introdução - ifcprofessor.luzerna.ifc.edu.br/rafael-oliveira/wp-content/...de forma geral, os...

Capítulo 1

Introdução

A área de controle de processos industriais teve um grande desenvolvimento nos últimos 100anos e hoje em dia os sistemas automáticos de controle estão presentes em quase todas as máquinase equipamentos utilizados pelo homem, inclusive na vida doméstica. Este desenvolvimento somentefoi possível graças à utilização de ferramentas matemáticas de modelagem, análise e projeto desistemas de controle. Dentro desta área, a teoria de sistemas lineares teve e ainda tem um papelfundamental, pois uma grande quantidade de problemas reais podem ser analisados e resolvidoscom a sua utilização.

Duas perguntas podem ajudar a esclarecer estas idéias:

a) O que é, como funciona, e para que serve um sistema de controle?

b) Qual a relação entre estes problemas e a teoria de sistemas?

Analisaremos as respostas utilizando um exemplo: Suponhamos un sistema de armazenamentode grãos onde deve-se manter constante a temperatura do ar dentro do silo. O primeiro a fazer édotar o silo de um sistema de aquecimento-esfriamento e de um sistema de medição de temperatura.Após instalado o sistema de atuação e medição, a planta é colocada para funcionar simplesmentecom uma regulagem manual da entrada de calor-frio até atingir o ponto de equilíbrio de temperaturaT0 desejado. Mas quem assegura que isto se manterá ao longo do tempo? Se a temperatura ambientevariar, o sistema não vai manter as condições ideais, pois não existe nenhum dispositivo que aviseao gerador de calor-frio que a situação mudou. A solução mais simples consiste em colocar umoperador para atuar no sistema de aquecimento-esfriamento para corrigir as possíveis variações deT . Este procedimento denomina-se controle manual e mostra-se na figura 1.1.

É claro que neste sistema de controle o termo manual significa que a operação de controle érealizada no cérebro do operador, que possui o conhecimento da dinâmica do sistema, compara osvalores medidos com os necessários e atua seguindo a diferença.

Uma forma mais interessante de realizar esta operação é mediante um mecanismo ou sistemaautomático capaz de substituir o operador. Este sistema é chamado de controlador automático,ou simplesmente controlador. Este controlador possui uma lei de atuação interna que lhe permite

1

2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

T

SILO

Operador Aquecedor

Termometro

Figura 1.1: Controle manual de temperatura dentro do silo.

ajustar os valores de potência de aquecimento-esfriamento de acordo com a variação de T , comomostra-se na figura 1.2.

automatico

SILO

Aquecedor

Termometro

T

sistema de

controle

Figura 1.2: Controle automático de temperatura do silo.

De forma geral, os resultados deste exemplo podem extender-se a todos os sistemas de controle,que compõem-se de três elementos básicos: MEDIÇÃO, CONTROLE e ATUAÇÃO, como pode servisto no esquema da figura 1.3.

CONTROLE

ATUADOR SISTEMA MEDIDOR

Figura 1.3: Esquema geral do controle automático de processos.

Os problemas relativos à medição e atuação serão estudados em outras disciplinas específicas.Neste curso, o objetivo é aprender como definir e implementar a lei de controle que mantém osistema operando como desejado.

Para poder projetar adequadamente o controle, devemos conhecer as características dos sistemas

1.1. DEFINIÇÕES BÁSICAS 3

envolvidos: atuadores, processo e medidores. Para poder analisar o seu comportamento sem neces-sidade de operar o próprio sistema, devemos gerar modelos que representem adequadamente estecomportamento. Estes modelos matemáticos permitirão, através da teoria de sistemas, definir leisde controle específicas para cada aplicação.

Pode-se dizer que em geral a análise de um sistema divide-se em três etapas básicas:

• Desenvolvimento de um modelo matemático para o sistema físico e montagem das equaçõescorrespondentes;

• Obtenção da solução das equações;

• Interpretação dos resultados em termos do sistema real.

Assim, nesta disciplina estudaremos os elementos básicos da teoria de sistemas de controle, quedizem respeito à análise dos sistemas e seus sinais. Todos os resultados que estudaremos serão abase para as disciplinas seguintes.

1.1 Definições Básicas

Definição 1 Sinal é uma descrição quantitativa de um determinado fenômeno, associado a umdado meio.

Exemplos de sinais são os sinais sonoros, elétricos, visuais, etc...

Definição 2 Sistema é uma parte do meio que cria sinais próprios e que permite que ele se relacionecom o restante do meio ambiente.

Exemplos de sistemas são os circuitos elétricos (associados a sinais elétricos), hidráulicos, mecâni-cos, etc...

Definição 3 Entradas e Saídas de um Sistema. Os sinais que relacionam ou comunicam o sistemacom o meio são os sinais de entrada e sinais de saída. O meio atua sobre o sistema através dossinais de entrada e o sistema atua sobre o meio através dos sinais de saída.

A figura 1.4 mostra esta relação.

É claro que em geral não existe uma relação única entre entrada e saída. Quando a relaçãoé única, isto é, para cada entrada a saída é determinada de forma única, diz-se que o sistema éSistema Entrada-Saída Mapeado (sesm, pois existe um mapeamento entre a entrada e a saída e omapa é chamado mapa do sistema.

4 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO

SaidaEntradaSistema

Figura 1.4: Sinais de entrada e saída.

Esta não é a única maneira de representar sistemas, porém é a mais utilizada na maioria dasaplicações. Uma outra forma de representar um sistema é através de sua descrição de estados. Estaforma será analisada no capítulo 5.

1.2 Sinais Contínuos e Discretos

Na maioria dos sistemas que são estudados em sistemas de controle e automação industrial, otempo é uma variável importante, e os sinais relacionados com este são funções do tempo. Estasfunções do tempo podem ser discretas ou contínuas, isto é, podem estar definidas para um númerocontável de pontos no eixo dos tempos ou para intervalos com infinitos pontos.

Exemplo: O índice da bolsa do RJ (média dos índices de cotação das diferentes ações da bolsa)é um sinal discreto. Para cada dia tem-se um índice.

I(k) = {8.3, 7.2, 5.0, . . .}

Exemplo: Temperatura de um forno medida com termopar.

Para cada instante t ε [0,∞) tem-se um dado valor de temperatura.

Os sistemas associados a sinais discretos são chamados de Sistemas Discretos e os associadosa sinais contínuos de Sistemas Contínuos. As características particulares destas duas classes desistemas são apresentadas no próximo capítulo.

Capítulo 2

Estudo de Sinais

Na maioria das aplicações de controle e automação industrial o estudo do comportamento de sis-temas é realizado considerando a evolução no tempo dos sinais associados ao sistema. Assim, ossinais passam a ser representados como funções do tempo e tabelados ou plotados para a sua poste-rior análise. Em alguns casos, também pode interessar o estudo de sinais no domínio da freqüência,como por exemplo nas aplicações de engenharia elétrica. Neste capítulo formalizaremos as idéiasassociadas à representação de sinais e estudaremos algumas das suas propriedades.

2.1 Sinais e funções

Ao considerar que o sinal pode ser representado por uma função é possível utilizar os conceitos dedomínio e imagem. Para sinais reais o domínio do sinal será um subconjunto T do eixo real queserá chamado de eixo do sinal (T ). Já o conjunto de valores que o sinal pode assumir será chamadode imagem do sinal (A). A figura 2.1 mostra este tipo de representação.

Imagem (A)

Sinal XX: T--> A

X

Eixo (T)

Figura 2.1: Representação do sinal.

Definição 4 Seja A um conjunto e T um subconjunto do eixo real R. Logo toda função x : T → Aé chamada de sinal com eixo de sinal T e imagem A.

5

6 CAPÍTULO 2. ESTUDO DE SINAIS

2.1.1 Exemplos

Exemplo 1

Sinal elétrico: A tensão num capacitor C de um dado circuito RC definido a partir de um dadotempo t0. Assim T = [t0,∞) e A =

2.2. SINAIS NO DOMÍNIO DO TEMPO 7

Exemplos:

(a) Sinal real discreto. Temperatura dos dias 1 ao 10 do mês de julho às 18:00 horas na cidade deFpolis.

13

T: Z --> R

15

T(Celsius)

1 2 3 10

tempo(dias)

Figura 2.2: Representação do sinal de temperatura.

(b) Sinal complexo contínuo. A função:

x(t) = ej2πt = cos 2πt+ j sin 2πt t ε T com x : [0, 1] → C

Seqüências no tempo

Quando estudam-se os sinais no tempo, o ordenamento dos valores das imagens utilizando temposcrescentes é muito importante para a interpretação dos resultados. No caso de sinais discretos esteordenamento gera o que se denomina de uma seqüência no tempo.

Suponhamos um sinal discreto x : T → A onde:

T = {t0, t1, t2, . . .} t0 < t1 < t2 < . . .

Ordenaremos sempre os valores do sinal x(t) como

x(t0), x(t1), x(t2), . . . x(ti) ε A ∀ i ε Z+

de forma seqüencial, isto é, formando uma seqüência.

Assim um sinal discreto pode ser visto como uma seqüência de valores dentro do conjuntoimagem A do sinal. Também é possível relacionar o eixo dos tempos T com os números inteirospositivos e escrever a seqüência como:

x(0), x(1), x(2), . . .

Esta forma de representar os sinais discretos simplifica a análise e, a partir de agora, nestaapostila, sempre usaremos o conjunto Z+ como eixo de tempos dos sinais discretos a menos que seexplicite o contrário.


Dentro do conjunto de sinais discretos podemos encontrar dois subconjuntos: o formado pelossinais eminentemente discretos (aqueles que fisicamente existem somente nos valores discretos de T )e aqueles gerados por amostragem a partir de sinais que existem para um eixo de tempos contínuo.

Sinais Amostrados

Muitas vezes na prática, sobretudo nos sistemas de controle, trabalha-se com combinação de sinaise/ou sistemas contínuos e discretos. Então, para poder analisar matematicamente estas combi-nações, faz-se necessário amostrar os sinais contínuos de forma tal a construir seqüências que osrepresentem. Este processo é realizado colhendo amostras do sinal contínuo em determinados in-stantes.

O sinal obtido é dito sinal amostrado. Em geral, este processo é feito usando um intervaloconstante T entre amostras. Este valor é chamado de período de amostragem e sua inversa 1T ,freqüência de amostragem. O procedimento de amostragem se mostra na figura 2.3.

X(t)

tempo

x(n)

x(0) x(1) x(2)x(3)

x(4) x(5)

Amostragem do sinal X(t)X(t)

t0 t1 t2 t3 t4 t5

Figura 2.3: Amostragem de um sinal.

Quando o processo de amostragem é feito para obter uma representação discreta de um sinalcontínuo, deve-se considerar a quantidade de informação do sinal que é “perdida” nesse processo.De forma intuitiva, pode-se afirmar que quanto mais próximas no tempo sejam as amostras, umaquantidade menor de informação será perdida. Porém na prática, devido ao ruído e à velocidadede processamento disponível, o valor de T não pode ser muito pequeno. Estes problemas serãodiscutidos ao longo desta apostila com maiores detalhes.

A importância da amostragem é ilustrada a seguir, num exemplo de controle digital de umprocesso contínuo. Imaginemos que para controlar um dado processo é necessário implementar umasérie de cálculos matemáticos complexos em pouco tempo. Para realizar estes cálculos utiliza-se umcomputador digital. Assim, a saída do processo é lida, convertida em sinal discreto e enviada parao computador. Este faz os cálculos e envia um outro sinal discreto, posteriormente convertido emcontínuo, para ser aplicado ao processo como mostrado na figura 2.4.


Referencia

Atuador Processo Medidor

Filtro D/AComputador

Digital

u(t) y(t) m(t)

Amostragem

m(kt)u(kt)

u(t)

Figura 2.4: Diagrama de controle discreto de um processo contínuo.

A figura 2.5 mostra um exemplo prático da aplicação desta estrutura ao controle de nível de umtanque.

h(t)

h

Atuador

Eletromecanico

Computador

Digital

Filtro

H

Medidor de nivel

f1

f2

Amostragem

Referencia de nivel

T

Sinal eletricocontinuo

Figura 2.5: Controle por computador do nível do tanque.

Sinais particulares

Nesta seção estudaremos alguns sinais particulares que são úteis na teoria de sinais e sistemas.

(a) Pulso unitário: É a seqüência ∆ definida por:

∆(n) =

{1 para n = 00 para n 6= 0

onde n ε T e T pode ser qualquer eixo de tempos discreto. O sinal ∆, mostrado na figura 2.6, é aunidade de representação de todos os sinais discretos já que quaisquer sinal pode ser representadocomo uma soma de pulsos de diferentes amplitudes em diferentes instantes de tempo.

(b) Pulsos retangular e triangular: Sinais contínuos definidos como:

rect(t) =

{1 −1/2 ≤ t ≤ 1/2 t ε <0 ∀ t 6∈ [−1/2, 1/2]


0-1 0 1 2 n

pulso unitario

1

Figura 2.6: Sinal pulso unitário.

trian(t) =

{1− | t | ∀ | t |< 1 t ε <0 ∀ | t |≥ 1

tempo tempo

traingulorectangulo

1

0 0

1

0 1 1/2 - 1-1/2

Figura 2.7: Sinais pulso retangular e triangular.

(c) Degrau unitário e Rampa unitária: Estes sinais, mostrados na figura 2.8, existem para tempocontínuo ou discreto. Assim como os sinais pulso da figura 2.7, estes sinais representam bem algunsfenômenos práticos como as operações liga-desliga de equipamentos e as variações lentas de algumasgrandezas físicas como por exemplo a temperatura.

1(t) =

{0 ∀ t < 01 ∀ t ≥ 0

ramp(t) =

{0 t < 0t t ≥ 0

T pode ser qualquer dos eixos dos tempos infinitos Z,


Sinais Periódicos

Em muitas aplicações reais os sistemas trabalham com excitações do tipo periódica. Um exem-plo de sinais periódicos são os sinais senoidais utilizados para transmissão de energia elétrica. Aperiodicidade pode ser definida de forma geral como segue.

Definição 6

a) Um sinal x : T → A com T = Z ou R é dito periódico se existe P ε T, P > 0 tal que:

x(t+ P ) = x(t) ∀ t ε T

b) O período do sinal periódico é o real P se ele é o menor número positivo tal que:

x(t+ P ) = x(t) ∀ t ε T

Observação: a parte (b) da definição 6 permite definir o período de forma única, dado que x(t+qP ) =x(t) sempre que q ε Z+.

Exemplo: O sinal da figura 2.9 é um sinal periódico definido no domínio do tempo.

x(t)

tP

1

Figura 2.9: Sinal periódico.

Sinais Harmônicos

Os sinais harmônicos são outro conjunto de sinais importantes nas aplicações de engenharia poispermitem descrever matematicamente uma serie de fenômenos físicos bastante comuns.

Este tipo de sinal pode ser contínuo ou discreto e é definido por uma função complexa ηf :

ηf = aej2πft


, onde a é um complexo que representa a amplitude do sinal, f é a freqüência do sinal e é real(f ε R) e o tempo t pode ser inteiro ou real. Geralmente define-se ω = 2πf como a freqüênciaangular do sinal harmônico.

Considerando que a = αejΦ, tem-se:

ηf = αej(2πft+Φ) = α [cos(2πft+ Φ) + j sin(2πft+ Φ)]

e

c(t) = Re (ηf ) = α cos(2πft+ Φ)

Onde c(t) é chamado de sinal harmônico real com freqüência f , amplitude α e fase Φ e ocomplexo a = αejΦ é chamado fasor do sinal harmônico real c(t).

Como se observa da definição do sinal harmônico, ele pode ser considerado tanto um sinal nodomínio do tempo como no domínio da freqüência. A periodicidade destes sinais é analisada aseguir.

Para analisar a periodicidade do sinal harmônico contínuo no domínio do tempo utiliza-se adefinição:

ej2πft = ej2πf(t+P ) = ej2πftej2πfP

, que vale para todo P múltiplo de 1/f . Desta forma ηf definido no eixo de tempos real R comf 6= 0 é periódico de período P =

∣∣∣ 1f ∣∣∣ independente do valor de f . No caso particular de f = 0, osinal ηf é igual a 1 e portanto também obtém-se um sinal periódico.

Para o caso discreto, esta propriedade nem sempre é válida. Se repetirmos o procedimentoanterior com n inteiro:

ej2πfn = ej2πf(n+P ) = ej2πfnej2πfP

Para que esta igualdade seja válida, Pf deve ser inteiro. Como P também deve ser inteiro, acondição de periodicidade não é válida para todas as freqüências, mas apenas para as freqüênciasinteiras.

No caso de sinais amostrados, estas propriedades dependem da escolha de T , já que para obterum sinal periódico, é necessário uma relação de multiplicidade entre a freqüência do sinal harmônicocontínuo e o período de amostragem.

Se consideramos um sinal amostrado com período de amostragem T , o sinal ηf definido em Z(T )é periódico SSE f é um múltiplo racional de 1/T . Além disso, se |f | = p/qT com p ε Z e q ε Zcoprimos, o sinal harmônico terá período qT .


Para demonstrar esta propriedade utiliza-se novamente a condição:

ηf (t) = ηf (t+ P ) ⇒ ej2πf(t+P ) = ej2πftej2πfP

Para ej2πfP = 1 ⇒ |fP | = p ε Z

Mas como o sinal é discreto no eixo Z(T ), o período deve ser múltiplo inteiro de T ⇒ P = qT

Logo, |fqT | = p⇒ |f | = pq1T

para obter o menor múltiplo racional de T é necessário escolher p coprimo de q.

Vejamos agora como estudar estes sinais no domínio da freqüência.

2.2.2 Sinais no domínio da freqüência

Os sinais harmônicos podem ser analisados como funções da freqüência f . Nesta situação, aspropriedades com relação à periodicidade do sinal harmônico contínuo e discreto são diferentes dasanalisadas para o domínio do tempo.

Consideremos inicialmente um sinal harmônico contínuo.

ej2π(f+P )t = ej2πftej2πPt = ej2πft

Para que a relação anterior seja verdadeira, Pt deveria ser inteiro. Assim, para P real e t realesta relação não será necessariamente válida.

Por outro lado, se o tempo for discreto a propriedade será válida e o período será a inversa doperíodo de amostragem.

Dois sinais harmônicos no eixo Z(T ) ηf e ηf+ kT

são idênticos para todo k ε Z, já que:

ηf+ kT(t) = ej2π(f+

kT )t = ej2πftej

2πkT

t = ej2πft

pois ktT é inteiro ∀ t ε Z(T ) e ej2πn = 1 ∀ n ε Z

Logo para estudar estes tipos de sinais basta considerar a freqüência no intervalo [0, 1/T ) ou[−1/2T, 1/2T ).

Esta propriedade mostra que, se as amostras forem adequadamente escolhidas, dois sinais har-mônicos contínuos de freqüência diferentes podem ser transformados num mesmo sinal discreto peloprocesso de amostragem. Um exemplo deste procedimento está mostrado na figura 2.10.


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

frequência 1/4

frequência 5/4

Figura 2.10: Amostragem de um sinal harmônico.

2.3 Operações elementares com e entre sinais

Neste ítem estudaremos operações que modificam sinais. As operações unitárias envolvem trans-formações de um único sinal. As binárias envolvem dois sinais. Estudaremos as operações unitárias:transformação de domínio e imagem, amostragem e interpolação; e as binárias: adição, subtração,multiplicação e divisão.

2.3.1 Transformação de Imagem

A transformação de imagem de um sinal pode ser definida como segue.

Definição 7 Seja x(t) : T → A e o mapa ρ : A → A′. Logo o sinal x ε A é transformado emx′ ε A′ definido por:

x′(t) = ρ (x(t)) t ε T

Esta é uma composição pela esquerda:

x′ = ρ ◦ x

Exemplo: Imaginemos um sinal de atuação numa válvula eletromecânica. A saída da válvula estárestrita ao intervalo [0, 1] o que implica que a imagem do sinal somente será positiva. Considerandopor exemplo o sinal x(t) = sinωt, a saída é um sinal retificado como o mostrado na figura 2.11.

2.3. OPERAÇÕES ELEMENTARES COM E ENTRE SINAIS 15

0 0.5 1 1.5 2 2.5−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

saída

entrada

Figura 2.11: Sinal senoidal aplicado a uma válvula.

Uma transformação de imagem de sinal muito importante é a denominada Quantização queestá presente em todo equipamento digital, dado que estes somente podem trabalhar com sinais deimagem finita.

Definição 8 Quantização. Toda transformação ρ : A → A′ tal que A′ é um conjunto finito, échamado de quantização.

Exemplo: Quantização uniforme.

Suponha ρ : R→ A′ = N(H) = {(0,H, 2H, . . . , (N − 1)H})

onde:

ρ(x) =

0 ∀x < 0H.inteiro

(xH

)para 0 ≤ x < (N − 1)H

(N − 1)H ∀ x ≥ (N − 1)H

onde a função inteiro(x) calcula o inteiro menor ou igual mais próximo de x, N ε N e H > 0 é ointervalo de quantização.

2.3.2 Transformação do domínio de um sinal

A transformação do domínio de um sinal pode ser definida como segue:

Definição 9 Seja A a imagem de um sinal e T o domínio. Seja σ : T → T ′ um mapa bijetivo e T ′


um outro domínio. Então a transformação do domínio do sinal x : T → A através de σ resulta nosinal x′ : T ′ → A dado por:

x′(t) = x(σ−1(t)

)∀ t ε T ′

Esta transformação é uma composição de mapas pela direita:

x′ = x ◦ σ−1

Um diagrama desta transformação pode ser visto na figura 2.12.

A

T

T’ x’

x

σ σ−1

Figura 2.12: Transformação de domínio.

Um exemplo muito importante de transformação de domínio é o modelo que representa umatraso de transporte. Na prática existem muitos sistemas onde os sinais devem propagar-se pelomeio. Nestes sistemas, como por exemplo no transporte de água quente por um tubo termicamenteisolado, o sinal de saída (no exemplo a temperatura de saída) pode ser considerado como o sinal deentrada atrasado no tempo (a temperatura de entrada um certo tempo depois). Assim, a operaçãode translação no tempo pode representar bem este fenômeno real.

Exemplo: Translação no tempo.

Considera-se a operação:σ2(t) = t+ θ t ε T

σ−12 (t) = t− θ t ε T′

onde θ ε R é uma constante. Se aplicamos esta transformação ao sinal x(t), obtemos o sinal atrasadox′(t) dado por:

x′(t) = x(t− θ) t ε T ′

Dois exemplos muito importantes de transformação de domínio de sinais são a amostragem e ainterpolação, que permitem a interconexão de sistemas discretos e contínuos.

Amostragem e interpolação de sinais


Definição 10 Seja A a imagem de um sinal, Tcont o eixo contínuo desse sinal e Tdisc ⊂ Tcon umeixo discreto. Assim amostragem do sinal contínuo x : Tcont → A no eixo discreto Tdisc, resulta nosinal amostrado x∗ : Tdisc → A definido por:

x∗(t) = x(t) ∀ t ε Tdisc

O sistema que faz esta operação é chamado de amostrador e a sua representação mostra-se nafigura 2.13.

x*x

Figura 2.13: Amostrador.

Já mencionamos a utilidade do amostrador quando deseja-se utilizar um sistema digital (por ex.computador), conectado a um sistema contínuo (por ex. forno), para realizar uma dada tarefa.

Também foi colocado que neste procedimento é necessário transformar, de maneira inversa,o sinal discreto x∗ resultante do computador, num sinal contínuo x a aplicar no processo. Estaoperação pode ser realizada com a interpolação dos valores do sinal x∗.

Existem outras metodologias para se fazer isto, porém uma das mais utilizadas na prática é ainterpolação por degraus, também conhecida como “sustentador de ordem zero”. Neste caso o valordo sinal contínuo é mantido constante e igual ao valor discreto x∗(T ) durante o intervalo (T, T +1).Desta forma sempre x∗ = x ∀ T ε Z(T ) como mostra-se na figura 2.14.

sinal

T 2T 3T

tempo

Figura 2.14: Interpolação por degraus.

Definição 11 Interpolação

Supõe-se a imagem do sinal A, Tdisc o eixo discreto e Tcont ⊃ Tdisc o eixo contínuo do tempo.Seja x∗ : Tdisc → A um sinal discreto. Então todo sinal contínuo x : Tcont → A é chamado umainterpolação de x∗ em Tcont se:

x(t) = x∗(t) ∀ t ε Tdisc

Outro tipo de interpolação bastante usado é o chamado de interpolador linear, onde x é obtidounindo os valores de x∗ para cada tempo de Tdisc, como mostra-se na figura 2.15.


sinal

T 2T 3T

tempo

Figura 2.15: Interpolação por rampas.

De forma geral, o sinal x(t) pode ser calculado utilizando funções de interpolação. Nesse caso,a expressão geral para o sinal interpolado é:

x(t) =∑nεZ

x∗(nT )i(t− nTT

)t ε R

onde i(·) é a função de interpolação.

Para o caso do degrau vale:

iDEG =

{1 0 ≤ t < 10 para outro t

Assim para 0 ≤ t < T

x(t) = x∗(0) i(t

T

)︸︷︷︸

1

+x∗(T ) i(t− TT

)︸︷︷︸

0

+x∗(2T ) i(t− 2TT

)︸︷︷︸

0

+ · · ·

x(t) = x∗(0)

para T ≤ t < 2T

x(t) = x∗(0) i(t

T

)︸︷︷︸

0

+x∗(T ) i(t− TT

)︸︷︷︸

1

+x∗(2T ) i(t− 2TT

)︸︷︷︸

0

+ · · ·

logo se x(t) = x∗(T ) ∀ T ≤ t < 2T

E assim sucessivamente:

x(t) = x∗(nT ) ∀ nT ≤ t < (n+ 1)T n ε Z+


Importante: Apesar da amostragem e interpolação serem operações que visam objetivos opostos,elas não são transformações inversas.

Se um sinal discreto é passado através de um interpolador de degraus e sua saída amostrada, osinal obtido é exatamente o sinal original. Porém o mesmo não acontece com o procedimento inverso.Assim amostragem é operação inversa da interpolação, mas interpolação não é da amostragem. Afigura 2.16 ilustra esta situação.

Amostrador

InterpoladorAmostrador

Interpolador

Figura 2.16: Amostragem e interpolação.

Exemplo: Conversores A/D e D/A

No processo de transformação do sinal contínuo para um sinal possível de se ingressar numcomputador, é necessário realizar duas das operações estudadas. Primeiro o sinal deve ser amostradoe logo quantizado para mantê-lo dentro dos limites do computador. Esta operação é chamada deconversão analógica-digital(A/D).

A operação inversa (D/A), conversão digital-analógica, é composta pela interpolação e a pas-sagem do sinal quantizado para o sinal real. Quando é usado o interpolador por degraus, a operaçãoé chamada de “sustentador de ordem zero” e é a mais utilizada na prática. O estudo detalhado destasoperações se realiza no capítulo 7.

2.3.3 Operações Binárias Ponto a Ponto

Para finalizar o estudo de operações com sinais estudaremos aqui as operações binárias básicas entredois sinais.

Definição 12 Operações Binárias

Sejam x e y são sinais complexos com eixo dos tempos T . Sua soma x + y e diferença x − y sãoainda sinais complexos no eixo T dadas por:

(x+ y)(t) = x(t) + y(t) t ε T

(x− y)(t) = x(t)− y(t) t ε T

o produto xy é o sinal complexo:


(xy)(t) = x(t)y(t) t ε T

e se y(t) 6= 0 define-se a divisão ou quociente :

(x/y)(t) = x(t)/y(t) t ε T

Estas operações são ponto a ponto pois dependem unicamente do valor dos sinais no instante tda operação.

2.4 Amplitude, energia e ação de sinais.

Em muitas aplicações é necessário ter uma medida do tamanho de um sinal. A norma permiterealizar esta medida. A norma ‖ x ‖ de um elemento x de um espaço linear X, é um número realnão negativo e que vale zero SSE o vetor é o vetor nulo do espaço X. Além disto a norma verifica:

(a) ‖ ax ‖ = | a | ‖ x ‖ ∀ a escalar

(b) ‖ x+ y ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ y ‖ ∀ x, y ε X

Para um vetor a norma define-se como segue. Seja p um número real e 1 ≤ p ≤ ∞, xεXx = (x1, x2, . . . , xN ). A norma p do vetor x é definida como:

‖ x ‖p=

(∑N

i=1 | xi |p)1/p

para 1 ≤ p

2.5. SINAIS GENERALIZADOS 21

, onde sup(·) indica superior e é o menor número real α tq | x |≤ α se existe. (se não é infinito)

Em geral:

‖ x ‖∞ dá a amplitude máxima do sinal.

‖ x ‖2 dá a energia do sinal. (sentido físico)

‖ x ‖1 dá a ação do sinal.

2.5 Sinais Generalizados

Os sinais normalmente encontrados na prática são funções reais ou complexas de uma variável real.Estes são sinais regulares. Existem outro tipo de sinais que não são funções (estritamente falando),porém são de grande utilidade na teoria de sinais e sistemas. Estes são chamados de sinais singulares.O conjunto de todos os sinais passa a chamar-se então sinais generalizados. O sinal singular queestudaremos (pela grande utilidade) é o sinal “Delta de Dirac”, normalmente definido por δ(t)

2.5.1 Necessidade da função δ(t)

Suponhamos um circuito de carga de um capacitor idealizado como o da figura 2.17.

iCV

vc

Figura 2.17: Circuito RC ideal.

A resistência do circuito é suposta nula e supõe-se que i = 0 antes de fechar a chave. ComoR = 0 a carga do capacitor é instantânea quando a chave se fecha. Após o fechamento, a tensão nocapacitor igualou à da bateria e a corrente volta a ser nula (i = 0). Realmente como R 6= 0 aconteceuma curva de carga como a figura 2.18.

Se fazemos R→ 0 então o pico da corrente tende a ∞ e o ∆t→ 0 de forma que a corrente podeser descrita por:

i(t) =

{∞ t = 00 t 6= 0


Porém nessas condições se consideramos i(t) como função:

a) i(t) não é uma função, pois i(0) = ∞

b) como i(t) = 0 ∀ t 6= 0∫∞−∞ i(t)dt = 0

mas isto não é verdade, pois ao carregar-se, o capacitor com carga Q = CV vale:

∫ ∞−∞

i(t)dt = Q = CV 6= 0

Assim para incluir este fenômeno na formalização de nossa teoria, definimos a função δ(t) como:

{δ(t) = 0 ∀ t 6= 0∫∞−∞ δ(t) = 1

que permite formalizar o resultado do circuito ideal.

vc

i

Figura 2.18: Tensão e corrente no circuito RC ideal.

Exemplo: Um exemplo mecânico da aplicação de δ(t) é o de uma raquete batendo uma bola detênis. O impacto é de curtíssima duração e muito grande, porém de potência finita:

P =∫ ∞−∞

F (t)dt

onde F (t) é a força aplicada. A função F (t) pode ser aproximada por:

F (t) = Pδ(t) T ε


Exemplo: Aproximação da função δ(t).

Consideramos o circuito da figura 2.19.

R

CV

vci

Figura 2.19: Circuito RC real.

Calculando a corrente i(t) temos:

V = Ri+ vc = Ri+ 1/C∫ t0i(τ)dτ

V = Rdq

dt+

1Cq(t) q(t) : carga

Equação de primeira ordem com solução (para q(0) = 0)

q(t) = V C(1− e−t/RC) t ≥ 0

Como

i(t) =dq

dt→ i(t) = − 1

RCV C(−e−t/RC) = V

Re−t/RC

Logo:

i(t) =

{0 ∀ t < 0VRe

−t/RC t ≥ 0

Observa-se, ver figura 2.20 que quando R→ 0 o valor de i(0) tende a ∞ e o tempo de queda dei(t) tende a zero.

limR→0

i(t)

{0 ∀ t 6= 0∞ para t = 0

porém sempre∫∞−∞ i(t)dt = CV que é a carga do capacitor em regime permanente. Desta forma

a função exponencial estudada pode servir como uma aproximação de δ(t).


t

i(t)

V/R

Figura 2.20: Resposta do circuito RC real.

Definição 13 Função Delta A função δ(t) é uma função singular tal que:

∫ ∞−∞

φ(t)δ(t) = φ(0) t ε <

para toda função φ(t) contínua em t = 0

2.5.2 Propriedades da função delta ou funções singulares

Dentre as propriedades das funções singulares, existem duas que são muito importantes na teoriade sistemas:

• Multiplicação por uma função

∫ ∞−∞

(f(t)δ(t))φ(t)dt =∫ ∞−∞

δ(t) (f(t)φ(t)) dt = f(0)φ(0)

onde as funções f(t) e φ(t) são contínuas em t = 0. Assim:

f(t)δ(t) = f(0)δ(t) t ε <

• DiferenciaçãoPara uma função regular temos:

∫ ∞−∞

df

dtφdt = fφ |∞−∞︸︷︷︸

0

−∫ ∞−∞

fdφ

dtdt = −

∫ ∞−∞

fdφ

dtdt

se a integral existe e f(∞)φ(∞) = f(−∞)φ(∞) = 0.No caso de função δ(t) isto é sempre válido e a integral

−∫ ∞−∞

δ(t)dφ

dtdt = −dφ

dt(0)


Pode-se definir então a derivada de δ(t) como:

∫ ∞−∞

δ(1)(t)φ(t)dt = −φ(1)(0)

para todo φ(t) contínua e diferenciável em t = 0. O resultado é válido para as outras derivadas.

2.5.3 Relação entre a função δ(t) e o degrau unitário

Uma forma de estudar a função delta é considerá-la como a derivada da função degrau unitário dafigura 2.21. É claro que no sentido normal a função degrau não tem derivada em t = 0. (nota-seque a derivada é nula para todo t 6= 0 e é ∞ em t = 0.)

1

1(t)

t0

Figura 2.21: Degrau unitário.

Supondo que ela existisse, pode-se calcular para φ(t) regular.∫ ∞−∞

d1(t)dt

φ(t)dt = 1(t)φ(t) |∞−∞ −∫ ∞−∞

1(t)dφ(t)dt

dt =

φ(∞)−∫ ∞0

dφ(t)dt

dt = φ(∞)− φ(∞) + φ(0) = φ(0)

mas φ(0) =∫∞−∞ δ(t)φ(t)dt

Desta forma pode-se colocar que δ(t) = d1(t)dt

Com esta generalização das derivadas de funções não diferenciáveis na forma regular, pode-setrabalhar mais facilmente em muitas aplicações de engenharia.

Exemplo: Qual será a força que deve-se aplicar a uma massa m para que ela descreva um movimentotal que seu deslocamento x(t) seja:

x(t) =

{0 t < 0t t ≥ 0

Observa-se que a velocidade é:


v(t) =dx(t)dt

=

{0 t < 01 t ≥ 0

Logo v(t) = 1(t) e a(t) = dv(t)dt = δ(t).

Como ma(t) = F (t) ⇒ F (t) = mδ(t) (Força impulsiva)

2.5.4 Aproximações da função delta

Quando deseja-se implementar algum sistema real para alguma aplicação da teoria de sinais esistemas, pode ser necessário utilizar a função δ(t). Como ela não é uma função regular deve-seaproximá-la por alguma. Existem várias aproximações feitas com seqüências ou sinais contínuos:

a) Pulso de altura n (ver figura 2.22).

dn(t) =

{n para −12n ≤ t ≤

12n

0 em outro caso t ε <

1/2n t

rectangulo

n

-1/2n

Figura 2.22: Aproximação retangular de delta.


b) Triângulo de altura n (ver figura 2.23).

dn(t) = n trian(nt) =

n(nt+ 1) −1 ≤ nt < 0n(−nt+ 1) 0 ≤ nt < 10 em outro caso

triangulo

t

n

-1/n 1/n

Figura 2.23: Aproximação triangular de delta.

Capítulo 3

Estudo de Sistemas

3.1 Importância do Estudo de Sistemas

O estudo da teoria de sinais e sistemas é de fundamental importância para a formação do engenheirode controle e automação industrial. Isto pois, para a resolução de problemas práticos nestas áreas,é necessário realizar previamente uma análise teórica baseada num modelo matemático do sistemaa estudar.

Pode-se dizer que em geral a análise de um sistema divide-se em três etapas básicas:

• Desenvolvimento de um modelo matemático para o sistema físico e montagem das equaçõescorrespondentes;

• Obtenção da solução das equações;

• Interpretação dos resultados em termos do sistema real.

A pergunta que se coloca de imediato é: Por que o estudo de sistemas lineares? Os sistemasreais são lineares?

A maioria dos sistemas reais são não lineares e seu comportamento não pode ser descrito porum sistema linear de forma global. Porém, a teoria de sistemas lineares é muito importante dadoque:

a) Praticamente todos os sistemas físicos podem ser modelados (pelo menos localmente e sob de-terminadas condições), por sistemas lineares.

b) Existe uma teoria que permite analisar e resolver problemas de sistemas lineares de formauniversal. O mesmo não acontece com sistemas não lineares, que devem ser estudados caso acaso.

Assim, como na maioria das aplicações os sistemas trabalham nas vizinhanças de um equilíbrio,o comportamento do sistema se aproxima por um sistema linear.

29

30 CAPÍTULO 3. ESTUDO DE SISTEMAS

Neste curso, estudaremos as três etapas básicas da análise de um sistema linear mantendo sempreuma característica multidisciplinar nas aplicações. Isto é, trabalharemos com sistemas químicos,hidráulicos, térmicos, econômicos, etc... Desta forma mostraremos a universalidade da aplicação dateoria de sinais e sistemas lineares.

3.2 Alguns Problemas com Sistemas - Motivação

Imaginemos que devemos resolver os seguintes problemas:

a) Uma certa pessoa decidiu comprar uma bicicleta que custa $150,00. Porém não tem dinheirosuficiente para pagamento a vista. Decide então colocar todos os meses $10,00 na poupança.Se os juros da poupança são de 10% ao mês, quantos meses serão necessários para que possacomprar a bicicleta? E se comprar um carro que custa $5320,00?

b) Suponhamos o seguinte sistema de enchimento de garrafas de água mineral em uma certa in-dústria.

h(nivel)

Figura 3.1: Sistema de enchimento de garrafas.

Deseja-se conhecer o modelo deste sistema, para estudar como manter o correto enchimentodas garrafas, para diferentes velocidades da fita transportadora.

c) A população de Santa Catarina é medida todo final de ano e chama-seNt ao número de habitantesdo ano t (t = 0, 1, 2, · · ·). Sabe-se que a população se incrementa com uma taxa relativa de2% ao ano. Interessa conhecer o modelo que permite calcular qual será a população no ano2005.

Como deve ser montado o modelo matemático destes sistemas? Como se calcula a solução doproblema? Estas perguntas poderão ser respondidas a partir do desenvolvimento da teoria de sinaise sistemas lineares. Ao longo do curso, estes e outros problemas-exemplos servirão para ilustrar autilidade da teoria.

3.3. REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS 31

3.3 Representação de Sistemas

Para trabalhar e estudar um sistema qualquer, é necessário obter uma representação matemática domesmo. Assim, após construído um modelo que representa a dinâmica do sistema, este modelo deveser traduzido para um conjunto de equações matemáticas. Estas equações poderão ser de diferentestipos, dependendo do tipo de sistema com o qual se está trabalhando.

Em geral, para qualquer sistema, as equações que o descrevem relacionam as entradas e saídasdo sistema, sendo estas funções do tempo (contínuo ou discreto). Para a montagem destas equaçõesé necessário conhecer as características do sistema em questão, assim como seus parâmetros.

Para um sistema contínuo, isto é, entrada e saída são variáveis contínuas no tempo, é possívelobter uma representação matemática dada por um conjunto de equações diferenciais. Exemplo distosão os modelos matemáticos conhecidos de circuitos elétricos, mecânicos, etc...

Exemplo: Amortecedor.

M

XF

K

b

Figura 3.2: Modelo do amortecedor.

A força exercida pelo amortecedor quando aplicado um deslocamento no seu extremo móvel é:

F = bdx

dt


, sendo que dxdt representa a velocidade de deslocamento e b é um parâmetro do sistema.

Exemplo: Automóvel.

M

V

Figura 3.3: Modelo do automóvel.

Para o automóvel da figura, a equação que representa a dinâmica é:

F = kdx

dt+m

d2x

dt2

Já para um sistema discreto, a representação matemática do sistema será dada por um conjuntode equações a diferença, onde as variáveis de entrada e saída se relacionam através dos parâmetrosdo sistema.

Equações a diferença: Em uma equação a diferenças, as variáveis envolvidas (entrada e saída)se relacionam como:

F [y(k), y(k + 1), ..., y(k + n), u(k), u(k + 1), ..., u(k +m), k] = 0

onde:

y(k) saídau(k) entradak tempo discreton,m inteirosF uma função qualquer

F : CN+M+2 x T → C

Exemplo: População de Santa Catarina

N(k) = habitantes no ano kN(k) = N(k − 1) + 0.02N(k − 1) = 1.02N(k − 1)

N(k + n) = (1.02)nN(k) k = 1992 n+ k = 1998N(1998) = (1.02)6N(1992)

3.4. CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS 33

3.4 Classificação de Sistemas

Na prática existem sistemas dos mais variados tipos, isto é, contínuos e discretos, lineares e nãolineares, invariantes no tempo ou não invariantes, etc... Neste item analisaremos a classificaçãode sistemas segundo estas características e definiremos cada uma delas formalmente. Em todos ospontos, o estudo de sistemas contínuos e discretos será levado paralelamente.

Sistemas Lineares e não Lineares

Quando um sistema é dito linear? Imaginemos um dado sistema que tem como variável deentrada u e de saída y e tal que existe uma dada relação F entre ambas (é um sistema ESM).

y = Fu

3.4.1 Sistema Linear

Definição 14 Sistema linear. Diz-se que o sistema é linear se: Dadas duas entradas u1 e u2 quegeram as saídas correspondentes y1 e y2 (y1 = Fu1, y2 = Fu2), então se aplicamos ao sistema umanova entrada u3, gerada como combinação linear das anteriores, u3 = αu1 +βu2, a saída y3 = Fu3poderá ser calculada como:

y3 = αy1 + βy2

Em qualquer outra situação o sistema é dito não linear.

Exemplo: Suponhamos que o modelo matemático do sistema S é dado por y = au+b onde a,b,u,y ∈


Exemplo: Seja o circuito elétrico:

LiV

R

Figura 3.4: Circuito RL.

Aplicando equações de malha obtemos a equação que descreve o comportamento do sistema:

V = Ri+ Ldi

dt(3.1)

Para ver se é linear:V1 → i1 tq V1 = Ri1 + L

di1dt

(3.2)

V2 → i2 tq V2 = Ri2 + Ldi2dt

(3.3)

V3 = V1 + V2 → i3 tq V3 = Ri3 + Ldi3dt

(3.4)

Devemos provar que: i3 = i2 + i1

de 3.4 → Ri1 + Ldi1dt

+Ri2 + Ldi2dt

= Ri3 + Ldi3dt

R(i1 + i2) + Ld(i1 + i2)

dt= Ri3 + L

di3dt

Logo i3 = i1 + i2.

Exemplo: Circuito digital

y(k)Atraso

1/2

+u(k)

Figura 3.5: Sistema discreto.

y(k) =12u(k) + u(k − 1) u(k) = 0∀k < 0


u1 → y1 y1(k) = 12u1(k) + u1(k − 1)u2 → y2 y2(k) = 12u2(k) + u2(k − 1)

u1 + u2 → y3 y3(k) = 12(u1(k) + u2(k)) + (u1(k − 1) + u2(k − 1)) = y1 + y2

Definição 15 Um sistema é dito linear quando pode ser representado por um conjunto de equaçõesdiferenciais ou a diferenças lineares.

Esta definição diz respeito à representação matemática do sistema. Prova-se que esta definiçãoé equivalente à definição 1.

3.4.2 Sistemas Invariantes no Tempo

O conceito de invariância no tempo esta associado à variação das características de um sistema notempo. Assim, se a saída de um sistema para uma dada entrada não varia com o tempo de aplicaçãodaquela entrada diz-se que o sistema é invariante no tempo. Para formalizar esta idéia definiremosprimeiro o operador de deslocamento no tempo.

Definição 16 Operador de Deslocamento no Tempo.Seja x um sinal contínuo definido para o eixo dos tempos T . Seja θ um número real tal que t+ θ ∈T ∀ t ∈ T . Então o operador de deslocamento no tempo σθ leva do sinal x ao sinal σθx, dado por:

(σθx)(t) = x(t+ θ) t ∈ T (3.5)

Observação: dependendo da definição de T (todo o eixo dos tempos, somente tempos positivos, etc)θ poderá tomar valores quaisquer ou somente dentro de um dado intervalo.

Nesta operação, se θ > 0 o operador adianta o sinal num valor θ, e se θ < 0 então o sinal éatrasado.

Através deste conceito é possível formalizar a invariância no tempo. Dado um par (u, y) entrada-saída (ES), se aplicamos o operador deslocamento, o par deve continuar sendo um par (ES).

Definição 17 Invariância no Tempo.Considera-se um sistema entrada saída com o eixo dos tempos T 4= (−∞,∞) ou T 4= [0,∞). Osistema é invariante no tempo se para qualquer par entrada saída (ES) (u, y) o par (σθu, σθy) é umpar ES com θ um valor possível.

Para sistemas mapeados (ESM), basta conhecer o mapa φ do sistema e colocar: φ(σθu) = σθφ(u)o que equivale a comutação dos operadores σθ e φ.


Todo o sistema que não verifique esta propriedade é dito variante no tempo.

Exemplo: Consideremos o sistema da figura:

PE

T

To

Q

Figura 3.6: Sistema de aquecimento de líquidos.

A potência elétrica PE na resistência aquece o líquido à temperatura T (a temperatura ambienteé T0), através do calor q. A equação que representa o fenômeno físico-térmico leva em conta acapacidade de absorção de calor C do líquido e a transmissão ao meio ambiente pela resistênciacalórica R.

Assim:CdT

dt︸︷︷︸calor acumulado

= q(t)︸︷︷︸calor que entra

− T (t)− T0(t)R︸︷︷︸

calor que sai

t ∈ < (3.6)

Chamando y = T − T0 à saída e q = u à entrada temos:

dy

dt=

1Cu(t)− 1

RCy(t) t ∈ < (3.7)

Supondo R e C constantes temos um sistema linear e invariante no tempo. Para provar usamos:

u′ = σθu y′ = σθy (3.8)

dy′

dt=d(σθy)dt

=dy(t+ θ)

dt=dy

dt(t+ θ)

4=

1Cu(t+ θ)− 1

RCy(t+ θ)


logo:

dy′

dt(t) =

1Cu′(t)− 1

RCy′(t)

3.4.3 Sistemas Com/Sem Memória

Quando um sistema é tal que a sua saída y(t) depende somente do valor da entrada no instantet(u(t)) e não dos valores anteriores da entrada, diz-se que é um sistema sem memória. Quando asaída depende de toda a entrada aplicada no tempo então ele tem memória.

Por exemplo, o sistema que consiste em uma resistência elétrica R com entrada V e saída I ésem memória. Já o nível num tanque de água, e a temperatura de um ambiente, são variáveis desistemas com memória.

Definição 18 Sistema sem memória.Dado um sistema ESM com eixo dos tempos T e entrada u(t) ε U , a saída y(t) ε Y é sem memóriase existe um mapa Φ : T X U → Y tal que se (u, y) é um par ES então y(t) = Φ(t, u(t)) t ε T

Na prática existem vários sistemas sem memória, porém a maioria dos sistemas possuem memória,isto é, a saída y(t) depende não somente da entrada u(t) mas também das entradas anteriores.

3.4.4 Sistemas Não Antecipativos (ou Causais)

Uma característica muito importante dos sistemas físicos é que eles são não antecipativos, isto é, asaída não depende de valores da entrada em tempos posteriores.

Para formalizar a definição deste tipo de sistemas usaremos entradas U = {u : T → U} e saídasY = {y : T → Y }.

Definição 19 Sistema não AntecipativoConsidera-se um sistema no eixo T . Seja (u1, y1) um par ES e t ∈ T um tempo arbitrário. Seja(u2, y2) outro par ES tal que u1(τ) = u2(τ) para todo τ ≤ t, τ ∈ T . Então o sistema é dito nãoantecipativo se y1(τ) = y2(τ) para todo τ ≤ t, τ ∈ T .

Exemplos:

a) Sistemas atraso e avanço puro.

Seja o sistemas definido por:

y(t) = u(t− θ), t ∈ T com θ ∈ T cte. (3.9)


Assim se θ > 0 a saída atrasa θ da entrada e se θ < 0 a saída adianta θ da entrada, pelo queneste ultimo caso o sistema é antecipativo.

b) Calculador de valor médio

y(t) = 1T1+T2

∫ t+T2t−T1

u(τ)dτ

t ∈ <T1 ≥ 0T2 ≥ 0

T1 + T2 ≥ 0

O sistema é não antecipativo sse T2 = 0 pois quando T2 > 0 a saída depende da entradafutura.

A partir da classificação realizada podemos definir um conjunto de sistemas que verificam asseguintes propriedades:

Lineares - Invariantes no Tempo - Não antecipativos ou Causais - Com/Sem Memória

Ao longo do curso nos ocuparemos do estudo dos sistemas com estas propriedades. Analisaremossuas características e a importância da aplicação ao estudo de sistemas de controle.

A pergunta que surge ao optar pelo estudo destes sistemas é: Qual a relação entre estes sistemase os sistemas reais?

• Todo os sistemas reais são causais, a maioria invariantes no tempo, e podem ser com ou semmemória.

• Entretanto a maioria deles possuem características não lineares.

Interessa então estudar como aplicar os resultados desta teoria à sistemas não lineares (sempreque seja possível).

Para aplicar a teoria de sistemas lineares aos sistemas não lineares devemos linearizar estesúltimos nas proximidades de um ponto de funcionamento (ou ponto de equilíbrio do sistema).

Estudaremos isto em maiores detalhes a seguir.

3.5 Linearização de Sistemas

A propriedade de linearização de um dado sistema é uma extensão do conceito de aproximaçãode uma curva nas vizinhanças de um dado ponto, através da tangente da mesma naquele ponto.Devemos lembrar que uma dada função g(.) pode ser calculada num ponto x qualquer a partir dovalor da função e suas derivadas num outro ponto x0 próximo de x:

3.5. LINEARIZAÇÃO DE SISTEMAS 39

g(x) = g(x0) +dg

dx

∣∣∣∣x0

∆x+12!d2g

dx2

∣∣∣∣∣x0

(∆x)2 + · · · ;∆x = x− x0

e na aproximação de 1a¯ ordem para ∆x suficientemente pequeno

g(x) ∼= g(x0) +dg

dx

∣∣∣∣x0

∆x

Esta propriedade é válida também para funções de várias variáveis como por exemplo parag(x, y, z) no ponto (x0, y0, z0):

g(x, y, z) ∼= g(x0, y0, z0) +δg

δx

∣∣∣∣x0, y0, z0

∆x+δg

δy

∣∣∣∣x0, y0, z0

∆y +δg

δz

∣∣∣∣x0, y0, z0

∆z

Esta propriedade pode ser usada então para a linearização de uma equação diferencial de umdado sistema dinâmico. É claro que o modelo equivalente obtido terá validade somente se:

- a linearização é feita num ponto de equilíbrio ou de operação do sistema.

- a aproximação é válida para o sistema funcionando nas vizinhanças daquele ponto.

- a aproximação será válida se o comportamento não linear do sistema nas vizinhanças do pontode equilíbrio é suave. É claro que sempre existe uma variação suficientemente pequena∆x,∆y, . . . , como para validar a aproximação, mas em alguns casos a aproximação podeperder o sentido físico.

Exemplo: Movimento de um carro

M dv(t)dt = Cu(t)−Bv2(t) t ≥ t0

{v(t) = velocidadeu(t) = posição do acelerador

onde:

M = massa do carro;

C = coeficiente de atuação da posição do acelerador;

B = atrito do ar.

É simples notar que o sistema é descrito por uma equação diferencial não linear a coeficientesconstantes (B,M e C).


No equilíbrio, isto é, a velocidade constante v0 o sistema precisa de uma posição u0 fixa noacelerador:

dv

dt= 0 =⇒ Cu0 = Bv20 =⇒ u0 =

B

Cv20

Supondo o carro funcionando a velocidades próximas de v0 pode-se colocar v(t) = v0 + ∆v eu(t) = u0 + ∆u e:

Md(v0 + ∆v)

dt= C(u0 + ∆u)−B(v0 + ∆v)2

Md

(∆vdt

)= Cu0 + C∆u−Bv20 − 2Bv0∆v −B∆v2

desprezando termos de 2a¯ ordem ∆v2 ' 0 e usando cu0 −Bv20 = 0 temos:

Md

(∆vdt

)= C∆u− 2Bv0∆v t ≥ t0

Definindo agora a entrada e saída do sistema como sendo ∆u e ∆v respectivamente, tem-seum sistema linear que representa o sistema automóvel trabalhando próximo ao ponto de equilíbrio(u0, v0).

Neste exemplo, pode-se observar ainda que a função não linear Bv2 foi substituída pela suaaproximação linear de 1a¯ ordem:

Bv2 ∼= Bv20 +δ(Bv2)δv

∣∣∣∣∣v0

∆v ≡ Bv20 + (2Bv0)∆v

3.6 Mapas dos Sistemas Entrada Saída Mapeados (ESM)

Como já foi comentado, os modelos lineares e invariantes no tempo podem representar muito bema dinâmica de muitos sistemas físicos ESM. Assim é bastante importante encontrar uma forma derepresentação do mapa que relacione os sinais de entrada e saída.

Para obter a forma deste mapa consideraremos primeiro o caso discreto. Um sinal de entradaqualquer u(n) pode ser escrito como uma combinação linear de pulsos deslocados:

u(n) =∞∑

m=−∞u(m)∆(n−m) n ε Z

3.6. MAPAS DOS SISTEMAS ENTRADA SAÍDA MAPEADOS (ESM) 41

onde os valores u(m) representam a seqüência de entrada. E como o sistema é linear, y(n) poderáser escrito como:

y(n) =∞∑

m=−∞k(n,m)u(m) n ε Z

onde k(n,m) representa a saída em tempo n correspondente ao pulso ∆(n − m) aplicado notempo m. Assim, conhecendo k(n,m) é possível calcular a resposta para uma entrada qualquer.

O somatório anterior representa o mapa ES do sistema e k(n,m) uma função de duas variáveischamada Núcleo do Sistema.

Para o caso contínuo, a interpretação é similar. Usando as propriedades de δ(t) uma entradaqualquer pode ser escrita como:

u(t) =∫ ∞−∞

u(τ)δ(t− τ)dτ

o que pode ser interpretado dizendo que u(t) é composta por uma combinação infinita de δ(·)ponderados pelos valores u(τ).

Logo chamando k(t, τ) à resposta a uma entrada δ(t− τ), t ε < e usando linearidade, a respostaserá:

y(t) =∫ ∞−∞

k(t, τ)u(τ)dτ t ε <

Exemplo: Ache a função núcleo de uma fila (sistema atraso puro) que é representado por:

y(n) = u(n− θ) n ε Z θ = atraso ou tamanho da fila

Consideramos a entrada pulso unitário deslocado ∆(n −m) e a saída correspondente: y(n) =∆(n− θ −m). Por definição a função núcleo do sistema é:

k(n,m) = ∆(n− θ −m) ={

1 se n = θ +m0 outro ponto

Qual é a saída correspondente a uma entrada u(n) = sen(n)?

y(n) =∞∑

m=−∞∆(n− θ −m)sen(m) = sen(n− θ)

Observação: Os sistemas reais são não antecipativos, por tanto não podem ter uma resposta anteriorà aplicação da entrada. Assim a função núcleo deve ser nula para todo tempo anterior à aplicaçãoda entrada:


k(n,m) = 0 ∀ n < m

k(t, τ) = 0 ∀ t < τ

Esta é uma CNeS para a representação de um sistema ESM causal

3.7 Sistemas Convolutivos

Consideremos um sistema ESM e seu mapa ES representado por:

y(n) =∞∑−∞

k(n,m)u(m) n ε Z (3.10)

Suponhamos que o sistema é invariante no tempo. Então para todo d ε Z a resposta em n+ d parauma entrada em m+ d é igual à resposta em n para a mesma entrada em m:

k(n+ d,m+ d) = k(n,m) ∀ n,m, d ε Z

Isto implica que a função k(n,m) não é função de duas variáveis se não apenas da diferença deambas. Assim existe uma função h(·) tal que:

k(n,m) = h(n−m) ∀ n,m ε Z (3.11)

Isto implica que a resposta a um pulso em tempo m é função apenas do tempo transcorrido entrea aplicação da entrada, m, e o tempo considerado, n. Desta forma, a equação do sistema é:

y(n) =∞∑−∞

h(n−m)u(m) n ε Z (3.12)

Portanto, a saída do sistema é obtida a partir de uma operação de Convolução entre h(·) e u(·)

y = h ∗ u (3.13)

Para o caso de sistemas contínuos invariantes no tempo, k(t, τ) transforma-se em h(t− τ) t, τ ε

3.7. SISTEMAS CONVOLUTIVOS 43

y(t) =∫ ∞−∞

h(t− τ)u(τ)dτ t ε < (3.14)

operação chamada de convolução

y = h ∗ u (3.15)

Da mesma forma que provamos que todo sistema ESM invariante no tempo é um sistema convo-lutivo, pode-se mostrar o contrário: um sistema ESM (contínuo ou discreto) com eixo dos temposem Z ou


y(n) =∞∑

m=−∞h(n−m)u(m) =

n∑m=−∞

h(n−m)u(m) +∞∑

m=n+1

h(n−m)u(m)

, e que o segundo termo é nulo pois h(n − m) = 0 se n < m (dado que o sistema é nãoantecipativo).

Logo, se o somatório tem limite finito (converge) podemos definir que:

h(n) =

{0 n < 0 não antecipativo(1− a)an n ≥ 0

ou usando a função degrau 1(n), h(n) = (1− a)an1(n). Assim, y(n) =∑∞−∞ h(n−m)u(m)

Plotando a resposta impulsiva para a = 0.9:

0 2 4 6 8 10 12 140

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

tempo

h(n)

Figura 3.7: Resposta ao impulso.

b) Circuito RC (caso contínuo, filtro analógico)

CiV

R

Figura 3.8: Circuito RC.

dy

dt(t) +

1RC

y(t) =1RC

u(t) t ε <

A solução desta equação diferencial de primeira ordem é (para CI y(t0)):

y(t) = e−(t−t0)

RC y(t0) +1RC

∫ tt0e−(t−τ)

RC u(τ)dτ

e considerando y(t0) = 0 e t0 → −∞

y(t) =1RC

∫ t−∞

e−(t−τ)

RC u(τ)dτ

3.7. SISTEMAS CONVOLUTIVOS 45

Supondo a integral convergente definimos:

h(t) =

{0 t < 01

RC e−tRC t ≥ 0

h(t) =1RC

e−tRC 1(t)

y(t) =∫ ∞−∞

h(t− τ)u(τ)dτ

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

tempo

h(t)

Figura 3.9: Resposta impulsiva do circuito RC.

É claro que estes dois sistemas físicos são não antecipativos (causais), e portanto, h(t) =0, ∀ t < 0. Assim, de forma geral:

Definição 20 Sistemas Convolutivos não AntecipativosSão os sistemas com resposta impulsiva não antecipativa, isto é:

h(t) = 0 ∀ t < 0 (h(t− τ) = 0 ∀ t < τ)

Resposta ao Degrau

Um sinal muito importante para a teoria de sinais e sistemas lineares é o degrau unitário,representado por 1(t) ou 1(n). Sua importância se baseia em:

a) ele é muito utilizado na prática pois simula situações reais de operação em regime permanente;

b) a resposta ao degrau está intimamente relacionada com a resposta impulsiva que descreve osistema.

Assim:

s(n) = (h ∗ 1)(n) =∞∑

m=−∞h(n−m)1(m) =

∞∑m=0

h(n−m) nε Z


usando n−m = k temos:

s(n) =n∑

k=−∞h(k)

o que mostra que a resposta ao degrau é obtida como soma de respostas impulsivas fazendo “correr”o tempo de aplicação dos impulsos. Observe ainda que:

s(n)− s(n− 1) = h(n) n ε Z

equação que permite calcular a resposta impulsiva a partir da resposta ao degrau.

Para o caso contínuo temos:

s(t) = h(t) ∗ 1(t) =∫ ∞−∞

h(t− τ)1(τ)dτ t ε <

s(t) =∫ ∞0

h(t− τ)dτ t ε <

usando x = t− τ temos: s(t) =∫ t−∞ h(x)dx ou seja, que a resposta ao degrau é obtida integrando

de −∞ a t a resposta impulsiva aplicada, correndo o tempo. De forma inversa, a resposta impulsivaé obtida como a derivada da resposta ao degrau:

h(t) =ds(t)dt

Exemplos:

a) Vejamos a resposta ao degrau do suavizador exponencial

s(n) =n∑−∞

h(m) =n∑−∞

(1− a)am1(n) = (1− a)n∑0

am

s(n) =

{0 ∀ n < 01− an+1 ∀ n ≥ 0

3.8. CONVOLUÇÃO 47

A resposta está mostrada na figura 3.10.

0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

tempo

s(n)

Figura 3.10: Resposta ao degrau do filtro.

b) Circuito RC

s(t) =1RC

∫ t−∞

e−τRC 1(τ)dτ =

1RC

∫ t0e−τRC dτ

s(t) = −e−τRC

∣∣∣∣∣ t0 = 1− e −τRC t ε < t ≥ 0A resposta está mostrada na figura 3.11.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

tempo

s(t)

Figura 3.11: Resposta ao degrau do circuito RC.

Observe que em ambos os casos, quando t → ∞ ou n → ∞, a resposta tende a 1 (regime perma-nente).

Após ter interpretado fisicamente a convolução, e tê-la relacionado com o sistema e sua resposta,estudaremos mais em detalhes alguns pontos.

3.8 Convolução

A convolução é uma operação binária entre dois sinais contínuos ou discretos que geram um outrosinal. Está definida pelas equações:


z(n) = (x ∗ y)(n) =∞∑

m=−∞x(n−m)y(m) n ε Z

z(t) = (x ∗ y)(t) =∫ ∞−∞

x(t− τ)y(τ)dτ t ε <

e para sistemas convolutivos: y = h ∗ u

Observa-se que a convolução não é uma operação puntual, ou seja, o resultado da operaçãodepende da total evolução do sinal no tempo e não apenas do instante considerado. Observando aequação da convolução contínua, podemos distinguir os seguintes passos:

a) considera-se o sinal x em tempo reverso e deslocado t;

b) multiplica-se ponto a ponto o x resultante com y e integra-se o resultado para obter z(t)

Exemplo:


a) Caso discreto (suavizador exponencial). Suponhamos uma entrada degrau unitário

y(n)

n

n

n

n

h(n)

u(n)

h(k-n)

Figura 3.12: Convolução gráfica.


b) Caso contínuo (circuito RC já estudado) Suponhamos uma entrada pulso unitário de largura α

u(t) =

{1 ∀ 0 ≤ t < α0 em outro caso

t

Carga Descarga

0

0

0

α

α

1/RC

h(t)

u(t)

y(t)

1

Resposta Impulsiva

Pulso: Diferencade degraus deslocados α

Carga: ate V= 1-e-t/RC

Descarga: ate 0, exponencial e-t/RC

t

t

Figura 3.13: Resposta do circuito RC.

Nota-se: o circuito RC também é um suavizador de sinais.

Propriedades da Convolução (válidas para o caso contínuo e discreto) A operação de convolução

definida por z = x ∗ y tem as seguintes propriedades:

a) Comutativa: Se x ∗ y existe então x ∗ y = y ∗ x

b) Associativa Se (x ∗ y) ∗ z existe então (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)

c) Distributiva Se x ∗ y e x ∗ z existem então x ∗ (y + z) = x ∗ y + x ∗ z

d) Comutativa de multiplicação por escalar e convolução Se x∗y existe então α(x∗y) = (αx)∗y =x ∗ (αy) para todo αεC

e) Operação atraso (σt : atrasa t) Se x ∗ y existe então σt(x ∗ y) = (σt(x) ∗ y = x ∗ (σty) para todot ε < ou t ε Z

f) Propriedade da diferenciação (válida para o caso contínuo) Operador diferenciadorD(·) (Dz(t) =dzdt ) Se x ∗ y existe e é diferenciável então:

D(x ∗ y) = (Dx) ∗ y se x é diferenciável

D(x ∗ y) = x ∗ (Dy) se y é diferenciável


Existência da convolução A existência da convolução de dois sinais está sujeita à convergênciado somatório ou integral que a definem. Para analisar isto em detalhe definimos:

• Suporte de um sinal x no eixo dos tempos (discreto ou contínuo).suporte=t ε T tq x(t) 6= 0

– limitado (num intervalo finito)– limitado à esquerda (intervalo ∞ com limite na esquerda– limitado à direita (intervalo ∞ com limite na direita)

• Sinal localmente integrável se∫ ba |x(t)| dt existe e é finito para todo a, b finitos.

A partir destas definições podemos formalizar as condições de existência da convolução.

Condições Suficientes Para Existência da Convolução:Sejam x, y seqüências no tempo localmente integráveis e contínuas em b t > b+ τ


Graficamente:

x(t-b)

-b -a a b

y(t)

z(t)

-b -a a b

2a 2b

-b -a a b

t>2b, Z(t)=0

2a 2a. Logo deixa de ser nulo quando τ > b, mas para que t− τ > b⇒ t > 2b.Logo o intervalo onde a convolução não é nula é [2a, 2b].

b) Prova-se da mesma forma que o anterior.

γ

a

-a

t

tt

x

Figura 3.15: Convolução com suporte limitado pela esquerda.

Logo z(t) será nula até que t = 2a ⇒ z(t) existe e é definida para t > 2a, ou seja, tem osuporte limitado na mesma direção.

c) Supõe-se ‖ x ‖2 e ‖ y ‖2 são finitas e calcula-se:

z(t) =∫ ∞−∞

x(t− τ)y(τ)dτ

‖ x ‖2=[∫ ∞−∞

(x(τ))2dτ]1/2

=[∫ ∞−∞

(x(t− τ))2dτ]1/2


pois os sinais são invariantes no tempo

‖ y ‖2=[∫ ∞−∞

(y(τ))2dτ]1/2

Usando Cauchy-Scwartz temos:

‖ x ‖2 ‖ y ‖2 ≥ < x, y >

[∫ ∞−∞

(y(t− τ))2dτ]1/2 [∫ ∞

−∞(y(τ))2dτ

]1/2≥∫ ∞−∞

x(t− τ)y(τ)dτ = z(t)

como o termo da esquerda é acotado finito então

z(t) = x ∗ y existe e é finito, por tanto | z | < k para todo t e um dado k ε


3.9 Estabilidade de Sistemas Convolutivos

Estabilidade é um conceito muito importante na teoria de sistemas. Existem diversas formas dedefinir estabilidade dependendo da abordagem utilizada para o estudo da dinâmica do sistema.Neste curso somente trabalharemos com definições de estabilidade associadas aos sistema entrada-saída.

Definição 21 Estabilidade ELSL (entrada limitada - saída limitada).Um sistema convolutivo contínuo ou discreto é dito ELSL estável se a resposta y a toda entrada ucom amplitude finita tem amplitude finita. Isto é:

se ‖ u ‖∞

3.10. RESPOSTA DE SISTEMAS CONVOLUTIVOS A SINAIS HARMÔNICOS 55

‖ h ‖1=∞∑

k=0

| b | | a |k={| b | /1− | a | para | a |< 1∞ para | a |> 1 b 6= 0

Assim, o sistema é ELSL estável SSE | a |< 1. Por exemplo, se consideramos uma caderneta depoupança com taxa de 1% teremos a = 1.01, que implica na instabilidade do sistema. Já para oprojeto de um filtro discreto, devemos garantir a estabilidade usando | a |< 1.

Exemplo: Consideremos um sistema integrador, que pode representar, por exemplo, a relação entrea velocidade e posição de um veículo.

y(t) =∫ t−∞

u(τ)dτ

A resposta impulsiva vale h(t) = 1(t). Como

‖ h ‖1=∫ ∞−∞

1(t)dt = ∞ a ação é infinita

É um sistema ELSL-instável. Observe que a resposta ao degrau é uma rampa que não é um sinallimitado em amplitude.

3.10 Resposta de Sistemas Convolutivos a Sinais Harmônicos

O estudo da resposta de sistemas convolutivos a sinais harmônicos é muito importante na teoria desistemas dado que:

(i) são sinais comumente usados em sistemas reais (ex: sistemas elétricos e mecânicos)

(ii) é possível decompor outros sinais como combinação de sinais harmônicos e achar a resposta decada um deles de forma simples. Após conhecida a resposta a cada sinal, usando linearidadedos sistemas convolutivos, encontra-se a resposta global.

3.10.1 Entradas harmônicas

Um sinal harmônico de freqüência f ε < é dado por:

ηf (t) = ej2πft t ε T


Consideraremos o caso contínuo T ≡


Demonstraremos esta propriedade no caso discreto:

∣∣∣ĥ(f)∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∞∑−∞

h(n)e−j2πfn∣∣∣∣∣ ≤

∞∑n=−∞

|h(n)|∣∣∣e−j2πfn∣∣∣︸︷︷︸

1

=

=∞∑−∞

|h(n)| =‖ h(n) ‖1


pois(e−j2πf = cos(2πf)− j sin(2πf)

)

ĥ(f) =1− a

(1− a cos 2πf)2 + (a sin 2πf)2[(1− a cos 2πf)− ja sin 2πf ]

| ĥ(f) |= 1− a√(1− a cos 2πf)2 + (a sin 2πf)2

φĥ(f) = − arctan(

a sin 2πf1− a cos 2πf

)

A resposta em freqüência deste sistema pode ser vista na figura 3.16 onde aprecia-se a peri-odicidade.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

frequencia

módulo

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

frequencia

módulo

Figura 3.16: Modulo e fase de ˆh(f).

b) Circuito RC

A resposta impulsiva deste sistema é h(t) = 1RC e−t/RC1(t), t ε < que tem ação finita para

todo RC > 0.

ĥ(f) =∫ ∞−∞

1RC

e−t/RC1(t)e−j2πftdt =1RC

∫ ∞0

e−(2πfj+1

RC)tdt

=1/RC

1/RC + 2πfje−(2πfj+

1RC

)t∣∣∣∞0

=1

1 + j2πRCf

Então ĥ(f) =1

1 + j2πRCf

∣∣∣ĥ(f)∣∣∣ = 1√1 + (2πRCf)2

φĥ(f) = − arctan(2πRCf)


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

frequencia

módulo

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

frequencia

fase

Figura 3.17: Modulo e fase de ˆh(f) para o circuito RC.

3.10.4 Resposta em freqüência de sistemas reais

Na prática os sistemas representam-se por sistemas convolutivos reais. Assim a resposta impulsivaé uma função real. Apesar disto, a função resposta em freqüência ĥ(f), é em geral uma funçãocomplexa. Mas ela possui um certo número de propriedades de simetria:

ĥ(−f) = ĥ(f) ∀ f ε <

, ou de forma equivalente, o módulo é uma função par e a fase ímpar:

| ĥ(−f) |=| ĥ(f) |

ϕĥ(−f) = −ϕĥ(f)

Prova:ĥ(f) =

∫ ∞−∞

h(t)e−j2πftdt =∫ ∞−∞

h(t)(cos(2πft)− jsen(2πft))dt = IR − jII

ĥ(−f) =∫ ∞−∞

h(t)ej2πftdt =∫ ∞−∞

h(t)(cos(2πft) + jsen(2πft))dt = IR + jII

onde IR e II são as partes real e imaginária de ĥ(f).

Logo ĥ(−f) = ĥ(f) o que implica nas condições de módulo e fase colocadas.


Este resultado mostra que para os sistemas reais basta estudar a função resposta em freqüênciapara f ≥ 0 no caso contínuo e no intervalo [0, 1/2] no caso discreto.

3.10.5 Resposta de sistemas convolutivos reais a sinais reais

Seja um sistema real convolutivo com função resposta em freqüência ĥ. Seja a entrada real:

u(t) = αu cos(2πft+ φu) = Re[auej2πft]

com αu ≥ 0 e φu ∈ < au = αuejφu . Assim a saída correspondente é:

y(t) = αy cos(2πft+ φy) = Re[ayej2πft]

onde ay = ĥ(f)au e a amplitude e fase da saída verificam:

αy =| ĥ(f) | αu φy = φu + φĥ(f)

Para provar este resultado decompõem-se o sinal de entrada em harmônicos complexos e logoaplica-se superposição.

u = Re(auηf ) = 1/2(auηf + auηf ) = 1/2(auηf + auη−f )

Usando linearidade para os sinais ηf e η−f temos:

y = 1/2[ĥ(f)auηf + ĥ(−f)auη−f

]

como ĥ é real ⇒ ĥ(−f) = ĥ(f)

y = 1/2[ĥ(f)auηf + ĥ(f)auηf

]= Re(ĥ(f)auηf )

Assim a saída também é um sinal harmônico real com amplitude ay = ĥ(f)au

O módulo da saída é:

αy =| ay |=| ĥ(f)au |=| ĥ(f) | | au |=| ĥ(f) | αu


φy = ϕay = ϕĥ(f) + ϕau = ϕĥ(f) + φu

Esta demonstração coloca a importância de se conhecer o módulo e fase de ĥ(f) pois assimpode-se conhecer a amplificação-atenuação da amplitude dos sinais e a defasagem resultante entreu e y. Do ponto de vista físico, esta interpretação é o resultado mais importante.

Vejamos a aplicação deste conceito em um circuito RC. Já calculamos num exemplo anterior:

| ĥ(f) |= 1√1 + (RC2πf)2

ϕĥ(f) = − arctan(2πRCf)

Imaginemos uma entrada u(t) = cos(2πf0t) com f0 = 12RCπ . Então

| ĥ(f) |= 1√2

ϕĥ(f) = − arctan(1) = −π/4

Logo: y(t) = 1/√

2 cos(2πf0t− π/4). Assim a amplitude é atenuada em 1/√

2 e a fase atrasada emπ/4.

3.10.6 Importância da resposta em freqüência na engenharia

O estudo do comportamento dos sistemas frente a sinais do tipo senoidal é bastante importantena engenharia. A maioria dos sistemas reais modifica a amplitude e a fase do sinal de entrada.Alguns sistemas permitem melhor a passagem dos sinais de baixa freqüência, como por exemplo asválvulas de controle e os sistemas térmicos. Já outros, como por exemplo a atmosfera, são sistemasque atenuam os sinais de baixas freqüências e deixam passar melhor os de alta freqüência. Nota-seque a maioria dos sistemas físicos estudados na teoria de controle (processos químicos, elétricos,mecânicos, etc) são do tipo passa baixa.

Estas propriedades fazem com que ss sistemas convolutivos sejam tratados muitas vezes comofiltros. Os filtros modificam os sinais harmônicos em algumas freqüências. Assim, se um filtroatenua as baixas freqüências deixando passar as altas, diz-se “filtro passa altas”. No caso opostoé dito “passa baixas”. No caso que atenua as freqüências fora de uma certa banda, diz-se “passabanda” e no caso oposto “atenua banda”. Na figura 3.18 mostram se os diagramas típicos ideaisdeste tipo de filtros.


Rejeita Banda

Modulo

freq freq

freqfreq

Modulo

ModuloModulo

Passa Baixos Passa Altos

Passa Banda

Figura 3.18: Modulo de ˆh(f) para diferentes filtros.

Na prática são muitas vezes utilizados os diagramas logarítmicos para representar as funções deresposta em freqüência pois podem ser mais facilmente desenhados a mão. Também é comum usara variável ω = 2πf e não f .

Capítulo 4

Sistemas Diferenciais e à Diferenças

4.1 Introdução

A maioria dos sistemas entrada-saída estudados na teoria de controle, são sistemas diferenciais e àdiferenças. Isto significa que a relação entrada-saída pode ser colocada na forma de uma equaçãodiferencial ou à diferenças respectivamente.

Esta relação pode ser estabelecida a partir do estudo das leis físicas que regem o comportamentodo sistema no tempo. A complexidade do sistema é refletido na ordem da equação diferencial ou àdiferenças obtida. Vários dos exemplos já estudados nos capítulos anteriores, foram representadospor equações diferenciais ou à diferenças.

Neste capítulo estudaremos formalmente este tipo de representação, suas propriedades e asolução destas equações.

Definição 22 Um sistema à diferenças (diferencial) é um sistema ES com eixo T infinito ou semi-infinito direito, tal que qualquer par (u, y) verifica uma equação à diferenças (diferencial) da forma:

F1 [y(n), y(n+ 1), . . . , y(n+N), u(n), u(n+ 1), . . . , u(n+M)] = 0 (4.1)

F2

[y(t),

dy(t)dt

, . . . ,dNy(t)dtN

, u(t),du(t)dt

. . . ,dMu(t)dtM

]= 0 (4.2)

para n ε T (t ε T ), N,M inteiros não negativos e F1, F2 mapas.

F1 : CN+M+2 x T ε C, F2 : CN+M+2 x T ε C

63

64 CAPÍTULO 4. SISTEMAS DIFERENCIAIS E À DIFERENÇAS

Estas equações são ditas de ordem N . Em geral para uma dada entrada existem várias soluções,porém pode-se provar que fixando as condições iniciais é possível obter uma única solução. No quesegue, consideraremos a solução para todo n ε T ou t ε T será y(n + N) no caso discreto e yN (t)no caso contínuo.

Definição 23 Sistemas amostrados à diferença

Sistemas amostrados à diferença são sistemas amostrados definidos em T = (t0, t0+T , . . .) comt0 ε Z(T ), no eixo infinito T = Z(T ). São descritos por equações da forma:

F [y(t), y(t+ T ), . . . , y(t+NT ), u(t), u(t+ T ), . . . , u(t+MT )] = 0

Consideraremos que ele tem solução única y(t+NT ) e N é a ordem da equação à diferenças.

Exemplos:

a) Caderneta de poupança.

y(n+ 1)− y(n)(1 + α)− u(n+ 1) = 0 n = 0, 1, . . .

Equação de primeira ordem em y(n)

b) Equação do movimento de um carro.

Mdv(t)dt

+Bv2(t)− Cu(t) = 0 t ε [t0,∞)

onde M : massa, B: coef. atrito, C: coef. força aceleradora, v(t): velocidade, u(t): posiçãodo acelerador

Equação de primeira ordem em v(t). Usando x: deslocamento do carro, v = dxdt

Md2x(t)dt2

+B(dx(t)dt

)2− Cu(t) = 0

Equação de segunda ordem em x(t).

c) Calculador de valor médio em uma janela (discreto).

y(n)− 1N +M + 1

N∑m=−M

u(n+m) = 0

n ε Z,M ≥ 0, N ≥ 0

Com M > 0 esta equação não fica na forma padrão pois aparecem termos u(n − K) comK > 0. Para padronizá-la usamos n = n′ +M .

4.2. CONCEITOS BÁSICOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E À DIFERENÇAS 65

y(n′ +M) =1

N +M + 1

N∑m=−M

u(n′ +M +m) = 0 n′ ε Z

ou

y(n′ +M)− 1N +M + 1

[u(n′) + u(n′ + 1) + · · ·+ u(n′ +N +M)

]= 0

que tem ordem M .

d) Circuito RLC.

C

vR vC

LvLu i

R

Figura 4.1: Circuito RLC.

V = vR + vC + vL = Ri+1C

∫ t0idt+ L

di

dt

Usando V = u, i = y temos:

u = Ry +1C

∫ t0ydt+ L

dy

dt

e derivando para padronizar:

du

dt= R

dy

dt+

1Cy(t) + L

d2y

dt2

Ld2y

dt2+R

dy

dt+

1Cy(t)− du

dt= 0

Equação diferencial de segunda ordem em y(t) = i(t).

4.2 Conceitos básicos de equações diferenciais e à diferenças

Solução das equações

Como foi colocado no item anterior, a equação à diferenças ou diferencial, representa um sistemaES de forma tal que a relação entre u e y é dada pela própria equação. Assim para calcular a saídado sistema, aplica-se a lei dada pela equação diferencial ou à diferenças.


Da teoria de equações diferenciais é sabido que para determinar completamente a solução daequação, é necessário conhecer a entrada u(t) e as condições iniciais:

y(t0), y1(t0), . . . , yN−1(t0)

supondo N ordem da equação e t0 instante inicial.

Mais ainda, é sabido que para cada conjunto de condições iniciais e uma entrada u(t), a saída éunivocamente determinada.

No caso dos sistemas discretos, as condições são similares e dadas as características algébricasda equação, é possível obter a solução por operações sucessivas. Seja a equação:

F [y(n), y(n+ 1), . . . , y(n+N), u(n), u(n+ 1), . . . , u(n+M), n] = 0

e supõe-se que y(n+N) é a solução única, isto é:

y(n+N) = G [y(n), y(n+ 1), . . . , y(n+N − 1), u(n), u(n+ 1), . . . , u(n+M), n]

onde T = (n0, n0 + 1, . . .).

Usando a equação no tempo n0 temos:

y(n0 +N) = G [y(n0), y(n0 + 1), . . . , y(n0 +N − 1), u(n0), u(n0 + 1), . . . , u(n0 +M), n0]

ou seja, que y(n0+N) será determinada a partir da entrada e do conhecimento de y(n0),y(n0+1)até y(n0 +N−1), ou seja, a saída nos N−1 instantes anteriores. Conhecida y(n0 +N) será possívelcalcular y(n0 +N + 1) a partir do valor de y(n0 +N) e assim sucessivamente.

Desta forma, para o caso de conhecer a condição inicial, a saída é única para uma dada entradae o sistema é dito ESM.

Proposição: Sistemas diferenciais ou à diferenças são sistemas ES e se transformam em sistemasESM quando são dadas as condições iniciais.

Causalidade: Dado um sistema ESM representado por uma equação diferencial do tipo:

dNy(t)dtN

= G

[y,dy

dt, . . . , u(t),

du

dt, . . . ,

dMu

dtM, t

]


ele é sempre causal, pois a solução y(t) depende somente das condições iniciais e a entrada notempo t.

Já para o caso da equação à diferenças, existe uma condição a colocar para garantir a causalidade.Assim a equação:

y(n+N) = G [y(n), y(n+ 1), . . . , y(n+N − 1), u(n), u(n+ 1), . . . , u(n+M), n]

representa o sistema causal se N ≥M .

Observe que se M > N e G depende de maneira não trivial de

u(n+N + 1), u(n+N + 2), . . . , u(n+M)

então a saída solução no instante y(n+N) dependerá da entrada em instantes posteriores a N .

Exemplo: Já vimos o exemplo do calculador de valor médio discreto.

Invariância no tempo

A invariância no tempo de um sistema representado por uma equação diferencial ou à diferenças,pode ser detectada a partir da dependência direta com o tempo. Assim, se:

F

[y(t1),

dy(t1)dt

, . . . ,dNy(t1)dtN

, u(t1),du(t1)dt

. . . ,dMu(t1)dtM

, t1

]=

F

[y(t2),

dy(t2)dt

, . . . ,dNy(t2)dtN

, u(t2),du(t2)dt

. . . ,dMu(t2)dtM

, t2

]

com:

{yi(t1) = yi(t2) ∀ i = 0, 1, . . . , Nui(t1) = ui(t2) ∀ i = 0, 1, . . . ,M

t1, t2 ε T , o sistema é invariante no tempo.

Da mesma forma para o caso discreto se n1, n2 ε T e:

F (y0, y1, . . . , yN , u0, u1, . . . , uM , n1) = F (y0, y1, . . . , yN , u0, u1, . . . , uM , n2)

Exemplo:


(1) Sistema variante no tempo representado por equações à diferenças: Caderneta de poupançacom taxa variável.

Sistema invariante: mesma caderneta com taxa constante.

(2) Sistema diferencial variante no tempo.

i

R

u

v

v

R

CC

Figura 4.2: Circuito RC variante no tempo.

R é uma função do tempo, pois varia com a temperatura ambiente.

V = R(t)i(t) + vC(t)

e vC(t) = 1C∫ t0 idt. Assim:

V = R(t)CdvC(t)dt

+ vC(t)

se vC = y e V = u, temos

dy(t)dt

=1

R(t)Cu(t)− 1

R(t)Cy(t) t ε <

Equação diferencial com coeficientes variáveis no tempo.

Linearidade

A linearidade de um sistema diferencial ou à diferenças, pode ser analisada através da linearidadeda própria equação. Para isso basta provar que a combinação linear de dois pares ES é também umpar ES do sistema.

Conclui-se que a representação destes sistemas é dada por equações diferenciais ou à diferençaslineares.

Resumindo: No nosso curso trabalharemos basicamente com sistemas lineares, causais e invari-antes no tempo e estes terão por representação, equações diferenciais ou à diferenças lineares e acoeficientes constantes, além de N ≥M .

Estas equações serão do tipo:

q0y(n) + q1y(n+ 1) + · · ·+ qNy(n+N) = p0u(n) + p1u(n+ 1) + · · ·+ pNu(n+M)


q0y(t), q1dy

dt+ · · ·+ qN

dNy

dtN= p0u(t), p1

du

dt+ · · ·+ pN

dMu

dtM

onde pi, qi são escalares constantes e t ε T ou n ε T .

Se definimos os polinômios:

Q(λ) = q0 + q1λ+ q2λ2 + · · ·+ qNλN

P (λ) = p0 + p1λ+ p2λ2 + · · ·+ pMλM

As equações podem ser escritas como:

Q(σ)y = P (σ)u σ = operador atraso

Q(D)y = P (D)u D = operador diferencial

isto é:

{σy(n) = y(n+ 1) n ε TDy(t) = dydt t ε T

Sistemas Inicialmente em Repouso

Como já discutimos, a saída de um sistema diferencial/diferenças, depende da entrada aplicadae das condições iniciais. Quando um sistema é tal que sua saída para uma entrada nula é nula,diz-se que o sistema estava inicialmente em repouso.

Neste caso, como a condição inicial é nula, a relação entrada-saída será única, isto é, existe umaúnica solução da equação diferencial ou à diferenças para cada entrada u.

Com isto o sistema é um sistema ESM e é chamado de sistema inicialmente em repouso. Ana-lisaremos isto com detalhes no caso dos sistemas discretos (caso contínuo é conhecido de equaçõesdiferenciais).

Seja a equação:

y(n+N) = G [y(n), y(n+ 1), . . . , u(n), u(n+ 1), . . . , u(n+M), n]


se o par (0, 0) é um par entrada-saída ES temos:

0 = G [0, 0, . . . , 0, n] ∀ n ε Z

porém será que 0 é a única resposta a uma entrada 0 ?

Considerando então a condição inicial nula:

y(n0 −N) = y(n0 −N + 1) = · · · = y(n0 − 1) = 0

u(n0 −N) = u(n0 −N + 1) = · · · = u(n0 − 1) = 0

para n0 ε Z e uma entrada u(n) = 0 para todo n ≥ n0, por simples substituição na equação àdiferenças resulta y(n) = 0 ∀ n ≥ n0.

Mais ainda, se algum u(n) 6= 0 para n ≥ n0, então a saída será única e calculada pela relaçãoda equação.

Exemplo: Seja o sistema de primeira ordem (N = 1):

y(n+ 1) = ay(n) + (1− a)u(n+ 1) n ε Z

Logo a condição inicial para o sistema no repouso em n0:

y(n0 − 1) = 0 u(n0 − 1) = 0

Assim:

y(n0) = (1− a)u(n0)y(n0 + 1) = a(1− a)u(n0) + (1− a)u(n0 + 1)

y(n0 +N) = (1− a)n0+N∑m=n0

an0+N−m u(m)

que fica univocamente determinada conhecendo-se u(m) com m = n0 · · ·n0 +N .

Proposição: Todo sistema inicialmente e

introdução - ifcprofessor.luzerna.ifc.edu.br/rafael-oliveira/wp-content/...de forma geral, os...

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