interação feixe-plasma na aproximação quase-linear

Introducao Teoria Cinetica de Plasmas Interacao Feixe-Plasma Na Aproximacao Quase-Linear Consideracoes Finais e Perspectivas para o Novo Modelo

A Interacao Feixe-Plasma Como Aplicacao da Teoria Cinetica de

Plasmas na Aproximacao Quase-Linear

Trabalho de Conclusao de Curso - Bacharelado em Fısica

Sabrina Tigik FerraoOrientador: Prof. Dr. Luiz Fernando Ziebell

Universidade Federal do Rio Grande do Sul - Instituto de Fısicae-mail: [email protected]

27 de novembro de 2013

Sabrina Tigik Ferrao

A Interacao Feixe-Plasma Como Aplicacao da Teoria Cinetica de Plasmas na Aproximacao Quase-Linear


Sumario

1 Introducao

2 Teoria Cinetica de PlasmasAproximacao LinearAproximacao Quase-Linear

3 Interacao Feixe-Plasma Na Aproximacao Quase-LinearAbordagem Bi-Dimensional em Coordenadas CartesianasResultados em Coordenadas CartesianasAbordagem Bi-Dimensional em Coordenadas PolaresResultados em Coordenadas Polares

4 Consideracoes Finais e Perspectivas para o Novo Modelo




Objetivos Dessa ApresentacaoBase Teorica

Breve revisao teorica da teoria cinetica de plasmas, apresentando:

o metodo de linearizacao do sistema de equacoes Vlasov-Maxwell;

a obtencao da relacao de dispersao para um plasma Maxwelliano, considerandoondas de Langmuir;

a deducao das equacoes da teoria quase-linear;

as diferencas entre este formalismo e a aproximacao linear.




Objetivos Dessa ApresentacaoInteracao Feixe-Plasma

Na parte relacionada ao fenomeno de interacao feixe-plasma teremos a seguintesequencia:

breve explicacao sobre o processo de instabilidade que ocorre em um plasma comdistribuicao de velocidades do tipo bump-in-tail, evidenciando a influencia dos efeitosnao-lineares sobre a evolucao temporal da funcao de distribuicao do plasma;demonstracao de alguns resultados obtidos com a aplicacao do formalismoquase-linear, em duas dimensoes, com a utilizacao de coordenadas cartesianas;apresentacao de uma nova abordagem para o modelo bi-dimensional, emcoordenadas polares;compararacao entre os resultados obtidos nessa abordagem, e os resultados domodelo coordenadas cartesianas;consideracoes finais e perspectivas para o novo modelo.




Teoria cinetica de Plasmas

A teoria cinetica de plasmas emprega os conceitos e equacoes da MecanicaEstatıstica.

Se considerarmos um plasma quente e de baixa densidade, podemos descartar osefeitos de colisoes entre as partıculas.

Sendo assim, partimos da equacao de Boltzmann nao-colisional:

∂fα(r, v, t)

∂t+ v · ∇fα(r, v, t) +

F

mα·∇vfα(r, v, t) = 0.




Equacao de Vlasov

Como plasmas sao compostos por partıculas dotadas de carga eletrica, a forca deatuacao mais importante nesse sistema e a forca de Lorentz:

F = qα(E(r, t) + v × B(r, t)).

Substituindo a forca F, da equacao de Boltzmann, pela forca de Lorentz, obtemosa equacao de Vlasov:

∂fα∂t

+ v · ∇fα +1

mα[qα(E+ v × B)]·∇vfα = 0.




Equacoes de Maxwell

Na equacao de Vlasov, E e B sao, respectivamente, os campos eletrico emagnetico e atuam no sistema de acordo com as equacoes de Maxwell:

∇ · E =ρ

ǫ0

∇ · B = 0

∇× E = −∂B

∂t

∇× B = µ0

(

J+ ǫ0∂E

∂t

)

.




Sistema de Equacoes Vlasov-Maxwell

Em uma abordagem estatıstica, ρ, a densidade de carga do plasma, e J, adensidade da corrente que circula no plasma, dependem da funcao de distribuicaode velocidades do plasma e tem a seguinte forma:

ρ =∑

α

qαnα(r, t) =∑

α

qα

∫

v

fα(r, v, t)d3v

e

J(r, t) =∑

α

qα

∫

v

vfα(r, v, t)d3v .

Essas expressoes, juntamente com a equacao de Vlasov, formam um conjunto completo eauto-consistente de equacoes. O chamado sistema de equacoes Vlasov-Maxwell.




Aproximacao Linear

Abordagem Linear do Sistema de Equacoes Vlasov-Maxwell Considerando

Ondas de Langmuir

O sistema de equacoes Vlasov-Maxwell pode ser usado para o estudo defenomenos ondulatorios em plasmas.

Podemos obter a relacao de dispersao para os diversos tipos de oscilacoespresentes em um plasma atraves do processo de linearizacao da equacao deVlasov.

Dentre os varios tipos de ondas possıveis, vamos abordar as mais simples: asondas de Langmuir.

Ondas de Langmuir sao ondas eletrostaticas de alta frequencia, sendo assim,B = 0 e os ıons podem ser considerados como um “background” estaticoneutralizador.




Aproximacao Linear

Perturbacao de Pequena Amplitude

Vamos considerar que nossa funcao de distribuicao e composta de um termo deordem zero, de equilıbrio, e outro termo de ordem um, relativo a uma perturbacaode pequena amplitude.

Para a funcao de distribuicao temos:

f = f0 + f1.

E, para o campo eletrico, ficamos com:

E = E0 + E1.

Contudo, vamos considerar que o campo de ordem zero e nulo. Portanto: E1 ≡ E.




Aproximacao Linear

Equacao de Vlasov Linearizada

Como nossas oscilacoes sao eletrostaticas, podemos expressar o campo eletricoatraves da equacao de Poisson:

∇2Φ = −ρ

ǫ0.

Na equacao de Vlasov, expressamos o campo eletrico em termos do gradiente dopotencial:

∂f0∂t

+∂f1∂t

+ v · ∇(f0 + f1) +e

me

∇Φ·∇v(f0 + f1) = 0.

Ao descartar os termos de segunda ordem e as derivadas nulas, temos a equacao deVlasov linearizada:

∂f1∂t

+ v · ∇f1 +e

me

∇Φ·∇vf0 = 0.




Aproximacao Linear

Relacao de Dispersao

Podemos expressar as quantidades de primeira ordem em termos de suas transformadasde Fourier. Assim, reescrevemos:

a equacao de Vlasov

−iωfk + v · ikfk +e

me

Φkik · ∇vf0 = 0;

e a equacao de Poisson,

k2Φk = −e

ǫ0

∫

v

fk d3v .




Aproximacao Linear

Isolando fk e substituindo na equacao de Poisson, obtemos a relacao de dispersao:

n0e2

k2meǫ0

∫

v

1

v·k− ωk·∇v f0 d3v = 1,

Nessa expressao ja foi considerada a versao normalizada de f0.Entre as constantes que multiplicam a integral, temos o quadrado da frequenciade plasma para eletrons

ω2pe =

n0e2

meǫ0.

Definindo o eixo z como paralelo a direcao de propagacao do vetor de onda eintegrando por partes em vz temos a seguinte expressao para a relacao dedispersao

ω2pe

k2

∫

v

f0(vz − ω/kz)2

dvz = 1.




Aproximacao Linear

Solucao da Relacao de Dispersao

Podemos perceber que ha uma singularidade no denominador do integrando darelacao de dispersao.

Supondo que a parte imaginaria de ω e finita, positiva e tende a zero, podemosintegrar sobre o chamado caminho de Landau, o que leva a seguinte expressaopara relacao de dispersao:

ω2pe

k2

P

∫ +∞

−∞

f0(vz − ω/kz)2

dvz + iπ∂ f0∂vz

∣∣∣∣∣vz=ω/k

= 1.




Aproximacao Linear

Na aproximacao de vϕ >> vz , temos a seguinte solucao para a relacao dedispersao:

ω2pe

k2k2

ω2

(

1 + 3k2⟨v2th⟩

ω2

)

= 1.

Vamos considerar uma funcao de distribuicao Maxwelliana, uni-dimensional, cujaenegia cinetica media e

1

2me

⟨v2th⟩=

1

2kBTe .

Substituindo⟨v2th⟩na solucao acima, obtemos a relacao de dispersao para ondas

de Langmuirω2pe

k2k2

ω2

(

1 + 3k2

ω2

kBTe

me

)

= 1.




Aproximacao Linear

Se incluirmos a contribuicao do polo e desprezarmos a correcao termica, ficamoscom a seguinte relacao de dispersao:

ω = ωpe

1 + iπ

2

ω2pe

k2

∂ f0∂vz

∣∣∣∣∣v=vϕ

.

A inclusao desse termo nos proporciona informacoes importantes sobre os possıveis efeitosde ordem linear relacionados a pequena perturbacao em torno de f0.

Como estamos considerando um plasma com distribuicao de velocidades Maxwelliana, aderivada ∂ f /∂vz , sera sempre negativa e , nesse caso, o efeito da perturbacao e umamortecimento nao-colisional.

Entretanto, quando existe um feixe de eletrons adicionado a um plasma Maxwelliano, afuncao distribuicao pode apresentar um pico na regiao de velocidades grande o suficientepara que exista uma regiao de derivada positiva, que pode dar origem a instabilidades.




Aproximacao Quase-Linear

Teoria Quase-Linear

Na aproximacao linear, supusemos que tanto a funcao distribuicao quanto oscampos sao compostos por uma contribuicao de ordem zero e uma contribuicaode ordem um.

Consideramos que as contribuicoes de ordem zero nao variavam ao longo dotempo, e a partir das equacoes para as quantidades de ordem um obtivemos arelacao de dispersao.

Se quisermos acompanhar a evolucao temporal das perturbacoes, precisamos levarem conta efeitos nao lineares.

A forma mais imediata de incluir efeitos nao lineares e atraves da chamadaaproximacao quase-linear.





Sistema de Equacoes Vlasov-Maxwell na Aproximacao Quase-Linear

Vamos partir da equacao de Vlasov para o caso eletrostatico:

∂fα∂t

+ v · ∇fα +qαmα

E ·∇vfα = 0.

E pode ser obtido atraves da equacao para a divergencia do campo eletrico:

∇ · E =∑

α

qαǫ0

∫

v

fα(r, v, t)d3v .

Como no caso anterior, supomos uma pequena perturbacao na funcao de distribuicao e nocampo eletrico:

fα = fα0 + fα1,

E = E0 + E1.





Quando obtivemos a aproximacao linear da equacao de Vlasov, supusemos quefα0, a funcao de equilıbrio, nao tinha dependencia temporal.

Na aproximacao quase-linear, vamos admitir que a fα0 possa variar com o tempo,embora de forma bem mais lenta do que a variacao das perturbacoes.

Novamente vamos considerar E0 = 0, entao E = E1.

Para obter as equacoes para a evolucao temporal das quantidades de ordem zero ede ordem um, vamos introduzir medias espaciais das quantidades de interesse:

〈fα(r, v, t)〉 = 〈fα0(v, t)〉+ 〈fα1(r, v, t)〉

e〈E(r, t)〉 = 〈E1(r, t)〉 .





As expressoes para as medias de fα e de E sao, respectivamente:

〈fα(r, v, t)〉 =1

V

∫

fα(r, v, t)d3r

e

〈E(r, t)〉 = −1

V

∫∂Φ(r, t)

∂rd3r = 0.

Se impusermos a condicao de que fα1 va a zero nas extremidades, sua media seranula e a media da funcao de distribuicao sera a propria funcao de equilıbrio:

〈fα(r, v, t)〉 = fα0(v, t).

Impondo a mesma condicao para o potencial eletrico, temos que 〈E(r, t)〉 = 0.





A media espacial da equacao de Vlasov fica da seguinte forma:

∂fα0∂t

+ v·

⟨∂

∂r(fα0 + fα1)

⟩

+qαmα

[

〈E·〉∂fα0∂v

+

⟨

E·∂fα1∂v

⟩]

= 0.

Ao eliminarmos os termos nulos da equacao acima e isolarmos ∂fα0/∂t, obtemosuma equacao para a evolucao temporal de fα0:

∂fα0∂t

= −qαmα

⟨

E·∂fα1∂v

⟩

.

Substituindo o termo ∂f0/∂t da equacao de Vlasov pela equacao acima, obtemos:

∂fα1∂t

+ v·∂fα1∂r

+qαmα

E·∂fα0∂v

+qαmα

[

E·∂fα1∂v

−

⟨

E·∂fα1∂v

⟩]

︸︷︷︸

termos de segunda ordem

= 0.





Os termos de segunda ordem sao muito menores do que as flutuacoes de primeiraordem, portanto podem ser desprezados.

O que nos sobra e uma equacao de Vlasov formalmente igual a da aproximacaolinear:

∂fα1∂t

+ v·∂fα1∂r

+qαmα

E·∂fα0∂v

≈ 0.

A diferenca e que agora f0 varia temporalmente, de acordo com um sistema deequacoes acopladas.





Equacao de Difusao Quase-Linear

Nossa intencao e obter resultados para instabilidades geradas por efeitos naolineares, entao trataremos somente o caso em que existe regiao com ∂f0/∂v > 0.

Escrevendo f1 e E em termos de suas respectivas transformadas de Fourier eusando o mesmo procedimento feito para a aproximacao linear, obtemos a mesmarelacao de dispersao:

ω2pe

k2

∫

v

1

k · v − ωk ·

∂f0∂v

d3v = 1.

A diferenca e que na teoria quase-linear f0 varia de acordo com:

∂f0∂t

= −i1

V

e

me

∂

∂v·

∫d3k

8π3k Φ−k f1ke

−i [ω(−k)+ω(k)]t .





Coeficiente de Difusao Quase-Linear

Na aproximacao quase-linear, as interacoes nao-lineares nao sao levadas em contanas equacoes para as perturbacoes, mas sao mantidas na equacao para a evolucaotemporal da funcao de distribuicao de velocidades de ordem zero

Esses efeitos sao observados em f (v, t) como mudancas na sua forma e essasmudancas se devem a efeitos de difusao no espaco de velocidades.

A intensidade e a forma dessa difusao e dada pelo coeficiente de difusaoquase-linear.





As propriedades de simetria do potencial eletrico e da frequencia sao,respectivamente: Φk(t) = Φ−k(t) e ω(k, t) = −ω∗(−k, t).

Com o uso das propriedades acima, podemos reescrever a expressao para avariacao temporal de f0 na forma de uma equacao de difusao no espaco develocidades:

∂f0∂t

=∑

ij

∂

∂vi

[

Dij

∂f0∂vj

]

.

Dij , o coeficiente de difusao quase-linear, tem a seguinte expressao:

Dij =e2

me

1

V

1

8π3

∫

d3kEk · Ek

ik2(k · v − ω)kikj .





Amplitude Espectral

A amplitude espectral leva ao coeficiente de difusao a informacao a respeito dasondas geradas pelos efeitos nao-lineares.A expressao para a amplitude do espectro e obtida tomando a media do quadradodo campo eletrico e, no sistema cgs, tem a seguinte forma:

Ek(t) ≡1

8πV

|Ek(t)|2

8π3.

As amplitudes dessas ondas sao proporcionais a eωi t , entao:

Ek(t) = Eke2ωi (k)t .

Representando na forma diferencial, temos:

∂Ek(t)

∂t= 2ωi (k)Ek(t).





Substituindo o produto escalar do campo eletrico, no coeficiente de difusao, porEk e tomando o limωi→0, ficamos com a seguinte expressao para o coeficiente dedifusao quase-linear:

Dij =e2

me

∫

d3kkikjk2

Ek πδ(k · v − ω)

Lembrando que que a parte imaginaria da frequencia das ondas, ωi , que aparecena equacao para a evolucao do espectro das ondas, e obtida atraves da solucao darelacao de dispersao, que depende da distribuicao f0.




Interacao Feixe-Plasma

A incidencia de um feixe de eletrons energeticos em um plasma termico pode darinıcio a processos turbulentos.

Esses processos envolvem a geracao e amplificacao de ondas de Langmuir eocorrem atraves de efeitos nao lineares relacionados a interacao onda-partıcula.

A interacao das partıculas do feixe incidente com as ondas presentes no plasmaocorre via ressonancia, levando a alteracoes na funcao de distribuicao develocidades dos eletrons e no espectro das ondas, um processo conhecido como“instabilidade bump-in-tail”.




Efeitos nao lineares relacionados a interacao onda-partıcula e a interacoesonda-onda podem levar a geracao da chamada “turbulencia de Langmuir”, etambem a emissao de ondas eletromagneticas, atraves de processos conhecidoscomo decaimento e espalhamento de ondas.

Quando a instabilidade e pequena e o crescimento das ondas turbulentas e lento,emprega-se, como uma primeira aproximacao, a teoria quase-linear para descrevercomo as ondas, geradas e amplificadas pela interacao onda-partıcula, afetam adistribuicao de velocidades de equilıbrio do plasma.

A transferencia de energia entre partıculas e ondas continua ate que o sistemaatinja um estado estacionario.




Interacao Feixe-Plasma na Aproximacao Quase-Linear em Duas DimensoesAspectos Comuns Entre as Duas Abordagens a Serem Apresentadas

Em ambas as abordagens nao ha incidencia de campos externos.

Consideramos apenas ondas de Langmuir.

A funcao inicial de distribuicao para os eletrons foi definida como sendoMaxwelliana, adicionada de uma Maxwelliana deslocada representando o feixe,com velocidade media vf .

A distribuicao “de fundo” tem uma pequena velocidade media negativa, v0, demodo que a velocidade media total e nula.




A expressao, em termos de velocidades normalizadas a velocidade termica doseletrons, ve =

√

2Te/me , e a seguinte:

Φe =

(

1−nfne

)1

πexp

(

− (u − u0)2)

+nfne

1

πexp

(−(u2⊥ + (u‖ − uf )

2))

.

A forma adimensional da relacao de dispersao, para ondas de Langmuir, e aseguinte:

zLq =

(

1 +3

2q2)1/2

,

onde zLq ≡ ω/ωpe e q ≡ kve/ωpe .

O tempo τ representa o tempo normalizado, onde τ = tωpe .




Abordagem Bi-Dimensional em Coordenadas Cartesianas

Equacoes em Coordenadas Cartesianas

O vetor velocidade u e o vetor de onda q sao os seguintes:

u = ux ex + uz ez,

q = qx ex + qz ez.

A equacao de difusao quase-linear para esse modelo e:

∂Φe

∂τ=

∂

∂ux(Ae

x Φe) +∂

∂uz(Ae

z Φe)

+∂

∂ux

(

Dexx

∂Φa

∂ux+ De

xz

∂Φa

∂uz

)

+∂

∂uz

(

Dezx

∂Φe

∂ux+ De

zz

∂Φe

∂uz

)

.





As quantidades Aex e Ae

z sao, respectivamente, as componentes perpendicular eparalela de um coeficiente associado a processos espontaneos.Esse coeficiente nao aparecia na formulacao quase-linear convencional, conformeapresentamos anteriormente, tendo sido adicionado ao formalismo em trabalhorelativamente recente.A expressao desses coeficientes e a seguinte:

Aei = g

∫ ∞

−∞dqx

∫ ∞

−∞dqz

qiq2x + q2z

∑

σ=±1

σzLq δ(σzLq − qxux − qzuz) .

Os termos contendo os Dij correspondem a uma versao bi-dimensional docoeficiente de difusao quase-linear, obtido na secao anterior e tem a forma:

Deij =

∫ ∞

−∞dqx

∫ ∞

−∞dqz

qi qjq2x + q2z

∑

σ=±1

EσLq δ(σzLq − qxux − qzuz) .





Podemos observar, na expressao para o coeficiente de difusao, a amplitude doespectro de ondas EσL

q , cuja evolucao temporal e dada por:

∂EσLq

∂τ=

π

q2nen∗

∫ ∞

−∞duz

∫ ∞

−∞dux δ(σz

Lq − qxux − qzuz)

×

[1

2

nen∗

g Φe + σzLq EσLq qx

∂Φe

∂ux

]

+π

q2nen∗

∫ ∞

−∞duz

∫ ∞

−∞dux δ(σz

Lq − qxux − qzuz)

×

[1

2

nen∗

g Φe + σzLq EσLq qz

∂Φe

∂uz

]

.





Metodo e Resultados em Coordenadas Cartesianas

Tanto a equacao de difusao, quanto a equacao para a evolucao temporal doespectro de ondas, foram aproximadas por diferencas finitas.

Um codigo numerico utilizando linguagem de programacao FORTRAN foidesenvolvido.

Para a integracao da equacao de difusao foi usado o metodo “splitting” e para aequacao da onda foi empregado o metodo Runge-Kutta de quarta ordem.





Para o presente trabalho, escolhemos uma situacao com temperatura do feixeigual a temperatura do plasma de fundo, Tf = Te , com Te = 7.0Ti e parametrode plasma g = 5.0× 10−3.

Supusemos um feixe tenue, com nf /ne = 1.0× 10−3 e uf = 5.0.

Adotamos uma grade de 101x51 pontos no espaco de velocidades (ux , uz), e umagrade com 51x51 pontos no espaco de numeros de onda normalizados (qx , qz).

Fizemos a evolucao temporal adotando um passo temporal ∆τ = 0.1.




Resultados em Coordenadas Cartesianas

τ = 0

-15-10

-5051015 -15 -10 -5 0 5 10 15

1e-161e-141e-121e-101e-081e-060.0001

0.011

τ = 0

Φe

u⊥

u‖

-0.6-0.4-0.2

00.20.40.6 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

1e-06

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

τ = 0

ELq

q⊥

q‖

Figura: Estagios iniciais da funcao de distribuicao Φe e da amplitude do espectro. Podemosperceber em Φe o “bump” gerado na funcao de distribuicao pela presenca de um feixe comvelocidade uf = 5.





τ = 100

-15-10

-5051015 -15 -10 -5 0 5 10 15

1e-161e-141e-121e-101e-081e-060.0001

0.011

τ = 100

Φe

u⊥

u‖

-0.6-0.4-0.2

00.20.40.6 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

1e-06

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

τ = 100

ELq

q⊥

q‖

Figura: Neste tempo de integracao, τ = 100, a funcao de distribuicao apresenta um leveachatamento em ambos os picos. Na amplitude de espectro, vemos que ja ocorre um pequenocrescimento de ondas.





τ = 500

-15-10

-5051015 -15 -10 -5 0 5 10 15

1e-161e-141e-121e-101e-081e-060.0001

0.011

τ = 500

Φe

u⊥

u‖

-0.6-0.4-0.2

00.20.40.6 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

1e-06

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

τ = 500

ELq

q⊥

q‖

Figura: Para um tempo de integracao τ = 500, os efeitos da difusao no espaco de velocidadesja sao bem evidentes. O aumento nas oscilacoes pode ser observado no aumento consideravelda amplitude espectral, no grafico a direita.





τ = 1000

-15-10

-5051015 -15 -10 -5 0 5 10 15

1e-161e-141e-121e-101e-081e-060.0001

0.011

τ = 1000

Φe

u⊥

u‖

-0.6-0.4-0.2

00.20.40.6 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

1e-06

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

τ = 1000

ELq

q⊥

q‖

Figura: Em τ = 1000, podemos perceber que praticamente nao ha mais a regiao de derivadapositiva na distribuicao total. Tambem ocorre uma estagnacao da formacao do pico naamplitude espectral, como pode ser visto em seu respectivo grafico.





Consideracoes a Respeito do Modelo em Coordenadas Cartesianas

Todos os estagios da evolucao temporal obtidos numericamente, no modelo emcoordenadas cartesianas, estao de acordo com o esperado para a aplicacao dateoria quase-linear a interacao feixe-plasma.

Foi feita tambem uma tentativa de inclusao de efeitos colisionais no codigonumerico, com o objetivo de estudar a evolucao do sistema a longo prazo.

No entanto, a adicao de termos colisionais ao programa, deu origem aodesenvolvimento de instabilidades numericas, o que motivou a busca por uma novaabordagem que pudesse reduzir a possibilidade de ocorrencia dessas instabilidades.

O que motivou a implementacao de um codigo escrito em termos de coordenadasque pudessem expressar melhor as caracterısticas do termo colisional, ou seja, emtermos de coordenadas polares.




Abordagem Bi-Dimensional em Coordenadas Polares

Equacoes em Coordenadas Polares

Os vetores velocidade e de onda normalizados, foram escritos da seguinte forma:

u = uxex + uzez = u sin θex + u cos θez

q = qxex + qzez = q sinϑex + q cosϑez.

A equacao de difusao ficou com a seguinte expressao:

∂Φe

∂τ=

1

u

∂

∂u(uAe

u Φe) +1

u

∂

∂θ(Ae

θ Φe)

+1

u

∂

∂u

(

uDeuu

∂Φe

∂u

)

+1

u

∂

∂u

(

uDeuθ

1

u

∂Φe

∂θ

)

+1

u

∂

∂θ

(

Deθθ

1

u

∂Φe

∂θ

)

+1

u

∂

∂θ

(

Deθu

∂Φe

∂u

)

.





Os coeficientes de emissao espontanea, Aeu, A

eθ, na forma polar ficaram com a

seguinte forma:

Aeu = 2g

∫ ∞

0

dq

∫ π/2

0

dϑ cos(θ − ϑ)∑

σ=±1

σzLq δ(σzLq − uq cos(θ − ϑ))

+2g

∫ ∞

0

dq

∫ π/2

0

dϑ cos(θ + ϑ)∑

σ=±1

σzLq δ(σzLq − uq cos(θ + ϑ)),

Aeθ = −2g

∫ ∞

0

dq

∫ π/2

0

dϑ sin(θ − ϑ)∑

σ=±1

σzLq δ(σzLq − uq cos(θ − ϑ))

−2g

∫ ∞

0

dq

∫ π/2

0

dϑ sin(θ + ϑ)∑

σ=±1

σzLq δ(σzLq − uq cos(θ + ϑ)).





As componentes Deuu, D

euθ do coeficiente de emissao induzida, na forma polar,

seguem logo abaixo:

Deuu = 2g

∫ ∞

0

dq

∫ π/2

0

dϑ q cos2(θ − ϑ)∑

σ=±1

EσLq δ(σzLq − uq cos(θ − ϑ))

+2g

∫ ∞

0

dq

∫ π/2

0

dϑ q cos2(θ + ϑ)∑

σ=±1

EσLq δ(σzLq − uq cos(θ + ϑ)),

Deuθ = −2g

∫ ∞

0

dq

∫ π/2

0

dϑ q cos(θ − ϑ) sin(θ − ϑ)∑

σ=±1


−2g

∫ ∞

0

dq

∫ π/2

0

dϑ q cos(θ + ϑ) sin(θ + ϑ)∑

σ=±1

EσLq δ(σzLq − uq cos(θ + ϑ)).





As componentes Deθθ, D

eθu do coeficiente de emissao induzida, em coordenadas

polares, ficaram:

Deθθ = 2g

∫ ∞

0

dq

∫ π/2

0

dϑ q sin2(θ − ϑ)∑

σ=±1


+2g

∫ ∞

0

dq

∫ π/2

0

dϑ q sin 2(θ + ϑ)∑

σ=±1

EσLq δ(σzLq − uq cos(θ + ϑ)),

Deθu = −2g

∫ ∞

0

dq

∫ π/2

0

dϑ q sin(θ − ϑ) cos(θ − ϑ)∑

σ=±1


−2g

∫ ∞

0

dq

∫ π/2

0

dϑ q sin(θ + ϑ) cos(θ + ϑ)∑

σ=±1

EσLq δ(σzLq − uq cos(θ + ϑ)).





Evolucao temporal da amplitude espectral em coordenadas polares:

∂EσLq

∂τ= g

π

q2

∫ ∞

0

du

∫ π

0

dθ uΦe δ(σzLq − uq cos(θ − ϑ))

+π

qσzLq

∫ ∞

0

du

∫ π

0

dθ uEσLq δ(σzLq − uq cos(θ − ϑ))

×

(

cos(θ − ϑ)∂Φe

∂u−

1

usin(θ − ϑ)

∂Φe

∂θ

)

+π

q2

∫ ∞

0

du

∫ π

0

dθ uΦe δ(σzLq − uq cos(θ + ϑ))

+π

qσzLq

∫ ∞

0

du

∫ π

0

dθ uEσLq δ(σzLq − uq cos(θ + ϑ))

×

(

cos(θ + ϑ)∂Φe

∂u−

1

usin(θ + ϑ)

∂Φe

∂θ

)

.Sabrina Tigik Ferrao




Metodo e Resultados em Coordenadas Polares

O procedimento de discretizacao adotado para as coordenadas cartesianas foitambem feito para as equacoes em coordenadas polares.

Um novo codigo FORTRAN foi desenvolvido para essa abordagem.

Como aplicacao, consideramos uma situacao com os mesmos parametros fısicosdaquela situacao descrita na secao anterior.

Adotamos uma grade de 101x101 pontos no espaco de velocidades (u, θ), e umagrade com 51x51 pontos no espaco de numeros de onda normalizados (q, ϑ).

Fizemos a evolucao temporal adotando um passo temporal ∆τ = 0.1, da mesmaforma que no caso do uso de coordenadas cartesianas.




Resultados em Coordenadas Polares

τ = 0

u‖

u⊥

1e-161e-141e-121e-101e-081e-06

0.00010.01

1

τ = 0

Φe

-15 -10 -5 0 5 10 15

-15

-10

-5

0

5

10

15q‖

q⊥

1e-06

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

τ = 0

ELq

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Figura: Estagio inicial.





τ = 100

u‖

u⊥

1e-161e-141e-121e-101e-081e-06

0.00010.01

1

τ = 100

Φe

-15 -10 -5 0 5 10 15

-15

-10

-5

0

5

10

15q‖

q⊥

1e-06

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

τ = 100

ELq

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Figura: Inıcio da evolucao temporal.





τ = 500

u‖

u⊥

1e-161e-141e-121e-101e-081e-06

0.00010.01

1

τ = 500

Φe

-15 -10 -5 0 5 10 15

-15

-10

-5

0

5

10

15q‖

q⊥

1e-06

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

τ = 500

ELq

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Figura: Nota-se que a evolucao temporal segue da mesma forma que foi obtida no modeloanterior.





τ = 1000

u‖

u⊥

1e-161e-141e-121e-101e-081e-06

0.00010.01

1

τ = 1000

Φe

-15 -10 -5 0 5 10 15

-15

-10

-5

0

5

10

15q‖

q⊥

1e-06

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

τ = 1000

ELq

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Figura: Podemos ver que a a evolucao temporal continua de acordo com o obtido emcoordenadas cartesianas.




Nas figuras para o modelos em coordenadas polares, pudemos ver que evolucao dosistema esta de acordo com os resultados obtidos pela simulacao em coordenadascartesianas.

Isso indica que o programa ja esta pronto para receber o termo de colisoes.

A adaptacao do codigo ja esta em andamento e acreditamos que em futuro bemproximo teremos resultados a apresentar, permitindo investigar o efeito de colisoesna evolucao temporal de longo prazo da instabilidade feixe-plasma, naaproximacao quase-linear.




Versoes mais sofisticadas e completas do codigo deverao ser tambemdesenvolvidas usando coordenadas polares, incluindo termos nao linearesassociados a processos de decaimento de ondas e de espalhamento onda-partıcula.

Esses processos influenciam a evolucao de longo prazo do sistema e podem serinvestigados com uma abordagem que vai alem da aproximacao quase-linear,conhecida como teoria de turbulencia fraca.

A perspectiva entao e a inclusao de efeitos colisionais no contexto da teoria deturbulencia fraca, para analise de situacoes fısicas de interesse, como e o caso dasituacao envolvendo plasmas e feixes de partıculas.

* Fim *




Referencias I

P. M. Bellan Fundamentals of Plasma Physics.Cambrige University Press 2006.

J. A. Bittencourt. Fundamentals of Plasma Physics. INPE-FAPESP, Sao Jose dos Campos,1995, 2a. ed.

F. F. Chen. Introduction to Plasma Physics and Controlled Fusion. Plenum, New York,1984, 2a. ed.

A. I. Akhiezer & R. V. Polovin & K. N. Stepanov.Plasma Electrodynamics Volume 2.Pergamon Press Ltd, 1975.

D. A. Gurnett & A. Bhattacharjee. Introduction to Plasma Physics. Cambrige UniversityPress, 2005.




Referencias II

V. N. Tsytovich. Non Linear Effects in Plasmas. Plenum Press, New York, 1970.

V. N. Tsytovich. Theory of Turbulent Plasma. Consultants Bureau, New York, 1977.

D. B. Melrose. Instabilities in Sapce and Laboratory Plasmas. Cambrige University Press,Cambrige, 1986.

YU. L. Klimontovich. The Statistical Theory Of Non-Equilibrium Processes In A Plasma.Pergamon Press Ltd, 1967.




Referencias III

D. M. Karfidov, A. M. Rubenchik, K. F. Sergeichev, I. A. Sychev,

Strong Langmuir turbulence excited by an electron beam in plasma.

Zhurnal Eksperimental’noi i Teoreticheskoi Fiziki (ISSN 0044-4510) vol. 98, Nov. 1990, p.1592-1604. In Russian.

Physics Of Plasmas, 12:042306, 2005.

Peter H. Yoon.

Generalized weak turbulence theory.

Phys. Plasmas, 7(12):4858–4871, Dec. 2000.




Referencias IV

Peter H. Yoon.

Effects of spontaneous fluctuations on the generalized weak turbulence theory.

P. H. Yoon, L. F. Ziebell, R. Gaelzer, R. P. Lin, and L. Wang.

Langmuir turbulence and suprathermal electrons.

Space Science Reviews, 173(1-4):459–489, Nov. 2012.

L. F. Ziebell, R. Gaelzer, and P. H. Yoon.

Dynamics of Langmuir wave decay in two-dimensions.

Phys. Plasmas, 15(1):032303, 11p., Mar. 2008.




Referencias V

L. F. Ziebell, R. Gaelzer, and P. H. Yoon.

Dynamics of Langmuir wave decay in two-dimensions.

Phys. Plasmas, 15(1):032303, 11p., Mar. 2008.

L. F. Ziebell, R. Gaelzer, J. Pavan, and P. H. Yoon.

Two-dimensional nonlinear dynamics of beam-plasma instability.

Plasma Phys. Contr. Fusion, 50(8):085011, 15p., 2008.

P. H. Yoon, L. F. Ziebell, R. Gaelzer, and J. Pavan.

Electromagnetic weak turbulence theory revisited.

Phys. Plasmas, 19(10):102303, 9pp, Oct. 2012.




Referencias VI

L. F. Ziebell, R. Gaelzer, and Peter H. Yoon.

Nonlinear development of weak beam-plasma instability.

Phys. Plasmas, 8(9):3982–3995, Sept. 2001.

J. D. Gaffey Jr.,

Energetic ion distribution resulting from neutral beam injection in tokamaks.

J. Plasma Phys., 16(2):149-169, OCt. 1976.




Referencias VII

Lucio M. Tozawa.

Difusao estocastica de ıons energeticos em tokamaks sob a acao de ondas do tipo hıbridainferior.

MSc Diss., UFRGS, Curso de Pos-Graduacao em Fısica, 31 mar. 1998.

