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Influência do Efeito de Proximidade no Cálculo dos
Coeficientes de Capacidade da Linha Geminada
Diogo André Batista Carranço
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Eletrotécnica e de Computadores
Orientadores: Prof. Doutor Vítor Manuel de Oliveira Maló Machado
Prof.ª Doutora Maria Eduarda de Sampaio Pinto de Almeida Pedro
Júri
Presidente: Prof. Doutor Carlos Filipe Gomes Bispo
Orientador: Prof.ª Doutora Maria Eduarda de Sampaio Pinto de Almeida Pedro
Vogal: Prof.ª Doutora Célia Maria Santos Cardoso de Jesus
Outubo 2014
ii
iii
Agradecimentos
Primeiramente gostava de agradecer ao Prof. Vítor Maló Machado, orientador, e à Prof.ª
Maria Eduarda Pedro, coorientadora, por todo o apoio, dedicação, material e tempo
disponibilizado ao longo da elaboração do trabalho.
Obrigado aos meus pais e irmã, Marcolino Carranço, Luísa Carranço e Cláudia Carranço, não
só durante a elaboração do trabalho, mas também durante todo o curso, pelo apoio
incondicional.
Obrigado aos meus colegas, Pedro Oliveira, Fábio Silva, André Baleiras, Fábio Lucas e
Diogo Miranda, pela lealdade, companheirismo e partilha de conhecimento. Em conjunto
partilhámos a força necessária para ultrapassar as dificuldades.
Agradeço aos meus amigos, Fábio Grazina, Bráulio Vieira e Andreia Gameiro, pelo apoio
demonstrado durante esta jornada.
Quero agradecer à Rita Ferreira por toda a compreensão demonstrada.
Um muito obrigado a todos!
iv
v
Resumo
Este trabalho tem como objetivo, estudar a influência do efeito de proximidade no cálculo dos
coeficientes de capacidade de uma linha aérea geminada, e a distribuição do campo elétrico na
sua superfície. Foi utilizado o método do multipolo expandido em série de Fourier para
construir a solução do potencial elétrico. No âmbito deste trabalho elaborou-se um programa
informático com recurso à ferramenta da “The MathWorks, Inc”, o MATLAB®, onde se
implementou o algoritmo desenvolvido com o fim de se calcular a capacidade da linha aérea e
o campo elétrico na superfície de um condutor. Os resultados obtidos foram comparados com
as referências [2] e [3], verificando-se que o desvio nos resultados é inferior a 1%. De
seguida, foi levado a cabo um estudo de como o efeito de proximidade afeta a capacidade da
linha aérea e o campo elétrico na superfície de um sub-condutor do feixe de condutores da
linha. Foram estudadas três configurações para o feixe de condutores configurados em esteira,
triângulo e quadra. Os resultados mostraram que o efeito de proximidade afeta, fortemente, a
amplitude do campo elétrico e a sua distribuição na superfície dos condutores. A capacidade
do sistema sofre alterações pouco significativas, mesmo com um grande aumento da
intensidade do efeito de proximidade.
Palavras-chave – Método do multipolo, Solução do potencial, Efeito de proximidade, Matriz
de capacidade, Campo elétrico.
vi
vii
Abstract
The main goals of the presented work are the study of the influence of the proximity effect on
the capacitance coefficients of a geminated overhead line and on the magnitude of the electric
field at the conductors’ surfaces. The expanded multipole method in Fourier series was used
to build the electric potential solution. Within this work, a computer program was developed
using the tool MATLAB® from MathWorks. The results obtained were compared with the
ones presented in references [2] and [3], being the difference less than 1%. Three geometries
for the conductor bundle were analyzed: flat, triangular and square. The results show that the
proximity effect strongly affects the maximum electric field value at the conductors’ surfaces
but weakly affects the capacitance coefficients.
Key-words – Multipole method, Solution of the potential, Proximity effect, Capacitance
matrix, Electric field.
viii
ix
Índice
Agradecimentos ......................................................................................................................... iii
Resumo ....................................................................................................................................... v
Abstract .................................................................................................................................... vii
Lista de Figuras ......................................................................................................................... xi
Lista de Tabelas ....................................................................................................................... xiii
Lista de variáveis ..................................................................................................................... xiv
Capítulo 1 ................................................................................................................................... 1
Introdução e objetivos ............................................................................................................ 3
Estrutura do trabalho .............................................................................................................. 4
Capítulo 2 ................................................................................................................................... 7
Pressupostos............................................................................................................................ 9
2 – Conceitos teóricos............................................................................................................. 9
2.1 – Equações fundamentais ................................................................................................. 9
2.2 – Coeficientes de Capacidade ......................................................................................... 11
2.2.1 – Cálculo dos coeficientes de potencial sem o efeito de proximidade ........................ 12
2.3 – Solução para o potencial .............................................................................................. 14
2.3.1 – Condições de fronteira .............................................................................................. 19
2.3.2 – Coeficientes de potencial .......................................................................................... 19
2.3.3 – Capacidade equivalente do feixe e efeito de proximidade ....................................... 21
2.3.4 – Campo elétrico na superfície do condutor ................................................................ 24
Capítulo 3 ................................................................................................................................. 27
3 – Validação do Método ...................................................................................................... 29
Introdução ............................................................................................................................. 29
3.1 – Configurações em estudo ............................................................................................. 29
3.1.1 – Configuração em esteira ........................................................................................... 31
x
3.1.2 – Configuração em triângulo ....................................................................................... 36
Capítulo 4 ................................................................................................................................. 41
4 – Análise de Resultados ..................................................................................................... 43
4.1 – Configuração em esteira .............................................................................................. 43
4.2 – Configuração em triângulo .......................................................................................... 45
4.3 – Configuração em quadra .............................................................................................. 47
Considerações ....................................................................................................................... 51
Capítulo 5 ................................................................................................................................. 53
Conclusões ............................................................................................................................ 55
Bibliografia ........................................................................................................................... 58
xi
Lista de Figuras
Figura 2.1 – Representação de dois condutores de comprimento l, dispostos paralelamente e à
distância d um do outro e localizados à altura média h do solo. ................................................ 9
Figura 2.2 – Elementos geométricos envolvidos na aplicação do teorema de Gauss. ............. 11
Figura 2.3 – (a) Método das imagens para uma carga filiforme. (b) Método das imagens para
um sistema de dois condutores. ................................................................................................ 13
Figura 2.4 – Representação da posição do condutor i relativa a um ponto genérico P. ........... 15
Figura 2.5 – Representação transversal da posição relativa do condutor i e k para uma
configuração genérica. ............................................................................................................. 17
Figura 2.6 – Descrição da primeira parte do algoritmo implementado. ................................... 23
Figura 2.7 – Descrição da segunda parte do algoritmo implementado. ................................... 25
Figura 3.1 – Secção transversal do feixe de condutores, configuração em esteira. ................. 31
Figura 3.2 – Distribuição do campo elétrico normalizado (E1φ /E0) ao longo da superfície do
sub-condutor 1 por variação de φ, para a configuração em esteira. ......................................... 32
Figura 3.3 – Distribuição do campo elétrico normalizado (E2φ /E0) ao longo da superfície do
sub-condutor 2 por variação de φ, para a configuração em esteira. ......................................... 33
Figura 3.4 – Rácio entre a carga do sub-condutor 2 e 1 (Q 2 / Q 1) em função de x, com e sem
efeito de proximidade, para a configuração em esteira. ........................................................... 34
Figura 3.5 – Capacidade normalizada Ceq/C0 e aproximação de ordem zero normalizada, em
função de x, para a configuração em esteira. ............................................................................ 35
Figura 3.6 – Contribuição normalizada da proximidade Sp eq/S0, em função de x, para a
configuração em esteira. ........................................................................................................... 35
Figura 3.7 – Secção transversal do feixe de condutores com configuração em triângulo. ...... 36
Figura 3.8 – Distribuição do campo elétrico normalizado (E1φ /E0), ao longo da superfície do
sub-condutor 1 por variação de φ, para a configuração em triângulo. ..................................... 37
Figura 3.9 – Capacidade normalizada Ceq/C0 e aproximação de ordem zero normalizada em
função de x, para a configuração em triângulo. ........................................................................ 39
Figura 3.10 – Contribuição normalizada da proximidade Sp eq/S0, em função de x, para a
configuração em triângulo. ....................................................................................................... 39
xii
Figura 4.1 – Distribuição do campo elétrico normalizado (E1φ/E0) ao longo da superfície do
sub-condutor 1, em coordenadas polares para a configuração em esteira. .............................. 44
Figura 4.2 – Distribuição do campo elétrico normalizado (E2φ/E0) ao longo da superfície do
sub-condutor 2, em coordenadas polares para a configuração em esteira. .............................. 44
Figura 4.3 – Distribuição do campo elétrico normalizado (E1φ/E0) ao longo da superfície do
sub-condutor 1, em coordenadas polares para a configuração em triângulo. .......................... 46
Figura 4.4 – Secção transversal do feixe de condutores com configuração em quadra. .......... 47
Figura 4.5 – Distribuição do campo elétrico normalizado (E1φ /E0), ao longo da superfície do
sub-condutor 1, para a configuração em quadra. ..................................................................... 48
Figura 4.6 – Distribuição do campo elétrico normalizado (E1φ/E0) ao longo da superfície do
sub-condutor 1, em coordenadas polares, para a configuração em quadra. ............................. 49
Figura 4.7 – Capacidade normalizada Ceq /C0 e aproximação de ordem zero normalizada em
função de x, para a configuração em quadra. ........................................................................... 50
Figura 4.8 – Contribuição normalizada da proximidade Sp eq /S0 em função de x, para a
configuração em quadra. .......................................................................................................... 51
xiii
Lista de Tabelas
Tabela 3.1 – Resultado do campo elétrico normalizado (E1máx/E0 e E2máx/E0) para os sub-
condutores 1 e 2 e desvio dos resultados relativamente a [3 Tab. 2], para configuração em
esteira. ...................................................................................................................................... 32
Tabela 3.2 – Resultados normalizados da capacidade, da relação Q2/Q1, da proximidade e
desvio dos resultados relativamente a [3 Tab. 2], para a configuração em esteira, em função de
x. ............................................................................................................................................... 34
Tabela 3.3 – Resultado do campo elétrico normalizado (E1máx/E0) para o sub-condutor 1 e
desvio dos resultados relativamente a [3 Tab. 1], para a configuração em triângulo. ............. 37
Tabela 3.4 – Resultados normalizados da capacidade, da proximidade e desvio dos resultados
relativamente a [3 Tab. 1], para a configuração em triângulo, em função de x. ...................... 38
Tabela 4.1 – Resultados normalizados do campo elétrico, da capacidade e da proximidade,
para a configuração em quadra. ................................................................................................ 48
xiv
Lista de variáveis
Símbolo Grandeza
E Campo elétrico
D Deslocamento elétrico
B Campo de indução magnética
H Campo magnético
J Vetor densidade de corrente elétrica
ε Constante dielétrica
μ Permeabilidade magnética
ρ Densidade volúmica de carga
V Potencial elétrico
ne Vetor unitário normal exterior
QV Carga elétrica
q Carga por unidade de comprimento
[Q] Vetor de carga elétrica
[C] Matriz dos coeficientes de capacidade
[S] Matriz dos coeficientes de potencial
[U] Vetor das tensões nos condutores
��� Coeficiente de potencial entre k e i
��� Capacidade equivalente do feixe de condutores
�� �� Contribuição do efeito de proximidade em termos de coeficiente de potencial
xv
�� �� Coeficiente de potencial equivalente da aproximação de ordem zero
�� Raio do condutor
�� Raio do condutor k
�� Raio do condutor i
h Altura média do feixe de condutores
��� Solução para o potencial complexo, centrada no eixo do condutor i, com
singularidades localizadas no eixo do condutor i
�� Vetor posição complexo correspondente ao ponto (�,�)
���� Vetor posição do eixo do condutor k em relação ao eixo do condutor i
�′�� Distância entre o condutor k e a imagem do condutor i
�′� Distância entre o ponto P e a localização da imagem do condutor k relativa
ao solo
d Distância entre sub-condutores
N Número de condutores
��(�)
Coeficiente da solução ��(�)
correspondente ao multipolo p
�� Contribuição do efeito de proximidade no termo ��(�)
� (�) Solução completa do potencial, centrada no eixo de um condutor k com
singularidades localizadas em qualquer eixo do sistema de condutores
��(�)
Coeficiente de ordem m do desenvolvimento da serie Fourier da solução � (�)
xvi
1
Capítulo 1
Introdução
Neste capítulo apresenta-se uma breve descrição do trabalho efetuado. Estabelecem-se os
objetivos a cumprir. É apresentada também uma breve descrição de cada capítulo.
2
3
Introdução e objetivos
As linhas aéreas são infraestruturas fundamentais num sistema de transmissão de energia
elétrica, pelo que na sua conceção devem ser considerados todos os aspetos que possam afetar
o seu funcionamento, nomeadamente o campo elétrico na superfície dos condutores.
Para níveis de tensão elevados, acima dos 220 kV, as fases das linhas aéreas são constituídas
por feixes de condutores, em vez de um condutor único. Esta estratégia é usada para diminuir
a ocorrência do fenómeno denominado por efeito de coroa. Este fenómeno ocorre quando o
campo elétrico na superfície de um condutor não é uniforme e atinge o valor crítico, causando
a disrupção parcial no meio dielétrico gasoso (este aspeto está fora do âmbito deste trabalho).
A utilização de feixes de condutores dá origem a outro fenómeno, designado pela literatura
por efeito de proximidade. Dada a proximidade entre os condutores do feixe, o campo elétrico
originado por cada um deles é deformado pela presença dos outros condutores na sua
vizinhança, afetando assim os parâmetros da linha de transmissão.
Os objetivos deste trabalho passam pela determinação dos coeficientes de capacidade da linha
aérea com condutores geminados, tendo em conta o efeito de proximidade e considerando que
os feixes são constituídos por três ou quatro sub-condutores. Pretende-se estudar a
sensibilidade do efeito de proximidade, tendo em conta diversos fatores, tais como: a
distância entre condutores, a configuração geométrica do feixe de condutores, nomeadamente,
as configurações em esteira, triângulo e quadra.
O método analítico usado neste trabalho segue os seguintes pressupostos: - A terra é
considerada um condutor plano que se encontra a uma distância suficientemente grande do
feixe de condutores, não exercendo influência no campo elétrico originado por estes. - Os
condutores do feixe são de geometria cilíndrica, dispostos paralelamente uns aos outros,
encontram-se em equilíbrio eletrostático e uma vez que os condutores pertencem todos à
mesma fase estão sujeitos à mesma tensão. Esta situação é garantida por ligadores que
asseguram o contacto entre sub-condutores ao longo da linha. - O meio dielétrico é o ar que é
considerado linear, isotrópico e homogéneo. Com base nestes pressupostos formula-se a
solução para o potencial elétrico recorrendo ao método do multipolo com expansão em série
de Fourier. A partir desta solução determinam-se os coeficientes de capacidade e o campo
elétrico.
4
Com base neste método elaborou-se um programa informático com o recurso à ferramenta da
“The MathWorks, Inc”, o MATLAB®, onde se implementou o algoritmo desenvolvido. O
programa foi validado comparando os resultados obtidos por simulação com os resultados de
outros autores, para os sistemas de três condutores em feixe com configuração em esteira e
triângulo.
As principais diferenças deste trabalho em relação as referências que motivaram a sua
realização são: - É apresentado o raciocínio que permite a passagem do campo magnético,
apresentado na referência [2], para o campo elétrico. - O método implementado neste trabalho
permite a caracterização de sistemas de condutores para configurações mais complexas que o
tradicional, sendo que os condutores do feixe podem ter raios diferentes. O que não acontece
na referência [4], onde são considerados condutores geminados e entrançados.
Para terminar, convém referir a notação utilizada ao longo deste trabalho. Para caracterizar
grandezas vetoriais utiliza-se negrito e itálico. Para caracterizar as matrizes usa-se parênteses
retos e caracterizam-se as grandezas escalares usando itálico.
Estrutura do trabalho
O presente documento está organizado em cinco capítulos, o primeiro apresenta o
enquadramento e os objetivos do trabalho.
No capítulo dois são enunciados os pressupostos que servem de ponto de partida para chegar
a uma solução do problema. É feita uma revisão das equações fundamentais de Maxwell de
modo a deduzir o potencial e o campo elétrico num ponto arbitrário. É apresentada a forma de
calcular a matriz dos coeficientes de potencial sem considerar o efeito de proximidade, assim
como é demonstrado o raciocínio que origina a solução do potencial e do campo elétrico
considerando o efeito de proximidade. É igualmente descrito o algoritmo implementado.
O capítulo três está reservado para a apresentação de resultados e validação do algoritmo,
nomeadamente, para os sistemas com configurações em esteira e triângulo. São apresentados
os resultados numéricos e gráficos: da distribuição do campo elétrico na superfície de um sub-
condutor, da capacidade equivalente do sistema e da contribuição da proximidade em função
do fator de proximidade. A validação do algoritmo é feita, comparando os resultados obtidos
por simulação com resultados publicados por outros autores.
5
O capítulo quatro visa a análise de resultados, para as configurações do feixe de sub-
condutores consideradas no capítulo três e para a configuração em quadra, evidenciando as
suas principais características.
No capítulo cinco apresentam-se as principais conclusões obtidas na realização deste trabalho,
bem como uma proposta para trabalho futuro.
6
7
Capítulo 2
Eletrostática e Efeito de Proximidade em
sistemas de condutores cilíndricos
Neste capítulo enunciam-se os pressupostos utilizados para o estudo efetuado no trabalho.
Apresentam-se as equações fundamentais do eletromagnetismo, particularizando-as para o
domínio da eletrostática. Faz-se uma abordagem ao problema sem considerar o efeito de
proximidade. Demonstram-se as soluções para o estudo do efeito de proximidade, isto é, a
solução do potencial elétrico e a solução do campo elétrico.
Descreve-se também, esquematicamente, o algoritmo implementado no programa.
8
9
Pressupostos
O estudo realizado neste trabalho baseia-se nos seguintes pressupostos:
o meio é linear, homogéneo e isotrópico;
o meio não é eletrizado;
os condutores estão submetidos ao mesmo potencial e ligados entre si;
os condutores são cilíndricos, com raios iguais ( �� < < ℎ ), teoricamente infinitos
( � > > �� ) e dispostos paralelamente uns aos outros;
a terra é considerada um condutor plano que se encontra a uma distância do feixe de
condutores suficientemente grande ( ℎ > > � ), não exercendo, assim, influência no
campo originado por estes;
na fronteira existe solução única se se conhecer o potencial ou a derivada do potencial;
d
l
Solo
rc
h
Figura 2.1 – Representação de dois condutores de comprimento l, dispostos paralelamente e à
distância d um do outro e localizados à altura média h do solo.
2 – Conceitos teóricos
2.1 – Equações fundamentais
Comecemos por considerar as equações fundamentais do eletromagnetismo, ou seja, as
equações de Maxwell:
10
⎩⎪⎨
⎪⎧ ��� � = −
��
��
��� � = 0
��� � = �+��
����� � = �
(2.1)
Onde,
E – campo elétrico (V/m)
D – deslocamento elétrico (C/m2)
ρ – densidade volúmica de carga elétrica (C/m3)
B – indução magnética (T)
H – campo magnético (A/m)
J – densidade de corrente (A/m2)
Bem como, as equações constituintes dos meios, para meios lineares e isotrópicos:
� = � � (2.2)
� = � � (2.3)
Onde,
ε – constante dielétrica (F/m)
μ – permeabilidade magnética (H/m)
Particularizando as equações de Maxwell em (2.1) para o regime estacionário, onde a
densidade de corrente é considerada nula ( J = 0 ), temos:
���� � = 0 ��� � = �
(2.4)
Como o ��� � = 0 e ��� ���� � = 0 então:
E = − grad V (2.5)
onde,
V – potencial elétrico (V).
Por outro lado, assumindo que há uma concentração de carga não nula �� contida numa
região de volume V limitado por uma superfície fechada SV, como na Figura 2.2, partindo da
segunda equação de (2.4) e integrando em volume ambos os membros vem:
11
� ��� � ���
= � � ���
⇔ � � .�� ����
= �� (2.6)
Onde se aplicou o teorema de Gauss, transformando o integral em volume do primeiro
membro num integral de superfície. A equação (2.6) é a versão integral correspondente à
equação local (2.4), a sua interpretação física significa que as linhas de campo elétrico têm
início e fim em pontos onde existem cargas positivas e negativas [1], respetivamente.
ne
V
SV
Figura 2.2 – Elementos geométricos envolvidos na aplicação do teorema de Gauss.
Onde,
ne – normal exterior a SV
dS – área diferencial pertencente a SV
dV – volume diferencial pertencente ao volume V
2.2 – Coeficientes de Capacidade
Um sistema com dois ou mais condutores, em que estes estão separados por um meio
dielétrico cria um fenómeno de acoplamento elétrico entre os condutores. Consequentemente
a carga de um condutor k vai depender não só da sua tensão, mas também das tensões dos
restantes condutores do sistema. Assumindo que o meio dielétrico (ar) tem um
comportamento linear, equação (2.2), qualquer carga pode ser escrita como a combinação
linear das tensões dos condutores.
12
[�]= [�][� ]⇔ �
��
��
⋮��
� = �
��� ���
��� ���
⋯⋯
���
���
⋮ ⋮ ⋱ ⋮��� ��� ⋯ ���
� �
��
��
⋮��
� , ∀�,���,…� (2.7)
Sendo,
Qk – carga do condutor k (C/m)
Uk – tensão no condutor k (V)
Cki – coeficiente de capacidade mútuo (F/m)
Ckk – coeficiente de capacidade próprio (F/m)
De referir que neste trabalho todos os condutores do sistema estão submetidos à mesma
tensão.
A matriz dos coeficientes de capacidade [C] será obtida a partir da matriz dos coeficientes de
potencial [S], por inversão, devido à analogia com os sistemas de condutores finos. A secção
2.2.1 apresenta como calcular a matriz [S] sem considerar o efeito de proximidade.
2.2.1 – Cálculo dos coeficientes de potencial sem o efeito de
proximidade
Os coeficientes de potencial sem considerar o efeito de proximidade, para o caso de
condutores finos, são calculados com recurso ao método das imagens.
A Figura 2.3 (a) representa uma carga positiva e filiforme e respetiva carga imagem,
localizadas a uma distância h do plano equipotencial (assume-se V = 0), o ponto genérico P
representa o local onde se pretende calcular o potencial. O potencial é calculado por
sobreposição das contribuições das cargas filiformes positiva e negativa [1], através das
equações (2.2), (2.5) e (2.6) é possível escrever o resultado seguinte:
� = � � + � � ⇔ � =�
2���� �
��
��� (2.8)
Onde,
� – carga por unidade de comprimento (C/m)
��,�� – distância das cargas (+ � ,− �) ao ponto P
13
Na Figura 2.3 (b) é representado o método das imagens onde cada carga filiforme e respetiva
imagem formam um par simétrico.
O coeficiente de potencial próprio do condutor k, coeficiente que relaciona o potencial no
condutor k originado pela carga +qk e a sua imagem -qk é dado por,
���� =��
���
�� � �, ∀�� �
⇔ ���� =1
2����� �
2ℎ
��� (2.9)
onde, h – altura do condutor em relação ao solo (m)
rc – raio do condutor (m)
�� – constante dielétrica do ar (F/m)
O coeficiente de potencial mútuo entre o condutor k e i relaciona o potencial do condutor �
devido à carga do condutor i e a sua imagem:
���� =��
���
�� � �, ∀�� �
⇔ ���� =1
2����� �
����
|����|� , � ≠ � (2.10)
Figura 2.3 – (a) Método das imagens para uma carga filiforme. (b) Método das imagens para um
sistema de dois condutores.
O vetor posição complexo do condutor k em relação ao eixo do condutor i segundo as
coordenadas (x, y) é dado por,
14
���� = ( �� − ��)+ �(�� − �� ) (2.11)
e a distância entre o condutor k e a imagem do condutor i é dada por,
�′�� = �(�� + �� )� + (�� − ��)� (2.12)
O coeficiente de potencial equivalente é calculado da seguinte forma,
�� �� = ∑ ���� ��
����
∑ ������
, ∀ ���,…� (2.13)
Onde,
S0 – coeficiente de potencial sem efeito de proximidade (F-1m)
S0 eq – coeficiente de potencial equivalente sem efeito de proximidade (F-1m)
Até esta secção são introduzidos conceitos fundamentais para o cálculo do parâmetro
transversal de uma linha aérea sem considerar o efeito de proximidade. Esta abordagem é
denominada por aproximação de ordem zero [2 e 3].
A contabilização do efeito de proximidade é tratada na secção 2.3, onde se constrói a solução
do problema.
2.3 – Solução para o potencial
A construção da solução do problema recorre ao método do multipolo [4] com
desenvolvimento em série de Fourier.
Em primeiro lugar demonstra-se a construção da solução do potencial no condutor i com
singularidades centradas no eixo Oi, Figura 2.4.
Ao fazer intervir (2.2) e (2.5) na segunda equação de (2.4) e considerando que o meio não está
eletrizado (� = 0), obtém-se o seguinte resultado:
��� � = −�
��
����� ��� � = 0 (2.14)
15
Figura 2.4 – Representação da posição do condutor i relativa a um ponto genérico P.
representado o ��� � em coordenadas polares temos,
1
�′
�
��′���
��
��′� +
1
�′
���
��′ �= 0 (2.15)
Para resolver a equação anterior utiliza-se o método da separação de variáveis, determinando
que soluções do formato
� = �′(�′) � (�′) (2.16)
são soluções da equação (2.15). Onde,
� (��) = ����� , ∀����,…,��,�,�,…,�� (2.17)
Para encontrar as soluções de (2.15) é necessário aplicar à equação (2.16) as derivadas que se
enunciam de seguida:
⎩⎨
⎧��
��′=
��′
��′ �
���
��′�=
���
��′� ��
(2.18)
Obtemos então o seguinte resultado,
1
�′
�
��′���
��′
��′� −
1
�′���′ = 0 (2.19)
que nos permite concluir que as soluções são:
16
��� = �� �� �
1
�′� , � = 0
�� = ��±�, � ≠ 0
(2.20)
Note-se que na equação anterior, para o caso em que � ≠ 0, é escolhida a solução �′��
porque se pretende que a solução seja regular no infinito e singular na origem.
Temos então que a forma da solução centrada no eixo do condutor � com singularidades no
próprio eixo ��, é a seguinte,
�� = ��(�)
ln �1
�′� + � ���′�|�|�����
��
�������
(2.21)
O potencial de (2.21) pode ser obtido usando um potencial complexo, ���, extraindo a sua
parte real.
�� = ���� �(�)� (2.22)
Onde as singularidades do condutor � no eixo �� são obtidas pela expressão seguinte,
���(��) = ��(�)
ln �1
��� +
1
2� ���
(�)
��
���
���� , �� = �′����� (2.23)
Se o eixo das singularidades não coincidir com o eixo do próprio condutor, é necessário fazer
a expansão de (2.23) em série de Taylor para se obter as singularidades centradas no eixo
desejado [4].
���(�)
(���� + ��) = � �(����)+ �1
�!��(�)���
���(�)�
�������
�� �
��
���
, �� = ���� + �� (2.24)
Onde,
���(����) = ��(�)
ln ���
|����|� +
1
2� ���
(�)
��
���
�����
���
��
(2.25)
e,
17
1
�!��(�)���
���(�)�
�������
�� � =(− 1)�
� �����
���
� ���(�)
+1
2� ���
(�)�(�,|�|)�
����
���
����
���
� ��
���
�
(2.26)
Onde
�(�,|�|) =(� + |�| − 1)!
(� − 1)! (|�| − 1)! (2.27)
As equações (2.25) e (2.26) estão normalizadas em relação aos raios dos condutores pelo que
está presente nestas o coeficiente,
���(�)
= ���(�)
����
(2.28)
este coeficiente é determinado por imposição das condições de fronteira.
Na Figura 2.5 está representado o caso em que o eixo das singularidades do condutor i, Oi,
está centrado no eixo do condutor k, Ok.
r
Pw
Cond. k
r i
Cond. i
solo
hi
hk
φ’
φ w
ki
Oi
Ok
y
rk
Figura 2.5 – Representação transversal da posição relativa do condutor i e k para uma configuração
genérica.
Somando as singularidades do eixo do condutor i, Oi, em torno do eixo do condutor k, ��, e
eliminando a sua parte imaginária,
�� �� ���(�)
(���� + ��)
�
���
� (2.29)
origina os termos ��, ��(�)
e ��(�)
.
18
�� = �1
2� ����
(�)�
����
���
��
+ ��(�)
�����
∗
���
��
�
��
���
�
������
(2.30)
��(�)
= �(− 1)���(�)
⎩⎪⎨
⎪⎧ �
����
���
�|�|
, � > 0
�����
∗
���
�|�|
, � < 0
�
������
(2.31)
��(�)
= � �(− 1)�
⎩⎪⎨
⎪⎧ ���
(�)�(�,|�|)�
����
���
��
�����
���
�|�|
, � > 0
��(�)
�(�,|�|)�����
∗
���
��
�����
∗
���
�|�|
, � < 0
��
���
�
������
(2.32)
Sintetizando os resultados obtidos até este ponto, estamos em condições de escrever os termos
da série de Fourier. Onde ��(�)
é o termo de ordem zero(� = 0) e ��(�)
contém os termos das
restantes ordens (� ≠ 0).
��(�)
(�) = ��(�)
ln ��′�
�� + � ���
(�)ln �
�′��
|����|��
�
������
+ �� , � = 0 (2.33)
��(�)
(�) =(� ��⁄ )|�|
2|�|���
(�)+ |�|��
(�)�
�
���
��|�|
+ ��(�)
� , � ≠ 0 (2.34)
Onde, �′�é a distância entre o ponto P (definida pelo vetor ��) e a localização da imagem do
condutor k relativamente ao solo, e �′�� é a distância entre o eixo Ok e a imagem do condutor i
relativamente ao solo, Figura 2.5. Estas distâncias são introduzidas para que o plano terra seja
considerado a referência dos potenciais e o condutor de referência das tensões, desde que a
altura dos condutores seja muito maior que a distância entre eles.
Os coeficientes ��(�)
, � = 1,… ,�,� = 0,±1,±2 … são os coeficientes a serem determinados
por imposição das condições de fronteira. Note-se que os índices � e � são índices mudos.
A forma completa da solução centrada no eixo Ok com singularidades localizadas em
qualquer eixo do sistema de condutores é dada pela expressão seguinte.
19
� (�)(�,�) = � ��(�)
(�)����
��
����
, � = �� (2.35)
Onde, ��(�)
e ��(�)
são calculados por:
�� = � − ���
���
����
�� �� ⇔
��
�
��(�)
=��
2��� (2.36)
2.3.1 – Condições de fronteira
Para se determinar os coeficientes ��(�)
e a solução do potencial elétrico, é necessário impor
potencial constante na superfície do condutor, � = ��.
�� = ���������⇒ ���
(�)�
����= ��
��(�)
�����
= 0 (2.37)
O estabelecimento de um sistema de cargas para os condutores permite, desacoplar os termos
de ordem zero dos termos das restantes ordens, possibilitando assim o cálculo dos coeficientes
��(�)
.
|�|��(�)
+ ��(�)
= − ��(�)
(2.38)
2.3.2 – Coeficientes de potencial
Nesta secção mostram-se os passos seguidos para se calcular a capacidade transversal da linha
e a contribuição do efeito de proximidade. É também descrito a primeira parte do algoritmo,
respeitante aos cálculos referidos. A segunda parte do algoritmo é descrita na secção 2.3.4,
esta diz respeito ao cálculo do campo elétrico na superfície do condutor.
20
Como referido na secção 2.3.1, os coeficientes ��(�)
são determinados pela expressão (2.38), o
que conduz ao seguinte sistema linear de equações:
[�][����]= [�] (2.39)
Onde,
[�] – matriz quadrada dos termos dependentes, de dimensão (∑ 2����� × ∑ 2��
��� )
[����] – vetor das incógnitas do sistema, de dimensão (∑ 2����� × 1)
[�] – vetor dos termos independentes, de dimensão (∑ 2����� × 1)
De forma a melhor compreender como é organizado o sistema de equações, veja-se o seguinte
exemplo para o caso mais simples de todos.
Considere-se um sistema de dois condutores em que a série de Fourier é truncada à ordem
dois:
� = � = 2
� = 2, o que significa que temos dois modos de funcionamento
[�][����]= [�]⇔
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡� 0 00 � 0000�0�
00�0�0
�00�0�
0 0 �0 � 00��0�0
0��000
�00�00
0 �� 00�00�0
�0000�⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡��
(�)
���(�)
��(�)
���(�)
��(�)
���(�)
��(�)
���(�)
⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
=
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡0000����⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎤
(2.40)
O primeiro e segundo conjunto de 2� linhas de cada matriz/vetor de (2.40), corresponde ao
sub-condutor um e dois (� = 1 e � = 2), respetivamente. A entidade � representa as entradas
da matriz/vetor que são diferentes de zero. As entradas do vetor [�] são calculadas de acordo
com (2.31), considerando os modos de funcionamento, isto é, para o modo � temos: �� ≠
0 e �� = 0 ,∀���. As entradas da matriz [M] são determinadas pelo termo do lado esquerdo da
expressão (2.38).
Neste ponto, por resolução do sistema (2.40), temos os coeficientes ��(�)
calculados, pelo que
vamos determinar os potenciais Vk de acordo com (2.37), que constitui o sistema de tensões
21
dos sub-condutores para a referência tomada (plano terra), considerando os modos de
funcionamento.
Para o exemplo descrito em (2.40), obtemos os seguintes resultados.
Uma vez calculadas as tensões do feixe de sub-condutores, a etapa seguinte passa por
determinar os coeficientes de potencial tendo em consideração o sistema de cargas. De
seguida é apresentada a expressão generalizada, de como calcular os coeficientes de potencial.
��� =��
���� �
���
�� � �
, ��� ≠ 0 �� = 0 ,∀���
(2.42)
Calculados os coeficientes de potencial, obtêm-se os coeficientes de capacidade, por inversão
da matriz dos coeficientes de potencial [S].
2.3.3 – Capacidade equivalente do feixe e efeito de
proximidade
Indica-se de seguida como efetuar o cálculo dos coeficientes de capacidade equivalente ���, o
coeficiente de potencial equivalente ��� e a contribuição do efeito de proximidade equivalente
�� ��.
Dado que estamos a tratar um feixe de condutores que pertencem à mesma fase, todos os
potenciais do feixe são idênticos, pelo que podemos concluir que ���, é calculado por:
��� =∑ ��
����
��⇔ ��� =
∑ �∑ ����� ��
�������
��
�����
���� ��� = � � ���
�
���
�
���
(2.43)
Onde, ��� são os coeficientes de capacidade e � a tensão do sistema.
A identificação do efeito de proximidade com os termos de ordem diferente de zero dos
desenvolvimentos adaptados para o campo elétrico, só é possível para os coeficientes de
potencial e não diretamente através dos coeficientes de capacidade.
[������� ��
����� ������� ��
�����] (2.41)
22
Assim opta-se por estudar a contribuição da proximidade pelos coeficientes de potencial,
onde é natural fazer a seguinte decomposição.
� �� = �� �� + �� �� = ∑ ��� ��
����
∑ ������
=1
��� (2.44)
Em que �� �� é calculado como indicado na secção 2.2.1 equação (2.13), tendo em conta (2.9)
e (2.10), este facto decorre da expressão (2.33) com desprezo do efeito de proximidade, isto é,
tomando �� = 0 . Na expressão (2.44) tal como na expressão (2.13), as cargas �� são
calculadas para a consideração de tensões iguais para todos os sub-condutores do feixe.
O efeito de proximidade está descrito através de (2.30), onde �� é o termo calculado com a
ajuda dos coeficientes ��(�)
, � = 0,±1,±2 … � , para o sistema de cargas �� . Deste modo
concluímos que �� �� pode ser calculado diretamente por:
�� �� = ∑ ��� ��
����
∑ ������
(2.45)
Na Figura 2.6 descreve-se esquematicamente a primeira parte do algoritmo, que corresponde
ao cálculo do coeficiente de capacidade e da contribuição do efeito de proximidade.
23
Figura 2.6 – Descrição da primeira parte do algoritmo implementado.
Passo 1 Leitura de dados, solicita-se ao utilizador as entradas do programanecessárias para os cálculos: ordem do desenvolvimento da série deFourier, número de condutores, configuração dos condutores (esteira,triângulo, quadra ou outra), altura dos condutores e as distâncias entre oscondutores.
Passo 2 Cálculo dos respetivos vetores posição ���� e das distâncias �′� e �′��.
Passo 3 Cálculo dos termos necessários para o preenchimento de [M] e [H], epreenchimento dos mesmos, utilizando os termos do desenvolvimentode ordem diferente de zero.
Passo 4 Resolução do sistema de equações ���� = � �� � , ou sejadeterminação dos coeficientes da série de Fourier.
Passo 5 Determinação das tensões de cada condutor considerando os modos defuncionamento �� ≠ 0 e �� = 0 ,∀��� ,utilizando o desenvolvimentode ordem zero.
Passo 6 Cálculo da matriz dos coeficiente de potencial, � (com a contribuiçãodo efeito de proximidade). E determinação da contribuição do efeito deproximidade, �� .
Passo 7 Inversão de � e cálculo da capacidade equivalente do sistema ��� .Cálculo da distribuição de cargas �� para a consideração de tensõesiguais para todos os sub-condutores do feixe, e cálculo da contribuiçãodo efeito de proximidade, �� �� .
24
2.3.4 – Campo elétrico na superfície do condutor
Esta secção apresenta como se determina a solução para o campo elétrico. Por outras palavras
mostra-se a função que descreve a distribuição de E em redor da superfície do condutor, por
variação do ângulo φ para � = ��.
Sabe-se que, o campo elétrico é o gradiente do potencial, como vimos em (2.5), ou seja, a
solução de E, é dada pelo gradiente da solução do potencial (2.35).
−�� (�)(�,�)
��= − �
���(�)
(�)
��
��
��
���� (2.46)
De onde se conclui que a solução para o campo elétrico é:
��(�)
(�,�) =��
(�)
�+ � �
|�|
2���
(�)�
�
���
|�|
�1 + ��
���
��|�|
� �����
��
�������
(2.47)
Onde ��(�)
(�,�) é o campo elétrico (V/m).
Para determinar ��(�)
o sistema linear de equações passa a ser,
[�][����]= [�����] (2.48)
porque o vetor dos termos independentes, [�����], é determinado também pela expressão
(2.31), mas considerando a distribuição de cargas que caracteriza o feixe de sub-condutores.
Ao contrário do que foi feito na secção 2.3.2, onde no cálculo das entradas de [�] foram
considerados os modos de funcionamento, para [�����] os modos de funcionamento não são
considerados.
A segunda parte do algoritmo está esquematizada na Figura 2.7.
25
Figura 2.7 – Descrição da segunda parte do algoritmo implementado.
De realçar que o algoritmo implementado é geral, permite estudar qualquer configuração para
o feixe de sub-condutores. O utilizador pode definir também: raios diferentes para os sub-
condutores do feixe, a altura média do feixe, assim como a ordem de truncatura que deseja
para a série de Fourier, dependendo do grau de precisão pretendido para os resultados.
Passo 1 Imposição das cargas �� ao sistema, para o cálculo de ����� , semconsiderar modos de funcionamento.
Passo 2Determinação dos novos coeficientes ��
(�),��
(�)e ���
(�),
���� = � �� ����� , com � ≠ 0 ∩ � = − ��,… ,+ �� .
Passo 3Cálculo de ��
(�)�,� , obtendo a distribuição de ��
(�)por variação de φ
para � = ��.
26
27
Capítulo 3
Validação do Método
Pretende-se neste capítulo validar o método utilizado, e consequentemente validar o algoritmo
implementado em MATLAB®. Verificando as propriedades da matriz dos coeficientes de
potencial, comparando resultados simulados com os resultados publicados em [3] e para o
caso dual do campo magnético, no caso do condutor perfeito, presente em [2].
28
29
3 – Validação do Método
Introdução
Neste capítulo proceder-se-á à validação do método utilizado, e consequentemente à
validação do algoritmo implementado com recurso à ferramenta da “The MathWorks, Inc”,
MATLAB®. A primeira abordagem efetuada foi a verificação das seguintes propriedades:
C�� > 0, elementos da diagonal principal são positivos
C�� ≤ 0, elementos fora da diagonal principal da matriz, são nulos ou
negativos
C�� ≥ − ∑ C���������
, matriz tem diagonal dominante
C���C��, a matriz é simétrica
[C] é definida positiva ⇒ det[C]> 0
[C] é invertível ⇒ [C]�� = [S]
(3.1)
As propriedades são sempre respeitadas em todos os casos. Estas propriedades são
importantes mas não suficientes para dar o método como validado.
A segunda abordagem para validação do método passa por comparar resultados de simulação:
���, �� �� e �� com resultados gráficos e numéricos de outros autores.
Nas secções seguintes serão apresentados resultados, para os sistemas em estudo, com as
seguintes configurações: esteira e triângulo, constituídas por três sub-condutores.
3.1 – Configurações em estudo
Os sistemas em estudo são constituídos por sub-condutores iguais, cilíndricos, de raio
�� = 15 �� e altura média do feixe à superfície da terra ℎ = 20 �. O meio dielétrico é o ar
caracterizado pela constante dielétrica �� = 10�� 36�⁄ (�/�).
As configurações para validação do método estão representadas nas Figuras 3.1 e 3.7, onde é
possível visualizar as secções transversais dos sistemas com configuração em esteira e
triângulo, respetivamente.
30
Na apresentação de resultados, é utilizado o fator de proximidade (� = � ��⁄ ), que relaciona a
distância entre os condutores e o seu raio. De acordo com [2], os desenvolvimentos em série
de Fourier ao longo do ângulo periférico à superfície do condutor, são truncados à ordem
� ≤ 21 para erros no potencial à superfície do condutor inferiores a 10��.
A referência [2] é utilizada para validar o método apresentado neste trabalho, utilizando a
analogia que existe entre o campo magnético num condutor perfeito e o campo elétrico
estático. Esses resultados gráficos estão apresentados em [2, Fig.4 a Fig.7 e Fig.9], para as
configurações triângulo e esteira. Uma vez que a referência [3] apresenta resultados
numéricos, estes servirão para consolidar a validação.
Para efeitos de normalização consideram-se os seguintes resultados, respeitantes à
aproximação de ordem zero [1].
�� =2���
��(2ℎ ��⁄ )=
1
�� (3.2)
�� =�
�� ��(2ℎ ��⁄ ) (3.3)
Onde,
C0 – é a capacidade base (F/m)
E0 – é o campo elétrico base obtido por aplicação do teorema de Gauss a um filamento
de carga (V/m)
Outro resultado a considerar, tem origem na teoria das linhas de transmissão sem perdas [1],
que mostra como calcular a capacidade, � , quando se sabe a indutância por unidade de
comprimento, �, onde �� é a velocidade da luz no vácuo (m/s).
�� =1
��� (3.4)
Este resultado permite comparar a capacidade com a indutância, para o caso de condutores
perfeitos, apresentada na referência [2].
31
3.1.1 – Configuração em esteira
O primeiro sistema a analisar, é um sistema composto por três sub-condutores em esteira
horizontal (separados por d metros), como mostra a Figura 3.1.
X
Y
d d
1 2 3
rc
h
φ1 φ2
Figura 3.1 – Secção transversal do feixe de condutores, configuração em esteira.
A simulação foi feita variando o fator de proximidade entre 2,5 e 20, apresentando-se nas
Tabelas 3.1 e 3.2 os resultados obtidos por simulação, assim como os resultados obtidos pelos
autores da referência [3], para possibilitar a comparação. Por forma a consolidar a validação, é
calculado o desvio cometido em relação aos resultados apresentados na referência [3].
Na Tabela 3.1 são apresentadas as amplitudes máximas do campo elétrico normalizado
(���á� ��⁄ e ���á� ��⁄ ), para os sub-condutores 1 e 2, assim como o seu desvio relativo a [3
Tab.2]. Comparando os resultados é possível verificar que o desvio cometido nos resultados
obtidos por simulação é inferior a 1%.
Nas Figuras 3.2 e 3.3, está representada a evolução do campo elétrico normalizado na
superfície do sub-condutor 1 e 2, respetivamente, por variação do ângulo φ para � = ��. Estas
quando comparadas com a referência [2 Fig.5], permitem aferir que os resultados são muito
idênticos.
32
Tabela 3.1 – Resultado do campo elétrico normalizado (E1máx/E0 e E2máx/E0) para os sub-condutores 1
e 2 e desvio dos resultados relativamente a [3 Tab. 2], para configuração em esteira.
x Campo elétrico no condutor 1
��� á� ��⁄
Campo elétrico no condutor 2
��� á� ��⁄
Simulado Publicado [3] Desvio (%) Simulado Publicado [3] Desvio (%)
2,5 0,7139 0,7136 0,05 0,3953 0,3946 0,18
5 0,6303 0,6297 0,09 0,3425 0,3421 0,11
10 0,5770 0,5767 0,05 0,3516 0,3514 0,06
20 0,5583 0,5582 0,02 0,3881 0,3879 0,05
Figura 3.2 – Distribuição do campo elétrico normalizado (E1φ /E0) ao longo da superfície do sub-
condutor 1 por variação de φ, para a configuração em esteira.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.2
0.4
0.6
0.8
/
Er(
) /
E0
x = 2,5
x = 5
x = 10
x = 20
33
Na Tabela 3.2 apresentam-se, para diferentes fatores de proximidade (x = 2,5; 5; 10 e 20), os
resultados normalizados da capacidade, da relação entre a carga do sub-condutor 2 e 1
(�� ��⁄ ), da proximidade e da capacidade para aproximação de ordem zero, obtidos por
simulação, assim como, os correspondentes resultados presentes na referência [3 Tab.2].
Verifica-se que o desvio existente entre os resultados simulados e publicados, apresentado na
Tabela 3.2, para a capacidade e para a relação entre cargas é sempre inferior a 1%, reforçando
assim a validade do método implementado.
Caso o leitor opte por comparar os resultados da capacidade (Tabela 3.2) com os resultados
apresentados na referência [2, Fig.9 (a) curva 4], pode fazê-lo utilizando a expressão (3.4)
para calcular a indutância.
A proximidade normalizada ��� �� ��⁄ � , onde �� �� é calculado através de (2.45), é
diretamente comparável com a indutância normalizada presente na referência [2 Fig. 9 (b)
curva 4], uma vez que esta é apresentada através dos coeficientes de potencial, onde por
inspeção se conclui que os resultados são muito idênticos.
Figura 3.3 – Distribuição do campo elétrico normalizado (E2φ /E0) ao longo da superfície do sub-
condutor 2 por variação de φ, para a configuração em esteira.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.1
0.2
0.3
0.4
/
Er(
) /
E0
x =2,5
x = 5
x = 10
x = 20
34
Tabela 3.2 – Resultados normalizados da capacidade, da relação Q2/Q1, da proximidade e desvio dos
resultados relativamente a [3 Tab. 2], para a configuração em esteira, em função de x.
x Capacidade
��� ��⁄
Relação entre cargas
��/��
Proximidade �� �� ��⁄
�× �����
Aprox. de ordem
zero � ��⁄
Simulado
Publicado [3]
Desvio (%)
Simulado Publicado
[3] Desvio
(%) Simulado
2,5 1,1228 1,1245 0,15 0,4776 0,4776 0,011 -4,6718 1,1155
5 1,1914 1,1930 0,14 0,6100 0,6101 0,008 -1,1435 1,1888
10 1,2768 1,2785 0,13 0,7068 0,7068 0,004 -0,2869 1,2760
20 1,3783 1,3876 0,67 0,7702 0,7703 0,003 -0,0729 1,3780
Nas Figuras 3.4 a 3.6 são representadas as evoluções da relação �� ��⁄ , da capacidade e da
proximidade, em função do fator de proximidade (� = � ��⁄ ) . Sendo que este está
compreendido entre 2 e 20.
Figura 3.4 – Rácio entre a carga do sub-condutor 2 e 1 (Q 2 / Q 1) em função de x, com e sem efeito de
proximidade, para a configuração em esteira.
2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x = d / rc
Q2 /
Q1
Aproximação de ordem zero
35
Figura 3.5 – Capacidade normalizada Ceq/C0 e aproximação de ordem zero normalizada, em função de
x, para a configuração em esteira.
2 4 6 8 10 12 14 16 18 201
1.1
1.2
1.3
1.4
x = d / rc
Ceq
/ C
0
Aproximação de ordem zero
Figura 3.6 – Contribuição normalizada da proximidade Sp eq/S0, em função de x, para a configuração
em esteira.
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-10
-5
0
x 10-3
x = d / rc
Sp eq
/ S
0
36
3.1.2 – Configuração em triângulo
O segundo sistema a analisar, é o sistema com configuração em triângulo composta por três
sub-condutores que formam um triângulo equilátero como mostra a Figura 3.7.
Figura 3.7 – Secção transversal do feixe de condutores com configuração em triângulo.
Analogamente à secção anterior, a simulação foi feita variando o fator de proximidade entre
2,5 e 20, apresentando-se nas Tabelas 3.3 e 3.4 os resultados obtidos por simulação, assim
como os resultados obtidos pelos autores da referência [3], para possibilitar a comparação.
Por forma a consolidar a validação, é calculado o desvio cometido em relação aos resultados
apresentados na referência [3].
Na Tabela 3.3 apresentam-se os resultados da configuração em triângulo, para a amplitude
máxima do campo elétrico normalizado na superfície do sub-condutor 1 (���á� ��⁄ ) e o
respetivo desvio, comparativamente à referência [3 Tab. 1]. Tal como na configuração em
esteira, o desvio cometido em relação à referência [3] é inferior a 1%.
Na Figura 3.8 pode observar-se para diferentes fatores de proximidade, a distribuição
normalizada do campo ao longo da superfície do sub-condutor 1, por variação do ângulo φ
37
para � = �� . Esta quando comparada com a referência [2 Fig.4], permite aferir que os
resultados são muito idênticos.
Tabela 3.3 – Resultado do campo elétrico normalizado (E1máx/E0) para o sub-condutor 1 e desvio dos
resultados relativamente a [3 Tab. 1], para a configuração em triângulo.
x Campo elétrico no condutor 1
��� á� ��⁄
Simulado Publicado Desvio (%)
2,5 0,7049 0,7043 0,08
5 0,6124 0,6117 0,11
10 0,5478 0,5474 0,07
20 0,5219 0,5212 0,14
Figura 3.8 – Distribuição do campo elétrico normalizado (E1φ /E0), ao longo da superfície do sub-
condutor 1 por variação de φ, para a configuração em triângulo.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
/
Er(
) /
E0
x = 2,5
x = 5
x = 10
x = 20
38
Na Tabela 3.4 apresentam-se, para diferentes fatores de proximidade, os resultados
normalizados da capacidade, da proximidade e da capacidade para a aproximação de ordem
zero, obtidos por simulação. Assim como os correspondentes resultados presentes em [3
Tab.1].
A capacidade normalizada ���� ��⁄ � apresenta um desvio nos resultados inferior a 1%, tal
como na configuração em esteira. Caso o leitor opte por comparar os resultados da capacidade
(Tabela 3.4) com os resultados apresentados na referência [2, Fig.7 (a) curva 4], pode fazê-lo
utilizando a expressão (3.4) para calcular a indutância.
A contribuição da proximidade ��� �� ��⁄ � , onde �� �� é calculado através de (2.45), é
diretamente comparável com a indutância normalizada presente na referência [2, Fig. 7 (b)
curva 4], uma vez que esta é apresentada através dos coeficientes de potencial, onde por
inspeção se conclui que os resultados são muito idênticos.
Tabela 3.4 – Resultados normalizados da capacidade, da proximidade e desvio dos resultados
relativamente a [3 Tab. 1], para a configuração em triângulo, em função de x.
x Capacidade
��� ��⁄
Proximidade �� �� ��⁄
�× �����
Aprox. de ordem zero
� ��⁄
Simulado Publicado Desvio (%) Simulado Simulado
2,5 1,1024 1,1039 0,13 -15,449 1,0839
5 1,1638 1,1653 0,13 -4,7181 1,1574
10 1,2435 1,2453 0,14 -1,2456 1,2416
20 1,3396 1,3414 0,14 -0,3158 1,3390
Nas Figuras 3.9 e 3.10 são representadas respetivamente, as evoluções normalizadas da
capacidade e da proximidade, em função do fator de proximidade (� = � ��⁄ ). Sendo que este
está compreendido entre 2 e 20.
É então possível afirmar que o método implementado neste trabalho é válido, dado que os
resultados apresentados neste capítulo são idênticos aos resultados apresentados por outros
autores, referências [2 e 3].
39
Figura 3.9 – Capacidade normalizada Ceq/C0 e aproximação de ordem zero normalizada em função
de x, para a configuração em triângulo.
2 4 6 8 10 12 14 16 18 201
1.1
1.2
1.3
1.4
x = d / rc
Ceq
/ C
0
Aproximação de ordem zero
Figura 3.10 – Contribuição normalizada da proximidade Sp eq/S0, em função de x, para a
configuração em triângulo.
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.03
-0.02
-0.01
0
x = d / rc
Sp eq
/ S
0
40
41
Capítulo 4
Análise de resultados
Neste capítulo analisam-se os resultados apresentados no Capítulo 3 e os resultados para a
configuração em quadra que serão apresentados neste capítulo. Os resultados foram obtidos
por simulação de uma rotina implementada em MATLAB®.
42
43
4 – Análise de Resultados
4.1 – Configuração em esteira
Nas Figuras 3.2 e 3.3 é representada a evolução do campo elétrico normalizado, por variação
de φ para � = �� , do sub-condutor 1 (��� ��)⁄ e do sub-condutor 2 (��� ��)⁄ ,
respetivamente. Nesta configuração apresenta-se a evolução do campo em dois sub-
condutores porque a sua geometria (Figura 3.1) faz com que o campo elétrico nos sub-
condutores dos extremos do feixe seja diferente do campo no sub-condutor do centro. As
Figuras 3.2 e 3.3 permitem observar a distribuição não uniforme do campo elétrico na
superfície dos sub-condutores, devido ao efeito de proximidade.
Por forma a apresentar ao leitor uma representação diferente da distribuição do campo, este é
novamente apresentado nas Figuras 4.1 e 4.2, para o sub-condutor 1 e 2, respetivamente. É
notório que à medida que se afastam os sub-condutores do feixe, a distribuição do campo
elétrico tende a ficar uniforme. Sendo que, para o fator de proximidade � = 20, ainda existe
influência do efeito de proximidade, visto que a distribuição do campo ainda não é uniforme.
Constata-se que para o sub-condutor 1 a amplitude máxima do campo elétrico verifica-se em
� = � e para o sub-condutor 2 o máximo ocorre em � = ± � 2⁄ . Estes pontos são críticos,
pois aumentam a probabilidade de ocorrência do efeito de coroa, sendo a probabilidade de
ocorrência deste fenómeno mais elevada no sub-condutor 1, visto que ���á� > ���á� . O
facto de que a probabilidade de ocorrência do efeito de coroa ser mais elevada no sub-
condutor 1, está relacionado com o facto da carga no sub-condutor 1 ser maior
comparativamente com a carga do sub-condutor 2 (�� > ��). Na Figura 3.4 está evidenciado
que �� > ��, pois é representada a relação �� ��⁄ em função do fator de proximidade. Note-
se que a relação �� ��⁄ é sempre inferior à unidade e que, aproximadamente, a partir de
� ≤ 10 verifica-se que a relação de cargas da aproximação exata é maior que a relação de
cargas com aproximação de ordem zero. A diferença verificada, a partir de � ≤ 10, entre a
aproximação exata e a aproximação de ordem zero da relação de cargas, é tanto maior quanto
menor for x, o que evidencia a influência do efeito de proximidade na distribuição de carga
dos sub-condutores.
44
Figura 4.1 – Distribuição do campo elétrico normalizado (E1φ/E0) ao longo da superfície do sub-
condutor 1, em coordenadas polares para a configuração em esteira.
0.2
0.4
0.6
0.8
/6
7/6
/3
4/3
/2
3/2
2/3
5/3
5/6
11/6
0
x=2,5
x=5
x=10
x=20
Figura 4.2 – Distribuição do campo elétrico normalizado (E2φ/E0) ao longo da superfície do sub-
condutor 2, em coordenadas polares para a configuração em esteira.
0.1
0.2
0.3
0.4
/6
7/6
/3
4/3
/2
3/2
2/3
5/2
5/6
11/6
0
x = 2,5
x = 5
x = 10
x = 20
45
De seguida analisa-se a capacidade e a contribuição da proximidade, cuja sua evolução está
apresentada nas Figuras 3.5 e 3.6, respetivamente.
Analisando a Figura 3.5, onde se apresenta a evolução da capacidade normalizada ���� ��⁄ �
em comparação com a capacidade da aproximação de ordem zero para a configuração em
esteira, verifica-se que à medida que se aproximam os sub-condutores do feixe, com o
decréscimo do fator de proximidade, a capacidade tende a apresentar valores diferentes da
aproximação de ordem zero. Essa diferença acentua-se devido ao aumento do efeito de
proximidade, com o decréscimo de x, como é possível ver na Figura 3.6.
4.2 – Configuração em triângulo
Para o feixe de sub-condutores com configuração em triângulo foi apenas representada a
evolução do campo elétrico normalizado ���� ��⁄ � no sub-condutor 1 (Figura 3.8), porque a
geometria do sistema é simétrica (Figura 3.7), o que implica que o campo elétrico será igual
nos três sub-condutores. A amplitude máxima do campo elétrico verifica-se em � = �, como
é possível ver na Figura 3.8, pelo que, este é o ponto ao longo da superfície do sub-condutor 1
onde existe maior probabilidade de se iniciar o efeito de coroa. Fazendo a comparação entre a
configuração em triângulo e em esteira, verifica-se que a reorganização geométrica dos sub-
condutores do feixe origina uma diminuição da amplitude do campo elétrico.
Na Figura 4.3 é, novamente, representado o campo ��� ��⁄ , por forma a fornecer ao leitor
uma representação diferente daquela apresentada anteriormente. Tal como acontece na
configuração em esteira, para � = 20, o efeito de proximidade ainda exerce alguma influência
na distribuição do campo elétrico, pois a distribuição do campo ainda não é uniforme.
Analisa-se de seguida a capacidade e a contribuição da proximidade, cuja evolução está
representada nas Figuras 3.9 e 3.10, respetivamente.
Observa-se que a capacidade do sistema na configuração em triângulo é inferior daquela que
se verifica na configuração em esteira. Na configuração em triângulo, tal como na
configuração em esteira, a capacidade sofre um desvio relativamente à capacidade de
aproximação de ordem zero (Figura 3.9). Este desvio quando comparado com o que se
verifica na configuração em esteira, é ligeiramente superior, isto deve-se ao efeito de
proximidade ser mais intenso na configuração em triângulo.
46
Nas Figuras 3.6 e 3.10 está representada a evolução da proximidade para a configuração em
esteira e em triângulo, respetivamente. Comparando as figuras verifica-se de imediato que a
proximidade é mais intensa na configuração em triângulo.
Os factos acima referidos são uma consequência que está diretamente relacionada com a
geometria do sistema. Na configuração em triângulo os sub-condutores do feixe estão todos à
mesma distância uns dos outros (Figura 3.7), o que não acontece na configuração em esteira
onde um par de sub-condutores está distanciado de d e o outro par de 2d (Figura 3.1). Como
na configuração em triângulo os sub-condutores do feixe estão, igualmente, distanciados uns
dos outros, por um lado implica que a capacidade do sistema diminua, por outro lado aumenta
bastante a intensidade do efeito de proximidade, comparativamente à configuração em esteira.
Figura 4.3 – Distribuição do campo elétrico normalizado (E1φ/E0) ao longo da superfície do sub-
condutor 1, em coordenadas polares para a configuração em triângulo.
0.2
0.4
0.6
0.8
0
/6
7/6
/3
4/3
/2
3/2
2/3
5/3
5/6 11/6
x=2,5
x=5
x=10
x=20
47
4.3 – Configuração em quadra
Nesta secção são analisados os resultados obtidos por simulação, com condições iguais às
consideradas no Capítulo 3, para a configuração em quadra (Figura 4.4).
Figura 4.4 – Secção transversal do feixe de condutores com configuração em quadra.
A Tabela 4.1 apresenta os resultados numéricos normalizados obtidos por simulação da
amplitude máxima do campo, da capacidade, da proximidade e da capacidade para a
aproximação de ordem zero, para possibilitar a comparação com os resultados apresentados
no Capítulo 3.
Na Figura 4.5 é representada a evolução do campo ao longo da superfície do sub-condutor 1
(��� ��⁄ ), por variação do ângulo φ para � = ��, para diferentes fatores de proximidade. Pela
mesma figura é possível observar que a amplitude do campo elétrico tem o valor máximo
localizado em � = �.
Comparando o campo presente na configuração em quadra com o que se observa nas
configurações anteriores, verifica-se que na configuração em quadra existe uma diminuição
da amplitude máxima do campo elétrico. A diminuição da amplitude do campo era expectável
porque a introdução do quarto sub-condutor faz com que cada sub-condutor do feixe possua
menos carga, comparativamente a um feixe constituído por três sub-condutores, e por
48
conseguinte origina a redução da amplitude do campo elétrico, dado que o campo é
diretamente proporcional à carga.
Tabela 4.1 – Resultados normalizados do campo elétrico, da capacidade e da proximidade, para a
configuração em quadra.
x
Campo elétrico no condutor 1
��� á� ��⁄
Capacidade
��� ��⁄
Proximidade
�� �� ��⁄
�× �����
Aprox. de ordem zero
� ��⁄
2,5 0,6221 1,1293 -16,433 1,1088
5 0,5237 1,2036 -5,1946 1,1962
10 0,4570 1,3009 -1,3939 1,2985
20 0,4302 1,4208 -0,3552 1,4201
Analogamente do que foi feito nas secções 4.1 e 4.2, na Figura 4.6 é novamente apresentada a
evolução do campo elétrico ao longo da superfície do sub-condutor 1. Repare-se que o fator
Figura 4.5 – Distribuição do campo elétrico normalizado (E1φ /E0), ao longo da superfície do sub-
condutor 1, para a configuração em quadra.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
/
Er(
) /
E0
x = 2,5
x = 5
x = 10
x = 20
49
de proximidade mais elevado (� = 20) não é suficiente para eliminar o efeito de
proximidade, tal como nas configurações anteriores.
De seguida analisa-se a capacidade e a contribuição da proximidade, cuja evolução está
representada nas Figuras 4.7 e 4.8, respetivamente.
Observa-se que a capacidade do sistema com configuração em quadra (Figura 4.7) quando
comparada com as configurações anteriores sofre um ligeiro aumento. Na configuração em
quadra, tal como acontece nas configurações em esteira e triângulo, verifica-se que à medida
que o fator de proximidade diminui, a capacidade do sistema sofre um desvio em relação à
aproximação de ordem zero. Este desvio é ligeiramente superior ao desvio verificado nas
configurações em esteira e triângulo, uma vez que na configuração em quadra o efeito de
proximidade (Figura 4.8) é mais intenso, comparativamente, com as configurações em esteira
e triângulo.
Os factos acima referidos estão relacionados com a introdução do quarto sub-condutor no
feixe que, por um lado altera a geometria do sistema (Figura 4.4). Note-se que os pares de
Figura 4.6 – Distribuição do campo elétrico normalizado (E1φ/E0) ao longo da superfície do sub-
condutor 1, em coordenadas polares, para a configuração em quadra.
0.2
0.4
0.6
0.8
7/4
/4
/2
5/4
3/4
3/2
0
x=2,5
x=5
x=10
x=20
50
sub-condutores horizontais e verticais estão distanciados de d e os pares de sub-condutores
das diagonais estão distanciados de D’, e �� > � . Por outro lado, o quarto sub-condutor
acrescenta uma contribuição adicional à capacidade equivalente do sistema e à proximidade,
fazendo com estas sejam superiores às que se verificam nas configurações em esteira e
triângulo.
Figura 4.7 – Capacidade normalizada Ceq /C0 e aproximação de ordem zero normalizada em função
de x, para a configuração em quadra.
2 4 6 8 10 12 14 16 18 201
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
x = d / rc
Ceq
/ C
0
Aproximação de ordem zero
51
Considerações
Os resultados apresentados no Capítulo 3 conjuntamente com os resultados apresentados no
presente capítulo demonstram, por um lado, que o campo elétrico é fortemente afetado pelo
efeito de proximidade, por outro lado, a capacidade é pouco afetada pelo efeito de
proximidade.
Os resultados para o campo elétrico revelam que a amplitude máxima do campo aumenta e a
sua distribuição ao longo da superfície do condutor fica cada vez mais deformada com
aumento da proximidade.
A redução da amplitude do campo elétrico verificada da configuração em esteira para a
configuração em triângulo deve-se à mudança da geometria do sistema. Pois passa-se de um
sistema onde os sub-condutores do feixe não estão igualmente distanciados uns dos outros e
por conseguinte têm cargas diferentes, configuração esteira. Para um sistema onde os sub-
condutores estão igualmente distanciados uns dos outros, configuração em triângulo,
originando uma distribuição idêntica das cargas pelos sub-condutores, reduzindo assim a
Figura 4.8 – Contribuição normalizada da proximidade Sp eq /S0 em função de x, para a configuração
em quadra.
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.03
-0.02
-0.01
0
x = d / rc
Sp eq
/ S
0
52
amplitude do campo em cada sub-condutor. A redução verificada no campo elétrico para a
configuração em quadra face às anteriores era expectável, pois com o aumento de sub-
condutores do feixe, cada sub-condutor vai apresentar menos carga. Como consequência o
campo elétrico reduz a sua amplitude, dado que o campo é diretamente proporcional à carga.
A alteração da configuração dos sub-condutores do feixe, de esteira para triângulo, pouco
altera a capacidade do sistema, mesmo com um aumento elevado da intensidade do efeito de
proximidade. Quando se passa de um feixe constituído por três sub-condutores para um feixe
de quatro sub-condutores com configuração em quadra, a capacidade do sistema revela uma
alteração pouco relevante face ao aumento da intensidade da proximidade.
53
Capítulo 5
Conclusões
O principal objetivo deste trabalho, era estudar a influência do efeito de proximidade no
cálculo da capacidade da linha aérea geminada. Assim foi desenvolvida uma rotina em
MATLAB® que permite efetuar esse cálculo de uma forma fiável.
Este capítulo apresenta as conclusões relativamente ao estudo realizado ao logo do trabalho.
54
55
Conclusões
Nas linhas aéreas de alta tensão, para níveis de tensão elevados, a partir dos 220 kV, as fases
são constituídas por feixes de sub-condutores, em vez de um único condutor. A proximidade
entre os sub-condutores causa o fenómeno denominado pela literatura de efeito de
proximidade. Para possibilitar este estudo, foi desenvolvido um programa informático com
recurso à ferramenta da “The MathWorks, Inc”, MATLAB®. Para a obtenção da solução do
potencial, foram considerados os seguintes pressupostos: o meio é linear, homogéneo,
isotrópico e não eletrizado; os sub-condutores são submetidos ao mesmo potencial; os sub-
condutores são cilíndricos, de raios iguais e teoricamente infinitos (� > > ��), e dispostos
paralelamente uns ao outros; a Terra é considerada um condutor plano que se encontra a uma
distância suficientemente grande (ℎ > > �) dos sub-condutores, não exercendo influência no
campo elétrico originado por estes; na fronteira existe solução única se se conhecer o
potencial ou a derivada do potencial. Na construção da solução do potencial foi usado o
método do multipolo [4] com expansão em série de Fourier.
As principais diferenças deste trabalho em relação as referências que motivaram a sua
realização são: - É apresentado o raciocínio que permite a passagem do campo magnético,
apresentado na referência [2], para o campo elétrico. - O método implementado neste trabalho
permite a caracterização de sistemas de condutores para configurações mais complexas que o
tradicional, sendo que os condutores do feixe podem ter raios diferentes. O que não acontece
na referência [4], onde são considerados condutores geminados e entrançados.
Neste trabalho foram consideradas três configurações para o feixe de sub-condutores,
nomeadamente as configurações em esteira e triângulo, compostas por três sub-condutores,
bem como a configuração em quadra composta por quatro sub-condutores. Foi analisado o
comportamento do campo elétrico, no domínio da eletrostática, mais propriamente a
distribuição do campo elétrico na superfície dos sub-condutores. Também se analisou a
influência do efeito de proximidade no cálculo dos coeficientes de capacidade da linha aérea.
O algoritmo implementado foi validado com sucesso, uma vez que, o desvio dos resultados
obtidos por simulação em relação aos resultados apresentados por outros autores, referência
[3], é inferior a 1% para as configurações em esteira e em triângulo.
No sistema com configuração em esteira, analisou-se a distribuição do campo elétrico em dois
sub-condutores, mais propriamente, nos sub-condutores do extremo esquerdo e do centro do
56
feixe, devido à geometria desta configuração, pois a distância entre um par é o dobro da do
outro par de sub-condutores. Esta diferença de distâncias entre os pares de sub-condutores faz
com que os sub-condutores dos extremos do feixe apresentem uma amplitude maior do campo
quando comparada com a amplitude do sub-condutor do centro do feixe, pois a carga do sub-
condutor central é menor que a carga dos restantes.
O efeito de proximidade verificado na configuração em esteira mostra ter pouca influência na
capacidade do sistema, pois a diferença que se verifica em relação à capacidade da
aproximação de ordem zero é mínima.
No feixe de sub-condutores com configuração em triângulo, a distribuição do campo elétrico
foi apresentada apenas para um sub-condutor, devido à geometria do sistema. Pois nos outros
sub-condutores, o campo tem uma distribuição idêntica mas com uma rotação deste.
Verificou-se que a reorganização geométrica do feixe provoca uma ligeira redução da
amplitude do campo elétrico em comparação com a amplitude do campo presente na
configuração em esteira.
Na configuração em triângulo o efeito de proximidade apresenta uma intensidade superior
daquela apresentada na configuração em esteira, este facto deve-se à geometria do sistema,
pois os sub-condutores estão equidistantes uns dos outros. Conclui-se que mesmo com um
efeito de proximidade bastante mais intenso, a configuração em triângulo, apresenta uma
capacidade inferior daquela que se verifica na configuração em esteira.
Na configuração em quadra a existência do quarto sub-condutor provoca uma redução da
amplitude do campo elétrico em comparação com as configurações em esteira e em triângulo,
como seria expectável, porque ao aumentar o número de sub-condutores diminui-se a carga
que cada sub-condutor possui e consequentemente reduz-se a amplitude do campo elétrico.
Verifica-se que é na configuração em quadra onde se observa maior intensidade do efeito de
proximidade, devido ao feixe ser constituído por quatro sub-condutores, no entanto o impacto
da proximidade na capacidade do sistema não é relevante.
Em suma, os resultados obtidos para as três configurações consideradas neste trabalho
permitem concluir que o campo elétrico é fortemente afetado pelo efeito de proximidade.
Pois, quanto mais intensa for a proximidade, mais deformada fica a distribuição do campo
elétrico. Verificou-se que a reorganização geométrica do feixe de sub-condutores da
configuração em esteira para a configuração em triângulo, reduz ligeiramente a amplitude do
campo ����á� �������> ��á� ���â������ . De referir ainda, que à medida que o efeito de
57
proximidade diminui (com o aumento de x), o campo elétrico na superfície do sub-condutor
tende a ficar uniforme.
Os resultados das diferentes configurações permitem também concluir que a capacidade do
sistema é pouco afetada pelo efeito de proximidade, mesmo que se verifique um aumento
considerável da intensidade do efeito de proximidade.
O campo elétrico é fortemente afetado pelo efeito de proximidade enquanto a capacidade do
sistema não é, porque enquanto o campo elétrico é uma grandeza pontual, o valor da
capacidade equivalente depende do campo elétrico ao longo da superfície do condutor,
relacionando-se portanto com o valor médio.
Por último, como proposta de trabalho futuro, sugere-se que se aplique o método utilizado
neste trabalho a cabos subterrâneos, onde é necessário considerar: a bainha, o dielétrico
interior e exterior do cabo, assim como a existência de três fases no sistema, o que tem
influência no cálculo da capacidade equivalente do sistema.
58
Bibliografia
[1] J.A. Brandão Faria, Electromagnetic Foundations of Electrical Enginneering, Wiley,
2008.
[2] V. Maló Machado, M. Eduarda Pedro, J.A. Brandão Faria, D. Van Dommelen, Magnetic
field analysis of three-conductor bundles in flat and triangular configurations with the
inclusion of proximity and skin effects, Electrical Power Systems Research 81 (2011)
2005-2014.
[3] J.A. Brandão Faria, V. Maló Machado, D. Van Dommelen, Comparison of zeroth-order
and harmonic expansion calculation of the electrostatic parameters of three-conductor
bundles, Electrical Power Systems Research 81 (2011) 488-494.
[4] J.F. Borges da Silva, The electrostatic field problem of stranded and bundle conductors
solved by the multi-pole method, Electricidade 142 (1979) 1-11.