Introdução à Teoria de Redes

Alberto SaaUNICAMP

Versão 0.414 outubro de 2019

Sumário

Capítulo 1. Introdução 51. Definições básicas 51.1. Equivalência e simetria de grafos 82. Passeios, caminhos e ciclos 112.1. Conectividade 132.2. Grafos bipartidos 142.3. Grafos como espaços métricos 153. Teoria espectral de grafos 173.1. Matriz de adjacência 173.2. Matriz Laplaciana 193.3. Matrizes normalizadas 213.4. Espectro e simetrias 224. Exemplos: alguns grafos especiais 234.1. Grafo completo 234.2. Grafo estrela 244.3. Grafo ciclo 264.4. Grafo caminho 284.5. Grafos regulares 315. Grafos mais gerais 34

Capítulo 2. Grafos aleatórios 351. Grafos de Erdős-Rényi 361.1. Algumas propriedades dos grafos de Erdős-Rényi 381.1.1. Matriz de adjacência 391.1.2. Triângulos em G(n, p) 401.1.3. Conectividade de G(n, p) 401.1.4. Distância típica em G(n, p) 422. Grafos de Barabasi-Albert 432.1. Distâncias em redes livres de escala 463. Passeios aleatórios 47

Exercícios - entrega 28/10/2019 49

3

CAPíTULO 1

Introdução

1. Definições básicas

Nossa primeira definição será a de um grafo não orientado (também cha-mado não direcionado ou não dirigido na literatura matemática em línguaportuguesa, ou undirected graph em inglês). Por simplicidade, vamos deno-minar os grafos não orientados apenas por grafos ou, ainda de maneira maisgeral, também por redes (networks), como é mais comum na literatura física.

def1Definição 1. Um grafo G = (V,E) é uma estrutura composta pordois conjuntos:i) um conjunto V = v1, v2, . . . , vn de elementos chamados vértices

(ou nós, ou sítios);ii) um conjunto E = e1, e2, . . . , ek ⊂ V × V de elementos denomi-

nados arestas (ligações, edges, links), sendo cada aresta ej(vi, vk)um par não ordenado de vértices distintos vi, vk ∈ V .

É comum dizermos que uma aresta conecta dois vértices. Além disso, doisvértices são ditos adjacentes sempre que houver uma aresta que os conecte.Por ora, é claro que estamos excluindo a possibilidade de uma aresta conec-tar um vértice a ele mesmo, o que corresponde as chamadas auto-ligações oulaços (loops). Também admitiremos que um dado par de vértices pode aco-modar apenas uma aresta. Grafos como os da definição 1 sem auto-ligaçõessão chamados também de grafos simples. Apresentaremos alguns casos maisgerais, que permitiriam auto-ligações e múltipla arestas entre vértices, maisadiante.

Denominaremos os conjuntos de vértices e de arestas de um grafo G,respectivamente, por V (G) e E(G). A ordem de um grafo G correspondeao seu número de vértices, e será denotada por |G| ou |V (G)|. O númerode arestas de um grafo G sempre será denotado por |E(G)|. Há diversasmaneiras para se representar um grafo. As representações gráficas são sempremuito atraentes para grafos não muito grandes. Vejam, por exemplo, o graforepresentado na Fig. 1. Não é difícil perceber que ele corresponde aosconjuntos da nossa definição 1 com |G| = 6 e |E(G)| = 8, i.e., um grafode 6 vértices e 8 arestas, estando as arestas distribuídas como mostrado natabela da figura. Há uma vasta e interessante literatura sobre o problemadas representações gráficas de um grafo, mas não é este o nosso interesseprimordial. Aos que se interessam e pretendem se aprofundar no problemada representação gráfica plana de grafos, sugere-se começar por dois célebres

5

6 1. INTRODUÇÃO

1e

2e

3e

4e5e

6e

7e8e

1v 2v

3v

4v

5v

6v

arestas vérticese1 v1 ↔ v2

e2 v2 ↔ v3

e3 v3 ↔ v4

e4 v2 ↔ v4

e5 v1 ↔ v4

e6 v3 ↔ v5

e7 v4 ↔ v5

e8 v5 ↔ v6

Figura 1.Fig1.1Exemplo de grafo com 6 vértices e 8 arestas.

teoremas: de Fáry e de Kuratowski, e a relação desta questão com o famosoproblema das 4 cores1.

A representação matricial de um grafo será muito mais importante paraos nossos propósitos. Podemos representar de maneira bastante condensadatodas as informações pertinentes de um grafo utilizando a chamada matrizde adjacência: uma matriz A cujas entradas [aij ] são simplesmente

aij =

1, se houver uma aresta vi ↔ vj ,0, se nao houver.

(1)

Por exemplo, a matriz de adjacência para o grafo da Fig. 1 será

A =

0 1 0 1 0 01 0 1 1 0 00 1 0 1 1 01 1 1 0 1 00 0 1 1 0 10 0 0 0 1 0

. (2)adja1adja1

Como vemos, trata-se, por construção, de uma matriz simétrica de entradas0 ou 1, de diagonal nula. Uma outra matriz relevante é a chamada matrizde incidência M , uma matriz com n linhas e k colunas cujas entradas sãodadas por

mij =

1, se a aresta ej contiver o vertice vi,0, caso contrario.

(3)

A matriz de incidência para o grafo da Fig. 1 é

M =

1 0 0 0 1 0 0 01 1 0 1 0 0 0 00 1 1 0 0 1 0 00 0 1 1 1 0 1 00 0 0 0 0 1 1 10 0 0 0 0 0 0 1

. (4)

1Ver, por exemplo, J.A. Bondy e U.S.R. Murty, Graph Theory, Springer (2008).

1. DEFINIÇÕES BÁSICAS 7

Notem que a soma das colunas (ou das linhas) da matriz de adjacência Anos dá o número de arestas de cada vértice. Chamamos esta importantequantidade de grau (degree) do vértice vi

di =

n∑j=1

aij =

n∑j=1

aji. (5)

A soma de linhas e colunas da matriz de incidência M também nos podefornecer informações interessantes sobre o grafo que ela representa. Porexemplo, somando suas colunas, temos

di =k∑j=1

mij . (6)

Ao mesmo tempo, somando-se suas linhas, obtemos para todas colunas∑ni=1mij = 2, que obviamente significa que cada aresta contém sempre 2

vértices. Ora, somando-se todas as entradas da matriz de incidência, temosa nossa primeira identidade notável para grafos

n∑i=1

di = 2|E(G)|. (7) somagraussomagraus

Notem, em particular, que esta relação implica uma curiosa propriedade: onúmero de vértices com grau impar (denominados também vértices ímpares)de um grafo é sempre par.

A matriz de de incidência M guarda uma relação simples com a matrizde adjacência A. Para revelá-la, vamos considerar as componentes

[m

(2)ij

]do produto MM t

m(2)ij =

E(G)∑k=1

mikmjk. (8)

Da definição da matriz de incidência, vemos que, para i 6= j, m(2)ij será 1 se

houver uma aresta conectando os vértices vi e vj , ou 0 zero não houver. Poroutro lado, se i = j, teremos m(2)

ii = di. Assim, temos a relação

A = MM t −D, (9)

sendo D a matriz diagonal contendo os graus dos vértices,

D = diag(d1, d2, . . . , dn), (10)

a qual denominamos simplesmente de matriz dos graus. Uma outra matriznotável para grafos é a denominada matriz Laplaciana L, definida como

L = D −A. (11)

8 1. INTRODUÇÃO

Para o nosso exemplo da Fig. 1, a matriz Laplaciana é

L =

2 −1 0 −1 0 0−1 3 −1 −1 0 0

0 −1 3 −1 −1 0−1 −1 −1 4 −1 0

0 0 −1 −1 3 −10 0 0 0 −1 1

. (12)

Claramente, também é uma matriz simétrica, com a diagonal dada pelosgraus dos vértices.

1.1. Equivalência e simetria de grafos. Dadas duas representaçõesdiferentes de um grafo, sejam elas gráficas ou matriciais, podemos determinarse elas realmente correspondem a grafos diferentes? Quando dois grafospodem ser considerados realmente diferentes? Estas perguntas supõem aexistência de uma noção de equivalência de grafos, cuja definição matemáticaprecisa envolve o conceito de isomorfismo.

defisoDefinição 2. Dois grafos G e H são ditos isomorfos se houver umabijeção

f : V (G)→ V (H)

tal que dois vértices quaisquer vi, vj ∈ V (G) são adjacentes se e so-mente se f(vi) e f(vj) ∈ V (H) também o forem.

Vejam um exemplo de dois grafos isomorfos e o respectivo isomorfismo naFig. 2. Nossa definição de isomorfismo corresponde a uma permutação de

Isomorfismof(a) = 1f(b) = 6f(c) = 8f(d) = 3f(g) = 5f(h) = 2f(i) = 4f(j) = 7

Figura 2.FigIsoExemplo de isomorfismo entre grafos de ordem

8. Figuras da Wikipedia.

vértices que preserva a estrutura das arestas. Estes isomorfismos podemser “visualizados” na representação gráfica como “deslocamentos” dos vérti-ces mantendo-se suas arestas conectadas, as quais se comportam como sefossem ligações “elásticas”. Assim, podemos “deformar” o grafo da esquerdada Fig. 2 e transformá-lo no grafo da direita movendo os vértices e “arras-tando” suas respectivas arestas. Uma vez “deformado” o grafo da esquerdana forma do da direita, a operação de permutação é apenas a renomeaçãodos vértices, o que obviamente não altera em nada da estrutura do grafo.Para nossos propósitos, é sempre mais conveniente entender o isomorfismode grafos a partir de suas representações matriciais. Considerem a matriz

1. DEFINIÇÕES BÁSICAS 9

de adjacência do grafo da esquerda da Fig. 2, supondo os vértices ordena-dos alfabeticamente. As permutações da tabela implicam em permutaçõesde linhas e colunas da matriz de adjacência A, cujo resultado será a matrizde adjacência do grafo da direita. Vemos que deve ser possível reformulara definição 2 em termos das matrizes de adjacência. Este é o conteúdo doseguinte teorema, cuja prova é simples.

defisoATeorema 1. Dois grafos G e H, com matrizes de adjacência AG eAH , são isomorfos se e somente se houver uma matriz de permutaçãoP tal que

P tAGP = AH .

A prova do teorema vem da observação de que a permutação P leva osvértices vi e vj de V (G) nos vértices v′k e v′` de V (H) e, segundo o teorema,a entrada aGij de AG na entrada aHk` de AH , de onde segue diretamente quesomente haverá uma aresta entre v′k e v′` de V (H) se houver uma entre vi evj de V (G), e vice-versa.

O conteúdo do teorema 1 tem algumas implicações interessantes. Pri-meiro, notem que, se uma certa permutação P é dada, é bastante fácil ve-rificar se ela corresponde a um isomorfismo entre os grafos G e H, bastacalcular P tAGP e comparar com AH . Ao mesmo tempo, dada duas matrizesAG e AH , é computacionalmente muito custoso determinar se há permuta-ções tais que P tAGP = AH , pois essencialmente há n! permutações paraserem testadas. Esta situação é típica da classe de problemas chamada NP.2Normalmente, verificamos se dois grafos podem ser isomorfos examinandosuas propriedades invariantes, i.e., as propriedades que devem ser preserva-das por isomorfismos. Por exemplo, é claro que se G e H são isomorfos,devemos ter |G| = |H| e |E(G)| = |E(H)|. Os graus dos vértices tambémdevem ser preservado, i.e. d(vi) = d(f(vi)). De maneira mais interessante, oteorema 1 garante também que o espectro das matrizes AG e AH devem seridênticos, e o mesmo valerá para a matriz Laplaciana. Na prática, é muitocomum demonstrarmos que dois grafos não são isomorfos mostrando que elestem diferentes quantidades invariantes.

A noção de isomorfismo nos permite introduzir a ideia de equivalência degrafos. Grafos isomorfos são equivalentes no sentido de que suas estruturasde conexão das arestas e várias outras propriedades derivadas serão essenci-almente as mesmas. Se aplicarmos a noção de isomorfismo ao caso em queG = H, estaremos introduzindo também a ideia de simetria em grafos. Umisomorfismo com G = H é chamado automorfismo, e o teorema 1 nesse casoé enunciado como abaixo.

defautoTeorema 2. Uma permutação P de vértices de um grafo G é umautomorfismo (ou simetria) de G se e somente se preservar a matrizde adjacência A de G,

P tAP = A.

2Ver mais aqui.

10 1. INTRODUÇÃO

O problema dos automorfismos de um grafo tem a mesma propriedade com-putacional do caso dos isomorfismos: é fácil verificar se uma dada permu-tação é um automorfismo, mas pode ser computacionalmente muito custosoencontrar todos os automorfismos de um grafo G dado. Os automorfismos deum grafo formam um grupo, o chamado grupo de automorfismos. Podemosilustrar estes conceitos com alguns exemplos explícitos simples. Considerem

(a)

4v

1v 2v

3v

5v

6v

(b)

4v

1v 2v

3v5v

6v

(c)

4v

1v

6v

3v

2v

5v

(d)

4v

1v

5v

6v

2v

3v

Figura 3.FigIsoAutoExemplos de isomorfismo (equivalência) e auto-

morfismo (simetria) de grafos.

o grafo (a) da Fig. 3. Sua matriz de adjacência é

A =

0 1 0 1 0 01 0 1 0 0 00 1 0 1 0 01 0 1 0 1 10 0 0 1 0 00 0 0 1 0 0

. (13)

Considerem agora a permutação dos vértices (1, 2, 3, 4, 5, 6)→ (1, 2, 3, 4, 6, 5),cuja matriz de permutação associada é P56. Notem, primeiro, que

P t56AP56 = A, (14)

de onde temos que a permutação (5, 6) → (6, 5) é um automorfismo, ou si-metria, do grafo (a) da figura. O grafo (b) corresponde à “deformação” dografo (a) na qual a posição dos vértices v5 e v6 foram trocadas, preservando(“arrastando”) as arestas correspondentes. É evidente a noção de simetria re-lacionada ao automorfismo: os grafos (a) e (b) são mais do que simplesmente

2. PASSEIOS, CAMINHOS E CICLOS 11

equivalentes, são idênticos. Por outro lado, considerem agora a permutação(1, 2, 3, 4, 5, 6)→ (1, 3, 2, 4, 5, 6), cuja matriz de permutação associada é P23.Notem que neste caso

P t23AP23 =

0 0 1 1 0 00 0 1 1 0 01 1 0 0 0 01 1 0 0 1 10 0 0 1 0 00 0 0 1 0 0

6= A (15)

Obviamente não se trata de um automorfismo, mas de um isomorfismo, es-pecificamente entre o grafo (a) e o grafo (c) da Fig. 3, que não são idênticos,mas são equivalentes. O grafo (d) corresponde a deformação do grafo (c) queo deixa com os vértices nas mesmas posições do grafo (a). É evidente que,apesar de equivalentes, (a) e (c) não são idênticos.

2. Passeios, caminhos e ciclos

Chamaremos de passeio em um grafo uma sequência de vértices conec-tados por arestas. Se as arestas são entendidas como possíveis passos quepodem ser dados entre os vértices, o nome passeio é bastante sugestivo para asequência. Um passeio é dito um caminho se todos os vértices, com as únicaspossíveis exceções do primeiro e do último, forem diferentes. Um ciclo é umcaminho no qual os vértices iniciais e finais coincidem. Um grafo sem nenhumciclo é chamado de árvore. O comprimento de passeios, caminhos e ciclosserá sempre contado em “passos” (steps), sendo que cada passo corresponde aum deslocamento de um vértice a outro ao longo de uma aresta. Estas são asprimeiras definições não universalmente empregadas que encontramos, e nãoserão as únicas. Portanto, para que não fique nenhuma dúvida, muitas vezesrepetiremos o que queremos dizer, como “caminho sem repetição”, “caminhofechado”, etc. Caminhos, passeios e ciclos aparecem naturalmente na inter-pretação da matriz adjacência e suas potências. Analisemos, por exemplo,as componentes da matriz A2 =

[a

(2)ij

]de um grafo. Notem, inicialmente,

que

a(2)ij =

n∑k=1

aikakj . (16)

Os termos no somatório serão sempre 0 ou 1. Serão 1 se, e somente se,houver simultaneamente uma aresta vi ↔ vk e uma aresta vj ↔ vk. Empalavras, a entrada (i, j) do quadrado da matriz de adjacência, para i 6= j,corresponde ao número de caminhos de 2 passos conectando os vértices vi evj , de onde inferimos uma interpretação bastante simples para a matriz A2.Em particular, é fácil mostrar que

trA2 =

n∑k=1

dk = 2|E(G)| (17)

Notem que a própria matriz de adjacência pode ser interpretada de maneirasemelhante: uma entrada não zero implica na existência de um caminho de

12 1. INTRODUÇÃO

um único passo entre os vértices correspondentes. Podemos facilmente es-tender o argumento para potências mais altas. Por exemplo, as componentesda matriz A3 =

[a

(3)ij

]serão tais que

a(3)ij =

n∑k=1

n∑`=1

aikak`a`j (18)

cuja interpretação é semelhante ao caso anterior: as entradas (i, j) da matrizA3 correspondem ao número de passeios de 3 passos conectando os vértices vie vj . Notem a crucial diferença: aqui falamos de passeios, não de caminhos,como no caso anterior. Um exemplo pode ajudar a ilustrar o que ocorre.Considerem novamente o grafo da Fig. 1, para o qual a matriz de adjacênciaé dada por (2). Teremos para esse caso

A3 =

2 5 3 6 3 15 4 7 7 3 23 7 4 7 6 16 7 7 6 7 13 3 6 7 2 31 2 1 1 3 0

(19)

Como a(3)13 = 3, sabemos que há 3 passeios de 3 passos conectando os vértices

v1 e v3. Uma inspeção simples na figura revela quem são: v1 → v2 →v4 → v3, v1 → v4 → v2 → v3 e v1 → v4 → v5 → v3. Nesse casoem particular, são três caminhos. Considerem agora o caso dos vértices v1

e v2. Do gráfico, é fácil perceber que há apenas um único caminho de 3passos que conecta esses dois vértices: v1 → v4 → v3 → v2. Porém, comoa

(3)12 = 5, deve haver mais 4 passeios conectando esses vértices. E há. São

eles: v1 → v2 → v1 → v2, v1 → v4 → v1 → v2, v1 → v2 → v3 → v2e v1 → v2 → v4 → v2. É fácil ver que estes passeios são “remanescentes”de caminhos com número menor de passos. Por exemplo, o primeiro passeioé, na prática, o caminho v1 → v2 repetido com um passo “ao contrário”.De fato, pode-se formular um teorema cuja prova é bastante simples: umpasseio de k passos que não é um caminho, sempre engloba um caminho de` < k passos. Este pequeno teorema tem um corolário muito útil. Se paraalgum k a

(k)ij 6= 0 implicar na existência de passeios que não são caminhos

entre os vértices vi e vj , então necessariamente há um ` < k para o quala

(`)ij 6= 0. Retornaremos a este ponto a seguir.

Os elementos da diagonal da matriz A3 tem um significado interessante.Por construção, correspondem ao número de ciclos de três passos. Ora, umciclo de três passos nada mais é do que um triângulo, a menos da orientaçãodo ciclo. Assim, a(3)

ii = ti, sendo ti o número de ciclos de três passos quecontém o vértice vi. O traço de A3 será o número total de ciclos de trêspassos que o grafo possui. Para relacionar com o número de triângulos,basta lembrar que a permutação dos três vértices que compõe o ciclo dáorigem ao mesmo triângulo. Há 6 possíveis permutações dessas, e portantotemos finalmente

trA3 = 6N∆(G), (20)

2. PASSEIOS, CAMINHOS E CICLOS 13

onde N∆(G) sempre denotará o número de triângulos no grafo G.

2.1. Conectividade. Um grafo é dito conexo se sempre houver umcaminho conectando quaisquer pares de seus vértices. Denomina-se com-ponente (ou parte) conexa de um grafo G qualquer subconjunto maximal3conexo de G. O grafo da Fig. 4, por exemplo, é claramente não conexo. Mais

1v 2v

3v

6v

4v

5v

v7v8

Figura 4.Fig22Grafo desconexo com três componentes conexas.

que isso, é evidente que ele se constitui de três conjuntos de vértices conexos,i.e., de três partes conexas. Suas matrizes de adjacência e Laplaciana serão,respectivamente,

A =

0 1 1 0 0 0 0 01 0 1 0 0 0 0 01 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 1 0 1 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 1 0

(21) BlocoABlocoA

e

L =

2 −1 −1 0 0 0 0 0−1 2 −1 0 0 0 0 0−1 −1 2 0 0 0 0 0

0 0 0 1 −1 0 0 00 0 0 −1 2 −1 0 00 0 0 0 −1 1 0 00 0 0 0 0 0 1 −10 0 0 0 0 0 −1 1

(22) BlocoLBlocoL

É claro que as matrizes de adjacência e Laplaciana de grafos desconexostem forma bloco-diagonal. As expressões (21) e (22) têm explicitamente aaparência bloco-diagonal porque escolhemos convenientemente a ordenaçãodos vértices do grafo da Fig. 4. Esta é uma liberdade que sempre teremos anossa disposição.

3No sentido de ter o maior número possível de vértices

14 1. INTRODUÇÃO

Notem que é fácil ver da forma da matriz de adjacência (21) que qualquerelemento a

(k)ij fora da diagonal de blocos será sempre nulo para qualquer

potência k.

2.2. Grafos bipartidos. Um grafo é dito bipartido se seus vértices pu-derem ser separados em dois conjuntos, V1 e V2 disjuntos tais que vértices deV1 se conectam apenas a vértices de V2, e vice-versa. Vejam um exemplo naFig. 5. Grafos bipartidos tem várias propriedades interessantes. Por exem-

1v

2v

3v

4v

5v

6v1V

2V

Figura 5.FigBipartidoGrafo bipartido.

plo, um grafo é bipartido se, e somente se, ele não contiver nenhum cicloímpar (ciclo com número impar de passos). Este resultado pode ser provadode maneira elementar. Primeiro, vamos mostrar que não ter nenhum cicloimpar é condição necessária para ser bipartido. Ora, qualquer caminho deveser uma sucessão de vértices se alternando entre V1 e V2. Logo, qualquerciclo que eventualmente exista deve ser par. Para mostrar que essa condi-ção é também suficiente, vamos introduzir a noção de paridade de vértices.Vamos supor que o grafo seja conexo4. Escolhamos um vértice vi qualquerdo grafo. Como o grafo é conexo, haverá sempre pelo menos um caminhoC = (vi, . . . , vk, . . . , v`) conectando vi a qualquer outro vértice v` do grafo.Dizemos que o vértice vk do caminho C é par se o número de passos no ca-minho a partir de vi for par. Idem para o caso ímpar. O ponto interessanteaqui é que se o grafo não contiver ciclos ímpares, esta classificação independedo caminho, desde que se inicie em vi. Para demonstrar este fato, consideredois caminhos C1 e C2 conectando os vértices vi e vk. Se vk for par ao longode C1 e impar ao longo de C2, podemos construir um ciclo ímpar ao longodos dois caminhos. Como não há por hipótese ciclos ímpares, a paridade devk será a mesma ao longo de qualquer caminho. Note que, por construção,vértices pares se conectam apenas a vértices ímpares, e vice-versa, o queimplica na existência da nossa bipartição.

4Se não for este o caso, repete-se o argumento para suas partes conexas.

2. PASSEIOS, CAMINHOS E CICLOS 15

É instrutivo analisarmos a matriz de adjacência de um grafo bipartido.Para o caso particular da Fig. 5, teremos

A =

0 0 1 0 1 10 0 1 1 1 11 1 0 0 0 00 1 0 0 0 01 1 0 0 0 01 1 0 0 0 0

. (23)adja1blocoadja1bloco

É evidente a forma

A =

(0 BBt 0

), (24) BlocoBiBlocoBi

que implica em

A2 =

(BBt 0

0 BtB

), (25)

e

A3 =

(0 BBtB

BtBBt 0

). (26)

De maneira mais geral, sempre teremos para grafos bipartidos

Ak =

(∗ 00 ∗t

), (27)

se k for par e

Ak =

(0 ∗∗t 0

), (28)

para k impar, em perfeito acordo com a inexistência de ciclos ímpares nografo.

2.3. Grafos como espaços métricos. A seguinte definição de distân-cia entre vértices da parte conexa de um grafo é bastante intuitiva e naturalno contexto que nos interessa.

defdistDefinição 3. A distância dist(vi, vj) entre dois vértices vi e vj per-tencentes a uma parte conexa de um grafo é o comprimento do menorcaminho entre vi e vj.

É fácil mostrar que esta noção de distância satisfaz as seguintes propriedades:(1) dist(vi, vj) ≥ 0 e será zero se, e somente se, vi = vj ,(2) dist(vi, vj) = dist(vj , vi),(3) dist(vi, vj) ≤ dist(vi, vk) + dist(vk, vj),

válidas para quaisquer vértices vi, vj , vk ∈ V (G). Estas propriedades impli-cam que a noção de distância 3 corresponde a uma métrica sobre o grafoG.

As propriedades já discutidas das potências da matriz de adjacência nosfornecem a seguinte definição equivalente para a distância entre dois vértices

dist(vi, vj) = menor inteiro positivo k tal que a(k)ij 6= 0. (29)

Esta definição não nos fornece uma forma eficiente para se determinar efetiva-mente a distância entre vértices, mas ela tem uma outra utilidade. Suponha

16 1. INTRODUÇÃO

que não exista nenhum k para o qual a(k)ij 6= 0. Neste caso, a conclusão é

que não existe nenhum caminho que conecta os vértices vi e vj . Isto sig-nifica obviamente que o grafo possui partes disjuntas, i.e., que é um grafodesconexo. Notem que basta restringir a busca a 1 ≤ k < n, pois o maiorcaminho possível entre dois vértices distintos de um grafo tem comprimenton−1. Esta restrição também pode ser derivada como corolário do conhecidoteorema de Caley-Hamilton, cuja discussão pode ser encontrada em qualquertexto de Álgebra Linear. Para o que nos interessa, o teorema garante que,para qualquer matriz A quadrada n × n, Ak para k ≥ n pode ser sempreescrita como combinação linear das potencias A` com 1 ≤ ` < n. Assim, semostrarmos que uma certa entrada é tal que a(`)

ij = 0 para todo 1 ≤ ` < n,teremos que ela será nula para todo ` não negativo.

A existência de uma métrica sobre o grafo G permite a introdução decertas estruturas métricas sobre G. É o caso da noção de “bola” em torno deum vértice, que naturalmente nos fornece também uma noção de vizinhançae, consequentemente, de topologia.

Definição 4. Denomina-se bola Bm(v) de raio m em torno do vérticev ∈ V (G) o seguinte conjunto de vérticesdefbola

Bm(v) =v′ ∈ V (G) | dist(v, v′) ≤ m

.

Há duas quantidades relacionadas ao “tamanho total” de um grafo conexo.defraio

Definição 5. O raio de um grafo conexo G é o raio da menor bolaque contém todos os vértices de G.

defdiaDefinição 6. O diâmetro de um grafo conexo G é a maior distânciaentre dois vértices de G.

Dá-se o nome de vértices centrais aos vértices que realizam o raio de umgrafo, i.e., os vértices em torno dos quais estão as bolas mínimas que contémG. Vértices que realizam o diâmetro de um grafo são chamados de vérticesperiféricos.

Dado um vértice v ∈ V (G), define-se a excentricidade exc(v) de v comoo raio da menor bola em torno de v contendo todo o grafo G,

exc(v) = maxv′∈V (G)

dist(v, v′). (30)

É fácil ver que o raio do grafo G é a mínima excentricidade do grafo, i.e.,

raio(G) = minv∈V (G)

maxv′∈V (G)

dist(v, v′), (31)

enquanto o diâmetro é máxima excentricidade

diam(G) = maxv∈V (G)

maxv′∈V (G)

dist(v, v′). (32)

3. TEORIA ESPECTRAL DE GRAFOS 17

O raio e o diâmetro de um grafo G satisfazem1

2diam(G) ≤ raio(G) ≤ diam(G). (33)desiraiodiamdesiraiodiam

É interessante olharmos para os casos que saturam esta desigualdade. Paraos grafos completos Kn, por exemplo, sempre temos raio(G) = diam(G) = 1.Por outro lado, para grafos caminho com número ímpar de vértices, P2n+1,sempre temos 1

2diam(G) = raio(G) = n.

3. Teoria espectral de grafos

Dá-se o nome de teoria espectral de grafos ao estudo dos problemas deautovalores e autovetores das matrizes, usualmente de adjacência e Lapla-ciana, associadas a grafos. Ambas matrizes de adjacência e Laplaciana sãosimétricas, e portanto sabemos que são diagonalizáveis. Suas propriedadesespectrais podem revelar informações sobre a estrutura do grafo que repre-sentam. Além do mais, já sabemos que as propriedades espectrais destasmatrizes são invariantes por isomorfismos entre grafos. Comecemos pelocaso pela matriz de adjacência A.

3.1. Matriz de adjacência. Vamos supor que os autovalores λi damatriz de adjacência A estejam ordenados como

λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λn, (34)

levando-se em conta possíveis multiplicidades que poderiam implicar, porexemplo, em λk = λk+1 para alguns valores de k. A primeira observação éque há um interessante limite superior para o maior autovalor λ1 da matrizde adjacência de um grafo. Suponha que o autovalor associado a λ1 seja X1.Tomemos a componente x(k)

1 de X1 de maior módulo. Podemos admitir, semperda de generalidade, que x(k)

1 > 0.5 Consideremos agora a k-ésima linhada identidade AX1 = λ1X1, a qual nos fornece6

λ1x(k)1 =

n∑i=1

akix(i)1 ≤

n∑i=1

akix(k)1 ≤ dmaxx

(k)1 (35)

de onde segue a restriçãoλ1 ≤ dmax (36)

sendo dmax o grau máximo do grafo. Podemos obter também facilmenteum limite inferior. Sejam os (λi, Xi) os pares de autovalores e autovetoresortonormais7 de A, e Y um vetor arbitrário, que pode sempre ser escrito emtermos dos autovetores Xi como

Y = α1X1 + α2X2 + · · ·+ αnXn. (37)

Notem queY tAY = λ1α

21 + λ2α

22 + · · ·+ λnα

2n. (38)

5Caso não seja, bastaria considerar o vetor −X1.6Esta construção é, de fato, idêntica ao do teorema dos discos de Gershgorin.7Chamaremos, daqui em diante, de autopar ao par autovalor-autovetor ortonormal

de uma matriz.

18 1. INTRODUÇÃO

É fácil mostrar8 que

λ1 = maxY tAY, com Y tY = 1. (39)

Tomem agora Y = 1√n

(1, 1, . . . , 1)t e teremos

Y tAY =1

N

n∑i=1

n∑j=1

aij =1

N

n∑i=1

di = davg (40)

sendo davg o grau médio do grafo, de onde temos finalmente a interessantedesigualdade

davg ≤ λ1 ≤ dmax. (41)Há outras propriedades do espectro de A que seguem diretamente dos co-nhecidos resultados de matrizes diagonalizáveis. Em particular, teremos

n∑i=1

λi = trA = 0, (42)

en∑i=1

λ2i = trA2 = 2|E(G)|. (43)cond1cond1

Como λ1 é estritamente positivo, teremos da primeira condição que necessari-amente λn < 0. É possível também obter certos limites inferiores e superiorespara λ2, mas a situação é muito mais complexa e é tema de estudos atual-mente. Notem que podemos facilmente derivar uma condição semelhante a(43) para a soma dos cubos dos autovalores. O quadro abaixo resume, emforma de teorema, o que sabemos até agora sobre os autovalores de matrizde adjacência A de um grafo G.

SpectrumATeorema 3. Sejam λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λn os autovalores da matriz deadjacência A de um grafo G de n vértices. Temos

davg ≤ λ1 ≤ dmax

n∑i=1

λi = 0

n∑i=1

λ2i = 2|E(G)|

n∑i=1

λ3i = 6N∆(G)

O espectro da matriz de adjacência de grafos bipartidos tem uma propri-edade extra especial. A matriz de adjacência A de um grafo bipartido temsempre a forma (24). Considerem agora P, a matriz diagonal cujas entradassão 1 ou −1, respectivamente, se a entrada corresponder a um vértice de V1

ou de V2. A primeira observação é que teremos neste caso

PAP = −A. (44)

8Mostrem!

3. TEORIA ESPECTRAL DE GRAFOS 19

Suponha agora que λk seja um autovalor de A, com autovetor Xk. Teremos

AXk = AP2Xk = λkXk, (45)

já que P2 = I. Multiplicando-se ambos os lados por P pela esquerda, teremos

(PAP)PXk = −A(PXk) = λk(PXk), (46)

o que implica que −λk também é autovalor de A, com autovetor correspon-dente PXk. Em particular, sempre teremos λn = −λ1. Outra consequênciainteressante é que um grafo bipartido com número impar de vértices sempreterá matriz de adjacência singular, pois λ = 0 necessariamente estará noespectro de A.

3.2. Matriz Laplaciana. Vamos supor agora que os autovalores damatriz laplaciana L, tendo em conta suas eventuais multiplicidades, estejamordenados como

µ1 ≥ µ2 ≥ · · · ≥ µn (47)Das propriedades elementares da diagonalização de matrizes, temos nossaprimeira condição

n∑i=1

µi = trL =

n∑i=1

di = 2|E(G)|, (48)

de onde já podemos inferir que µ1 > 0. Podemos estabelecer um limite supe-rior para µ1 de maneira semelhante a que fizemos para o caso da matriz deadjacência. Seja X1 o autovetor associado a µ1, e x

(k)1 > 0 sua componente

de maior módulo, a qual admitimos, já sabendo que não há perda de ge-neralidade, ser positiva. Consideremos agora a k-ésima linha da identidadeLX1 = µ1X1 que nos dá

µ1x(k)1 =

n∑i=1

`kix(i)1 ≤

n∑i=1

|`ki|x(k)1 ≤ 2dmaxx

(k)1 (49)

de onde temos um limite superior para o maior autovalor da matriz Lapla-ciana. Podemos obter também um limite inferior de maneira semelhante aocaso da matriz de adjacência. De maneira análoga, temos agora

µ1 = maxY tLY, com Y tY = 1. (50)

Porém, para a matriz Laplaciana temos sempre9

Y tLY =∑

e(vi,vj)

(y(i) − y(j)

)2, (51) cond2cond2

para qualquer vetor Y = (y(1), y(2), . . . )t, entendendo-se a soma como feitasobre todas as arestas e(vi, vj) ∈ E(G). Considere agora o vetor Z com todasentradas nulas exceto a z(k) = 1, sendo k o vértice de maior grau do grafo.Teremos

µ1 ≥ ZtLZ = dmax (52)de onde finalmente concluímos

dmax ≤ µ1 ≤ 2dmax. (53)

9Provem!

20 1. INTRODUÇÃO

Notem que a condição (51) implica que todos os autovalores de L são nãonegativos (provem!). Também é fácil ver que µn = 0, com o autovetorassociado dado por Xn = 1√

n(1, 1, . . . , 1)t.

O menor autovalor da matriz Laplaciana µn, que já sabemos ser nulo,traz outras interessantes informações sobre o grafo. Vamos mostrar que suamultiplicidade é igual ao número de partes conexas do grafo. Já sabemosque as matrizes de adjacência e Laplaciana são do tipo bloco-diagonal paragrafos desconexos, ver (21) e (22), e são compostas pelas matrizes de suascomponentes conexas. Já sabemos que o vetor Xn = 1√

n(1, 1, . . . , 1)t é sem-

pre autovetor com autovalor zero de L. Em outras palavras, já sabemosque sempre temos Xn ∈ KerL. A questão relevante aqui é determinar adimensão do núcleo de L, pois ele nos dará a multiplicidade do autovalornulo µn. É fácil mostrar que para uma matriz bloco diagonal como a La-placiana (22), a dimensão do núcleo de L será a soma das dimensões dosnúcleos de cada bloco. Agora vem o ponto crucial: o núcleo de L para umgrafo conexo é sempre unidimensional, i.e., é sempre o gerado pelo o vetorXn = 1√

n(1, 1, . . . , 1)t. Há inúmeras maneiras de se provar este resultado

utilizando diversos resultados de álgebra linear. Porém, há uma que exploranoções puramente de conectividade em grafos e, obviamente, será esta queexploraremos. Voltemos a expressão (51). Note que se Z ∈ KerL, entãonecessariamente devemos ter

ZtLZ =∑

e(vi,vj)

(zi − zj)2 = 0, (54)

que implica que devemos ter zi = zj para qualquer par de vértices conectadospor uma aresta. Ora, se o grafo é conexo, então sempre haverá um passeioconectando todos os vértices, o que implica em

z1 = z2 = · · · = zn, (55)

o que, em outras palavras, garante que a solução só pode ser oXn introduzidoacima, estabelecendo nosso resultado.

Há também uma condição sobre o menor autovalor não nulo de L, cha-mado também de conectividade algébrica do grafo. Vamos chamá-lo de µk.Notem primeiro que10

µk = minY tLY, com Y tY = 1 e Y ∈ (KerL)⊥ . (56)

De maneira análoga ao que fizemos acima, considere o vetor Z com todasentradas nulas exceto a z(k) = 1, sendo k o vértice de menor grau do grafo.Notem que

Y =

√n

n− 1

(Z − 1√

nX

)(57)

é unitário e Y ∈ (KerL)⊥ e, portanto,

µk ≤ Y tLY =n

n− 1dmin. (58)

Nossos resultados podem ser sumarizados na forma de um teorema.

10Provem!

3. TEORIA ESPECTRAL DE GRAFOS 21

SpectrumLTeorema 4. Sejam µ1 ≥ µ2 ≥ · · · ≥ µn os autovalores da matrizLaplaciana L de um grafo conexo G de n vértices. Temos

dmax ≤ µ1 ≤ 2dmaxn∑i=1

µi = 2|E(G)|

µn = 0

0 < µn−1 ≤ nn−1dmin

Para grafos desconexos, o teorema valerá para cada uma de suas partesconexas, implicando que a multiplicidade do autovalor nulo é igual ao númerode partes conexas.

3.3. Matrizes normalizadas. Em várias aplicações, as chamadas ma-trizes de adjacência e Laplaciana normalizadas surgem naturalmente. Elassão definidas, respectivamente, pelas expressões

A = D−12AD−

12 (59)

eL = D−

12LD−

12 . (60)

Ambas matrizes são simétricas e, portanto, diagonalizáveis. Podemos in-ferir algumas propriedades de seus espectros. A primeira observação a serfeita é que temos a seguinte relação entre estas matrizes: L = I − A, deonde temos que se (µj , Xj) é um autopar de L, temos que (λj , Xn+1−j),com λj = 1 − µn+1−j é autopar de A. Ambas matrizes têm exatamente osmesmos autovetores. Na prática, basta determinarmos o espectro de umadas matrizes e teremos resolvido o problema da diagonalização de ambas.

Comecemos nossa análise pela matriz Laplaciana normalizada. É fácilver que

Y tLY =(Y tD−

12

)L(D−

12Y)

=∑

e(vi,vj)

(y(i)

√di− y(j)√

dj

)2

(61) zerozerozerozero

para qualquer vetor Y = (y(1), y(2), . . . )t. Como no caso da matriz Lapla-ciana usual, trata-se de uma matriz não negativa e, portanto, seu espectrotambém será não negativo. Pode-se verificar, por inspeção, que o vetor uni-tário

Xn =1√

2|E(G)|

(√d1,√d2, . . .

)t(62)

pertence ao núcleo de L e que, portanto, a matriz Laplaciana normalizadatem pelo menos um autovalor zero. De maneira análoga à análise da matrizLaplaciana usual, temos de (61) que a multiplicidade do autovalor zero damatriz Laplaciana normalizada também corresponde ao número de partesconexas do grafo. Notem que a multiplicidade do autovalor µn = 0 de L seráigual à multiplicidade do autovalor λ1 = 1 de A.

Podemos obter um limite superior para o maior autovalor µ1 de L de ma-neira análoga ao que fizemos no caso da matriz Laplaciana usual, lembrando

22 1. INTRODUÇÃO

queµ1 = maxY tLY, com Y tY = 1. (63)

Porém, de (61) temos11

maxY tLY ≤ 2∑

e(vi,vj)

((y(i))2

di+

(y(j))2

dj

)= 2, (64)

de onde temos µ1 ≤ 2. Escolhendo-se um vetor Y com todas as entradas nu-las exceto uma arbitrária que será 1, é fácil ver de (61) que teremos também1 ≤ µ1. Estes resultados são sumarizados no seguinte teorema.

SpectrumLnormTeorema 5. Sejam µ1 ≥ µ2 ≥ · · · ≥ µn os autovalores da matrizLaplaciana normalizada L de um grafo conexo G de n vértices. Temos

1 ≤ µ1 ≤ 2n∑i=1

µi = n

µn = 0

Como no caso anterior, para grafos desconexos, o teorema valerá para cadauma de suas partes conexas, implicando que a multiplicidade do autovalornulo é igual ao número de partes conexas.

A análise de A também nos dá algumas informações interessantes. No-tem que, se ordenamos os autovalores como λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λn, já sabemosque λ1 = 1. As matrizes normalizadas de grafos bipartidos têm uma pro-priedade interessante. Da mesma forma que fizemos no caso da matriz deadjacência usual, pode-se concluir que, para grafos bipartidos, teremos sem-pre λn = −1. Porém, esta condição implica que µ1 satura sua desigualdadeno Teorema 5, i.e., temos neste caso µ1 = 2.

3.4. Espectro e simetrias. Há alguns resultados simples que são bas-tante valiosos quando necessitamos diagonalizar matrizes. O teorema 2 de-fine o que entendemos por simetria de um grafo a partir das permutaçõesde linhas e colunas da matriz de adjacência A. É importante salientar que omesmo vale para a matriz Laplaciana L, assim como para suas versões nor-malizadas. Suponha que um certo grafo com matriz de adjacência A tenhauma simetria dada pela permutação P . Seja agora (λ,X) um autopar de A.Teremos

λX = AX = P tAPX. (65)Multiplicando-se por P pela esquerda, tem-se

A(PX) = λ(PX), (66)

de onde temo que se (λ,X) é um autopar de A, (λ, PX) também será.A observação que nos será útil vem do caso em que a multiplicidade

de λ é 1. Nesse caso, há apenas um autovetor associado, e necessariamenteteremos que PX deve ser colinear aX. Porém, como a matriz de permutaçãoP é ortogonal, esta condição implica necessariamente PX = ±X. Vamosresumir este fato no seguinte lema.

11Consequência elementar da identidade (a+ b)2 + (a− b)2 = 2(a2 + b2).

4. EXEMPLOS: ALGUNS GRAFOS ESPECIAIS 23

LemaPLema 1. Seja P um automorfismo de um grafo com matriz de ad-jacência A. Se λ é um autovalor de A com multiplicidade 1, entãoseu autovetor correspondente X será também autovetor de P , comPX = ±X.

O caso PX = X significa que o vetor X também exibe a simetria represen-tada por P . Diz-se, nesse caso, que X é par com relação a permutação P .Já a situação PX = −X corresponde a antissimetria, e X é dito impar nessecaso. O mesmo lema vale também para o caso da matriz Laplaciana L.

4. Exemplos: alguns grafos especiais

Há alguns gráficos especiais que merecem ser introduzidos. Aproveitare-mos esta oportunidade para discutir algumas de suas propriedades espectraise métricas mais simples.

GrafoCompleto4.1. Grafo completo. Denomina-se por Kn o grafo de n vértices com

número máximo de arestas, ver Fig. 6. É fácil ver que o número de arestas

Figura 6.FigKnGrafos completos Kn, n = 1, 2, . . . , 12, e o res-

pectivo número de arestas |E(Kn)|. (Imagem da Wikipedia)

do grafo completo Kn é dado por

|E(Kn)| =(n

2

)=n(n− 1)

2. (67)

Além do mais, todos os vértices tem grau di = n − 1. As matrizes deadjacência e Laplaciana para Kn são, respectivamente

A = J − I (68)

eL = nI − J (69)

24 1. INTRODUÇÃO

sendo J a matriz n × n com todas suas entradas iguais a 1. Notem, ini-cialmente, que se (λ,X) for um autopar de J , sabemos que (λ − 1, X) e(n− λ,X) serão, respectivamente, autopares de A e de L.

Ocorre que o espectro de J é trivial. Notem, primeiro, que o posto de Jé 1, o que implica em dim KerJ = n− 1, e portanto que 0 é autovalor de Jcom multiplicidade n−1. Falta um autovalor, que pode ser determinado porinspeção: n, que é o autovalor associado ao autovetor X = (1, 1, . . . , 1)t . Fi-nalmente, temos que os autovalores das matrizes de adjacência e Laplacianado gráfico completo Kn são, respectivamente,

λ1 = n− 1, λ2 = λ3 = · · · = λn = −1 (70)spectroAspectroA

eµ1 = µ2 = · · · = µn−1 = n, µn = 0. (71)

Notem que de (70) podemos determinar o número de triângulos de Kn evárias outra de suas propriedades. Em particular, como para Kn temosdmax = davg = dmin = n− 1, vemos que λ1 já podia ser determinado direta-mente a partir do teorema 3 e que µn−1 satura superiormente a desigualdadedo teorema 4.

4.2. Grafo estrela. Dá-se o nome de estrela a grafos como a da Fig.7. O grafo estrela Sn é um grafo com n vértices e n − 1 arestas, sendo que

1v

6v

2v

3v

5v 4v

Figura 7.starGrafo estrela S6.

um vértice, o qual sem perda de generalidade consideraremos como sendo v1,tem grau n− 1 e todos os outros tem grau 1. Suas matrizes de adjacência eLaplaciana correspondentes são dadas, respectivamente, por

A =

0 1 1 . . . 11 0 0 . . . 01 0 0 . . . 0...

......

. . ....

1 0 0 . . . 0

. (72)adjastaradjastar

e

L =

n− 1 −1 −1 . . . −1−1 1 0 . . . 0−1 0 1 . . . 0...

......

. . ....

−1 0 0 . . . 1

. (73)LstarLstar

4. EXEMPLOS: ALGUNS GRAFOS ESPECIAIS 25

A primeira observação é que o posto de A é 2, de onde temos quedim KerA = n−2 e que 0 é autovalor de A com multiplicidade n−2. Faltamdois autovalores para serem descobertos. Uma observação interessante podenos ajudar com essa tarefa. O grafo estrela Sn é bipartido! Basta escolherV1 = v1 e V2 com os restantes dos vértices de Sn e teremos a bipartiçãoexplícita. Isso implica que se λ é autovalor de A, −λ também será. Portanto,falta apenas um autovalor para ser determinado, e será λ1. Uma vez mais,é fácil encontrar este autovalor. Notem primeiro que todo vetor X ∈ KerAdeve ter a primeira componente nula. Uma outra observação é que o grafoestrela Sn tem uma série de simetrias (automorfismos) evidentes. Qualquerpermutação que não envolva o vértice v1 é uma simetria de Sn. Como λ1 temmultiplicidade 1 neste caso, podemos invocar diretamente o Lema 1. Vamosescolher o caso em que o autovalor X é par. Desta forma, um bom candi-dato a ser o autovetor de A com autovalor λ1 > 0 é X = (a, 1, 1, . . . , 1)t,com a 6= 0. Temos

AX =

n− 1a...a

= a

n−1a1...1

. (74)

Vemos que para a =√n− 1, X será autovetor de A com autovalor

√n− 1.

Assim, estabelecemos o espectro da matriz de adjacência para o grafo estrelaSn. Temos

λ1 =√n− 1, λ2 = λ3 = λn−1 = 0, λn = −

√n− 1. (75)

O espectro da matriz Laplaciana também pode ser determinado de maneiraelementar. Notem, primeiro, que temos

L = N + I (76)

com

N =

n− 2 −1 −1 . . . −1−1 0 0 . . . 0−1 0 0 . . . 0...

......

. . ....

−1 0 0 . . . 0

. (77) NstarNstar

Assim, se determinarmos o espectro da matriz N , teremos determinado tam-bém o da matriz Laplaciana L.12 A matriz N tem posto 2, de onde sabemosque o zero será um de seus autovalores com multiplicidade n− 2, o que im-plica que já conhecemos n− 2 autovalores de L. Falta descobrir apenas um,pois sabemos que qualquer matriz Laplaciana tem sempre pelo menos umautovetor com autovalor nulo. Vamos determinar este autovalor da mesmamaneira que fizemos para o caso da matriz de adjacência, testando os veto-res X = (a, 1, 1, . . . , 1)t, com a 6= 0, já que sabemos que eles serão tais que

12Notem que a hipótese n > 2 não é tão estranha para um grafo que mereça o nomede “estrela”.

26 1. INTRODUÇÃO

X /∈ KerN e têm simetrias compatíveis com as de Sn,

NX =

a(n− 2)− (n− 1)

−a...−a

= −a

n−1a − (n− 2)

1...1

, (78)

de onde temos duas possibilidades para que X seja autovetor de N : a = 1ou a = −(n− 1), o que nos dá finalmente o seguinte espectro para a matrizLaplaciana de Sn

µ1 = n, µ2 = µ3 = · · · = µn−1 = 1, µn = 0. (79)

4.3. Grafo ciclo. Os grafos ciclos Cn, chamado também de grafos cir-culares ou cíclicos, como o nome sugere, são grafos como o da Fig. 8. Todos

1v 2v 3v

5v6v 4v

Figura 8.CicloGrafo ciclo C6.

seus vértices têm grau 2 e seu número de arestas é sempre igual a n. Amatriz de adjacência para um grafo ciclo Cn terá a forma geral

A =

0 1 0 0 . . . 0 11 0 1 0 . . . 0 00 1 0 1 . . . 0 00 0 1 0 . . . 0 0...

......

.... . .

......

0 0 0 0 . . . 0 11 0 0 0 . . . 1 0

. (80)adjacaminhoadjacaminho

Para determinarmos o espectro de A, vamos considerar primeiro a matriz Q

Q =

0 1 0 0 . . . 0 00 0 1 0 . . . 0 00 0 0 1 . . . 0 00 0 0 0 . . . 0 0...

......

.... . .

......

0 0 0 0 . . . 0 11 0 0 0 . . . 0 0

, (81)

que é diagonalizável em C. Sua estrutura de permutação cíclica sugere quepodemos procurar seus autovetores na forma X = (1, ζ, ζ2, . . . , ζn−1)t, com

4. EXEMPLOS: ALGUNS GRAFOS ESPECIAIS 27

ζ ∈ C. Temos

QX =

ζζ2

ζ3

...ζn−1

1

= ζ

1ζζ2

...ζn−2

ζ−1

(82)

de onde temos que a condição ζn = 1 nos garante que X é autovetor deQ com autovalor ζ. Em outra palavras, os autovalores serão as n raízescomplexas da unidade, ζk = e

2kπin , k = 0, 1, . . . , n− 1. Por outro lado, temos

também

QtX =

ζn−1

1ζ...

ζn−2

= ζ−1

ζn

ζζ2

...ζn−1

, (83)

de onde temos que Qt tem os mesmos autovetores que Q, com autovalorescorrespondentes à ζ−1. Porém, como A = Q+Qt temos que os autovaloresde A serão

λ =

ζk + ζ−1

k = 2<ζk = 2 cos2kπ

n, k = 0, 1, . . . , n− 1

. (84) aaaaaa

Discutiremos o ordenamento dos autovalores λ a seguir. O espectro da matrizLaplaciana de Cn segue diretamente deste resultado. Como para Cn temosL = 2I −A, teremos que se λ é autovalor de A, µ = 2− λ será autovalor deL.

Podemos obter o ordenamento dos autovalores λ e µ a partir das pro-priedades elementares das raízes complexas da unidade, como representadona Fig. 9. Primeiro, notem que <ζ0 = 1 para qualquer n. Para n pares,

ζ

ζ

ζ

ζ

ζ

ζ

0

1

2

3

4

ζ

ζ

ζ

3

2

4

ζ

ζ

5

0

1

Figura 9.complexrootRaízes complexas da unidade ζn = 1 para n

ímpares e pares.

<ζn2

= −1. Para todo n, temos <ζi = <ζn−i, com i = 1, 2, . . . ,⌊n2

⌋. Assim,

28 1. INTRODUÇÃO

podemos finalmente ordenar os autovalores λ de A para Cn. Teremos paran ímpar

λ1 = 2, λk+1 = 2 cos2kπ

n, k = 1, 2, . . . ,

⌊n2

⌋, (85)A1A1

sendo que, com exceção de λ1, todos autovalores têm multiplicidade 2. Demaneira análoga, para n par13, teremos

λ1 = 2, λk+1 = 2 cos2kπ

n, k = 1, 2, . . . ,

n

2− 1, λn = −2, (86)A2A2

sendo que todos autovalores têm multiplicidade 2, exceto λ1 e λn. Notemque λ1 = davg = dmax = 2, já que Cn é um grafo regular, i.e., um grafo noqual todos os vértices tem o mesmo grau.

O espectro da matriz Laplaciana de Cn vem diretamente de (85) e (86).Temos, sem nos preocupar com ordenamento,

µ =

2− 2 cos

2kπ

n= 4 sin2 kπ

n, k = 0, 2, . . . , n− 1

. (87)

Como esperado, temos µn = 0. Para n pares, temos µ1 = 4, sendo esteum caso interessante que satura a desigualdade para o máximo autovalor doteorema 4.

4.4. Grafo caminho. Dá-se o nome de grafo caminho, ou grafo linear,a um grafo árvore (sem ciclos) que só possui vértices com grau 2 e 1, sendoos de grau 1 as extremidades. Os grafos caminhos serão sempre denotadospor Pn. Vejam um exemplo na Fig. 10. A matriz de adjacência para um

1v 2v 3v

5v6v 4v

Figura 10.caminhoGrafo caminho P6.

grafo Pn será sempre do tipo

A =

0 1 0 0 . . . 0 01 0 1 0 . . . 0 00 1 0 1 . . . 0 00 0 1 0 . . . 0 0...

......

.... . .

......

0 0 0 0 . . . 0 10 0 0 0 . . . 1 0

, (88)adjacaminhoaaadjacaminhoaa

que lembra bastante a matriz de adjacência (80) do grafo ciclo Cn. Vamosdeterminar o espectro de (88) explorando apenas noções de grafos. Primeiro,notem que sempre podemos considerar Pn ⊂ C2n+2, vejam a Fig. 11 parauma ilustração deste fato. Já conhecemos o espectro da matriz de adjacênciapara C2n+2, ele é completamente determinado pelas raízes complexas da

13Para n par, o grafo Cn é sempre bipartido.

4. EXEMPLOS: ALGUNS GRAFOS ESPECIAIS 29

1v 2v 3v

5v6v 4v

Figura 11.caminhorefletO grafo P6 como um subconjunto de C14: pri-

meiro, faça uma cópia de P6. Insira dois novos vértices e osconecte as extremidades de P6 e de sua cópia. O resultadoserá um grafo C14.

unidade ζ2n+2 = 1. Veremos que podemos determinar o espectro para ocaso Pn a partir da construção da Fig. 11. Para isto, vamos olhar com umpouco mais de cuidado o sentido da expressão AX para um certo vetor X.

Podemos interpretar um vetor X = (x(1), x(2), . . . , x(n))t no contexto deum grafo como certas quantidade associadas aos vértices, i.e., cada com-ponente x(i) estará associada ao vértice vi do grafo subjacente. Suponhaum vetor X com todas as entradas nulas, exceto x(k) = α. O produto AX

0

0

1

0

0

0

X1

1

1

0

0

0

AX

vkvk

Figura 12.propagateO produto AX como a “propagação” das com-

ponentes do vetor X sobre o grafo.

também será um vetor. Suas componente serão dadas por α para todos osvértices que compartem aresta com vk, e zero para todos os outros vértices.Podemos interpretar AX como uma “propagação” das componentes do vetorX ao longo das arestas do grafo, ver Fig. 12. Considere agora um certo grafoG com uma matriz de adjacência AG, e um outro grafo H obtido a partirde G eliminando-se todas as arestas de um certo vértice vk. Sua matriz deadjacência será AH . O ponto importante é que se x(k) = 0 teremos sempreAGX = AHX. Em particular, se X for um autovetor de AG com x(k) = 0 eautovalor λ, será também um autovetor de AH , com o mesmo autovalor.

Retornemos agora ao problema do espectro de (88). Da seção anterior,sabemos que os autovetores da matriz de adjacência de C2n+2 são da formaX(ζ) = (1, ζ, ζ2, . . . ζ2n+1)t, com ζ2n+2 = 1. Os autovalores correspondentesserão λ(ζ) = ζ+ζ−1. Notem que X(ζ) e X(ζ−1), por construção, são ambosautovetores com o mesmo autovalor. Considerem agora uma das raízes daunidade ζk e o vetor Yk = X(ζk) − X(ζ−1

k ), o qual, caso não seja nulo,

30 1. INTRODUÇÃO

também será autovetor com autovalor λ(ζk) = ζk + ζ−1k . Por construção, já

sabemos que y(1)k = 0. As outras componentes serão

y(`+1)k = ζ`k − ζ−`k = 2i=ζ`k = 2i sin

k`π

n+ 1, ` = 1, 2, . . . , 2n+ 1. (89)

Note que para k = 0 e para k = n + 1, temos todas as componentes nulas,portanto as raízes ζ0 e ζn+1 da unidade não nos interessam. Porém, paraqualquer outro valor de k, teremos sempre Yk 6= 0 com y(n+2) = 0, i.e., ospares

(2 cos kπ

n+1 , Yk

), com k = 1, 2, . . . , n, são sempre autopares da matriz

de adjacência de C2n+2 com y(1) = y(n+2) = 0.Voltemos agora a construção do grafo C2n+2 tal que Pn ⊂ C2n+2. Pode-

mos, sem perda de generalidade, numerar os vértices de tal maneira que v1

e vn+2 sejam os vértices vermelhos na construção da Fig. 11. Ora, já sabe-mos que Yk será também autovetor, com os mesmos autovalores, da matrizde adjacência que corresponde ao grafo C2n+2 com as arestas de v1 e vn+2

eliminadas, que corresponde a um grafo desconexo, com duas partes conexasidênticas a Pn e dois vértices livres. Acabamos de mostrar que o espectro damatriz de adjacência (88) é, sem nos importar com ordenamento,

λ =

2 cos

kπ

n+ 1

, k = 1, 2, . . . , n. (90)

Podemos determinar o espectro da matriz Laplaciana L de Pn com argu-mentos semelhantes. Para isto, vamos interpretar o significado no contextode grafos do produto LX para um certo vetor X. Notem, primeiro, quequalquer matriz Laplaciana pode ser decomposta como

L =∑

e(vi,vj)

L(vi,vj), (91)

sendo o somatório feito sobre todas as arestas e(vi, vj) do grafo e L(vi,vj)

corresponde à matriz Laplaciana elementar do grafo que contém uma únicaaresta entre os vértices vi e vj . Notem que L(vi,vj)X é um vetor com todasentradas nulas, exceto a i-ésima e a j-ésima, que serão, respectivamente,x(i)−x(j) e x(j)−x(i). Suponha agora um grafo G com matriz Laplaciana LG,e um outro grafo H, obtido a partir de G eliminando-se um certo conjuntode arestas e(vi, vj) de G, cuja matriz Laplaciana é LH . Considere agora umvetor X tal que x(i) = x(j) para todos vértices i e j que correspondam asarestas eliminadas de G. Teremos LGX = LHX, implicando que se X comessa propriedade for autovetor de LG, será também autovetor de LH , como mesmo autovalor. Este é o ponto fundamental de nossa análise. Vamos

1v 2v 3v

5v6v 4v

Figura 13.caminhoreflet1O grafo P6 como um subconjunto de C12: faça

uma cópia de P6 e conecte suas extremidades.

4. EXEMPLOS: ALGUNS GRAFOS ESPECIAIS 31

agora explorar o fato que Pn ⊂ C2n, veja Fig. 13 . Os autopares de C2n

são(2− ζk − ζ−1

k , X(ζk)), sendo ζk uma das raízes da unidade ζ2n = 1.

Vamos considerar agora o vetor Yk = X(ζk) +X(ζ−1k ), que será também um

autovetor de L para o grafo C2n, também com autovalor 2 − ζk − ζ−1k . As

componentes de Yk serão

y(`+1)k = ζ`k + ζ−`k = 2 cos

k`π

n, `, k = 0, 1, 2, . . . , 2n− 1. (92)

O caso k = 0 nos dá o autovetor com autovalor nulo, i.e., todas as com-ponentes de Y0 são iguais. Notem que para qualquer outro k par, teremossempre y(`+1)

k = y(`+n+1)k , para ` = 0, 1, . . . n − 1. Finalmente, vemos que(

2− 2 cos kπn , Y2k

)são autopares da matriz Laplaciana de C2n com essa cu-

riosa propriedade: a j-esima entrada de Y2k, com j > n, é igual a entradaj−n. De maneira semelhante ao caso da matriz de adjacência, podemos nu-merar os vértices de C2n de maneira conveniente para que Y2k seja também oautovalor de um grafo desconexo correspondente a eliminação, por exemplo,das duas arestas centrais da Fig. 13, dando origem a um grafo compostopor duas partes Pn. Desta maneira, acabamos de determinar o espectro damatriz Laplaciana de Pn. Sem nos preocuparmos com ordenação, temos

µ =

2− 2 cos

kπ

n= 4 sin2 kπ

2n, k = 0, 2, . . . , n− 1

. (93)

graforegular4.5. Grafos regulares. Grafos regulares são grafos tais que todos seus

vértices têm o mesmo grau. O grafo completo Kn e o ciclo Cn são exemplosde grafos regulares com graus, respectivamente, dados por n− 1 e 2. Notemque 2 é o grau mínimo para um grafo regular conexo com n > 2. Para grafosregulares de grau k, o maior autovalor da matriz de adjacência será λ1 = k.O espectro completo, tanto da matriz de adjacência como da Laplaciana, vaidepender dos detalhes do grafo.

Vamos nos ocupar aqui de algumas propriedades métricas interessantespara grafos regulares. Especificamente, examinaremos seu raio, a partir doqual podemos inferir seu diâmetro e distâncias médias. Vamos denotar porGk um grafo regular com grau k, chamado também de grafo k-regular. Con-sideremos a bola da definição 4 de raio m em torno de um vértice qualquerv ∈ V (Gk) de um grafo k-regular de n vértices. Dá Fig. 14, teremos aseguinte desigualdade para bm = |Bm(v)|

bm+1 ≤ (k − 1)(bm − bm−1) + bm = kbm − (k − 1)bm−1. (94) desiballdesiball

Esta desigualdade, que é saturada exatamente para as configurações comoa da Fig. 14, envolve uma equação a diferenças finitas linear de segundaordem. Podemos resolvê-la explorando o seguinte lema.

32 1. INTRODUÇÃO

Bm Bm+1Bm−1

Figura 14.figballFigura esquemática das bolas Bm para um

grafo regular com k = 4 saturando a desigualdade (94). No-tem que até a bola Bm+1, trata-se de uma árvore. Eventuaisciclos só aparecerão nas bolas mais externas.

GronwallLema 2 (Gronwall para o caso discreto). Sejam um , fm e gmsequências não negativas tais que

um+1 ≤ gmum + fm, (95) eqGronwalleqGronwall

para m ≥ 0, com u0 dado. Então

um ≤ u∗m,sendo u∗m a solução da equação que satura (95) com u∗0 = u0.

Para provarmos este lema, vamos considerar inicialmente a solução geral daequação que satura (95) com condição inicial u∗0 = u0. De maneira geral,teremos

u∗m = (u0 − uP1 )uHm + uPm, (96)

sendo uHm e uPm, respectivamente, a solução da equação homogênea associadaa (95), com uH1 = 1, e uma solução particular qualquer da equação quesatura (95). Consideremos agora a sequência vm tal que um = vm + uPm.Substituindo-se em (95), temos

vm+1 ≤ gmvm. (97)

Agora, introduzindo-se vm = cmuHm, teremos

(cm+1 − cm)uHm+1 ≤ 0. (98)decresdecres

Como todas as sequências pertinentes são não negativos, podemos admitirque também uHm é não negativa, o que implica de (98) que cm é não crescente

4. EXEMPLOS: ALGUNS GRAFOS ESPECIAIS 33

e, em particular, cm ≤ c0, o que finalmente nos fornece

um ≤ c0uHm + uPm. (99)

Porém, c0 = u0 − uP1 , de onde finalmente temos o resultado do Lema 2.Para resolver (94), note primeiro que, introduzindo-se a sequência não

negativa cm = bm − bm−1, temos

cm+1 ≤ (k − 1)cm, (100)

e o Lema 2 nos garante que

bm ≤ α0(k − 1)m + bm−1. (101)

Para o caso14 k > 2, uma nova aplicação do Lema 2 nos fornece

bm ≤ α1(k − 1)m + α2. (102)

As constantes α1 e α2 devem ser determinadas a partir das condições inicias.Lembrando que a configuração que deve saturar a desigualdade é o da Fig.14, devemos ter b0 = 1 e b1 = k + 1, como pode-se ver diretamente dadefinição da bola 4. Teremos finalmente a seguinte solução

bm ≤k(k − 1)m − 2

k − 2(103) solrapsolrap

para a desigualdade (94). Podemos agora estimar o raio e o diâmetro dografo Gk. Da definição 5, temos que raio(Gk) = m, sendo m o raio da menorbola que contém todos os vértices de G, de onde podemos estimar raio(Gk)como

k(k − 1)raio(Gk) − 2

k − 2≥ n, (104)

o que nos fornece

raio(Gk) ≥ logk−1 n+ logk−1

(k − 2

k+

2

nk

)> logk−1 n, (105) mindiamindia

sendo que a última desigualdade supõe n > 1. Deve-se frisar que o limiteinferior para o raio (105) corresponde especificamente à configuração da Fig.14, para a qual as bolas crescem da maneira mais rápida possível. Esteresultado pode ser formulados como o seguinte teorema.

diaregTeorema 6. Seja Gk um grafo k-regular, k > 2, com n vértices. Seuraio é tal que

raio(Gk) > logk−1 n.

Este teorema merece alguns comentários. O caso k = 2 corresponde ao grafociclo Cn, e neste caso nossa abordagem não se aplica. Obviamente, nestecaso sempre temos raio(Cn) =

⌊n2

⌋. A desigualdade (94) é, para k = 2, uma

igualdade cuja solução geral é

bm = α1m+ α2. (106)

As condições iniciais pertinentes são b0 = 1 e b1 = 3, que implicam finalmenteem

bm = 2m+ 1 (107)

14O caso k = 2 será tratado em separado.

34 1. INTRODUÇÃO

de onde o raio raio(Cn) pode ser diretamente determinado.Para ilustrar o teorema 6, tomemos o caso de um grafo G11 com 1 mi-

lhão de vértices. Na configuração da Fig. 14, que satura a desigualdade(94), o milhão de vértices estão, efetivamente, dentro de uma bola de “seispassos”. Grafos regulares podem efetivamente exibir comportamento do tiposmall world, mas veremos adiante que podemos propor configurações aindamelhores.

Uma vez estimado o raio de um grafo, podemos avaliar seus diâmetro apartir da desigualdade (33). O raio e o diâmetro diferirão, no máximo, porum fator 2. No caso específico do grafo da Fig. 14, teremos diam(Gk) =2 raio(Gk).

5. Grafos mais gerais

Nossa definição 1 de grafo não acomoda várias estruturas que tambémsão interessantes na prática. Apesar de que basicamente só iremos conside-rar grafos simples, convém apresentar algumas das variantes mais gerais degrafos. Comecemos pelo caso dos chamados grafos orientados. Na prática,um grafo orientado é um grafo como o da definição 1 no qual as arestascorrespondem a pares ordenados de vértices. Em um grafo orientado, a exis-tência de uma aresta entre os vértices vi e vj não implica na existência deuma aresta entre vj e vi. As arestas podem ser graficamente representadascomo curvas orientadas entre vértices. A matriz de adjacência é definida dasmesma maneira do caso do grafo simples. Porém, a matriz de adjacênciadeixa de ser simétrica. O mesmo ocorre para a matriz Laplaciana. Obvia-mente, a teoria espectral de grafos orientados é bastante mais complicada,pois envolverá matrizes que não são em geral diagonalizáveis sobre os reais.

Os grafos ponderados são grafos nos quais suas arestas, sejam elas ori-entadas ou não, possuem um atributo chamado “peso”. Estes pesos podemrepresentar custos, distâncias, capacidades ou qualquer outro atributo físicorelacionado com o caminho entre dois vértice do grafo. As componentes [aij ]da matriz de adjacência A para um grafo ponderado são dadas por

aij =

pij , se houver uma aresta vi → vj de peso pij ,0, se nao houver aresta.

(108)

A matriz Laplaciana associada é definida de maneira análoga ao caso do grafosimples, porém agora o grau de cada vértice vk será a soma dos pesos de suasarestas saintes (outgoing), i.e., a soma das componentes da linha k de A. Ocaso de pesos inteiros pode ser sempre interpretado como a existência de maisde uma aresta entre dois vértices. Os pesos são usualmente consideradoscomo quantidades positivas.

Finalmente, temos o caso dos grafos com auto-ligações, ou laços. Arestasdeste tipo conectam um vértice a ele mesmo. Elas são representadas peladiagonal da matriz de adjacência. Caso o grafo seja não orientado, a presençade um auto-ligação implica que a entrada correspondente de A deve ser2, pois o grau de um vértice com auto-ligação é incrementado de 2. Nocaso de grafos orientados, há duas possibilidades de orientação para umaauto-ligação: sentido horário e anti-horário. Para ambos casos, a diagonalcorrespondente da matriz de adjacência deve ser 1.

CAPíTULO 2

Grafos aleatórios

Chamamos de grafo aleatório uma estrutura composta por um conjuntode vértices V = (v1, v2, . . . ) para os quais sabemos que há uma certa proba-bilidade de existir uma aresta conectando dois vértices distintos quaisquervi, vj ∈ V . Um grafo aleatório pode ser definido mais rigorosamente comoum certo espaço de probabilidade, mas não nos aprofundaremos nestes pon-tos aqui e ficaremos, sempre que possível, com as definições e ideias maisintuitivas.

Apenas para fixar notação, chamaremos de variável aleatória qualquerquantidade real cujo valor dependa de algum processo aleatório e que, por-tanto, não podemos precisar seu valor, mas sabemos suas probabilidadesassociadas. Seja Dx(s) a probabilidade da variável x ter valor s, i.e.,

Dx(s) = Prob [x = s] . (109)

Chamamos a função Dx(s) de distribuição de probabilidade da variável ale-atória x. Pela definição de probabilidade, sabemos que 0 ≤ Dx(s) ≤ 1 eque ∑

xk∈Ω

Dx(xk) = 1, (110)

sendo Ω = (x1, x2, . . . , xk, . . . ) o conjunto de todos os possíveis valores dex. Como nossas variáveis aleatórias assumem valores reais, podemos admitirsem perda de generalidade que o conjunto Ω é ordenado de tal maneira quexi < xi+1 para todo i, o que nos permite introduzir também a noção dedistribuição acumulada Cx(s) para a variável x

Cx(s) = Prob [x ≤ s] =

xk≤s∑xk∈Ω

Dx(xk). (111)

No caso de variáveis contínuas, os somatórios devem ser substituído por in-tegrações nos intervalos pertinentes. Sempre iremos supor que as somatóriase/ou integrais envolvidas estão bem definidas, no sentido de convergiremadequadamente. Definimos o valor esperado1 x da variável aleatória x como

x = E [x] =∑xk∈Ω

xkDx(xk), (112)

e sua variância σ2x como

σ2x = E

[(x− x)2

]=∑xk∈Ω

(xk − x)2Dx(xk), (113)

1Também chamada de esperança ou expectância.

35

36 2. GRAFOS ALEATÓRIOS

com as mesmas ressalvas para o caso contínuo. A interpretação mais simplespara x é a de valor médio esperado para a variável aleatória x. Para compre-ender o significado deste valor médio esperado, considere um procedimentono qual, a cada passo t, retorne um valor aleatório para x(t), independentedos valores nos passos anteriores. Calculemos a média dos valores aleatóriosapós n destes passos

xavg(n) =1

n

n∑t=1

x(t). (114)

A cada passo, os possíveis valores de x(t) estão sujeitos a mesma distribuiçãode probabilidade Dx(s). A variável xavg(n), sendo uma média de variáveisaleatórias, também será aleatória. Porém, este é exatamente o caso em quepodemos invocar o Teorema central do limite2, para concluir que, para ngrande, a distribuição de probabilidade para xavg será uma gaussiana commédia x e variância σ2

x/n. Quanto maior n, mais “concentrada” esta distri-buição será em torno da média x, o que nos permite escrever

xavg = limn→∞

xavg(n) = x. (115)ergoergo

Esta identificação entre a média xavg de (muitos) sucessivos valores de umavariável aleatória e seu valor esperado x é o germe do fundamental conceitode ergodicidade, sobre o qual existe vasta literatura física e matemática. Porora, ficaremos com os conceitos mais simples e intuitivos representados por(115).

Vamos agora considerar os dois tipos de grafos aleatórios que, prova-velmente, são os mais estudados atualmente: os de Erdős-Rényi e os deBarabasi-Albert.

1. Grafos de Erdős-Rényi

Os grafos de Erdős-Rényi são os modelos mais simples que podemosimaginar de grafos aleatórios. Grosso modo, correspondem a grafos com umnúmero n de vértices fixos nos quais a probabilidade de existência de umaaresta entre dois vértices diferentes, aleatoriamente escolhidos, é homogê-nea3. Há duas maneiras distintas de se introduzir grafos aleatórios com estapropriedade. Considerem, inicialmente, o caso de um grafo com n vértices eE arestas, distribuídas aleatoriamente, de maneira homogênea, entre paresde vértice diferentes. Chamamos esta construção de G(n,E). A segundamaneira de se construir um grafo com propriedades semelhantes consiste emconsiderar um grafo com n vértices para os quais a probabilidade existênciade uma aresta será dada por p, com 0 < p ≤ 1.4 Estes grafos são deno-minados G(n, p) e, por construção, não têm um número fixo de arestas, aocontrário do primeiro caso. Há, de fato, uma relação entre as duas definições,e a exploraremos em várias situações.

2Para estabelecer a convergência no sentido de probabilidade de xavg(n) para x, bas-taria invocar a Lei dos grandes números.

3Homogênea neste contexto significa que a probabilidade de existência da aresta é amesma para qualquer par de vértices.

4Não vamos considerar aqui o caso p = 0, nem o E = 0, pois corresponderiam a grafosaleatórios triviais: apenas os casos sem nenhuma aresta.

1. GRAFOS DE ERDŐS-RÉNYI 37

É fácil ver que o caso p = 1 corresponde ao grafo completo Kn. Naprimeira definição, este é o caso correspondente à E =

(n2

)= 1

2n(n − 1),que é o número de arestas de Kn, o número máximo de arestas que umgrafo de n vértices pode acomodar. Note que podemos calcular facilmentea probabilidade p′ de que dois vértices aleatórios em G(n,E) pertençam auma aresta. O resultado é

p′ =2E

n(n− 1), (116) p’p’

uma probabilidade homogênea, que não depende dos vértices escolhidos. Va-mos agora determinar o número esperado de arestas E em G(n, p) para com-preendermos um pouco melhor a relação entre as duas definições. Para isso,vamos primeiro determinar a distribuição de probabilidade para os graus dosvértices em G(n, p), i.e., a probabilidade Di(k) de que um vértice vi aleatóriode G(n, p) tenha grau di = k,

Di(k) = Prob[di = k]. (117)

Ao escolhermos um vértice aleatório vi, obviamente restarão ainda n − 1vértices no grafo. O vértice vi terá grau di = k se houver exatamente karestas que o contém. A probabilidade de que o vértice vi esteja conectadosomente a um certo conjunto de k vértices fixos é dada por pk(1− p)n−k−1.

Há(n−1k

)maneiras diferentes do vértice vi se conectar a k dos n− 1 vértices

restantes do grafo, o que nos permite concluir que

Di(k) = B(n, k) =

(n− 1

k

)pk(1− p)n−k−1. (118) prob1prob1

Trata-se, obviamente, na conhecida distribuição binomial e, como esperado,ela independe do vértice vi. A distribuição de probabilidade Di(k) nos per-mite calcular di, o valor esperado do grau para o vértice vi em um grafoaleatório de de Erdős-Rényi G(n, p), e o resultado é a conhecida esperançada binomial

di = E [di] =n−1∑k=0

kB(n, k) = (n− 1)p, (119) davgdavg

cuja prova simples é apresentada ao final deste Capítulo. A variância asso-ciada é simplesmente σ2 = np(1− p).

Há uma outra quantidade relacionada a di que nos será bastante útil.Trata-se do grau médio dos vértices de G(n, p), davg(n) = 1

n

∑ni=1 di, e é

claro que será uma variável aleatória, pois é a média das variáveis aleatóriasindependentes di, cujas distribuições de probabilidade são dadas por (118).Porém, pelo mesmo argumento do Teorema central do limite explorado em(115), podemos esperar que para n grande possamos escrever

davg =1

n

n∑i=1

E [di] = (n− 1)p, (120)

sempre que np for fixo, o que garante que o valor esperado de di e suavariância sejam finitas no limite n→∞. Podemos também calcular o valor

38 2. GRAFOS ALEATÓRIOS

esperado para o número de arestas em G(n, p) como

E = E

[1

2

n∑i=1

di

]=n

2davg =

n(n− 1)p

2, (121) hatAhatA

que é perfeitamente compatível com (116). A relação entre G(n, p) e G(n,E),ou melhor, a relação entre as propriedades estatísticas deG(n, p) e deG(n,E),são tão mais precisas quanto maior for n com np fixo, como vemos do Te-orema central do limite. Nesse contexto, podemos examinar o limite dadistribuição (118) para o caso de n grande com davg = λ = (n − 1)p fixo.Este é um resultado bem conhecido, o limite será a distribuição de Poisson,

limn→∞

Di(k) = Pλ(k) =λke−λ

k!, (122)poissonpoisson

cuja prova elementar também está ao fim deste Capítulo.Notem que qualquer propriedade estatística de G(n, p) que possa ser

obtida de maneira semelhante ao caso do número de arestas E dado por(121), convergirá da maneira prevista pelo Teorema central do limite, paran grande e davg fixo, para a quantidade equivalente definida em G(n,E),numa situação completamente análoga à relação entre entre médias e valoresesperados expressa por (115).

1.1. Algumas propriedades dos grafos de Erdős-Rényi. A distri-buição de graus (118), ou sua verão n → ∞ dada por (122), já nos forneceinformações interessantes sobre o grafo de Erdős-Rényi. Por exemplo, o va-lor Di(0) nos dá a probabilidade de existirem vértices desconectados da rede(di = 0). No limite n → ∞, da distribuição de Poisson (122), sabemos quedi(0) = e−davg . Porém, essencialmente este mesmo resultado vale para nfinito, dentro de algumas condições. Para demonstrarmos este fato, notemprimeiro que de (118) temos

logDi(0) = (n− 1) log(1− p) ≤ −(n− 1)p (123)desdes

de onde temos um limite superior Di(0) ≤ e−(n−1)p = e−davg . O seguintelema simples, cuja prova é apresentada no final do Capítulo, nos dará umlimite inferior.

lema1Lema 3. Seja ε > 0. Para 0 ≤ p ≤ ε

1+ε , tem-se log(1−p) ≥ −(1+ε)p.

O Lema 3 nos permite escrever, de maneira análoga à desigualdade (123),

e−(1+ε)davg ≤ Di(0) ≤ e−davg , (124)

para 0 < p ≤ ε1+ε , com ε > 0, de onde temos que para redes com davg = 10, a

probabilidade de existirem vértices desconectados é inferior a 10−4. Note quepara um grafo com n = 1000 vértices, um tamanho relativamente modestopara várias aplicações, bastaria uma probabilidade p = 10−2 para termosdavg ≈ 10. Por outro lado, com ε pequeno e davg = 1, uma ordem de mag-nitude menor que o exemplo anterior, temos mais de 1/3 de probabilidadede termos vértices desconectados, uma probabilidade 3 ordens de magnitudemaior. Para um grafo com n = 1000 vértices, basta escolher p e ε ≈ 10−3

1. GRAFOS DE ERDŐS-RÉNYI 39

para termos davg ≈ 1. Este tipo de comportamento se assemelha muito àstransições de fase e comportamento crítico em Mecânica Estatística.

É fácil entendermos porque davg = 1 representa uma espécie de valorcrítico, abaixo do qual devem aparecer muitos vértices isolados. A Figura

Figura 1.Fig1Grafo com davg = 1.

1 representa um grafo aleatório com davg = 1. Trata-se de um grafo re-gular, todos seus vértices tem grau 1. Está é uma situação atípica, muitopouco provável. Porém, se mantivermos o mesmo número de arestas, paraaumentarmos o grau de qualquer vértice, teremos que necessariamente deixaralgum vértice isolado. Grafos com davg = 1 não têm um número suficiente dearestas para poder conectar todos seus vértices e fatalmente serão frequentesos vértices isolados.

1.1.1. Matriz de adjacência. Não é difícil determinarmos a matriz deadjacência esperada para G(n, p). A entrada aij da matriz de adjacência deum grafo tem valores 0 ou 1, dependendo se há ou não uma aresta entreos vértices vi e vj . Para o caso de grafo de Erdős-Rényi, qualquer entradaaij será uma variável aleatória cujos valores possíveis são são 0 e 1, comprobabilidades associadas dadas, respectivamente por 1− p e p. É claro queo valor esperado será aij = p, para quaisquer pares de vértices, o que nospermite escrever a matriz de adjacência esperada. A matriz de adjacênciaesperada será portanto

A = pAK , (125) kkkk

onde AK é a matriz de adjacência para o grafo completo Kn, da qual conhe-cemos o espectro da seção 4.1. Os autovalores de A serão portanto p(n− 1)e −p, este último com multiplicidade n− 1. Notem que

trA2 = n(n− 1)p2 = 2pE, (126)

o que mostra que a matriz de adjacência esperada A não expressa bem estapropriedade estatística dos grafos de Erdős-Rényi. Para compreendermosmelhor o que está ocorrendo, vamos relembrar quem é a matriz esperada A.Suponha que sejam sorteados de G(n, p), m grafos aleatórios, cada um delescom matriz de adjacência Aj , j = 1, . . . ,m. A matriz esperada (125) surge

40 2. GRAFOS ALEATÓRIOS

da média

A =1

m

m∑j=1

Aj , (127)

no limite de grande m. Para o grafo sorteado no passo j, seu número dearestas será dado por trA2

j . O número médio de arestas no conjunto degrafos sorteados será

E =1

m

m∑j=1

trA2j 6= trA2. (128)

1.1.2. Triângulos em G(n, p). Como outro exemplo de propriedade esta-tística de grafos, vamos determinar o número esperado de triângulos contidosem G(n, p). Um triângulo corresponde, obviamente, a três vértices conecta-dos por arestas. Dados três vértices distintos em G(n, p), a probabilidade deque eles formem um triângulo é p3. Num grafo com n vértices, existirão

(n3

)triplas distintas de vértices. Desta maneira, teremos que o número esperadode triângulos N∆ em G(n, p) é dado por

N∆ =

(n

3

)p3 =

n(n− 1)(n− 2)p3

6=d3

avg − p2davg

6, (129)

de onde vemos, novamente, um comportamento abrupto ao variarmos davg.Em G(n, p), teremos 1000 vezes mais triângulos para davg ≈ 10 do que paradavg ≈ 1.

Uma outra pergunta relacionada a esta é: qual a probabilidade de haverao menos um triângulo em G(n, p)? Há diversas maneiras de se responderesta questão. Uma delas é atentar para o fato de que a probabilidade deque três vértices distintos não formem um triângulo é 1 − p3. Como há(n3

)triplas distintas de vértices em G(n, p), a probabilidade de que nenhuma

delas acomode um triângulo é (1−p3)(n3), de onde temos que a probabilidade

Π∆ de existir ao menos um triângulo em G(n, p) será

Π∆ = 1− (1− p3)(n3). (130)

Analisemos o limite de n grande, para o qual p ≈ davg

n e(n3

)≈ n3

6 . Teremos

limn→∞

Π∆ = limn→∞

1−

(1−

d3avg

n3

)n3

6

= 1− e−16d3

avg ≈ 1− e−N∆ . (131)

As diferenças para davg ≈ 10 e davg ≈ 1 são ainda mais gritantes. Noprimeiro caso, a probabilidade de existir pelo menos um triângulo é altíssima(difere de 1 em menos de uma parte em 1073), enquanto no segundo caso aprobabilidade é de cerca de 15%.

1.1.3. Conectividade de G(n, p). Este é um problema clássico e consi-deravelmente mais complexo. A questão é determinar a probabilidade dografo G(n, p) ser conexo. Abordaremos este problema explorando a noçãode partição de um grafo. Suponha que k vértices de G(n, p) são escolhi-dos. Teremos dois conjuntos: Vk, contendo os k vértices escolhidos e Vn−kcontendo os n−k restantes. Qual a probabilidade que esta partição seja dis-junta? Como há k(n− k) possíveis arestas entre Vk e Vn−k, a probabilidadede não haver nenhuma aresta entre Vk e Vn−k é (1− p)k(n−k). Como há

(nk

)

1. GRAFOS DE ERDŐS-RÉNYI 41

distintas partições deste tipo, o número Nk de partições disjuntas esperadasdeste tipo será

Nk =

(n

k

)(1− p)k(n−k). (132) N_kN_k

O número total esperado de partições disjuntas será

NTot =

bn2c∑k=1

Nk =

bn2c∑k=1

(n

k

)(1− p)k(n−k). (133)

Agora algumas estimativas. Note que(n

k

)=n(n− 1)(n− 2) · · · (n− k + 1)

k!≤ nk. (134)

Lembrando da convexidade da função exponencial (1 − p ≤ e−p), podemosobter o seguinte limite superior para NTot

NTot ≤bn2c∑k=1

e−k[(n−k)p−logn] ≤bn2c∑k=1

(e−(davg−logn)

)k. (135) geogeo

O último somatório em (135) é uma série geométrica que pode ser facilmentecalculada, dando finalmente

NTot ≤e−µ − e−(bn2c+1)µ

1− e−µ, (136)

com µ = davg − log n. Note que há um comportamento abrupto evidente.Para µ < 0, que corresponde a obviamente a davg < log n, o limite superiorpara NTot diverge para n grande. Por outro lado, se davg > log n temos efeti-vamente um limite superior que decai exponencialmente com µ = davg−log n,sugerindo que não há partições disjuntas se µ for suficientemente grande eque, portanto, um grafo G(n, p) com davg > log n provavelmente é conexo.Este talvez seja o comportamento mais famoso dos grafos de Erdős-Rényi.

Voltemos a questão da probabilidade ΠC do grafo G(n, p) ser conexo. Aprobabilidade de que uma partição (Vk, Vn−k) tenha pelo menos uma arestaentre Vk e Vn−k é 1 − (1 − p)k(n−k). A probabilidade Πk de que todas aspartições (Vk, Vn−k) tenham pelo menos uma aresta entre Vk e Vn−k será

Πk =(

1− (1− p)k(n−k))(nk) (137)

de onde temos

ΠC =

bn2c∏k=1

Πk. (138)

Essa expressão é um tanto complicada e portanto vamos estimar um limitesuperior para ΠC e verificar seu comportamento para davg < log n. Noteinicialmente que

Πk ≤ e−(nk)(1−p)k(n−k)= e−Nk , (139)

42 2. GRAFOS ALEATÓRIOS

sendo Nk o número esperado de partições disjuntas (132) de G(n, p), de ondetemos finalmente

ΠC ≤ e−NTot ≤ exp

(−e−µ − e−(bn2c+1)µ

1− e−µ

). (140)

É evidente que ΠC → 0 para davg < log n.1.1.4. Distância típica em G(n, p). Podemos ter uma estimativa da dis-

tância típica entre dois vértices arbitrários de G(n, p) examinando a distri-buição de probabilidade de distâncias entre dois vértices vi e vj distintos

Dij(s) = Prob [dist(vi, vj) = s] . (141)

A distância típica será aquela para qual a distribuição é máxima e corres-ponderá a distância mais frequente que encontraremos entre dois vérticesaleatórios de G(n, p). Para não sobrecarregar a notação, abandonaremos osíndices i, j em todos os desenvolvimentos deste item. Uma quantidade quenos será útil é o número esperado Nk de caminhos de k passos entre doisvértices aleatórios vi e vj distintos de G(n, p). Sabemos que N1 = p e

Nk = pkk∏j=2

(n− j) (142)

para k > 1. Para para todo k > 0, teremos(n− kn− 1

)k dkavg

n− 1≤ Nk ≤

dkavg

n− 1, (143)

de onde vemos que para n grande podemos efetivamente considerar

Nk ≈dkavg

n. (144)

Vamos agora determinar a distribuição de probabilidade das distâncias D(s).Notem que

D(1) = Prob [∃ caminho de 1 passo entre (i, j)] = p, (145)

e que

D(s) =

s−1∏k=1

Prob [6 ∃ caminho de k passos entre (i, j)]×

Prob [∃ caminho de s passos entre (i, j)] ,

=

s−1∏k=1

(1− pk)∏kj=2(n−j)

(1− (1− ps)

∏sj=2(n−j)

). (146)

Para n grande, lembrando que (n− 1)p = davg é finito, temos

(1− ps)∏sj=2(n−j) ≈ e−Ns , (147)

de onde temos finalmente

D(s) = exp

(−s−1∑k=1

Nk

)(1− e−Ns

)= e

davgn(davg−1)

(e−

dsavgn(davg−1) − e−

ds+1avg

n(davg−1)

).

(148)distDdistD

2. GRAFOS DE BARABASI-ALBERT 43

A distribuição (148) tem algumas propriedades curiosas. Estamos interessa-dos basicamente no limite de n grande, com davg n. Lembrem-se que paraque G(n, p) seja conexo, precisamos ter davg > log n. A primeira exponencialserá 1 no limite davg

n → 0. O termo entre parêntesis será zero tanto no limitedsavg

n → 0 quanto para dsavg

n grande. A Fig. 2 ilustra o aspecto típico dadistribuição (148). Podemos facilmente determinar o ponto de máximo da

Figura 2.figdistAspecto da distribuição (148), para n = 1000 e

davg = 4. Nota-se claramente que a distância típica neste casoé próxima de 5. Notem que 45 = 1024 e que 4−

13−4−

43 ≈ 0.47,

vejam (150) e (151).

distribuição (148). A condição D′(s) = 0 será

edsavgn = d, (149)

cuja solução és∗ = logdavg

(n log davg) ≈ logdavgn (150) boundbound

para n grande. Notem que é um comportamento semelhante ao do graforegular considerado na seção 4.5. O máximo da distribuição será

D(s∗) = d− 1davg−1

avg − d− davgdavg−1

avg (151) bound2bound2

para n grande.

2. Grafos de Barabasi-Albert

Os grafos aleatórios de Barabasi-Albert são definidos a partir de umprocedimento recursivo chamado anexação preferencial (preferential attach-ment). Dada um grafo G com n vértices e E arestas, adiciona-se um novo

44 2. GRAFOS ALEATÓRIOS

vértice vn+1 com m novas arestas. A ideia do mecanismo da anexação pre-ferencial é que o novo vértice tenha maior probabilidade de se conectar aovértices de maior grau de G. Especificamente, o mecanismo está baseado naseguinte probabilidade para que o novo vértice se conecte a um vértice vi dografo inicial G

Πi =di∑nj=1 dj

, (152)

sendo di o grau do vértice vi. O grafo de Barabasi-Albert BA correspondeao grafo que surgirá após a iteração de muitos destes passos. O resultadofinal não depende do grafo inicial, que normalmente se toma como um grafoqualquer do tipo G(n0, E0). Podemos definir a rede de Barabasi-Albert apartir de um algoritmo.

defBADefinição 7. Os grafos aleatórios de Barabasi-Albert são obtidos apartir do seguinte algoritmo, executado com n grande.

(1) Inicia-se com um grafo aleatório de Erdős-Rényi com n0 vér-tices e E0 arestas,

BA0 = G(n0, E0).

(2) s← 0.(3) Enquanto s < n n0:

(3.i) Adiciona-se um vértice ao grafo BAs, dando origemao grafo BAs+1. Este novo vértice tem m < n0 ares-tas disponíveis, as quais são distribuídas entre os vér-tices de BAs de acordo com a probabilidade

Πi(s) =di(s)∑kj=1 dj(s)

,

sendo di(s) o valor esperado para o grau do vértice vido grafo BAs e k = |BAs|.

(3.ii) s← s+ 1.

Vamos estudar o comportamento assintótico do algorítimo, para s n0.Note que na iteração s, o grafo terá |BAs| = n0 + s vértices e |E (BAs)| =E0 + ms arestas. Seja di(s) o grau do vértice vi ∈ BAs no passo s doprocedimento. O que podemos afirmar sobre di(s + 1)? Sabemos que di(s)é uma variável aleatória. Ao adicionarmos uma aresta nova, podemos terdi(s + 1) = di(s) + 1 com probabilidade Πi(s), ou di(s + 1) = di(s) comprobabilidade 1 − Πi(s). Como são m arestas adicionadas a cada passo, aprobabilidade da variável di(s) não ser incrementada será

Prob [di(s+ 1)− di(s) = 0] = (1−Πi(s))m =

(1− di(s)

2(E0 +ms)

)m,

(153)Prob1Prob1onde já usamos

∑dj(s) = 2 |E (BAs)|. A probabilidade de di(s) ser in-

crementada no passo s + 1 é o complementar de (153). Por construção, aúnica possibilidade é que di(s) seja incrementado de 1, pois nossos grafos são

2. GRAFOS DE BARABASI-ALBERT 45

sempre simples. Assim, temos

Prob [di(s+ 1)− di(s) = 1] = 1−

(1− di(s)

2(E0 +ms)

)m≈ di(s)

2s, (154)Prob2Prob2

onde a aproximação supõe ms E0 e ms max di(s). Vemos quedi(s + 1) − di(s) será uma variável aleatória que assume valores 0 ou 1,cujas probabilidades são dadas por (153) e (154). Podemos calcular seuvalor esperado

E [di(s+ 1)− di(s)] = di(s+ 1)− di(s) ≈di(s)

2s. (155)

Trata-se de uma equação à diferenças finitas linear. Podemos procurar solu-ções do tipo di(t) = αsβ . Teremos

(s+ 1)β − sβ = sβ((

1− s−1)β − 1

)=sβ−1

2, (156)

que para s 1 tem como solução β = 1/2. A constante α deve ser de-terminada a partir de uma condição inicial. Usaremos aqui a condição queo vértice vi foi adicionado no passo si e, portanto, di(si) = m. Teremosfinalmente

di(s) = m

(s

si

) 12

, (157) solBAsolBA

cuja interpretação é simples: os vértices mais antigos (que surgiram em pas-sos si anteriores) tendem a ter grau mais alto no procedimento de anexaçãopreferencial.

Para determinarmos a distribuição de probabilidade associada a di(s),calculemos Prob [di(s) > k] . Esta probabilidade será a razão entre o númerode vértices com di(s) > k e o número total de vértices. De (157), temos queos vértices para os quais di(s) > k são aqueles para os quais

si < s(mk

)2. (158) desidesi

Como os vértices são adicionados um a um a cada passo, podemos interpretaro lado direito da desigualdade (158) como o número de vértices no passo scom di(s) > k. Assim, teremos finalmente para s n0,

Prob [di(s) > k] =(mk

)2, (159)

de onde temos finalmente

Prob [di(s) ≤ k] = 1−(mk

)2. (160)

Essa é a distribuição acumulada, que está relacionada à distribuição de pro-babilidade D(k) por

Prob [di(s) ≤ k] =k∑

n=0

D(n), (161)

de onde temos

D(k) = Prob [di(s) ≤ k]−Prob [di(s) ≤ k − 1] =

(m

k − 1

)2

−(mk

)2(162)

46 2. GRAFOS ALEATÓRIOS

que implica

D(k) =(2k − 1)m2

k2(k − 1)2≈ 2m2

k3, (163)

com a aproximação válida para k 1. Vemos que a distribuição é do tipolei de potência k−λ, com expoente λ = 3.

2.1. Distâncias em redes livres de escala. Para estimarmos o raiode redes livres de escala, vamos utilizar uma configuração semelhante a daFig. 14 que empregamos no caso de grafos regulares. Como naquele caso,a nossa configuração nos proporcionará o crescimento mais rápido possívelpara o número de vértices das bolas de raiom e, portanto, poderemos estimaro raio mínimo de uma rede desse tipo.

A configuração a que nos referimos é esta. Comecemos com o vértice demaior grau kmax do grafo. Ele será a bola de raio zero B0. Por construção, omaior grau do único elemento de B0 é K0 = kmax. A bola B1 terá kmax + 1vértices. Além do vértice de B0, ela conterá os kmax vértices restantes demaior grau. A bola B2 é construída de maneira análoga, conectando asarestas que emanam de B1 com os vértices ainda livres, em ordem decrescentede graus. Assim como no caso da Fig. 14, todas essas bolas são compostaspor árvores. Eventuais ciclos só devem aparecer nas camadas finais. A bolaB` contém todos os vértices com distância igual ou inferior a ` de B0, ovértice de maior grau do grafo. Chamaremos de camada C` o conjunto devértices que estão exatamente a ` passos de B0, i.e., C` = B` − B`−1. Ovértice de maior grau de C` tem grau K`. Notem que K` ≤ Km se m ≥ `.Vamos chamar K` de grau da camada C`, e de χ` o número de arestas de C`,que são as que emanam de B`−1. Vamos agora obter uma série de recorrênciasemelhante à equação (94). Por construção, o número de arestas da camadaC` é

χ` = N

∫ K`

K`+1

p(k)dk, (164)chi1chi1

isto é, é exatamente o número de vértices com grau na faixa (K`+1,K` ].Por outro lado, número de arestas χ`+1 de C`+1 deve ser igual ao número dearestas que emanam de B`. Cada vértice vi da faixa (K`+1,K` ] irá contribuircom ki − 1 arestas, pois uma delas é utilizada para conectá-lo à bola B`−1,exatamente como ocorre com o grafo regular da Fig. 14. Assim, temostambém a relação

χ`+1 = N

∫ K`

K`+1

(k − 1)p(k)dk. (165)chi2chi2

Para as redes livres de escala, a distribuição de graus é do tipo

p(k) =c

kλ, (166)

onde c é uma constante de normalização. Para todo efeito prático, a variávelk é restrita à faixa 0 < k0 ≤ k ≤ kmax. Vamos sempre admitir kmax k0, oque nos permite escrever

c ≈ (λ− 1)kλ−10 . (167)

Com essa aproximação, temos de (164)

χ` = Nkλ−10

(K1−λ`+1 −K

1−λ`

)≈ Nkλ−1

0 K1−λ`+1 , (168)chi11chi11

3. PASSEIOS ALEATÓRIOS 47

onde também também admitimos K` K`+1. Para (165), temos empre-gando as mesmas aproximações

χ`+1 =λ− 1

λ− 2Nkλ−1

0

(K2−λ`+1 −K

2−λ`

)≈ λ− 1

λ− 2Nkλ−1

0 K2−λ`+1 . (169)chi12chi12

Destas relações, determinaremos equações para χ` e K`. Combinando (168)e (169), temos

χ`+1 =λ− 1

λ− 2k0N

1λ−1χ

λ−2λ−1

` . (170)

Tomando-se o logaritmo em ambos os lados, temos a seguinte equação lineara diferenças finitas

ξ`+1 =λ− 2

λ− 1ξ` + a, (171) xi1xi1

sendo ξ` = logχ` e a = log(λ−1λ−2k0N

1λ−1

). A solução geral de (171) é

ξ` = α

(λ− 2

λ− 1

)`+ (λ− 1)a, (172)

que em termos de χ` tem a forma

χ` = N

(λ− 2

λ− 1k0

)λ−1

exp

(α

(λ− 2

λ− 1

)`)(173)

3. Passeios aleatórios

Exercícios - entrega 28/10/2019

(1) As potências da matriz de adjacência (ver seção 2 do capítulo 1)podem ser usadas para determinar a distância entre dois vérticesquaisquer de um grafo conexo. Definindo o “custo” computacionalcomo o número de multiplicações de variáveis reais, a multiplicaçãousual de uma matriz n× n envolve n3 multiplicações. Na pior dashipóteses (distância n − 1), a determinação da distância atravésdas potências de A deve envolver n4 multiplicações. Isto significaque ao dobrarmos o tamanho do grafo, o custo necessário para sedeterminar a distância, no pior dos casos, é multiplicado por 16.Proponha um algoritmo que não use multiplicações matriciais parase determinar a distância entre dois vértices quaisquer de um grafo.Seu algoritmo não deve ser pior do que a multiplicação matricial.Compare-o com o algoritmo do NetworkX. Como você pode avaliaro custo do algoritmo utilizado pelo NetworkX?

(2) Proponha um algoritmo que determine o(s) caminho(s) que rea-liza(m) a distância entre dois vértices quaisquer de um grafo conexo.Discuta sua complexidade (custo computacional, pela definição doitem anterior).

(3) Utilizando o algoritmo que preferir (pode ser o do NetworkX), cons-trua a distribuição de distâncias como a da Fig. 2 do Capítulo 2para grafos de Erdős-Rényi e de Barabasi-Albert. Nos dois casos,siga o roteiro abaixo.(a) Gere o grafo utilizando a função correspondente do NetworkX.

Utilize n (número de vértices) da ordem de 1.000.(b) Escolha aleatoriamente 2 vértices e determine sua distância.(c) Repita o passo anterior e construa um histograma de distân-

cias. Apresente o resultado num gráfico e compare com a Fig.2 do Capítulo 2. (n/10 iterações deve ser suficiente para termosalgum resultado minimamente significativo estaticamente.)

49