introduÇÃo - matemática – professor cássio...

MATEMÁTICA III 1 GEOM. ANALÍTICA – ESTUDO DO PONTO

INTRODUÇÃO ................................................................................................2

NOÇÕES BÁSICAS........................................................................................2

POSIÇÃO DE UM PONTO EM RELAÇÃO AO SISTEMA .......................4

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS ..........................................................6

RAZÃO DE SECÇÃO .................................................................................. 15

DIVISÃO DE UM SEGMENTO NUMA RAZÃO DADA .......................... 16

PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO ...................................................... 17

CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS.......................... 21

RESPOSTAS ................................................................................................ 28

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ............................................................... 30

No final das séries de exercícios podem aparecer

sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a exercícios do livro “Matemática” de Manoel Paiva fornecido pelo

FNDE e adotado pelo IFMG – Campus Ouro Preto durante o triênio 2015-2017.

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 3.

CASSIO VIDIGAL 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO

INTRODUÇÃO

Em 1637, o matemático e filósofo

francês Renée Descartes publicou seu grande trabalho O Discurso sobre o

Método, em que são estabelecidas as

bases filosóficas de seu método para o estudo das ciências, o chamado método

cartesiano, até hoje presente na organização do conhecimento em muitas

áreas. No apêndice, Descartes ilustra o seu método apresentando a “Géométrie”, que foi o passo inicial no estabelecimento

de relações mais estreitas entre a Álgebra e a Geometria. O trabalho

contém uma teoria para equações algébricas associadas a curvas planas – por exemplo, equações de segundo grau

associadas a parábolas.

Alguns anos mais tarde, um outro matemático francês, Pierre Fermat,

publicou um trabalho onde também

relacionou equações a retas, às curvas que chamamos cônicas e a outras curvas

até então pouco conhecidas. Tem-se registros de que as idéias iniciais de Fermat sobre a Geometria Analítica são,

na verdade, anteriores ao trabalho de Descartes, mas esses registros só foram

encontrados e publicados em 1769, após a sua morte.

A Geometria Analítica, trata, portanto, desde a sua origem, das

relações entre as equações algébricas e os objetos geométricos, buscando a simplificação técnica dos problemas

geométricos e a interpretação geométrica dos resultados obtidos nos cálculos

algébricos. Os cálculos e a descrição dos objetos geométricos ficam mais simples com os recursos algébricos da teoria das

matrizes associados aos processos de resolução de equações.

As técnicas da Geometria Analítica desempenham um papel fundamental ainda hoje, por exemplo, no

desenvolvimento da Computação Gráfica. As telas dos nossos

computadores são modelos da estrutura do plano cartesiano com um número finito de pontos, que é sempre mencionado

quando escolhemos a configuração da tela. Aumentando o número de pontos,

melhoramos a qualidade da imagem do monitor ou da impressão dessa imagem. Nas muitas utilizações de recursos de

imagens, como na tomografia ou na localização por satélite, essa

organização é fundamental para uma interpretação precisa dos resultados obtidos.

A nomenclatura da Geometria

Analítica (coordenadas, abscissas, ordenadas, etc.) foi introduzida por Leibniz, que e inspirou na terminologia

adotada pelos gregos em seus cálculos geométricos. As bases da Geometria Analítica estão, portanto, contidas nos

trabalhos desses três grandes matemáticos - Descartes, Fermat e

Leibniz - e foram posteriormente adotadas por Euler ao formalizar o

conceito de função.

NOÇÕES BÁSICAS

Consideremos dois eixos x e y

perpendiculares em O, os quais

determinam um plano .

Dado um ponto P qualquer tal que P , conduzamos por eles retas x’ e y’

tais que: x' // x e y’ // y.


Denominemos P1 a intersecção de x com y’ e P2 a intersecção de y com x’.

Nestas condições, definimos: a) abscissa de P é o número real

xp = OP1.

b) ordenada de P é o número real

yp = OP2.

c) coordenadas de P são os números

reais xp e yp geralmente indicados na forma de um par ordenado (xp, yp) onde

xp é o primeiro termo. d) o eixo das abscissas é o eixo Ox .

e) o eixo das ordenadas é o eixo Oy.

f) sistema de eixos cartesianos ortogonais (ou sistema ortonormal ou

sistema retangular) é o sistema xOy. g) a origem do sistema é o ponto O.

h) plano cartesiano é o plano .

Ex.: Vamos localizar no plano cartesiano os pontos A(2, 0); B(0, 3), C(2, 5),

D(-3, 4), E(-7, -3), F(4, -5), G(2

5,

2

9),

H(2

5 ,

2

9 );

Entre o conjunto de pontos do

plano e o conjunto de pares ordenados (x, y), existe uma correspondência

biunívoca, ou seja, para cada ponto do plano existe um único par ordenado e para cada par ordenado existe um único

ponto no plano. A principal consequência desta

propriedade é o fato de:

“dar um ponto” significa dar um par ordenado (xp, yp);

“pedir um ponto” significa pedir um par de coordenadas (xp, yp);

Todo ponto P procurado

representa duas incógnitas: xp e yp.


Notemos que os pares ordenados A1(3, 5) e A2(5, 3) são diferentes visto que a ordem em que os termos são

apresentados difere dois pares ordenados. Na figura abaixo você pode

ver a representação destes dois pontos no plano.

De forma geral, se a b então

(a, b) (b, a).

POSIÇÃO DE UM PONTO EM RELAÇÃO AO SISTEMA

Os eixos x e y dividem o plano cartesiano em quatro regiões chamadas QUADRANTES que recebem os nomes

indicados na figura:

Sendo P um ponto qualquer do plano cartesiano temos que:

00. pp yexQuadIP

00. pp yexQuadIIP

00. pp yexQuadIIIP

00. pp yexQuadIVP

Existem ainda os pontos que estão

sobre os eixos, assim:

P pertence ao eixo das abscissas se a ordenada é nula:

0 pyOxP

P pertence ao eixo das ordenadas

se a abscissa é nula: 0 pxOyP

Destas propriedades temos que os pontos que estão no eixo vertical são do

tipo (0, a) e os pontos do eixo horizontal são do tipo (a, 0).

O pontos do tipo (a, a) formam um conjunto de pontos chamado de bissetriz

dos quadrantes ímpares. Observe a figura:

Assim, temos que pp yxbP 13


O pontos do tipo (a, -a) formam um

conjunto de pontos chamado de bissetriz dos quadrantes pares. Observe a figura:

Assim, temos que pp yxbP 24

Se uma reta é paralela ao eixo das abscissas, então todos os seus pontos

possuem a mesma ordenada.

Se uma reta é paralela ao eixo das ordenadas, então todos os seus pontos possuem a mesma abscissa.

Também valem as recíprocas das

duas propriedades acima.

01) Dados os pontos 5;5A , 6;6 B

, 5,2;5,2 C , 1,9;1,9D , 0;0E ,

0;2,7F , 5;0 G , 0;3H , 2;0I ,

3; J , 2;2 K e

4

18;

2

9L ,

pergunta-se: quais pontos são pertencentes: a) ao primeiro quadrante?

b) ao segundo quadrante?

c) ao terceiro quadrante?

d) ao quarto quadrante?

e) ao eixo das abscissas?


f) ao eixo das ordenadas?

g) à bissetriz dos quadrantes ímpares?

h) à bissetriz dos quadrantes pares?

02) Localize no plano cartesiano, os 12 pontos dados na questão anterior:

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

Dados os pontos A(x1; y1) e B(x2; y2), calculemos a distância d entre

eles: 1º caso: AB é horizontal:

12 xxdAB

2º caso: AB é vertical:

12 yydAB

3º caso: AB é oblíqua:

212

2

12 yyxxdAB


Demonstração: O triângulo ABC é retângulo em C,

assim, pelo teorema de Pitágoras temos que:

222

BCACAB ddd

Como 11, yxA , 22 , yxB e

12 , yxC , então:

212

2

12

2

12

2

12

2

yyxxd

yyxxd

AB

AB

Observação: a notação de módulo em

12 xx e 12 yy foi desconsiderada

pois, ao elevar ao quadrado o resultado é

positivo ou nulo.

Ex.(1): Calcule a distância entre os

pontos A(-3, 6) e B(3, -2).

10

100

6436

86

2633

22

22

2

12

2

12

AB

AB

AB

AB

AB

AB

d

d

d

d

d

yyxxd

Observação: Convém destacar que a

ordem dos termos nas diferenças das

abscissas ou das ordenadas não influi no cálculo de d já que inverteria apenas o

sinal das diferenças e, quando elevado ao quadrado, esse sinal é desconsiderado.


Ex. (2): A distância entre os pontos A(a – 1, 1) e B(-1, 2) é 3. Determine a.

22

8

8

19

21113

2

2

22

2

12

2

12

a

a

a

a

a

yyxxdAB

03) Calcule a distância entre os pontos dados: a) 7,3A e 4,1B

b) 1,3 E e 5,3F

c) 5,2 H e 0,0O

d) 2,0 M e 2,5 N

e) 3,3 P e 3,3Q


f) 0,4C e 3,0D

g) 3,1K e 4,1L

04) Qual a distância do ponto (10, -24) à origem?

05) Calcular a distância entre os pontos A(a-3, b+4) e B(a+2, b-8)

06) Calcular o perímetro do triângulo ABC sendo dados A(2, 1), B(-1, 3) e

C(4, -2).


07) Mostre que o triângulo de vértices A(2, 2), B(-4, -6) e C(4, -12) é retângulo.

08) Qual vértice o triângulo ABC citado na

questão anterior determina o ângulo reto?

110) Dados A(4, 5), B(1, 1) e C(x, 4), determine x de forma que o triângulo ABC seja retângulo em B.


10) Dados A(x, 5), B(-2, 3) e C(4, 1), obter x forma que A seja equidistante de B e C.

11) Obter P pertencente ao eixo das abscissas de forma que o ponto P seja equidistante de A(1, 3) e B(-3, 5).


12) Determinar o ponto P da bissetriz dos quadrantes pares que equidista dos pontos A(8, -8) e B(12, -2).

13) Dados os pontos A(8, 11), B(-4, -5) e C(-6, 9), obter o circuncentro do triângulo ABC. (A resolução desta questão encontra-se na secção de respostas)


14) Dados os pontos M(a, 0) e N(0, a), determinar P de modo que o triângulo MNP seja equilátero.

15) Dados os pontos B(2, 3) e C(-4,1), determinar o vértice A pertencente ao eixo das ordenadas sabendo que ABC é

retângulo em A.


16) Dados A(-2, 4) e B(3, -1) vértices de um quadrado, determinar os outros dois vértices.

17) Dados A(8, 7) e C(-2, -3), extremidades da diagonal de um quadrado, calcular as coordenadas dos

outros dois vértices.

______________________

ATIVIDADES COMPLEMENTARES

Pág. 38 – Exercício R.2 Pág. 39 – Exercícios 1 a 6

______________________


RAZÃO DE SECÇÃO

Dados três pontos distintos e

COLINEARES A, B e C, chama-se razão de secção do segmento AB pelo ponto C

o número real r tal que:

CB

AC

d

dr

Existem duas formas de se

determinar este r. A primeira forma é através da fórmula da distância como apresentado na definição acima, assim,

sendo A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3), temos:

223

2

23

2

31

2

31

yyxx

yyxxr

A segunda forma, é por meio do

Teorema de Talles. Observe agora a ilustração:

Pelo teorema de Talles, podemos

escrever:

23

31

23

31

yy

yy

xx

xxr

Devemos ficar atentos apenas

quando o segmento considerado for paralelo a um dos eixos coordenados.

Note que, caso o segmento seja vertical,

temos x1 = x2 = x3. Desta forma, 31 xx

e 23 xx são, ambos iguais a zero e a

fração 23

31

xx

xx

fica indeterminada,

assim, usamos 23

31

yy

yyr

. Situação

semelhante ocorre quando o segmento for horizontal. Pelo mesmo motivo,

faremos 23

31

xx

xxr

.

Ex.:Dados A(3, 7), B(5, 11) e C(6, 13), determine a razão entre os comprimentos dos segmentos AC e BC.

Resolução:

A partir das abscissas, temos:

31

3

56

63

23

31

xx

xxr

A partir das ordenadas, temos:

32

6

1113

137

23

31

yy

yyr

Era natural que em ambas as

situações, encontrássemos o mesmo resultado e, daí, concluímos que um segmento tem o triplo do comprimento do

outro.

Desconsiderando o módulo na expressão apresentada na página anterior, é possível, a partir do sinal de r,

determinar a posição de C em relação ao segmento AB, assim, considerando A(x1,

y1), B(x2, y2) e C(x3, y3), e fazendo

23

31

23

31

yy

yy

xx

xxr

temos que:


i) Cr 0 é interior a AB

ii) Cr 0 é exterior a AB

iii) ACr 0

iv) Cr 1 é médio de AB v) 1, rC

18) Tome três pontos quaisquer da reta abaixo e verifique, com números, a validade das afirmações acima:

DIVISÃO DE UM SEGMENTO NUMA RAZÃO DADA

Dados A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3), calculemos as coordenadas

(x3, y3) do ponto C que divide o segmento AB numa razão r ( 1r ). Temos:

213

2133

3123

3123

23

31

1 xrxrx

xrxxxr

xxxrxr

xxxxr

xx

xxr

213

2133

3123

3123

23

31

1 yryry

yryyyr

yyyryr

yyyyr

yy

yyr

Ex.1: Obter as coordenadas do ponto C que divide AB na razão 2 sendo A(1, 5) e B(4, 17).

Resolução:

133

39

12

1725

1

33

9

12

421

1

213

213

r

yryy

r

xrxx

Assim, temos que C(3, 13)

121

3

r

xrxx

121

3

r

yryy


Ex.2: Obter as coordenadas do ponto C que divide BA na razão 2 sendo A(1, 5) e B(4, 17).

Resolução:

93

27

12

5217

1

23

6

12

124

1

213

213

r

yryy

r

xrxx

Assim, temos que C(2, 9)

Observe que o ponto que divide o

segmento AB na razão 2 é diferente do ponto que divide o segmento BA na mesma razão 2.

19) No plano cartesiano , localize os pontos A(1, 5) e B(4, 17) dados no

exemplo anterior e a seguir interprete os pontos C1 e C2 que dividem, respectivamente, os segmentos AB e BA

na razão 2,

PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO

O ponto médio de um segmento é, como o próprio nome diz, o ponto que

divide um segmento em duas partes iguais, ou seja, cuja razão entre seus comprimentos seja r = 1. Substituindo na

fórmula que já temos fazendo x3 = xm, y3 = ym e r = 1, temos:

11

1

1

21

213

xxx

r

xrxx

m

221 xx

xm

11

1

1

21

213

yyy

r

yryy

m

221 yy

ym

Ex.: Obter o ponto médio do segmento

AB sendo A(7, -2) e B(-3, 14).

Resolução:

22

37

mx e 6

2

142

my

Logo, M(2, 6)

20) Sendo 3,2A , 2,1 B e

3

1,

3

4C

, determine a razão entre os segmentos

AC e BC.


21) Determinar as coordenadas dos pontos que dividem o segmento AB em três partes iguais sendo A = (-1, 7) e

B = (11, -8).

22) Determinar os pontos que dividem AB em quatro partes iguais quando A = (-1, -3) e B = (23, 33).


23) Até que ponto o segmento de extremos A(1, -1) e B(4, 5) deve ser prolongado para que seu comprimento

triplique?

1 Mediana de um triângulo é o segmento de reta

cujas extremidades são um vértice do triângulo e o ponto médio do lado oposto.

24) Calcular o comprimento da mediana1 AM do triângulo ABC cujos vértices são os pontos A(0, 0), B(3, 7) e C(5, -1).


25) De um triângulo ABC são conhecidos o vértice A = (2, 4), o ponto M(1, 2) médio do lado AB e o ponto

N(-1, 1) médio do lado BC. Determine o perímetro deste triângulo. (A resolução desta questão encontra-se na secção de respostas)

26) Sendo M(2, 1), N(3, 3) e P(6, 2) os pontos médios, respectivamente, dos lados AB, BC e CA, determine as

coordenadas dos vértices A, B e C.


27) Num triângulo ABC são dados: i) A(2, 0) ii) M(-1, 4) ponto médio de AB

iii) dAC = 10

iv) dBC = 210

Obtenha o vértice C.

______________________


Pág. 40 – Exercício R.4 Pág. 41 – Exercícios 7 a 11

______________________

CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS

Observe a figura:

Se os três pontos A(x1, y1),

B(x2, y2) e C(x3, y3), estão alinhados,

então satisfazem à seguinte condição:

32

21

32

21

yy

yy

xx

xx

.

Note que

1 2 1 2

2 3 2 3

1 2 2 3 2 3 1 2

1 2 1 3 2 2 2 3 2 1 2 2 3 1 3 2

1 2 1 3 2 3 2 1 3 1 3 2

1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2

x x y y

x x y y

x x y y x x y y

x y x y x y x y x y x y x y x y

x y x y x y x y x y x y

x y x y x y x y x y x y 0

Por outro lado, sabemos que:

1 1

2 2

3 3

1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2

x y 1

D x y 1

x y 1

x y x y x y x y x y x y


Assim, podemos dizer que os três

pontos A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3),

estão alinhados quando:

1 1

2 2

3 3

x y 1

D x y 1 0

x y 1

Observação: Este determinante acima

fica facilmente verificado também em duas situações espeíficas:

1º Se dois dos pontos coincidirem, teremos duas linhas iguais e

consequentemente, D = 0. 2º Se a reta for vertical (ou horizontal) as

três ordenadas (ou abscissas) serão iguais. Como já temos uma coluna onde

os três termos são iguais a 1, passaremos a ter duas colunas onde uma é combinação linear da outra, e assim,

mais uma vez, D = 0.

Ex.1: Mostrar que os pontos A(-1, 1), B(1, 3) e C(7, 9) estão alinhados.

Resolução:

1 1 1

1 3 1

7 9 1

1 3 1 1 1 7 1 1 9

1 3 7 1 9 ( 1) 1 1 1

3 7 9 21 9 1

Logo, A, B e C estão alinhados.

Ex.2: Determine k pra que os pontos A(k, k), B(3, 1) e C(7, -3) estejam

alinhados.

Resolução:

k k 1

3 1 1 0

7 3 1

k 7k 9 7 3k 3k 0

8k 16 0

8k 16

k 2

Resposta: k = 2


28) Os pontos A(1; 3), B(2; 5) e C(49; 100) são colineares?

29) Determinar y para que os pontos A(3; 5), B(-3, 8) e C(4, y) estejam alinhados.

30) Mostrar que A(a; 2a – 1), B(a + 1; 2a + 1) e C(a + 2; 2a + 3) são colineares para qualquer valor de a real.


31) Para que valores de a existe o triângulo MNP onde M(0, a), N(a, -4) e

P(1, 2)?

32) Dados A(1, 1) e B(10, -2), obter o ponto da reta AB que intercepta o eixo das abscissas.


33) Dados os pontos A(3, 1) e B(5, 5), determinar o ponto do eixo OY que também pertence à reta AB.

34) Dados A(2, -3) e B(8, 1) determinar o ponto em que a reta que passa por A e B intercepta a bissetriz dos quadrantes

ímpares.

35) Sendo A(7, 4) e B(-4, 2), determinar o ponto de intersecção entre a reta que passa por A e B e a bissetriz dos

quadrantes pares.

_______________________________


36) Dados A(-3, 4), B(2, 9), C(2, 7) e D(4, 5), determinar a intersecção entre as retas AB e CD.

37) Determinar m e n de tal forma que

P(m, n) seja colinear, simultaneamente, com A(-1, -2) e B(2, 1) e com C(-2, 1) e

D(1, -4).


38) Determinar o ponto P da reta AB que está à distância 5 da origem onde A(0, -25) e B(-2, -11)

______________________


Pág. 46 – Exercícios 20 a 23 ______________________


RESPOSTAS 01) a) A, J e L b) D c) B d) C, e K e) E, F, H f) E, G, I g) A, B, E, L h) C, D, E, K

02)

03) a) 13

b) 6

c) 29

d) 5

e) 26 f) 5 g) 5

04) 26 05) 13

06) 25132

07) demonstração

08) B

09) -3

10) 2

11) P(-3, 0)

12) P(-5, 5)

13) Resolução

O circuncentro (Centro da

circunferência circunscrita ao triângulo) é um ponto equidistante

dos três vértices.

Tomando P(x, y) e fazendo

dPA = dPB, temos

22

118 yx

2254 yx

222254118 yxyx

121226416 22 yyxx

2510168 22 yyxx

411081852216 yxyx

01443224 yx

01843 yx


Fazendo agora dPB = dPC, temos:

22

54 yx

2296 yx

22229654 yxyx

2510168 22 yyxx

81183612 22 yyxx

117181241108 yxyx

076284 yx

0197 yx

Montando um sistema com as

duas equações lineares encontradas temos:

197

1843

0197

01843

yx

yx

yx

yx

x = 2 e y = 3

Assim, temos P(2, 3)

14)

2

3,

2

3 aaaaP ou

2

3,

2

3 aaaaP

15) 1,0 ou 5,0

16) 9,34,8 DeC ou

1,76,2 DeC

17) 3,8 e 7,2

18) Questão aberta.

19) Questão aberta.

20) 2

21) C(3, 2) e D(7, -3)

22) (5, 6), (11, 15) e (17, 24)

23) (1, 17)

24) 5

25) Resolução: Se M é ponto médio de AB, então:

0

2

42

2

02

21

2

BBBA

m

BBBA

m

yyyy

y

xxxx

x

Assim, temos B = (0, 0)

Se N é ponto médio de BC, então:

2

2

01

2

22

01

2

CCCB

m

CCCB

m

yyyy

y

xxxx

x

Assim, temos c= (-2, 2)

Perímetro = dAB + dAC + dBC

52202422

2282020

52200402

22

22

22

BC

AC

AB

d

d

d

25222254

522252

BCACAB ddd

Resposta: 2522

26) A(5; 0), B(-1; 2) e C(7; 4)

27) C(10; 6) ou C(-6, -6)

28) Não

29) 9

y2

30) (Demonstração)

31) a -1 e a 4

32) (4, 0) 33) (0, -5)

34) (-13, -13)


35) 30 30

,13 13

36) P(1, 8)

37) 1

m2

e 3

n2

38) P(-3, -4) ou P(-4, 3)

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

DANTE, Luiz Roberto;

Matemática, Volume dois. São Paulo,

Atica, 2005.

IEZZI, Gelson e outros;

Fundamentos da Matemática Elementar,

Volume 4. São Paulo, Atual, 5ª edição,

1977.

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Página 07: http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/distancia-entre-dois-pontos

Página 22 vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/alinhamento-de-tres-pontos

introduÇÃo - matemática – professor cássio...

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