5 - L-se:"cincodcimos".

b) 0,38 - L-se:"trinta e oitocentsimos".

c) 0,421 - L-se:"quatrocentose vinte e ummilsimos".

2) Um nmero decimal no muda o seu valor se a-crescentarmos ou suprimirmos zeros direita doltimo algarismo.Exemplo: 0,5 = 0,50 = 0,500 = 0,5000 " .......

3) Todo nmero natural pode ser escrito na formade nmero decimal, colocando-se a vrgula apso ltimo algarismo e zero (ou zeros) a sua direita.Exemplos:34 = 34,00... 176 = 176,00...

CONJUNTO DOS NMEROS REAIS (R)

CORRESPONDNCIA ENTRE NMEROS EPONTOS DA RETA, ORDEM, VALOR ABSOLUTO

H nmeros que no admitem representaodecimal finita nem representao decimal infinita eperidico, como, por exemplo:

= 3,14159265...

2 = 1,4142135...

3 = 1,7320508...

5 = 2,2360679...

Estes nmeros no so racionais: Q, 2

Q, 3 Q, 5 Q; e, por isso mesmo, sochamados de irracionais.

Podemos ento definir os irracionais como sendoaqueles nmeros que possuem uma representao

decimal infinita e no peridico.

Chamamos ento de conjunto dos nmeros reais, eindicamos com R, o seguinte conjunto:

Como vemos, o conjunto R a unio do conjuntodos nmeros racionais com o conjunto dos nmerosirracionais.

Usaremos o smbolo estrela (*) quando quisermosindicar que o nmero zero foi excludo de um conjunto.

Exemplo: N* = { 1; 2; 3; 4; ... }; o zero foi excludo deN.

Usaremos o smbolo mais (+) quando quisermosindicar que os nmeros negativos foram excludos deum conjunto.

Exemplo: Z+ = { 0; 1; 2; ... } ; os negativos foramexcludos de Z.

Usaremos o smbolo menos (-) quando quisermosindicar que os nmeros positivos foram excludos deum conjunto.

Exemplo: Z = { . .. ; - 2; - 1; 0 } ; os positivos foramexcludos de Z.

Algumas vezes combinamos o smbolo (*) com osmbolo (+) ou com o smbolo (-).

Exemplos

a) Z* = ( 1; 2; 3; ... ) ; o zero e os negativos foram

excludos de Z.

b) Z+* = { ... ; - 3; - 2; - 1 } ; o zero e os positivosforam excludos de Z.

Exerccios resolvidos1. Completar com ou :a) 5 Z

b) 5 Z*

c) 3,2 Z+*

d)14

Z

e) 41

Z

f) 2 Q

g) 3 Q*

h) 4 Q

i) ( ) 22 Q-

j) 2 R

k) 4 R-

Resoluo

R= { x | x racional ou x irracional}


27/196



a) , pois 5 positivo.b) , pois 5 positivo e os positivos foram

excludos de Z*

c) 3,2 no inteiro.

d) , pois14

no inteiro.

e) , pois41 = 4 inteiro.

f) , pois 2 no racional.

g) , pois 3 no racional

h) , pois 4 = 2 racional

i) , pois ( ) = =2 4 22

positivo, e os

positivos foram excludos de Q .

j) , pois 2 real.

k) , pois 4 = 2 positivo, e os positivos foram

excludos de R

2. Completar com ou :

a) N Z* d) Q Z

b) N Z+ e) Q+* R+

*

c) N Q

Resoluo:

a) , pois 0 N e 0 Z* .b) , pois N = Z+

c) , pois todo nmero natural tambmracional.d) , pois h nmeros racionais que no so

inteiros como por exemplo,23

.

e) , pois todo racional positivo tambm realpositivo.

Exerccios propostos:1. Completar com ou

a) 0 N

b) 0 N* c) 7 Z d) - 7 Z+ e) 7 Q

f)17

Q

g)71

Q+*

h) 7 Q

i) 72 Q

j) 7 R*

2. Completar com oua) 3 Q d) Qb) 3,1 Q e) 3,141414... Qc) 3,14 Q

3. Completar com ou :a) Z+

* N* d) Z* R

b) Z N e) Z R+

c) R+ Q

4. Usando diagramas de Euler-Venn, represente osconjuntos N, Z, Q e R .

Respostas:1.a) b) c) d)

e) f) g) h)

i)j)

2.a) b)

c) d)

e)

3.a) b)

c)d)

e)

4.

Reta numricaUma maneira prtica de representar os nmeros re-

ais atravs da reta real. Para constru-la, desenha-mos uma reta e, sobre ela, escolhemos, a nosso gosto,um ponto origem que representar o nmero zero; aseguir escolhemos, tambm a nosso gosto, porm direita da origem, um ponto para representar a unidade,ou seja, onmero um. Ento, a distncia entre os pon-

tos mencionados ser a unidade de medida e, combase nela, marcamos, ordenadamente, os nmerospositivos direita da origem e os nmeros negativos sua esquerda.

EXERCCIOS1) Dos conjuntos a seguir, o nico cujos elementos

so todos nmeros racionais :

a)

24,5,3,2,2

1

c)

3,2,0,72

,1

b) { }0,2,2,3 d) 75,,4,9,0

2) Se 5 irracional, ento:

a) 5 escreve-se na formanm

, com n 0 e m, n N.

b) 5 pode ser racionalc) 5jamais se escreve sob a forma

nm

, com n 0 e

m, n N.


28/196



d) 2 5 racional

3) Sendo N, Z, Q e R, respectivamente, os conjuntosdos naturais, inteiros, racionais e reais, podemosescrever:

a) x N x R c) Z Qb) x Q x Z d) R Z

4) Dado o conjunto A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, podemosafirmar que:

a) x A x primob) x A | x maior que 7c) x A x mltiplo de 3d) x A | x pare) nenhuma das anteriores

5) Assinale a alternativa correta:a) Os nmeros decimais peridicos so irracionaisb) Existe uma correspondncia biunvoca entre os

pontos da reta numerada, e o conjunto Q.

c) Entre dois nmeros racional existem infinitos n-meros racionais.d) O conjunto dos nmeros irracionais finito

6) Podemos afirmar que:a) todo real racional.b) todo real irracional.c) nenhum irracional racional.d) algum racional irracional.

7) Podemos afirmar que:a) entre dois inteiros existe um inteiro.b) entre dois racionais existe sempre um racional.

c) entre dois inteiros existe um nico inteiro.d) entre dois racionais existe apenas um racional.

8) Podemos afirmar que:a) a, b N a - b Nb) a, b N a : b Nc) a, b R a + b Rd) a, b Z a : b Z

9) Considere as seguintes sentenas:

I) 7 irracional.II) 0,777... irracional.

III) 2 2 racional.Podemos afirmar que:

a) l falsa e II e III so verdadeiros.b) I verdadeiro e II e III so falsas.c) I e II so verdadeiras e III falsa.d) I e II so falsas e III verdadeira.

10) Considere as seguintes sentenas:I) A soma de dois nmeros naturais sempre um

nmero natural.II) O produto de dois nmeros inteiros sempre um

nmero inteiro.

III) O quociente de dois nmeros inteiros sempreum nmero inteiro.Podemos afirmar que:

a) apenas I verdadeiro.b) apenas II verdadeira.

c) apenas III falsa.d) todas so verdadeiras.

11) Assinale a alternativa correta:a) R N c) Q Nb) Z R d) N { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

12) Assinale a alternativa correto:

a) O quociente de dois nmero, racionais sempreum nmero inteiro.

b) Existem nmeros Inteiros que no so nmerosreais.

c) A soma de dois nmeros naturais sempre umnmero inteiro.

d) A diferena entre dois nmeros naturais sempreum nmero natural.

13) O seguinte subconjunto dos nmeros reais

escrito em linguagem simblica :a) { x R | 3< x < 15 } c) { x R | 3 x 15 }b) { x R | 3 x < 15 } d) { x R | 3< x 15 }

14) Assinale a alternativa falsa:a) R* = { x R | x < 0 ou x >0}b) 3 Qc) Existem nmeros inteiros que no so nmeros

naturais.

d) a repre-

sentao de { x R | x 7 }

15) O nmero irracional :

a) 0,3333... e)54

b) 345,777... d) 7

16) O smbolo R representa o conjunto dos nme-ros:

a) reais no positivos c) irracional.b) reais negativos d) reais positivos.

17) Os possveis valores de a e de b para que a n-mero a + b 5 seja irracional, so:

a) a = 0 e b=0 c) a = 0 e b = 2

c) a = 1 e b = 5 d) a = 16 e b = 0

18) Uma representao decimal do nmero 5 :a) 0,326... c) 1.236...b) 2.236... d) 3,1415...

19) Assinale o nmero irracional:a) 3,01001000100001... e) 3,464646...b) 0,4000... d) 3,45

20) O conjunto dos nmeros reais negativos repre-sentado por:

a) R* c) R


29/196



b) R_ d) R*

21) Assinale a alternativo falso:a) 5 Z b) 5,1961... Q

c)35

Q

22) Um nmero racional compreendido entre 3 e

6 :

a) 3,6 c)2

6.3

b)36

d)2

63+

23) Qual dos seguintes nmeros irracional?

a) 3 125 c) 27

b) 4 1 d) 169

24) a representaogrfica de:

a) { x R | x 15 } b) { x R | -2x < 4 }c) { x R | x < -2 } d) { x R | -2< x 4 }

RESPOSTAS1) d 5) b 9) b 13) b 17) c 21) b2) c 6) c 10) c 14) d 18) b 22) b3) a 7) b 11) b 15) d 19) a 23) c4) e 8) c 12) c 16) b 20) b 24) d

SISTEMA DE MEDIDAS LEGAIS

A) Unidades de ComprimentoB) Unidades de REAC) reas PlanasD) Unidades de Volume e de CapacidadeE) Volumes dos principais slidos geomtricosF) Unidades de Massa

A) UNIDADES DE COMPRIMENTO

Medidas de comprimento:

Medir significa comparar. Quando se mede umdeterminado comprimento, estamos comparando estecomprimento com outro tomado como unidade de medida.Portanto, notamos que existe um nmero seguido de umnome: 4 metros o nmero ser a medida e o nome ser aunidade de medida.

Podemos medir a pgina deste livro utilizando umlpis; nesse caso o lpis foi tomado como unidade de medidaou seja, ao utilizarmos o lpis para medirmos o comprimentodo livro, estamos verificando quantas vezes o lpis (tomadocomo medida padro) caber nesta pgina.

Para haver uma uniformidade nas relaes humanas

estabeleceu-se o metro como unidade fundamental demedida de comprimento; que deu origem ao sistema mtricodecimal,

ipem pe - assistente - matemática

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