Instrumentacao e Controle

Aula 14

Finalizacao

Prof. Renato Watanabe

ESTO004-17

Onde estamos no curso

Sistema

Obtenção das Equações Diferenciais

que descrevem o comportamento

do sistema

Representação no Espaço de Estados

Transformadade

Laplace

Resposta natural

Resposta forçada

Análisede

Estabilidade

Sensores

Característicasde

Sensores

Comportamento dinâmicodos transdutores

Transdução demedidas

Condicionamento do sinal

Realimentação

Controle PID

Requisitosde Projeto

2 2

Onde estamos no curso

Sistema

ou

Planta+

-

Controlador+

+

3 3

Controle PID

u(t) = Kp(r(t) − y(t))︸ ︷︷ ︸P

+Ki

(∫r(t) dt−

∫y(t) dt

)︸ ︷︷ ︸

I

+Kd

(dr

dt− dy

dt

)︸ ︷︷ ︸

D

4 4

Controle de nıvel de uma caixa d’agua

5 5

Regulador de Watt

Motor decombustão

Sistemade

transmissão

Velocidade angular

desejada+

-

Válvulade

combustível

Reguladorde Watt

Velocidadeangular

Mudança na carga

6 6

Controle de velocidade de esteira

Esteira

Tacômetro

Velocidadedesejada

+-

MotorComputador

Velocidadeda esteira+

+

Pesodo corredor

7 7

Controle de inflacao

Sistema nanceiro

IPCA

Metade in ação

+-

COPOMdo BC

In ação

Escassez de produto, instabilidadepolítica, etc

taxa dejuros

8 8

Controle da postura ereta

Sistema esquelético

Sistemasvestibular, visual,

proprioceptivo

Posição docentro de

massa ideal+

-

Músculosdo corpo

SistemaNervosoCentral

Posiçãodo centro de massa+

+

Empurrão

9 9

Outros exemplos

https://www.youtube.com/watch?v=M8YjvHYbZ9w

https://www.youtube.com/watch?v=ru4JIZ-x8yo

https://www.youtube.com/watch?v=ScjyYj7UdsM

10 10

Pendulo Invertido

u(t) = Ta(t)

y(t) = θ(t)

x1 = y(t)

x2 = dydt

Equacao diferencial

d2y(t)dt2

= mghbJ y(t) + u(t)

Espaco de Estados[x1x2

]=

[0 1

mghbJ 0

].

[x1x2

]+

[01

].u(t)

y(t) =[

1 0].

[x1x2

]

Diagrama de Blocos

1+

g = π2 m/s

hb = 0.85 m

m = 70 kg

J =mh2

b3 kg

11 11

Caixa d’agua

u(t) = Qe(t)

y(t) = h(t)

d(t) = Qs(t)

dy(t)dt = − 1

Ad(t) + 1Au(t)

x1 = y(t)

Espaco de Estados

x1 = 0.x1 + 1A .u(t) − 1

Ad(t)

y(t) = 1.x1

Diagrama de Blocos

+ 1

12 12

Pendulo

Comprimento da barra:

Momento de inércia da barra:

Massa da barra:

u(t) = M(t)

y(t) = θ(t)

d2y(t)dt2

= −3g2l y(t) + 3

2ml2u(t)

x1 = y(t)

x2 = dydt

Espaco de Estados[x1x2

]=

[0 1

−3g2l 0

].

[x1x2

]+

[03

2ml2

].u(t)

y(t) =[

1 0].

[x1x2

]

Diagrama de Blocos

1+

g = π2 m/s

l = 2 m

m = 100 kg

13 13

Controle de atitude de satelite

u(t) = F (t)

y(t) = θ(t)

Equacao diferenciald2y(t)dt2

= 2dJ u(t)

x1 = y(t)

x2 = dydt

Espaco de Estados[x1x2

]=

[0 10 0

].

[x1x2

]+

[03

2ml2

].u(t)

y(t)=[

1 0].

[x1x2

]

Diagrama de Blocos

1

14 14

Pendulo com amortecimento

Comprimento da barra:

Momento de inércia da barra:

Massa da barra:

u(t) = M(t)

y(t) = θ(t)

d2y(t)dt2

= − 3bml2

dy(t)dt − 3g

2l y(t) + 32ml2

u(t)

x1 = y(t)

x2 = dydt

Espaco de Estados[x1x2

]=

[0 1

−3g2l − 3b

ml2

].

[x1x2

]+

[03

2ml2

].u(t)

y(t) =[

1 0].

[x1x2

]

Diagrama de Blocos

1+

b = 3π Ns/m2

g = π2 m/s2

l = 2 m

m = 100 kg

15 15

Pedidos em um servidor

Tempo T para a executar uma solicitacao.

u(t) = λ(t)

y(t) = Q(t)

dy(t)dt = − 1

T y(t) + u(t)

x1 = y(t)

Espaco de Estados

x1 = − 1T x1 + 1.u(t)

y(t) = 1.x1

Diagrama de Blocos

+ 1

16 16

Motor DC

u(t) = ea(t)

y(t) = ω(t)

Equacoes diferenciais:

dia(t)dt = −Ra

Laia(t) + Kb

Lay(t) + 1

Lau(t)

dy(t)dt = − b

J y(t) + KJ ia(t)

x1 = ia(t)

x2 = y(t)

Espaco de Estados[x1x2

]=

[−Ra

LaKbLa

KJ − b

J

].

[x1x2

]+

[ 1La0

].u(t)

y(t) =[

0 1].

[x1x2

]

Diagrama de Blocos

+ + 1

b = 0, 03 Ns/m2 J = 0, 01 kg.m2 Ra = 0, 5Ω

La = 0, 05 H K = 0, 05 N.m/A Kb = 0, 05 V.s/rad

17 17

Circuito diferenciador

u(t) = v(t)

y(t) = vR(t)

di(t)dt = − 1

RC i(t) + 1R

du(t)dt

y(t) = Ri(t)

x1 = i(t)

Espaco de Estados

x1 = − 1RCx1 + 1.u(t)

y(t) = − 1RC .x1 + 1.u

Diagrama de Blocos

+ +

18 18

Sistema massa-mola-amortecedor

Equacao diferencial:

d2y(t)dt2

= − kmy(t) − b

mdy(t)dt + k

mu(t) + bm

du(t)dt

u(t) = xi(t)

y(t) = xo(t)

x1 = y(t)

x2 = dydt

Espaco de Estados[x1x2

]=

[0 1

−Km − b

m

].

[x1x2

]+

[01

].u(t)

y(t) =[

Km

bm

].

[x1x2

]

Diagrama de Blocos

+ +

Utilizar k = 25 N/m, b = 300 Ns/m em = 1000kg

19 19

Circuito integrador

u(t) = v(t)

y(t) = vc(t)

Equacao Diferencial

di(t)dt = − 1

RC i(t) + 1R

du(t)dt

y(t) = 1C

∫ t−∞ i(t) dt

x1 = y(t)

Espaco de Estados

x1 = − 1RCx1 + 1

RCu(t)

y(t) = 1.x1

Diagrama de Blocos

1+

20 20

Linha de montagem

Linha de montagemrecebe ordem de taxa deproducao de carros. Ointeresse e saber comoo estoque de carros secomporta.

u(t) = o(t)

y(t) = S(t)

d(t) = v(t)

Equacoes diferenciais:

dy(t)dt = KP (t) − d(t)

dP (t)dt = −KP (t) + u(t)

x1 = y(t)

x2 = P (t)

Espaco de Estados[x1x2

]=

[0 K0 −K

].

[x1x2

]+

[01

].u(t) +

[−10

].d(t)

y(t) =[

1 0].

[x1x2

]

Diagrama de Blocos

+

21 21

Imunizacao

Uma fracao α de uma populacaosaudavel e infectada por uma doencapor dia. Entre a populacao infectada,uma fracao γ se recupera e setorna imune e uma outra fracao βfalece. Parte da populacao saudavel eimunizada a uma taxa v. O interessee saber como a populacao infectadaevolui ao longo do tempo.

u(t) = v(t)

y(t) = I(t)

Equacoes DiferenciaisdS(t)dt = −αS(t) − u(t)

dy(t)dt = αS(t) − (γ + β)y(t)

dIm(t)dt = u(t) + γy(t)

dM(t)dt = βy(t)

x1 = S(t)

x2 = y(t)

x3 = Im(t)

x4 = M(t)

Espaco de Estadosx1x2x3x4

=

−α 0 0 0α −(γ + β) 0 00 γ 0 00 β 0 0

.x1x2x3x4

+

−1010

.u(t)

y(t)=[

0 1 0 0].

x1x2x3x4

Diagrama de Blocos

+

+-1

+

22 22

Requisitos de projeto

EstabilidadePrincipal requisito, presente em todos os projetos de controle.Em sistemas lineares, deve-se garantir que as raızes do polinomiocaracterıstico esteja no lado esquerdo do plano imaginario.

23 23

Requisitos de projeto

Constante de tempo As constantes detempo de um sistemasao o inverso daparte real dasraızes do polinomiocaracterıstico (ouautovalores da matrizA). Deve-se garantirque a constantede tempo maislenta do sistemarealimentado satisfacaa necessidade.

24 24

Requisitos de projeto

Tempo de acomodacao O tempo deacomodacao e tempoque a saıda do sistemaleva para atingirentre 5 % a 2 %do valor final. E otempo que o sistemaleva para atingir oregime permanente.Se considerar 5%, ts = 3T . Seconsiderar 2 %,ts = 4T .

25 25

Requisitos de projeto

Erro estacionarioA diferenca entre o valor de referencia e o valor final da saıda no regimepermanente.

26 26