INÍCIO DO SÉCULO XX

Pilares

Mecânica (Newton)

Eletromagnetismo (Maxwell)

Físicos reescrevem a estória bíblica da criação na forma

No início Ele criou os céus e a terra -

e Ele disse, “Faça-se a luz” -

Terceiro suporte

Termodinâmica (Carnot, Mayer, Helmholtz, Clausius, Lord Kelvin) e Mecânica Estatística (Maxwell, Clausius, Boltzmann, Gibbs)

𝐹 = 𝐺𝑚𝑚′

𝑟2= 𝑚𝑎

𝐸 ∙ 𝑑𝐴 =𝑄

𝜀0

𝐵 ∙ 𝑑𝐴 = 0

𝐸 ∙ 𝑑𝑠 = −𝑑ΦB

𝑑𝑡

𝐵 ∙ 𝑑𝑠 = 𝜇0𝐼 + 𝜀0𝜇0

𝑑ΦE

𝑑𝑡

RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Cálculo da intensidade de radiação emitida por uma cavidade aquecida, em um determinado comprimento de onda

Solução: Planck (1900)

Baseia-se na termodinâmica e na mecânica estatística

Início da Mecânica Quântica

1. Radiação Térmica

Radiação emitida por um corpo devido à sua temperatura

Corpo emite e absorve para o meio, continuamente

Corpo mais quente que o meio: taxa de emissão > taxa de absorção

Corpo mais frio que o meio: taxa de emissão < taxa de absorção

Equilíbrio térmico: taxa de emissão = taxa de absorção

Matéria em estado consensado (sólido, líquido) emite um espectro contínuo de radiação

Espectro é praticamente independente do material

Espectro é dependente da temperatura do material

Temperatura usual: corpo é visível pela luz que reflete

Temperatura muito alta: corpo tem luminosidade própria

Maior parte da radiação emitida está na região do infra-vermelho (fora do visível)

Primeiras medidas precisas do espectro de radiação

Lummer, Pringsheim (1899)

Espectrômetro de prisma (lentes especiais transparentes em altos λ); bolômetro

Radiância espectral

= energia emitida em radiação com comprimento de onda entre λ e λ +dλ , por unidade de tempo e por unidade de área, de uma superfície à temperatura T

= ( )

= potência irradiada entre λ e λ +dλ , por unidade de m2 , por um corpo à temperatura T

Radiância

= potência irradiada por unidade de m2 , por um corpo à temperatura T

= área total sob a curva

=

𝐸𝑇 𝜆, 𝜆 + 𝑑𝜆

𝑡.𝑎

𝑅𝑇 𝜆 𝑑𝜆

𝜆.𝜈 = 𝑐

𝑅𝑇

𝑅𝑇 𝜆 𝑑𝜆∞

0

Espectro de radiação

Função de distribuição da radiância espectral em função do comprimento de onda λ da radiação emitida

versus λ

𝜆 (μm)

𝑅𝑇 𝜆

(unid

ades a

rbitr

ári

as)

𝑅𝑇 𝜆

𝑅𝑇 𝜆

Características da função de distribuição observada

Baixas T : pouca potência irradiada em altos λ

radiância nula para λ → 0 ou λ → ∞.

radiância cresce rapidamente com λ, fica máxima em λmax e depois decai lenta mas continuamente

T mais altas: λmax diminui linearmente com o aumento de T

potência irradiada cresce com T de forma mais rápida que a linear

Lei de Stefan (1879)

Potência irradiada obedece à equação

Equação empírica, baseada nas observações experimentais

𝜎 = 5,67. 10-8 W.m-2.K-4 (constante de Stefan-Boltzmann)

Lei do Deslocamento de Wien (1894)

Comprimento de onda máximo obedece à equação

cW = 2,898. 10-3 m.K-1 (constante de Wien)

𝜆𝑚𝑎𝑥 = 𝑐𝑊1

𝑇

𝑅𝑇 = 𝜍𝑇4

Lei exponencial de Wien (1896)

Função de densidade espectral deve ter a forma

F (λ,T): - relação entre F e a distribuição de velocidades de Maxwell;- impondo validade da Lei do Deslocamento:

⤇𝐹 𝜆,𝑇 = 𝛼𝑒𝛽 𝜆𝑇

Experimentalmente confirmada por Paschen (1899) para baixos λ (1-4 m)

Discrepância para medidas posteriores (1900) em mais altos λ (4-60 m)

𝜌 𝜆 =𝐹 𝜆,𝑇

𝜆3

𝜌 𝜆 = 𝛼𝑒𝛽 𝜆𝑇

𝜆3

Características

Emite espectros térmicos de caráter universal

Superfícies absorvem toda a radiação térmica que incide sobre ela

Não reflete luz (é negro)

Exemplo especial de Corpo Negro

Cavidade ligada ao exterior por um pequeno orifício

Radiação térmica vinda do exterior incide sobre o orifício e é refletida repetidas vezes pelas paredes interiores, sendo eventualmente absorvida pelas paredes

Área do orifício é muito pequena: essencialmente toda a radiação que incide sobre o orifício será absorvida pelo corpo (reflexão para fora é desprezível)

orifício absorve toda orifício tem as

a radiação térmica ⤇ propriedades deincidente sobre ele um corpo negro

2. Corpo Negro

Aquecendo-se uniformemente as paredes da cavidade até a temperatura T:

Paredes irão emitir radiação térmica que vai encher a cavidade

A pequena fração de radiação térmica que incidir sobre o orifício irá atravessá-lo

Orifício irá atuar como um emissor de radiação térmica

Como o orifício tem as propriedades de um coro negro, irá emitir uma radiação com espectro de corpo negro

Mas o orifício nos dá uma amostra da radiação dentro da cavidade

Radiação dentro da cavidade tem um espectro de corpo negro à temperatura T

Densidade de energia (cavidade)

= energia contida em radiação com frequência entre ν e ν +dν , por unidade de volume da cavidade à temperatura T

=

Fluxo de energia (buraco)

= energia emitida em radiação com frequência entre ν e ν +dν , por unidade de área do buraco à temperatura T, por unidade de tempo

=

T aumenta ⤇ aumenta ⤇ aumenta

Cavidade Buraco(calculado) (medido)

𝜌𝑇 𝜈 𝑑𝜈

𝑅𝑇 𝜈 𝑑𝜈

𝜌𝑇 𝜈 𝑑𝜈

𝐸𝑇 𝜈, 𝜈 + 𝑑𝜈

𝑉

𝐸𝑇 𝜈, 𝜈 + 𝑑𝜈

𝑡.𝑎

𝑅𝑇 𝜈 𝑑𝜈

𝜌𝑇 𝜈 ∝ 𝑅𝑇 𝜈

3. Encontrando a função de distribuição

Supondo uma cavidade com paredes metálicas (temperatura T )

Agitação térmica

movimento dos elétrons

paredes emitem radiação eletromagnética na faixa térmica dos comprimentos de onda

Objetivo

Estudar o comportamento das ondas eletromagnéticas no interior da cavidade

Obter a função de distribuição espectral da cavidade e do buraco

Estratégia

Mostrar que dentro da cavidade a radiação deve existir na forma de ondas estacionárias com nós sobre as superfícies metálicas (eletromagnetismo clássico)

Fazer uma contagem do número de ondas com frequências entre ν e ν +dν (argumentos geométricos)

TRUQUE: - partir de uma cavidade “unidimensional”- generalizar para uma cavidade cúbica- generalizar para uma cavidade qualquer

Calcular a energia média dessas ondas quando o sistema está em equilíbrio térmico

CLÁSSICA versus QUÂNTICA!!!!!

Obter a densidade de energia multiplicando o número de ondas estacionárias, na unidade de frequência, por sua energia média

𝜌𝑇 𝜈 𝑅𝑇 𝜈

𝑁 𝜈 𝑑𝜈

𝑈 𝜈,𝑇

Ondas estacionárias na cavidade unidimensional

Toda radiação que incidir sobre x = 0 e x = a (paredes) será totalmente refletida, e portanto terá a forma de ondas estadionárias

Prova: - onda eletromagnética é uma vibração transversal, com perpendicular à direção de propagação

- direção de propagação é perpendicular à parede

- direção de é paralela à parede

- na parede não deve haver

Radiação dentro da cavidade existe na forma de ondas estacionárias,com nós sobre as superfícies

> x

a

0

> x

a

0

𝐸

𝐸

𝐸

Contando ondas: cavidade unidimensional

Campo elétrico para a onda estacionária unidimensional

Impondo as condições de contorno obtemos

𝐸 𝑥, 𝑡 = 𝐸0 sin 𝑘𝑥 sin 𝜔𝑡 = 𝐸0 sin 2𝜋

𝜆𝑥 sin 2𝜋𝜈𝑡 𝜆𝜈 = 𝑐 =

𝜔

𝑘

x = 0 , x = a ⤇ condições de contorno𝐸 = 0

𝜆𝑛 =2𝑎

𝑛 ou 𝜈𝑛 =

𝑐𝑛

2𝑎 𝑛 ∈ ℕ, ∀𝑡

n=3 n=2

n=1

> x

a0

Contando o número de ondas

O número de pontos entre ν2 e ν5 será:

De uma forma geral, o número de pontos entre ν e ν +dν será:

Considerando-se os dois estados de polarização da radiação eletromagnética:

(cavidade 1D)

𝑁2,5 =2𝑎

𝑐 𝜈5−𝜈2

𝑁𝜈,𝜈+𝑑𝜈 =2𝑎

𝑐 𝜈 +𝑑𝜈 −𝜈 =

2𝑎

𝑐𝑑𝜈 = 𝑁 𝜈 𝑑𝜈

n=1

n=1

> x

a

0

𝑁 𝜈 𝑑𝜈 = 2 2𝑎

𝑐 𝑑𝜈

𝑁 𝜈 𝑑𝜈

Contando ondas: cavidade cúbica

3 componentes ortogonais – linearmente independentes

6 superfícies

Componentes do campo elétrico nas 3 dimensões

x = 0 , x = a ⤇

y = 0 , y = a ⤇ condições de contorno

z = 0 , z = a ⤇

𝐸 = 0 𝐸 = 0

𝐸 = 0

𝐸 𝑥, 𝑡 = 𝐸0𝑥 sin 2𝜋

𝜆𝑥𝑥 sin 2𝜋𝜈𝑥𝑡

𝐸 𝑦, 𝑡 = 𝐸0𝑦 sin 2𝜋

𝜆𝑦𝑦 sin 2𝜋𝜈𝑦𝑡

𝐸 𝑧, 𝑡 = 𝐸0𝑧 sin 2𝜋

𝜆𝑧𝑧 sin 2𝜋𝜈𝑧𝑡

Impondo as condições de contorno obtemos

A radiação irá se propagar na direção definida pelos 3 ângulos:

com relação à direção de x

com relação à direção de y

com relação à direção de z

Como relacionar com , e com ?

Como contar as ondas?

𝜆𝑥 ,𝑛 =2𝑎

𝑛𝑥 ou 𝜈𝑥 ,𝑛 =

𝑐𝑛𝑥2𝑎

𝑛𝑥 ∈ ℕ, ∀𝑡

𝜆𝑦 ,𝑛 =2𝑎

𝑛𝑦 ou 𝜈𝑦 ,𝑛 =

𝑐𝑛𝑦

2𝑎 𝑛𝑦 ∈ ℕ, ∀𝑡

𝜆𝑧 ,𝑛 =2𝑎

𝑛𝑧 ou 𝜈𝑧 ,𝑛 =

𝑐𝑛𝑧2𝑎

𝑛𝑧 ∈ ℕ, ∀𝑡

𝜆𝑥,𝑛 , 𝜆𝑦,𝑛 , 𝜆𝑧,𝑛 𝜈𝑥 ,𝑛 , 𝜈𝑦 ,𝑛 , 𝜈𝑧,𝑛

PARÊNTESIS: relacionando as componentes de e

Em uma dimensão: temos nós distanciados por

Condições de contorno ⤇

1D ⤇

𝜆𝑛 =2𝑎

𝑛 ou 𝜈𝑛 =

𝑐𝑛

2𝑎

𝜆2

𝑛 =2𝑎

𝜆=

2𝑎𝜈

𝑐

Em duas dimensões: temos superfícies nodais distanciadas por

Condições de contorno ⤇

2D ⤇

𝜆2

cos𝛼 =

𝜆2𝜆𝑥2

⇒ 𝜆

cos𝛼= 𝜆𝑥 =

2𝑎

𝑛𝑥

cos𝛽 =

𝜆2𝜆𝑦2

⇒ 𝜆

cos𝛽= 𝜆𝑦 =

2𝑎

𝑛𝑦

cos 𝛾 =

𝜆2𝜆𝑧2

⇒ 𝜆

cos 𝛾= 𝜆𝑧 =

2𝑎

𝑛𝑧

𝑛𝑥 =2𝑎

𝜆cos𝛼 𝑛𝑦 =

2𝑎

𝜆cos𝛽

𝑛𝑥2 + 𝑛𝑦

2 =2𝑎

𝜆=

2𝑎𝜈

𝑐

Em três dimensões : temos planos nodais distanciados por

Condições de contorno ⤇

3D ⤇

cos𝛼 =

𝜆2𝜆𝑥2

⇒ 𝜆

cos𝛼= 𝜆𝑥 =

2𝑎

𝑛𝑥

cos𝛽 =

𝜆2𝜆𝑦2

⇒ 𝜆

cos𝛽= 𝜆𝑦 =

2𝑎

𝑛𝑦

cos 𝛾 =

𝜆2𝜆𝑧2

⇒ 𝜆

cos 𝛾= 𝜆𝑧 =

2𝑎

𝑛𝑧

𝜆2

𝑛𝑥 =2𝑎

𝜆cos𝛼 𝑛𝑦 =

2𝑎

𝜆cos𝛽 𝑛𝑧 =

2𝑎

𝜆cos𝛾

𝑛𝑥2 + 𝑛𝑦

2 + 𝑛𝑧2 =

2𝑎

𝜆=

2𝑎𝜈

𝑐

PARÊNTESIS: contando ondas (diagramas para n)

Em uma dimensão

- número de pontos ni com frequência νi : ⤇

- densidade de pontos na linha l:

- número de pontos com frequência entre ν e ν +dν :

⤇

𝑛𝑖 =2𝑎

𝑐𝜈𝑖 𝑑𝑛 =

2𝑎

𝑐𝑑𝜈

𝑑𝑛

𝑑𝑙= 1

𝑁 𝜈 𝑑𝜈 = 2.𝑑𝑙𝑑𝑛

𝑑𝑙= 2

2𝑎

𝑐 𝑑𝜈 𝑁 𝜈 𝑑𝜈 =

4𝑎

𝑐 𝑑𝜈

Em duas dimensões

- número de pontos ni com frequência νi : ⤇

- ao contrário do caso unidimensional, o número de pontos ni com frequência νi irá depender da frequência

𝑛𝑖 = 𝑛𝑥2 + 𝑛𝑦

2 =2𝑎

𝑐𝜈𝑖 𝑑𝑛 =

2𝑎

𝑐𝑑𝜈

- área dAanel do anel de diâmetro dn:

- somente o primeiro quadrante contribui com pontos ( ):

- densidade de pontos no anel de área A:

- número de pontos com frequência entre ν e ν +dν :

⤇

𝑑𝐴 =𝑑𝐴𝑎𝑛𝑒𝑙

4=

2𝜋

4𝑛𝑑𝑛 =

2𝜋

4

2𝑎

𝑐𝜈

2𝑎

𝑐𝑑𝜈 =

𝜋

2

2𝑎

𝑐

2

𝜈𝑑𝜈

𝑑𝑛

𝑑𝐴= 1

𝑁 𝜈 𝑑𝜈 = 2.𝑑𝐴𝑑𝑛

𝑑𝐴= 2

𝜋

2

2𝑎

𝑐

2

𝜈𝑑𝜈

𝑑𝐴𝑎𝑛𝑒𝑙 = 2𝜋𝑛𝑑𝑛

𝑛 ∈ ℕ

𝑁 𝜈 𝑑𝜈 =4𝜋𝐴

𝑐2𝜈𝑑𝜈

Em três dimensões

- número de pontos ni com frequência νi : ⤇

- volume dVcasca da casca esférica de diâmetro dn:

- somente o primeiro octante contribui com pontos ( ):

- densidade de pontos na casca esférica de volume V:

- número de pontos com frequência entre ν e ν +dν :

⤇

𝑛𝑖 = 𝑛𝑥2 + 𝑛𝑦

2 + 𝑛𝑧2 =

2𝑎

𝑐𝜈𝑖 𝑑𝑛 =

2𝑎

𝑐𝑑𝜈

𝑑𝑉𝑐𝑎𝑠𝑐𝑎 = 4𝜋𝑛2𝑑𝑛

𝑛 ∈ ℕ

𝑑𝑉 =𝑑𝑉𝑐𝑎𝑠𝑐𝑎

8=

4𝜋

8𝑛2𝑑𝑛 =

4𝜋

8

2𝑎

𝑐

2

𝜈22𝑎

𝑐𝑑𝜈 =

𝜋

2

2𝑎

𝑐

3

𝜈2𝑑𝜈

𝑑𝑛

𝑑𝑉= 1

𝑁 𝜈 𝑑𝜈 = 2.𝑑𝑉𝑑𝑛

𝑑𝑉= 2

𝜋

2

2𝑎

𝑐

3

𝜈2𝑑𝜈 𝑁 𝜈 𝑑𝜈 =8𝜋𝑉

𝑐3𝜈2𝑑𝜈

Número de ondas: resumo

Cavidade “unidimensional”:

Cavidade bidimensional:

Cavidade tridimensional:

Próximo passo: calcular a energia média dessas ondas quando o sistema está em equilíbrio térmico

CLÁSSICA versus QUÂNTICA!!!!!

Finalmente: calcular a densidade de energia espectral

𝑁 𝜈 𝑑𝜈 = 4𝑎

𝑐 𝑑𝜈

𝑁 𝜈 𝑑𝜈 =4𝜋𝐴

𝑐2𝜈𝑑𝜈

𝑁 𝜈 𝑑𝜈 =8𝜋𝑉

𝑐3𝜈2𝑑𝜈

𝑈 𝜈,𝑇

Tentativas de resolver o problema

Cavidade oca é preenchida por radiação preta, independentemente da composição da cavidade

Modelo simples para a substância da cavidade: cargas positivas e negativas acopladas por forças elásticas entre si = osciladores com uma própria

Radiação dos osciladores e sua interação com o campo de radiação deve seguir as leis da eletrodinâmica

Leis da eletrodinâmica ⤇ equações para o número de ondas

Osciladores ⤇ energias médias 𝑈 𝜈,𝑇

𝑁 𝜈

Primeira tentativa: Max Planck (1897-1899)

- leis da termodinâmica macroscópica(relação entre entropia S e energia interna U)

- partindo do princípio que a Lei de Wien é válida,a entropia de um oscilador deve ter a forma(a, b = constantes, e = base do ln)

- a energia média do oscilador será portanto

- função densidade de energia espectral:

Lei de Wien-Planck

Lei de Wien

𝜕𝑆

𝜕𝑈=

1

𝑇

𝑆 =𝑈

𝑎𝜈ln

𝑈

𝑒𝑏𝜈

𝑈 𝜈,𝑇 = 𝑏𝜈𝑒−𝑎𝜈 𝑇

𝜌 𝜈 =𝑁 𝜈

𝑉𝑈 𝜈,𝑇 =

8𝜋𝜈2

𝑐3𝑏𝜈𝑒−𝑎𝜈 𝑇

𝜌 𝜈 = 𝛼𝜈3𝑒−𝛽𝜈 𝑇

𝜌 𝜈 =8𝜋𝑏

𝑐3𝜈3𝑒−𝑎𝜈 𝑇

Segunda tentativa: Rayleigh e Jeans (1900)

- lei da equipartição de energia:energia média de um oscilador vale(por grau de liberdade)

- para sistemas harmônicos teremos

- nos 3 casos (1D, 2D, 3D) o grau deliberdade é 1 (amplitude do campo elétrico)e a energia média será

- função densidade de energia espectral:

Lei de Rayleigh-Jeans

𝜀𝑐 =1

2𝐾𝑇

𝜌 𝜈 =8𝜋𝐾𝑇

𝑐3𝜈2

𝑈 𝜈,𝑇 = 2𝜀𝑐

𝑈 𝜈,𝑇 = 𝐾𝑇

𝜌 𝜈 =𝑁 𝜈

𝑉𝑈 𝜈,𝑇 =

8𝜋𝜈2

𝑐3𝐾𝑇

Comparando Wien-Planck, Rayleigh-Jeans e experimental

- Rayleigh-Jeans: boa para baixas frequências

péssima para altas frequências(catástrofe do ultra-violeta)

- Wien-Planck: boa para altas frequências

ruim para baixas frequências

𝜌 𝜈 =8𝜋𝐾𝑇

𝑐3𝜈2

Rayleigh-Jeans Wien-Planck

experimental

Frequência

Inte

ns

idad

e

R-J

W-P𝜌 𝜈 =8𝜋𝑏

𝑐3𝜈3𝑒−𝑎𝜈 𝑇

Terceira tentativa: Planck (1900)

- interpolação, considerada por muitos a mais importante da história da física;marca o início da evolução da teoria quântica

- percebeu que as expressões para a entropia nos dois casos (R-J e W-P)levavam a equações semelhantes para sua segunda derivada

Rayleigh-Jeans (R-J) Wien-Planck (W-P)

- Utilizando chega à equação para a energia do oscilador:

- função densidade de energia espectral:

𝜕𝑆

𝜕𝑈=

1

𝑇

𝜕2𝑆

𝜕𝑈2=𝑐𝑡𝑒

𝑈2

𝜕2𝑆

𝜕𝑈2=𝑐𝑡𝑒

𝑈

𝜕2𝑆

𝜕𝑈2=

𝑎

𝑈 𝑈 + 𝑏

interpolação

𝑈 =𝑏′

𝑒1 𝑎 ′𝑇 − 1

𝜌 𝜈 =𝑁 𝜈

𝑉𝑈 𝜈,𝑇 =

8𝜋𝜈2

𝑐3

𝑏′

𝑒1 𝑎 ′𝑇 − 1=

8𝜋𝑏′

𝑐3

𝜈2

𝑒1 𝑎′𝑇 − 1

- Combinando com as duas equações nos seus limites de validade:

baixas frequências: Rayleigh-Jeans (R-J)

devemos ter

altas frequências: Wien-Planck (W-P)

devemos ter

- Solução: Lei de Planck

𝑏′

𝑒1 𝑎 ′𝑇 − 1→ 𝐾𝑇

8𝜋

𝑐3

𝑏′

𝑒1 𝑎 ′𝑇 − 1𝜈2 →

8𝜋

𝑐3𝐾𝑇𝜈2

8𝜋

𝑐3

𝑏′

𝑒1 𝑎 ′𝑇 − 1𝜈2 →

8𝜋

𝑐3

𝑏𝜈

𝑒−𝑎𝜈 𝑇 𝜈2

𝑏′

𝑒1 𝑎 ′𝑇 − 1→

𝑏𝜈

𝑒−𝑎𝜈 𝑇

𝜌 𝜈 =8𝜋

𝑐3𝜈2

𝐴𝜈

𝑒𝐵𝜈 𝑇 − 1

Descrição para a radiação de corpo negro – situação em 19.10.1900

Rayleigh-Jeans Planck Wien-Planck

fundamentação existente ausente insatisfatóriateórica

validade baixas todas altas (altos ) (todos ) (baixos )

Descrição completa em 14.12.1900

Planck apresenta uma teoria completa para a radiação de corpo negro

Coloca a Lei de Planck em base sólida (fundamentação teórica)

Persiste no uso da entropia, porém parte para a termodinâmica estatística

Consequência: energia total deve ser distribuída por uma quantidade finita de osciladores

Osciladores só podem armazenar um múltiplo de um quantum de energia

Introduz a constante de Planck h

Início da Mecânica Quântica

- função densidade de energia espectral:

Lei de Planck𝜌 𝜈 =8𝜋

𝑐3𝜈2

𝑕𝜈

𝑒𝑕𝜈 𝐾𝑇 − 1

Cálculo da energia média – classicamente

Probabilidade de encontrar um ente com uma energia entre ε e ε +dε em um sistema em equilíbrio térmico à temperatura T :

Distribuição de Boltzmann(K = cte. de Boltzmann = 1,38 .10-23 J/K)

A função P(ε) tem a forma:

𝑃 𝜀 =𝑒−𝜀 𝐾𝑇

𝐾𝑇

𝑃 𝜀 =𝑒−𝜀 𝐾𝑇

𝐾𝑇

𝑃 0 =1

𝐾𝑇

𝑃 𝐾𝑇 =𝑒−1

𝐾𝑇

𝑃 ∞ = 0

𝑃 𝜀 𝑑𝜀∞

0= 1

Supondo que a energia seja uma variável contínua, a função εP(ε) terá a forma:

Novamente, supondo um contínuo de energias (integração), podemos calcular a energia média do sistema:

⤇ área sob a curva

Resolvendo a integral por partes, obtemos a energia média:

Lei de equipartição de energia

𝜀𝑃 0 = 0

𝜀𝑃 𝐾𝑇 =1

𝑒

𝜀𝑃 ∞ = 0

𝜀𝑃 𝜀 =𝜀𝑒−𝜀 𝐾𝑇

𝐾𝑇

𝜀 = 𝜀𝑃 𝜀 𝑑𝜀∞

0

𝑃 𝜀 𝑑𝜀∞

0

= 𝜀𝑒−𝜀 𝐾𝑇

𝐾𝑇𝑑𝜀

∞

0

𝜀 = 𝐾𝑇

Cálculo da energia média – quanticamente

Supondo que a energia seja uma variável discreta, a função εP(ε) terá a forma:

Novamente, supondo um discreto de energias (somatória), podemos calcular a energia média do sistema.

⤇ área sob a curva

𝑃 𝜀 =𝑒−𝜀 𝐾𝑇

𝐾𝑇

𝑃 0 =1

𝐾𝑇

𝑃 𝐾𝑇 =𝑒−1

𝐾𝑇

𝑃 ∞ = 0

𝜀 = 𝜀𝑛𝑃 𝜀𝑛 ∆𝜀∞𝑛=0

𝑃 𝜀𝑛 ∞𝑛=0 ∆𝜀

= 𝜀𝑛𝑒

−𝜀𝑛 𝐾𝑇

𝐾𝑇∆𝜀

∞

𝑛=0

Teremos duas possibilidades:

⤇

⤇

∆𝜀 < 𝐾𝑇 ∆𝜀 → 0 𝜀 ∆𝜀→0 = 𝐾𝑇

∆𝜀 > 𝐾𝑇 ∆𝜀 → ∞ 𝜀 ∆𝜀→∞ = 0

Resumindo: considerar a energia como tendo valores discretos leva a

que é um comportamento semelhante ao encontrado experimentalmente para a radiação de corpo negro

Para que os sistemas sejam equivalentes, devemos achar a relação entre Dε e

Supondo a forma mais simples:

Caso essa forma for correta, a equação final obtida para a densidade de radiação espectral deverá representar bem os dados experimentais

Para encontrar a equação final, devemos calcular a soma

usando

𝜀 ∆𝜀→0 = 𝐾𝑇 𝜀 ∆𝜀→∞ = 0

𝜀 𝜈→0 = 𝐾𝑇 𝜀 𝜈→∞ = 0

∆𝜀 = 𝑕𝜈

𝜀 = 𝜀𝑛𝑃 𝜀𝑛 ∆𝜀∞𝑛=0

𝑃 𝜀𝑛 ∞𝑛=0 ∆𝜀

∆𝜀 = 𝑕𝜈

(i) energias são discretas, com

(ii) substituindo

∆𝜀 = 𝑕𝜈

𝜀 = 0,𝑕𝜈, 2𝑕𝜈, 3𝑕𝜈, 4𝑕𝜈,…

𝜀𝑛 = 𝑛𝑕𝜈 𝑛 ∈ ℕ

𝑃 𝜀𝑛 = 𝑒−𝜀 𝐾𝑇

𝐾𝑇=𝑒−𝑛𝑕𝜈 𝐾𝑇

𝐾𝑇 𝑛 ∈ ℕ

𝜀𝑛𝑃 𝜀𝑛 = 𝜀𝑛𝑒−𝜀 𝐾𝑇

𝐾𝑇= 𝑛𝑕𝜈

𝑒−𝑛𝑕𝜈 𝐾𝑇

𝐾𝑇 𝑛 ∈ ℕ

𝑕𝜈

𝐾𝑇= 𝛼

𝜀𝑛 = 𝑛𝛼𝐾𝑇

𝑃 𝜀𝑛 = 𝑒−𝑛𝛼

𝐾𝑇

𝜀𝑛𝑃 𝜀𝑛 = 𝑛𝛼𝑒−𝑛𝛼

(iii) substituindo na soma

(iv) truque

𝑑

𝑑𝛼 ln 𝑓 𝛼 =

1

𝑓 𝛼

𝑑

𝑑𝛼 𝑓 𝛼 𝑓 𝛼 = 𝑒−𝑛𝛼

∞

𝑛=0

𝑑

𝑑𝛼 ln 𝑒−𝑛𝛼

∞

𝑛=0 =

1

𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0

𝑑

𝑑𝛼 𝑒−𝑛𝛼

∞

𝑛=0

=1

𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0

𝑑

𝑑𝛼𝑒−𝑛𝛼

∞

𝑛=0

=1

𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0

−𝑛𝑒−𝑛𝛼∞

𝑛=0

= − 𝑛𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0

𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0

𝜀 = 𝜀𝑛𝑃 𝜀𝑛 ∞𝑛=0

𝑃 𝜀𝑛 ∞𝑛=0

= 𝐾𝑇𝛼 𝑛𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0

𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0

(v) substituindo novamente na soma

(vi) truque para resolver a soma: substituir (Série de Maclaurin)

𝜀 = 𝐾𝑇𝛼 𝑛𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0

𝑒−𝑛𝛼∞𝑛=0

= −𝐾𝑇𝛼𝑑

𝑑𝛼 ln 𝑒−𝑛𝛼

∞

𝑛=0

𝑒−𝛼 = 𝑋

𝑒−𝑛𝛼∞

𝑛=0= 𝑋𝑛

∞

𝑛=0= 1 + 𝑋 + 𝑋2 + 𝑋3 + ⋯ = 1 −𝑋 −1

= 1 − 𝑒−𝛼 −1

ln 1 − 𝑒−𝛼 −1 = − ln 1 − 𝑒−𝛼

𝑑

𝑑𝛼ln 𝑒−𝑛𝛼

∞

𝑛=0= −

𝑑

𝑑𝛼ln 1 − 𝑒−𝛼

= −1

1 − 𝑒−𝛼

𝑑

𝑑𝛼 1 − 𝑒−𝛼

= −1

1 − 𝑒−𝛼 𝑒−𝛼 ×

𝑒𝛼

𝑒𝛼

= −1

𝑒𝛼 − 1

(vii) substituindo novamente na soma

(viii) retornando teremos a equação final

Portanto, a energia média do sistema, supondo um discreto de energias, será

com

Por analogia, a energia média do oscilador (corpo negro) será

𝜀 = −𝐾𝑇𝛼𝑑

𝑑𝛼 ln 𝑒−𝑛𝛼

∞

𝑛=0 = 𝐾𝑇

𝛼

𝑒𝛼 − 1

𝛼 =𝑕𝜈

𝐾𝑇

𝜀 =𝑕𝜈

𝑒𝑕𝜈 𝐾𝑇 − 1

𝜀 =𝑕𝜈

𝑒𝑕𝜈 𝐾𝑇 − 1 ∆𝜀 = 𝑕𝜈

𝑈 𝜈, 𝑇 = 𝜀 =𝑕𝜈

𝑒𝑕𝜈 𝐾𝑇 − 1

Observando os limites dessa equação

(i) para

(expansão em série de Taylor)

(ii) para

Equação encontrada para a energia média satisfaz os requisitos nos limites

𝜀 = 𝐾𝑇𝛼

𝑒𝛼 − 1

∆𝜀 = 𝑕𝜈 ≪ 𝐾𝑇 ⟹ 𝛼 =𝑕𝜈

𝐾𝑇≪ 1 → 0

𝜀𝛼 𝛼→0 = 1 +𝛼𝜀𝛼 +⋯

𝜀 𝛼→0 = 𝐾𝑇𝛼

1 +𝛼𝜀𝛼 − 1 =𝐾𝑇

𝜀𝛼= 𝐾𝑇

∆𝜀 = 𝑕𝜈 ≫ 𝐾𝑇 ⟹ 𝛼 =𝑕𝜈

𝐾𝑇≫ 1 →∞

𝜀𝛼 𝛼→∞ ≫ 1

𝜀𝛼 𝛼→∞ ≫𝛼

𝜀 𝛼→∞ = 𝐾𝑇𝛼

𝜀𝛼= 0

Densidade de energia espectral – quanticamente

Max Planck (1900)

- distribuição de Boltzmann

- energia possui apenas valores discretos

- a energia média do oscilador será portanto

- função densidade de energia espectral:

Lei de Planck

h = cte. de Planck = 6,63 .10-34 J.s

Planck não alterou a distribuição de Boltzmann, e sim apenas tratou a energia das ondas eletromagnéticas como uma grandeza discreta, ao invés de contínua

𝑃 𝜀 =𝑒−𝜀 𝐾𝑇

𝐾𝑇

∆𝜀 = 𝑕𝜈

𝑈 𝜈, 𝑇 =𝑕𝜈

𝑒𝑕𝜈 𝐾𝑇 − 1

𝜌 𝜈 =𝑁 𝜈

𝑉𝑈 𝜈,𝑇 =

8𝜋𝜈2

𝑐3

𝑕𝜈

𝑒𝑕𝜈 𝐾𝑇 − 1=

8𝜋𝑕

𝑐3

𝜈3

𝑒𝑕𝜈 𝐾𝑇 − 1

𝜌 𝜈 =8𝜋𝑕

𝑐3

𝜈3

𝑒𝑕𝜈 𝐾𝑇 − 1

Confirmando a lei de Stefan

Equação empírica (Stefan, 1879)

Obtendo a equação a partir da lei de Planck

usando teremos

Lei de Planck confirma a lei de Stefan

𝑅𝑇 = 𝜍𝑇4

𝑅𝑇 =𝑐

4𝜌𝑇 =

𝑐

4 𝜌 𝜈 𝑑𝜈∞

0

=𝑐

4

8𝜋𝑕

𝑐3

𝜈3

𝑒𝑕𝜈 𝐾𝑇 − 1𝑑𝜈

∞

0 𝑞 = 𝑕𝜈 𝐾𝑇

=2𝜋𝑕

𝑐2 𝐾𝑇

𝑕

4

𝑞3

𝑒𝑞 − 1𝑑𝑞

∞

0

𝑞3

𝑒𝑞 − 1𝑑𝑞

∞

0=𝜋4

15

𝑅𝑇 =2𝜋5𝐾4

15𝑐2𝑕3𝑇4 𝜍 =

2𝜋5𝐾4

15𝑐2𝑕3 = 5,67. 10−8 W m2K4

Confirmando a lei do deslocamento de Wien

Equação empírica (Wien, 1894)

Obtendo a equação a partir da lei de Planck

usando

chega-se à equação que tem solução S numérica única, e portanto

Lei de Planck confirma a lei do deslocamento de Wien

𝜆𝑚𝑎𝑥 = 𝑐𝑊1

𝑇

𝑑

𝑑𝜈𝜌 𝜈 = 0 ;

𝑑2

𝑑𝜈2 𝜌 𝜈 < 0 ⟹ ponto de máximo

𝑥 =𝑕𝜈𝑚𝑎𝑥𝐾𝑇

𝑥

3+ 𝑒−𝑥 = 1

3 𝑒𝑕𝜈𝑚𝑎𝑥 𝐾𝑇 −1 − 𝜈𝑚𝑎𝑥𝑕

𝐾𝑇𝑒𝑕𝜈𝑚𝑎𝑥 𝐾𝑇 = 0

𝑥 = 𝑆 =𝑕𝜈𝑚𝑎𝑥𝐾𝑇

⟹ 𝜈𝑚𝑎𝑥 = 𝑆𝐾

𝑕𝑇

𝜆𝑚𝑎𝑥 = 𝑐

𝑆

𝑕

𝐾

1

𝑇 ⟹ 𝜆𝑚𝑎𝑥 = 𝑐𝑊

1

𝑇

4. Postulado de Planck

Quantização da energia em sistemas harmônicos simples

Qualquer ente físico, com um grau de liberdade cuja “coordenada” é uma função senoidal do tempo (executa oscilações harmônicas simples) pode possuir

apenas energias totais ε que satisfaçam à relação

onde é a frequência de oscilação, e h uma constante universal (cte. de Planck)

“Coordenada” (sentido geral): qualquer quantidade que descreve a condição instantânea do ente

𝜀𝑛 = 𝑛𝑕𝜈 𝑛 ∈ ℕ

𝑃 𝜀𝑛 = 𝑒−𝜀 𝐾𝑇

𝐾𝑇=𝑒−𝑛𝑕𝜈 𝐾𝑇

𝐾𝑇 𝑛 ∈ ℕ

𝜀𝑛𝑃 𝜀𝑛 = 𝜀𝑛𝑒−𝜀 𝐾𝑇

𝐾𝑇= 𝑛𝑕𝜈

𝑒−𝑛𝑕𝜈 𝐾𝑇

𝐾𝑇 𝑛 ∈ ℕ

Exemplo: pêndulo (elemento macroscópico)

Características: massa m = 0,01 kgcomprimento l = 0,1 mqmax = 0,1 rad

Calculando a frequência:

Calculando a altura máxima:

Calculando a energia:

Energia é quantizada:

precisão necessária para verificar se a energia é quantizada: impossível verificar

𝜈 = 2𝜋𝜔 = 2𝜋 𝑔

𝑙= 10 rad/s

𝑕𝑚𝑎𝑥 = 𝑙 − 𝑙 cos𝜃𝑚𝑎𝑥 = 5 . 10−4 m

𝐸 = 𝑚𝑔𝑕𝑚𝑎𝑥 = 5 . 10−5 J

Δ𝐸 = 𝑕𝜈 = 10−33 J

Δ𝐸

E= 2. 10−29 J