introdução à matemática discreta -...
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Condução da disciplina
• Aulas:
– Quartas: 10:10 – 12:00
– Sextas: 08:00 – 09:50
• Haverá troca de professores:
– Cada professor realizará avaliações;
– A nota final será uma média das diferentes avaliações;
• MUITOS EXERCÍCIOS!
• Diferentes livros na biblioteca!
• Haverá reposição das aulas de Administração e Introdução àProgramação!
Conteúdos - MTMD
Conteúdos Docente (ch)
1. Introdução;2. Lógica proposicional e de primeira ordem;
Vilson (18h)
3. Conjuntos;4. Relações;
(16h)
5. Sequências e somas (10h)
6. Indução e recursão (8h)
7. Análise combinatória (12h)
8. Elementos da teoria dos números (8h)
O que é MTMD?
• A matemática discreta é o estudo de estruturasmatemáticas que são fundamentalmente discretas, aoinvés de contínuas;
• Alguns pontos importantes:– A importância do pensamento lógico;
– O poder da notação matemática;
– A utilidade de abstrações matemáticas;
Contínuo
• Se pensarmos nos números reais, temos um exemplo do que écontínuo. Não há transições abruptas entre os valores, naverdade há infinitos valores entre cada par de números:
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 1 2 3 4
Contínuo
Reais
Discreto
• Ao compararmos com os números inteiros, temos um exemplo doque é discreto. Há transições abruptas entre os valores:
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 1 2 3 4
Discreto
Inteiros
Outros exemplos
• Ainda, além dos números inteiros, declarações lógicase grafos são outros exemplos de estruturas discretas.
• Em geral, estes problemas matemáticos não sãoequacionados através de fórmulas algébricastradicionais.
Exemplo de grafo
Dados - Velocidade de uma Ferrari 430 Scuderia 2008
No mundo real - Contínuos Na computação - Discretos
Fonte da imagem à esquerda: http://www.motortrend.com/roadtests/exotic/112_0808_2008_ferrari_430_scuderia_test/photo_17.html
Imagens Digitais
No mundo real - Contínuas Na computação - Discretas
Fonte da imagem à esquerda: http://en.wikipedia.org/wiki/Lenna
Mapas
No mundo real - Contínuos Na computação - Discretos
Fonte da imagem à esquerda: http://www.brasil-turismo.com/santa-catarina/mapas/transportes.htm
Quando estudaremos Matemática Contínua?
1. Álgebra Linear e Geometria Analítica – Fase 2– A geometria cuida de questões de forma, tamanho e posição
relativa de figuras, formas e com as propriedades do espaço;
– Álgebra linear é um ramo da matemática que estuda sistemasde equações lineares, muito utilizados na geometria;
2. Cálculo (diferencial e integral) – Fase 3– Estuda principalmente variações e acúmulos de grandezas,
com aplicações em diversas áreas de geometria e otimizaçãode problemas;
3. Cálculo Numérico (computacional) – Fase 4– Quantificação de Erros, solução de sistemas lineares e não
lineares, interpolação, ajuste de curvas e integraçãonumérica.
MTMD – Pra que?
• Aritmética Básica em Computadores;• Programação, principalmente a lógica;• Estruturas de Dados;• Grafos;• Inteligência Artificial;• Teoria da Computação;• Cálculo Numérico;• Computação Gráfica;• Modelagem e Simulação;• Estatística e Probabilidade;• Fundamentos de Banco de Dados;
Problema• Cenário hipotético:
– Em uma empresa sitiada pela Polícia Federal, estão sendoinvestigadas irregularidades jurídicas. Todas as informações daempresa foram destruídas, uma queima de arquivos.
– Nesta empresa há N funcionários investigados, sendo:
• N um número ímpar;
• No mínimo𝑁
2são da classe de engenheiros;
• No máximo𝑁
2são da classe de advogados;
– A dificuldade está em identificar, dentre os funcionários, quais sãoengenheiros e quais seriam advogados. A PF sabe que:
• Cada funcionário sabe qual é a classe de todos os outros;
• Os engenheiros não mentem, pois estão isentos de culpa;
• Os advogados podem faltar com a verdade, para tentaremescapar, pois são muito inteligentes e estão conspirando paraconfundir os investigadores;
• Problema: Formule um roteiro de interrogação para o agente da PF que,realizando perguntas para um funcionário i de qual classe é outrofuncionário j, aponte ao menos um engenheiro.
Problema v2.0
• Agora, iremos adicionar uma nova restrição ao problema:
– O agente poderá fazer no máximo (N – 1) perguntas para encontraro engenheiro.
• Como fica a solução deste problema?
MTMD e o Problema
• O grupo N é um Conjunto;
• Os advogados e os engenheiros são Subconjuntos;
• As perguntas são feitas de forma Combinatória;
• As respostas são relacionadas através de Lógica Formal;
• Resultados são calculados com base em Somas e números;
• Para saber se o algoritmo está certo, temos que Provar;
Conclusão
• Para resolver um simples exemplo, foi necessário oemprego empírico de diversos tipos deconhecimentos:– Até agora, aprendemos tudo isto de diversas formas
separadas: escola, dia-a-dia, em atividades cotidianas, entreoutros.
• A formalização e o aprofundamento no uso destesconhecimentos trarão diversos benefícios aoprofissional da Ciência da Computação.