introducci´on a la teor´ıa de semigrupos - …falvarez/notes/semigrupos03.pdf1.3. funciones en...

departamento de ingenieria matematicafacultad de ciencas fisicas y matematicas

UNIVERSIDAD DE CHILE

Introduccion a la Teorıa deSemigrupos

∀s, t ≥ 0, T (s + t) = T (s)T (t)

Apuntes para la III Escuela de Verano

DIM-MECESUP-CMM

Felipe Alvarez & Juan Peypouquet

Diciembre 2003

Prefacio

El objetivo de estas notas es proporcionar una breve introduccion a la teorıa de semigrupos deoperadores acotados en espacios de Banach, donde el unico requisito necesario por parte del lectores un conocimiento elemental de Analisis Funcional.

Hemos dividido el material en tres capıtulos. En el capıtulo 1 recordamos la definicion y al-gunas propiedades de los operadores lineales en espacios de Banach. En el capıtulo 2 tratamoslos semigrupos uniformemente continuos, enfatizando las propiedades de sus generadores infinitesi-males. En el capıtulo 3 nos concentramos en semigrupos fuertemente continuos y, en el contexto desemigrupos de contracciones, proporcionamos demostraciones detalladas de los celebres teoremasde Hille-Yosida y Lumer-Phillips. Como complemento, el lector encontrara al final de estos apuntesuna pequena lista de ejercicios y de referencias bibliograficas.

Con el fin de mantener el caracter elemental y autocontenido de la exposicion, deliberadamentehemos dejado fuera toda discusion acerca de la aplicacion de la teorıa abstracta a problemas devalor inicial concretos relacionados con ecuaciones en derivadas parciales.

Estos apuntes describen lo realizado en uno de los 4 cursos de la III Escuela de Verano delDepartamento de Ingenierıa Matematica de la Universidad de Chile, la que se desarrollo entre el1 y el 19 diciembre de 2003. Agradecemos a los participantes en esta Escuela de Verano por suscomentarios y sugerencias, los cuales nos permitieron mejorar la presentacion de estos apuntes.Expresamos tambien nuestra gratitud a Regina Mateluna por su trabajo al transcribir en LaTeXbuena parte de las notas manuscritas.

F. Alvarez y J. Peypouquet.

3

Indice general

1. Operadores lineales acotados 71.1. Definicion y propiedades generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. Convergencias en B(X, X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3. Funciones en B(X, X) en serie de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4. Operadores acotados invertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5. Problema de Cauchy asociado a un operador acotado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. Semigrupos uniformemente continuos 132.1. Definiciones: semigrupo y generador infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2. Integral de Riemann de un SUC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3. Acotamiento del generador infinitesimal de un SUC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4. Correspondencia entre un SUC y su generador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3. Semigrupos fuertemente continuos 173.1. Definicion y propiedades preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2. Cerradura del generador infinitesimal de un C0-semigrupo . . . . . . . . . . . . . . . 203.3. C0-semigrupos de contracciones y el teorema de Hille-Yosida . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3.1. Demostracion del teorema de Hille-Yosida: necesidad . . . . . . . . . . . . . . 223.3.2. Regularizada de Yosida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3.3. Demostracion del teorema de Hille-Yosida: suficiencia . . . . . . . . . . . . . 25

3.4. Operadores disipativos y el teorema de Lumer-Phillips . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Ejercicios 29

Bibliografıa 31

5

6 INDICE GENERAL

Capıtulo 1

Operadores lineales acotados

1.1. Definicion y propiedades generales

En lo sucesivo, X, Y seran espacios de Banach sobre un cuerpo K, el cual puede ser R o C.Denotaremos indistintamente por ‖ · ‖ la norma en X y en Y .

Definicion. Sea D un subespacio vectorial de X. Una funcion A : D → Y es un operador lineal, osimplemente operador, de X en Y si D es denso en X y A es lineal; i.e.,i) D = X.ii) ∀α ∈ K, f, g ∈ D,A(αf + g) = αA(f) + A(g).Al conjunto de los operadores de X en Y con dominio D lo denotaremos por L(D,Y ).

Diremos que un operador A ∈ L(X, Y ) es acotado si

supf∈X‖f‖=1

‖Af‖ < ∞,

en cuyo caso escribiremos ‖A‖ := supf∈X‖f‖=1

‖Af‖. Al conjunto de los operadores acotados de X en Y

lo denotaremos por B(X, Y ).

Se tienen las siguientes propiedades:

a) L(X, Y ) es un espacio vectorial y B(X, Y ) es subespacio de L(X, Y ).

b) ‖ · ‖ es una norma en B(X, Y ).

c) ∀x ∈ X, ‖Ax‖ ≤ ‖A‖‖x‖.

d) Si D es denso en X y A ∈ B(D,Y ), entonces A se puede extender a todo X; es decir,∃A ∈ B(X, Y ) con Ax = Ax, ∀x ∈ D y ‖A‖B(X,Y ) = ‖A‖B(D,Y ).

Demostracion. Para x ∈ X, ∃(xn)n∈N ⊆ D tal que ‖xn − x‖ −−→n→∞

0. Definimos Ax =

lımn→∞

Axn. El lımite existe pues A es acotado e Y es un espacio de Banach. Ademas, A

esta bien definido pues si ‖fn − f‖ → 0 y ‖gn − f‖ → 0, entonces

7

8 CAPITULO 1. OPERADORES LINEALES ACOTADOS

‖Afn −Agn‖ ≤ ‖A‖‖fn − gn‖≤ ‖A‖ [‖fn − f‖+ ‖f − gn‖] −−→

n→∞0.

Claramente A es lineal y Ax = Ax ∀x ∈ D. Ademas,

‖A‖ = sup‖x‖=1x∈D

‖Ax‖ ≤ sup‖x‖=1x∈X

‖Ax‖ = ‖A‖.

Pero si ‖x‖ = 1, existe (xn)n∈N ⊆ D con ‖xn‖ = 1 y ‖xn − x‖ → 0. Ası,

‖Ax‖ = lımn→∞

‖Axn‖ ≤ ‖A‖ lımn→∞

‖xn‖ = ‖A‖.

e) Para A ∈ L(X, Y ), se tiene que

sup‖x‖=1

‖Ax‖ = sup‖x‖<1

‖Ax‖ = sup‖x‖≤1

‖Ax‖.

Demostracion. Para todo x en la bola unitaria B(0, 1), x 6= 0, ‖Ax‖ = ‖x‖‖A( x‖x‖)‖, luego

‖Ax‖ ≤ ‖A(x

‖x‖)‖ ≤ sup

‖y‖=1‖Ay‖ = ‖A‖

y sup‖x‖<1

‖Ax‖ ≤ sup‖x‖=1

‖Ax‖. Para el recıproco, sea (xn)n∈N, ‖xn‖ = 1 tal que ∀n ≥ 1, ‖Axn‖ ≥

sup‖x‖=1

‖Ax‖ − 1/n. Como (1− 1/n)xn ∈ B(0, 1), tenemos que ∀n,

sup‖x‖<1

‖Ax‖ ≥ (1− 1n

)

[sup‖x‖=1

‖Ax‖ − 1n

]

de donde sup‖x‖<1

‖Ax‖ ≥ sup‖x‖=1

‖Ax‖. Hecho esto, la otra igualdad es inmediata.

f) Si A ∈ L(X, Y ), son equivalentes:

i) A es acotado;

ii) A es continuo en todo X; y

iii) A es continuo en algun x0 ∈ X.

Demostracion. i)⇒ ii) ‖Ax−Ay‖ ≤ ‖A‖‖x− y‖.ii)⇒ iii) Inmediato.

iii)⇒ i) Existe δ > 0 tal que ∀y ∈ B(x0, δ), se tiene ‖Ax0 −Ay‖ < 1.Sea x ∈ B(0, 1). Entonces x0 + δx ∈ B(x0, δ). Luego 1 > ‖Ax0 − A(x0 + δx)‖ = ‖Aδx‖ =δ‖Ax‖, de modo que ∀x ∈ B(0, 1), ‖Ax‖ < 1/δ. Por lo tanto, sup

‖x‖<1‖Ax‖ ≤ 1/δ < ∞.

1.2. CONVERGENCIAS EN B(X, X) 9

g) Principio de Acotacion Uniforme. Sean A ∈ B(X, Y ) y (An)n∈N ⊆ B(X, Y ) tal queAnx → Ax,∀x ∈ X. Entonces ∃M > 0 tal que ‖An‖ ≤ M ∀n ∈ N.

La demostracion de este resultado fundamental puede encontrarse en los libros de AnalisisFuncional (ver por ejemplo [1]).

h) B(X, Y ) es un espacio de Banach.1

Demostracion. Sea (An)n∈N ⊆ B(X, Y ) una sucesion de Cauchy. Dado ε > 0, existe N ∈ Ntal que ∀m,n ≥ N, ‖Am −An‖ < ε.

Para cada x ∈ X con ‖x‖ = 1, ‖Anx − Amx‖ ≤ ‖An − Am‖ < ε ∀m,n ≥ N . La sucesion(Anx)n∈N es de Cauchy en Y , y converge a un elemento de Y que llamamos Ax pues el espacioes completo. Si 0 < ‖x‖ 6= 1, definimos Ax = ‖x‖A( x

‖x‖). Claramente A ∈ L(X, Y ). Veremosque A ∈ B(X, Y ) y que An → A en B(X, Y ).

Si ‖x‖ = 1, ‖Ax‖ − ‖Anx‖ ≤ ‖Ax−Anx‖ y ‖Ax‖ ≤ ‖An‖‖x‖+ ‖Ax−Anx‖.Como (An)n∈N es de Cauchy, entonces es acotada, i.e., sup

n∈N‖An‖ =: M < ∞. Haciendo tender

n a infinito, tenemos que ‖Ax‖ ≤ M, ∀x con ‖x‖ = 1. De allı, A ∈ B(X, Y ). Ademas, existeN tal que ∀m ≥ N y ∀x con ‖x‖ = 1, ‖Ax−Amx‖ < ε/2. Finalmente, ∀m ≥ N ,

‖A−Am‖ = sup‖x‖=1

‖Ax−Amx‖ ≤ ε

2< ε,

de donde An → A en B(X, Y ).

i) Si A ∈ B(Y, Z) y B ∈ B(X, Y ), entonces AB ∈ B(X, Z) y ‖AB‖ ≤ ‖A‖‖B‖.

Demostracion.

‖(AB)x‖ = ‖A(Bx)‖ ≤ ‖A‖‖Bx‖ ≤ ‖A‖‖B‖‖x‖.

j) B(X, X) es un algebra de Banach con unidad.

Demostracion. h), i), y el hecho que el operador identidad I : X → X es acotado.

1.2. Convergencias en B(X, X)

A la convergencia en B(X, X) a saber, An −→ A si y solo si ‖An − A‖ −−→n→∞

0, se le lla-

ma convergencia en norma o convergencia uniforme . Veremos otra nocion de convergencia. Sean(An)n∈N ⊆ B(X, X) y A ∈ B(X, X). Si ‖Anx − Ax‖ −−→

n→∞0,∀x ∈ X, se dice que An converge

fuertemente a A, y escribimos Ans−→A. Notemos que, dado que ‖Anx − Ax‖ ≤ ‖An − A‖‖x‖, la

convergencia uniforme implica convergencia fuerte al mismo lımite.1Estamos suponiendo que X e Y son espacios de Banach; sin embargo, para h) no es necesario que X sea completo.


El recıproco, en general, no es cierto, como lo muestra el siguiente ejemplo. Sea

X = `1(N) = {f : N→ C |∑n≥0

|f(n)| < ∞},

dotado de la norma ‖f‖ =∑n≥0

|f(n)|. Para cada n ∈ N, consideremos el operador

An : `1(N) → `1(N), Anf(j) ={

f(j) si j = n,0 si j 6= n.

Claramente, ∀n ∈ N, An ∈ B(X, X). Ademas Ans−→ 0 pues ∀f ∈ X

‖Anf − 0f‖ = ‖Anf‖ =∑k≥0

|Anf(x)| = |f(n)|,

y como f ∈ `1(N), se tiene que lımn→∞

|f(n)| = 0. Veamos que la convergencia no es uniforme. Sea

δn(k) ={

1 si k = n,0 si k 6= n.

Tenemos que ‖δn‖ = 1 y que

‖An‖ ≥ ‖Anδn‖ =∑k≥0

|Anδn(k)| = |δn(n)| = 1.

Ası, ‖An − 0‖ ≥ 1 de modo que no tiende a cero cuando n tiende a infinito.

1.3. Funciones en B(X, X) en serie de potencias

En lo sucesivo, X es un espacio de Banach complejo. Sea f : C→ C una funcion analıtica en un

entorno del origen y con radio de convergencia R para su representacion holomorfa f(z) =∞∑

n=0anzn.

Sea B la bola abierta en B(X, X) centrada en el origen y de radio R (todo B(X, X) si R = ∞).

Para A ∈ B definimos fn(A) =n∑

k=0

akAk, n ∈ N. Para cada n ∈ N, el operador fn(A) ∈ B(X, X),

por ser este conjunto un algebra. Y dado que f es analıtica la sucesion (fn(A))n∈N ⊆ B(X, X)es de Cauchy y por ser B(X, X) un espacio de Banach, converge a un elemento de B(X, X) quedenotamos por f(A). Ası, podemos definir, por ejemplo:

- ewA = exp(wA) :=∞∑

n=0

1n!w

nAn, con A ∈ B(X, X) y w ∈ C.

- Log(I + A) :=∞∑

n=1

(−1)n+1

n An, con ‖A‖ < 1.

- IλI−A :=

∞∑n=0

1λn+1 An, con ‖A‖ < |λ|.

1.4. OPERADORES ACOTADOS INVERTIBLES 11

Ademas, si ∀n, an ≥ 0, entonces ‖f(A)‖ ≤ f(‖A‖).

Observacion. Para A,B ∈ B(X, X), AB = BA ⇔ eA+B = eAeB.

Ejemplos.

1) Consideremos

X = R2, A =(

a bb a

)donde a y b son numeros reales. Entonces

exp(tA) = eat

(cosh(bt) senh(bt)senh(bt) cosh(bt)

)y

exp(itA) = eat

(cos(bt) i sen(bt)i sen(bt) cos(bt)

)

2) ∀A ∈ B(X, X), ‖ exp(A)‖ ≤ e‖A‖.

1.4. Operadores acotados invertibles

Definicion. Sean X, Y espacios de Banach y A ∈ B(X, Y ). Se dice que A es invertible si existeB ∈ B(Y, X) tal que ∀x ∈ X, BAx = x y ∀y ∈ Y, ABy = y. En ese caso, se dice que B es el inversode A y se denota por B = A−1.

Una aplicacion muy importante de las funciones en B(X, X) en serie de potencias es la siguiente.

Proposicion. Si A ∈ B(X, X) y ‖A‖ < 1, entonces I −A es invertible.

Demostracion. La funcion f(z) = 11−z es analıtica en {z ∈ C | |z| < 1}. Como ‖A‖ < 1,

tenemos que f(A) ∈ B(X, X) y es facil ver a partir de la serie de potencias f(A) =∞∑

n=0An que

(I −A)f(A) = f(A)(I −A) = I. Concluimos que I −A es invertible.

Observacion. Si A es invertible y α ∈ C \ {0}, entonces αA es invertible y (αA)−1 = 1αA−1.

1.5. Problema de Cauchy asociado a un operador acotado

Dado un intervalo abierto I ⊂ R, definimos D(I,X) = {f : I → X | ∀t ∈ I,∃ lımh→0

f(t+h)−f(t)h } y

para f ∈ D(I, X), ponemos ddtf(t) := lım

h→0

f(t+h)−f(t)h . Para un intervalo I que es cerrado en alguno

de sus extremos, entonces la definicion es la misma si t es un punto en el interior de I, mientrasque si t es un punto extremo entonces consideramos solo lımites por la izquierda o por la derechasegun corresponda.


Parece natural preguntarse si etAf0 sera solucion de

(P ; f0)

ddtf(t) = Af(t)f ∈ D([0,∞), X)f(0) = f0.

para A ∈ B(X, X). Para ello debemos probar que

‖e(t+h)Af0 − etAf0

h−AetAf0‖ −−→

n→∞0.

Claramente (tA)(hA) = (hA)(tA) y AetA = etAA. Luego

‖e(t+h)Af0 − etAf0

h−AetAf0‖ =

1|h|‖etA(ehA − I − hA)f0‖

≤ 1|h|‖etA‖‖ehA − I − hA‖‖f0‖

≤ |h| · ‖etA‖‖f0‖‖A2

2+

∞∑n=3

hnAn

n!‖

≤ |h|‖etA‖(‖A‖2 + eh‖A‖)‖f0‖ −−→h→0

0.

Lo anterior es valido ∀t ∈ R. Concluimos que f(t) = etAf0 ∈ D(R, X) y f(t) es solucion de (P ; f0).

Capıtulo 2

Semigrupos uniformemente continuos

2.1. Definiciones: semigrupo y generador infinitesimal

Definicion. Una familia {T (t)}t≥0 ⊆ B(X, X) es un semigrupo uniparametrico de operadores aco-tados (o simplemente semigrupo) si:

i) T (0) = I.

ii) ∀s, t ≥ 0, T (s + t) = T (s)T (t).

Si un semigrupo {T (t)}t≥0 satisface ademas

iii) ‖T (t)− I‖ −−→t→0+

0,

decimos que es un semigrupo uniformemente continuo, o SUC para abreviar.

Ejercicio. Pruebe que i), ii), iii) ⇒ ∀t ≥ 0, ‖T (t + h)− T (t)‖ −−→h→0

0.

Ejemplo. Dado A ∈ B(X, X), etA definido como en la seccion 1.3 es un SUC. Veremos mas adelanteque todo SUC es de la forma etA para algun A ∈ B(X, X).

Definicion. Sea {T (t)}t≥0 ⊆ B(X, X) un SUC. El generador infinitesimal de T (t) es el operadorAT : D(AT ) → X, definido por:

D(AT ) = {x ∈ X | ∃ lımt↓0

T (t)x− x

t}, y

AT x = lımt↓0

T (t)x− x

t=:

d+T (t)xdt

∣∣∣∣t=0

, para x ∈ D(AT ).

En realidad, es un abuso decir que AT es un operador pues no sabemos a priori que D(AT ) sea densoen X. Sin embargo, en la seccion 2.3 demostraremos que si T (t) es un SUC entonces D(AT ) = Xy AT ∈ B(X, X).

13

14 CAPITULO 2. SEMIGRUPOS UNIFORMEMENTE CONTINUOS

2.2. Integral de Riemann de un SUC

Consideremos 0 ≤ a < b < ∞ y denotemos por Pba al conjunto de todas las particiones de [a, b] en

un numero finito de subintervalos. Si P ∈ Pba y P = (x0, ..., xn), escribimos |P | = max

k=1,...,n{xk−xk−1}.

Dado un SUC {T (t)}t≥0 en B(X, X) definimos Rp(T ) =n∑

k=1

(xk − xk−1)T (xk−1). Escribimos la

integral de Riemann de T (t) :b∫a

T (t)dt = lım|P |→0

Rp(T ), donde el lımite se toma sobre todas las

P ∈ Pba. Dada la continuidad uniforme de {T (t)}t≥0, es posible probar que el lımite siempre existe

y tiene las siguientes propiedades:

a)b∫a

T (t)dt ∈ B(X, X).

b) Si U y T son Semigrupos Uniformemente Continuos y A es acotado, entoncesb∫a[AT (t) +

U(t)]dt = Ab∫a

T (t)dt +b∫a

U(t)dt.

c) ∀t ≥ 0, 1h

t+h∫t

T (s)ds −−→h→0

T (t), es decir, ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que si |h| < δ, entonces

‖ 1h

t+h∫t

T (s)ds− T (t)‖ < ε.

2.3. Acotamiento del generador infinitesimal de un SUC

Proposicion. Si {T (t)}t≥0 es un SUC entonces D(AT ) = X y AT ∈ B(X, X).

Demostracion. Podemos escoger δ > 0 suficientemente pequeno, de manera que

‖I − δ−1

δ∫0

T (s)ds‖ < 1.

Entonces el operador δ−1δ∫0

T (s)ds es invertible (ver la seccion 1.4), y por lo tantoδ∫0

T (s)ds tambien

lo es. Ası, para h ∈ (0, δ), tenemos que

1h

[T (h)− I]

δ∫0

T (s)ds =1h

δ∫0

T (s + h)ds−δ∫

0

T (s)ds

=

1h

δ+h∫h

T (s)ds−δ∫

0

T (s)ds

2.4. CORRESPONDENCIA ENTRE UN SUC Y SU GENERADOR 15

=1h

δ∫h

T (s)ds−δ+h∫δ

T (s)ds−h∫

0

T (s)ds−δ∫

h

T (s)ds

=

1h

δ+h∫δ

T (s)ds−h∫

0

T (s)ds

.

Luego,

1h

[T (h)− I] =1h

δ+h∫δ

T (s)ds−h∫

0

T (s)ds

δ∫0

T (s)ds

−1

.

Ası

1h

[T (h)− I] −−→h→0

[T (δ)− I]

δ∫0

T (s)ds

−1

.

Dado que la convergencia uniforme implica convergencia fuerte, tenemos que para todo x ∈ Xexiste lım

h→0+

1h [T (h)x− x]. Concluimos que D(AT ) = X y

AT = [T (δ)− I]

δ∫0

T (s)ds

−1

∈ B(X, X)

por ser B(X, X) un algebra.

2.4. Correspondencia entre un SUC y su generador

Para cada SUC existe un unico generador infinitesimal, el cual es un operador acotado. Por otraparte, todo operador A ∈ B(X, X) es el generador infinitesimal del SUC definido por etA como enla seccion 1.3. En seguida probaremos que cada operador acotado genera un unico SUC.

Proposicion. Sean {S1(t)}t≥0 y {S2(t)}t≥0 dos Semigrupos Uniformemente Continuos. Supong-amos que

lımt↓0

S1(t)− I

t= lım

t↓0

S2(t)− I

t.

Entonces S1(t) = S2(t),∀t ≥ 0.

Demostracion. Fijemos t > 0 (para t = 0 es inmediato). Consideremos las funciones f(h) =‖S1(h)‖ y g(h) = ‖S2(h)‖. Dado que f y g son continuas, existen C1 y C2 positivos y tales que‖S1(h)‖ ≤ C2 y ‖S2(h)‖ ≤ C2,∀h ∈ [0, t].

16 CAPITULO 2. SEMIGRUPOS UNIFORMEMENTE CONTINUOS

Por otra parte, de la hipotesis se tiene que dado ε > 0, existe δ > 0 tal que 1h‖S1(h)−S2(h)‖ <

εtC1C2

para todo h ∈ (0, δ]. Escogemos n ∈ N∗ de manera que tn < δ. Observemos que la siguiente

suma:

n−1∑k=0

[S1

((n− k)t

n

)S2

(kt

n

)− S1

((n− k − 1)t

n

)S2

((k + 1)t

n

)]es telescopica.

Efectuando la suma y utilizando la propiedad de semigrupos: Sj(r + s) = Sj(r)Sj(s), conj = 1, 2, tenemos que

‖S1(t)− S2(t)‖ = ‖S1(n ·t

n)− S2(n ·

t

n)‖

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣n−1∑k=0

[S1

((n− k)t

n

)S2

(kt

n

)− S1

((n− k − 1)t

n

)S2

((k + 1)t

n

)]∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

≤n−1∑k=0

∣∣∣∣∣∣∣∣S1

((n− k)t

n

)S2

(kt

n

)− S1

((n− k − 1)t

n

)S2

((k + 1)t

n

)∣∣∣∣∣∣∣∣=

n−1∑k=0

∣∣∣∣∣∣∣∣[S1

((n− k − 1)t

n

)] [S1

(t

n

)− S2

(t

n

)] [S2

(kt

n

)]∣∣∣∣∣∣∣∣<

n−1∑k=0

C1 ·ε

t · C1C2· t

n· C2 =

nε

n= ε.

Como ε > 0 es arbitrario, concluimos que S1(t) = S2(t),∀t ≥ 0.

El siguiente teorema resume algunas propiedades importantes de los Semigrupos UniformementeContinuos.

Teorema. Sea {T (t)}t≥0 un SUC. Entonces:

i) Existe un unico operador acotado A tal que T (t) = etA, siendo A el generador infinitesimalde T (t).

ii) Existe una constante w ≥ 0 tal que ‖T (t)‖ ≤ ewt para todo t ≥ 0.

iii) La funcion T : [0,∞) → B(X, X) que a cada t ≥ 0 asigna el operador T (t) es diferenciable ennorma y satisface

d

dtT (t) = AT (t) = T (t)A.

En particular, dado f0 ∈ X, f(t) = T (t)f0 es la solucion de dfdt (t) = Af(t), t ≥ 0, tal que

f(0) = f0.

Demostracion. Se deja como ejercicio para el lector.

Capıtulo 3

Semigrupos fuertemente continuos

3.1. Definicion y propiedades preliminares

En esta seccion estudiaremos semigrupos de operadores acotados que satisfacen una condicionmas debil que la continuidad uniforme. Como corolario encontraremos condiciones sobre A paraque la ecuacion {

ddtf(t) = Af(t)f(0) = f0

tenga solucion en este contexto.

Definicion. Se dice que un semigrupo {T (t)}t≥0 de operadores acotados es fuertemente continuosi ∀x ∈ X se tiene que lım

t→0+T (t)x = x. Tambien se dice que T (t) es de clase C0 o que es un

C0-semigrupo.

Observemos que todo SUC es tambien un C0-semigrupo. La diferencia esta en que un SUCconverge uniformemente a la identidad en el cero, mientras que un C0-semigrupo converge fuerte-mente. Al igual que los Semigrupos Uniformemente Continuos, los C0-semigrupos satisfacen unapropiedad de acotacion para su norma:

Proposicion. Sea {T (t)}t≥0 un C0-semigrupo. Entonces existen w ≥ 0 y M ≥ 1 tales que ∀t ≥0, ‖T (t)‖ ≤ Mewt.

Demostracion. En virtud de la continuidad fuerte, existen δ > 0 y M ≥ 0 tales que ‖T (t)‖ ≤M ∀t ∈ [0, δ]. De lo contrario, existirıa una sucesion (tn)n∈N ⊆ (0,∞) con lım

n→∞tn = 0 y tal que

‖T (tn)‖ ≥ n ∀n ∈ N. El Principio de Acotacion Uniforme, asegura la existencia de un x ∈ X talque ‖T (tn)x‖ −−→

n→∞∞, contradiciendo la continuidad fuerte.

Ahora bien, dado que T (0) = I, tenemos que M ≥ 1. Por otra parte, dado t ≥ 0 existen m ∈ Ny η ∈ [0, δ) tales que t = δm + η (Lema de Euclides). Ası,

‖T (t)‖ = ‖T (δm + η)‖ = ‖T (δ)mT (η)‖≤ M ·Mm ≤ M ·M t/δ

17

18 CAPITULO 3. SEMIGRUPOS FUERTEMENTE CONTINUOS

pues m ≤ tδ y M ≥ 1. Tambien, como M ≥ 1, se tiene que w := 1

δ LogM ≥ 0. Entonces ew = M1/δ.Ası, M t/δ = ewt para todo t ≥ 0 y ‖T (t)‖ ≤ Mewt.

Proposicion. Si {T (t)}t≥0 es un C0-semigrupo, entonces para cada x ∈ X la funcion φx : [0,∞) →X definida por φx(t) = T (t)x es continua.

Demostracion. Sean t ≥ 0 y h ∈ [0, t]. Tenemos que

‖T (t + h)x− T (t)x‖ ≤ ‖T (t)‖‖T (h)x− x‖≤ Mewt‖T (h)x− x‖ −→

h↓00

Similarmente,

‖T (t− h)x− T (t)x‖ ≤ ‖T (t− h)‖‖x− T (h)x‖≤ Met−h‖x− T (h)x‖≤ Met‖T (h)x− x‖ −→

h↓00.

Notemos que el resultado anterior permite dar sentido a la integral de Riemann∫ ba T (s)xds para

todo x ∈ X.

La definicion de generador infinitesimal para un C0-semigrupo es la misma que para un SUC:

AT : D(AT ) ⊆ X → X.

D(AT ) = {x ∈ X | lımt→0+

T (t)x− x

texiste }, y

AT x = lımt→0+

T (t)x− x

t=

d+

dtT (t)x

∣∣∣∣t=0

para x ∈ D(AT ).

Veremos que en este caso, aunque es posible que D(AT ) X, se tiene que D(AT ) = X. Mas aun,dado que la continuidad fuerte es una condicion mas debil que la continuidad uniforme, esperamosque AT tambien tenga una propiedad un poco mas debil que el ser acotado. El siguiente resultadosera util para confirmar esos dos hechos.

Lema. Sean {T (t)}t≥0 un C0-semigrupo y AT su generador infinitesimal. Entonces:

a) ∀x ∈ X,

lımh→0

1h

t+h∫t

T (s)xds = T (t)x.

3.1. DEFINICION Y PROPIEDADES PRELIMINARES 19

b) ∀x ∈ X,

t∫0

T (s)xds ∈ D(AT ); y

AT

t∫0

T (s)xds

= T (t)x− x

c) ∀x ∈ D(AT ),

T (t)x ∈ D(AT ); yd

dtT (t)x = AT T (t)x = T (t)AT x.

d) ∀x ∈ D(AT ),

T (t)x− T (s)x =

t∫s

T (τ)AT xdτ =

t∫s

AT T (τ)xdτ.

Demostracion.

a) Es consecuencia de la proposicion anterior.

b) Sean x ∈ X y h > 0. Entonces

T (h)− I

h

t∫0

T (s)xds =1h

t∫0

[T (s + h)x− T (s)x]ds

=1h

t+h∫t

T (s)xds− 1h

h∫0

T (s)xds.

Tomando lımite con h → 0, tenemos quet∫0

T (s)xds ∈ D(AT ) y que

AT

t∫0

T (s)xds

= T (t)x− Ix = T (t)x− x.

c) Sean x ∈ D(AT ) y h > 0. Entonces[T (h)− I

h

]T (t)x =

[T (t + h)− T (t)

h

]x = T (t)

[T (h)x− x

h

]


Tomando lımite con h ↓ 0, tenemos

AT T (t)x =d+

dtT (t)x = T (t)AT x.

Falta ver que pasa con d−

dt .

lımh↓0

[T (t)x− T (t− h)x

h− T (t)AT x

]= lım

h↓0T (t− h)

[T (h)x− x

h−AT x

]+ lım

h↓0[T (t− h)AT x− T (t)AT x]

El primer termino del lado derecho es cero pues ‖T (t− h)‖ esta acotado para todos h ∈ [0, t]y x ∈ D(AT ). El segundo termino tambien es cero por la continuidad fuerte de T (t).

d) Basta tomar el resultado de la parte c) e integrar de s a t.

3.2. Cerradura del generador infinitesimal de un C0-semigrupo

Proposicion. Si AT es el generador infinitesimal de un C0-semigrupo, {T (t)}t≥0, entonces D(AT ) =X.

Demostracion. Sea x ∈ X. Construiremos una sucesion (xn)n∈N ⊆ D(AT ) que converge a x.

Para cada n ∈ N, definimos xn = n1/n∫0

T (s)xds. La parte b) del Lema anterior nos dice que

xn ∈ D(AT ) y de la parte a) se tiene que lımn→∞

xn = x.

De hecho, se puede probar algo mas fuerte:

Proposicion. Si AT es el generador infinitesimal de un C0-semigrupo y D(An) es el dominio deloperador An, entonces se tiene que

⋂n∈N

D(An) es denso en X.

Aunque el generador infinitesimal de un C0-semigrupo no necesariamente es acotado, este sı tieneuna propiedad similar, pero un poco mas debil.

Definicion. Sean X, Y espacios de Banach y A : D(A) ⊆ X → Y un operador. Se dice que A escerrado si dada una sucesion (xn)n∈N ⊆ D(A) que satisface lım

n→∞xn = x ∈ X y lım

n→∞Axn = y ∈ Y ,

se tiene que x ∈ D(A) y Ax = y.

Observemos que si A es acotado, entonces tambien es cerrado. El recıproco, en general, no escierto. Sin embargo, si D(A) = X, entonces A es acotado si, y solo si, es cerrado. La demostracionse deja como ejercicio.

Indicacion. La primera afirmacion se demuestra de manera inmediata. Para la segunda, busque uncontraejemplo. Para la ultima, demuestre primero que A es cerrado si, y solo si, G(A) := {(x,Ax) ∈

3.2. CERRADURA DEL GENERADOR INFINITESIMAL DE UN C0-SEMIGRUPO 21

X × Y | x ∈ D(A)} es cerrado en X × Y . Luego utilice el Teorema del Grafo Cerrado tomando encuenta que D(A) = X es un espacio de Banach.

Proposicion. Si AT es el generador infinitesimal de un C0-semigrupo {T (t)}t≥0, entonces AT escerrado.

Demostracion. Supongamos que (xn)n∈N ⊆ D(AT ) es tal que lımn→∞

xn = x ∈ X y lımn→∞

AT xn =

y ∈ Y . Debemos probar que x ∈ D(AT ) y AT x = y. De la parte d) del lema anterior tenemos que

T (t)xn =t∫0

T (s)yds. Pero lımn→∞

t∫0

T (s)AT xnds =t∫0

T (s)yds pues

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

t∫0

T (s)AT xnds−t∫

0

T (s)yds

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

t∫0

T (s)[AT xn − y]ds

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

≤t∫

0

‖T (s)‖‖AT xn − y‖ds

≤t∫

0

Mews‖AT xn − y‖ds

≤t∫

0

Mewt‖AT xn − y‖ds

≤ Mtewt‖AT xn − y‖ −−→n→∞

0.

Luego T (t)x− x =t∫0

T (s)yds. Ası, por la parte a) del Lema anterior,

lımt↓0

T (t)x− x

t= lım

t↓0

1t

t∫0

T (s)yds = T (0)y

= y.

Concluimos que x ∈ D(AT ) y que AT x = y. Es decir, AT es cerrado.Al igual que en el caso uniformemente continuo, el generador infinitesimal caracteriza al semi-

grupo.

Proposicion. Sean {T (t)}t≥0 y {S(t)}t≥0 dos C0-semigrupos con generadores infinitesimales A yB respectivamente. Entonces A = B si, y solo si T (t) = S(t) para todo t ≥ 0.

Demostracion. De la definicion de generador infinitesimal se tiene inmediatamente que si T (t) =S(t),∀t ≥ 0, entonces A = B. Supongamos ahora que A = B. Sean x ∈ X y t ≥ 0. Definimos lafuncion φt : [0, t] → X por φt(s) = T (t− s)S(s)x. Utilizando la parte c) del lema anterior y la regla


de la cadena, tenemos que

d

dsφt(s) =

[d

dsT (t− s)

]S(s) + T (t− s)

d

dsS(s)

= −AT (t− s)S(s) + T (t− s)BS(s)= −T (t− s)AS(s) + T (t− s)AS(s)= 0

pues A = B. Tenemos entonces que φt es constante en [0, t]. En particular φt(0) = φt(t). Es decir,T (t)x = S(t)x,∀t ≥ 0,∀x ∈ X.

3.3. C0-semigrupos de contracciones y el teorema de Hille-Yosida

Sabemos que todo C0-semigrupo satisface ‖T (t)‖ ≤ Mewt,∀t ≥ 0 para ciertas constantes M ≥ 1y w ≥ 0. Si w = 0, T (t) se dice uniformemente acotado y si ademas M = 1, se llama C0-semigrupode contracciones, en cuyo caso se tiene.

∀t ≥ 0,∀x, y ∈ X, ‖T (t)x− T (t)y‖ ≤ ‖x− y‖

Esta clase particular de semigrupos es muy interesante por su rol en diversas aplicaciones.

En lo que sigue queremos caracterizar los generadores infinitesimales de C0-semigrupos de con-tracciones. Para esto, recordemos que si A es un operador lineal, no necesariamente acotado, en X,el conjunto resolvente ρ(A) de A se define mediante:

ρ(A) := {λ ∈ C | λI −A es invertible y (λI −A)−1 es un operador acotado en X}.

La familia de operadores lineales acotados R(λ : A) := (λI − A)−1, con λ ∈ ρ(A), se llama laresolvente de A.

Teorema [Hille-Yosida, 1948]

Un operador lineal A : D(A) → X, no necesariamente acotado, es el operador infinitesimal deun C0-semigrupo de contracciones {T (t)}t≥0 si y solo si

(i) A es cerrado y D(A) = X.

(ii) El conjunto resolvente ρ(A) de A contiene a R++ y para todo λ > 0 se tiene ‖R(λ : A)‖ ≤ 1/λ.

3.3.1. Demostracion del teorema de Hille-Yosida: necesidad

Si A es el generador infinitesimal de un C0-semigrupo entonces es cerrado y D(A) = X. Dadoλ > 0, postulamos como candidato a la inversa de (λI −A) al operador definido por

R(λ)x :=

∞∫0

e−λtT (t)xdt

3.3. C0-SEMIGRUPOS DE CONTRACCIONES Y EL TEOREMA DE HILLE-YOSIDA 23

Como t → T (t)x es continuo y uniformemente acotado (pues ‖T (t)x‖ ≤ ‖x‖), la integral impropiaexiste en el sentido de Riemann y mas aun define un operador lineal acotado que satisface

‖R(λ)x‖ ≤∞∫0

e−λt‖T (t)x‖dt ≤ 1λ‖x‖.

Luego, para probar la necesidad solo falta verificar que R(λ) es efectivamente la inversa de (λI−A).Comencemos por considerar, dado h > 0,

T (h)− I

hR(λ)x =

1h

∞∫0

e−λt[T (t + h)x− T (t)x]dt

=1h

eλh

∞∫h

e−λtT (t)xdt−∞∫0

e−λtT (t)xdt

=

eλh − 1h

∞∫0

e−λtT (t)xdt− eλh

h

h∫0

e−λtT (t)xdt.

Cuando h ↓ 0, el lado derecho converge a λR(λ)x− x. Ası, ∀x ∈ X y ∀λ > 0, R(λ)x ∈ D(A) ymas aun

AR(λ)x = λR(λ)x− x.

En consecuencia,

(λI −A)R(λ) = I. (3.1)

Para que R(λ) sea propiamente la inversa de λI − A, falta ver que pasa cuando opera por laizquierda. Dado x ∈ D(A) tenemos

R(λ)Ax =

∞∫0

e−λtT (t)Axdt =

∞∫0

e−λtAT (t)xdt,

donde en la ultima igualdad usamos que T (t)Ax = AT (t)x,∀x ∈ D(A). Como A es cerrado, de la

convergencia de la ultima integral impropia deducimos que∞∫0

e−λtAT (t)xdt = A∞∫0

e−λtT (t)xdt =

AR(λ)x. Luego R(λ) y A conmutan sobre D(A), lo que junto con (3.1) implica que

R(λ)(λI −A)x = x,∀x ∈ D(A).

3.3.2. Regularizada de Yosida

Antes de demostrar la suficiencia de las condiciones (i) y (ii), necesitamos algunos resultadospreliminares:


Lema 1. Sea A un operador que satisface (i) y (ii) del teorema de Hille-Yosida. Si R(λ;A) =(λI −A)−1 entonces

lımλ→∞

λR(λ : A)x = x, ∀x ∈ X.

Demostracion. Sea x ∈ D(A). Como, dado λ > 0, se tiene

R(λ : A)(λI −A)x = x,

obtenemos que

λR(λ : A)x− x = R(λ : A)Ax

y luego

‖λR(λ : A)x− x‖ ≤ 1λ‖Ax‖

λ→∞−−→ 0.

Ası, el resultado es cierto para x ∈ D(A). Sea ahora (Xn) ⊆ D(A) con xn → x. Tenemos que

‖λR(λ : A)x− x‖ ≤ ‖λR(λ : A)(x− xn)‖+ ‖λR(λ : A)xn − xn‖+ ‖xn − x‖≤ 2‖x− xn‖+ ‖λR(λ : A)xn − xn‖.

Luego

lım supλ→∞

‖λR(λ : A)x− x‖ ≤ 2‖x− xn‖.

Haciendo n →∞ se deduce que lım supλ→∞

‖λR(λ : A)x− x‖ ≤ 0 y por lo tanto

lımλ→∞

λR(λ : A)x = x.

Como D(A) es denso, esto prueba el resultado.

Para cada λ > 0, el cual esta destinado a diverger a infinito1, definimos ahora la regularizadade Yosida de A mediante

Aλ = λAR(λ : A) = λA(λI −A)−1

= λ2R(λ : A)− λI.

Lema 2. Si A satisface las condiciones (i) y (ii) del teorema de Hille-Yosida, entonces

lımλ→∞

Aλx = Ax, ∀x ∈ D(A).

1Cuidado: algunos autores introducen el parametro λ y lo hacen tender a 0 en lugar de infinito, lo que explicaposibles discrepancias entre sus expresiones y las nuestras cuando λ aparece explıcitamente.

3.3. C0-SEMIGRUPOS DE CONTRACCIONES Y EL TEOREMA DE HILLE-YOSIDA 25

Demostracion. Para x ∈ D(A), del lema anterior se tiene λR(λ : A)Ax → Ax cuando λ → ∞,pero

λR(λ : A)Ax = λAR(λ : A)x = Aλx.

Lema 3. Bajo las condiciones anteriores, Aλ, con λ > 0, es el generador infinitesimal de un SUCde contracciones etAλ . Mas aun, ∀x ∈ X, ∀λ, µ > 0,∀t ≥ 0, se tiene que

‖etAλx− etAµx‖ ≤ t‖Aλx−Aµx‖.

Demostracion. Como Aλ = λ2R(λ : A)− λI, es claro que se trata de un operador lineal acotado,y en consecuencia, es el generador infinitesimal del SUC Tλ(t) = etAλ . Ademas

‖etAλ‖ = ‖et(λ2R(λ:A)−λI)‖ = e−λt‖etλ2R(λ:A)‖≤ e−λtetλ = 1,

y por lo tanto etAλ es un SUC de contracciones. Por otra parte, es claro de las definiciones queAλ, Aµ, etAλ , etAµ conmutan entre sı. Luego

‖etAλx− etAµx‖ = ‖1∫

0

etsAλet(1−s)Aµ [Aλx−Aµx]ds‖

≤ t‖Aλx−Aµx‖,

lo que prueba la desigualdad.

3.3.3. Demostracion del teorema de Hille-Yosida: suficiencia

Sea x ∈ D(A). Por el lema 3 anterior tenemos que

‖etAλx− etAµx‖ ≤ t‖Aλx−Aµx‖ ≤ t‖Aλx−Ax‖+ t‖Ax−Aµx‖.

Por el lema 2 se tiene que (etAλx)λ≥0 es de Cauchy cuando λ ↑ ∞ y por lo tanto converge. Mas aunla convergencia es uniforme sobre intervalos acotados [0, T ]. Como D(A) es denso y ‖etAλ‖ ≤ 1,razonando como antes se deduce que (etAλx)λ≤0 es convergente para todo x ∈ X, y este lımite esuniforme sobre intervalos acotados para t. Para cada x ∈ X, definamos

T (t)x = lımλ→∞

etAλx.

Es claro que T (t) satisface T (0) = I, ‖T (t)‖ ≤ 1 y se tiene la propiedad de semigrupo. Ademas,la funcion t → T (t)x es continua en [0, T ] por tratarse de lımite uniforme de funciones continuas:t → etAλx. Por lo tanto, T (t) es un C0-semigrupo de contracciones.

Para concluir la demostracion, basta mostrar que A es el generador infinitesimal de T (t). Seax ∈ D(A). Tenemos que

T (t)x− x = lımλ→∞

(etAλx− x) = lımλ→∞

t∫0

esAλAλxds =

t∫0

T (t)Axds,


donde la ultima igualdad se sigue de la convergencia uniforme de esAλAλx a T (s)Ax en el intervalo[0, t]. Luego, si B es el generador infinitesimal de T (t), se deduce que D(A) ⊆ D(B) y, mas aun,

Bx = Ax, ∀x ∈ D(A).

Pero por hipotesis, 1 ∈ ρ(A) y, por la condicion necesaria, 1 ∈ ρ(B). En particular (I−B)D(B) = X,pero como D(B) ⊇ D(A), tenemos

X = (I −B)D(B) ⊇ (I −B)D(A) = (I −A)D(A) = X.

En consecuencia, D(B) = (I −B)−1X = D(A) y ası, B = A en X.

3.4. Operadores disipativos y el teorema de Lumer-Phillips

En esta seccion veremos una caracterizacion alternativa para los generadores infinitesimales deC0-semigrupos de contracciones.

Sean X un espacio de Banach complejo y X∗ su dual topologico. Denotemos por F (x) = {x∗ ∈X∗ | 〈x, x∗〉 = ‖x‖2 = ‖x∗‖2

∗}. Observemos que, de acuerdo con el Teorema de Hahn-Banach, ∀x ∈ Xexiste f ∈ X∗ tal que 〈x, f〉 = ‖x‖ y ‖f‖∗ = 1. Luego x∗ = ‖x‖f satisface 〈x, x∗〉 = ‖x‖〈x, f〉 = ‖x‖2

y ‖x‖ = ‖x∗‖∗. De allı, ∀x ∈ X, F (x) 6= ∅.

Definicion. Un operador A : D(A) ⊆ X → X es disipativo si para todo x ∈ D(A) existe x∗ ∈ F (x)tal que Re〈Ax, x∗〉 ≤ 0.

Proposicion. Un operador A : D(A) ⊆ X → X es disipativo si y solo si ∀x ∈ D(A),∀λ > 0, setiene que ‖(λI −A)x‖ ≥ λ‖x‖.

Demostracion. Supongamos que A es disipativo. Sea x ∈ D(A). Si x = 0, la desigualdad se tienede manera inmediata. Si x 6= 0 y λ > 0, sea x∗ ∈ F (x) tal que Re〈Ax, x∗〉 ≤ 0. Entonces

‖λx−Ax‖‖x∗‖ ≥ |〈λx−Ax, x∗〉|≥ Re〈λx−Ax, x∗〉= Re〈λx, x∗〉 −Re〈Ax, x∗〉= λ‖x‖2 −Re〈Ax, x∗〉≥ λ‖x‖2.

De allı, ‖(λI−A)x‖ ≥ λ‖x‖. Recıprocamente, sea x ∈ D(A) y supongamos que ∀λ > 0, ‖λx−Ax‖ ≥λ‖x‖ (aquı tambien podemos suponer x 6= 0). Sean y∗n ∈ F (nx − Ax) y z∗n = y∗n

‖y∗n‖∗. Entonces

‖z∗n‖∗ = 1 para todo n ≥ 1 y

n‖x‖ ≤ ‖nx−Ax‖ = 〈nx−Ax, z∗n〉= nRe〈x, z∗n〉 −Re〈Ax, z∗n〉≤ n‖x‖ −Re〈Ax, z∗n〉.

3.4. OPERADORES DISIPATIVOS Y EL TEOREMA DE LUMER-PHILLIPS 27

Luego

Re〈Ax, z∗n〉 ≤ 0 (3.2)

y

Re〈x, z∗n〉 ≥ 0‖x‖ − 1n‖Ax‖. (3.3)

La sucesion {z∗n}n∈N esta contenida en la bola unitaria de x∗, la cual es compacta para la topologıadebil-*. Luego, tiene una subsucesion (que seguimos denotando por {z∗n}n∈N) que converge a uncierto z∗ para esta topologıa. Al pasar al lımite, (3.2) y (3.3) se convierten en Re〈Ax, z∗〉 ≤ 0 yRe〈x, z∗〉 ≥ ‖x‖. Pero Re〈x, z∗〉 ≤ ‖x‖. Luego 〈x, z∗〉 = ‖x‖ y ‖z∗‖∗ = 1. Sea x∗ = ‖x‖z∗. Tenemosque 〈x, z∗〉 = ‖x‖2 = ‖x∗‖2

∗ y Re〈Ax, z∗〉 ≤ 0. Concluimos que A es disipativo.

Proposicion. Sea A : D(A) ⊆ X → X un operador disipativo. Si Im(λ0I − A) = X para algunλ0 > 0, entonces:

a) A es cerrado, y

b) Im(λI −A) = X ∀λ > 0.

Demostracion.

a) Como Im(λ0I −A) = X y ‖(λ0I −A)x‖ ≥ λ0‖x‖,∀x ∈ D(A), tenemos que λ0 ∈ ρ(A). Luego(λ0I − A)−1 es acotado y, por lo tanto, cerrado. De allı, λ0I − A es cerrado y, A tambien loes.

b) Sea Λ = {λ > 0 | Im(λI −A) = X}.

• Λ 6= ∅ pues λ0 ∈ Λ.• Λ es abierto en (0,∞): En efecto, sea λ ∈ Λ. Como Im(λI − A) = X y ‖(λI − A)x‖ ≥

λ‖x‖,∀x ∈ D(A), se tiene que λ ∈ ρ(A), el cual es abierto. Luego ∃δ > 0 tal que(λ− δ, λ + δ) ⊆ Λ.

• Λ es cerrado en (0,∞): Sea (λn)n∈N ⊆ Λ tal que λn → λ > 0. Para cada y ∈ X y n ∈ Nexiste xn ∈ D(A) tal que λnxn −Axn = y. Luego, ∀n ∈ N,

‖xn‖ ≤1λn‖λnxn −Axn‖ =

‖y‖λn

≤ C

para algun C > 0. Ademas,

‖xn − xm‖ ≤ 1λm

‖λm(xn − xm)−A(xn − xm)‖

=1

λm‖ − (λmxn −Axm) + (λnxn −Axn) + (λm − λn)xn‖

=1

λm‖ − y + y + (λn − λm)xn)‖

=‖xn‖λm

|λn − λm| ≤ C2|λn − λm|.


Como (λn)n∈N es de Cauchy, tambien lo es (xn)n∈N y por lo tanto converge a algun x ∈ X.De allı, Axn → λx− y cuando n →∞. Como A es cerrado, x ∈ D(A) y (λI −A)x = y.Concluimos que λ ∈ Λ.

• Finalmente, dado que (0,∞) es conexo tenemos que Λ = (0,∞).

Teorema [Lumer-Phillips, 1961]

Sean X un espacio de Banach y A : D(A) ⊆ X → X un operador.

a) Si A es disipativo e Im(λ0I − A) = X para algun λ0 > 0, entonces A es el generadorinfinitesimal de un C0-semigrupo de contracciones en X.

b) Si A es el generador infinitesimal de un C0-semigrupo de contracciones en X, entonces Im(λI−A) = X para todo λ > 0 y A es disipativo. Mas aun, ∀x ∈ D(A),∀x∗ ∈ F (x), se tiene queRe〈Ax, x∗〉 ≤ 0.

Demostracion.

a) Por la proposicion anterior, A es cerrado, (0,∞) ⊆ ρ(A) y ‖(λI −A)−1x‖ ≤ 1λ‖(λI −A)(λI −

A)−1x‖ = ‖x‖λ , de donde ‖R(λ : A)‖ ≤ 1

λ para todo λ > 0. El resultado se obtiene al aplicarel teorema de Hille-Yosida.

b) Si A es el generador infinitesimal de un C0-semigrupo de contracciones {T (t)}t≥0 en X, elteorema de Hille-Yosida dice que (0,∞) ⊆ ρ(A) y, por lo tanto, Im(λI − A) = X ∀λ > 0.Para todos x ∈ D(A) y x∗ ∈ F (x) se tendra que |〈T (t)x, x∗〉| ≤ ‖T (t)x‖‖x∗‖∗ ≤ ‖x‖2. Por lotanto, Re〈T (t)x−x, x∗〉 = Re〈T (t)x, x〉− ‖x‖2 ≤ 0. Dividiendo por t > 0 y pasando al lımitecon t ↓ 0 tenemos que

Re〈Ax, x∗〉 = Re〈 lımt↓0

[T (t)x− x

t

], x∗〉 ≤ 0,

lo que prueba el resultado.

Observacion. La version de este resultado en el caso especial en que X es un espacio de Hilbertfue obtenida por R. S. Phillips en 1959.

Ejercicios

En lo que sigue (X, ‖ · ‖) es un espacio de Banach,

1. Pruebe que un operador lineal A : D(A) ⊆ X → X es el generador infinitesimal de unC0-semigrupo {T (t)}t≥0 tal que ∀t ≥ 0, ‖T (t)‖ ≤ eωt para algun ω ≥ 0, si y solo si

(i) D(A) = X y A es cerrado.

(ii) ρ(A) ⊇ {λ ∈ R | λ > ω} y ∀λ > ω, ‖R(λ : A)‖ ≤ 1/(λ− ω).

2. Sea A : D(A) ⊆ X → X el generador infinitesimal de un C0-semigrupo {T (t)}t≥0.

(a) Pruebe que ∀x ∈ D(A2), ∀t ≥ 0, T (t)x− x = tAx +∫ t0 (t− s)T (s)A2xds.

(b) Suponga ademas que ‖T (t)‖ ≤ M , ∀t ≥ 0. Pruebe que ∀x ∈ D(A2), ‖Ax‖2 ≤ 4M2‖A2x‖‖x‖.(c) Sea X el espacio de Banach de las funciones uniformemente continuas y acotadas de

R en R, dotado de la norma del supremo ‖f‖∞ = supx∈R |f(x)|. Para f ∈ X y t ≥ 0,definamos T (t)f ∈ X mediante [T (t)f ](x) = f(t+x). Demuestre que {T (t)}t≥0 es un C0-semigrupo de contracciones y encuentre su generador infinitesimal A. ¿Es A un operadoracotado?

(d) [Desigualdad de Landau.] Sea f ∈ C2(R;R) una funcion tal que f , f ′ y f ′′ son acotadasy uniformemente continuas. Pruebe que ‖f ′‖2

∞ ≤ 4‖f ′′‖∞‖f‖∞.

3. Sea A : D(A) ⊆ X → X un operador cerrado. Pruebe que si A y A∗ son disipativos, entoncesA es el generador infinitesimal de un C0-semigrupo de contracciones en X.

29

Bibliografıa

[1] H. Brezis, “Analyse Fonctionnelle”, Masson, Paris, 1983.

[2] E. Hille, R.S. Phillips, “Functional Analysis and Semi-Groups”, Amer. Math. Soc. Colloq.Publ. Vol. 31, Providence R. I., 1957.

[3] A. Pazy, “Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations”,Applied Mathematical Sciences 44, Springer-Verlag, New York, 1983.

31

introducci´on a la teor´ıa de semigrupos - …falvarez/notes/semigrupos03.pdf1.3. funciones en...

Documents