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PROJETO DE GRADUAÇÃO
INVESTIGAÇÃO EXPERIMENTAL DA FREQUÊNCIA NATURAL DE ESTRUTURAS
SIMPLES COM VARIABILIDADE ESPACIALMENTE CORRELACIONADA
Por, Jorge Hamilton Heine e Silva
Brasília, 26 de Junho de 2015
UNIVERSIDADE DE BRASILIA
FACULDADE DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECANICA
UNIVERSIDADE DE BRASILIA
Faculdade de Tecnologia
Departamento de Engenharia Mecânica
ii
PROJETO DE GRADUAÇÃO
INVESTIGAÇÃO EXPERIMENTAL DA FREQUÊNCIA NATURAL DE ESTRUTURAS
SIMPLES COM VARIABILIDADE ESPACIALMENTE CORRELACIONADA
POR,
Jorge Hamilton Heine e Silva
Relatório submetido como requisito parcial para obtenção
do grau de Engenheiro Mecânico.
Banca Examinadora
Prof. Adriano Todorovic Fabro, UnB/ ENM (Orientador)
Prof. Fernando Jorge Rodrigues Neves, UnB/ ENM
Prof. Marcus Vinicius Girão de Morais, UnB/ ENM
Brasília, 26 de Junho de 2015
iii
Agradecimentos
Agradeço aos meus pais, Nazira e Edmilton, que me proporcionaram este momento, pois sem
o apoio e dedicação deles para meu sucesso, eu não estaria aqui. Aos meus amigos que
estiveram ao meu lado durante o curso. Aos professores que forneceram o embasamento para
este projeto. À minha companheira, Camila, pelo amor e carinho, que me impulsionaram nessa
trajetória, bem como os conselhos que ajudaram no crescimento pessoal.
Jorge Hamilton Heine e Silva
iv
RESUMO
A maioria dos materiais utilizados em projetos estruturais têm variabilidade espacial das suas
propriedades mecânicas, devido ao processo de fabricação. Esta variabilidade desempenha um papel,
quando a estrutura é sujeita a vibração e as cargas dinâmicas. Devido à natureza aleatória desta
variabilidade, uma abordagem determinística não é capaz, na maioria das situações, de caracterizar o
comportamento estrutural de forma que uma abordagem probabilística é necessário. Neste trabalho, um
procedimento experimental é utilizado para avaliar a influência da variabilidade espacial sobre o
comportamento dinâmico de estrutura simples em que a função de correlação é controlada a priori. Um
conjunto de massas são adicionados ao longo da viga, de acordo com um modelo estocástico, a fim de
se aproximar de uma distribuição de densidade espacial contínua. Assim, as frequências naturais de
flexão são medidas para um conjunto de amostras, para comprimentos de correlação diferentes. Um
modelo analítico é proposto usando modos assumidos e aproximação massa concentrada e os resultados
são comparados com os experimentos. Mostra-se que o comprimento de correlação afecta a estatística
das frequências naturais da estrutura.
ABSTRACT
Most materials used in structural designs have spatial variability of their mechanical properties due to
manufacturing process. This variability plays a role when the structure is subject to vibration and
dynamic loads. Due to the random nature of this variability, a deterministic approach is not able to
characterize the structural behavior such that a probabilistic approach is necessary. In this work, an
experimental procedure is used to evaluate the influence of spatial variability on the dynamic behavior
of simple structure in which the correlation function is controlled a priori. A set of masses are added
along the beam, according to a stochastic model, in order to approximate a continuous spatial density
distribution. Thus, the flexural natural frequencies are measured for a set of samples, for different
correlation lengths. An analytical model is proposed using assumed modes and lumped mass
approximation and results are compared with the experiments. It is shown that the correlation length
affects the statistic of the natural frequencies of the structure.
v
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 1 1.1 O TEMA EM ESTUDO E SUA IMPORTÂNCIA .................................................................................... 1 1.2 OBJETIVOS ......................................................................................................................................... 2 1.3 ESTRUTURA DO TRABALHO ............................................................................................................. 2
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ......................................................................................... 4 2.1. INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 4 2.1.1. VIBRAÇÃO FLEXURAL EM UMA VIGA RETA .................................................................................... 5 2.1.2. ORTOGONALIDADE DOS MODOS DE VIBRAÇÃO ........................................................................... 8 2.1.3. NORMALIZAÇÃO PELA MASSA ......................................................................................................... 8 2.1.4. AMORTECIMENTO ESTRUTURAL EM UMA VIGA ............................................................................ 9 2.1.5. ANÁLISE MODAL EXPERIMENTAL DE UMA VIGA .......................................................................... 11 2.1.1.1. RELAÇÕES ENTRADAS / SAÍDAS DE UM SISTEMA LINEAR ........................................................ 11 2.1.1.2. FUNÇÃO DE RESPOSTA EM FREQUÊNCIA (FRF) ......................................................................... 12 2.1.1.3. DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA (DEP) ............................................................................ 13 2.1.1.4. CÁLCULO DA DEP POR TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA (TFD) ................................ 13 2.1.1.5. RELAÇÕES ENTRADA/SAÍDA EM FUNÇÃO DAS DEPs ................................................................. 14 2.1.1.6. FUNÇÃO DE COERÊNCIA ORDINÁRIA ........................................................................................... 15 2.2. VARIABILIDADE ESPACIAL DAS PROPRIEDADES DOS MATERIAIS ........................................... 17 2.2.1. DISTRIBUIÇÃO DE MASSAS ALEATÓRIAS ..................................................................................... 18
3 EQUIPAMENTOS E METODOLOGIA ..........................................................................19 3.1. EQUIPAMENTOS ............................................................................................................................... 19 3.2. METODOLOGIA ................................................................................................................................. 20
4 RESULTADOS E DISCUSSÕES .................................................................................24 4.1. FAMILIARIZANDO COM O PROCESSO DE CARACTERIZAÇÃO DE UMA VIGA ........................... 24 4.2. CARACTERIZAÇÃO E RESPOSTA DINÂMICA EXPERIMENTAL DA VIGA COM MASSAS ADICIONADAS ................................................................................................................................................. 28
5 CONCLUSÃO ..............................................................................................................36 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS ....................................................................................37
vi
LISTA DE FIGURAS
Figura 1. Representação de uma viga esbelta uniformemente carregada e simplismente
apoiada nos dois contornos. ....................................................................................................... 5 Figura 2. Viga engastada com distribuição uniforme de massas aleatórias ............................. 18
Figura 3. Esquema do arranjo experimental para caracterizaçao da viga. ............................... 20 Figura 4. Martelo de impacto para análise modal. ................................................................... 21 Figura 5. Detalhe do posicionamento do acelerômetro na extremidade da viga. ..................... 21 Figura 6. Viga apoiada em suportes de espuma com acelerômetro e martelo modal. ............. 21 Figura 7. Placa de acquisição conectada ao acelerômetro e martelo de impacto. .................... 22
Figura 8. Aparato experimental completo ................................................................................ 22 Figura 9. Cconfiguração típica das massas para o modelo experimental ................................. 23 Figura 10. Aceleração e força em função do tempo para um caso de impacto ........................ 25
Figura 11. Densidades Espectrais de Potência (DEPs) de aceleração e força .......................... 25 Figura 12. Densidade Espectral de Potência cruzada entre os sinais ....................................... 26 Figura 13. Módulo e fase da função de resposta em frequência estimada via teste de impacto
para caracterização dos parâmetros da viga ............................................................................. 26 Figura 14. Função de coerência ordinária da FRF estimada via teste de impacto para
caracterização dos parâmetros da viga. .................................................................................... 27 Figura 15. Distribuição de massa em cada posição da viga para as 5 primeiras configurações
de massas para comprimento de correlação cl=0.2L................................................................ 29 Figura 16. Distribuição de massa em cada posição da viga para as 5 primeiras configurações
de massas para comprimento de correlação cl=1.0L................................................................ 30 Figura 17. Função de Autocorrelação para cada comprimento de correlação. Da esquerda para
a direita, cl=0.2, cl = 0.4L, cl=0.6L, cl=0.8L, cl=1.0L, cl=1.2L, cl = 1.4L. ............................ 30 Figura 18. Modos de flexão da viga normalizado (vermelho) e não normalizado (azul). ....... 31
Figura 19. Desvio-padrão da frequência natural dos três primeiros modos de flexão da viga
para diferentes comprimentos de correlação da viga. Do inferior ao superior: cl = 0.2L, cl =
0.4L, cl=0.6L, cl=0.8L, cl=1.0L, cl=1.2L, cl = 1.4L. .............................................................. 32 Figura 20. Desvio-padrão (experimental) da frequência natural dos três primeiros modos de
flexão da viga para diferentes comprimentos de correlação da viga. Do inferior ao superior: cl
= 0.4L, cl = 1.0L, cl=0.2L, cl=0.6L, cl=0.8L. .......................................................................... 33 Figura 21. Coeficiente de Variação COV (experimental) em função do comprimento de
correlação cl para o primeiro (azul), segundo (verde) e terceiro (vermelho) modos de flexão
da viga. ..................................................................................................................................... 33
Figura 22. Desvio-padrão (numérico) da frequência natural dos três primeiros modos de
flexão da viga para diferentes comprimentos de correlação da viga. Do inferior ao superior: cl
= 0.2L, cl = 0.4L, cl=0.6L, cl=0.8L, cl=1.0L. .......................................................................... 34 Figura 23. Coeficiente de Variação COV (numérico) em função do comprimento de
correlação cl para o primeiro (vermelho), segundo (verde) e terceiro (azul) modos de flexão
da viga. ..................................................................................................................................... 34
vii
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Dimensões geométricas e massa da viga. ............................................................... 24 Tabela 2 - Densidade linear e momento de inércia .................................................................. 24 Tabela 3 - Frequências naturais obtidas pelos picos da FRF ................................................... 27
Tabela 4 - Soluções da equação característica da viga livre-livre ............................................ 27 Tabela 5 - Módulo de elasticidade em função da frequência natural ....................................... 28 Tabela 6. Parâmetros dimensionais da viga ............................................................................. 28 Tabela 7. Parâmetros dimensionais corrigidos ......................................................................... 29
viii
LISTA DE SÍMBOLOS
Símbolos Latinos
T Contribuição da rigidez à tensão plana [kg.m/s]
E Módulo de elasticidade do material [GPa]
I(x) Momento de inércia da secção transversal da viga [m4]
f(x,t) Força de excitação [N/m]
𝑦(𝑥, 𝑡) Deflexão [m]
m Massa [kg]
c Constante de amortecimento [N.s/m]
k Constante da mola [N/m]
v Velocidade [m/s]
L Transformação linear
𝐻 Função de Resposta em Frequência
S Densidade Espectral de Potência
T Período [s]
R Correlação
e Erro
nb Número de blocos
N Número de amostras por bloco
f Frequência [Hz]
Símbolos Gregos
Coeficiente angular de reta 𝜕
𝜕𝑥 Derivada parcial em x [1/m]
Densidade linear [kg/m]
𝜔 Frequência angular [rad/s] 𝜑 Ângulo de fase [rad]
𝜏 Medida pequena de tempo [s] 𝜙 Valor médio quadrático (RMS) ∆ Variação de uma grandeza ξ Unidade de média nula do desvio padrão do variável aleatória Gaussiana
𝜇 Campo aleatório para média nula
𝜂 Efeito devido à média das massas
𝜎 Parâmetro de dispersão para o campo aleatório
Grupos Adimensionais
𝜉 Fator de amortecimento
𝛾 Função de coerência ordinária
Subscritos
c crítico
n natural
D amortecido
o média
ix
Siglas
DEP Densidade Espectral de Potência
FRF Função de Resposta em Frequência
EDO Equação Diferencial Ordinária
TFD Transformada de Fourier Discreta
VDC Voltagem em Corrente Contínua
1
1 INTRODUÇÃO
1.1 O TEMA EM ESTUDO E SUA IMPORTÂNCIA
Problemas de vibração e ressonância em estruturas mecânicas tem sido fator comum para falha
de estruturas importantes como prédios, pontes, aviões, dentre outras. Na maioria das estruturas vários
fatores podem causar vibração (desequilíbrio entre componentes rotativos, desalinhamento entre eixos,
desgaste de rolamentos, etc.) que afetam diretamente na vida da máquina, comprometem a saúde e
conforto do operador e/ou aumentam o consumo de energia para utilização normal da máquina. Nos
piores casos, a vibração pode causar a falha do equipamento, o que pode atrasar o retorno à atividade.
Na atualidade, com o crescimento tecnológico e a crescente busca por reduzir o tamanho das
máquinas, a necessidade de combinar as propriedades ótimas em um mesmo material é essencial,
principalmente em áreas aeronáuticas que é necessário materiais de ótima qualidade e confiáveis. O
surgimento dos materiais compósitos tem fornecido novas alternativas para solucionar esses problemas.
Os compósitos vêm sendo inseridos em vários setores produtivos como o automobilístico, área medica,
construções civis, marinha, etc. Os principais motivos de utilização dos compósitos são (Rezende et al.,
2011):
Baixo peso específico associado com alta resistência e rigidez, que implica diretamente na
eficiência da estrutura;
Redução de custos vindos da redução de peças e sub-montagens e também de produção em
massa por processos como moldagem, injeção e pultrusão;
Melhor desempenho pela facilidade de adequar o material de acordo com as necessidades de
projeto, pois dependendo da direção que se coloquem as fibras o material tem mais ou menos
resistência mecânica.
Mesmo com todas essas vantagens, algumas variáveis se tornam incógnitas na implementação
definitiva dos compósitos, como:
A falta de confiabilidade por ser difícil a previsão do modo de falha exato do material;
A variabilidade espacial de propriedades do material devido ao processo de produção;
A incerteza de serem resistentes à corrosão à longo prazo;
A falta de uso pela maioria dos projetistas não gerando informações sobre o comportamento
mecânico desses tipos de material.
Sabendo-se que os compósitos avançados são obtidos pela junção de materiais com
características diversas juntamente com o tipo de processo de produção, necessitando esses desempenhar
funções estruturais mais exigentes, a pesquisa e desenvolvimento nesta área são cada vez mais
importantes. A crescente utilização dos compósitos em estruturas tem estimulado a formação de
materiais mais eficientes, de modo a obter componentes com funções múltiplas, atendendo requisitos
2
como: menor peso, maior desempenho mecânico, resistência à erosão, entre outras. Entretanto, com
essas variáveis intrínsecas aos materiais compósitos, uma maneira totalmente determinística e exata para
projetar estruturas leva ao aumento significativo do fator de segurança, tornando viável a caracterização
experimental através de experimentos de vibração.
A variabilidade espacial das propriedades dos materiais é um empecilho para implementação
destes na estrutura de projetos, pois a abordagem determinística não avalia a propriedade real em cada
seção. Por isso, para uma melhora na predição do comportamento desses materiais, a inclusão dessa
variabilidade nos cálculos deve ser feita, ainda mais quando se trata de compósitos reforçado com fibras,
que a direção destas influenciam na propriedade obtida. Pela dificuldade de obter uma relação pelos
dados experimentais dessa variabilidade, a utilização de um modelo de variabilidade aplicado a uma
análise por elementos finitos se torna essencial para a predição.
1.2 OBJETIVOS
Este projeto tem por objetivo investigar experimentalmente a influência da variabilidade
aleatória espacialmente distribuída na variabilidade da resposta dinâmica de estruturas simples. Para
tanto, um procedimento experimental é proposto em que se pode controlar os estatísticos de um campo
aleatório, como por exemplo média e correlação, representando propriedades de material. A massa por
unidade de comprimento é randomizada adicionando-se pequenas massas a uma viga homogênea. Dessa
maneira, um conjunto das primeiras frequências naturais de flexão é medido para diferentes tipos e
configurações de campos aleatórios, permitindo-se relacionar sua variabilidade com diferentes
comprimentos de correlação e diferentes distribuições de probabilidade. Aspectos construtivos e
hipóteses adotadas para o procedimento experimental também são discutidos.
1.3 ESTRUTURA DO TRABALHO
O trabalho está organizado de forma que uma revisão geral sobre modos de vibrar e frequência
natural em estruturas contínuas simples, do tipo viga reta, com propriedades homogêneas, e sua
caraterização experimental são apresentadas. Esse estudo preliminar serve de embasamento para
continuação do trabalho, em que um conjunto de massas distribuídas sobre a viga será considerado.
Dessa maneira, o trabalho está dividido nos seguintes capítulos:
Capítulo 1 - Introdução
Neste capítulo, uma breve introdução ao tema, assim como objetivos e estrutura do trabalho
são apresentados.
3
Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica
Neste capítulo é feita uma revisão da fundamentação teórica necessária para caraterização da
resposta dinâmica de uma viga em flexão. Primeiro, uma revisão sobre os modos de vibrar de
uma viga simples é apresentada. Em seguida, é apresentada uma revisão sobre estimadores de
função resposta em frequência. Finalmente, uma breve revisão sobre variabilidade
espacialmente distribuída de propriedade de materiais é apresentada.
Capítulo 3 – Equipamentos e Metodologia
Nesse capítulo, é exposto o material a ser analisado no laboratório de vibrações e os
equipamentos utilizados para realização de tal análise bem como o processo e método de análise
experimental.
Capítulo 4 – Análise de Resultados e Discussões
Neste capítulo, são analisados os resultados experimentais parciais obtidos.
Capítulo 5 – Conclusões e Planejamento
Finalmente, algumas conclusões parciais são feitas a partir dos resultados obtidos, assim como
os próximos passos para a continuidade do trabalho.
4
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1. INTRODUÇÃO
O estudo de vibrações trata dos movimentos oscilatórios e as forças associadas a estes. Nas
máquinas, podemos enumerar as causas mais comuns de vibração (Mattos & Másculo, 2011):
O desequilíbrio de um componente rotativo causa uma vibração quando uma massa
desequilibrado está rodando em volta do eixo criando assim uma força centrífuga, podendo
reduzir a vida útil dos componentes de suporte da máquina.
Desalinhamento de eixos de componentes ligantes, que surgem geralmente após da
montagem e manutenção do equipamento, podem gerar vibração radial e axial.
O desgaste de componentes como rolamentos, engrenagens e correias causam vibração ao
passarem pela área danificada
As folgas excessivas no equipamento dá liberdade para este vibrar criando choques entre as
superfícies folgadas.
Os efeitos das vibrações que não são corrigidas podem ser graves para a vida do equipamento,
aumentando as taxas de desgaste e danificação do mesmo. Outro efeito também muito importante é a
geração de ruídos, que afeta a saúde e conforto dos operadores e degrada as condições de trabalho. Além
disso, pode aumentar o consumo de potência pela máquina já que parte da energia está sendo gasta com
a vibração. Nos piores casos, a vibração pode causar a interrupção do processo por falha, o que pode
atrasar muito a recuperação do processo.
Tais danos estruturais, causados por vibrações indesejadas, são o principal motivo para a
importância da análise e caracterização do comportamento dinâmico que a estrutura desenvolve a partir
de determinado carregamento. Para essa caracterização é necessário (Tita, 1999)
Determinar as frequências naturais da estrutura para evitar que o carregamento de trabalho
produza uma frequência próxima a estas;
Determinar os modos naturais de vibrar para reforçar os pontos mais críticos e ou pontos de
possível alívio de massa ou de adição de amortecimento;
Determinar fatores de amortecimento modais.
O conjunto de frequências naturais (𝜔𝑛), modos de vibrar e fatores de amortecimento constituem
os parâmetros modais do sistema e podem geralmente ser obtidos através da Função de Resposta em
Frenquência (FRF) do sistema que são basicamente constituída de dois gráficos (Arruda, 2008): o de
intensidade, que mostra a intensidade da variável (Amplitude, Aceleração, Velocidade, ou Força) em
um ponto da estrutura; e o de fase, que mostra qual a diferença de fase entre a resposta e a excitação.
No âmbito de engenharia, para a maioria das estruturas, é necessário estudar os movimentos
oscilatórios e as forças associadas a esse movimento. Todos as estruturas e máquinas de engenharia
5
estão sujeitas a certo nível de vibração e necessitam de uma análise vibratória para serem projetadas
(Ewins, 2000)
Existem duas classes de vibração: livre e forçada. A vibração livre ocorre quando é dada uma
condição inicial (deslocamento ou velocidade) e o sistema oscila de acordo com as reações internas
podendo vibrar com uma ou mais de suas frequências naturais, que dependem do arranjo da distribuição
de massa e rigidez do sistema. A vibração forçada ocorre através da excitação de forças externas. Em
sistemas lineares, quando a excitação é harmônica, o sistema acompanha a frequência de vibração
imposta. Se essa frequência de excitação for igual à frequência de ressonância do sistema, que em
estruturas metálicas é muito próxima das frequências naturais, acontece o fenômeno chamado de
ressonância, em que o sistema irá vibrar com máxima amplitude, podendo gerar danos ou até colapsos
nas estruturas. Sendo assim, surge um parâmetro que para quase todos os projetos de engenharia se torna
essencial: a frequência natural. Para analisar a frequência natural, uma das maneiras mais comuns é
observar um sistema de vibração livre (martelo de excitação). Este modelo, descreve como a estrutura
irá vibrar sem a atuação de esforços externos após a excitação, bem como o formato da vibração. Para
isso será feito o desenvolvimento físico-matemático para determinação dos modos de vibrar de uma
viga que será o objeto de estudo deste trabalho.
2.1.1. VIBRAÇÃO FLEXURAL EM UMA VIGA RETA
Viga esbelta é um elemento estrutural em que a área de seção transversal é muito menor que o
comprimento da mesma (A(x) << L), além de apresentar carregamento transversal ao eixo da viga,
responsável pela sua flexão. A EDO que descreve o movimento lateral de uma viga isotrópica mostrada
na Fig. (1) é dada por (Meirovitch, 1986):
Figura 1. Representação de uma viga esbelta uniformemente carregada e simplismente apoiada nos dois
contornos.
𝜌(𝑥)𝜕2𝑦(𝑥,𝑡)
𝜕𝑡2 + 𝑐(𝑥)𝜕𝑦(𝑥,𝑡)
𝜕𝑡−
𝜕
𝜕𝑥[𝑇(𝑥)
𝜕𝑦(𝑥,𝑡)
𝜕𝑥] +
𝜕2
𝜕𝑥2 [𝐸𝐼(𝑥)𝜕2𝑦(𝑥,𝑡)
𝜕𝑥2 ] = 𝑓(𝑥, 𝑡), (1)
6
onde 𝜌(𝑥) é a massa da estrutura por unidade de comprimento, 𝑐(𝑥) é o amortecimento da estrutura por
unidade de comprimento, 𝑇(𝑥) é a contribuição da rigidez à tensão plana, 𝐸 é o módulo de elasticidade
do material, 𝐼(𝑥) é o momento de inércia da secção transversal da viga e 𝑓(𝑥, 𝑡) é força de excitação.
Para uma viga que vibra livremente sem amortecimento e sem tensão 𝑇(𝑥), tem-se:
−𝜕²
𝜕𝑥²[𝐸𝐼(𝑥)
𝜕²𝑦(𝑥,𝑡)
𝜕𝑥²] = 𝜌(𝑥)
𝜕2𝑦(𝑥,𝑡)
𝜕𝑡2 0 < 𝑥 < 𝐿. (2)
Para movimento harmônico, a forma do deslocamento da viga não varia com o tempo, porém a
amplitude deste muda. Com isso, cada ponto da viga se movimenta da mesma forma com o tempo,
passando pelo ponto de equilíbrio e de deslocamento máximo no mesmo tempo. Isso implica que o
deslocamento do movimento síncrono tem funções separadas para tempo e posição. Logo:
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑌(𝑥)𝐹(𝑡). (3)
Substituindo na Eq. (2), obtém-se:
−𝐹(𝑡)𝑑²
𝑑𝑥²[𝐸𝐼(𝑥)
𝑑²𝑌(𝑥)
𝑑𝑥²] = 𝜌(𝑥)𝑌(𝑥)
𝑑²𝐹(𝑡)
𝑑𝑡². (4)
No caso do movimento harmônico, a função 𝐹(𝑡) tem a forma:
𝐹(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 − 𝜑). (5)
Substituindo na Eq. (4), obtém-se:
𝑑²
𝑑𝑥²[𝐸𝐼(𝑥)
𝑑²𝑌(𝑥)
𝑑𝑥²] = 𝜔2𝜌(𝑥)𝑌(𝑥). (6)
Adotando para uma barra com massa distribuída uniformemente 𝜌(𝑥) = 𝜌, momento de inércia
constante 𝐼(𝑥) = 𝐼 e substituindo 𝛽4 =𝜔²𝜌
𝐸𝐼 (autovalor da equação), temos que
𝑑4𝑌(𝑥)
𝑑𝑥4 − 𝛽4𝑌(𝑥) = 0 (7)
A solução da Eq. (7) é dada por
𝑌(𝑥) = 𝐴1 sin 𝛽𝑥 + 𝐴2 cos 𝛽𝑥 + 𝐴3 sinh 𝛽𝑥 + 𝐴4 cosh 𝛽𝑥 (8)
7
Com condições naturais para viga com extremidades livres (momento fletor e esforço cortante,
respectivamente) dadas por:
(𝑑2𝑌(𝑥)
𝑑𝑥2 )𝑥=0
= 0 (9)
(𝑑3𝑌(𝑥)
𝑑𝑥3 )𝑥=0
= 0 (10)
(𝑑2𝑌(𝑥)
𝑑𝑥2 )𝑥=𝐿
= 0 (11)
(𝑑3𝑌(𝑥)
𝑑𝑥3 )𝑥=𝐿
= 0 (12)
Aplicando as condições de contorno á Eq. (8) obtém-se um sistema linear de quatro equações que
caracterizam o movimento da viga
( 0 −1 0 1−1 0 1 0
− sin 𝛽𝐿 − cos 𝛽𝐿 sinh 𝛽𝐿 cosh 𝛽𝐿− cos 𝛽𝐿 sin 𝛽𝐿 cosh 𝛽𝐿 sinh 𝛽𝐿
) . (
𝐴1𝐴2𝐴3𝐴4
) = (
0000
) (13)
Este sistema linear possui quatro equações e cinco incógnitas (𝛽, 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, 𝐴4) o que o torna possível
e indeterminado (SPI) e que contêm infinitas soluções. Para esse tipo de sistema, o determinante da
matriz dos coeficientes tem que ser nulo, de onde se obtêm a equação característica da viga livre-livre:
𝑐𝑜𝑠(𝛽𝐿)𝑐𝑜𝑠ℎ(𝛽𝐿) = 1. (14)
Para essas diversas soluções de 𝛽, temos para cada uma, um valor de 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3 𝑒 𝐴4 associado. A Eq.
(14) é chamada de equação transcendental e suas raízes só podem ser obtidas numericamente. Para a n-
ésima frequência natural temos que
𝜔𝑛 = 𝛽𝑛2√
𝐸𝐼
𝜌 . (15)
Os coeficientes 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3 𝑒 𝐴4 podem ser expressos todos em função de 𝐴1. Das equações do sistema
linear pode-se obter:
𝐴1 = 𝐴3. (16)
𝐴2 = 𝐴4. (17)
𝐴2 =−𝐴1(cosh(𝛽𝐿)−cos (𝛽𝐿))
sinh(𝛽𝐿)+sin(𝛽𝐿). (18)
Obtendo como solução genérica para a forma de vibrar
8
𝑌(𝑥) = 𝐴1 ((sin(𝛽𝑥) + sinh(𝛽𝑥)) + (cos(𝛽𝑥) + cosh(𝛽𝑥)) (cos(𝛽𝐿)−cosh(𝛽𝐿)
sinh(𝛽𝐿)+sin(𝛽𝐿))). (19)
2.1.2. ORTOGONALIDADE DOS MODOS DE VIBRAÇÃO
A viga é um sistema que possui infinitos graus de liberdade, e cada modo natural de vibração da viga
possui uma propriedade que é a ortogonalidade com relação à matriz de massa e de rigidez.
Considerando os vetores modais de duas soluções distintas, a e b, podemos escreve-las como:
[𝑘]. {𝑦𝑎} = 𝜔𝑎2. [𝑚]. {𝑦𝑎} (20)
[𝑘]. {𝑦𝑏} = 𝜔𝑏2. [𝑚]. {𝑦𝑏} (21)
Mutiplicando as eqs. (20) e (21) cada uma pelo modo transposto da outra, obtemos:
{𝑦𝑏}𝑇[𝑘]. {𝑦𝑎} = 𝜔𝑎2{𝑦𝑏}𝑇 . [𝑚]. {𝑦𝑎} (22)
{𝑦𝑎}𝑇[𝑘]. {𝑦𝑏} = 𝜔𝑏2{𝑦𝑎}𝑇 . [𝑚]. {𝑦𝑏} (23)
Fazendo a subtração da eq. (22) pela transposta da eq. (23) obtemosa equação que demonstra a
ortogonalidade entre os modos:
(𝜔𝑎2 − 𝜔𝑏
2){𝑦𝑏}𝑇. [𝑚]. {𝑦𝑎} = 0 (24)
Analogamente, para um sistema continuo obtemos essa relação como:
(𝜔12 − 𝜔2
2) ∫ 𝜌(𝑥)𝑌𝑎(𝑥)𝑌𝑏(𝑥)𝑑𝑥𝐿
0= 0 (25)
2.1.3. NORMALIZAÇÃO PELA MASSA
A forma de normalização dos modos de vibração mais usada, essencialmente em virtude das
simplificações na representação da equação de movimento, é a normalização em relação à matriz de
massa. Esta normalização consiste em considerar os modos de vibração escritos de tal forma que permita
obter a seguinte relação:
∫ 𝜌(𝑥)𝜙𝑛2(𝑥) 𝑑𝑥 = 1
𝐿
0 (26)
Quando os modos a e b são idênticos, isto é, 𝑌𝑎 = 𝑌𝑏 = 𝑌𝑛, obtemos a própria massa como resultado da
integral
9
∫ 𝜌(𝑥)𝑌𝑛2(𝑥)𝑑𝑥
𝐿
0= 𝑚𝑒𝑞 (27)
onde 𝑛 representa cada modo da viga. Se a viga apresenta 𝑛 massas concentradas, 𝑀(𝑖), na sua superfície
em determinadas posições, 𝑥(𝑖), o termo de inércia é adicionado por um outro termo relativo à energia
adicionada ao sistema e é expressa da seguinte forma
∫ 𝜌(𝑥)𝑌𝑛2(𝑥)𝑑𝑥 + ∑ 𝑀(𝑖)𝑌𝑛
2(𝑥(𝑖))𝑛𝑖=1
𝐿
0= 𝑚𝑒𝑞 (28)
Fazendo uma comparação das equações (26) e (27) é fácil perceber que
𝜙𝑛(𝑥) =𝑌𝑛(𝑥)
𝑚𝑒𝑞 (29)
onde 𝜙𝑛(𝑥) é a função que representa o modo 𝑌𝑛(𝑥) normalizado pela massa.
Utilizando a propriedade de ortogonalidade na equação de movimento, podemos obtê-la da seguinte
forma
∫ 𝐸𝐼(𝑥) (𝑑2𝜙𝑛
2 (𝑥)
𝑑𝑥2 )2
𝑑𝑥𝐿
0= 𝜔𝑛
2 (∫ 𝜌(𝑥)𝜙𝑛2(𝑥)𝑑𝑥 + ∑ 𝑀(𝑖)𝜙𝑛
2(𝑥(𝑖))𝑛𝑖=1
𝐿
0) (30)
O termo da esquerda é considerado a rigidez equivalente do sistema, 𝑘𝑒𝑞, o que leva à forma da equação
clássica da frequência natural do sistema com massas adicionadas dada por (Meirovitch, 1986):
𝜔𝑛 = √𝑘𝑒𝑞
1+∑ 𝑀(𝑖)𝜙𝑛2(𝑥(𝑖))𝑛
𝑖=1
(31)
que é uma aproximação para as frequências naturais da viga com massas concentradas distribuídas ao
longo de seu comprimento. Essa expressão não considera que as massas introduzam algum tipo de
rigidez ou inércia ao sistema.
2.1.4. AMORTECIMENTO ESTRUTURAL EM UMA VIGA
Quando se fala em amortecimento numa viga, entende-se que internamente existem mecanismos que
dissipam a energia do sistema. Este é denominado amortecimento estrutural e se relaciona com o
amortecimento viscoso (mais comumente analisado em sistemas mencânicos) através da dissipação de
10
energia em cada ciclo. Considerando um sistema massa-mola-amortecedor submetido a uma excitação
harmônica, temos que a resposta em amplitude dada por uma força 𝐹(𝑡) = 𝐴 𝑚𝜔𝑛2 𝑒𝑖𝜔𝑡 é dada por
𝑥(𝑡) = 𝐴|𝐺(𝑖𝜔)|𝑒𝑖(𝜔𝑡−𝜙) (32)
onde 𝐴|𝐺(𝑖𝜔)| é a amplitude da resposta.
A energia dissipada em cada ciclo pode ser obtida pelo trabalho realizado pela força externa a partir de
Δ𝐸𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 = ∫ 𝐹𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜
𝑑𝑥 = ∫ 𝐹�̇�2𝜋
𝜔0
𝑑𝑡 (33)
Sabendo que somente a parte real de 𝐹(𝑡) e �̇�(𝑡) é responsável pela amplitude, obtém-se o resultado da
integral como
Δ𝐸𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 = 𝑚𝜔𝑛2𝐴2|𝐺(𝑖𝜔)|𝜋𝑠𝑒𝑛(𝜙) (34)
Em que 𝑠𝑒𝑛(𝜙) =𝑐𝜔
𝑚𝜔𝑛2 |𝐺(𝑖𝜔)|, podendo simplificar a equação como
Δ𝐸𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 = 𝑐𝜋𝜔𝐴2|𝐺(𝑖𝜔)|2 (35)
Através de experimentos desenvolvido em varios materiais, é comum existir uma relação para a energia
perdida por ciclo devido ao atrito interno dada por
Δ𝐸𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 = 𝛼𝐴2|𝐺(𝑖𝜔)|2 (36)
Esse tipo de amortecimento é conhecido como amortecimento estrutural, que é relacionado ao fenômeno
de histerese com a tensão cíclica aplicada no material. Como os amortecimentos estrutural e viscoso são
semelhantes, pode-se obter uma constante de amortecimento, 𝑐, dada por
𝑐𝑒𝑞 =𝛼
𝜋𝜔 (37)
Que pode ser substituido na eq. de movimento transformando em
𝑚�̈�(𝑡) + 𝑘(1 + 𝑖𝛾)𝑥(𝑡) = 𝐴𝑘𝑒𝑖𝜔𝑡 (38)
onde 𝛾 =𝛼
𝜋𝑘 é chamado de fator de amortecimento estrutural e 𝑘(1 + 𝑖𝛾) é chamado de rigidez
complexa.
11
O termo equivalente à constante de elasticidade da mola num sistema contínuo é o Módulo de
Elasticidade, 𝐸, que analogamente pode ser implementado por uma parte complexa que representa a
dissipação de energia do sistema. Portanto para uma viga esbelta com amortecimento estrutural podemos
escrever a equação de movimento como
𝜌(𝑥)𝜕2𝑦(𝑥,𝑡)
𝜕𝑡2 +𝜕2
𝜕𝑥2 [𝐸(1 + 𝑖ϵ)𝐼(𝑥)𝜕2𝑦(𝑥,𝑡)
𝜕𝑥2 ] = 𝑓(𝑥, 𝑡) (39)
onde o fator de amortecimento estrutural, 𝜖, é determinado para cada tipo de material.
2.1.5. ANÁLISE MODAL EXPERIMENTAL DE UMA VIGA
As observações experimentais são feitas por dois motivos principais: determinar a natureza e magnitude
da resposta vibratória e fazer a validação de modelos teóricos. Uma das maiores necessidades na análise
modal experimental é a integração de três fatores:
-base teórica das vibrações
-medição com precisão das vibrações
-análise realista e detalhada dos dados.
Para isso será necessário introduzir conceitos para ser feita uma análise de dados que seja compatível e
comparável com os resultados teóricos.
2.1.1.1. RELAÇÕES ENTRADAS / SAÍDAS DE UM SISTEMA LINEAR
Um sistema é uma regra para atribuir uma ligação entre uma função de entrada e outra de saída. Para
entender o funcionamento de um sistema, deve-se primeiro entender suas classificações e o que cada
uma delas implica no mesmo.
Por definição, um sistema é linear se (Arruda, 2008):
𝐿[𝑘1𝑥1(𝑡) + 𝑘2𝑥2(𝑡)] = 𝑘1𝐿[𝑥1(𝑡)] + 𝑘2𝐿[𝑥2(𝑡)] (40)
O que implica valer o princípio da superposição, que diz basicamente que o efeito resultante à várias
excitações é exatamente igual à soma dos efeitos parciais de cada excitação. Um sistema é dito causal
ou fisicamente realizável se a resposta ou saída não depende de valores futuros da entrada, que pode ser
representado por:
𝑥(𝑡) = 0 → 𝑦(𝑡) = 0, 𝑡 < 𝜏 (41)
12
Um sistema é dito invariante no tempo se:
𝐿[𝑥(𝑡 − 𝜏)] = 𝑦(𝑡 − 𝜏) (42)
Para qualquer 𝜏 real
2.1.1.2. FUNÇÃO DE RESPOSTA EM FREQUÊNCIA (FRF)
A resposta de um sistema linear causal a uma entrada qualquer, é conhecida por integral de Duhamel, e
é expressa por (Arruda, 2008):
𝑦(𝑡) = ∫ 𝑥(𝜏)ℎ(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏∞
−∞ (43)
Para um sistema linear causal, a integral de Duhamel, pode ser expressa por:
𝑦(𝑡) = ∫ 𝑥(𝜏)ℎ(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏𝑡
0 (44)
Aplicando-se a transformada de Fourier à expressão acima, obtém-se:
𝑌(𝑓) = 𝑋(𝑓)𝐻(𝑓) (45)
Em que
𝐾(𝑓) = ∫ 𝑘(𝑡)𝑒−𝑖2𝜋𝑓𝑡𝑑𝑡∞
−∞, 𝐾 = {𝑌, 𝑋, 𝐻} 𝑒 𝑘 = {𝑦, 𝑥, ℎ} (46)
A função de função de resposta em frequência (FRF) é chamada 𝐻(𝑓), que analisa, em certa faixa de
frequência, a intensidade de determinados parâmetros (amplitude, velocidade, aceleração, força, etc.) e
a defasagem do sinal entre a excitação e a resposta. A FRF é definida como a razão entre a saída e a
entrada de um sistema no domínio da frequência. Esta razão pode ser expressa por um número complexo
que possui como módulo a razão entre o módulo da saída pelo de entrada e ângulo de defasagem como
a diferença entre os ângulos de fase do sinais de saída pelo de entrada. Matematicamente, pode ser
representado por:
𝐻(𝑓) = |𝐻(𝑓)|𝑒𝑖.𝑎𝑟𝑔(𝐻(𝑓)) (47)
Caso a resposta seja dada em deslocamento, a FRF é conhecida como receptância ou compliância. Caso
a resposta seja dada em velocidade, a FRF é conhecida como mobilidade. E para finalizar, caso a
resposta seja dada em aceleração, a FRF é conhecida como acelerância. A análise pode ser feita tanto
13
no domínio da frequência como no do tempo. A passagem de um domínio para o outro é feita aplicando
a transformada de Fourier (𝑡 → 𝑓), ou a inversa (𝑓 → 𝑡).
2.1.1.3. DENSIDADE ESPECTRAL DE POTÊNCIA (DEP)
A densidade espectral de potência descreve como a energia de um sinal será distribuída com a
frequência. Seccionando um sinal aleatório em q amostras 𝑥𝑘(𝑡, 𝑇) da forma:
𝑥𝑘(𝑡, 𝑇) = {𝑥(𝑡), 𝑡𝑘 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡𝑘 + 𝑇0, 𝑓𝑜𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜
(48)
Pode ser definida a Transformada de Fourier Finita (TFF) deste sinal num intervalo T como:
𝑋𝑘(𝑓, 𝑇) = ∫ 𝑥𝑘(𝑡, 𝑇)𝑒−𝑖2𝜋𝑓𝑡𝑑𝑡∞
−∞= ∫ 𝑥(𝑡)𝑒−𝑖2𝜋𝑓𝑡𝑑𝑡
𝑡𝑘+𝑇
𝑡𝑘 (49)
A densidade espectral de potência (DEP) pode ser definida a partir da TFF como:
𝑆𝑥𝑥(𝑓) = lim𝑇→∞
lim𝑞→∞
1
𝑞𝑇∑ |𝑋𝑘(𝑓, 𝑇)|2𝑞
𝑘=1 (50)
onde q é a quantidade de amostras e 𝑇 é a duração de cada amostra. Após feitas a definição da DEP,
cabe-se obter numericamente seus valores. A forma mais direta da obtenção é via Transformada de
Fourier Finita (TFF).
2.1.1.4. CÁLCULO DA DEP POR TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA (TFD)
Pode-se aproximar esta transformada pela TFD, obtendo-se
𝑋𝑘 (𝑓 =𝑟
𝑇, 𝑇) = 𝑇𝑋𝑟
(𝑘); 𝑟 = 0, … , 𝑁 − 1 , (51)
onde 𝑋𝑟(𝑘)
é a TFD expressa pela equação
𝑋𝑟(𝑘)
=1
𝑁∑ 𝑥𝑛
(𝑘)𝑛𝑤𝑁−𝑛𝑟𝑁−1
𝑛=0 ; 𝑟 = 0, … , 𝑁 − 1, (52)
da série
14
𝑥𝑛(𝑘)
= 𝑥𝑘 (𝑡 =𝑛𝑇
𝑁) ; 𝑛 = 0, … , 𝑁 − 1. (53)
Desta forma pode-se obter a expressão da DEP através de:
𝑆𝑥𝑥 (𝑓 =𝑟
𝑇) ≅
1
𝑞𝑇∑ |𝑇𝑋𝑟
(𝑘)|2
=1
∆𝑓
1
𝑞∑ |𝑋𝑟
(𝑘)|2𝑞
𝑘=1 ; 𝑟 = 0, … , 𝑁 − 1𝑞𝑘=1 , (54)
onde ∆𝑓 =1
𝑇 e q é o número de amostras. Para 𝑥𝑘(𝑡, 𝑇) em unidades [𝐴], temos a DEP em unidades
[𝐴2
𝐻𝑧⁄ ]. De forma análoga, pode-se obter as relações entre 2 sinais, 𝑥(𝑡) e 𝑦(𝑡):
𝑆𝑥𝑦 (𝑓 =𝑟
𝑇) ≅
1
∆𝑓
1
𝑞∑ 𝑋𝑟
(𝑘)∗𝑌𝑟
(𝑘); 𝑟 = 0, … , 𝑁 − 1
𝑞𝑘=1 . (55)
2.1.1.5. RELAÇÕES ENTRADA/SAÍDA EM FUNÇÃO DAS DEPs
A partir das relações entre os sinais de entrada e saída, podemos chegar a uma relação entre as DEPs
dos sinais no campo da frequência. A partir de:
𝑌(𝑓) = 𝐻(𝑓)𝑋(𝑓) (56)
assumindo a validade desta relação para a TFF:
𝑌(𝑓, 𝑇) = 𝐻(𝑓, 𝑇)𝑋(𝑓, 𝑇) (57)
E multiplicando pelo conjungado complexo do sinal 𝑋(𝑓, 𝑇), 𝑋(−𝑓, 𝑇) denotado por 𝑋∗ por:
𝑋∗𝑌(𝑓, 𝑇) = 𝐻(𝑓, 𝑇)𝑋(𝑓, 𝑇)𝑋∗ (58)
Utilizando a definição da DEP, obtém-se:
𝑆𝑥𝑦 = 𝐻1(𝑓)𝑆𝑥𝑥 (59)
onde:
𝑆𝑥𝑦 = 𝑇𝐸[𝑋*𝑌] (60)
𝑆𝑥𝑥 = 𝑇𝐸[𝑋*𝑋] (61)
15
O operador 𝐸[ ] é função média de conjunto dos respectivos sinais indicados definidos por:
𝐸[𝐴∗𝐵] = lim𝑁→∞
1
𝑁∑ 𝐴𝑘
∗ (𝑡)𝐵𝑘(𝑡)𝑁𝑘=1 (62)
Analogamente:
𝑆𝑦𝑦 = 𝐻2(𝑓)𝑆𝑦𝑥 (63)
Numa análise de um sistema real, geralmente resolve-se o problema inverso, pois o que pode-se medir
são os sinais aleatórios de entrada e saída. A partir destes, determina-se a FRF através dos estimadores,
obtidos acima:
𝐻1(𝑓) =𝑆𝑥𝑦(𝑓)
𝑆𝑥𝑥(𝑓) (64)
𝐻2(𝑓) =𝑆𝑦𝑦(𝑓)
𝑆𝑦𝑥(𝑓) (65)
Juntamente com a estimação das FRFs, deve-se haver um parâmetro que determine a veracidade deste
valor obtido na estimação chamado função de coerência.
2.1.1.6. FUNÇÃO DE COERÊNCIA ORDINÁRIA
Dados dois sinais aleatórios, 𝑥(𝑡) e 𝑦(𝑡), pode-se definir o valor médio quadrático e as funções de
autocorrelação e intercorrelação destes sinais por:
𝜙𝑥2(𝑘) = lim
𝑁→∞
1
𝑁∑ 𝑥𝑘
2(𝑡)𝑁𝑘=1 , (66)
𝑅𝑥𝑥(𝑘, 𝜏) = lim𝑁→∞
1
𝑁∑ 𝑥𝑘(𝑡)𝑥𝑘(𝑡 + 𝜏)∞
𝑘=1 , (67)
𝑅𝑥𝑦(𝑘, 𝜏) = lim𝑁→∞
1
𝑁∑ 𝑥𝑘(𝑡)𝑦𝑘(𝑡 + 𝜏)∞
𝑘=1 , (68)
através dos gráficos dos pontos (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) obtém-se uma reta com coeficiente angular 𝛼. Podemos
então definir o erro quadrático através de
𝑒(𝜏, 𝛼) = lim𝑇→∞
1
𝑇∫ [𝑥(𝑡) − 𝛼𝑦(𝑡 + 𝜏)]2𝑑𝑡
𝑇
0. (69)
16
A reta que dá o menor desvio pode ser obtida por
𝜕𝑒
𝜕𝛼= 0 , (70)
de onde pode-se obter o erro mínimo, dado por
𝑒𝑚í𝑛(𝜏) = 𝜙𝑥2 (1 −
𝑅𝑥𝑦2 (𝜏)
𝜙𝑥2𝜙𝑦
2 ). (71)
E por ser quadrático, o valor deste tem que ser não-negativo, obtendo-se a relação
|𝑅𝑥𝑦(𝜏)|2
≤ 𝜙𝑥2𝜙𝑦
2 = 𝑅𝑥𝑥(0)𝑅𝑦𝑦(0). (72)
Filtrando esses sinais em torno de uma frequência 𝑓𝑜 com filtro passa-banda ideal de largura ∆𝑓, tem-se
𝑅𝑥𝑥(0) = ∫ 𝐺𝑥𝑥(𝑓)𝑑𝑓 = ∫ 𝐺𝑥𝑥(𝑓)𝑑𝑓 ≅ 𝐺𝑥𝑥(𝑓𝑜)∆𝑓𝑓0+
∆𝑓
2
𝑓0−∆𝑓
2
∞
0, (73)
que é análogo para 𝑅𝑥𝑦(0) e 𝑅𝑦𝑦(0), e pode ser substituído na desigualdade
|𝐺𝑥𝑦(𝑓𝑜)|2
≤ 𝐺𝑥𝑥(𝑓𝑜)𝐺𝑦𝑦(𝑓𝑜) (74)
Sendo este procedimento válido também para a DEP:
|𝑆𝑥𝑦(𝑓)|2
≤ 𝑆𝑥𝑥(𝑓)𝑆𝑦𝑦(𝑓) (75)
A partir desta relação, pode-se definir uma função da frequência chamada função de coerência ordinária:
𝛾𝑥𝑦2 (𝑓) =
|𝑆𝑥𝑦(𝑓)|2
𝑆𝑥𝑥(𝑓)𝑆𝑦𝑦(𝑓), 0 ≤ 𝛾𝑥𝑦
2 ≤ 1 (76)
ou seja, se x(t) e y(t) têm uma relação linear , a coerência é unitária. Portanto, pode-se interpretar a
coerência como um coeficiente de correlação no domínio da frequência. Imaginando-se que ruídos de
medição Gaussianos aditivos independentes contaminem a entrada e a saída de um sistema linear. Os
estimadores 𝐻1 e 𝐻2 são os limites inferior e superior da FRF influenciada pelos ruídos de medição, e
geralmente são os mais utilizados. O 𝐻1 deve ser usado quando o ruído contamina principalmente o
17
sinal de saída, enquanto 𝐻2 deve ser usado quando a contaminação é na entrada. O ruído no sinal de
entrada é característico de impulsos de banda larga sem realimentação que servem para manter uma
intensidade constante de força. Como o sistema tende a ter uma reação menor na ressonância, a
intensidade da força de entrada tende a diminuir na ressonância, obtendo-se baixos valores para a relação
sinal/ruído. Para uma boa estimação da FRF a função de coerência deve estar próxima ao valor unitário.
Caso o valor não seja próximo à unidade, deve-se a pelo menos um dos seguintes motivos:
Ruído externo presente nas medições (geralmente de origem eletromagnética);
Erro de polarização, ou viés estatítico, devido a uma resolução em frequência insuficiente;
Não linearidades na relação entrada/saída;
A saída obtida é devida a outros fatores além da entrada considerada.
Numa análise de um sistema real, procedemos definindo o número de amostras, 𝑛, dividida em 𝑛𝑏
blocos de forma que o número de amostras por bloco é 𝑁 , e a frequência de amostragem 𝑓𝑎 que denota
o número de amostras por segundo. Pode-se relacionar cada um desses parâmetros com um tipo de erro
na estimação.
Número de blocos 𝑛𝑏:
Está ligado diretamente ao erro estatístico, o qual denota a oscilação em torno do valor médio.
Quando o número de blocos em que foram divididas as amostras é pequeno, o erro estatístico é
elevado. O parâmetro 𝑛𝑏 é representado na Eq. (54) pelo parâmetro 𝑞.
Número de amostras por bloco 𝑁:
Está ligado diretamente ao erro de polarização, pois um pequeno número de amostras (q) por
bloco influencia nos valores estimados para picos de ressonância. Isto está ligado diretamente
ao valor de Δ𝑓 na Eq. (54)
Os números de blocos e de amostras por blocos devem ser combinados de forma que os valores dos
estimadores 𝐻1(𝑓) e 𝐻2(𝑓) se aproximem ao máximo do valor real 𝐻(𝑓).
2.2. VARIABILIDADE ESPACIAL DAS PROPRIEDADES DOS MATERIAIS
Devido aos diferentes processos de manufatura que existem no mercado para fabricação de peças,
todas essas vêm com uma variação espacial que não estava prevista no projeto nominal.
Consequentemente, o estudo dessas variações espaciais torna-se importante para melhorar a predição
do comportamento dinâmico de uma peça. Tal caracterização torna-se ainda mais importante quando se
tratam de materiais compósitos reforçados por fibras, em que diferentes disposições das fibras alteram
as propriedades mecânicas do mesmo (Tita, 1999), limitando, assim, a aplicabilidade e sendo necessário
o uso de fatores de segurança relativamente elevados (Sriramula & Chryssanthopoulos, 2009). Para a
análise do comportamento de uma estrutura, é necessário um modelo estatístico que represente essa
18
variação. A teoria dos campos aleatórios (Vanmarcke, 2010) nos fornece os elementos para essa
representação através de funções como média e função densidade de probabilidade, atuando juntamente
com um modelo de variabilidade espacial das propriedades do material. Os métodos mais utilizados para
a representação de campo aleatório são os que usam expansão em série , como a decomposição de
Karhunen-Loeve juntamente com modelos de discretização local, como a discretização do ponto médio
(Sudret & Der Kiuereghian 2000). A seguir será apresentado uma metodologia para gerar distribuição
de massas aleatórias e sua aproximação para o modelo contínuo.
2.2.1. DISTRIBUIÇÃO DE MASSAS ALEATÓRIAS
As massas são espaçadas ao longo da viga em posições fixas, mas seus valores de uma amostra para
outra variam de acordo com uma distribuição do campo aleatório 𝐻(𝑥) e com uma função de correlação
com, por exemplo, decaimento exponencial
𝑅(𝑥𝑖 , 𝑥𝑗) = exp (−|𝑥𝑖 − 𝑥𝑗| / 𝑏 ) (77)
em que 𝑥𝑖 e 𝑥𝑗 são dois pontos da viga.
Figura 2. Viga engastada com distribuição uniforme de massas aleatórias
Os valores atribuídos às massas são dadas por:
𝑚𝑖 = 𝑚𝑜 + 𝜇𝑖, (78)
onde 𝑚𝑖 é massa aleatória, 𝑚𝑜 é a massa média na i-ésima posição e 𝜇𝑖 é um campo aleatório de média
nula, amostrado na i-ésima posição.
19
A distribuição de massa normalmente tende-se a aproximar de uma distribuição espacial contínua de
massa específica, para a vibração fletora da viga e também para uma variedade de correlações de
comprimentos. Esta distribuição espacial é representada por
𝜌(𝑥) = 𝜌𝑜 (1 + 𝜂𝜌 + 𝜎𝐻(𝑥)), (79)
onde 𝜂𝜌 éo efeito devido à média das massas adicionadas (𝑚𝑜), e 𝜎 é o parâmetro de dispersão do o
campo aleatório.
3 EQUIPAMENTOS E METODOLOGIA
3.1. EQUIPAMENTOS
Neste capítulo haverá uma explanação da análise experimental. Serão apresentados os materiais
que serão analisados bem como o equipamento para realização desta, mostrando ainda, o
procedimento para análise, e a relevância de cada equipamento utilizado.
20
O equipamento utilizado para realização do experimento foi:
Acelerômetro de quartzo 353B03, 10 mV/g, 1 – 7000 Hz
Martelo de excitação 20 – 30 VCC / 2 – 20 mA
Viga de liga de alumínio
Espuma (Apoio)
Placa de acquisição de dados cDAQ-9174,chassis (4 slot USB), 15 W, 9 – 30 V, 5 – 500 Hz
Computador
Figura 3. Esquema do arranjo experimental para caracterizaçao da viga.
3.2. METODOLOGIA
O experimento tem por objetivo a obtenção de um conjunto de frequências naturais de flexão de
uma viga, para os vários casos de massas adicionadas. Para tanto a função resposta em frequência, obtida
via teste de impacto com martelo, será estimada para cada um desses casos, e as frequências naturais
extraídas
A primeira etapa do experimento é a caracterização dos parâmetros geométricos e de material da
viga que servirá de base para o experimento. A densidade linear do material é calculada medindo-se a
massa e dividindo pelo comprimento. O módulo de elasticidade é então estimado utilizando as
frequências naturais da viga base, em condição livre-livre, obtidas via martelo de impacto, e utilizando-
se a expressão da Eq. (15).
21
Figura 4. Martelo de impacto para análise modal.
A excitação tem que ser feita de forma que não haja o repique do martelo na viga, pois vários picos
de impulso fazem com que o sinal obtido tenha ruído devido a várias entradas juntas. Após esta excitação
o acelerômetro capta a vibração ocorrida no ponto que ele está fixado que registrando durante dois
segundos os valores de aceleração deste ponto.
Figura 5. Detalhe do posicionamento do acelerômetro na extremidade da viga.
Figura 6. Viga apoiada em suportes de espuma com acelerômetro e martelo modal.
Tanto o martelo da Fig. (5) como o acelerômetro da Fig. (6) estão ligados a uma placa de aquisição
de dados da Fig. (8), que recebe os sinais de entrada e saída analógicos, e os converte em sinais digitais,
enviando em seguida para o computador.
22
Figura 7. Placa de acquisição conectada ao acelerômetro e martelo de impacto.
Figura 8. Aparato experimental completo
Neste, através do programa LabView, ocorrem os cálculos para representação gráfica das DEPs,
Eq. (54) e Eq. (55), de cada experimento que são armazenados, sendo utilizados um número de blocos
𝑛𝑏 = 15, um número de amostras por bloco 𝑁 = 32768, com frequência de amostragem Δ𝑓 =
17056,25 𝐻𝑧 para posterior estimação das FRF, utilizando os estimadores 𝐻1 e 𝐻2, Eq. (64) e Eq. (65),
respectivamente. A média serve para uma estimação melhor da FRF (no caso de uma medição ruim)
para através dela coletar os valores da frequência natural da viga para poder estimar o módulo de
elasticidade (𝐸) da mesma.
Em um segundo momento, o experimento foi feito em uma viga com espessura pequena a fim de
poder ser considerada esbelta. Depois de caracterizar os parâmetros dimensionais da viga, massas foram
adicionadas à mesma em posições pré-determinadas como ilustrado nas figura (9).
23
Figura 9. Cconfiguração típica das massas para o modelo experimental
O acelerômetro será fixado na ponta da viga e através do martelo de impacto serão feitas as medidas
de aceleração da viga. Com essas medidas serão calculadas as frequências naturais para cada
configuração de massas adicionadas e será analisada a dispersão desses valores de acordo com o
comprimento de correlação adotado parar cada configuração de massa adotada.
Para amparar numericamente o experimento, foi criado um programa onde as massas são
randomizadas e distribuidas de acordo com a função de autocorrelação, e para cada comprimento de
correlação é calculada a média e o desvio padrão das frequências calculadas em relação a uma
quantidade de amostras definida.
24
4 RESULTADOS E DISCUSSÕES
4.1. FAMILIARIZANDO COM O PROCESSO DE CARACTERIZAÇÃO DE UMA VIGA
Os resultados apresentados nesse capítulo correspondem à primeira etapa experimental de
identificação dos parâmetros da viga base. Após realizar medições da viga no laboratório, podemos fazer
o cálculo dos parâmetros necessários (𝜌 𝑒 𝐼) para estimação do módulo de elasticidade (𝐸) da mesma.
As medidas estão dispostas na Tabela 1.
Tabela 1 – Dimensões geométricas e massa da viga.
Comprimento [m] Largura [m] Altura [m] Massa [kg]
0,396 0,0191 0,0191 0,386
Para o cálculo da densidade linear 𝜌, temos:
𝜌 =𝑚
𝐿 (74)
em que m é a massa da viga e 𝐿 é o comprimento.
Para uma viga secção quadrada o momento de inércia 𝐼 é dado por:
𝐼 =𝑏3ℎ
12 (75)
em que 𝑎 é a medida lateral da secção.
Os valores de cada um dos parâmetros são apresentados na Tabela 2.
Tabela 2 - Densidade linear e momento de inércia
Densidade Linear [kg/m] Momento de Inercia [ 𝒎𝟒]
𝟎, 𝟗𝟕𝟒𝟕 1,10 . 10−8
Através dos resultados buscou-se avaliar as FRFs para que a partir da Eq. (15) fosse possível
estimar o módulo de elasticidade da viga homogênea experimentalmente.
25
Figura 10. Aceleração e força em função do tempo para um caso de impacto
A Fig. (10) apresenta o dos impulsos de entrada (força, feita pelo martelo) e saída (vibração
medida pelo acelerômetro) em função do tempo para um caso do teste de impacto. É interessante notar
que para uma medição precisa, o gráfico da força deve ter apenas um pico. Quando ocorre o duplo
impacto(repique) vários sinais são captados e provocam ruído na medição. A Fig. (11) representa os
gráficos das densidades espectrais de potência (DEPs) dos sinais de entrada e saída, e a Fig. (12) o
módulo e a fase da DEP cruzada que são representados na Eq. (47)
Figura 11. Densidades Espectrais de Potência (DEPs) de aceleração e força
26
Figura 12. Densidade Espectral de Potência cruzada entre os sinais
A Fig. (13) representa o gráfico da FRF dos estimadores 𝐻1 e 𝐻2 em amplitude e fase. A largura
dos picos da FRF representa o amortecimento daquele modo. Quanto mais largo, maior o
amortecimento. Só é possível aproximar a frequencia de ressonância pela frequencia natural quando o
amortecimento é pequeno, ou seja, nos primeiros picos. Numa viga esbelta reta, o modo de flexão é
menos rígido que os modos de rotação e tração-compressão. Por isso é razoável assumir o primeiro pico
como modo de flexão e utiliza-lo para estimar o modulo de Young.
Na banda de baixas frequências, percebe-se uma oscilação muito grande em uma variação de
frequência muito pequena. Essa oscilação representa os apoios da viga para realização do procedimento
experimental, que nesse caso foram espumas. Estas são excitadas em níveis de frequência
completamente diferente da viga, o que torna irrelevante a contribuição da espuma para estimação das
frequências naturais.
Na viga do experimento, foi feita a consideração de que para a maioria dos metais, os fatores de
amortecimento são pequeno, e logo nos primeiros picos de FRF podemos aproximar os valores de
frequência do pico, com as frequências naturais da viga.
Figura 13. Módulo e fase da função de resposta em frequência estimada via teste de impacto para caracterização
dos parâmetros da viga
27
Figura 14. Função de coerência ordinária da FRF estimada via teste de impacto para caracterização dos
parâmetros da viga.
A Fig. (14) representa o gráfico da função de coerência ordinária obtida pela Eq. (76). Nesse
gráfico percebe-se uma rápida oscilação no início (devido à excitação da espuma) e depois um padrão
quase constante nas primeiras frequências, representando assim que na banda de frequência entre 0 e
2500 aproximadamente, os valores são aceitáveis. Um pouco depois, entre 2500 e 5000, é perceptível a
queda dos valores da coerência, que é referente à junção entre modos de flexão e torção, tornando os
valores imprecisos para estimação. Será utilizada a primeira frequência natural, que é a apresenta menos
ruído, obtendo-se valor mais próximo do real. Obtendo os valores apresentados na Tabela 2
Tabela 3 - Frequência natural obtida pelo primeiro pico da FRF
Frequência Fundamental Valor [Hz]
𝝎𝟏 584,5
Para fazer a estimação basta utiliza a solução de frequência natural de uma viga livre-livre, Eq. (15), e
utilizar os valores de frequências naturais obtidos experimentalmente, de modo que
𝐸 =𝜌𝜔𝑛
2
𝐼𝛽𝑛4 . (77)
e 𝛽𝑛 são as soluções da equação transcendental Eq. (14), em termos de 𝛽𝐿, onde L é o comprimento da
viga e as quatro primeiras soluções são apresentadas na Tabela 3.
Tabela 4 - Soluções da equação característica da viga livre-livre
𝜷𝒏𝑳 Valor [m]
𝜷𝟎𝑳 0
𝜷𝟏𝑳 4,7300
𝜷𝟐𝑳 7,8532
𝜷𝟑𝑳 10,9956
28
Tabela 5 - Módulo de elasticidade em função da frequência natural
Frequência natural [Hz] Módulo de Elasticidade [GPa]
𝟓𝟖𝟒, 𝟓 58,19
Percebe-se que o Modulo de elasticidade é bastante diferente do valor tabelado para o alumínio. Isso
acontece porque a viga não se caracteriza como esbelta como proposto analiticamente, o que implica na
consideração de outros fatores como a torção gerada pelo desalinhamento do impulso dado através do
martelo de impacto com a linha central da viga e a área de secção transversal ser considerável em relação
ao comprimento da viga.
4.2. CARACTERIZAÇÃO E RESPOSTA DINÂMICA EXPERIMENTAL DA VIGA COM MASSAS ADICIONADAS
Para a realização do experimento para análise da variabilidade espacial foi utilizada então uma viga
com secção retangular com dimensões muito inferiores ao comprimento da viga, podendo ser
considerada esbelta. Essa viga foi submetida ao mesmo procedimento feito à viga de alumínio para
caracterização dos parâmetros da viga, que é mostrado na tabela a seguir.
Tabela 6. Parâmetros dimensionais da viga
Parâmetros de caracterização da viga
𝑪𝒐𝒎𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 50,4 𝑐𝑚
𝑳𝒂𝒓𝒈𝒖𝒓𝒂 2,6 𝑐𝑚
𝑬𝒔𝒑𝒆𝒔𝒔𝒖𝒓𝒂 6,4 𝑚𝑚
𝑴𝒂𝒔𝒔𝒂 640 𝑔
𝑴𝒂𝒔𝒔𝒂 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄í𝒇𝒊𝒄𝒂 7631 𝑘𝑔/𝑚3
𝑰𝒏é𝒓𝒄𝒊𝒂 5,63.10−10 𝑚4
𝑴ó𝒅𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝑬𝒍𝒂𝒔𝒕𝒊𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 191 𝐺𝑃𝑎
Com a viga caracterizada passamos para a montagem experimental com massas adicionadas à viga.
Nessa montagem a viga se encontrava engastada em uma ponta e livre na outra. Existiram posições fixas
onde foram adicionadas as massas que foram selecionadas aleatoriamente para garantir a ausência de
erro sistemático. Foi medido o comprimento novo de engaste e com a densidade média da caracterização
calculada a massa equivalente que pode carregar energia cinética. Nessa etapa foi constatado a
dificuldade de fazer um engaste ideal pois fazendo o cálculo analítico houve uma discrepância nos
29
resultados de módulo de elasticidade encontrados com esse novo comprimento. O mais provável era
que o comprimento de engaste não fosse o visível. Portanto, foi feita a medição do comportamento
dinâmico em frequência para coletar as frequências naturais amortecidas da viga e modificar o
comprimento de engaste até as freqûencias naturais equivalerem às medidas. Após encontrar um valor
de comprimento de engaste mais próximo do real calcula-se a massa equivalente do sistema.
Tabela 7. Parâmetros dimensionais corrigidos
Valores corrigidos
𝑪𝒐𝒎𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒆𝒏𝒈𝒂𝒔𝒕𝒆 47 𝑐𝑚
𝑴𝒂𝒔𝒔𝒂 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆𝒏𝒕𝒆 592 𝑔
Para essa nova configuração de viga foi calculado analiticamente o modo de vibração para cada
frequência natural da viga.
Para a geração de massas aleatórias foi feito um programa que randomizava as massas adicionadas
em volta de um valor médio, 𝑚𝑜 = 0,595 𝑘𝑔, e variando num alcance, 𝜇𝑖 = ±0,003 𝑘𝑔, para cada
amostra 𝑖. Esses valores em cada experimento seriam mais tendenciosos à medida que o comprimento
de correlação fosse maior. As Fig. (15) e (16) exibem duas configurações de massa para dois
comprimentos de correlação diferentes em cada posição.
Figura 15. Distribuição de massa em cada posição da viga para as 5 primeiras configurações de massas para
comprimento de correlação cl=0.2L.
1 2 3 4 5 6 7 80.592
0.593
0.594
0.595
0.596
0.597
0.598
0.599
0.6
Massa T
ota
l na p
osiç
ão x
i
posição xi
30
Figura 16. Distribuição de massa em cada posição da viga para as 5 primeiras configurações de massas para
comprimento de correlação cl=1.0L.
Essa tendência ou probabilidade de a massa estar com um valor próximo do valor anterior é dada pelo
função de autocorrelação que mostra quanto uma posição influencia nas outras e essa é mostrada a seguir
para os comprimentos de correlação analisados.
Figura 17. Função de Autocorrelação para cada comprimento de correlação. Da esquerda para a direita, cl=0.2, cl
= 0.4L, cl=0.6L, cl=0.8L, cl=1.0L, cl=1.2L, cl = 1.4L.
1 2 3 4 5 6 7 80.595
0.5955
0.596
0.5965
0.597
0.5975
0.598
0.5985
Massa T
ota
l na p
osiç
ão x
i
posição xi
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Comprimento de correlação, cl
Auto
corr
ela
ção, C
t
31
Após a geração da matriz de massas aleatórias foi feita a normalização pela massa dos vetores posição
para cada modo analisado.
Figura 18. Modos de flexão da viga normalizado (vermelho) e não normalizado (azul).
Depois dos cálculos das funções posições normalizadas, 𝜙𝑛(𝑥), para cada comprimento de
correlação foram criadas 15 amostras de massas aleatórias a serem adicionadas, as quais foram dados
para o experimento. Para representar as massas adicionais foram utilizadas dois tipos de porcas, com
massas médias de 1,35g e 0,5g. As massas foram fixadas na viga e então foram feitas as medidas das
FRFs para cada amostra de massas. Para cada amostra de massas foi calculada a frequência natural. A
variação entre os valores gerados de massas refletem diretamente nas frequências naturais medidas em
cada amostra, em que para cada valor de comprimento de correlação, a frequência natural vai ter um
valor médio e um desvio padrão, como mostrado na figura (18).
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45-3
-2
-1
0
1
2
3
32
Figura 19. Desvio-padrão da frequência natural dos três primeiros modos de flexão da viga para diferentes
comprimentos de correlação da viga. Do inferior ao superior: cl = 0.2L, cl = 0.4L, cl=0.6L, cl=0.8L, cl=1.0L,
cl=1.2L, cl = 1.4L.
Percebe-se que o aumento no comprimento de correlação gera um aumento na variação dos valores
medidos de frequência natural, como mostrado na Fig. (19). Esse aumento é razoável já que a influência
tendenciosa dos valores de massas sobre as outras massas é maior quando o comprimento de correlação
aumenta. Como a quantidade de amostras não foi tão grande, os gráficos feitos pelos dados
experimentais não seguiram os padrões esperados.
0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
n médio, Hz
n
, H
z
33
Figura 20. Desvio-padrão (experimental) da frequência natural dos três primeiros modos de flexão da viga para
diferentes comprimentos de correlação da viga. Do inferior ao superior: cl = 0.4L, cl = 1.0L, cl=0.2L, cl=0.6L,
cl=0.8L.
Figura 21. Coeficiente de Variação COV (experimental) em função do comprimento de correlação cl para o
primeiro (azul), segundo (verde) e terceiro (vermelho) modos de flexão da viga.
0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500
1
2
3
4
5
6
n médio, Hz
n
, H
z
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.009
0.01
0.011
0.012
0.013
0.014
0.015
cl/L
CO
V
34
Com a utilização da rotina de cálculos feita no MatLab, utilizando um número de 200000 amostras,
obtemos um padrão comportamental do gráfico de desvio padrão x valor médio e o gráfico de COV x
cl/L, mostrado a seguir
Figura 22. Desvio-padrão (numérico) da frequência natural dos três primeiros modos de flexão da viga para
diferentes comprimentos de correlação da viga. Do inferior ao superior: cl = 0.2L, cl = 0.4L, cl=0.6L, cl=0.8L,
cl=1.0L.
Figura 23. Coeficiente de Variação COV (numérico) em função do comprimento de correlação cl para o primeiro
(vermelho), segundo (verde) e terceiro (azul) modos de flexão da viga.
0 50 100 150 200 250 300 350 400 4500
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
n médio, Hz
n
, H
z
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
0.0105
0.011
0.0115
0.012
cl/L
CO
V
35
Percebe-se que para os comprimentos de correlação mais baixos, o valor de COV é mais baixo
e à medida que se adota comprimentos de correlação maiores, as variações de frequência natural vão
aumentando, até determinado ponto (próximo ao final da viga, 𝑐𝑙/𝐿 = 1) e que para comprimentos de
correlação que extrapolam a viga, esses valores se estabilizam, significando que a distribuição de massa
está basicamente homogênea para cada experimento podendo ter uma discrepância geral para todas as
8 massas posicionadas sobre a viga. Como a distribuição já está praticamente homogênea, quase não há
mudança nos valores de COV para 𝑐𝑙 > 𝐿.
36
5 CONCLUSÃO
À variabilidade existente nos materiais, intrínseca do seu processo de manufatura devido aos
avanços tecnológicos, tem que ser dada importância, pois uma abordagem completamente analítica não
se faz satisfatória para representar a realidade. Para análise desta variabilidade, foi proposto um
experimento com uma viga esbelta engastada, na qual foram adicionadas massas concentradas sobre sua
superfície, afim de representar a variabilidade de densidade de massa ao longo da viga. Essa
variabilidade foi regida por uma função de autocorrelação das posições de cada massa, que representa a
influência que um valor de massa tem na outra. Dessa maneira, a viga foi submetida a um ensaio de
martelo de impacto para caracterização da resposta dinâmica do sistema, identificando suas frequências
naturais para cada configuração de massas adotada e gerando um conjunto de resposta dos quais pode-
se calcular média e desvio padrão.
A partir da análise dos resultados, percebe-se a influência das configurações de massas adicionadas
utilizadas para cada experimento nas frequências naturais, representadas pelo comprimento de
correlação. Mostrou-se que para uma amostra de massa adicionada mais homogênea, ou seja, para
grandes comprimentos de correlação, tem-se uma maior variabilidade das frequências naturais do que
valores de distribuição de massas com maior variabilidade espacial, ou seja, com menor comprimento
de correlação. Isto é devido ao comprimento de correlação que determina a influência de uma posição
relativa a outra na viga. No experimento, pela quantidade de amostras tomadas, essa dispersão se
mostrou relevante mostrando um resultado mais tendencioso.
Também foi proposto um modelo analítico aproximado, utilizando modos assumidos e massas
concentradas, a partir do qual uma rotina de matlab foi criada de modo a simular um grande número de
configurações do experimento. Com os resultados numéricos, mostrou-se que as frequências naturais de
flexão da viga tem uma dispersão maior para comprimentos de correlação mais elevados. Esse
crescimento vai até o limite em que a distribuição de massas torna-se homogênea, o que tende acontecer
para comprimentos de correlação maiores do que o comprimento da viga.
Com o experimento proposto, pode-se ter um algum controle a priori das características estatísticas
espaciais das propriedades do material, como média e função de correlação. Deste modo, pode-se
utilizar funções que representem valores típicos de materiais comumente em projetos de engenharia,
para que por fim possa-se determinar uma faixa de utilização sem o aumento tão grande de fatores de
segurança.
37
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
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Compósitos estruturais - Tecnologia e pratica. ARTLIBER.
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materiais compósitos poliméricos reforçados. São Carlos, 125p. Dissertação (Mestrado)
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Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. Elsevier Brasil.
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