faculdade de engenharia investigação...

Faculdade de Engenharia – Investigação Operacional

Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu



2

Redes

Aula 20: Modelos de Optimização de Redes (Prática)

– O Problema do Caminho Mais Curto.

– O Problema do Fluxo de Custo Mínimo.



3

Problema 20.1 (I)

A C

B F D

E

Considere a seguinte rede Direccionada:


Problema 20.1 (II)

a) Encontre um caminho direccionado do nó A para o nó F e depois identifique três outros caminhos não-direccionados do nó A para F.

b) Encontre três ciclos direccionados. A seguir, identifique um ciclo não-direccionado e um ciclo direccionado que inclua cada um dos nós.

c) Identifique um conjunto de arcos que forme uma árvore de expansão.

d) Use o processo indicado nas figuras dos Slides 15 e 16 da Aula 19 para desenvolver uma árvore, um arco por vez até que uma árvore de expansão tenha sido formada. A seguir repita este processo para obter uma nova árvore de expansão. Não duplique a árvore de expansão identificada no Item c).


4


Problema 20.1 (Resolução I)


5

Caminho direccionado

AD-DC-CE-EF (A→D → C → E → F)

Caminho não direccionado

AD-FD (A→D → F)

CA-CE-EF (A→C → E → F)

AD-ED-EF (A→D → E → F)

a)


Problema 20.1 (Resolução II)


6

Ciclos direccionados

AD-DC-CA

DC-CE-ED

DC-CE-EF-FD

Ciclos não direccionado

CA-CE-EF-FD-DB-AB

b)


Problema 20.1 (Resolução III)


7

Árvore de expansão

CA, CE, DC, FD, DB

c)

A C

B F D

E

d)

a)

b) c)

d)

e)


Problema 20.1 (Resolução IV)


8

d)

A C

B F D

E

a)

b)

c)

d)

e)


Problema 20.2 (I)


9

Um dos voos da LAM está prestes a deslocar de Maputo num voo sem escalas

com destino à Lichinga. Há alguma flexibilidade na escolha da rota precisa a ser

tomada, dependendo das condições climatéricas. A rede que a seguir se

apresenta representa as redes que estão a ser consideradas em que M e L

representam Maputo e Lichinga respectivamente, e os outros nós representam

as várias localizações intermédias. Os ventos ao longo de cada arco afectam

muito o tempo de voo (e portanto o consumo de combustível). Baseado nos

boletins meteorológicos do momento, os tempos de voo em horas para esse

voo em particular, são mostrados próximo dos arcos. Pelo facto do combustível

consumido ser caro, a gerência da LAM estabeleceu uma política para a

escolha da rota que minimize o tempo total de voo.

Determinar a rota e o custo mínimo de transporte de modo a maximizar os

lucros.


Problema 20.2 (II)


10

M

A

B

C

D

E

F

L

4,6

4,7

4,2

3,5

3,4

3,6

3,2

3,3

3,5

3,4

3,4

3,6

3,8




11

M

A

B

C

D

E

F

L

4,6

4,7

4,2

3,5

3,4

3,6

3,2

3,3

3,5

3,4

3,4

3,6

3,8

n Nós solucionados Directamente conectados a

Nós Não Solucionados

Nó Não Solucionado Conectado

mais próximo

Distância Total Envolvida

N-esimo Nó

Mais

Distância Mínima

Última Conexão

1 M C 4,2 C 4,2 MC




12

M

A

B

C

D

E

F

L

4,6

4,7

4,2

3,5

3,4

3,6

3,2

3,3

3,5

3,4

3,4

3,6

3,8




mais próximo


N-esimo Nó

Mais

Distância Mínima

Última Conexão

2

M A 4,6

A 4,6 MA C F 4,2+3,4=7,6


Problema 20.2 (Resolução III)


13

M

A

B

C

D

E

F

L

4,6

4,7

4,2

3,5

3,4

3,6

3,2

3,3

3,5

3,4

3,4

3,6

3,8




mais próximo


N-esimo Nó

Mais

Distância Mínima

Última Conexão

3

M B 4,7

B 4,7 MB C F 4,2+3,4=7,6

A E 4,6+3,4=8,0


Problema 20.2 (Resolução IV)


14

M

A

B

C

D

E

F

L

4,6

4,7

4,2

3,5

3,4

3,6

3,2

3,3

3,5

3,4

3,4

3,6

3,8




mais próximo


N-esimo Nó

Mais

Distância Mínima

Última Conexão

4

A E 4,6+3,4=8,0

F 7,6 CF B E 4,7+3,2=7,9

C F 4,2+3,4=7,6


Problema 20.2 (Resolução V)


15

M

A

B

C

D

E

F

L

4,6

4,7

4,2

3,5

3,4

3,6

3,2

3,3

3,5

3,4

3,4

3,6

3,8

n

Nós solucionados Directamente

conectados a Nós Não Solucionados


mais próximo


N-esimo Nó

Mais

Distância Mínima

Última Conexão

5

A E 4,6+3,4=8,0

E 7,7 CE B E 4,7+3,2=7,9

C E 4,2+3,5=7,7

F L 7,6+3,8=11,4


Problema 20.2 (Resolução VI)


16

M

A

B

C

D

E

F

L

4,6

4,7

4,2

3,5

3,4

3,6

3,2

3,3

3,5

3,4

3,4

3,6

3,8

n




mais próximo


N-esimo Nó

Mais

Distância Mínima

Última Conexão

6

A D 4,6+3,5=8,1

D 8,1 AD B D 4,7+3,6=8,3

F L 7,6+3,8=11,4

E L 7,7+3,6=11,3


Problema 20.2 (Resolução VII)


17

M

A

B

C

D

E

F

L

4,6

4,7

4,2

3,5

3,4

3,6

3,2

3,3

3,5

3,4

3,4

3,6

3,8

n




mais próximo


N-esimo Nó

Mais

Distância Mínima

Última Conexão

7

D L 8,1+3,4=11,5

L 11,3 EL E L 7,7+3,6=11,3

F L 7,6+3,8=11,4


Problema 20.2 (Resolução Resolução VIII)


18




mais próximo


N-esimo Nó

Mais

Distância Mínima

Última Conexão

1 M C 4,2 C 4,2 MC

2

M A 4,6

A 4,6 MA C F 4,2+3,4=7,6

3

M B 4,7

B 4,7 MB C F 4,2+3,4=7,6

A E 4,6+3,4=8,0

4

A C 4,6+3,4=8,0

F 7,6 CF B E 4,7+3,2=7,9

C F 4,2+3,4=7,6




19

n




mais próximo


N-esimo Nó

Mais

Distância Mínima

Última Conexão

5

A E 4,6+3,4=8,0

E 7,7 CE B E 4,7+3,2=7,9

C E 4,2+3,5=7,7

F L 7,6+3,8=11,4

6

A D 4,6+3,5=8,1

D 8,1 AD B D 4,7+3,6=8,3

F L 7,6+3,8=11,4

E L 7,7+3,6=11,3

7

D L 8,1+3,4=11,5

L 11,3 EL E L 7,7+3,6=11,3

F L 7,6+3,8=11,4

O caminho óptimo é M-C-E-L com a distância mínima de 11,3 horas


Problema 20.3


20

Encontre o caminho mais curto através da rede, na qual os números

representam distâncias verdadeiras entre os nós correspondentes, sendo o

ponto O, o início e ponto T o fim.




21

n




mais próximo

Distância Total

Envolvida

N-esimo Nó

Mais

Distância Mínima

Última Conexão

1 O A 4 A 4 OA

2,3 O C 5 C 5 OC

A B 6 B 6 OB

4

A D 4+7=11 E 10 BE

B E 6+4=10

C E 5+6=11

5

A D 4+7=11 D 11 AD

B D 6+5=11 D 11 BD

E D 10+2=12

6 D T 11+6=17

T 17 DT E T 10+8=18

Os caminhos mais curtos são O→A→D→T ou O→B→D→T com o valor de 17


Problema 20.4 (I)

Uma empresa vai fabricar o mesmo produto novo em duas fábricas diferentes

e depois o produto terá de ser enviado a dois depósitos. A Fábrica 1 é capaz

de enviar uma quantidade ilimitada por comboio apenas para o Depósito 1,

enquanto que a Fábrica 2 pode enviar uma quantidade ilimitada por via férrea

somente ao Depósito 2. Entretanto podem ser usados camionistas

independentes para transportar até 50 unidades de cada fábrica para um

centro de distribuição, das quais até 50 unidades poderão ser enviadas a cada

depósito. O custo de transporte por unidade para cada uma das alternativas é

exposto na tabela a seguir, juntamente com as quantidades a serem

produzidas nas fábricas e as quantidades necessárias nos depósitos.


22


Problema 20.4 (II)

Custo de Transporte por Unidade

Para De

Centro de Distribuição

Depósito Produção

1 2

Fábrica 1 3 7 - 80

Fábrica 2 4 - 9 70

Centro de Distribuição 2 4

Alocação 60 90


23

a) Formule a representação em forma de rede esse problema como

um problema de Fluxo de Custo Mínimo.

b) Formule o modelo de Programação Linear para esse problema.




24

F1

D2 F2

D1

[80] [-60]

4 (50)

3 (50)

9 (∞)

[-90] [70]

7 (∞)

2 (50)

4 (50)




25

1 1 1 1 2 2 2 2

1 1 1

2 2 2

1 1 1

2 2 2

1 1 2 2

1 2 1 2

, , , , , ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, , , ,

, , , ,

7 3 2 4 4 9

:

80

70

60

90

0

, , , 50,

F D F CD CD D F CD CD D F D

F D F CD

F CD F D

CD D F D

CD D F D

F CD CD D F CD CD D

F CD F CD CD D CD D

Minimizar Z x x x x x x

sujeito a

x x

x x

x x

x x

x x x x

e

x x x x 0ijpara todo o x


Trabalho para casa 6.1 (I)

Sarah acaba de se formar no colégio. Como presente de

formatura, seus pais ofereceram-lhe um fundo de 21.000

dólares para comprar e manter um carro de três anos de

idade que ela vai utilizar para se deslocar à faculdade. Como

os custos operacionais e de manutenção sobem rapidamente

com a idade do carro, os pais de Sarah disseram-lhe que ela

será bem-vinda se conseguir transacionar o seu carro por

outro de três anos de idade, uma ou mais vezes durante os

próximos três verões se ela determinar que estaria a

minimizar o custo líquido total.


26


Trabalho para casa 6.1 (II)

Eles também informaram-lhe que eles vão dar-lhe um carro

novo depois de quatro anos como presente de formatura da

faculdade, então ela vai em definitivo trocar o seu carro após

a formatura. (Estes são pais muito bons !!!)

A tabela apresenta os dados pertinentes para cada vez que

Sarah comprar um carro de três anos de idade. Por exemplo,

se ela comercializa o seu carro depois de dois anos, o próximo

carro terá o ano de propriedade 1, durante seu primeiro ano,

etc.


27


Trabalho para casa 6.1 (III)


28

Dados da Sarah cada vez que compra um carro de três anos

Preço de

Compra

Custos de Operação e Manutenção

por ano de propriedade Custo de venda ao fimde cada ano

de propriedade

1 2 3 4 1 2 3 4

$12,000 $2,000 $3,000 $4,500 $6,500 $8,500 $6,500 $4,500 $3,000

Quando Sarah deve trocar o seu carro (se houver necessidade) durante os próximos três verões para minimizar seu custo total líquido de aquisição, operação e manutenção dos carros durante seus quatro anos de faculdade? (a) Formule este problema como um problema de caminho mais curto. (b) Use o algoritmo descrito na Aula 19, Slide 19 para resolver este problema do caminho mais curto. (c) Formular e resolver um modelo em planilha de Excel para esse problema.


Trabalho para casa 6.2 (I)

A Usina Fagersta actualmente obtém o seu minério de ferro de

duas minas. Este minério é enviado para uma das duas

instalações de armazenamento. Quando necessário, então ele

é enviado para a fábrica da empresa de aço. O diagrama

abaixo ilustra esta rede de distribuição, onde M1 e M2 são as

duas minas, A1 e A2 são as duas instalações de

armazenamento, e U é a usina siderúrgica. O diagrama

mostra também os valores mensais produzidos nas minas e

necessário na fábrica, bem como o custo de transporte e a

quantidade máxima que pode ser enviada por mês por cada

via.


29


Trabalho para casa 6.2 (II)


30

a) Formule o modelo de Programação Linear para esse problema

como um problema de Fluxo de Custo Mínimo.;

b) Resolva o problema por meio do Solver do Excel.


Trabalho para casa 6

• Entregar em manuscrito até 10 minutos depois

do início da aula de terça-feira dia 9 de Outubro e

enviar até as 5 horas da mesma terça-feira com

o “subject”: TPC06.


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