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Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos1º Semestre de 2013

Capítulo 3

Introdução à Probabilidade

E à Inferência Estatística

definições e propriedades:

Propriedade 5:

A probabilidade condicional reflete como a probabilidade de um

evento pode mudar se soubermos que algum outro evento tenha

ocorrido.

Exemplo: A probabilidade de que um dia nublado resulte em chuva é

diferente se você vive no Nordeste ou se você vive no Sul do Brasil.



Se A e B são independentes:

Desta forma, se A e B são independentes:



Uso de

Internet

0.47

Qual a probabilidade de encontrarmos um indivíduo que utiliza o bate-papo na internet?

P(Utilizar e ter idade A1) + P(Utilizar e ter idade A2) + P(Utilizar e ter idade A3) =

= P(C ∩∩∩∩ A1) + P(C ∩∩∩∩ A2) + P(C ∩∩∩∩ A3) = P(A1) P(C/A1) + P(A2) P(C/A2) + P(A3) P(C/A3) =

= 0.29 * 0.47 + 0.47 * 0.21 + 0.24 * 0.07 = 0.136 + 0.099 + 0.017 = 0.252


MODELOS DE PROBABILIDADE:

Queremos descrever o comportamento aleatório de uma

característica (variável).

Vamos nos concentrar no estudo de variáveis quantitativas.

Em um modelo de probabilidade, é preciso determinar:

● Os valores que a variável de interesse pode assumir.

● As probabilidades associadas a cada um desses valores.


Dizemos então que variáveis que apresentam um mesmo

padrão de comportamento seguem um mesmo modelo (ou

distribuição) de probabilidade. Um modelo de probabilidade

pode então ser definido como uma descrição matemática de

um fenômeno aleatório (ou variável aleatória, de maneira

mais formal).




DOIS TIPOS DE MODELOS:

MODELOS DISCRETOS

MODELOS CONTÍNUOS



MODELOS DISCRETOS:

Os modelos discretos são adequados a variáveis que podem

assumir um número finito ou enumerável de valores.

MODELOS CONTÍNUOS:

São aqueles relacionados às variáveis que podem assumir qualquer

valor em um intervalo de números reais.



Um histograma é a forma mais usual de se representar

frequências/probabilidades associadas a determinados valores.

Dados contínuos frequências associadas a intervalos.

Quanto menores os intervalos, mais próximo o histograma fica de

uma curva idealizada.

Essa curva é um modelo matématico para a distribuição.



A figura apresenta o histograma do peso,

em kg, de 1500 pessoas adultas

selecionadas ao acaso em uma

população. O peso apresenta uma

distribuição muito regular. O histograma

é simétrico e decresce suavemente a

partir de um pico central único na

direção de ambas as caudas. A curva

suave traçada através do topo das barras

do histograma é uma boa descrição do

padrão geral dos dados.



A análise do histograma indica que:

1. a distribuição dos valores é

aproximadamente simétrica em

torno de 70kg;

2. a maioria dos valores (88%)

encontra-se no intervalo (55; 85);

3. existe uma pequena proporção de

valores abaixo de 48kg (1,2%) e

acima de 92kg (1%).


Essa curva é chamada de Função Densidade de

Probabilidade.

Nenhum conjunto de dados reais é descrito exatamente por

uma dessas curvas.

Trata-se de uma boa aproximação de fácil utilização e com

precisão suficiente para ser considerada na prática.



Sabemos que características (variáveis) em estudo para

determinados problemas apresentam um mesmo padrão de

comportamento. Portanto, estas variáveis podem ser

aproximadas por uma mesma curva (ou pelo mesmo formato

de histograma).



MODELOS DE PROBABILIDADE:Tipos de Modelo Modelo CaracterísticaDiscretos Binomial Variável em estudo somente pode assumir dois

possíveis valores em cada uma das n repetições do experimento e a probabilidade de ocorrência de cada um é constante.

Poisson A variável observada identifica o resultado de uma contagem no experimento (número de insetos em uma determinada área, por exemplo).

Geométrico Número de experimentos necessários até a ocorrência de um dado resultado de interesse.

Binomial Negativa

Número de experimentos necessários até a ocorrência de certo número de vezes do resultado de interesse.

Hipergeométrico Variável em estudo somente pode assumir dois possíveis valores em cada uma das n repetições do experimento e a probabilidade de ocorrência de cada um não é constante (usualmente experimentos sem reposição).



Tipos de Modelo Modelo Característica

Contínuos Uniforme A variável pode assumir, com igual probabilidade, qualquer valor em um intervalo, região, ...

Exponencial A variável observa o tempo necessário até a ocorrência de um determinado resultado de interesse.

Normal Variáveis com distribuições simétricas em relação a um ponto central.



Observações:

1. Para determinadas situações, modelos discretos podem ser

aproximados (representados) por um modelo contínuo. Por exemplo,

num caso binomial em que o número de repetições do experimento é

grande, pode-se analisar a variável em estudo pelo modelo normal.

2. Os modelos aqui apresentados referem-se à distribuição de uma única

variável. Podemos em alguns casos ter interesse no comportamento

conjunto de duas ou mais variáveis. Nesses casos, temos os chamados

modelos multidimensionais ou multivariados, que não serão objetos de

estudo nesse curso.


MODELO (DISTRIBUIÇÃO) NORMAL

Muitos fenômenos que ocorrem na natureza, na indústria e nas

pesquisas podem ser representadas por MODELO (OU DISTRIBUIÇÃO)

NORMAL.

Medições físicas em áreas como experimentos meteorológicos,

estudos sobre chuvas, medições de peças manufaturadas são

explicadas de forma adequada pela distribuição normal, e erros em

medições científicas são bem aproximados pela distribuição normal.



CARACTERÍSTICA DO MODELO NORMAL:

Os modelo padrão é resultado de uma curva aproximada do

histograma dos dados, tem um único pico e apresenta uma

forma de sino (simetria em torno do ponto de pico).



Para dados X que podem ser representados pelo modelo acima,

dizemos que: X ~ N (µ µ µ µ ; ; ; ; σσσσ).


( )

21

21,

2

x

f x e x

µ

σ

πσ

− −

= − ∞ < < +∞


As distribuições Normais (ou Gaussianas, como também são

conhecidas) são famílias de distribuições simétricas, com a mesma

forma geral. A curva de densidade é bem caracterizada por sua média

µµµµ (“mi”) e seu desvio-padrão σ σ σ σ (“sigma”).


( )

21

21,

2

x

f x e x

µ

σ

πσ

− −

= − ∞ < < +∞



( )

21

21,

2

x

f x e x

µ

σ

πσ

− −

= − ∞ < < +∞


Algumas Diferentes Situações:

Mesma média e diferentes variâncias (2, 4 e 6, respectivamente)!



PROPRIEDADES:

X ~ N (µµµµ ; ; ; ; σσσσ)

1. E(X) = µ (média ou valor esperado);

2. Var(X) = σσσσ2 (e, portanto, DP(X) = σσσσ );

3. x = µ é ponto de máximo de f (x);

4. µ - σσσσ e µ + σσσσ são pontos de inflexão de f (x);

5. A curva Normal é simétrica em torno da média µ;

6. A distribuição Normal depende dos parâmetros µ e σσσσ.



IMPORTANTE:

Embora haja muitas curvas Normais, todas têm propriedades em

comum. Em particular, todas as distribuições normais obedecem à

seguinte regra:

Na distribuição normal com média µ e desvio-padrão σσσσ :

68% das observações estão no intervalo ( µ - σσσσ ; µ + σσσσ )

95,4% das observações estão no intervalo ( µ - 2σσσσ ; µ + 2σσσσ )

99,7% das observações estão no intervalo ( µ - 3σσσσ ; µ + 3σσσσ )


COMO CALCULAR PROBABILIDADES NO MODELO NORMAL?

PROBLEMA:

Um bom indicador do nível de intoxicação por benzeno é a

quantidade de fenol encontrada na urina. A quantidade de fenol na

urina de moradores de certa região segue, aproximadamente, uma

distribuição normal de média 6 mg/l e desvio padrão 2 mg/l.

Considere a seguinte definição em termos da variável quantidade de

fenol na urina:

Uma pessoa é considerada “atípica” se a quantidade de fenol em

sua urina for superior a 9 mg/l ou inferior a 3 mg/l.



QUESTÃO:

Qual é a probabilidade de ser encontrado um indivíduo “atípico”?

Seja X: quantidade de fenol encontrada na urina.

Indivíduo “Atípico”

Probabilidade desejada:

Indivíduo com X < 3 ou X > 9

P [ X < 3 OU X > 9] = P[ X < 3 ∪∪∪∪ X > 9 ] = P[X < 3 ] + P[X > 9]



Como calcular esta probabilidade, considerando que a variável de

interesse pode ser representada pela distribuição normal?

O cálculo de uma probabilidade na distribuição normal é dado pela

área sob a curva normal na região de interesse, isto é, a área sob a

curva de densidade fornece a proporção de observações que estão

numa região de valores de interesse.


( ) ( )


IMPORTANTE: Probabilidades não se alteram!



Características da Normal Padrão:

O escore padronizado z

resultante diz de quantos

desvios-padrão cada valor

x está afastado da média da

distribuição, µµµµ.

, 1para x zµ σ µ σ

µ σσ σ

+ −= + = = =

Quando x está 1 desvio-padrão maior do

que a média, então z = 1.

222

,2 ==−+

=+=σ

σ

σ

µσµσµ zxpara

Quando x está 2 desvios-padrão acima

da média, então z = 2.

Quando x é maior do que a média, z é positivo.

Quando x é menor do que a média, z é negativo.



De que forma a transformação da variável X em Z, normal padrão, facilita o cálculo de probabilidades?

A solução desta integral é mais simples que no caso anterior, e seus valores estão tabelados.



Como utilizar esta tabela? SIGNIFICADO DOS VALORES TABELADOS



Uma segunda situação: P [0 < Z < 1.71 ] = ?

P(0 < Z < 1.71)

= P(Z < 1.71) – P(Z < 0)

= 0.9564 – 0.5

= 0.4564



Retornando ao Problema Inicial:

X: a quantidade de fenol encontrada na urina.

X ~ N (6 ; 2)

P [ X < 3 OU X > 9] = P[X < 3 ] + P[X > 9]



X ~ N (6 ; 2) P [ X < 3 OU X > 9] = P[X < 3 ] + P[X > 9]

Portanto, a probabilidade de

ser encontrada uma pessoa

considerada “atípica” é de

13.36%


O National Collegiate Athletic Association (NCAA) exige que atletas da 1a divisão tenham

pontuação de no mínimo 820 no SAT (Scholastic Aptitude Test ou Scholastic Assessment

Test) combinado de matemática e verbal para competir no seu primeiro ano colegial. A

pontuação SAT de 2003 foi aproximadamente normal com média 1026 e desvio-padrão 209.

Que proporção de todos os estudantes seriam qualificados (SAT ≥ 820)?

820 1026

209

( )

(820 1026)

209

2060.99

209

Tabela: a área

sob a N(0,1)

à esquerda de

z = -0.99 é 0.1611

ou aprox. 16%.

x

xz

z

z

µ

σ

µ

σ

= =

=

−=

−=

−= ≈ −

Nota: Os dados reais podem conter estudantes que pontuaram

exatamente 820 no SAT. No entanto, a proporção das pontuações

exatamente igual a 820 é 0 para uma distribuição normal. É uma

consequência da idealizada suavização das curvas de densidade.

Área direita 820 = Área Total − Área a esquerda de 820= 1 − 0.1611 ≈ 84%


Exercício: A vida de um semicondutor a laser, a uma potência constante, segue

um modelo normal com média de 7000 horas e desvio-padrão de 600 horas.

a) Qual a probabilidade do laser falhar antes de completar 5000 horas?

b) Qual deve ser o tempo de vida em horas de tal forma que 95% dos lasers

excedem a esse tempo?

c) Se três lasers forem usados em certo produto e se eles falharem

independentemente, qual a probabilidade de todos os três estarem ainda

operando após 7000 horas?


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