ALUNO (A) :____________________________________

PROFESSOR (A): ANDRÉ (MAL) DISCIPLINA: MATEMÁTICA DATA: 09 / 05 / 2016

GEOMETRIA PLANA 1 – ESTUDO DE ÂNGULOS

01) Sabendo-se que a soma de dois ângulos é 78° e um deles vale 3/5 do complemento do outro, os valores são: a) 10° e 68° b) 15° e 63° c) 16° e 62° d) 18° e 60° e) 20° e 58° 02) Determine o valor de: 4° 39' 45" + 18° 32' 43" + 8° - 7° 49" 03a) A metade de um ângulo menos a quinta parte do seu complemento mede 38°. Qual é esse ângulo? b) 2/3 do complemento de um ângulo mais 1/5 do suplemento do mesmo ângulo perfazem 70°. Qual é esse ângulo? 2- ESTUDO DE PARALELISMOS E TRIÂNGULOS

04) Na figura, calcule a medida

do ângulo , sendo r//s. 05) Na figura a seguir, as medidas x, y e z são diretamente proporcionais aos números 5, 20 e 25, respectivamente.

06 - Fuvest) Na figura AB = BD = CD. Então. a) y = 3x b) y = 2x e) x + y = 180º d) x = y e) 3x = 2y 3 – POLÍGONOS

07) O polígono regular convexo em que o n° de lados é igual ao n° de diagonais é o: a) dodecágono. b) pentágono. c) decágono. d) hexágono. e) heptágono. 08) Qual é o polígono convexo em que a soma dos ângulos internos é 1080°? 09) O número de diagonais de um polígono convexo de x lados é dado por N(x) = (x

2 - 3x)/2. Se o polígono possui 9 diagonais, seu

número de lados é: a)10. b) 9. c) 8. d) 7. e) 6. 4 – TEOREMA DE TALES

10) A figura a seguir mostra um segmento AD dividido em três partes: AB=2cm, BC=3cm e CD=5cm. O segmento AD' mede 13cm e as retas BB' e CC' são paralelas a DD'. Determine os comprimentos dos segmentos AB', B'C' e C'D'.

11 - UFG) O desenho a seguir, construído na escala 1:7000, representa parte do bairro Água Branca em Goiânia. As ruas R. 1, R. 2 e R. 3 são paralelas à Av. Olinda. O comprimento da Av. B, da esquina com a Av. Olinda até a esquina com a Rua Dores do Indaya, é de 350 m. Considerando-se que cada rua mede 7 m de largura, calcule quantos metros um pedestre caminhará na Av. B, partindo da esquina com Av. Olinda, até a esquina com a Rua R. 2, sem atravessá-las.

5 – APLICAÇÕES DO TEOTEMA DE TALES

ESTUDO DE SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

12) Se = , determine x e y nos casos:

13) Calcule o valor de x e y nos casos:

14-UFG) Uma fonte luminosa a 25 cm do centro de uma esfera projeta sobre uma parede uma sombra circular de 28 cm de diâmetro, conforme figura a seguir. Se o raio da esfera mede 7 cm, a distância (d) do centro da esfera até a parede, em cm: a) 23 b) 25 c) 28 d) 32 e) 35 6 – ESTUDO DE TRIÂNGULOS RETÂNGULOS

15) Dados experimentais indicam que a dilatação linear experimentada por um objeto material é proporcional ao seu comprimento inicial (LO) e à variação da temperatura a que é

submetido (T),sendo que a constante de proporcionalidade,

denominada de coeficiente de dilatação linear ( ) depende do

material utilizado. Um fio de alumínio ( = 25x10-6

oC

-1) de 10 m

de comprimento está a uma temperatura de 20 oC, e é fixado

pelas extremidades entre dois suportes, cuja distância é de 10 m. Um peso é colocado em seu ponto médio, de modo que o fio possa ser considerado reto entre o ponto médio e cada extremidade. Caso o fio seja aquecido, atingindo uma temperatura de 40

oC ,

ele sofrerá uma dilatação, de modo que o ponto médio estará a uma distância H da horizontal, como mostrado na figura. Nessa situação, qual é o valor de H em

centímetros?

2

16-UFMG) Nesta figura, estão representadas três circunferências, tangentes duas a duas, e uma reta tangente às três circunferências. Sabe-se que o raio de cada uma das duas circunferências maiores mede1cm. Então, é correto afirmar que a medida do raio da circunferência menor é: a) 1/3 cm. b)1/4 cm.

c) 2 /2 cm. d) 2 /4 cm.

17-PC-SP)Na figura, o losango PQRS, cuja diagonal maior mede 24 cm, tem perímetro igual a 52 cm e está inscrito no paralelogramo ABCD.

Sabe-se que a diagonal menor do losango é a altura do paralelogramo. Nesse caso, é correto afirmar que a medida da altura desse paralelogramo é igual, em centímetros, a (A) 5. (B) 10. (C) 9. (D) 6. (E) 8. 7 – ESTUDO DE COMPRIMENTOS DE CIRCUNFERÊNCIAS

17 - Uff) A localização de um ponto qualquer na superfície da Terra (considerada como uma esfera) é feita, em geral, a partir de duas coordenadas, sendo uma delas a latitude - que é o ângulo (em grau) entre o plano que contém a linha do equador e o segmento que une o centro da esfera ao ponto em questão. Sabe-se que as cidades de Porto Alegre e de Macapá situam-se, praticamente, no mesmo meridiano. Considere que a cidade de Macapá (ponto M) localiza-se bem próximo da linha do equador (latitude = 0°02'20" ao norte); que a latitude de Porto Alegre (ponto P) é de 30°01'59" ao sul e que o valor do diâmetro da Terra é de 12750 quilômetros. Veja figura a seguir. Tendo em vista tais considerações, pode-se afirmar que a distância, em quilômetro, entre as duas cidades é de aproximadamente: a) 2300 b) 3300 c) 4600 d) 6600 e) 9000 18. (Ufg) Deseja-se marcar nas trajetórias circulares concêntricas, representadas na figura abaixo, os pontos A e B, de modo que dois móveis partindo, respectivamente, dos pontos A e B, no sentido horário, mantendo-se na mesma trajetória, percorram distâncias iguais até a linha de origem. Considerando que o ponto A deverá ser marcado sobre a linha de origem a 8 m do centro e o ponto B a 10 m do centro, o valor do ângulo , em graus, será

igual a: a) 30 b) 36 c) 45 d) 60 e) 72 19. (Ufrs) Dentre os desenhos abaixo, aquele que representa o ângulo que tem medida mais próxima de 1 radiano é:

8 - ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA

20 - UFES) Na figura, segmentos de reta AP e DP são tangentes à circunferência, o arco ABC mede 110º e o ângulo CAD mede 45º. A medida, do ângulo APD é: a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35 21 - UFRJ) Um arquiteto vai construir um obelisco de base circular. Serão elevadas sobre essa base duas hastes triangulares, conforme figura a seguir, onde o ponto 0 é o centro do círculo de raio 2m e os ângulos BOC e OBC são iguais. O comprimento do segmento AB é:

a) 2 m. b) 3 m. c) 3 2 m d)2 5 m. e)2 3 m.

22) Observando a figura a seguir, determine (em cm): a) o valor de x. b) a medida do segmento AN, sabendo que o perímetro do triângulo ABC é 46 cm.

23 - PERITO CRIMINAL (FUNCAB) Determine a medida do lado AD do quadrilátero ABCD abaixo, circunscrito à circunferência de centro O, sabendo que AB = 5, BC = 4 e CD = 6. A) 4 B) 5 C) 7 D) 8 E) 6

9 ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

26) Determine a área da região sombreada nos casos: a) quadrado de lado 8 m b) hexágono regular de lado 6 m

c) ∆ eqüilátero de L = 12 m d) hexágono regular de L = 12 m

e) retângulo

f) quadrado g) quadrado .

27) Em torno de um campo de futebol, construiu-se uma pista de

atletismo com 3 metros de largura, cujo preço por metro

quadrado é de R$ 500,00. O

custo total desta construção é:

a) R$ 300.000.00

b) R$ 202.530,00

c) R$ 464.500,00

d) R$ 502.530,00

e) R$ 667.030,00

3

28) A figura a seguir possui x

unidades de área.

Determine o inteiro mais

próximo de x.

29 - IBMEC) O triângulo ABC

(figura) tem área igual a 36 cm2.

Os pontos M e N são pontos

médios dos lados AC e BC.

Assim, a área da região MPNC,

em cm2, vale:

a) 10. b) 12. c) 14.

d) 16. e) 18.

30) Ao redor de uma piscina retangular com 10m de comprimento

por 5m de largura, será construído um revestimento de madeira

com x metros de largura, representado na figura a seguir. Existe

madeira para revestir

87,75m2. Qual deverá ser a

medida x para que para que

toda a madeira seja

aproveitada?

a) 9,75 m b) 7,25 m

c) 3,75 m d) 3,25 m

e) 2,25 m

31- PC- MG) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado de

lado a e a parte hachurada é limitada por quartos de

circunferências centradas nos vértices B e D. A área da

figura hachurada, em função de a, é:

2

2a π - 2

) m2

a

2

2a π - 2

b) m4

2 2c) a π - 2 m

2 2d) a π + 2 m

32 PC-SP) Um determinado espaço será decorado com duas pequenas telas retangulares, A e B, cujas dimensões, em centímetros, estão indicadas nas figuras.

Sabendo-se que ambas as telas tem perímetro igual a 120 cm, é correto afirmar que a área ocupada pelas duas, juntas, é igual, em centímetros quadrados, a a) 1 300. b) 1 450. c) 1 250. d) 1 600. e) 1 200. 32 – PC-UEG12) Na figura ao lado, F é o ponto médio de AE. Sabe-se que AB e DE são perpendiculares a AE e que as medidas de AB, BC, DE e AE são, respectivamente 1,5 cm, 5 cm, 3,7 cm e 6 cm. A medida da área da figura ABCDE é a) 6,25 cm

2 b) 9,75 cm

2 c) 15,75 cm

2 d) 24,3 cm

2

33 - PC UEG12) O art. 88 da Lei n. 7.210/84 do Código Penal, no capítulo sobre sistema penitenciário, recomenda uma área mínima de 6 m2 como requisito básico para uma cela individual. Respeitada essa condição, um alojamento coletivo retangular de dimensões 5 m por 11 m poderá receber no máximo quantas pessoas: a) 8. b) 9. c) 10. d) 11.

GABARITO

01) D 02) 24° 11' 39'' 03a) 80° b) 30° 04) 100º 05) A 06) A 07) B 08) Octógono 09) E 10) AB' = 2,6cm ; B'C' = 3,9cm ; C'D' = 6,5cm. 11) 168 metros

12.a)9; 32/3 b)7;10 13.a) 6; 10/3 b) 15/2; 5 14) A

15) H = 250,06 cm ou H 15,81cm 16) B 17. B 18. E

19. B 20. B 21. E 22) a) x = 20 cm b) AN = 3 cm 23) EM SALA 25) x = 3/2

26a) 8 π - 2 m2

b) 23 2π - 3 3 m c) 24 4π - 3 3 m

d) 218 2 3 - π m e) 24 - π

a2

f) 2π - 2

a4

g) 24 - π a

4

27) D 28 15 29) B 30) E 31) E 32) D 33) B

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01) Dado um ângulo de medida x, indique: a) seu complemento; b) seu suplemento; c) o dobro do seu complemento; d) a metade de seu suplemento; e) o triplo de seu suplemento; f) a sétima parte do complemento; g) a quinta parte do suplemento; h) o complemento da sua terça parte; i) o triplo do suplemento da sua quinta parte. 02) Efetue a divisão indicada a) (12° 15' 4" ) : 8 b) (15° 12' 13" ) : 7 03) Calcule o que se pede: a) Dê a medida do ângulo que vale o dobro do seu complemento. b) Determine a medida do ângulo igual ao triplo do seu complemento. c) Calcule o ângulo que vale o quádruplo de seu complemento. d) Calcule um ângulo, sabendo que um quarto do seu suplemento vale 36°. e) Qual é o ângulo que excede o seu complemento em 76°? f) Qual é o ângulo que excede o seu suplemento em 66°? 04) A figura mostra um triângulo ABC,

isósceles, de base BC . Sendo BD bissetriz

de A B C e CD bissetriz de A C B, calcule o

valor de x.

05) Calcule x e y indicados na figura abaixo.

06 - PUC) A soma das medidas dos

ângulos A + B + C + D + E :

a) 60º b) 120º c) 180º d) 360º e) varia de “estrela” para “estrela” 07) Um polígono regular possui a partir de cada um de seus vértices tantas diagonais quantas são as diagonais de um hexágono. Cada ângulo interno desse polígono mede em graus: a) 140 b) 150 c) 155 d) 160 e) 170 08) Considere 3 retas coplanares paralelas, r, s e t, cortadas por 2 outras retas, conforme a figura. Os valores dos segmentos identificados por x e y são, respectivamente: a) 3/20 e 3/40. b) 6 e 11. c) 9 e 13. d) 11 e 6. e) 20/3 e 40/3.

09) A crise energética tem levado as médias e grandes empresas a buscarem alternativas na geração de energia elétrica para a manutenção do maquinário. Uma alternativa encontrada por uma fábrica foi a de construir uma pequena

4

hidrelétrica, aproveitando a correnteza de um rio que passa próximo às suas instalações. Observando a figura e admitindo que as linhas retas r, s e t sejam paralelas, pode-se afirmar que a barreira mede: a) 33 m b) 38 m c) 43 m d) 48 m e) 53 m 10.Fuvest) Um lateral L faz um lançamento para um atacante A, situado 32m à sua frente em uma linha paralela à lateral do campo de futebol. A bola, entretanto, segue uma trajetória retilínea, mas não paralela à lateral e quando passa pela linha de meio do campo está a uma distância de 12m da linha que une o lateral ao atacante. Sabendo-se que a linha de meio do campo está à mesma distância dos dois jogadores, a distância mínima que o atacante terá que percorrer para encontrar a trajetória da bola será de: a) 18,8m b) 19,2m c) 19,6m d) 20m e) 20,4m 11.UFMG) Em determinada hora do dia, o sol projeta a sombra de um poste de iluminação sobre o piso plano de uma quadra de vôlei. Neste instante, a sombra mede 16m. Simultaneamente, um poste de 2,7m, que sustenta a rede, tem sua sombra projetada sobre a mesma quadra. Neste momento, essa sombra mede 4,8m.A altura do poste de luz é de: a) 8,0 m b) 8,5 m c) 9,0 m d) 7,5 m 12.UFG) Em um sistema de coordenadas cartesianas são dados os pontos A(0, 0), B(0, 2), C(4, 2), D(4, 0) e E(x,0) , onde 0 < x < 4. Considerando os segmentos BD e CE, obtêm-se os triângulos T• e T2 , destacados na figura. Para que a área do triângulo T• seja o dobro da

área de T2 , o valor de x é:

a) 2 - 2 b) 4 - 2 2 c) 4 - 2

d) 8 - 2 2 e) 8 - 4 2

13 - Ufrj) Na figura a seguir, os círculos de centros O1 e O2 são tangentes em B e têm raios 1 cm e 3 cm. Determine o comprimento da curva ABC. 14 - Unicamp) Para calcular a circunferência terrestre, no século III a.C. o sábio Eratóstenes valeu-se da distância conhecida de 800 km entre as localidades de Alexandria e Siena, no Egito (A e S, respectivamente, na figura), situadas no mesmo meridiano terrestre. Ele sabia que, quando em Siena os raios solares caíam verticalmente, em Alexandria eles faziam um ângulo de 7,2º com a vertical. Calcule, com esses dados, a circunferência terrestre, isto é, o comprimento de uma volta completa em torno da Terra. 15) Calcule o valor de x na figura a seguir:

16) Calcule o valor de x na figura a seguir:

17-UnB) A figura, o segmento tangente PA mede 15 cm e PR mede 12 cm. a) Determine a medida RS b) Qual é o perímetro do triângulo PRT

18 – UFRS) Sobre os lados de um triângulo retângulo constroem-se quadrados, conforme mostra a figura abaixo. Sendo "a" a medida da hipotenusa, "b" e "c" as medidas dos catetos, e P e Q os pontos representados na figura, então a distância entre P e Q é igual a:

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

a) a + b . b) 2a + b .

c) a + 2b . d) 3a + b .

e) a + 3b .

19) Em um quadrilátero

convexo ABCD, a diagonal

AC mede 12cm e os vértices

B e D distam,

respectivamente, 3cm e 5cm

da diagonal AC. Calcule a

área do quadrilátero.

20-Unifesp) Se um arco de 60° num círculo I tem o mesmo

comprimento de um arco de 40° num círculo II, então, a razão

entre a área do círculo I e do círculo II é:

a) 2/9. b) 4/9. c) 2/3. d) 3/2. e) 9/4.

21) O hexágono cujo interior aparece destacado em cinza na

figura regular e origina-se da sobreposição de

dois triângulos equiláteros.Se k é a área do

hexágono, a soma das áreas desses dois

triângulos é igual a:

a) k. b) 2k. c) 3k. d) 4k. e) 5k.

22 – UDESCO) Uma circunferência intercepta um triângulo

equilátero nos pontos médios de dois de seus lados, conforme

mostra a figura, sendo que um dos vértices do triângulo é o

centro da circunferência. Se o lado do triângulo mede 6 cm, a

área da região destacada na figura é:

2 2

2 2

2

a) 9 [2 3 - ( /6)] cm b) 9 [ 3 - ( /18)] cm

c) 9 [ 3 - ] cm d) 9 [ 3 - ( /3)] cm

e) 9 [ 3 - ( /6)] cm

GABARITO

01 a) 90º - x b) 180º - x c) 2(90º - x) d) (180º - x)/2 e) 3(180º - x) f) (90º - x)/7 g) ( 180 – x)/5 h) 90º - x/3 i) 3(180º - x/5) 02a)1° 31' 53'' b) 2° 10' 19'' 03 a) 60º b) 67º 30’ c) 72º d) 36º e) 83º f) 123º 04) 130

O 05) x = 70º e y = 125º 06) C

07) B 08) E 09) B 10. B

11. C1 12. B 13. 5π/3 14. 6369 km 15.x=75° 16. x = 20° 17b. 30 18) E 19) 48 cm

2 20) B 21) C 22) E

TESTES DE RELAÇÕES MÉTRICAS DO TRIANGULO

1. As substâncias poliatômicas podem ser representadas por

estruturas geométricas, as quais são definidas de acordo com as propriedades químicas dos elementos. Em uma estrutura octaédrica formada pelos elementos genéricos X e Y, onde o comprimento da ligação X _ Y é igual a 5 nm

9(1nm 1 10 m), a seção que a divide em duas pirâmides

regulares está representada na figura a seguir. Desprezando-se os efeitos de atração e repulsão, a distância aproximada entre os elementos Y e um exemplo de fórmula molecular que apresente a estrutura geométrica abordada são, respectivamente, a) 5 nm e SF6 b) 5 nm e CH4 c) 7 nm e SF6 d) 7 nm e NH3 e) 7 nm e CH4

5

2. O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 m e as

medidas dos lados estão em progressão aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a a) 3,0 m

2. b) 2,0 m

2. c) 1,5 m

2. d) 3,5 m

2.

3.Uma escada de 15 m encostada em uma parede, fica estável

quando a distância do chão ao seu topo é 5 m maior que a distância da parede à base da escada. Nessa posição, qual é, em metros, aproximadamente, a altura que a escada alcança na parede, considerando que as bases da escada e da parede estão no mesmo nível? Use para o cálculo a

aproximação 4,12log 17 2.

a) 7,80 b) 8,24 c) 10,00 d) 12,80 e) 13,40 4. Nessa figura, ABCD é um retângulo cujos lados medem b e 2b. O ponto R pertence aos segmentos AC e BD e, ARDS é um quadrilátero em que M é ponto médio do segmento RS. O segmento MP, expresso em função de b, é

a)

b 5.

5 b)

b 5.

3

c)

2b 5.

3 d)

3b 5.

5 5. Na figura abaixo, o valor da área do quadrado de lado “a”, em função dos segmentos “b” e “c”, é

a) b

2 + c

2

b) b2 - c

2

c) b2c

2

d) c2 - b

2

e) b2/c

2

6) Nesta figura, ABCD é um retângulo e DH é um arco de circunferência cujo centro é o ponto M.

O segmento EH em unidades de comprimento, mede

a)

1 5.

2

b)

2 5.

2

c) 1/3 d) 1/2 e)

5.

2 7) Um restaurante foi representado em sua planta por um retângulo PQRS. Um arquiteto dividiu sua área em: cozinha (C), área de atendimento ao público (A) e estacionamento (E), como mostra a figura abaixo. Sabendo que P, H e R são colineares, que PH mede 9 m e que SH mede 12 m, a área total do restaurante, em metros quadrados, é a) 150. b) 200. c) 250. d) 300. e) 350. 8) Um triângulo isósceles inscrito em um círculo de raio igual a 8 cm possui um lado que mede 16 cm A medida dos outros dois lados do triângulo, em cm, é igual a a) 8 b) 8√2 c) 16 d) 16√2 9. (Fgv) Um triângulo tem lados medindo 1cm, 2cm e 2,5cm. Seja h a medida da altura relativa ao maior lado. O valor de h

2 expresso em cm

2 é, aproximadamente, igual a

a) 0,54 b) 0,56 c) 0,58 d) 0,60 e) 0,62

10) A escadaria a seguir tem oito batentes no primeiro lance e seis, no segundo lance de escada. Sabendo que cada batente tem 20 cm de altura e 30 cm de comprimento (profundidade), a tangente do ângulo CAD mede: a) 9/10 b) 14/15 c) 29/30 d) 1 11) Considere uma corda AB, perpendicular ao diâmetro EC de um círculo de centro O. Sendo o ponto D a interseção dos segmentos AB e EC e sabendo que CD = 4cm e ED = 9cm, a área do triângulo AED, em cm

2, é igual a

a) 27. b) 18. c) 36. d) 78. 12) No retângulo ABCD de lado AB = 3 cm, bc = √7 cm. o segmento AP é perpendicular à diagonal BD. O segmento BP mede em cm: a) 9/2 b) 7/4 c) 9/4 d) 3/4 e) 5/4

GABARITO DOS TESTES DE RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO

Resposta da questão 1: [C] Teremos:

2 2 2

Y Y X Y X Y

2 2Y Y X Y

2 2Y Y

2 2Y Y

2 2Y Y

d d d

d 2 d

d 2 (5 nm)

d 50 nm

d 50 nm 7,07 7 nm

Resposta da questão 2: [C] Sejam x, x r e x 2r as

medidas, em metros, dos lados do triângulo, com x, r 0.

Aplicando o Teorema de Pitágoras, encontramos x 3r. Logo,

os lados do triângulo medem 3r, 4r e 5r.

Sabendo que o perímetro do triângulo mede 6,0 m, vem

13r 4r 5r 6 r .

2

Portanto, a área do triângulo é igual a

2

23r 4r 16 1,5 m .

2 2

Resposta da questão 3: [D] Se x é a altura que a escada

alcança na parede, então, pelo Teorema de Pitágoras, vem

22 2 2 2 5 425 5

x (x 5) 15 x 5x 100 x x (1 17).2 4 2

Sendo 17α e tomando 4,12log 17 2, encontramos

1

24,12 4,12 4,12 4,12

4,12

1log log 17 log log 17

2

log 1

4,12.

α α

α

α

Portanto, 5

x (1 4,12) 12,80 m.2

Resposta da questão 4: [A] Como M é ponto médio de SR,

AMS 90 e AR AD, segue-se que ARDS é losango.

6

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ADC,

encontramos AC b 5. Logo, b 5

AR DS .2

Portanto, como o produto dos catetos é igual ao produto da

hipotenusa pela altura, do triângulo MSD, vem

b 5 b b 5

DS MP MS DM MP b MP .2 2 5

Resposta da questão 5: [A] A área A de um quadrado de lado a

é dada por A = a2. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo

DFH, temos a2 = b

2 + c

2. Portanto, A = a

2 + b

2.

Resposta da questão 6: [A] Desde que AB EM e E é o

ponto médio de AD, segue-se que EM é base média do

triângulo ABD. Assim, temos AB 1

EM .2 2

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo DEM, vem

22 2 2 2 21 5

DM EM DE DM 1 DM .2 2

Por conseguinte, dado que DH é um arco de circunferência com

centro em M, encontramos

1 5EH HM EM .

2

Resposta da questão 7: [D]

2 2 2No PHS: PS 9 12 PS 15m.

9 12PHS PSR SR 20m.

15 SR

Δ

Δ Δ

Portanto, a área do terreno será:

2A 20 15 300m

Resposta da questão 8: [B]

O lado que mede 16 cm é diâmetro

da circunferência e a ângulo

ˆACB 90 , logo:

2 2 2x x 16 x 8 2 Resposta da questão 9: [C]

Considere a figura, em que AC 1, AB 2,BC 2,5 e AH h.

Façamos HB x, com 0 x 2,5. Aplicando o Teorema de

Pitágoras nos triângulos AHC e AHB, obtemos

2 2 2h 1 (2,5 x) e 2 2 2h 2 x . Logo,

2 21 6,25 5x x 4 x 5x 9,25

x 1,85cm.

Portanto, 2 2h 4 (1,85) 0,58.

Resposta da questão 10: [B] Supondo que A, B e C

pertencem a um mesmo plano horizontal, temos

AB 8 30 240cm, BC 6 30 180cm e CD (8 6) 20 280cm.

Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC,

encontramos 2 2 2 2 2 2AC AB BC AC 240 180

AC 300cm.

Portanto, do triângulo retângulo ACD vem

CD 280 14

tgCAD .300 15AC

Resposta da questão 11: [A]

EÂC 180 : 2 90

No triângulo retângulo AEC,

temos:

2h 9 4 h 36. Logo, h 6.

Portanto, a área do triângulo AED

será dada por:

A =(6.9):2 = 27 cm2

Resposta da questão 12: [C] Pelo Teorema de Pitágoras, temos: 2 2 2 2 2 2BD AB AD BD 3 ( 7)

BD 4cm.

Portanto, como o quadrado de um cateto é igual ao produto da

sua projeção pela hipotenusa, vem:

2 2 9

AB BP BD 3 BP 4 BP cm.4

TESTES DE ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA

1) Caminhando 100 metros pelo contorno de uma praça circular,

uma pessoa descreve um arco de 144°. Desse modo, é correto

afirmar que a medida, em metros, do raio da circunferência da

praça é

a) 125π b) 175

π c)

125

π d)

250

π e) 250π

2) A roda de um carro tem 30 cm de raio. Depois de a roda

completar uma volta, o carro terá se deslocado aproximadamente:

Usando 3,14π a) 60 cm b) 120 cm c) 180 cm d) 188 cm e) 198 cm 3) Uma máquina possui duas engrenagens circulares, sendo a

distância entre seus centros A e B igual a 11cm, como mostra

o esquema:

Sabe-se que a engrenagem menor dá

1000 voltas no mesmo tempo em que

a maior dá 375 voltas, e que os

comprimentos dos dentes de ambas têm

valores desprezíveis.

A medida, em centímetros, do raio da

engrenagem menor equivale a: a) 2,5 b) 3,0 c) 3,5 d) 4,0 4) Uma bicicleta, cuja medida do raio da circunferência de cada

pneu é 35 cm, percorreu uma distância de 100 m, em linha reta,

sem deslizamento de pneu ao longo do percurso. O número

inteiro que indica, de forma mais aproximada, a quantidade de

giros completos de cada pneu da bicicleta, ao longo do trajeto

realizado, é Observação: Use 3,14 para o valor de .π a) 42. b) 45. c) 50. d) 53. 5) Maria Campos, a mocinha do Mercado Central, caminha pela

Praça Raul Soares sobre o arco ABC e, depois, segue em linha

reta até o ponto D. Um esquema

simplificado da praça está

desenhado a seguir, onde se

apresentam duas circunferências

de centro O, de raios 5 m e 42 m.

Sabe-se que os pontos A, R, S e

T são vértices de um quadrado.

Considere 3.π

O percurso realizado por Maria,

em metros, encontra-se no

intervalo a) [55, 60[. b) [60, 65[. c) [65, 70[. d) [70, 75[. 6) Ao projetar um teatro, um arquiteto recebeu o seguinte pedido

da equipe que seria responsável pela filmagem dos eventos que lá

aconteceriam:

7

“É necessário que seja construído um trilho no teto ao qual

acoplaremos uma câmera de

controle remoto. Para que a

câmera não precise ficar mudando

a calibragem do foco a cada

movimentação, o ângulo de

abertura com que a câmera captura

as imagens do palco deve ser

sempre o mesmo, conforme

ilustração abaixo.

Por exemplo, dos pontos P1 e P2 a

câmera deve ter o mesmo ângulo

de abertura α para o palco.”

Das propostas de trilho a seguir,

aquela que atende a essa

necessidade é

a) b) c)

d) e) 7) Considere três circunferências de raio

unitário e de centros A, B e C, conforme a

figura. Dessa forma, o perímetro da região

sombreada, em unidades de comprimento,

é

a) .3

π b) .

2

π c) .π d) 2 .π

8) Um hexágono regular de área 12 cm

2 e de

centro P foi pintado em duas tonalidades,

conforme a figura. A área pintada na

tonalidade mais clara, em cm2, é

a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. 9) Na figura, AB e AE são tangentes à circunferência nos pontos

B e E, respectivamente, e

ˆBAE 60 . Se os arcos

BPC, CQD e DRE têm medidas

iguais, a medida do ângulo ˆBEC,

indicada na figura por ,α é igual a a) 20° b) 40° c) 45°

d) 60° e) 80° 10) Uma pista de atletismo é formada por duas raias cujo

percurso é formado por duas partes retas intercaladas com duas

semicircunferências, conforme a figura.

Dois atletas estavam correndo, um na raia I e outro na raia II,

quando pararam para descansar. O atleta da raia II disse que dera

10 voltas na pista e correra mais, pois sua raia é maior; já, o outro

atleta discordou, pois ele

acreditava ter dado mais

voltas. Se a

semicircunferência

tracejada da raia I tem raio

igual a 10 metros, a da raia

II tem raio de 12 metros, e

as partes retas têm 100 metros de comprimento, então o número

mínimo de voltas que o atleta da raia I deve completar para correr

mais que o outro é

a) 11. b) 12. c) 13. d) 14. e) 15. 11) Um restaurante utiliza, para servir bebidas,

bandejas com base quadradas. Todos os copos

desse restaurante têm o formato representado

na figura:

Considere que 7AC BD

5 e que é a medida

de um dos lados da base da bandeja. Qual deve

ser o menor valor da razão BD

para que uma

bandeja tenha capacidade de portar exatamente

quatro copos de uma só vez? a) 2 b) 14/5 c) 4 d) 24/5 e) 28/5 12. (Fgv 2012) Uma bobina cilíndrica de papel possui raio

interno igual a 4 cm e raio

externo igual a 8 cm. A

espessura do papel é

0,2 mm.

Adotando nos cálculos

3,π o papel da bobina,

quando completamente

desenrolado, corresponde a um retângulo cuja maior dimensão,

em metros, é aproximadamente igual a a) 20. b) 30. c) 50. d) 70. e) 90. 13) Uma circunferência de raio R é tangente externamente a

duas circunferências de raio r, com r

< R. As três circunferências são

tangentes a uma mesma reta, como

ilustrado a seguir. Qual a distância

entre os centros das circunferências

de raio r?

a) 4 Rr b) 3 Rr c) 2 Rr d) Rr e) Rr /2

14) Durante seu treinamento, um atleta percorre metade de uma

pista circular de raio R, conforme figura a seguir. A sua largada

foi dada na posição representada pela letra L, a chegada está

representada pela letra C e a letra A representa o atleta. O

segmento LC é um diâmetro da circunferência e o centro da

circunferência está representado pela letra F.

Sabemos que, em qualquer posição que o atleta esteja na pista, os

segmentos LA e AC são perpendiculares. Seja θ o ângulo que o

segmento AF faz com segmento FC. Quantos graus mede o ângulo θ

quando o segmento AC medir R

durante a corrida? a) 15 graus b) 30 graus c) 60 graus d) 90 graus e) 120 graus 15) Em 20 de fevereiro de 2011 ocorreu a grande erupção do

vulcão Bulusan nas Filipinas. A sua localização geográfica no

globo terrestre é dada pelo GPS (sigla em inglês para Sistema de

Posicionamento Global) com longitude de 124° 3’ 0” a leste do

Meridiano de Greenwich.

Dado: 1° equivale a 60’ e 1’ equivale a 60”.

PAVARIN, G. Galileu, fev. 2012 (adaptado)

A representação angular da localização do vulcão com relação a

sua longitude da forma decimal é a) 124,02°. b) 124,05°. c) 124,20°. d) 124,30°. e) 124,50°. 16. (Mackenzie 2012) Na figura, se a

circunferência tem centro O e BC =

OA, então a razão entre as medidas

dos ângulos AÔD e CÔB é

a) 5/2 b) 3/2 c) 2 d) 4/3 e) 3 17) Uma bicicleta tem uma roda de

30 centímetros de raio e outra de 40 centímetros de raio.

Sabendo-se que a roda menor dá 136 voltas para certo percurso,

8

determine quantas voltas dará a roda maior para fazer o mesmo

percurso. a) 102. b) 108. c) 126. d) 120. e) 112. 18) Sabe-se que uma das raízes da equação 2x 7x 44 0

corresponde, em cm, ao comprimento do raio de uma

circunferência. Qual o comprimento desta circunferência,

considerando 3,14?π a) 69,08 cm. b) 69,01 cm. c) 69,80 cm.

d) 59,08 cm. e) 58,09 cm. 19) Uma mangueira de jardim enrolada forma uma pilha circular

medindo cerca de 100 cm de um lado a outro. Se há seis voltas

completas, o comprimento da mangueira é de, aproximadamente a) 9 m. b) 15 m. c) 19 m. d) 35 m. e) 39 m. 20) Uma partícula descreve um arco de 1080° sobre uma

circunferência de 15 cm de raio. A distância percorrida por essa

partícula, em cm, é igual a a) 90 .π b) 120 .π c) 140 .π d) 160 .π

21) A London Eye também conhecida como Millennium

Wheel (Roda do Milênio), é uma roda-gigante de observação

com 135 metros de diâmetro e está situada na cidade de Londres,

capital do Reino Unido. Quanto aproximadamente percorrerá

uma pessoa nesta roda-gigante em 6 voltas, considerando

3,14?π a) 67,5 m. b) 135 m. c) 423,9 m. d) 2543,4 m. e) 85839,75 m.

22) A figura abaixo representa um círculo de centro O e uma

régua retangular, graduada em milímetros. Os pontos A, E e O

pertencem à régua e os pontos B, C e D pertencem,

simultaneamente, à régua e à circunferência.

Considere os seguintes dados

Segmentos Medida

(cm)

AB 1,6

ED 2,0

EC 4,5

O diâmetro do círculo é, em centímetros, igual a: a) 3,1 b) 3,3 c) 3,5 d) 3,6

23) A estrada que liga duas cidades tem 4.396 m de extensão.

Quantas voltas completas dará uma das rodas da bicicleta que vai

percorrer essa estrada se o raio da roda é 0,35 m? Considere

3,14.π a) 50.000 voltas. b) 2.000 voltas. c) 100.000 voltas. d) 150.000 voltas. e) 20.000 voltas. 24) Na figura abaixo, têm-se quatro círculos congruentes de

centros 1O , 2O , 3O e 4O e de raio igual a 10 cm. Os pontos

M, N, P, Q são pontos de tangência entre os círculos e A, B, C,

D, E, F, G, H são pontos de

tangência entre os círculos e a

correia que os contorna.

Sabendo-se que essa correia é

inextensível, seu perímetro, em cm,

é igual a a) 2 40π b) 5 16π

c) 20 4π d) 5 8π

25) O atletismo é um dos esportes que mais se identificam com o

espírito olímpico. A

figura ilustra uma pista

de atletismo. A pista é

composta por oito raias e

tem largura de 9,76 m. As

raias são numeradas do

centro da pista para a extremidade e são

construídas de segmentos de retas paralelas e arcos de

circunferência. Os dois semicírculos da pista são iguais. Se os

atletas partissem do mesmo ponto, dando uma volta completa, em

qual das raias o corredor estaria sendo beneficiado? a) 1 b) 4 c) 5 d) 7 e) 8 26) Considere um relógio analógico de doze horas. O ângulo

obtuso formado entre os ponteiros que indicam a hora e o minuto,

quando o relógio marca exatamente 5 horas e 20 minutos, é a) 330°. b) 320°. c) 310°. d) 300°. e) 290°.

Gabarito: TESTES DE CIRCUNFERÊNCIA Resposta da questão 1: [C]Admitindo R a medida do raio,

temos: 4 100 125

144 rad R .5 R

π

π

Resposta da questão 2: [D] O perímetro da roda corresponde a

2 30 2 3,14 30 188cm,π que é o resultado desejado.

Resposta da questão 3: [B] Sejam An e Bn , respectivamente,

o número de voltas da engrenagem maior e o número de voltas da

engrenagem menor. Desse modo, se Ar e Br são os raios dessas

engrenagens, então

A A B B A B A B8

n 2 r n 2 r 375 r 1000 r r r .3

π π

Portanto, A B B B B8

r r 11 r r 11 r 3cm.3

esposta da questão 4: [B]

Perímetro do pneu: 2 35cm 70 3,14 219,8cmπ

Distância percorrida: 100m = 10 000 cm

Número de voltas: 10 000 : 219,8 = 45.

Resposta da questão 5: [C] O comprimento do percurso

realizado por Maria é dado por

1 1

2 OC OC OD 2 3 42 42 5 31,5 37 68,5 m.8 8

π

Portanto, segue que 68,5 [65, 70[.

Resposta da questão 6: [E] Para qualquer

ponto P, o ângulo ˆAPB situado na

semicircunferência (mostrada na figura)

será reto.

ˆAPB =180

902

Logo, o trilho deverá

ser o representado na figura da alternativa

[E]. Resposta da questão 7: [C]

Comprimento do arco cuja medida é x:

2 1x .

6 3

π π Portanto, o perímetro

da figura será: 33

ππ

Resposta da questão 8: [C] Dividindo o

hexágono em 12 triângulos de mesma área

(ver figura), cada área terá 21cm . Portanto,

a área destacada terá 2 25 1cm 5 cm .

Resposta da questão 9: [B] Seja S um ponto do menor arco

BE. Como BPC CQD DRE 2 ,α segue-se que

BSE 360 6 .α Portanto, como EAB é excêntrico exterior,

temos

BQE BSE 6 (360 6 )EAB 60 60 6 180 40 .

2 2

α αα α

Resposta da questão 10: [A]

Comprimento da raia I = 100 + 100 + 2. π .10 262,8 m

9

Comprimento da raia II = 100 + 100 + 2. π .12 275,36 m

De acordo com o problema, o atleta da raia II deu 10 voltas e

chamaremos de v o número de voltas dadas pelo atleta da raia I.

Logo: 2753,6

v 262,8 10 275,36 v V 10,4779262,8

Resposta: O atleta da raia I deve completar 11 voltas para correr

mais que o outro.

Resposta da questão 11: [D]

Considere a figura, em que BD x

e AC y. Para que a bandeja tenha

capacidade de portar exatamente

quatro copos de uma só vez, deve-se

ter

2472 (x y) 2 x.x x

55

Portanto, o resultado pedido é dado por

24x

245 .x 5BD

Resposta da questão 12: [D] Sabendo que a espessura do papel

é 0,2 mm, temos que todo o papel enrolado corresponde a

40 mm200

0,2 mm circunferências concêntricas, de tal modo que os

raios dessas circunferências crescem, de dentro para fora,

segundo uma progressão aritmética de razão 0,2 mm.

Portanto, a maior dimensão do retângulo é dada pela soma dos

comprimentos das circunferências, ou seja,

40,2 802 (40,2 40,4 80) 2 3 200 6 12020 72120mm 70 m.

2π

Resposta da questão 13: [A] Considere a

figura.

Sabendo que AC R r e BC R r,

pelo Teorema de Pitágoras, vem

2 2 2 22 2

2

AC AB BC (R r) AB (R r)

AB 4Rr AB 2 Rr.

Portanto, como AD 2 AB, segue que o resultado pedido é

2 2 Rr 4 Rr.

Resposta da questão 14: [C] Se AC = R, temos o triângulo

AFC equilátero. Logo, 60 .θ

Resposta da questão 15: [B] 3’= (3/60)° = 0,05°

124° 3’ 0” = 124,05°

Resposta da questão 16: [E] Considere a figura.

Sejam AOD e COB . Sabendo

que BC OA OC, vem OBC . Daí,

como AD e CE , encontramos

AD CEOBC 3.

2 2

Resposta da questão 17: [A] A distância percorrida pela roda

maior é igual à distância percorrida pela roda menor.

C = comprimento da roda maior. c = comprimento da roda menor.

x = número de voltas da roda maior

c C

136.2 .30 x.2 .40

136.30x 102

40

π π

Resposta da questão 18: [A] Determinando as raízes da equação

2x 7x 44 0 , temos x = - 4 ou x = 11.

Logo, o raio da circunferência é x = 11. Portanto, o comprimento

da circunferência será dado por:

C 2 r 2 3,14 11 69,08π

Resposta da questão 19: [C]

Raio de cada volta: 0,5 m.

Comprimento aproximado de cada

volta: 2 0,5 3,14 cm.π

Comprimento aproximado da

mangueira toda: 6 3,14 18,84 m 19 m.

Resposta da questão 20: [A]

Número de voltas: 1080°:360° = 3.

Distância total percorrida: 3  2 15 90  cm. π π

Resposta da questão 21: [D]

Comprimento de uma volta: C = 2.3,14.(135/2) = 423,9 m.

Comprimento de seis voltas: 6.423,9 = 2543,4 m. Resposta da questão 22: [B] Considere a figura abaixo.

Queremos calcular 2 OB. Sabemos que ED 2cm e

EC 4,5cm. Logo, DC EC ED 4,5 2 2,5cm.

Sendo M o ponto médio do segmento DC, vem que

DC 2,5DM 1,25cm.

2 2 Por outro lado, como EF AB,

temos FD ED EF ED AB 2 1,6 0,4cm.

Portanto, 2 OB 2 (FD DM) 2 (0,4 1,25) 3,3cm.

Resposta da questão 23: [B]

N.º de voltas = 4.396 4.3962.000.

2 0,35 6,28 0,35π

Resposta da questão 24: [C]

Resposta da questão 25: [A] Na raia 1, o atleta percorreria a

menor distância, pois seu comprimento é menor. Os raios das

semicircunferências são menores. Resposta da questão 26: [B] O ângulo percorrido pelo ponteiro

das horas em 20 minutos corresponde a 20

10 .2

Desse modo,

o menor ângulo formado pelos ponteiros dos minutos e das horas,

às 5 horas e 20 minutos, é igual a 30 10 40 . Em

consequência, o maior ângulo formado por esses ponteiros é

igual a 360 40 320 .

Observação: Dizemos que um ângulo α é obtuso se 90 180 .α