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Introdução aos Métodos Numéricos

Instituto de Computação UFFDepartamento de Ciência da Computação

Otton Teixeira da Silveira Filho

Conteúdo temático

● Interpolação

Conteúdo específico

● Instabilidade Numérica

● Polinômios malcondicionados

● Fenômeno de Runge

● Algumas observações úteis

● Exercícios

Interpolação

Mas a interpolação, não importando a técnica, pode apresentar problemas...

Interpolação

Mas a interpolação, não importando a técnica, pode apresentar problemas...

Como qualquer criação humana...

Interpolação

Para este estudo usaremos o Maxima mais uma vez

● Mal_poli

onde veremos uma questão numérica que os polinômios carregam

Interpolação

Polinômios podem ser mal-condicionados e o condicionamento tende a piorar com o aumento do grau

Fenômeno de Runge

Interpolemos a função

no intervalo [-1,1] com pontos igualmente espaçados usando 3, 5, 7 e 9 pontos.

f (x)=1

1+25 x2

Fenômeno de Runge

O efeito da interpolação com mais e mais pontos igualmente espaçados está representado na figura

Fenômeno de Runge

● Observe que a interpolação piora como um todo quando aumentamos o grau do polinômio interpolante

● A interpolação melhora na parte próxima ao centro da figura

● A interpolação piora nos extremos do intervalo de interpolação

Fenômeno de Runge

Para este estudo usaremos o Maxima mais uma vez

● Exemplo_de_Runge4

● Runge_derivadas

● O_porque

Leve em conta a fórmula de erro para a interpolação que apresentamos anteriormente

Fenômeno de Runge

Deste estudo chegamos a três questões:

● Não controlamos as derivadas da função original

● Usar pontos igualmente espaçados pode gerar problemas

● Os pontos calculados nos extremos do intervalo de interpolação são mais sensíveis a apresentarem problemas

Interpolação

Num resumo:

● compreendamos o problema no qual estamos trabalhando

● devemos encarar cada problema como único

● todas as técnicas, numéricas ou não, tem suas limitações

● Use pontos extras nos extremos

Interpolação

Interpolação: como usar

● Estude a natureza do seu problema

● Evite usar polinômios de ordem “alta“ (n>10)

● Verifique qual a técnica mais adequada em termos computacionais

Interpolação

Interpolação: como usar as técnicas aqui apresentadas

● Se o polinômio é necessário na forma canônica, vá pela solução do sistema

● Se o número de valores a serem interpolados é menor que o número de pontos interpolantes, use Lagrange

● Se os pontos são igualmente espaçados, use Newton-Gregory

Interpolação


● Se o número de valores a serem interpolados é maior que o número de pontos interpolantes, resolva o sistema e use o algoritmo de Horner

● Se você necessitar adicionar pontos, use Newton-Gregory

Interpolação


● Se o número de valores a serem interpolados é maior que o número de pontos interpolantes, resolva o sistema e use o algoritmo de Horner

● Se você necessitar adicionar pontos, use Newton-Gregory

● Estas regras são gerais e podem não valer para um caso específico

Interpolação

Vamos a um exercício...

Interpolação – Mais um Exemplo

Dada a função tabelada abaixo, dê a melhor estimativa possível para o ponto de máximo. Justifique seus procedimentos.

x 0,6 1,1 1,6 2,1

y 2,341 2,491 2,451 2,24



O que se quer?

x 0,6 1,1 1,6 2,1

y 2,341 2,491 2,451 2,24



O que se quer?

Para o que se quer?

x 0,6 1,1 1,6 2,1

y 2,341 2,491 2,451 2,24



O que se quer?

Para o que se quer?

O que temos?

x 0,6 1,1 1,6 2,1

y 2,341 2,491 2,451 2,24



O que se quer?

Para o que se quer?

O que temos?

Qual a técnica mais conveniente ao problema?

x 0,6 1,1 1,6 2,1

y 2,341 2,491 2,451 2,24


Observe que necessitamos do ponto de máximo de uma função que não temos.

x 0,6 1,1 1,6 2,1

y 2,341 2,491 2,451 2,24


Observe que necessitamos do ponto de máximo de uma função da qual não temos a expressão.

Para obter uma aproximação da função usaremos interpolação.

Os pontos igualmente espaçados nos sugere Newton-Gregory?

x 0,6 1,1 1,6 2,1

y 2,341 2,491 2,451 2,24




Os pontos igualmente espaçados nos sugere Newton-Gregory? Claro que não!

x 0,6 1,1 1,6 2,1

y 2,341 2,491 2,451 2,24




Os pontos igualmente espaçados nos sugere Newton-Gregory? Claro que não!

Nosso objetivo só é possível se derivarmos o polinômio

● Derivar o polinômio dado por Newton-Gregory é mais trabalhoso que na forma canônica

x 0,6 1,1 1,6 2,1

y 2,341 2,491 2,451 2,24


Nosso objetivo só é possível se derivarmos o polinômio

Derivar o polinômio dado por Newton-Gregory é (assim como achar as raizes deste polinômio) mais trabalhoso que na forma canônica


Como desejamos a melhor estimativa possível, usaremos todos os pontos

x 0,6 1,1 1,6 2,1

y 2,341 2,491 2,451 2,24


Resolvamos o sistema para determinar os coeficientes do polinômio interpolador, no caso, de grau 3.

x 0,6 1,1 1,6 2,1

y 2,341 2,491 2,451 2,24

(1 x0 x0

2 x03

1 x1 x12 x1

3

1 x2 x22 x2

3

1 x3 x32 x3

3 )(a0

a1

a2

a3

)=(y0

y1

y2

y3

)


Teremos para os pontos dados

e daí o sistema

(1 0,6 0,36 0,2161 1,1 1,21 1,3311 1,6 2,56 4,0961 2,1 4,41 9,261

) (a0

a1

a2

a3

)=(2,3412,4912,4512,24

)

x 0,6 1,1 1,6 2,1

y 2,341 2,491 2,451 2,24


Resolvendo...

(1 0,6 0,36 0,2161 1,1 1,21 1,3311 1,6 2,56 4,0961 2,1 4,41 9,261

) (a0

a1

a2

a3

)=(2,3412,4912,4512,24

).

m21=−1/1=−1m31=−1/1=−1m41=−1/1=−1


Resolvendo...

(1 0,6 0,36 0,2160 0,5 0,85 1,1150 1 2,2 3,880 1,5 4,05 9,045

) (a0

a1

a2

a3

)=(2,3410,150,11

−0,101)

.

.m32=−1 /0,5=−2m42=−1,5 /0,5=−3

(1 0,6 0,36 0,2161 1,1 1,21 1,3311 1,6 2,56 4,0961 2,1 4,41 9,261

) (a0

a1

a2

a3

)=(2,3412,4912,4512,24

).

m21=−1/1=−1m31=−1/1=−1m41=−1/1=−1


Resolvendo...

(1 0,6 0,36 0,2160 0,5 0,85 1,1150 0 0,5 1,650 0 1,5 5,7

) (a0

a1

a2

a3

)=(2,3410,15

−0,19−0,551

)...

m43=−1,5 /0,5=−3


Resolvendo...

(1 0,6 0,36 0,2160 0,5 0,85 1,1150 0 0,5 1,650 0 1,5 5,7

) (a0

a1

a2

a3

)=(2,3410,15

−0,19−0,551

)...

m43=−1,5 /0,5=−3

(1 0,6 0,36 0,2160 0,5 0,85 1,1150 0 0,5 1,650 0 0 0,75

) (a0

a1

a2

a3

)=(2,3410,15

−0,190,019

)


Observe que o fato dos pontos serem ordenados e igualmente espaçados facilita os cálculos

(1 0,6 0,36 0,2160 0,5 0,85 1,1150 0 0,5 1,650 0 0 0,75

) (a0

a1

a2

a3

)=(2,3410,15

−0,190,019

)


Resolvendo...

(1 0,6 0,36 0,2160 0,5 0,85 1,1150 0 0,5 1,650 0 0 0,75

) (a0

a1

a2

a3

)=(2,3410,15

−0,190,019

)0,75 a3=0,019⇒ a3=0,019 /0,75=0,025 33


Resolvendo...

(1 0,6 0,36 0,2160 0,5 0,85 1,1150 0 0,5 1,650 0 0 0,75

) (a0

a1

a2

a3

)=(2,3410,15

−0,190,019

)0,75 a3=0,019⇒ a3=0,019 /0,75=0,025 33

0,5 a2+1,65 a3=−0,19⇒a2=1

0,5(−0,19−1,65×0,025 33 )=−0,4636


Resolvendo...

(1 0,6 0,36 0,2160 0,5 0,85 1,1150 0 0,5 1,650 0 0 0,75

) (a0

a1

a2

a3

)=(2,3410,15

−0,190,019

)0,75 a3=0,019⇒ a3=0,019 /0,75=0,025 33

0,5 a2+1,65 a3=−0,19⇒a2=1

0,5(−0,19−1,65×0,025 33 )=−0,4636

0,5 a1+0,85 a2+1,115 a3=0,15⇒a1=1

0,5[0,15−0,85×(−0,4636)−1,115×0,025 33 ]=1,03162 66


Resolvendo...

(1 0,6 0,36 0,2160 0,5 0,85 1,1150 0 0,5 1,650 0 0 0,75

) (a0

a1

a2

a3

)=(2,3410,15

−0,190,019

)0,75 a3=0,019⇒ a3=0,019 /0,75=0,025 33

0,5 a2+1,65 a3=−0,19⇒a2=1

0,5(−0,19−1,65×0,025 33 )=−0,4636

0,5 a1+0,85 a2+1,115 a3=0,15⇒a1=1

0,5[0,15−0,85×(−0,4636)−1,115×0,025 33 ]=1,03162 66

a0+0,6 a1+0,36a2+0,215a3=2,341

a0=2,341−0,6×1,03162 66−0,36×(−0,4636)−0,216×0,025(33)=1,883448


Polinômio interpolador

Derivando para determinar o máximo...

p3(x)=1,883448+1,0316266 x−0,4636 x2+0,02533 x3


Polinômio interpolador

Derivando para determinar o máximo...

p3(x)=1,883448+1,0316266 x−0,4636 x2+0,02533 x3

p3(x)'=1,0316266−0,9272 x+0,076 x2

=0

x=−(−0,9272)±√(−0,9272)2−4×0,076×1,03162 66

2×0,076=

0,9272±√0,546086350,152


As raízes da derivada do polinômio interpolador são

Observe que somente um destes pontos está dentro do intervalo de interpolação

A resposta do problema é aproximadamente 1,238

10,9616878 e 1,23831213

x 0,6 1,1 1,6 2,1

y 2,341 2,491 2,451 2,24

Interpolação

● A inexperiência num assunto pode nos levar a agir impulsivamente o que, algumas vezes, resulta em dificuldades

Interpolação


● O foco deve estar no problema e não na nossa pretensa comodidade

Interpolação



● Observe que o sistema de equações gerado na interpolação é mais simples que um sistema genérico

Interpolação



● Observe que o sistema de equações gerado na interpolação é mais simples que um sistema genérico

● Usar poucas casas decimais nem sempre facilita resolver o problema

Interpolação – Tópico avançado

Resolução eficiente do sistema com a matriz de Vandermonde

Já tínhamos observado que a estrutura desta matriz poderia proporcionar uma maneira mais eficiente na sua resolução

(1 x0 x0

2 x03

⋯ x0n

1 x1 x12 x1

3 ⋯ x1n

1 x2 x22 x2

3⋯ x2

n

1 x3 x32 x3

3⋯ x3

n

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮

1 xn xn2 xn

3⋯ xn

n)(a0

a1

a2

a3

⋮an

)=(y0

y1

y2

y3

⋮yn

)

Interpolação – Resolução eficiente m. Vandermonde


Aqui apresentaremos o pseudocódigo que pode ser encontrado no livro

Matrix Computations de Gene H. Golub e Charles F. Van Loan que tem custo computacional O(n2).



para k = 0 até n-1 para i de n-1 até k yi = (yi – yi-1)/(xi – xi-k-1)

para k = n-2 até 0 para i de k até n-2 yi = yi+1 * xk



Este pseudocódigo parte dos pontos interpolantes armazenados em dois vetores x e y. Os valores de y são destruídos no processo.

● Após o primeiro par de laços, y contém os coeficientes da fórmula de Newton-Gregory

● Após o segundo par de laços, y contém os coeficientes do polinômio na forma canônica


Este algoritmo pode ser feito também com o uso de tabelas fazendo com que o método partindo do sistema se torne competitivo com cálculos manuais em termos de custo computacional em relação aos outros métodos aqui apresentados.

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