Influência do Efeito de Proximidade no Cálculo dos

Coeficientes de Capacidade de um Cabo Subterrâneo

Trifásico

João Paulo Ferreira Saragoça

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Orientadores

Prof. Vítor Manuel de Oliveira Maló Machado

Prof. Maria Eduarda de Sampaio Pinto de Almeida Pedro

Júri

Presidente: Prof. Rui Manuel Gameiro de Castro

Orientador: Prof. Vítor Manuel de Oliveira Maló Machado

Vogal: Prof. Artur Fernando Delgado Lopes Ribeiro

Outubro de 2017

Agradecimentos

Aos meus pais e ao meu irmão, que me proporcionaram as condições para que eu pudesse

estudar. Obrigado pelo seu sacrifício, pela motivação que me deram e acima de tudo pela educação e

valores que me incutiram.

Aos professores Vítor Maló Machado e Maria Eduarda Pedro, por toda a sua ajuda, pela sua

compreensão e paciência ao longo da coordenação deste trabalho.

À Elisabetta Ferrari, por todo o apoio e força que me deu, pela confiança que depositou em

mim e por me ajudar a encontrar a motivação para concluir este trabalho, em conciliação com as

obrigações profissionais.

Aos meus amigos, os que trouxe e os que levo, pelo momentos inesquecíveis que

partilhamos, que tornaram esta etapa da minha vida realmente enriquecedora.

Resumo

Nos cabos trifásicos o campo elétrico originado pela carga de cada um dos condutores é

deformado pela presença dos restantes, devido à proximidade entre eles. Assim é essencial levar em

conta este fenómeno, denominado «efeito de proximidade», para se obter de forma rigorosa os

parâmetros do cabo.

Neste trabalho foi desenvolvido um programa de computador para o cálculo expedito do

potencial elétrico e dos coeficientes de capacidade por unidade de comprimento em cabos

subterrâneos, constituídos por condutores cilíndricos e bainha, tendo em conta o efeito de

proximidade entre os vários condutores. O algoritmo desenvolvido, assenta num método analítico que

tem por base o cálculo do potencial elétrico no cabo, partindo de desenvolvimentos em série de

Fourier dando conta a sua dependência angular e desenvolvimentos em série de potências dando

conta a sua dependência radial.

A validação dos resultados do algoritmo desenvolvido foi feita por comparação a resultados

obtidos por aplicação de outros métodos numéricos e analíticos.

Palavras-chave:

campo elétrico

coeficientes de capacidade

efeito de proximidade

cabos trifásicos

Abstract

In three-phase cables the electric field produced by the charge in each of the conductors is

deformed by the others presence, due to their proximity. Therefore, it’s essential to take this

phenomenon, the so-called proximity effect, into account, in order to accurately compute the cables

parameters.

In this work a computer program was developed, in order to quickly compute the capacitance

of underground multi-conductor cables composed by cylindrical phase conductors and conductive

sheath, taking into account the proximity effect between the various conductors. The algorithm was

developed from an analytical method that computes the electrical potential in the cable, making use of

Fourier series for its angular dependency, and power series for its radial dependency.

The algorithm’s results were validated through comparison to results obtained by other

numerical and analytical methods.

Keywords:

Electrical field

Capacitance coefficients

Proximity effect

Three-phase cables

Índice

1 Introdução ........................................................................................................................................ 1

1.1 Motivação e objetivo ................................................................................................................. 1

1.2 Estado da arte ........................................................................................................................... 1

1.3 Contextualização ....................................................................................................................... 2

1.4 Organização / Conteúdos da dissertação ................................................................................. 3

2 Metodologia ...................................................................................................................................... 4

2.1 Resolução da equação de Laplace em problemas de 2D e em coordenadas cilíndricas ........ 5

2.1.1 Solução com singularidades no eixo do condutor �, centrada no eixo do condutor � ....... 6

2.1.2 Solução com singularidades em torno do eixo da bainha, centrada no eixo do condutor �

........................................................................................................................................... 7

2.1.3 Solução com singularidades no eixo do condutor �, centrada no eixo da bainha ............ 8

2.1.4 Solução centrada no eixo condutor � ................................................................................ 9

2.1.5 Solução centrada no eixo da bainha condutora .............................................................. 11

2.2 Algoritmo ................................................................................................................................. 13

2.2.1 Determinação dos coeficientes ��(�) e �� ....................................................................... 13

2.2.2 Obtenção dos coeficientes de capacidade por unidade de comprimento para o cabo

trifásico ......................................................................................................................................... 17

3 Resultados ..................................................................................................................................... 20

3.1 Validação do método / algoritmo ............................................................................................ 20

3.1.1 Condensador cilíndrico .................................................................................................... 21

3.1.1.1 Método analítico ....................................................................................................... 21

3.1.1.2 Resultado.................................................................................................................. 22

3.1.2 Cabo trifásico ................................................................................................................... 22

3.1.2.1 Coeficientes de capacidade �� e �� ........................................................................ 22

3.1.2.2 Coeficiente de indução modal para os modos trifásico e homopolar ...................... 23

3.1.2.2.1 Erro do coeficiente de indução modal por consideração dos condutores de fase

com cargas filiformes .............................................................................................................. 24

3.1.2.2.2 Erro do coeficiente de indução modal por consideração da primeira aproximação

da solução .............................................................................................................................. 24

3.1.2.2.3 Resultados ............................................................................................................ 24

3.2 Análise de resultados .............................................................................................................. 27

3.2.1 Dependência dos coeficientes de potencial próprio e mútuo com �� e �� ..................... 27

3.2.1.1 Consideração do efeito de proximidade ................................................................... 27

3.2.1.2 Resultados ................................................................................................................ 29

3.2.1.2.1 Coeficientes de potencial em função de �� .......................................................... 29

3.2.1.2.2 Coeficientes de potencial em função de �� .......................................................... 30

3.2.2 Dependência do coeficiente de capacidade modal para os modos simétrico e homopolar

com �� e �� .................................................................................................................................... 34

3.2.3 Densidade de carga na superfície dos condutores ......................................................... 38

3.2.3.1 Densidade de carga na superfície dum condutor de fase ........................................ 39

3.2.3.2 Densidade de carga à superfície da bainha ............................................................. 44

4 Conclusões ..................................................................................................................................... 47

5 Referências bibliográficas .............................................................................................................. 49

6 Anexo A – Relação entre os coeficientes complexos da série de Fourier ..................................... 50

7 Anexo B – Resolução da equação de Laplace por separação de variáveis.................................. 51

7.1 Obtenção das soluções gerais (2.6) e (2.7) ............................................................................ 51

7.2 Obtenção da solução para o condutor � centrada no eixo do condutor � .............................. 52

7.3 Obtenção da solução para a bainha centrada no eixo do condutor � .................................... 53

7.4 Obtenção da solução para o condutor � centrada no eixo da bainha .................................... 54

8 Anexo C – Exemplo de Matriz [�], vetor (�) e vetor (�) para cabo trifásico simétrico .................. 56

9 Anexo D – Função potencial obtida pelo método das imagens ..................................................... 58

9.1 Potencial elétrico num ponto � ............................................................................................... 58

9.2 Diferença de potencial entre dois pontos genéricos ............................................................... 58

10 Anexo E – Obtenção da parte real de uma amplitude complexa para os instantes � = 0 e � =

�/4 .................................................................................................................................................... 59

Lista de figuras

Figura 2.1 – Referencial centrado no eixo do condutor k ....................................................................... 6

Figura 2.2 - Referencial centrado no eixo do condutor k ........................................................................ 7

Figura 2.3 – Referencial centrado no eixo da bainha condutora ............................................................ 9

Figura 2.4 – Organigrama de ordenação do vetor (�) .......................................................................... 16

Figura 2.5 – Representação genérica do cabo trifásico simétrico ........................................................ 17

Figura 3.1 – Condensador cilíndrico ..................................................................................................... 21

Figura 3.2 – Variação do coeficiente de indução modal com o raio da bainha .................................... 25

Figura 3.3 – Variação do erro do coeficiente de indução modal por consideração dos condutores de

fase filiformes com o raio da bainha ...................................................................................................... 26

Figura 3.4 – Variação do coeficiente de potencial próprio com R0, Rc=0,5 .......................................... 29

Figura 3.5 - Variação do coeficiente de potencial mútuo com R0, Rc=0,5 ............................................ 30

Figura 3.6 - Variação do coeficiente de potencial próprio com Rc, R0=1+sin(π/3) ............................... 31

Figura 3.7 - Variação do coeficiente de potencial mútuo com Rc, R0=1+sin(π/3) ................................. 32

Figura 3.8 - Variação do coeficiente de potencial próprio com o Rc, R0=5 ........................................... 32

Figura 3.9 - Variação do coeficiente de potencial mutuo com Rc, R0=5 ............................................... 33

Figura 3.10 – Variação dos coeficientes de capacidade simétrico e homopolar com R0, Rc=0,5 ........ 35

Figura 3.11 – Variação dos coeficientes de capacidade próprio e mútuo com R0, Rc=0,5 .................. 35

Figura 3.12 – Variação dos coeficientes de capacidade simétrico e homopolar com Rc, R0=1+sin(π/3)

............................................................................................................................................................... 36

Figura 3.13 – Variação dos coeficientes de capacidade próprio e mútuo com Rc, R0=1+sin(π/3) ....... 36

Figura 3.14 – Variação dos coeficientes de capacidade simétrico e homopolar com Rc, R0=5 ........... 37

Figura 3.15 - Variação dos coeficientes de capacidade próprio e mútuo com Rc, R0=5 ...................... 37

Figura 3.16 – Representação do cabo trifásico simétrico e dos ângulos ϕ e ϕ’.................................... 39

Figura 3.17 – Densidade de carga ao longo do condutor de fase 1, para o instante t=0, R0=1+Rcmax. 40

Figura 3.18 – Densidade de carga ao longo do condutor de fase 1, para o instante t=0, R0=3 ........... 40

Figura 3.19 – Densidade de carga ao longo do condutor de fase 1, para o instante t=0, R0=5 ........... 41

Figura 3.20 – Densidade de carga ao longo do condutor de fase 1, para o instante t=T/4, R0=1+Rcmax

............................................................................................................................................................... 42

Figura 3.21 – Densidade de carga ao longo do condutor de fase 1, para o instante t=T/4, R0=3 ........ 43

Figura 3.22 – Densidade de carga ao longo do condutor de fase 1, para o instante t=T/4, R0=5 ........ 43

Figura 3.23 – Densidade de carga ao longo da superfície da bainha, no instante t=0 ......................... 45

Figura 3.24 – Densidade de carga ao longo da superfície da bainha, no instante t=T/4 ..................... 45

Figura 9.1 – Representação duma carga filiforme +q e da respetiva carga imagem fictícia –q ........... 58

Lista de tabelas

Tabela 3.1 – Comparação de resultados dos coeficientes de capacidade para o cabo trifásico ......... 23

Tabela 3.2 – Comparação de resultados do coeficiente de indução modal para o cabo trifásico ........ 24

Tabela 3.3 – Comparação de resultados do coeficiente de indução modal para diferentes valores de

R0 ........................................................................................................................................................... 25

Tabela 3.4 - Comparação de resultados do erro do coeficiente de indução modal por consideração de

condutores de fase filiformes................................................................................................................. 26

Lista de siglas

� Permitividade elétrica

� Permeabilidade magnética

��⃗ Vetor do campo elétrico

���⃗ Vetor do deslocamento elétrico

� Coeficiente de capacidade por unidade de comprimento

� Coeficiente de indução por unidade de comprimento

��(�)

Solução do potencial elétrico com singularidades no eixo do condutor �, centrada

no eixo do condutor �

�(�) Solução completa do potencial elétrico centrada no eixo do condutor �

��(�)

Coeficiente de grau p do desenvolvimento para a solução da função potencial

relativa à presença do condutor de fase �

�� Coeficiente de grau p do desenvolvimento para a solução da função potencial

relativa a presença de bainha

�� Tensão do condutor �.

�� Raio da bainha condutora

�� Raio do condutor de fase �

�� Raio dos condutores de fase num cabo trifásico simétrico

� Raio da circunferência com centro no eixo da bainha, sobre a qual os eixos dos

condutores de fase estão colocados, no cabo trifásico simétrico

�� Raio da bainha condutora normalizado ao raio �

�� Raio dos condutores de fase num cabo trifásico simétrico normalizado ao raio �

���� Número complexo correspondente ao vetor de posição do eixo do condutor � em

referência ao eixo do condutor �.

��� Número complexo correspondente ao vetor de posição do eixo do condutor �

em referência ao eixo da bainha condutora.

�� Ordem máxima para os coeficientes ��

(�) relativos ao condutor � do cabo

trifásico

�� Ordem máxima para os coeficientes ��

(�) relativos aos condutores de fase no

cabo trifásico simétrico

�� Ordem máxima para os coeficientes �� relativos à bainha condutora do cabo

trifásico

��� Operador matemático Divergência

���� Operador matemático Gradiente

��� Operador matemático Laplaciano

��� Operador matemático Rotacional

1 Introdução

1.1 Motivação e objetivo

Os cabos trifásicos subterrâneos são amplamente usados nas redes elétricas de hoje em dia,

nomeadamente nas áreas urbanas, desde a muito alta tensão até a baixa tensão. Assim sendo é

importante para os fabricantes terem ferramentas que tornem expedito o cálculo dos parâmetros dos

cabos, em particular aqueles associados ao campo elétrico, tendo em conta os vários aspetos

constitutivos dos mesmos, quer a nível dos materiais usados, como a nível da configuração e

disposição dos seus componentes.

Nos cabos trifásicos, o campo elétrico gerado pela carga em cada um dos condutores sofre

deformações originadas pela presença dos restantes condutores, devido à sua proximidade física.

Este fenómeno denomina-se por «efeito de proximidade» e deve necessariamente ser levado em

conta para que o cálculo da capacidade do cabo seja rigoroso.

Nesta dissertação propõe-se desenvolver um algoritmo com base num método analítico,

capaz de calcular de forma expedita os coeficientes de capacidade por unidade de comprimento de

cabos multi-condutores, constituídos pelos condutores de fase e por uma bainha condutora,

separados por um meio dielétrico de permitividade �.

1.2 Estado da arte

O cálculo dos coeficientes de capacidade insere-se no problema mais genérico da

determinação do campo elétrico. O problema do campo, objeto de estudo já na década de 70, como é

o exemplo de [3], continua hoje em dia a ser um tema de investigação. Prova disso é que novas

metodologias têm vindo a ser desenvolvidas como são exemplos [6] e [8]. A capacidade de

processamento disponível nos computadores atuais possibilita o uso de métodos mais poderosos,

que permitem obter resultados cada vez mais rigorosos e consequentemente uma melhor

compreensão dos fenómenos relacionados com o campo elétrico.

As metodologias usadas podem ser separadas em dois tipos distintos. Os métodos que

assentam em soluções analíticas para os problemas de campo, que são limitados a sistemas de

geometria menos complexa, onde os materiais constituintes do cabo não apresentam

heterogeneidades, anisotropias ou não linearidades. A outra abordagem consiste no uso de métodos

numéricos que podem ser aplicados mais generalizadamente, fazendo uso da discretização.

Com respeito aos métodos analíticos, o artigo [3] apresenta um método para a resolução da

função potencial a duas dimensões, semelhante ao usado neste trabalho, mas aplicável a condutores

com geometria simétrica. Os artigos [4] e [5] apresentam um método denominado de expansão

harmónica com base em desenvolvimentos em série de Fourier para a determinar as capacidades de

cabos de baixa tensão.

Em relação aos métodos numéricos, [6] apresenta uma metodologia denominada por «fitas

de carga» (strips of charge). Este método usa fitas de carga para representar uma aproximação da

distribuição de carga à superfície dos condutores e da carga de polarização ao longo da separação

entre dois meios dielétricos. Nos artigos [7] e [8] é usado o método dos elementos finitos (finite

element method) para calcular os parâmetros transversais e longitudinais em linhas de transporte e

cabos trifásicos respetivamente. Em [9] é proposto um método híbrido (analítico / numérico) usando o

método dos elementos de fronteira (boundary element method) para resolução de problemas de

electroestática e magnetostática com várias camadas de dielétrico.

1.3 Contextualização

A metodologia proposta neste trabalho, considera a aproximação de condutores perfeitos,

infinitamente longos, onde os efeitos de franja não são considerados. Além disso é também

considerada a aproximação de regime quase-estacionário, no qual não são considerados fenómenos

de indução magnética. Neste contexto, um problema de electroestática em 2D é considerado, sendo

o campo elétrico independente da coordenada longitudinal e, portanto, o modo TEM é adequado.

No que se refere ao meio dielétrico, este considera-se linear, isotrópico e homogéneo pelo

que a sua permitividade elétrica, �, é uma constante escalar.

Nas condições acima expostas e uma vez que não existe carga livre no meio dielétrico, o

problema do campo elétrico resume-se à equação de Laplace, que num problema 2D, tem como

solução o potencial escalar.

São obtidas duas soluções gerais para o potencial elétrico, com base em desenvolvimentos

em série de Fourier tendo em conta a dependência angular, e em séries de potências tendo em conta

a dependência radial. Uma solução aplicável aos condutores de fase com singularidades em � = 0, e

uma solução aplicável à bainha condutora com singularidades em � → ∞ .

A resolução analítica do problema fica completa através da aplicação das condições de

fronteira na superfície dos vários condutores. Para tal são desenvolvidas soluções centradas em cada

um dos condutores através de desenvolvimentos em série de Taylor, partindo das soluções iniciais.

O algoritmo numérico, desenvolvido com o software MATLAB [13], constitui uma aproximação

à solução analítica encontrada, para a qual é efetuada a truncagem dos desenvolvimentos em série,

transformando-os em somatórios de ordem finita. O critério de truncagem é definido a priori e

depende dos parâmetros geométricos e constitutivos do cabo. Nestas condições o problema é

constituído por um sistema de equações, que pode ser descrito por uma equação matricial onde vetor

de incógnitas é constituído pelos coeficientes dos desenvolvimentos em série. O vetor de incógnitas é

definido considerando-se uma ordenação dos coeficientes que dá primazia à ordem dos mesmos,

tornando o processo de inversão da matriz mais eficiente.

1.4 Organização / Conteúdos da dissertação

No capítulo 2 é explicado em detalhe o método analítico abordado nos textos [1] e [2], assim

como as considerações tomadas na construção do algoritmo, nomeadamente no que se refere ao

cálculo dos coeficientes de capacidade por unidade de comprimento. Demonstrações de expressões

dos textos referidos que se consideraram úteis foram colocadas em anexo.

O capítulo 3 contém todos os resultados obtidos pelo algoritmo desenvolvido, juntamente com

a explicação da sua obtenção. A análise aos resultados produzidos é também aqui colocada. Este

capítulo é constituído por duas secções principais. Na primeira faz-se um comparativo de resultados

obtidos com os de outros métodos com o objetivo de validar o algoritmo desenvolvido. Na segunda

secção são apresentados os resultados obtidos no âmbito do estudo do efeito de proximidade.

No capítulo 4 são tecidas as considerações finais acerca da execução do trabalho e sobre

possíveis melhoramentos a efetuar em trabalhos futuros.

2 Metodologia

Neste capítulo é feita uma abordagem à resolução da equação de Laplace para o potencial

elétrico, de acordo com o exposto em [1], assim como os desenvolvimentos obtidos para as soluções

centradas nos condutores de fase na bainha condutora, de acordo com o exposto em [2]. Por último

será explicada a construção do algoritmo numérico desenvolvido com base na solução analítica

considerada.

Antes de se iniciar a análise ao método analítico considerado, é importante estabelecer o

contexto no qual essa solução é válida.

Considerando-se condutores perfeitos, infinitamente longos e paralelos, o campo tem a

configuração do campo electroestático e, portanto, o modo TEM para o campo eletromagnético é

aplicável. A influência dos fenómenos de indução magnética considera-se desprezável.

Assim, para as condições acima especificadas, o problema do campo elétrico pode ser

aproximado a um problema de electroestática, descrito pelas equações (2.1) particularizadas a partir

das equações de Maxwell.

�����⃗ = 0

������⃗ = �

(2.1)

Aplicando a relação constitutiva à segunda equação de (2.1), obtém-se de (2.1) a expressão

(2.2), onde � é o potencial elétrico, uma função escalar, independente da coordenada longitudinal, e �

é a constante dielétrica. De (2.2), por manipulação matemática obtém-se a expressão (2.3).

������⃗ = ������⃗ = −����.����� = � (2.2)

− (�����.�����+ �����) = � (2.3)

Considerando-se as aproximações do meio dielétrico ser linear, isotrópico e homogéneo, do

qual resulta que que � é uma constante escalar para todo o cabo, e a aproximação do dielétrico

perfeito, isto é, o meio dielétrico não está eletrizado dado não conter cargas livres, � = 0, a equação

(2.3) reduz-se a (2.4), conhecida por Equação de Laplace.

���� = 0 (2.4)

2.1 Resolução da equação de Laplace em problemas de 2D e em

coordenadas cilíndricas

As expressões colocadas nesta secção do texto estão referidas em [1]. Aqui são colocadas

as expressões mais importantes com uma explicação sucinta sobre as mesmas. As demonstrações

importantes serão colocadas em anexo.

A resolução da equação de Laplace (2.4) é feita para uma função potencial em coordenadas

cilíndricas que são as que melhor se adequam ao cabo multi-condutor. Além disso, em condutores

cilíndricos paralelos e teoricamente infinitos o campo e o potencial elétrico são funções

independentes da coordenada longitudinal ��, isto é, a função potencial é dada pela expressão (2.5).

� = �(�,�) (2.5)

A equação de Laplace para o potencial � é uma equação diferencial às derivadas parciais

pelo que pode ser escrita como um produto de duas funções em que uma é função de � e a outra é

função de �. São obtidas duas soluções gerais para a equação (2.4)1, que se adaptam ao problema.

Uma solução com singularidades em � = 0, que se aplica aos condutores de fase, dada pela

expressão (2.6). A outra solução, dada pela expressão (2.7), com singularidades em � → ∞ , que se

aplica à bainha condutora. Os coeficientes ��, ��, �� e �� são determinados pelas condições de

fronteira.

� = �� ln

1

�+1

2� ���

�|�|����

���

�������

(2.6)

� = �� +

1

2� ���

|�|����

���

�������

(2.7)

Na expressão (2.6) destaca-se a termo de ordem 0 (logaritmo) que descreve a função

potencial duma carga filiforme (equipotencial circular). Os restantes termos são relativos à

deformação provocada pelo efeito de proximidade. Em relação à expressão (2.7), esta pode também

ser dividida em duas partes: o termo constante �� que depende das cargas nos condutores de fase

(envoltas pela bainha), e os termos de ordem superior que são relativos à deformação causada pelo

efeito de proximidade.

Para obter a solução final é necessário determinar os coeficientes ��, ��, �� e ��, através da

imposição das condições de fronteira à superfície dos condutores, o que torna necessário obter

soluções da função potencial centradas no eixo de cada um dos condutores. Este tipo de solução é

1 - Consultar o Anexo B (secção 7.1), para a demonstração da resolução da equação de Laplace até chegar às soluções (2.6) e (2.7).

obtida através de desenvolvimentos em série de Taylor que permitem deslocar para o eixo de um

determinado condutor as soluções centradas nos eixos dos restantes condutores.

2.1.1 Solução com singularidades no eixo do condutor �, centrada no eixo do

condutor �

A solução com a forma de (2.6)2 com singularidades no eixo dum condutor de fase (i), ��,

centrada no eixo dum outro condutor de fase (k), ��, e convergente para � < |����|, onde ���� é um

complexo que corresponde ao vetor de posição entre os eixos dos condutores � e �, é dada pela

expressão (2.8), na qual a primeira e segunda linhas do somatório são respetivamente para valores

positivos e negativos de �.

iO

kO

y

kiw

w

ir

kr

Figura 2.1 – Referencial centrado no eixo do condutor k

��(�)

= ��(�) ln

1

��������+1

2�����

(�)���(0,�) + ��(�)���

∗ (0,�)� +

�

���

+1

2�

�|�|

|�|���

(�) ����(�,0)

���∗ (−�,0)

�+ �����(�)���(�,�)

��(�)���

∗ (−�,�)�

�

���

�

�

�������

����

(2.8)

Os coeficientes ��(�) e a variável � são valores normalizados de acordo com as expressões

em (2.9). Os coeficientes ��(�) são os coeficientes do desenvolvimento (2.6) centrado no eixo do

condutor �, e � é a coordenada cilíndrica � com referência no eixo do condutor � normalizada ao raio

do mesmo.

��(�)=��(�)

���

� =�

��

(2.9)

2 - Para as demonstrações das expressões desta secção consultar o Anexo B (secção 7.2)

O termo ���(�,�) na expressão (2.8) é dado pela expressão (2.10), que por sua vez contém

o termo �(�,�) dado pela expressão (2.11).

���(�,�) = (− 1)�� �

���������

����������

�(�,�) (2.10)

�(�,�) = �

(� + � − 1)!

(� − 1)!(� − 1)!, �,� > 0

1, � = 0��� = 0

(2.11)

2.1.2 Solução com singularidades em torno do eixo da bainha, centrada no

eixo do condutor �

A solução com a forma de (2.7)3 em torno do eixo bainha, �, centrada no eixo dum condutor

de fase (k), ��, e convergente para � < |���|, onde ��� é um complexo que corresponde ao vetor de

posição entre o eixo da bainha e o eixo do condutor �, é dada pela expressão (2.12), na qual a

primeira e segunda linhas do somatório são respetivamente para valores positivos e negativos de �.

o

kO y

kw

w

0r

kr

Figura 2.2 - Referencial centrado no eixo do condutor k

��(�)

= �� +1

2������(0,�) + �����

∗(0,�)�

�

���

+1

2�

�|�|

��� �

����(�,�)

�����∗(−�,�)

�

�

��|�|

������

�������

(2.12)

3 - Para as demonstrações das expressões desta secção consultar o Anexo B (secção 7.3)

Os coeficientes �� são valores normalizados de acordo com a equação (2.13), onde os

coeficientes �� são os coeficientes do desenvolvimento (2.7). A variável � é a coordenada cilíndrica �

com referência no eixo do condutor � normalizada ao raio do mesmo de acordo com a segunda

equação de (2.9).

�� = ����� (2.13)

O termo ��(�,�) na equação (2.12) é dado pela expressão (2.14), que por sua vez contém o

termo �(�,�) dado pela expressão (2.15).

��(�,�) = �

�������

���������

�(�,�),� ≥ 0,� ≥ � (2.14)

�(�,�) = �

�!

(� − 1)!(� − �)!,� > 0,� ≥ �

1, � = 0

(2.15)

2.1.3 Solução com singularidades no eixo do condutor �, centrada no eixo da

bainha

A solução com a forma de (2.6)4 com singularidades no eixo dum condutor de fase (k), ��,

centrada no eixo da bainha, �, onde (��,�′) são as coordenadas associadas ao eixo � (Figura 2.3).

Esta solução, que é convergente para �� > |���|, onde ��� é um complexo que corresponde ao vetor

de posição entre o eixo da bainha e o eixo do condutor �, é dada pela expressão (2.16), na qual a

primeira e segunda linhas do somatório são respetivamente para valores positivos e negativos de �.

4 - Para as demonstrações das expressões desta secção consultar o Anexo B (secção 7.4)

o

kO x

kwφ'

w

r'

0r

krP

Figura 2.3 – Referencial centrado no eixo da bainha condutora

��(�)

= ��(�) ln�

�� ��⁄

��� + �

���|�|

2|�|���

(�) �� ∗(0,�)�(0,−�)

�+ ����(�)� ∗(�,�)

���(�)�(�,−�)

�

|�|

���

�������

�������

(2.16)

Novamente os coeficientes ��(�) são valores normalizados de acordo com a equação (2.9),

onde os coeficientes ��(�) são os coeficientes do desenvolvimento (2.6) centrado no condutor �. A

variável �’ é o valor da coordenada cilíndrica �’ com referência no eixo da bainha condutora

normalizada ao raio da mesma, ��, de acordo com a equação (2.17).

�� =

��

�� (2.17)

2.1.4 Solução centrada no eixo condutor �

A solução centrada no eixo de um condutor de fase é dada pela soma da contribuição do

próprio condutor no qual a solução está centrada, com as contribuições devidas à presença dos

restantes condutores de fase e da bainha condutora. Assim, a partir das equações (2.6), (2.8) e (2.12)

chega-se à solução final (2.18) em que ��(�)

é dado para � = 0 e � ≠ 0 pelas equações (2.19) e

(2.21) respetivamente.

�(�)(�,�) = � ��

(�)(�)������

����

,� = �/�� (2.18)

��(�)(�) = �� + ��

(�) ln�1

��+ ���

(�) ln���

|����|�+ ��

�

������

(2.19)

�� =

1

2������(0,�)+�����

∗(0,�)�

��

���

+ �1

2�����

(�)���(0,�) + ��

(�)���∗ (0,�)�

��

���

�

������

(2.20)

��(�)(�) =

�|�|

2|�|���

(�) + |�|��(�)���|�|+ ��

(�)� (2.21)

��(�) = ���

(�) ����(�,0)

���∗ (−�,0)

�

�

������

(2.22)

��(�)

= � �����(�,�)

�����∗(−�,�)

�

�

��|�|

+ ������(�)���(�,�)

��(�)���

∗ (−�,�)�

�

���

�

������

(2.23)

Na expressão (2.19) podem claramente ser identificadas duas partes distintas. Uma parte que

inclui as contribuições devidas aos termos de ordem zero (o termo relativo à bainha proveniente da

equação (2.12), ��, o termo relativo ao condutor � da expressão (2.6), ��(�) e os termos relativos aos

restantes condutores de fase, da expressão (2.8)) onde os termos logarítmicos correspondem à

solução para cargas filiformes. A segunda parte, constituída pelo termo ��, que inclui os termos de

ordem diferente de zero e que está presente devido ao efeito de proximidade entre os vários

condutores (termos relativos aos condutores de fase, provenientes da equação (2.8)) assim como à

presença da bainha (termos relativos à bainha condutora, provenientes da equação (2.12)).

Na equação (2.21) também é possível identificar as diferentes contribuições. A relativa ao

condutor �, que corresponde aos termos de ordem diferente de zero da expressão (2.6), e as

contribuições dos restantes de condutores de fase e da bainha, incluídas nos termos �� e ��, e

provenientes das equações (2.8) e (2.12).

Os coeficientes de ordem zero são determinados através da aplicação das condições de

fronteira em cada condutor, sendo que no caso ��, estas são aplicadas na solução centrada no eixo

da bainha (na secção 2.1.5).

Aplicando as condições de fronteira para o condutor � (� = �� ⟺ � = 1) na expressão (2.18)

tem-se (2.24), onde �� e �� são respetivamente a tensão do condutor � e a carga por unidade de

comprimento contida no condutor �.

⎩⎨

⎧�(�)(1,�) = ��

� − �

��

�

��(�)

������

�� = �� (2.24)

A primeira das duas condições traduz o facto de o potencial à superfície do condutor ser

constante (equipotencial circular sobre a superfície do condutor). Tendo em conta a equação (2.18),

esta condição implica que os termos ��(�) para � ≠ 0 são nulos quando � = 1, de onde se obtém a

igualdade (2.25). Com base nesta conclusão, a tensão do condutor �, ��, é dada pela equação

(2.26).

��(�)(�)�

���= 0⇔ ��

(�) + |�|��(�) = − ��

(�) (2.25)

�� = �(�)�

���= ��

(�)����

= �� + � ��(�) ln�

��|����|

�+ ��

�

���(���)

(2.26)

A segunda condição de (2.24) resulta da aplicação de (2.27) sobre a superfície do condutor �,

considerando-se ��⃗� a normal exterior à superfície.

� ����⃗.��⃗������

= �� (2.27)

A integração em ordem a � dos termos de ordem � ≠ 0 é zero (integral duma função

exponencial complexa no intervalo ]0,2�]). Da resolução do integral em (2.24) resulta (2.28), de onde

se obtém o termo de ordem zero, ��(�), de acordo com a equação (2.29).

� − �

��

�

��(�)

������

�� = � − �

��

�

���(�)

���

���

��= 2����(�)

��

���

= 2����(�) (2.28)

��(�) =

��2��

(2.29)

2.1.5 Solução centrada no eixo da bainha condutora

A solução centrada no eixo da bainha é obtida pela sobreposição das contribuições relativas

aos vários condutores de fase à solução relativa à própria bainha. Assim, a partir das equações (2.7)

e (2.16) chega-se à solução completa dada pela equação (2.30), em que ��(�) é dado para � = 0 e

� ≠ 0 pelas equações (2.31) e (2.32), respetivamente.

�(�)(�′,�′) = � ��

(�)(�′)�������

����

,�′= �′/�� (2.30)

��(�)(�′) = �� + ���

(�) ln���/���′

�

�

���

(2.31)

��(�)(�′) =

�′�|�|

2|�|���

� + |�|�����|�|

+ ���� (2.32)

��� = ���

(�) ���∗(0,�)

��(0,−�)�

�

���

(2.33)

��� = ���

��(�)��

∗(�,�)

���(�)��(�,−�)

�

|�|

���

�

���

(2.34)

Na equação (2.31) o termo relativo à contribuição da bainha é o coeficiente de ordem zero da

equação (2.7) e os termos relativos às contribuições dos condutores de fase são os termos de ordem

zero da equação (2.16).

Na equação (2.32) distinguem-se também a contribuição da bainha e dos condutores de fase.

O coeficiente de ordem � ≠ 0 relativo à contribuição da bainha, ��, provém da equação (2.7) e as

contribuições relativas aos condutores da fase estão incluídas nos termos ��� e ��

� e provêm da

equação (2.16).

Aplicando as condições de fronteira na bainha (�� = �� ⟺ �� = 1), na equação (2.30) obtém-

se (2.35).

⎩⎨

⎧�(�)(1,�′) = �� = 0

� �

��

�

��(�)

��′�����

���= �� (2.35)

A primeira das equações de (2.35) estabelece que o potencial na bainha é nulo, ou seja, a

bainha é tomada como referência do potencial elétrico. Tendo em conta a equação (2.30), esta

condição implica que os termos ��(�), para � ≠ 0, são nulos quando �� = 1, de onde se obtém a

igualdade (2.36) e a equação que determina o coeficiente �� em (2.37).

��(�)(�′)�

����= 0⇔ ��

� + |�|�� = − ��� (2.36)

��(�)(��)�

����= 0⇔ �� = − ���

(�) ln������

�

���

(2.37)

A segunda condição de (2.35) é obtida da aplicação de (2.27) sobre a superfície da bainha

condutora, mas considerando-se a normal interior à superfície, ��⃗�, pelo que comparativamente à

segunda condição de (2.24) há uma inversão do sinal. Resolvendo o integral obtém-se (2.38) que

confirma o equilíbrio de cargas do cabo.

� �

��

�

��(�)

��′�����

��� = � �

��

�

���(�)

����

����

��= − 2�����(�)

�′

�

���

�

����

= − ���

�

���

= �� (2.38)

2.2 Algoritmo

Ao longo da secção 2.1 foram apresentados os elementos necessários para a obtenção de

uma solução analítica. Nesta secção, é explicada a construção do algoritmo baseado na solução

analítica apresentada, e que permite obter uma solução numérica aproximada à referida solução

analítica.

O principio base do algoritmo desenvolvido neste trabalho passa pela truncagem dos

desenvolvimentos em série das soluções analíticas para o potencial elétrico, transformando-os em

somatórios com um número finito de termos. Um critério de truncagem é estabelecido, definindo a

ordem máxima dos coeficientes relativos ao condutor de fase �, ��, e relativos à bainha condutora,

��.

2.2.1 Determinação dos coeficientes ��(�) e � �

Nas secções 2.1.4 e 2.1.5 foram apresentadas as soluções analíticas finais para a função

potencial e por aplicação das condições de fronteira à superfície dos condutores (de fase e da

bainha), obtiveram-se as expressões dos coeficientes de ordem zero ��(�)

e ��, e estabeleceram-se

as equações que permitem a determinação dos restantes coeficientes.

O coeficiente de ordem zero relativo ao condutor de fase �, ��(�), é obtido diretamente a partir

da equação (2.29), sendo inversamente proporcional à constante dielétrica do meio e diretamente

proporcional à carga por unidade de comprimento contida no respetivo condutor, ��, que é um

parâmetro imposto. O coeficiente de ordem zero relativo à bainha condutora, ��, é calculado

diretamente de acordo com a equação (2.37). Alternativamente, pode-se optar por impor o coeficiente

��(�), a partir do qual é calculada a carga no respetivo condutor, ��.

Os coeficientes de ordem � ≠ 0, para o condutor de fase �, ��(�), e para a bainha condutora ,

��, são obtidos através da resolução dum sistema de equações, constituído por equações da forma

apresentada em (2.39), onde a primeira linha corresponde à equação (2.25) e a segunda linha

corresponde à equação (2.36), obtidas analiticamente. Os índices �� e �� são as ordens máximas

dos coeficientes para o condutor de fase � e para a bainha condutora.

���(�) + |�|��

(�) = − ��(�),� = ±1,… ,±��

��� + |�|�� = −��

� ,� = ±1,… ,±��

(2.39)

Tendo em conta as ordens máximas dos coeficientes, para � condutores de fase, obtém-se

um sistema com �� equações e �� incógnitas, com �� dado pela expressão (2.40).

�� = 2����

�

���

+ ��� (2.40)

O sistema de equações pode ser escrito na forma matricial, (2.41), onde a matriz [�] tem

dimensão ��×��. O vetor de incógnitas, (�), e o vetor (�), ambos de dimensão ��×1 são dados

genericamente pelas expressões (2.42) e (2.43), respetivamente. O critério de ordenação dos

coeficientes no vetor de incógnitas será explicado mais adiante.

[�](�) = (�) (2.41)

(�) = ���(�)���

� (2.42)

(�) = �−��(�) − ��

� �� (2.43)

Para estabelecer o sistema de equações falta, portanto determinar as ordens máximas dos

coeficientes, �� e ��. Para que o algoritmo não se torne pesado, é importante escolher uma forma

rápida de avaliar estes valores a priori, evitando recursividade. A forma escolhida baseia-se no

cálculo expedito duma primeira aproximação dos coeficientes ��(�) e �� e na escolha de um critério

de truncagem que defina a ordem de grandeza mínima que se considere relevante para esses

mesmos coeficientes.

A primeira aproximação dos coeficientes é obtida considerando-se apenas os elementos da

diagonal principal da matriz [�], isto é, desprezando-se ��(�) na primeira equação de (2.39), que

corresponde a considerar �� = 0 para � ≠ � e �� → ∞ , e desprezando-se ��� na segunda equação de

(2.39), que corresponde a considerar �� = 0 para � = 1,… ,� . Assim de (2.39) obtém-se (2.44), onde

�′�(�) e �′� são as estimativas dos coeficientes ��

(�) e ��.

⎩⎪⎨

⎪⎧�′�(�) =

− ��(�)

|�|,�∈ ℤ

�′� = −���

|�|,�∈ ℤ

(2.44)

O critério de truncagem define-se de acordo com (2.45).

⎩⎪⎨

⎪⎧��′� ���(�)

��(�)

�≤ 10��

��� ����

���≤ 10��

(2.45)

Este método não é, no entanto, aplicável em situações onde ��(�) é nulo. Existem dois casos

em que isso acontece. O caso de cabos monofásicos, à semelhança do condensador cilíndrico, e o

caso de cabos multi-condutores para o modo de funcionamento � (modo de funcionamento em que

�� ≠ 0, e �� = 0∀���). Para que o algoritmo funcione corretamente também nesses casos, optou-se

por uma solução mais genérica para o critério de truncagem no que se refere aos coeficientes ��(�).

Considerando a expressão (2.33) que determina ��(�) definiu-se o critério de truncagem de

acordo com (2.46), através do qual se obtêm valores de �� na mesma ordem de grandeza.

����������

����(� ���)

|�|��(�) ��≤ 10�� (2.46)

Na expressão (2.46) ������� é o vetor de posição que corresponde à maior distância entre o

centro do condutor � e os centros dos restantes condutores, ������� = max{����},∀���, no caso dum

cabo multi-condutor. No caso do condutor monofásico é o vetor de posição correspondente à

distância entre os centros do condutor de fase e da bainha condutora, ������� = ���.

Tendo obtido por esta via uma avaliação para as ordens máximas dos coeficientes para cada

um dos condutores, estão obtidos todos os dados para formar o sistema de equações (2.41)

começando por definir o vetor (�).

Neste algoritmo o critério de ordenação principal é a ordem dos coeficientes, seguido da

ordem dos condutores, optando-se por colocar os coeficientes relativos à bainha �� a seguir aos

relativos aos condutores de fase ��(�). O critério foi escolhido para reduzir o custo computacional do

pivoting, na operação da inversão da matriz [�]. Tendo em conta que ��±�(�)�> ��±�

(�)�> ��±�(�)�> ⋯ >

��±� �

(�) � e que ��±��> ��±��> ��±��> ⋯ > ��±� ��, com o critério escolhido, o vetor (�) fica ordenado

de forma a que os elementos de maior peso precedam os de menor peso.

No caso geral os valores de ��,∀���,..,� e �� podem ser todos distintos, como sucede para

os cabos com condutores de fase de raios distintos ou dispostos de forma não simétrica. A Figura 2.4

ilustra, em forma de organigrama, o algoritmo de obtenção da posição de cada coeficiente ao longo

do vetor (�). Na figura, o índice �, cujo valor máximo é ��, dá a posição do vetor.

Figura 2.4 – Organigrama de ordenação do vetor (�)

Considerando o caso particular do cabo trifásico simétrico representado na Figura 2.5, onde

se assume �� = ��,∀���,�,� devido à simetria do cabo e considerando �� > ��, pode obter-se o

vetor (�) com ordenação definida em (2.47).

�(�) ≥ �

� = � + 1

�� = ��(�)

� = � + 1

�� = ���(�)

Não

Sim � = 1,… ,�

���� = max{�0,��},� = 1,… ,� � = 0

� = 1,… ,����

�(0) ≥ �

� = � + 1�� = ��� = � + 1�� = ���

Não

Sim

o

2O

0r

cr

1O

3O

cr

cr

Figura 2.5 – Representação genérica do cabo trifásico simétrico

(�) = ���(�)���

(�) … ��(�)���

(�)����� … �� �(�)��� �

(�) … �� �(�)��� �

(�) �� ���� � … �� ���� ��� (2.47)

Em concordância com (2.47) define-se o vetor (�) em (2.48).

(�) = − ���

(�)���(�) … ��

(�)���(�)��

���

��… �� �

(�)��� �(�) … �� �

(�)��� �(�) ��

� ���

�� �… ��

� ��′�� ��

�

(2.48)

No anexo C (secção 8) é dado um exemplo simples da matriz [�] para o caso do cabo

trifásico simétrico, que torna mais percetível a distribuição dos elementos de ��(�) e de �’� pela matriz.

2.2.2 Obtenção dos coeficientes de capacidade por unidade de comprimento

para o cabo trifásico

No que concerne ao estudo dos coeficientes de capacidade de um cabo trifásico simétrico

existem quatro parâmetros de interesse: são estes os coeficientes de capacidade próprio, ��, e

mútuo, ��, e outros dois especificamente relacionados com o cabo trifásico que são os coeficientes

de capacidade trifásico simétrico, ��, e trifásico homopolar, ��. Em seguida é explicado como estes

são obtidos, partindo dum caso geral, e particularizando para o cabo trifásico simétrico.

O primeiro passo para a obtenção dos coeficientes de capacidade consiste na obtenção da

matriz dos coeficientes de potencial [�], que verifica a equação matricial (2.49). O elemento de índice

�� da matriz [�] é obtido de acordo com a expressão (2.50).

���⋮��

� = [�]�

��⋮��� (2.49)

��� = �

���������,���

(2.50)

A matriz [�] é uma matriz simétrica que, no caso particular dos cabos de geometria simétrica

(de ordem N para N condutores), tem simetria circular (��� = ����,��� e também ��� = ��� para qualquer

� ≠ �), o que significa que para a sua obtenção, é necessário apenas conhecer os elementos de uma

das colunas da matriz. Para um sistema de cargas N-fásico aplicado aos condutores de fase do cabo,

correspondente ao modo de funcionamento � (�� ≠ 0 e �� = 0, para � ≠ �), pode obter-se a coluna �

da matriz [�], segundo a expressão (2.51), onde o potencial à superfície de um qualquer condutor �,

��, é calculado através da expressão (2.26).

�

���⋮���

� = ���⋮��

� ÷ �� (2.51)

A matriz dos coeficientes de capacidade [�] é inversa de [�], e tal como esta é uma matriz de

simetria circular.

�

��⋮��� = [�]�

��⋮��

�,[�]= [�]�� (2.52)

No caso particular de cabos trifásicos simétricos, devido a todos os condutores de fase serem

iguais, e dispostos simetricamente verifica-se (2.53), onde �� é o coeficiente de capacidade próprio, e

�� o coeficiente de capacidade mutuo.

��� = ��� = ��� = ����� = ��� = ��� = ��

(2.53)

Os coeficientes de capacidade trifásicos, para os modos simétrico, ��, e homopolar, ��,

exprimem a relação da carga dum condutor �, com o potencial à sua superfície, quando é aplicado no

cabo um sistema de tensões trifásico simétrico e homopolar, respetivamente.

Se as tensões aplicadas forem simétricas obtém-se (2.54).

�� = [�� + (������º+ �����º)��]�� = (�� − ��)�� (2.54)

Se as tensões aplicadas forem homopolares obtém-se (2.55).

�� = (�� + 2��)�� (2.55)

Deste modo, os coeficientes de capacidade modais são obtidos a partir de �� e �� de acordo

com a expressão (2.56).

�� = �� − ���� = �� + 2��

(2.56)

Em alternativa, o algoritmo permite obter de forma direta os coeficientes de capacidade

modais, devendo-se para tal impor um sistema de cargas trifásico simétrico ou homopolar no cabo.

As tensões dos condutores são calculadas através da equação (2.26) e o parâmetro modal é obtido

pela equação (2.57).

��/� =

���

��� (2.57)

3 Resultados

Este capítulo encontra-se dividido em duas partes. Na primeira parte é apresentada uma

comparação entre resultados obtidos pelo método em estudo com os de outros métodos com

resultados publicados, por forma a validar este método. Na segunda parte são apresentados

resultados obtidos pelo método desenvolvido neste trabalho, especificamente gráficos que ilustram a

variação dos parâmetros do cabo trifásico com a variação dos parâmetros de configuração do

mesmo, com o fim de estudar o efeito de proximidade.

Os gráficos apresentados ao longo deste capítulo foram obtidos para um cabo trifásico com

condutores iguais e dispostos simetricamente sobre uma circunferência de raio �, centrada no eixo da

bainha, tal como ilustrado na Figura 2.5 no capítulo anterior. O raio dos condutores de fase é �� e o

raio da bainha condutora ��. Nos gráficos apresentados, mostra-se a evolução dos parâmetros do

cabo em função dos parâmetros normalizados �� e ��, dados pela expressão (3.1).

�� =���

�� =���

(3.1)

Estas variáveis introduzem nos gráficos uma quantificação da proximidade: a proximidade

dos condutores de fase entre si, ��, e a proximidade entre os condutores de fase e a bainha

condutora, ��. Para um cabo com � condutores simetricamente dispostos e centrados sobre a

circunferência de raio �, o raio máximo para os condutores é dado pela expressão (3.2). O raio

mínimo da bainha é dado pela expressão (3.3).

�� < ����� = � ∗sin�

�

��

����� = sin �

�

��

(3.2)

�� > ����� = � + ��

����� = 1 + ��

(3.3)

3.1 Validação do método / algoritmo

A validação do método desenvolvido foi efetuada em três partes. A primeira consiste na

comparação do resultado obtido para o coeficiente de capacidade do condensador cilíndrico,

constituído por dois condutores não concêntricos, com o resultado analítico. A segunda parte consiste

na comparação de resultados obtidos para um cabo trifásico simétrico, com resultados publicados em

[6], obtidos pelo método das fitas de carga. Por último foram comparados resultados para o

coeficiente de indução modal (modos simétrico e homopolar) dum cabo trifásico em regime

estacionário com os obtidos em [10].

3.1.1 Condensador cilíndrico

O condensador cilíndrico é constituído por dois condutores não concêntricos, conforme

representado na Figura 3.1, onde o condutor exterior é a bainha condutora. A distância entre os

centros dos condutores, a, assim como os raios da bainha, ��, e do condutor de fase, ��, são

parâmetros conhecidos.

o

cO

0r

cr

a

Figura 3.1 – Condensador cilíndrico

3.1.1.1 Método analítico

Através do método das imagens5 é possível obter a equação analítica para a capacidade

(3.4), onde os coeficientes �� e �� são as relações entre a distancia da carga filiforme a um ponto �

sobre cada uma das superfícies dos condutores, e a distancia da carga imagem fictícia ao mesmo

ponto.

� =

�

��,�=

2��

ln������

(3.4)

Em [11] demonstra-se que as equipotenciais são superfícies cilíndricas com eixo em (0,��) e

de raio � que verificam as relações (3.5), onde 2� corresponde à distância entre a carga filiforme e a

respetiva carga fictícia.

5 - Para breve explicação do método das imagens consultar anexo D (secção 9.1)

⎩⎨

⎧�� = ��� + 1

�� − 1

� = �2�

|�� − 1|

(3.5)

No condensador cilíndrico as superfícies de ambos os condutores são coincidentes com

equipotenciais circulares de centros (0,��) e (0,��) e raios ��e �� geradas pela presença duma carga

filiforme que está localizada sobre o eixo vertical (0,�). Sabendo-se que � = �� − ��, �� = �� e �� =

��, é possível calcular �, �� e ��, onde ��, �� são dados por (3.27).

�� =����+ ��

������

− 1,����=��� − ��

� − ��

2���

�� =����+ ��

������

− 1,����=��� − ��

� + ��

2���

(3.6)

3.1.1.2 Resultado

Para um condensador cilíndrico com dimensões �� = 2,5cm , �� = 1,2cm , � = 1cm e

constante dielétrica � = 2,3��, obteve-se um valor de capacidade � = 116,9339pF/m , que

corresponde a um desvio de 0,0% do valor obtido analiticamente.

3.1.2 Cabo trifásico

Nesta secção do texto são comparados resultados obtidos para os coeficientes de

capacidade �� e �� dum cabo trifásico com a tipologia do cabo ilustrado na Figura 2.5, com os

resultados publicados em [6] obtidos através do método das tiras de carga. São também comparados

valores do coeficiente de indução modal para os modos simétrico e homopolar com resultados óbitos

em [10].

3.1.2.1 Coeficientes de capacidade �� e ��

Os resultados da Tabela 3.1 foram obtidos para dois cabos de dimensões �� = 4,15mm , � =

1,84mm e constante dielétrica � = 2,3��.

A tabela seguinte mostra o comparativo entres os resultados obtidos e o erro com referência

ao valor obtido através do método das fitas de carga.

�� = 0,89mm �� = 1,15mm

��[pF/m ] ��[pF/m ] ��[pF/m ] ��[pF/m ]

Método fitas de carga 115,7 -23,2 164,1 -38,6

Valor obtido 115,6 -23,2 163,9 -38,6

Desvio (%) -0,9% 0% -0,12% 0%

Tabela 3.1 – Comparação de resultados dos coeficientes de capacidade para o cabo trifásico

Comparando os resultados com os obtidos obtêm-se desvios percentuais pequenos, que

permitem considerar o método desenvolvido como uma solução válida para problemas do cabo

trifásico com um dielétrico.

3.1.2.2 Coeficiente de indução modal para os modos trifásico e homopolar

Os coeficientes de indução modal são calculados a partir dos coeficientes de potencial. Como

referido na secção 2.2.2, a matriz [�] inversa de [�], é uma matriz de simetria circular, no caso do

cabo trifásico simétrico. Neste caso a matriz [�] tem a forma descrita em (3.7), onde o elemento �� da

diagonal principal, é o coeficiente de potencial próprio e o elemento �� é o coeficiente de potencial

mútuo.

[�]= �

�� �� ���� �� ���� �� ��

� (3.7)

Os coeficientes de potencial simétrico e homopolar obtêm-se analogamente a (2.56), através

de (3.8).

�� = �� − ��

�� = �� + 2�� (3.8)

Os coeficientes de indução modal são obtidos a partir dos de potencial através de (3.9).

��/� = με��/� (3.9)

Os resultados apresentados são normalizados a �� que é dado pela equação (3.10), de onde

se obtém (3.11), que é um resultado adimensional.

�� =�

8� (3.10)

��/�

��= 8πε��/� (3.11)

Em relação à equação (3.11), é importante notar que, apesar da forma da mesma, o

parâmetro da indução modal é independente da permitividade do dielétrico �, uma vez que este já

está implícito no coeficiente de potencial. A definição de coeficiente de potencial (2.50), conjugada

com (2.26) e com as expressões (2.29) e (2.37) para os coeficientes ��(�) e �� comprova que os

coeficientes de potencial são inversamente proporcionais à constante dielétrica, �.

3.1.2.2.1 Erro do coeficiente de indução modal por consideração dos condutores de fase com

cargas filiformes

Considerar os condutores de fase filiformes significa considerar-se os coeficientes ��(�)

nulos

para � ≠ 0, isto é, a função potencial considera apenas o elemento logarítmico referentes a cada

condutor de fase. O erro de cálculo devido a esta consideração e dado por (3.12).

��������(%) =

��������� − �

�∗100 (3.12)

3.1.2.2.2 Erro do coeficiente de indução modal por consideração da primeira aproximação da

solução

A primeira aproximação da solução passa por se considerar apenas os elementos da

diagonal principal da matriz [�] de (2.41), isto é, os coeficientes ��(�) e �� são dados respetivamente

pelas equações em (2.44). O erro de cálculo devido a esta consideração é calculado de forma

análoga a (3.12) e dado por (3.13).

�����ª�����(%) =

��ª����� − �

�∗100 (3.13)

3.1.2.2.3 Resultados

Os valores aqui apresentados relativos às figuras publicadas em [10] foram retirados por

inspeção visual das curvas apresentadas, com auxílio da ferramenta Microsoft Visio 2010 [14], pelo

que consideram-se apenas aproximações. Tendo em conta esta limitação os valores que aqui se

apresentam contêm apenas a primeira casa decimal da escala original.

A tabela seguinte mostra o comparativo dos valores obtidos em [10]6 com os obtidos neste

trabalho, para um cabo trifásico com os parâmetros normalizados �� = 0,5 e �� = 2,0.

Modo simétrico Modo homopolar

�/�� ��������(%) �����ª����(%) �/�� ��������(%) �����ª����(%)

Valor publicado 3,2 -2,6 14,0 5,6 -17,2 0,8

Valor obtido 3,19 -2,56 14,26 5,66 -17,15 0,76

Tabela 3.2 – Comparação de resultados do coeficiente de indução modal para o cabo trifásico

6 - Resultados retirados da figura 3.47 de [10], alíneas e, h e j.

Na Figura 3.2 mostra-se a dependência com o raio da bainha do coeficiente de indução

modal para o modo simétrico. O traço vermelho representa o valor para �� ⟶ ∞ . Na Tabela 3.3

apresenta-se um comparativo dos valores obtidos com os valores publicados em [10]7

Figura 3.2 – Variação do coeficiente de indução modal com o raio da bainha

�� = 3 �� = 4 �� = 5 �� ⟶ ∞

Valor publicado 4,0 4,2 4,3 4,4

Valor obtido 3,98 4,20 4,29 4,43

Tabela 3.3 – Comparação de resultados do coeficiente de indução modal para diferentes valores de R0

Na Figura 3.3 mostra-se a dependência com o raio da bainha do erro do coeficiente de

indução modal por consideração de condutores de fase filiformes, para o modo simétrico. O traço

vermelho representa o valor para �� ⟶ ∞ . Na Tabela 3.4 apresenta-se um comparativo dos valores

obtidos com os valores publicados em [10]8.

7 - Resultados retirados da figura 3.50 de [10], alínea e, curva 3. 8 - Resultados retirados da figura 3.50 de [10], alínea h, curva 3.

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 51.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

R0

L /

Lo

Figura 3.3 – Variação do erro do coeficiente de indução modal por consideração dos condutores de fase filiformes com o raio da bainha

�� = 3 �� = 4 �� = 5 �� ⟶ ∞

Valor publicado -7,0 -9,2 -10,3 -12,2

Valor obtido -6,99 -9,19 -10,27 -12,25

Tabela 3.4 - Comparação de resultados do erro do coeficiente de indução modal por consideração de condutores de fase filiformes

Embora com erros inerentes ao não conhecimento rigoroso dos valores numéricos de [10],

considerando-se apenas os valores indicados sob o ponto de vista gráfico, os resultados obtidos e as

comparações efetuadas ao longo de 3.1 são demonstrativos do sucesso da validação do algoritmo

desenvolvido nesta tese.

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

R0

%

3.2 Análise de resultados

Levando em conta todos os elementos da secção 3.1, conclui-se que o algoritmo foi

eficazmente validado para os problemas tomados. Assim considera-se este algoritmo uma ferramenta

válida para a obtenção de resultados que permitam estudar o efeito de proximidade em cabos

trifásicos.

Os gráficos apresentados ao longo desta secção foram obtidos para um cabo trifásico com os

condutores dispostos simetricamente, sobre uma circunferência de raio �, centrada no eixo da

bainha, tal como ilustrado na Figura 2.5 no capítulo anterior. É de referir, no entanto, que o algoritmo

funciona para casos mais gerais sem simetria entre os condutores de fase (raios distintos ou

condutores posicionados assimetricamente).

São apresentados três conjuntos de resultados, todos eles com o objetivo de identificar e

interpretar de forma quantitativa o efeito de proximidade. Os primeiros mostram a dependência dos

coeficientes de potencial com os raios normalizados da bainha, ��, e dos condutores de fase, ��. O

segundo conjunto de resultados mostra a dependência dos coeficientes de capacidade modais

(modos simétrico e homopolar) também com �� e ��. Por último são apresentados resultados que

ilustram a distribuição da carga ao longo da superfície dum condutor de fase e da bainha condutora.

3.2.1 Dependência dos coeficientes de potencial próprio e mútuo com �� e ��

De forma avaliar o efeito de proximidade foram efetuadas simulações para obter figuras que

ilustrem a dependência dos coeficientes de potencial próprio e mútuo com as variáveis �� e ��. As

curvas da evolução dos coeficientes de potencial foram decompostas em duas outras curvas: uma

em que o coeficiente é calculado sem considerar o efeito de proximidade e outra que considera

apenas a contribuição devida ao efeito de proximidade.

3.2.1.1 Consideração do efeito de proximidade

Num cabo trifásico existem duas causas do efeito de proximidade: a proximidade dos

condutores de fase entre si, e a proximidade dos condutores de fase com a bainha condutora. No

entanto, como os resultados à frente apresentados permitem concluir, estes dois efeitos não podem

ser dissociados.

Neste trabalho considera-se ausência de efeito de proximidade quando os condutores de fase

são representados por cargas filiformes, o que significa que os coeficientes ��(�),∀��� são nulos, ou

seja, o potencial gerado pela carga desse condutor é descrito apenas pelo termo logarítmico. É

importante notar, no entanto, que mesmo nesta situação a carga não se distribui uniformemente ao

longo da superfície da bainha. Este fenómeno deve-se à existência de coeficientes �� não nulos.

Da secção 2.2.2 sabe-se que para o modo de funcionamento � os coeficientes de potencial

são dados por �� = ��/�� e �� = ��/��, para � ≠ �,�,� = 1,2,3, onde �� é a tensão do condutor �

dado pela equação (2.26). Considerando os condutores de fase filiformes, a equação (2.26) resulta

em (3.14) e os coeficientes de potencial são dados por (3.15).

����������

= �� + � ��(�) ln�

��|����|

�

�

���(���)

+ 1

2����

����������(0,�) + ��

����������∗(0,�)�

��

���

(3.14)

����������

=����������

��

����������

=������������

��

(3.15)

Neste trabalho, assume-se a decomposição dos coeficientes de potencial em (3.16), onde o

coeficiente de potencial ��/� (próprio,��, ou mútuo ��) é a soma da parcela que se considera sem

efeito de proximidade, dada por ��/���������

e a parcela que se considera consequência do efeito de

proximidade, dada por ��/���.����

.

��/� = ����������

+ ��������

��/� = ����������

+ ��������

(3.16)

De acordo com a equação (3.16) as parcelas dos coeficientes de potencial devidas ao efeito

de proximidade são então dadas por (3.17), onde ��������

, que corresponde à parcela da tensão do

condutor � devida ao efeito de proximidade, é dada por (3.18).

��������

=�� − ��

��������

��=��������

��

��������

=���� − ����

��������

��=����������

��

(3.17)

��������

= �� −1

2����

����������(0,�) + ��

����������∗(0,�)�

��

���

(3.18)

Uma consideração diferente poderia ter sido feita para a ausência de proximidade, em que

para além dos condutores de fase serem filiformes se consideraria a bainha muito afastada (�� → ∞ ).

Nesta situação os coeficientes ��,∀��� são nulos e a expressão (3.18) degeneraria simplesmente

em (3.19).

��������

= �� (3.19)

Neste trabalho optou-se pela primeira formulação, pois considera-se que é a que melhor se

adequa ao cabo com bainha condutora.

3.2.1.2 Resultados

Os resultados apresentados são normalizados à constante �� de acordo com (3.20). Desta

forma é retirada a dependência dos resultados com a permitividade elétrica, ε, do material dielétrico.

�� =

1

2�� (3.20)

As curvas a verde representam os coeficientes de potencial (próprio ou mútuo) considerando-

se os condutores de fase filiformes, de acordo com a equação (3.15), ou seja, sem se considerar o

efeito de proximidade. As curvas a vermelho mostram a componente dos coeficientes de potencial

relativa ao efeito de proximidade, de acordo com a equação (3.17). As curvas a azul representam os

coeficientes de potencial exatos, calculados pelo algoritmo.

3.2.1.2.1 Coeficientes de potencial em função de ��

Para a variação de �� considerou-se um intervalo [����� + 0,05; 5] onde o valor mínimo de

�� é dado pela expressão (3.3). Relativamente aos condutores de fase considerou-se �� = 0,5.

A Figura 3.4 apresenta os resultados obtidos para o coeficiente de potencial próprio e a

Figura 3.5 para o coeficiente de potencial mútuo.

Figura 3.4 – Variação do coeficiente de potencial próprio com R0, Rc=0,5

Da figura observa-se que o coeficiente de potencial próprio é ligeiramente inferior devido ao

efeito de proximidade. O efeito de proximidade faz-se sentir mais quando �� é muito próximo de �����,

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

R0

Ss /

S0

com proximidade

sem proximidade

proximidade

isto é, quando a bainha está muito próxima dos condutores de fase, diminuindo até a um valor de ��

próximo de 2, onde atinge um mínimo e aumentando ligeiramente com o aumento de ��.

Assim parece existir uma distância ótima para a qual o efeito de proximidade é menor. A

causa para este fenómeno é o facto de a bainha influenciar a distribuição de carga ao longo da

superfície dos condutores de fase e, quando esta influência contribui para uma distribuição mais

uniforme ao longo da superfície dos condutores de fase, então o efeito de proximidade diminui.

Figura 3.5 - Variação do coeficiente de potencial mútuo com R0, Rc=0,5

O coeficiente de potencial mútuo, é tal como o coeficiente de potencial próprio, ligeiramente

menor devido ao efeito de proximidade, nomeadamente devido à presença da bainha. Observa-se

que à medida que �� aumenta, isto é, à medida que a bainha fica mais afastada dos condutores de

fase o efeito de proximidade torna-se menor. Mesmo quando �� → ∞ o efeito de proximidade é

observável, sendo neste caso causado apenas pela proximidade dos condutores de fase entre si.

3.2.1.2.2 Coeficientes de potencial em função de ��

Os próximos resultados mostram a variação dos coeficientes de potencial em função de ��.

Neste caso, para melhor perceber o efeito de proximidade foram efetuadas duas simulações, que

diferem entre si no raio da bainha. A Figura 3.6 e a Figura 3.7 foram obtidas considerando-se �� =

����� = 1 + sin �

�

��. A Figura 3.8 e a Figura 3.9 foram obtidas considerando-se �� = 5. Nos gráficos

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

R0

Sm

/S

0

com proximidade

sem proximidade

proximidade

apresentados considerou-se �� no intervalo [0,01;����� − 0.05], onde ��

��� = sin ��

�� de acordo com

a expressão (3.2).

Figura 3.6 - Variação do coeficiente de potencial próprio com Rc, R0=1+sin(π/3)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-1

0

1

2

3

4

5

Rc

Ss /

S0

com proximidade

sem proximidade

proximidade

Figura 3.7 - Variação do coeficiente de potencial mútuo com Rc, R0=1+sin(π/3)

Figura 3.8 - Variação do coeficiente de potencial próprio com o Rc, R0=5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Rc

Sm

/S

0

com proximidade

sem proximidade

proximidade

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-1

0

1

2

3

4

5

6

7

Rc

Ss /

S0

com proximidade

sem proximidade

proximidade

Figura 3.9 - Variação do coeficiente de potencial mutuo com Rc, R0=5

Na Figura 3.6 e na Figura 3.7, para �� = ����� = 1 + sin �

�

��, verifica-se a diminuição dos

coeficientes de potencial próprio e mútuo, devido ao aumento (em módulo) da contribuição da

proximidade, causado tanto pelo aumento da proximidade entre os condutores de fase entre si, como

destes com a bainha condutora, sendo que o coeficiente de potencial próprio tem uma variação

menos acentuada.

Na Figura 3.8 e na Figura 3.9, para �� = 5 comparativamente aos dois gráficos anteriores,

observa-se por um lado um lado que o potencial próprio tem um andamento análogo, e por outro que

o coeficiente de potencial mútuo tem uma variação relativamente menor e um andamento não

monotónico. Para explicar este comportamento recorre-se novamente à distribuição da carga à

superfície dos condutores e a influência que a bainha condutora exerce sobre ela. Quando a bainha

está muito próxima (caso de �� = 1 + sin(�/3)) a carga à superfície do condutor encontra-se

concentrada nas zonas do condutor mais próximas da bainha condutora e dos restantes condutores

de fase. Quando a bainha está bastante afastada (caso de �� = 5), a carga encontra-se

essencialmente concentrada nas zonas do condutor mais próximas dos restantes condutores de fase.

Em ambos os casos a carga distribui-se menos uniformemente quanto maior for o raio dos

condutores de fase, o que explica a diminuição coeficiente de potencial próprio. Relativamente à

curva do coeficiente de potencial mútuo (Figura 3.9), que se esperaria à partida ter um

comportamento monotónico mais próximo do apresentado na Figura 3.7, apresenta uma primeira fase

decrescente e uma segunda fase crescente. Este resultado indica que à medida que o raio dos

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Rc

Sm

/S

0

com proximidade

sem proximidade

proximidade

condutores vai aumentando, e consequentemente a sua proximidade à bainha, o efeito de

proximidade dos condutores de fase com a bainha condutora se sobrepõe ao efeito de proximidade

dos condutores entre si, tornando a carga mais uniformemente distribuída na superfície dos

condutores de fase.

3.2.2 Dependência do coeficiente de capacidade modal para os modos

simétrico e homopolar com �� e ��

Os próximos resultados mostram a dependência dos coeficientes de capacidade modal para

os modos trifásico e homopolar com ��.e ��. Na Figura 3.10 mostra-se a variação destes parâmetros

com ��, considerando-se �� = 0,5 e �� compreendido no intervalo [����� + 0,05; 5], onde ��

���é dado

pela equação (3.3). Na Figura 3.12 e na Figura 3.14 ilustra-se a variação dos mesmos parâmetros

com ��, considerando-se �� = 1 + ����� e �� = 5 respetivamente, e para �� compreendido no

intervalo [0,01; ����� − 0,05], onde ��

���é dado por (3.2). Para melhor perceber os resultados, são

também apresentadas a Figura 3.11, a Figura 3.13 e a Figura 3.15, que mostram a evolução dos

coeficientes de capacidade próprio e mútuo para nas mesmas condições da Figura 3.10, da Figura

3.12 e da Figura 3.14 respetivamente.

Os resultados apresentados estão normalizados pela constante �� dada por (3.21), sendo

desta forma independentes da permitividade do meio dielétrico.

�� = 2�� (3.21)

Figura 3.10 – Variação dos coeficientes de capacidade simétrico e homopolar com R0, Rc=0,5

Figura 3.11 – Variação dos coeficientes de capacidade próprio e mútuo com R0, Rc=0,5

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

R0

C /

C0

C

Ch

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

R0

C /

C0

Cs

Cm

Figura 3.12 – Variação dos coeficientes de capacidade simétrico e homopolar com Rc, R0=1+sin(π/3)

Figura 3.13 – Variação dos coeficientes de capacidade próprio e mútuo com Rc, R0=1+sin(π/3)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90

1

2

3

4

5

6

7

Rc

C /

C0

C

Ch

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

Rc

C /

C0

Cs

Cm

Figura 3.14 – Variação dos coeficientes de capacidade simétrico e homopolar com Rc, R0=5

Figura 3.15 - Variação dos coeficientes de capacidade próprio e mútuo com Rc, R0=5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Rc

C /

C0

C

Ch

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Rc

C /

C0

Cs

Cm

A interpretação dos resultados anteriores deve centrar-se na interpretação dos coeficientes

de capacidade próprio e mútuo, uma vez que estes são os que têm um significado físico mais

imediato e por outro lado é a partir desses que se obtém os coeficientes de capacidade modal,

através das equações (2.56).

Para os resultados que mostram a variação dos coeficientes de capacidade com ��,

apresentados na Figura 3.10 e na Figura 3.11, percebe-se que existe uma diminuição acentuada dos

coeficientes de capacidade modais com o aumento de �� (diminuição de proximidade), explicado pela

diminuição de ��, o que mostra a forte dependência deste último com a proximidade da bainha. Neste

caso, o afastamento da bainha condutora faz com que a carga no interior do condutor de fase se

distribua menos uniformemente ao longo da superfície do mesmo, tornando-se mais concentrada em

zonas mais próximas dos restantes condutores de fase. Devido à maior concentração de carga o

potencial à superfície do condutor é mais elevado e daí se percebe que o coeficiente de capacidade

próprio diminua. Da Figura 3.11 é também percetível que o coeficiente de capacidade mútuo é pouco

dependente da proximidade da bainha.

Os resultados que mostram a variação dos coeficientes de capacidade com ��, da Figura

3.12 até à Figura 3.15, dão a entender mais uma vez, que a proximidade da bainha condutora altera

significativamente os resultados. Nestes resultados, comparando a Figura 3.13 com a Figura 3.15,

pode observar-se uma diferença significativa de ��, que cresce mais rapidamente para o caso em que

a bainha está mais próxima, enquanto que o coeficiente de capacidade mútuo tem uma evolução

semelhante para ambos os casos (bainha mais afastada e mais próxima). O resultado anterior que

mostra uma fraca dependência de �� com a proximidade da bainha é aqui confirmado. Por outro

lado, confirma-se que a proximidade dos condutores de fase uns com os outros (aumento de ��) tem

uma forte influência em ambos os coeficientes, �� e ��.

3.2.3 Densidade de carga na superfície dos condutores

Nesta secção são apresentadas curvas que mostram a distribuição da carga ao longo da

superfície do condutor de fase A e da bainha, nos instantes � = 0 e � = �/4. Os ângulos � e �′ são

definidos de acordo com a Figura 3.16.

Os gráficos foram obtidos para uma distribuição simétrica de cargas de acordo com (3.22).

�

��� = �

��� = �������°

��� = ������° (3.22)

o

2O0r

cr

1O

3O

cr

cr '

Figura 3.16 – Representação do cabo trifásico simétrico e dos ângulos ϕ e ϕ’

3.2.3.1 Densidade de carga na superfície dum condutor de fase

A densidade de carga ao longo da superfície de um condutor de fase é dada pela equação

(3.23), que pode ser obtida a partir de (2.24).

�� = − ���(�)

�������

= −�

��

��(�)

���

���

=���

(�)

���1 + � |�|

��(�)

��(�)

�����

�������

� (3.23)

Os resultados apresentados foram obtidos através da expressão (3.23), mas normalizados a

��(�), considerando-se ���

(�)�= 1, tornando o resultado adimensional.

��(�) =

���(�)

��=�

�����

(���)�� (3.24)

Os gráficos apresentados da Figura 3.17 até à Figura 3.22 mostram a densidade de carga ao

longo da superfície do condutor de fase 1, tendo sido obtidos para um sistema de cargas trifásico

simétrico, para cinco valores de �� distintos, desde �� = 0,01 que é uma aproximação ao condutor

filiforme até �� = ����� − 0,05, um valor próximo do máximo. A Figura 3.17, a Figura 3.18 e a Figura

3.19 foram obtidas para o instante � = 0. A Figura 3.20, a Figura 3.21 e a Figura 3.22 foram obtidas

para o instante � = �/49.

9 - Consultar anexo E, para expressões de obtenção da parte real duma amplitude complexa para os instantes � = 0 e � = �/4.

Figura 3.17 – Densidade de carga ao longo do condutor de fase 1, para o instante t=0, R0=1+Rcmax

Figura 3.18 – Densidade de carga ao longo do condutor de fase 1, para o instante t=0, R0=3

0 50 100 150 200 250 300 3500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

1 /

0(1

)

Rc=0.0100

Rc=0.2115

Rc=0.4130

Rc=0.6145

Rc=0.8160

0 50 100 150 200 250 300 3500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

1 /

0(1

)

Rc=0.0100

Rc=0.2115

Rc=0.4130

Rc=0.6145

Rc=0.8160

Figura 3.19 – Densidade de carga ao longo do condutor de fase 1, para o instante t=0, R0=5

Pode-se observar nos gráficos anteriores que a proximidade, seja relativa aos condutores de

fase ou entre estes e a bainha condutora, faz com que a carga se vá tornando menos uniformemente

distribuída ao longo da superfície do condutor.

O caso em que o condutor de fase é muito estreito, �� = 0,01, é uma situação próxima do

condutor filiforme e portanto, a densidade de carga está uniformemente distribuída ao longo de �,

com valor unitário. Comparando este resultado com a equação (3.23), percebe-se que os coeficientes

de ordem � ≠ 0 são nulos. Fazendo a integração ao longo de � e multiplicando pela constante de

normalização e pelo raio do condutor, equação (3.25), obtém-se a carga por unidade de

comprimento.

��(�)�� � 1

��

�

�� = 2����(�) = �� (3.25)

As curvas para os restantes valores de �� mostram distribuições mais irregulares da carga

variando ao longo de � em torno do valor médio ��/��(�) = 1, com máximos em � = 150° e � = 210°,

que correspondem aos pontos mais próximos dos outros condutores de fase (os picos das curvas são

positivos uma vez que no instante � = 0 tem-se �� = � > 0 e �� = �� = − �/2). Quanto maior for ��,

isto é, quanto maior for a proximidade entre condutores de fase, menos uniforme se torna a

distribuição da carga na superfície do condutor.

0 50 100 150 200 250 300 3500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

1 /

0(1

)

Rc=0.0100

Rc=0.2115

Rc=0.4130

Rc=0.6145

Rc=0.8160

No caso em que �� = 1 + ����� (Figura 3.17), em que bainha condutora está muito próxima

dos condutores de fase, a carga distribui-se mais uniformemente que nos dois restantes casos (tem

desvios menores em relação ao valor médio), sendo observável um terceiro máximo para � = 0,

correspondente ao ponto do condutor de fase A, mais próximo da bainha. Este resultado mostra que

a proximidade da bainha, anula em parte o efeito da proximidade dos condutores de fase entre si.

Figura 3.20 – Densidade de carga ao longo do condutor de fase 1, para o instante t=T/4, R0=1+Rcmax

0 50 100 150 200 250 300 350-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

1 /

0(1

)

Rc=0.0100

Rc=0.2115

Rc=0.4130

Rc=0.6145

Rc=0.8160

Figura 3.21 – Densidade de carga ao longo do condutor de fase 1, para o instante t=T/4, R0=3

Figura 3.22 – Densidade de carga ao longo do condutor de fase 1, para o instante t=T/4, R0=5

0 50 100 150 200 250 300 350-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

1 /

0(1

)

Rc=0.0100

Rc=0.2115

Rc=0.4130

Rc=0.6145

Rc=0.8160

0 50 100 150 200 250 300 350-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

1 /

0(1

)

Rc=0.0100

Rc=0.2115

Rc=0.4130

Rc=0.6145

Rc=0.8160

Relativamente aos resultados para o instante � = �/4, observa-se como esperado que o valor

médio das curvas é zero, uma vez que para o instante em questão a carga total no interior do

condutor é nula. Tal como nos resultados para o instante � = 0, as curvas apresentam picos para � =

150° e � = 210°, correspondentes aos pontos mais próximos dos outros condutores de fases (o

primeiro pico é negativo e o segundo é positivo porque para o instante � = �/4 tem-se �� = 0, �� =

�√3/2 > 0 e �� = − �√3/2).

No que se refere à influência da bainha, é também bastante percetível que quando esta está

mais próxima, a carga distribui-se mais uniformemente dentro com condutor de fase, reforçando a

ideia de que o efeito de proximidade devido à presença dos outros condutores de fase é em parte

anulado, devido à proximidade da bainha.

3.2.3.2 Densidade de carga à superfície da bainha

A densidade de carga ao longo da superfície da bainha é dada pela equação (3.26), análoga

à equação (3.23), sendo obtida a partir de (2.35).

�� = ���(�)

��′�����

= �

��

��(�)

��′�

����

=�

��

��(�)

��′�

����

=�

���− ���

(�)

�

���

+ � |�|�������

�

�������

� (3.26)

Da equação anterior destaca-se a inversão do sinal relativamente a equação (3.23). Essa

diferença deve-se ao sentido da normal à superfície do condutor, que no caso do condutor de fase é

uma normal exterior, mas no caso da bainha condutora é uma normal interior.

Para que os resultados apresentados, tal como os resultados respeitantes à densidade de

carga à superfície do condutor de fase, sejam adimensionais optou-se por normalizá-los a ��(�)

, que é

dado por (3.27), considerando que ���(�)�= 1.

��(�)

=����

(�)�

��=�

�� (3.27)

Os resultados seguintes mostram a densidade de carga ao longo da superfície da bainha

condutora, tendo sido obtidos para um sistema de cargas trifásico simétrico, para �� = 0,5, e �� a

variar no intervalo [����� + 0,05; 5], onde ��

��� é dado pela expressão (3.3). As figuras seguintes

mostram os resultados obtidos para o instante � = 0, no caso da Figura 3.23, e para o instante � =

�/4 no caso da Figura 3.24, considerando-se um sistema de cargas simétrico trifásico aplicado aos

condutores de fase.

Figura 3.23 – Densidade de carga ao longo da superfície da bainha, no instante t=0

Figura 3.24 – Densidade de carga ao longo da superfície da bainha, no instante t=T/4

0 50 100 150 200 250 300 350-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 /

0(0

)

R0=1.5500

R0=2.0000

R0=3.0000

R0=5.0000

0 50 100 150 200 250 300 350

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 /

0(0

)

R0=1.5500

R0=2.0000

R0=3.0000

R0=5.0000

Uma vez que as curvas foram obtidas para o modo trifásico, em que o somatório das cargas

contidas nos condutores é zero, a carga total à superfície da bainha também é zero e, portanto, todas

as curvas apresentadas nas duas imagens atrás têm valor médio nulo.

É facilmente observável que quanto menor for ��, isto é, quanto maior for a proximidade da

bainha aos condutores de fase, menos uniforme é a distribuição da carga ao longo da superfície da

bainha. As curvas apresentam picos bem definidos coincidentes com os pontos da bainha mais

próximos dos condutores de fase. Para o instante � = 0, existe um pico negativo de maior amplitude

para �’= 0° e dois picos positivos de amplitude relativamente menor para �’= 120° e �’= 240°, uma

vez que nesse instante tem-se �� = � > 0, �� = − �/2 e �� = − �/2. Para o instante � = �/4, existem

apenas dois picos de igual amplitude, um negativo para �’= 120° e outro positivo para �’= 240°,

uma vez que nesse instante tem-se �� = 0, �� = �√3/2 e �� = − �√3/2.

4 Conclusões

Esta dissertação tem como objetivo estudar o efeito de proximidade nos cabos trifásicos de

geometria simétrica, e a sua influência no cálculo dos coeficientes de capacidade. Para tal

desenvolveu-se um programa de computador baseado numa metodologia analítica que permite

calcular o potencial elétrico, para um cabo multi-condutor de geometria variável.

A metodologia desenvolvida foi validada através da comparação de resultados obtidos por

esta, com resultados obtidos por outros softwares. Posteriormente obtiveram-se resultados para o

estudo do efeito de proximidade em cabos trifásicos de geometria simétrica.

Para melhor se avaliar o efeito de proximidade no cabo trifásico, optou-se por obter, em

adição aos gráficos da dependência dos coeficientes de capacidade com os parâmetros geométricos

do cabo (raio dos condutores de fase e da bainha condutora), gráficos da dependência dos

coeficientes de potencial com os parâmetros referidos, e gráficos da distribuição da carga ao longo da

superfície dos condutores.

A partir dos resultados obtidos para os coeficientes de potencial, percebeu-se que as duas

causas do efeito de proximidade, a proximidade dos condutores de fase entre si, e dos condutores de

fase com bainha, não podem ser dissociadas uma da outra, e que a presença da bainha aumenta o

grau de complexidade no que concerne à análise do efeito de proximidade, tornando mais difícil a

interpretação dos resultados.

Os resultados que mostram a distribuição da carga ao longo dos condutores ajudaram a

perceber a influência da proximidade da bainha condutora com os condutores de fase. Pôde

observar-se que para uma determinada configuração geométrica no que se refere aos condutores de

fase, a aproximação da bainha torna a distribuição da carga ao longo da superfície dos condutores de

fase mais uniforme, isto é, mais próxima duma situação em que não exista proximidade.

A partir das curvas da dependência dos coeficientes de capacidade com os parâmetros do

cabo conclui-se que o coeficiente de capacidade modal tanto para o modo simétrico como para o

modo homopolar sofre aumentos significativos devido à proximidade dos condutores de fase entre si,

e destes com a bainha.

Considerando o exemplo prático dum cabo de baixa tensão 3x25 LSXAV, com condutores de

secção de 25mm2, diâmetro exterior de 23.4mm e espessura de isolamento de 0.9mm, os parâmetros

normalizados correspondentes são Rc=0.5969 e R0=2.2851. Através das curvas obtidas tanto para os

coeficientes de capacidade como para os coeficientes de potencial, percebe-se que neste caso, o

efeito de proximidade é significativo o que torna importante a sua consideração no cálculo dos

parâmetros do cabo.

A metodologia desenvolvida permite a resolução de problemas de campo elétrico para cabos

multi-condutores, constituídos por � condutores de fase e bainha condutora, separados por um meio

dielétrico. Sugere-se para trabalhos futuros o uso desta metodologia para a análise do campo elétrico

e dos parâmetros transversais no caso de cabos monopolares no interior dum pipe. Sugere-se

também, o desenvolvimento da metodologia aqui usada, para uso em problemas de cabos com mais

de uma camada de dielétrico.

5 Referências bibliográficas

[1] V. Maló Machado, “Resolução da Equação de Laplace em Problemas 2D e em Coordenadas

Cilíndricas”, publicação do autor, IST, Abril 2014.

[2] V. Maló Machado, “Problemas do Campo Elétrico: Condutores em Feixe e Cabos Trifásicos com

Bainha”, publicação do autor, IST, Julho 2014.

[3] J. F. Borges da Silva, “The Electrostatic Field Problem of Stranded and Bundle Conductors Solved

by the Multipole Method”, Electricidade, vol. 142, 1979.

[4] J.A.B. Faria, V.M. Machado, D.V. Dommelen, “Comparison of zeroth-order and harmonic

expansion calculation of the electrostatic parameters of three-conductor bundles”, Electric Power

Systems Research, vol. 81 pp. 488–494, 2011.

[5] J.A.B. Faria, M.V.G. Neves, “Accurate evaluation of indoor triplex cable capacitances taking

conductor proximity effects into account”, IEEE Transactions on Power Delivery vol. 21 pp. 1238–

1244, 2006.

[6] João Pêres, M. Guerreiro das Neves, M.E. Almeida, V. Maló Machado, “Accurate numerical

method to evaluate the capacitances of multi-conductor power cables”, Electric Power Systems

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[7] H. A. Illias, A. H. Abu Bakar, H. Mokhlis, S. A. Halim, “Calculation of inductance and capacitance

in power system transmission lines using finite element analysis method”, Przglad

Elektrotechniczny (Electrical Review), ISSN 0033-2097, R. 88 NR 10a/2012.

[8] A. A. Hafner, M. V. Ferreira da Luz, W. P. Carpes Jr.. “Impedance and Admittance Calculations of

a ThreeCore Power Cable by the Finite Element Method”, Artigo submetido em International

Conference on Power Systems Transients (IPST2015), Junho 2015.

[9] N. Raicevic, S. Aleksic, A. Ilic, Hybrid boundary element method for multi-layer electrostatic and

magnetostatic problems, Electromagnetics vol. 30, pp. 507–524, 2010.

[10] V. Maló Machado, “Penetração do campo eletromagnético em sistemas de condutores cilíndricos

circulares”, Dissertação de Doutoramento, IST, 1987.

[11] J. A. Brandão Faria, “Electromagnetic Foundations of Electrical Engineering”, WILEY, 2008.

[12] R.C.Wrede, M. Spiegel, “Chapter 13 – Fourier Series” em Schaum's Outlines of Advanced

Calculus (2nd Edition), McGraw Hill Professional, 2002.

[13] MATLAB - The Language of Technical Computing [Online]. Available:

https://www.mathworks.com/products/matlab.html. [Acedido em 20 Março 2017].

[14] Microsoft Visio 2010 – Communicate Visually with Visio 2010 [Online]. Available:

https://products.office.com/en-us/microsoft-visio-2010 [Acedido em 1 de Abril de 2017]

Anexos

6 Anexo A – Relação entre os coeficientes complexos da série de

Fourier

A serie de Fourier com valores complexos é dada por:

�� (�) = � ��������

��

����

,� ≥ 1 (6.1)

Para que �� (�) seja uma função real, verifica-se (6.2):

�� = ���∗ (6.2)

7 Anexo B – Resolução da equação de Laplace por separação de

variáveis

7.1 Obtenção das soluções gerais (2.6) e (2.7)

Tendo em conta a função potencial escalar � que é independente de �:

�(�,�,�) = �(�,�) (7.1)

A equação (2.4) pode ser reescrita, através da fórmula do Laplaciano para coordenadas

cilíndricas, na equação (7.2) que é uma equação diferencial às derivadas parciais:

���� =

1

�

�

������

���+

1

�����

���= 0 (7.2)

Pelo que, aplicando o método de separação de variáveis a função potencial pode ser

reescrita na forma de (7.3).

�(�,�) = �(�)Φ(�) (7.3)

Substituindo (7.3) em (7.2) desta última obtém-se a expressão (7.4). Uma vez que é possível

obter uma igualdade onde um dos lados não depende de � e o outro não depende de � então (7.6) é

verdadeira, para �∈ ℤ.

�

�(�)���

��+ �

���

���� = −

1

Φ(�)

��Φ

��� (7.4)

��

��=��

��= ��(�)

���

���=���

���= ���(�)

��Φ

���=��Φ

���= ��(�)

(7.5)

�����(�)

�(�)+ �

��(�)

�(�)= −

��(�)

Φ(�)= �� (7.6)

Tendo em conta a expressão (7.6) as soluções possíveis para �(�) e Φ(�) são:

Φ(�) = �±���

�(�) = �±� (7.7)

Para o caso específico de � nulo é necessário encontrar uma solução adequada à

especificidade do problema. Neste caso a solução é dada pela equação (7.8), cuja forma serve para

descrever uma equipotencial circular.

�(�) = ln�

1

��,� = 0 (7.8)

As soluções para a função potencial são formadas por combinações lineares das funções em

(7.7) e (7.8), que têm formas diferentes para um condutor cilíndrico e para uma bainha condutora.

A solução (2.6) com singularidades em � = 0 representa uma solução para um condutor

cilíndrico, enquanto que a solução (2.7) com singularidades em � = ∞ representa uma solução para a

bainha condutora. Os coeficientes ��, ��, �� e �� são determinados pela aplicação das condições de

fronteira do problema.

7.2 Obtenção da solução para o condutor � centrada no eixo do

condutor �

A equação (2.6) pode ser convertida para uma equação complexa (7.10), considerando-se

(7.9).

�� = ����

� = ��{�� (��)} (7.9)

�� (��) = �� ln

1

��+ ������

��

�

���

(7.10)

Aplicando um desenvolvimento em série de Taylor para centrar a solução no eixo do condutor

� obtém-se (7.11):

�� (���� + ��) = �� (����) + �

1

�!�����

������������

����

���

= ��(�)ln

1

����+ ����

(�)����

��

�

���

+ �(−1)�

������ ���

(�)+ ����

(�)�(�,�)������

�

���

�����

���

(7.11)

Aplicando-se as normalizações (2.9) em (7.11) obtém-se (7.12), onde os índices inferior e

superior de �� significam respetivamente o condutor ao qual a solução se aplica, e o condutor em cujo

eixo a solução está centrada.

���

(�)= ��

(�) ln1

������

+ ����(�)�

������

���

�

���

+

+ �(−1)�

��������

���

���(�) + ����

(�)�(�,�)�������

����

���

��������

���

(7.12)

A expressão (7.12) pode ser simplificada para (7.13), através do uso da equação (2.10).

���

(�)= ��

(�) ln1

������

+ ����(�)���(0,�)

�

���

+

+ ���

����

(�)���(�,0) + ����(�)���(�,�)

�

���

������

���

(7.13)

A solução dada pela equação (2.8) resulta de (7.14):

��(�)

= ������(�)� (7.14)

Para se obter a expressão (2.11) pode começar-se, por conveniência em reescrever (7.10) da

seguinte forma:

��(��) = ��(��) + ���(��)

�

���

(7.15)

E derivando o termo ��� � vezes obtém-se (7.16) que é incluído na expressão (7.11) como é

possível observar.

1

�!

�����(��)

����=(− 1)�

����(� + � − 1)!

(� − 1)!(� − 1)!�����

�� = ����(�,�)���� (7.16)

7.3 Obtenção da solução para a bainha centrada no eixo do condutor �

A equação (2.7) pode ser convertida para uma equação complexa (7.17), considerando-se

(7.9).

�� (��) = �� + �����

�

�

���

(7.17)

Aplicando um desenvolvimento em série de Taylor para centrar a solução no eixo do condutor

� obtém-se (7.18):

�� (��� + ��) = �� (���) + �

1

�!�����

�����������

����

���

= �� + �������

�

���

+ �1

������ � ���(�,�)���

�

�

��|�|

�����

���

(7.18)

Aplicando-se as normalizações (2.13) em (7.18) obtém-se (7.19), onde o índice 0 de ��

significa que a solução se aplica à bainha, e o índice superior indica o condutor em cujo eixo a

solução está centrada.

���

(�)= �� + ���

�

���

��������

+ �1

����������

� ���(�,�) ��������

�������

��|�|

�

���

(7.19)

A expressão (7.19) pode ser simplificada para (7.20), através do uso da equação (2.14).

���(�)

= �� + �����(0,�)

�

���

+ ���

�� � ����(�,�)

�

��|�|

������

���

(7.20)

A solução dada pela equação (2.12) resulta da extração da parte real de (7.20) de acordo

com (7.21):

��(�)

= ��{����} (7.21)

A equação (2.15) resulta da derivação em (7.18):

1

�!

���� (��)

����=

1

�����!

(� − 1)!(� − �)!����

� = 1

�������(�,�)��

� (7.22)

7.4 Obtenção da solução para o condutor � centrada no eixo da bainha

Considerando-se agora um novo referencial de coordenadas (�′,�’) centrado no eixo da

bainha, �, estabelece-se a relação (7.23) que pode ser reescrita da forma (7.24).

�̅ = ��� + �� (7.23)

�� = �̅ + (−���)⇔ �� = �̅�1 +

(−���)

�̅� (7.24)

É possível estabelecer-se a relação (7.25).

ln�

1

��� = ln�

1

�̅�− ln�1 +

(−���)

�̅� (7.25)

Tendo em conta a expansão de Taylor do logaritmo (7.26):

ln�1 +

(−���)

�̅� =

(−���)

�̅− (−���)

�

2�̅�+ (−���)

�

3�̅�− ⋯ = − �

����

��̅�

�

���

(7.26)

E derivando a igualdade anterior � vezes em ordem a ��� obtém-se (7.27) que pode ser

reescrita na forma (7.28):

(� − 1)!

�̅��1 +

(−���)

�̅�

��

= ��!

(� − �)!

������

��̅�

�

���

(7.27)

�1 +

(−���)

�̅�

��

= �̅� �������

��̅�

�

���

�!

(� − 1)!(� − �)!= �̅� �

������

��̅�

�

���

�(�,�) (7.28)

A solução, com a forma de (2.6), é dada por (7.29).

��(��) = ��

(�) ln1

��+ ����

(�)����

�

���

= ��(�) ln

1

�− ��

(�) ln�1 +(−���)

�̅� + ����

(�)�̅�� �1 +

(−���)

�̅�

���

���

= ��(�) ln

1

�+ ��

(�) �����

��̅�

�

���

+ ����(�)

�

���

�������

��̅�

�

���

�(�,�)

(7.29)

Normalizando os coeficientes �� de acordo com (2.9) e a coordenada �’ de acordo com (2.17),

obtém-se (7.30), que pode ser reescrita em (7.31), considerando-se (2.15).

���

(�) = ��(�) ln�

�� ��⁄

������� + ��

(�) �1

������������������

���

+ ����(�) �

���������

���

�1

������������������

���

�(�,�)

(7.30)

���(�) = ��

(�) ln��� ��⁄

������� + �

1

�������

(�)�(0,�) + ����(�)�(�,�)

�

���

��������

���

(7.31)

A solução dada pela equação (2.16) resulta de (7.32):

��(�)

= ������(�)� (7.32)

8 Anexo C – Exemplo de Matriz [�], vetor (�) e vetor (�) para cabo

trifásico simétrico

Exemplo ilustrativo de matriz [�] para cálculo dos coeficientes ��(�) e �� para um cabo

trifásico simétrico. Considera-se �� = 2,∀���,�,� e �� = 3. Os vetores (�) e (�) são dados por (8.1).

A matriz [�] fica de acordo com a expressão (3.27).

(�) =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡��

(�)

���(�)

��(�)

���(�)

��(�)

���(�)

�����

��(�)

���(�)

��(�)

���(�)

��(�)

���(�)

����������⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

(�) = −

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡��

(�)

���(�)

��(�)

���(�)

��(�)

���(�)

���

����

��(�)

��(�)

��(�)

��(�)

��(�)

��(�)

���

����

���

���� ⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

(8.1)

57

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡

1 0 0 ���(1,1) 0 ���(1,1) ��(1,1) 0 0 0 0 ���(1,2) 0 ���(1,2) ��(1,2) 0 ��(1,3) 0

0 1 ���∗ (1,1) 0 ���

∗ (1,1) 0 0 ��∗(1,1) 0 0 ���

∗ (1,2) 0 ���∗ (1,2) 0 0 ��

∗(1,2) 0 ��∗(1,3)

0 ���(1,1) 1 0 0 ���(1,1) ��(1,1) 0 0 ���(1,2) 0 0 0 ���(1,2) ��(1,2) 0 ��(1,3) 0

���∗ (1,1) 0 0 1 ���

∗ (1,1) 0 0 ��∗(1,1) ���

∗ (1,2) 0 0 0 ���∗ (1,2) 0 0 ��

∗(1,2) 0 ��∗(1,3)

0 ���(1,1) 0 ���(1,1) 1 0 ��(1,1) 0 0 ���(1,2) 0 ���(1,2) 0 ���(1,1) ��(1,2) 0 ��(1,3) 0

���∗ (1,1) 0 ���

∗ (1,1) 0 0 1 0 ��∗(1,1) ���

∗ (1,2) 0 ���∗ (1,2) 0 0 0 0 ��

∗(1,2) 0 ��∗(1,3)

��∗(1,1) 0 ��

∗(1,1) 0 ��∗(1,1) 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 ��(1,1) 0 ��(1,1) 0 ��(1,1) 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 ���(2,1) 0 ���(2,1) ��(2,1) 0 2 0 0 ���(2,2) 0 ���(2,2) ��(2,2) 0 ��(2,3) 0

0 0 ���∗ (2,1) 0 ���

∗ (2,1) 0 0 ��∗(2,1) 0 2 ���

∗ (2,2) 0 ���∗ (2,2) 0 0 ��

∗(2,2) 0 ��∗(2,3)

0 ���(2,1) 0 0 0 ���(2,1) ��(2,1) 0 0 ���(2,2) 2 0 0 ���(2,2) ��(2,2) 0 ��(2,3) 0

���∗ (2,1) 0 0 0 ���

∗ (2,1) 0 0 ��∗(2,1) ���

∗ (2,2) 0 0 2 ���∗ (2,2) 0 0 ��

∗(2,2) 0 ��∗(2,3)

0 ���(2,1) 0 ���(2,1) 0 0 ��(2,1) 0 0 ���(2,2) 0 ���(2,2) 2 0 ��(2,2) 0 ��(2,3) 0

���∗ (2,1) 0 ���

∗ (2,1) 0 0 0 0 ��∗(2,1) ���

∗ (2,2) 0 ���∗ (2,2) 0 0 2 0 ��

∗(2,2) 0 ��∗(2,3)

��∗(1,2) 0 ��

∗(1,2) 0 ��∗(1,2) 0 0 0 ��

∗(2,2) 0 ��∗(2,2) 0 ��

∗(2,2) 0 2 0 0 0

0 ��(1,2) 0 ��(1,2) 0 ��(1,2) 0 0 0 ��(2,2) 0 ��(2,2) 0 ��(2,2) 0 2 0 0

��∗(1,3) 0 ��

∗(1,3) 0 ��∗(1,3) 0 0 0 ��

∗(2,3) 0 ��∗(2,3) 0 ��

∗(2,3) 0 0 0 3 0

0 ��(1,3) 0 ��(1,3) 0 ��(1,3) 0 0 0 ��(2,3) 0 ��(2,3) 0 ��(2,3) 0 0 0 3 ⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

(8.2)

9 Anexo D – Função potencial obtida pelo método das imagens

9.1 Potencial elétrico num ponto �

Considerando-se um condutor cilíndrico a uma distância conhecida da referência (terra), e

cuja carga se representa como uma carga filiforme p.u.c. + � é possível determinar analiticamente o

potencial elétrico num determinado ponto �, através do método das imagens.

q

q

h

h

Figura 9.1 – Representação duma carga filiforme +q e da respetiva carga imagem fictícia –q

Através do método das imagens, obtém-se o potencial elétrico num ponto �� com referência

no plano de simetria, como a soma das contribuições da carga real e da carga imagem fictícia (9.1).

��� = ���

��+ ���

��=

�

2���ln

ℎ

��− ln

ℎ

��� =

�

2��ln�

������� =

�

2��ln(��),�� =

������

(9.1)

9.2 Diferença de potencial entre dois pontos genéricos

Para calcular a diferença de potencial entre dois pontos genéricos �� e �� na presença da

mesma carga filiforme �, então fazendo uso da equação (9.1) facilmente se obtém (9.2).

���,�� = ��� − ��� =

�

2��(ln�� − ln��) =

�

2��ln�

�����,�� =

������

,�� =������

(9.2)

10 Anexo E – Obtenção da parte real de uma amplitude complexa

para os instantes � = � e � = �/�

Considerando-se uma amplitude complexa genérica �� dado pela expressão (10.1) as partes

real e imaginária são dadas por (10.2), onde � = 2�/�.

�� = � + �� = |��|���

|��|= ��� + ��

Φ = arctan�

�

(10.1)

��(�) = ��{������}= |��|cos(�� + Φ)

��(�) = ��{������}= |�|sin(�� + Φ) (10.2)

A parte real nos instantes � = 0 e � = �/4 é dada por (10.3) e (10.4) respetivamente.

��(� = 0) = |��|cos(Φ) = ��{��} (10.3)

��(� = �/4) = |��|cos ��

2+ Φ� = −|��|sin(Φ) = −��(� = 0) = − ��{��} (10.4)