introdução aos métodos numéricos - uffotton/graduacao/introducaonumericos/aulas_integra... ·...

Introdução aos Métodos Numéricos

Instituto de Computação UFFDepartamento de Ciência da Computação

Otton Teixeira da Silveira Filho

Conteúdo

● Erros e Aproximações Numéricas

● Sistemas de Equações Lineares. Métodos diretos

● Interpolação

● Ajuste de Curvas

● Zeros de Função

● Sistemas de Equações Lineares. Métodos Iterativos

● Integração Numérica

● Introdução à Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias

Conteúdo

● Integração Numérica

Conteúdo

● Regra de Simpson

Simpson

Vamos aumentar o grau do polinômio interpolador para 2. Sabemos que agora teremos que ter três pontos para que haja um único polinômio interpolador de grau 2.

Escolheremos os pontos extremos do intervalo mais o ponto médio do intervalo.

Observe que, mais uma vez, não há um motivo claro para fazer esta escolha de pontos

Simpson

Nossa figura será algo como abaixo e a área demarcada a área da parábola interpoladora

Simpson

Para facilitar o cálculo da área da parábola interpoladora, faremos uma transformação de coordenadas ilustrada na figura

Simpson

Com esta translação não afetamos a área,

integraremos o polinômio

neste sistema de coordenadas sabendo que

p2(x)=a0+a1 x+a2 x2

a corresponde a −h2 ;a+h2 corresponde a 0 ;

b corresponde a h2

Simpson

Integrando o polinômio teremos

ou

∫−h2

h2

p2(x)dx=∫−h2

h2

(a0+a1 x+a2 x2)dx=a0 x|−h2

h2 +a1x2

2|−h2

h2 +a2x3

3|−h2

h2

∫−h2

h2

p2(x)dx=2h2 a0+2a2

h23

3=

h2

3[6 a0+2a2h2

2 ]

Simpson

Observe que o polinômio, por ser interpolador, tem as seguintes propriedades

p2(−h2)=a0−a1h2+a2h22= f (−h2)

p2(h2)=a0+a1h2+a2h22= f (h2)

p2(0)=a0=f (0)

Simpson

Observe ainda que a soma

que comparando com

p2(−h2)+4 p2(0)+ p2(h2)=a0−a1h2+a2h22+40+a0+a1h2+a2h2

2=6a0+2a2 h2

2

∫−h2

h2

p2(x)dx=h2

3[6 a0+2a2 h2

2 ]

Simpson

nos dá o resultado

e como temos um polinômio interpolador, obtemos

∫−h2

h2

p2(x)dx=h2

3[6 a0+2a2 h2

2 ]=h2

3[ p2(−h2)+4 p2(0)+ p2(h2) ]

∫−h2

h2

p2(x)dx=h2

3[ f (−h2)+4 f (0)+ f (h2) ]

Simpson

Retornando ao sistemas de coordenadas original teremos

I≈∫a

b

p2(x)dx=h2

3[ f (a)+4 f (a+h2)+ f (b) ]=S2 ;h2=

b−a2

Simpson

Vamos agora integrar o intervalo usando duas parábolas com o intervalo dividido exatamente ao meio, ou seja,

Simpson

Aplicaremos a fórmula para uma parábola em cada subintervalo

ou

S4=h4

3[ f (a)+4 f (a+h4)+ f (a+2h4)]+

h4

3[ f (a+2h4)+4 f (a+3h4)+f (b)]

S4=h4

3[ f (a)+ f (b)+4 f (a+h4)+4 f (a+3h4)+2 f (a+2h4) ]

Simpson

Continuando o processo teremos

Sn=hn

3 [ f (a)+ f (b)+4 ∑i=1,2

n−1

f (a+i hn)+2 ∑i=2,2

n−2

f (a+ihn) ] ;hn=b−an

;n par

Simpson – Um exemplo

Façamos a mesma integração já solicitada, ou seja,

mas agora pela regra de Simpson.

Temos aqui o impedimento de só podermos usar um número par de subintervalos

∫1

2dxx


Simpson

Dois subintervalos

S2=h2

3[ f (a)+f (b)+4 f (a+h2) ] ;h2=

b−a2

=2−1

2=

12

Sn=hn

3 [ f (a)+ f (b)+4 ∑i=1,2

n−1

f (a+ i hn)+2 ∑i=2,2

n−2

f (a+ihn)]; hn=b−an

;n par

S2=h2

3 [ f (1)+f (2)+4 f (1+12) ]=1

312 [ 11+

12+4

13 /2 ]=25

36=0,69 44


Simpson

Quatro subintervalos

S4=h4

3[ f (a)+ f (b)+4 f (a+h4)+4 f (a+3h4)+2 f (a+2h4) ];h4=

b−a4

=2−1

4=

14

Sn=hn

3 [ f (a)+ f (b)+4 ∑i=1,2

n−1

f (a+ i hn)+2 ∑i=2,2

n−2

f (a+ihn)]; hn=b−an

;n par

S4=h4

3 [ f (1)+ f (2)+4 f (1+14)+4 f (1+3

14)+2 f (1+2

14) ]

S4=13

14 [ 11 +

12+4

15 /4

+41

7 /4+2

16 /4 ]=0,693253


Observemos os valores obtidos

Agora temos algo ainda mais preciso pois

S2=0,69 44 ; S4=0,693253

∫1

2dxx

=ln (2)≈0,693147

Integração numérica

Vamos a outro exercício um pouco mais focado

Integração numérica – Outro exemplo

Calcule numericamente o valores aproximados para a integral abaixo de forma que o erro relativo entre as estimativas contíguas seja menor que 0,001. Use a Regra dos Trapézios e a Regra de Simpson.

∫3

4e x

xdx


Usaremos números pares de subintervalos no Método dos Trapézios para facilitar as comparações com os resultados do Método de Simpson


Trapézios

Dois subintervalos

T n=hn

2 [ f (a)+ f (b)+2∑i=1

n−1

f (a+i hn ) ] ;hn=b−an

; f (x )=ex

x

T 2=h2

2[ f (a)+f (b)+2 f (a+h2) ] ;h2=

b−a2

=4−3

2=

12

T 2=12

12

[ f (3)+ f (4)+2 f (3+1 /2)]= 14

[6,695178+13,649537+2×9,461557 ]=9,816957


Trapézios


T n=hn

2 [ f (a)+ f (b)+2∑i=1

n−1


; f (x )=ex

x

T 4=h4

2[ f (a)+ f (b)+2 f (a+h4)+2 f (a+2h4)+2 f (a+3h4)] ;h4=

b−a4

=4−3

4=

14

T 4=12

14

[ f (3)+ f (4)+2 f (13 /4)+2 f (14 /4)+2 f (15 /4)]

T 4=18

[6,695178+13,649537+2×7,935489+2×9,461557+2×11,338955 ]=9,727090


Vejamos como nossas estimativas evoluem

|T 4−T 2||T 2|

=|9,727090−9,816957|

|9,816957|=

0,0898669,816957

≈0,009154


Trapézios

Seis subintervalos

T n=hn

2 [ f (a)+ f (b)+2∑i=1

n−1


; f (x )=ex

x

T 6=h6

2 {f (a)+ f (b)+2 [ f (a+h6)+ f (a+2h6)+f (a+3 h6)+ f (a+4h6)+ f (a+5h6) ] }; h6=b−a

4=

4−36

=16

T 6=12

16

{f (3)+ f (4)+2 [ f (19 /6)+ f (20 /6)+ f (21 /6)+ f (22 /6)+ f (23 /6) ] }

T 6=112

{6,695178+13,649537+2× [7,493134+8,409487+9,461557+10,669441+12,056435 ] }=9,710402



|T 6−T 4||T 4|

=|9,710402−9,727090|

|9,727090|=

0,0166889,728090

≈0,001715


Trapézios

Oito subintervalos

T n=hn

2 [ f (a)+ f (b)+2∑i=1

n−1


; f (x )=ex

x

T 8=h8

2 {f (a)+f (b)+2 [ f (a+h8)+ f (a+2h8)+f (a+3 h8)+ f (a+4 h8)+ f (a+5h8)+f (a+6 h8)+ f (a+7h8)] }; h8=18

T 8=12

18

{f (3)+ f (4)+2 [ f (25 /8)+ f (26 /8)+ f (27 /8)+ f (28 /8)+ f (29 /8)+ f (30 /8)+ f (31 /8) ]}

T 8=116

{6,695178+13,649537+2× [7,283166+7,935489+8,659047+9,461557+10,351647+11,338955+12,434244 ] }

T 8=9,704557



|T 8−T 6||T 6|

=|9,704557−9,710402|

|9,710402|=

0,0058459,710402

≈0,0006010



Atingimos o valor solicitado

|T 8−T 6||T 6|

=|9,704557−9,710402|

|9,710402|=

0,0058459,710402

≈0,0006010


Simpson

Dois subintervalos

S2=h2

3[ f (a)+f (b)+4 f (a+h2) ] ;h2=

b−a2

=4−3

2=

12

S2=13

12

[ f (3)+ f (4)+4 f (3+1 /2)]=16

[ 6,695178+13,649537+4×9,461557 ]=9,698491

Sn=hn

3 [ f (a)+ f (b)+4 ∑i=1,2

n−1

f (a+ i hn)+2 ∑i=2,2

n−2

f (a+i hn)] ;hn=b−an

;n par

f (x )=ex

x


Simpson


S4=h4

3[ f (a)+f (b)+4 f (a+h4)+4 f (a+3h4)+2 f (a+2h4)] ;h4=

b−a4

=4−3

4=

14

S4=13

14

[ f (3)+ f (4)+4 f (13 /4)+4 f (15 /4)+2 f (14 /4)]

S4=1

12[6,695178+13,649537+4×7,935489+4×11,338955+2×9,461557 ]=9,697133

Sn=hn

3 [ f (a)+ f (b)+4 ∑i=1,2

n−1

f (a+ i hn)+2 ∑i=2,2

n−2

f (a+i hn)] ;hn=b−an

;n par

f (x )=ex

x



|S4−S2||S2|

=|9,697133−9,698491|

|9,698491|=

0,0013579,710402

≈0,000139



Atingimos o valor solicitado

|S4−S2||S2|

=|9,697133−9,698491|

|9,698491|=

0,0013579,710402

≈0,000139


Dados tirados dos programas apresentados na página da disciplina

Enquanto a integral tem o valor

T 2=9,816957 ;T 4=9,727090 ;T 6=9,710402 ;T 8=9,704557

S2=9,698491 ; S4=9,697134 ; S6=9,697061 ; S8=9,697048

∫3

4e x

xdx=Γ(0,−3)−Γ(0,−4)≈9,697041899430811


Os resultados de Simpson indicam que este método é mais preciso

Mas é só pelo aumento no grau do polinômio?

É também pela escolha do ponto médio

E isto gera uma surpresa


Um exemplo simples...


Determine o valor da integral dada abaixo analiticamente e numericamente por Simpson

o polinômio acima poderia ser qualquer outro do terceiro grau

∫2

5

(3−2 x+5 x2+x3

)dx


Analiticamente

ou

∫2

5

(3−2 x+5 x2+x3

)dx=(3 x−x2+

53

x3+

x4

4)|2

5=3×(5−2)−(52

−22)+

53×(53

−23)+

54−24

4

∫2

5

(3−2 x+5 x2+x3

)dx=335,25


Simpson com dois subintervalos

ou

f (x)=3−2 x+5 x2+x3

S2=h2

3[ f (a)+f (b)+4 f (a+h2) ] ;h2=

b−a2

=5−2

2=

32

S2=h2

3 [ f (2)+ f (5)+4 f (2+32)]=1

332 [27+243+4×

8018 ]=1

21341

2=335,25


Analiticamente

Numericamente

S2=335,25

∫2

5

(3−2 x+5 x2+x3 ) dx=335,25


A pergunta é porque deu exato?

● Ninguém se espantaria se integrássemos um polinômio de primeiro grau por Trapézios e desse exato

● Ninguém se espantaria se integrássemos um polinômio de segundo grau por Simpson e desse exato

● No entanto, a escolha do ponto médio em Simpson permite que ele seja exato para um polinômio de terceiro grau


Uma análise do erro para as fórmulas compostas de Trapézios e Simpson nos daria

Temos erro zero se o integrando for um polinômio de até primeiro grau para Trapézios e até terceiro grau para Simpson

ET≈−h2

12(b−a) f ' '

(ξ); ES≈−h4

180(b−a) f (IV )

(ξ); h=b−an

introdução aos métodos numéricos - uffotton/graduacao/introducaonumericos/aulas_integra... ·...

Documents