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INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS – edição de 2006)

i

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL

Modelo de Transporte

Exercícios

Cap. I - Modelo de PL e Quadro Inicial

António Carlos Morais da Silva Professor de I.O.


ii

Recomendações

1. É possível aprender a matéria fazendo apenas exercícios e consultando as soluções? A resposta é negativa. Se quer mesmo aprender tem que começar pelo “ovo” ou seja pelo apoio teórico para apreender conceitos e técnicas novas. Um exercício é bem resolvido se e só existir a capacidade de identificar o problema, planear a sua execução, solucionar e examinar o resultado de modo crítico. Ora aquela capacidade adquire-se lendo, interpretando e memorizando o apoio teórico disponível.

2. Fazer dez exercícios ou o mesmo exercício 10 vezes ?

Em regra obtém-se melhor rendimento executando várias vezes o mesmo exercício, com critério e sentido da descoberta, do que resolvendo vários exercícios com o objectivo enganador de “acertar na solução “.

3. Exercício feito, tarefa pronta ?

A resposta é negativa. Rever criticamente a “história” da execução de um exercício melhora substancialmente a capacidade pessoal de identificação dos problemas e de arquitectar o plano de aplicação do “ferramental” técnico necessário (o quê ; quando ; como). A Programação Matemática apela ao “engenho e arte” de quem quer mesmo utilizá-la.

4. Sim ou não usar software de apoio?

A resposta é afirmativa. A experiência ensina que o recurso intensivo ao software académico, desenhado especificamente para apoio do ensino desta disciplina, traduz-se rapidamente na melhoria do rendimento porque além de permitir exercitar a curiosidade intelectual (vertente fundamental) garante a obtenção rápida de respostas rigorosas e detalhadas para exercícios propostos pelo professor ou gizados pelo próprio aluno (aumento da produtividade).

Cap. I - Modelo de Transporte - Exercícios


I-1

I. Modelo de PL e Quadro Inicial

1. É necessário planear um movimento de viaturas para transportar pessoal concentrado nos locais A, B, C e D sendo as requisições de respectivamente 9, 9, 7 e 3 viaturas. Estão disponíveis 9, 11 e 15 viaturas, respectivamente, nos locais X, Y e Z . A Matriz de Distâncias (km) da rede rodoviária é a seguinte:

A B C D X 10 12 17 5 Y 11 9 10 9 Z 13 6 4 11

a. Preparar o quadro inicial para aplicar a algoritmia de transporte.

b. Formalizar em PL o problema Primal. Indicar o significado das variáveis de decisão.

c. Formalizar em PL o problema Dual. Indicar o significado das variáveis de decisão.

2. Uma empresa tem as fábricas F1, F2 e F3 onde produz, semanalmente, 9, 18 e 23 toneladas do produto A, respectivamente. Este produto é transportado para os locais de distribuição L1, L2, L3 e L4 onde a procura média semanal é de 10, 10, 9 e 11 toneladas, respectivamente. Os custos de transporte (u.m.), por tonelada, são os seguintes:

L1 L2 L3 L4 F1 13 18 9 7 F2 9 15 11 F3 12 15 13 6






I-2

3. Uma empresa de construção civil necessita, nos seus estaleiros A, B, e C, de 10, 9 e 6 toneladas de cimento , respectivamente. A empresa fornecedora tem 3 armazéns ( X, Y, Z ) com 10, 15 e 10 toneladas, respectivamente, estimando os seguintes valores do lucro (u.m.) por tonelada fornecida:

A B C X 12 9 2 Y 12 10 7 Z 6 11




4. Admita dispor de 25 computadores nas suas lojas A (5), B (10) e C(4). No momento, as encomendas dos revendedores E1, E2 e E3 são de 3, 5, e 7 computadores, respectivamente. As tarifas dos CTT (u.m.) para transporte e entrega de 1 computador são as seguintes:

E1 E2 E3 A 16 20 19 B 19 21 21 C 33 29 23

O stock da loja C deve ser totalmente utilizado.




5. Considere o seguinte problema (transporte em toneladas; custos em u.m.):

Destino 1 Destino 2 Destino 3 Destino 4 Oferta Origem 1 11 12 13 14 10 Origem 2 14 13 12 16 10 Origem 3 10 14 13 13 10 Procura 8 12 15 5

Sabe-se que a solução óptima do transporte tem o custo total de 346 u.m. que é excessivo pois o orçamento disponível é de 250 u.m. Pretende-se optimizar o transporte a fazer com o custo máximo orçamentado.

a. Formalizar em PL o problema Primal. Indicar o significado das variáveis de decisão.

b. Preparar o quadro inicial para aplicar a algoritmia de transporte.



6. Uma empresa agrícola dispõe de 70 tambores de combustível nos armazéns A (25), B (10) , C(18), e D (17) sendo necessário colocá-los nas explorações X (15), Y (30) e Z (15). O quadro seguinte apresenta as distâncias (km) a percorrer nas estradas existentes:

A B C D X Y Z A 26 20 37 B 19 25 C 15 D 12 X 21 30 Y 15 13 Z 15 23

a. Considerando o custo do transporte de um tambor, entre qualquer par de locais, proporcional à distância entre os mesmos, formalizar em PL o problema Primal e indicar o significado das variáveis de decisão.

b. Preparar o quadro inicial para aplicar a algoritmia de transporte.

7. Admita que o problema de transporte envolve uma empresa com 2 armazéns (disponibilidade de 200 ton. do mesmo bem em cada um deles), 1 ponto de Transhipment (W) e o cliente C1 que encomendou 200 ton. Pretende-se satisfazer, pelo menos, 40% da procura do cliente C1 com o stock do armazém A1.

Os custos unitários de transporte (u.m.) são os seguintes:

W C1 A1 5 7 A2 1 6 W 4


8. Considere a seguinte rede de transporte (nos arcos indica-se o custo de transporte em u.m. por tonelada) :

A(140)

C(200)

B(160)

X(250)

Y(150)

Z(100)

T1

T2

T3

4

65

6

7

5

8

4

9

8

109

9

109

11

a. Formalizar o problema de PL e preparar o quadro inicial para aplicar a algoritmia de transporte.

I-3



9. A figura representa uma rede orientada em que:

• E1, E2, E3 e E4 são estações de bombagem;

• B e D são estações receptoras de combustível;

• E1 e E2 são estações a partir das quais entra combustível na rede (milhares de litros);

• as disponibilidades e necessidades são as indicadas na figura (milhares de litros);

• o custo de transporte (1000 litros) é proporcional à distância percorrida;

10 km

20 km

12 km

30 km

6 km

13 km

2 km

2 km

E1Disp=100

E4

E3

E2Disp=80

BNec = 60

DNec = 120


10. Uma empresa está a planear a produção de camisas do modelo “SuperMax” para os próximos quatro meses em que prevê a procura de 100, 200,180 e 300 unidades, respectivamente. A procura em qualquer dos meses pode ser satisfeita com camisas:

• que transitaram de mês (meses) anteriores (excesso de produção)

• produzidas no próprio mês

• produzidas em mês posterior ao da procura (satisfação da procura em diferido) Os custos unitários a considerar são os seguintes:

• custo de produção = 4 u.m.

• custo de posse = 0.4 u.m. por mês

• custo de ruptura = 2 u.m. por mês Estima-se que a capacidade produtiva nos quatro meses é de 50, 180, 280 e 270 unidades, respectivamente.

a. Preparar o “quadro inicial de transporte” para calcular o plano óptimo de produção.

I-4

Cap. I - Modelo de Transporte - Soluções dos Exercícios


S / I-1

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL

Modelo de Transporte

Soluções dos Exercícios

Cap. I – Modelo de PL e Quadro Inicial

António Carlos Morais da Silva Professor de I.O.



1.

a. Quadro inicial para aplicar a algoritmia de transporte:

b. Problema Primal - Modelo de PL

Considera-se “xij” o número de viaturas de “i = X, Y , Z” a afectar aos locais “j = A, B, C, D”.

11 12 13 14 21 22 23 24 31

32 33 34

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

11 21 31

12 22 32

13 23 33

14 24 34

11 12 13 14

( ) 10 12 17 5 11 9 10 9 136 4 11

. .91115

9973

, , , ,

Min f X x x x x x x x x xx x x

s ax x x xx x x xx x x xx x xx x xx x xx x xx x x x x

= + + + + + + + ++ + +

+ + + ≤+ + + ≤

+ + + ≤+ + =+ + =+ + =

+ + =

21 22 23 24 31 32 33 34, , , , , , , 0x x x x x x x Inteiro≥ ∧

c. Problema Dual - Modelo de PL

Considera-se “ui” o preço-sombra (u.m./viatura) de uma viatura de “i = X, Y , Z”

Considera-se “vj” o preço-sombra de uma viatura recebida nos locais “j = A, B, C, D”

1 2 3 1 2 3

1 1

1 2

1 3

1 4

2 1

2 2

2 3

2 4

3 1

3 2

3 3

3 4

1 2 3 1 2 3 4

( , ) 9 11 15 9 9 7 31012175119109136411

, , 0 ; , , ,

4Max g u v u u u v v v vu vu vu vu vu vu vu vu vu vu vu vu vu u u v v v v livres

= + + + + + +

+ ≤+ ≤+ ≤+ ≤+ ≤+ ≤+ ≤+ ≤+ ≤+ ≤+ ≤+ ≤

≤

S / I-2



2.

a.

b. Considera-se “xij” o número de toneladas que de “i = F1, F2, F3” são transportadas para “j = L1, L2, L3, L4”

11 12 13 14 21 22 23 24 31 32

33 34

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

11 21 31

12 22 32

13 23 33

14 24 34

11 12 13 1

( ) 13 18 9 7 9 15 11 12 1513 6

. .91823

1010911

, , ,

Min f X x x x x Mx x x x x xx x

s ax x x xx x x xx x x xx x xx x xx x xx x xx x x x

= + + + + + + + + ++ +

+ + + ≤+ + + ≤

+ + + ≤+ + =+ + =+ + =

+ + =

4 21 22 23 24 31 32 33 34, , , , , , , , 0x x x x x x x x Inteiro≥ ∧

c. Considera-se “ui” o preço-sombra (u.m./tonelada de “A”) de uma tonelada do bem “A” em “i = F1, F2 , F3”

Considera-se “vj” o preço-sombra (u.m./tonelada de “A”) de uma tonelada do bem “A” em “j = L1, L2, L3, L4”

1 2 3 1 2 3

1 1

1 2

1 3

1 4

2 1

2 2

2 3

2 4

3 1

3 2

3 3

3 4

1 2 3 1 2 3 4

( , ) 9 18 23 10 10 9 11131897

915111215136

, , 0 ; , , ,

4Max g u v u u u v v v vu vu vu vu vu v Mu vu vu vu vu vu vu vu u u v v v v livres

= + + + + + +

+ ≤+ ≤+ ≤+ ≤+ ≤+ ≤+ ≤+ ≤+ ≤+ ≤+ ≤+ ≤

≤

S / I-3



3.

a. É necessária a matriz de “Desgosto” para minimizar (quadro inicial):


Considera-se “xij” a quantidade de cimento (toneladas) a transportar de “i = X, Y , Z” para os locais “j = A, B,

C”.

11 12 13 21 22 23 31 32 33

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 21 31

12 22 32

13 23 33

11 12 13 21 22 23 31 32 33

( ) 12 9 2 12 10 7 6 11. .

1010151096

, , , , , , , , 0

Max f X x x x x x x Mx x xs a

x x xx x xx x xx x xx x xx x xx x x x x x x x x Inteiro

= + + + + + − + +

+ + ≤+ + ≤

+ + ≤+ + =+ + =+ + =

≥ ∧

Notar o termo “-Mx31” na função objectivo.

c. Consideram-se “ui” e “vj” os preços-sombra de 1 tonelada de cimento nas origens “i” e nos destinos “j”.

1 2 3 1 2

1 1

1 2

1 3

2 1

2 2

2 3

3 1

3 2

3 3

1 2 3 1 2 3

( , ) 10 10 15 10 9 6129212107

611

, , 0 ; , ,

3Min g u v u u u v v vu vu vu vu vu vu vu v Mu vu vu u u v v v livres

= + + + + ++ ≥+ ≥+ ≥+ ≥+ ≥+ ≥+ ≥ −

+ ≥+ ≥

≤

S / I-4



4.

a. É necessário impedir a ligação “C – Destino Fictício” e como se pretende calcular Min f(X), usa-se “big M” a que se atribuiu o valor 10000.


Considera-se “xij” número de computadores a transportar de “i = A, B , C” para os destinos “j = E1, E2 e E3”.

11 12 13 21 22 23 31 32 33

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 21 31

12 22 32

13 23 33

11 12 13 21 22 23 31 32 33

( ) 16 20 19 12 10 7 33 29 23. .

5104357

, , , , , , , , 0

Min f X x x x x x x x x xs a

x x xx x xx x xx x xx x xx x xx x x x x x x x x Inteiro

= + + + + + + + +

+ + ≤+ + ≤

+ + =+ + =+ + =+ + =

≥ ∧

Notar a restrição do tipo “=” para a loja “C”.

c. Consideram-se “ui” e “vj” os preços-sombra de 1 computador nas origens “i” e nos destinos “j”.

1 2 3 1 2

1 1

1 2

1 3

2 1

2 2

2 3

3 1

3 2

3 3

1 2 3 1 2 3

( , ) 5 10 4 3 5 716201912107332929

, 0 ; , , , ,

3Max g u v u u u v v vu vu vu vu vu vu vu vu vu vu u u v v v livres

= + + + + ++ ≤+ ≤+ ≤+ ≤+ ≤+ ≤+ ≤

+ ≤+ ≤

≥

S / I-5



5.

a. Problema Primal - Modelo de PL

O problema é de minimização e o valor óptimo do custo total não é suportável pelo orçamento. É pois obrigatório considerar todas as restrições técnicas do tipo “≤”. Examinemos, por exemplo, a restrição técnica e os custos associados à 1ª origem:

Destino 1 Destino 2 Destino 3 Destino 4 Oferta Origem 1 11 12 13 14 10

Teremos, no modelo de PL:

11 12 13 14

11 12 13 14

11 12 13 14

( ) 11 12 13 14 .... .

10, , , , ... 0

Min f X x x x xs a

x x x xx x x x Inteiro

= + + + +

+ + + ≤≥ ∧

Esta formalização conduz a Min f(X) = 0 u.m. e não há transporte! Como actuar? Há que modificar f(X) por forma a que o seu gradiente indique a direcção e sentido adequados para atingir o ponto óptimo. Experimentemos considerar os custos unitários multiplicados por “-1” e voltemos a examinar a 1ª origem: Teremos, agora, no modelo de PL:

11 12 13 14

11 12 13 14

11 12 13 14

( ) 11 12 13 14 .... .

10, , , , ... 0

Min g X x x x xs a


= − − − − +

+ + + ≤≥ ∧

Esta formalização conduz a Maximizar o custo real do transporte! Veja-se que as variáveis serão seleccionadas pela ordem x14, x13, x12, x11 ou seja, o transporte é efectuado escolhendo as VB a partir do

maior para o menor custo real. Ora isto é o oposto do que se pretende! Exploremos agora a matriz de desgosto:

Destino 1 Destino 2 Destino 3 Destino 4 Oferta Origem 1 5 4 3 2 10 Origem 2 2 3 4 0 10 Origem 3 6 2 3 3 10 Procura 8 12 15 5

S / I-6



Vejamos um extracto do modelo de PL:

11 12 13 14

11 12 13 14

11 12 13 14

( ) 5 4 3 2 .... .

10, , , , ... 0

Min h X x x x xs a


= + + + +

+ + + ≤≥ ∧

Esta formalização conduz a Min h(X) = 0 u.m. e não há transporte! Exploremos agora multiplicar, por “-1”, os coeficientes da matriz de desgosto:

Destino 1 Destino 2 Destino 3 Destino 4 Oferta Origem 1 -5 -4 -3 -2 10 Origem 2 -2 -3 -4 0 10 Origem 3 -6 -2 -3 -3 10 Procura 8 12 15 5

Usando estes coeficientes a escolha das VB da Origem 1, por exemplo, é feita pela ordem x11 , x12 , x13 , x14

ou seja, por ordem crescente do custo real do transporte que é exactamente o que se pretende. Não esquecendo a necessidade de restringir o custo total de transporte ao orçamento disponível (250 u.m.). o modelo de PL a utilizar é o seguinte:

11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

11 21 31

12 22 32

13 23 33

14 24 34

11 12 13

( ) 5 4 3 2 2 3 4 0 6 2 3 3. .

101010

812155

11 12 13 14

Min w X x x x x x x x x x x x xs a

x x x xx x x xx x x xx x xx x xx x xx x x

x x x

= − − − − − − − + − − − −

+ + + ≤

+ + + ≤+ + + ≤+ + ≤

+ + ≤+ + ≤+ + ≤

+ + + 14 21 22 23 24

31 32 33 34

11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34

14 13 12 1610 14 13 13 250

, , , , , , , , , , , 0

x x x x xx x x x

x x x x x x x x x x x x Inteiro

+ + + + +

+ + + + ≤≥ ∧

Veja-se que a optimização é feita recorrendo à função w(X) cujo gradiente permite calcular o ponto óptimo apesar de o seu valor não reflectir o custo de transporte.

S / I-7



S / I-8

b. Quadro Inicial

O quadro para optimizar o problema de transporte tem um número de filas igual ao número de restrições técnicas. Ora a restrição técnica do orçamento de 250 u.m. não pode representar-se no quadro de transporte que teria apenas 4 colunas, ou seja, não é possível resolver o problema aplicando o método Simplex-rede (algoritmia de transporte).



6.

a. Problema Primal - Modelo de PL

A rede viária permite encaminhamentos diversos entre os armazéns e as explorações. O transporte do armazém “B” para a exploração “Z” pode passar na zona do armazém “A” se o encaminhamento escolhido for B - A - Z. Esta decisão não implica usar o armazém “A” para transexpedição mas podemos simulá-la para poder formalizar o problema como modelo de Transhipment. A matriz de distâncias mostra que todos os armazéns e explorações devem ser considerados como pontos de Transhipment. O stock total dos armazéns é de 70 tambores e a necessidade total das explorações é de 60 tambores pelo que as restrições técnicas dos armazéns são do tipo “≤” e as das explorações são do tipo “=”. Qualquer dos armazéns é “receptor” de tambores (Transhipment), tem stock próprio de tambores e é “expedidor” de tambores. Dado o desequilíbrio já referido temos: Expedido ≤ Recebido + Stock Qualquer das explorações é “receptora” de tambores, tem “procura” de tambores e é “expedidora” (Transhipment) de tambores. Dado o desequilíbrio já referido temos: Procura = Recebido - Expedido Sendo o custo proporcional à distância percorrida, minimizando esta minimiza-se o custo associado.

Considerando variável de decisão a quantidade de tambores que é transportada entre qualquer par de locais com ligação rodoviária (AC, AY, AZ, …) o modelo de PL para optimizar o transporte é o seguinte:

26 20 37 19 25 15 12 21 3015 13 15 23

. .25 (armazém )

10 (armazém )18 (armazém )

17 (armazém )15 (exploração )

Min f AC AY AZ BA BC CD DY XB XZYC YZ ZA ZX

s aAC AY AZ BA ZA ABA BC XB BCD AC BC YC CDY CD DZX XB XZ XAY DY YC YZ

= + + + + + + + + ++ + + +

+ + − − ≤+ − ≤− − − ≤− ≤− − =+ − − = 30 (exploração )

15 (exploração ), ... 0

YAZ XZ YZ ZA ZX ZAC AD Inteiro

+ + − − =≥ ∧

S / I-9



S / I-10

b. Quadro Inicial

O equilíbrio do modelo verifica-se com 70 tambores (dimensão do “Buffer” a considerar em todos os ponto de Transhipment).

A B C D X Y Z Fictício Oferta A 0 26 20 37 0 25 + 70 B 190 0 25 0 10 + 70 C 0 15 0 18 + 70 D 0 12 0 17 + 70 X 21 0 30 0 70 Y 15 0 13 0 70 Z 15 23 0 0 70

Procura 70 70 70 70 15 + 70 30 + 70 15 + 70 10

Notar a distância nula considerada para os vértices de Transhipment.



7.

a. Veja-se a rede de transporte descrita na matriz de custos:

A1

A2

W

C1

5

41

6

7

W C1 A1 5 7 A2 1 6 W 4

Por simples inspecção da rede constata-se que a procura de C1 será integralmente satisfeita por A2 o que viola a imposição estabelecida de fornecer, pelo menos, 40% da procura de C1 a partir de A1. Reduzir a procura de C1 para 160 ton., considerando “a priori” que a restante necessidade é satisfeita a partir de A1, não é solução pois temos que admitir não conhecer o melhor encaminhamento de A1 para C1 (o que sucederia numa rede extensa). Como resolver? Repare-se que o equilíbrio do modelo com um destino fictício conduz à rede seguinte:

A1

A2

W

C1

5

41

6

Fictº

0

0

0

7

Verifica-se que nada impede o encaminhamento “A1 - W – Destino Fictício” pelo que é necessário eliminar esta possibilidade. Para tal “simula-se” a seguinte rede:

A1200

A2200

W2400

C1180

41

6

Fictº200

0

0

0

W1400

5

4

7

C12120

5

4

7

Notar o desdobramento de “W” (W1 e W2) e de “C1” (C11 e C12). Veja-se que:

• “W1” está reservado a fazer Transhipment para “C11” se o custo total for mais favorável

• os dois armazéns continuam a poder ser fornecedores do cliente mas de “A2” não poderão ir mais do que 120 toneladas

• 80 toneladas do cliente “C1” só podem ter origem em A1 (como se pretende). A optimização indicará se o encaminhamento será directo ou via “W1” (que é “W”).

S / I-11



S / I-12

O quadro inicial para calcular a solução óptima é pois o seguinte:

W1 W2 C11 C12 Fictº Oferta A1 5 5 7 7 0 200 A2 M 1 M 6 0 200 W1 0 M 4 4 M 400 W2 M 0 M 4 0 400

Procura 400 400 80 120 200



8.

a. Para facilitar a formalização, numeram-se os vértices da rede de transporte:

A(140)

C(200)

B(160)

X(250)

Y(150)

Z(100)

T1

T2

T3

4

6

5

67

5

84

9

8

109

9

109

11

1

5

4

9

8

7

3

2

6

b. Modelo de PL

14 15 24 25 26 34 35 36 47 48 57

58 59 67 68 89

14 15

24 25 26

34 35 36

14 24 34 47 48

( ) 4 6 5 6 7 5 4 8 9 8 109 9 10 9 11

. .140 ( )160 ( )200 ( )

(

Min f X x x x x x x x x x x xx x x x x

s ax x stock de A

x x x stock de Bx x x stock de Cx x x x x conservação de fl

= + + + + + + + + + ++ + + + +

+ =+ + =+ + =+ + = +

15 25 35 57 58 59

26 36 67 68 69

47 57 67

48 58 68

59 69

1)( 2)( 1)

250 ( )150 ( )100 ( )0ij

uxo em Tx x x x x x conservação de fluxo em T

x x x x x conservação de fluxo em Tx x x procura de Xx x x procura de Y

x x procura de Zx Inteiro

+ + = + +

+ = + ++ + =+ + =

+ =

≥ ∧

Sendo de 500 toneladas a carga total a transportar, o valor do “Buffer” para os pontos de Transhipment T1, T2 e T3 é de 500 toneladas e o quadro inicial é o seguinte:

S / I-13



9.

a.

São pontos de Transhipment: as estações de bombagem E3, E4 e as estações receptoras B e D. A disponibilidade e necessidade totais são iguais a 180 milhares de litros (problema equilibrado) pelo que aos pontos de Transhipment deve associar-se o “Buffer” de 180 milhares de litros.

Sendo o custo de transporte proporcional à distância percorrida, minimizando esta minimiza-se o custo associado. O quadro inicial para calcular a solução óptima é pois o seguinte:

10 km

20 km

12 km

30 km

6 km

13 km

2 km

2 km

E1Disp=100

E4

E3

E2Disp=80

BNec = 60

DNec = 120

S / I-14



10.

a. Características de um modelo de transporte:

• Um conjunto de origens que disponibilizam um bem

• Um conjunto de destinos que necessitam do bem referido

• Um “encargo” (custo, lucro, distância, … ) associado à passagem de uma unidade do bem de cada uma das origens para cada um dos destinos.

Na situação proposta temos:

• Qualquer mês (excepto o último) é “Origem de camisas” que podem ser vendidas em cada um dos meses posteriores pelo que estes funcionam como “Destinos”

• Qualquer mês (excepto o primeiro) é “Origem de camisas” para satisfazer procuras não satisfeitas em meses anteriores (satisfazer procura em diferido)

• O custo unitário de “transporte” é de 4 u.m. para a produção no próprio mês agravado de 0.5 u.m. por cada mês posterior até aos Destinos de venda (meses posteriores) e de 2 u.m. por cada mês anterior até aos Destinos de venda (meses anteriores).

Para melhor explicitar os “custos de transporte” vejamos, por exemplo, a Origem = Mês 1:

Mês 1 Mês 2 Mês 3 Mês 4 Mês 1 4 4 + 0.5 4 + 0.5 + 0.5 4 + 0.5 + 0.5 + 0.5

Vejamos agora a Origem = Mês 3

Mês 1 Mês 2 Mês 3 Mês 4 Mês 3 4 + 2 + 2 4 + 2 4 4 + 0.5

O quadro inicial para calcular a solução óptima é pois o seguinte:

S / I-15

investigaÇÃo operacional modelo de transporte … · investigaÇÃo operacional (ms – edição...

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