Introdução à Óptica (4300327)

Prof. Adriano Mesquita Alencar Dep. Física Geral

Instituto de Física da USP

Equação de Onda

B02

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Luz propaga-se na forma de ondas. No espaço, as ondas de luz viajam com uma velocidade constante, c0 = 3,0 x 108 m/s

Frequências e comprimentos de onda ópticos. A região do infravermelho (IR) do espectro compreende o infravermelho próximo (NIR), infravermelho médio (MIR), e de infravermelhos distante (FIR). Enquanto a região ultravioleta (UV) compreende o ultravioleta próximo (NUV), ultravioleta médio (MUV) , ultravioleta distante (FUV) e ultravioleta extrema (EUV ou XUV). Radiação na banda EUV também é conhecida como raios-X soft (SXR). O ultravioleta de vácuo (VUV) consiste nas bandas FUV e EUV. As regiões do infravermelho, visível e ultravioleta são todos chamados de “óptica”, uma vez que fazem uso de componentes similares (por exemplo, lentes e espelhos).

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A luz propaga-se na forma de ondas. No espaço livre, as ondas de luz viajam com velocidade c0. Uma forma homogénea transparente tal como o vidro é caracterizado por uma única constante, o seu índice de refração n (> 1). Em um meio de índice de refração n, ondas de luz viajam com uma velocidade reduzida.

Postulados da Optica Ondulatória

Uma onda óptica é descrito matematicamente por uma função real de posição r(x, y, z) e o tempo t, denotada f(r, t) e conhecida como a função de onda. Ela satisfaz uma equação diferencial parcial chamada de equação de onda (que veremos agora)

Movimento de OndasExistem dois tipos de ondas: longitudinais e transversais. Quando uma onda se desloca, a energia move-se ao longo de uma onda, mas não há circulação de partículas ao longo da mesma. Partículas apenas se mover para trás e para a frente (da onda longitudinal) ou para cima e para baixo (ondas transversais) sobre um ponto fixo. Pense em uma onda mexicana em um estádio de futebol - os espectadores mover para cima e para baixo sobre um ponto fixo (cadeira) e da onda pode ser visto para viajar ao redor do estádio.

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Equação de OndaA equação de onda é uma equação diferencial parcial linear de segunda ordem para a descrição de ondas, como ocorre na física por exemplo em: ondas sonoras, as ondas de luz e ondas de água. Levanta-se em áreas como acústica, eletromagnetismo, e dinâmica de fluidos.

Uma vez que a perturbação esta se movendo, a função de onda deve ser em função de ambos, posição e tempo.

(x, t) = f(x, t)

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Equação de Onda

Pulso caminhando no tempo (x, t)|t=0 = f(x, 0) = f(x)7

Equação de OndaFazendo t=0, ou t=Constante, equivale a “fotografia” de um dado instante. Após um dado instante, o pulso moveu uma distancia vt no eixo x, mas em todos os outros aspectos, a função permanece a mesma. Introduzindo um sistema de coordenadas S’ que se move com o pulso a uma velocidade v:

= f(x0)

(x, t) = f(x� vt)

x

0 = x� vt

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= f(x+ vt)

se a onda viaja na direção negativa de x

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Equação de Onda DiferencialEm 1747 Jean Le Rond d'Alembert introduziu equações diferenciais parciais para o tratamento matemático da física. Nesse mesmo ano, ele escreveu um artigo sobre o movimento de cordas vibrantes em que a chamou de equação de onda diferencial

Mantendo t constante

@

@x

=@f

@x

0

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Equação de Onda Diferencial

Mantendo x constante

@

@t

= ⌥v

@f

@x

0

@

@x

=@f

@x

0 Mantendo t constante

Combinando as duas: @

@t

= ⌥v

@

@x

Eq(A04.11.1)

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Eq(A04.11.2)

Equação de Onda Diferencial@

@x

=@f

@x

0A segunda derivada parcial da Eq(A04.11.1),

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@

2

@x

2=

@

2f

@x

02

@

@t

= ⌥v

@f

@x

0A segunda derivada parcial da Eq(A04.11.2),

@

2

@t

2=

@

@t

✓⌥v

@f

@x

0

◆

= ⌥v

@

@x

0

✓@f

@t

◆

Uma vez que:@

@t=@f

@t

@

2

@t

2= ⌥v

@

@x

0

✓@

@t

◆

Eq(A04.12.1)

Equação de Onda Diferencial

Substituindo Eq(A04.9.1), na Eq. acima, e reorganizando:

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@

2

@t

2= v

2 @2f

@x

02

@

2

@x

2=

1

v

2

@

2

@t

2

Essa é a equação de onda diferencial em uma dimensão

Ondas Harmonicas

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A -> Amplitude k -> Numero de propagação

Substituindo x por x-vt

Ondas Harmonicas

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O período espacial é conhecido como comprimento de onda e é denotado por λ. Em ótica, costumeiramente λ é dado em nanometros. Um aumento ou decremento em x por λ deve manter ψ inalterado

No caso de ondas harmonicas, é equivalente a alterar o argumento por 2π

Ou seja:

Ondas Harmonicas

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De forma analoga, o periodo temporal τ

Ou seja:

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Definindo a freqüência temporal, angular e o número de onda:

Podemos escrever uma onda harmônica das seguintes formas:

Velocidade de Fase

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Examinando uma função harmônica:

O argumento do seno é a fase da onda,

Que obviamente é um caso especial. Um caso mais geral pode ser escrito adicionando uma fase inicial ε:

Velocidade de Fase

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essas duas equações podem ser usadas, lembrando da teoria de derivadas parciais:

Velocidade de Fase

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Considerando a ideia de propagação a fase constante:

Se t aumenta, x deve aumentar, para manter a fase constante.