inf exame mat b 2007 - docmath.net · para cada nível de desempenho, é indicada uma percentagem....
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1. INTRODUÇÃO
O presente documento visa divulgar as características da prova de exame nacional do EnsinoSecundário da disciplina de Matemática B, a realizar em 2007 pelos alunos que se encontramabrangidos pelos planos de estudo instituídos pelo Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de Março,rectificado pela Declaração de Rectificação n.º 44/2004, de 25 de Maio.
Devem ainda ser tidas em consideração a Portaria n.º 550-D/2004, de 21 de Maio, com asalterações introduzidas pela Portaria n.º 259/2006, de 14 de Março, e o Decreto-Lei n.º 24/2006,de 6 de Fevereiro, com as rectificações constantes da Declaração de Rectificação n.º 23/2006,de 7 de Abril.
A prova de exame nacional a que esta informação se refere incide nas aprendizagens e nascompetências incluídas no Programa de Matemática B, homologado no âmbito da aplicação doDecreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de Março.
Este documento visa dar a conhecer, aos diversos intervenientes no processo de exames, asaprendizagens e as competências que são objecto de avaliação, as características e a estruturada prova, o material a utilizar e a duração da mesma. São ainda apresentados os critérios geraisde classificação da prova, bem como exemplos de itens/descrições de tarefas e respectivoscritérios específicos de classificação.
Os exemplos de itens/descrições de tarefas apresentados, assim como os critérios específicosde classificação, não constituem um modelo de prova. As cotações apresentadas nositens/tarefas que integram esta informação têm um carácter meramente exemplificativo.
A avaliação sumativa externa, realizada através de uma prova escrita de duração limitada, sópermite avaliar parte das aprendizagens e das competências enunciadas no Programa. Aresolução da prova pode, no entanto, implicar a mobilização de outras aprendizagens e
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PROVA DE EXAME FINALDE ÂMBITO NACIONAL DE
MATEMÁTICA B
Prova 735
200711.º ou 12.º Ano de Escolaridade
Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de Março
Para:
– Direcção-Geral de Inovação e deDesenvolvimento Curricular
– Inspecção Geral de Educação
– Direcções Regionais de Educação
– Secretaria Regional de Educação da Madeira
– Secretaria Regional de Educação dos Açores
– Escolas com Ensino Secundário
– Estabelecimentos de Ensino Particulare Cooperativo com Paralelismo e comEnsino Secundário
– CIREP
– FERLAP
– CONFAP
INFORMAÇÃO N.º 136.06
Data: 2006.12.15
competências incluídas no Programa e não expressas no objecto de avaliação enunciado noponto 2. deste documento.
As informações sobre o exame apresentadas neste documento não dispensam a consulta dalegislação referida e do Programa da disciplina.
Como informação adicional, as provas de exame desta disciplina, realizadas na 1.ª e na 2.ª fasesdos exames nacionais de 2006, podem ser consultadas em www.gave.pt.
2. OBJECTO DE AVALIAÇÃO
A prova tem por referência o Programa da disciplina de Matemática B, em vigor.
São objecto de avaliação os objectivos e as competências que o Programa enuncia e que sãopassíveis de avaliação externa em prova escrita de exame nacional, a saber:
• analisar situações da vida real (simplificadas), identificando modelos matemáticos quepermitam a sua interpretação e resolução;
• seleccionar estratégias de resolução de problemas;
• formular hipóteses e prever resultados;
• interpretar e criticar resultados no contexto do problema;
• resolver problemas em contextos de Matemática, de Física, de Economia e de CiênciasHumanas;
• descobrir relações entre conceitos de Matemática;
• formular generalizações a partir de experiências;
• comunicar conceitos, raciocínios e ideias com clareza e rigor lógico;
• interpretar e criticar textos de Matemática (apresentados em diversas formas ou comdiferentes linguagens);
• exprimir o mesmo conceito em diversas formas ou linguagens;
• usar correctamente o vocabulário específico da Matemática;
• usar e interpretar a simbologia da Matemática;
• apresentar os textos de forma clara e organizada;
• resolver problemas de Geometria;
• resolver problemas recorrendo a funções e seus gráficos;
• resolver problemas de Trigonometria;
• resolver problemas que envolvam a organização e a interpretação de caracteres estatísticos;
• resolver problemas que envolvam distribuições bidimensionais;
• utilizar modelos de regressão na resolução de problemas;
• estudar sucessões definidas de diferentes formas;
• resolver problemas que envolvam diferentes tipos de funções;
• resolver problemas envolvendo modelos e distribuições de probabilidade, em situaçõessimples;
• resolver problemas de optimização em situações simples (incluindo problemas deProgramação Linear).
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A utilização da calculadora gráfica é objecto de avaliação nas seguintes competências:
• modelar, simular e resolver situações problemáticas;
• utilizar métodos gráficos para resolver equações e inequações;
• elaborar e analisar conjecturas.
3. ESTRUTURA E CARACTERIZAÇÃO DA PROVA
A prova é constituída por itens de resposta aberta de composição curta e de ensaio. Nestesúltimos, inclui-se um ou dois itens visando avaliar a capacidade de resolver problemas de umnível de complexidade superior ao dos restantes, podendo envolver a interpretação de umconjunto de dados e o estabelecimento de conexões entre diferentes temas ou diferentesaspectos do mesmo tema. Relativamente a estes itens, podem ser apresentados tópicos com oobjectivo de orientar o examinando na resolução da tarefa proposta.
A prova abrange os cinco grandes temas do programa: Modelos de Funções; Modelos Discretos(Sucessões); Optimização; Geometria; Probabilidades e Estatística.
O peso relativo de cada tema estará de acordo com os seguintes intervalos:
Modelos de Funções – 50% a 55%;
Modelos Discretos (Sucessões) – 10% a 15%;
Optimização – 10% a 15%;
Geometria – 10% a 15%;
Probabilidades e Estatística – 15% a 20%.
É de salientar que, atendendo a que o Programa dá grande ênfase às conexões entre osdiferentes tópicos, poderão aparecer itens que envolvam competências e conhecimentos demais do que um destes temas.
Considerando que o tema central do Programa é «Aplicações e Modelação Matemática», nageneralidade, os itens aparecem contextualizados em situações (simplificadas) da vida real.
A tecnologia desempenha um papel muito importante no Programa. Por este motivo, a utilizaçãoda calculadora gráfica é fundamental na resolução de grande parte dos itens.
A prova pode incluir um item que envolva a elaboração de uma pequena composição. A cotaçãodeste item contempla não só os conteúdos matemáticos, mas também uma valorização dascompetências de comunicação escrita em língua portuguesa. Esta valorização corresponde,aproximadamente, a 10% da cotação do item.
A prova tem um formulário anexo. A quantidade de fórmulas incluídas ultrapassa largamente onúmero das que serão eventualmente necessárias à realização de cada prova. Este formulárioé comum a todas as provas (1.ª Fase e 2.ª Fase).
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4. CRITÉRIOS GERAIS DE CLASSIFICAÇÃO DA PROVA
4.1. Quando o examinando responder ao mesmo item mais do que uma vez, deve eliminarinequivocamente a(s) resposta(s) que não deve(m) ser classificada(s). No caso de tal nãoacontecer, será classificada a resposta que surge em primeiro lugar.
4.2. Num item em que a respectiva resolução exija cálculos e/ou justificações, a classificaçãodeve ser:
• a soma algébrica das cotações atribuídas a cada etapa, de acordo com o disposto nospontos 4.4., 4.5., 4.6., 4.7. e 4.8. destes critérios gerais, e das desvalorizações previstasnos pontos 4.9. e 4.10. destes critérios gerais. Se a soma for negativa, a classificação aatribuir é de zero pontos;
• de zero pontos se o examinando se limitar a apresentar o resultado final.
4.3. Sempre que o examinando utilizar um processo de resolução não contemplado noscritérios específicos, caberá ao professor classificador adoptar um critério de distribuiçãoda cotação que julgue adequado. Salienta-se que deve ser aceite qualquer processocientificamente correcto, mesmo que envolva conhecimentos ou competências nãocontemplados no Programa da disciplina.
4.4. A cotação de cada item está subdividida pelas etapas que o examinando deve percorrerpara o resolver.
4.4.1. Em cada etapa, a cotação indicada é a máxima a atribuir.
4.4.2. O classificador não pode subdividir, em cotações parcelares, a cotação de cadaetapa.
Caso uma etapa envolva um único passo, testando apenas o conhecimento de umsó conceito ou propriedade, e a sua resolução não esteja completamente correcta,deve ser atribuída a classificação de zero pontos.
Caso uma etapa envolva mais do que um passo (por exemplo, a resolução de umaequação, a obtenção de uma expressão em função de uma variável, etc.) e a suaresolução esteja incompleta, ou contenha incorrecções, a classificação a atribuirdeve estar de acordo com o grau de incompletude e/ou com a gravidade dos erroscometidos. Por exemplo:
• erros de contas ocasionais devem ser desvalorizados em um ponto;
• erros que revelem desconhecimento de conceitos, regras ou propriedades devemser desvalorizados em, pelo menos, metade da cotação da etapa;
• transposições erradas de dados do enunciado devem ser desvalorizados em umponto, desde que o grau de dificuldade da etapa não diminua;
• transposições erradas de dados do enunciado devem ser desvalorizadas em, pelomenos, metade da cotação da etapa, caso o grau de dificuldade da etapa diminua.
4.4.3. Nas etapas cuja cotação se encontra discriminada por níveis de desempenho, oclassificador deve enquadrar a resposta do examinando numa das descriçõesapresentadas. O classificador não pode atribuir uma classificação diferente dasindicadas.
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4.4.4. No caso de o examinando cometer um erro numa das etapas, as etapassubsequentes devem merecer a respectiva classificação, desde que o grau dedificuldade não tenha diminuído, e o examinando as execute correctamente, deacordo com o erro que cometeu.
4.4.5. Caso o examinando cometa, numa etapa, um erro que diminua o grau de dificuldadedas etapas subsequentes, cabe ao classificador decidir a classificação máxima aatribuir a cada uma destas etapas. Em particular, se, devido a um erro cometido peloexaminando, o grau de dificuldade das etapas seguintes diminuir significativamente,a classificação máxima a atribuir em cada uma delas não deverá exceder metadeda cotação indicada.
4.4.6. Pode acontecer que o examinando, ao resolver um item, não percorraexplicitamente todas as etapas previstas nos critérios específicos. Todas as etapasnão percorridas explicitamente pelo examinando, mas cuja utilização e/ouconhecimento estejam inequivocamente implícitos na resolução do item, devemreceber a cotação indicada.
4.5. Nas etapas em que está previsto o recurso à calculadora, os critérios específicossubdividem-se em: «Explicação do método utilizado» e «Apresentação do(s) valor(es)».
4.5.1. Explicação do método utilizado:
De acordo com as instruções gerais para a realização da prova, o examinando deveapresentar todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora. Estaapresentação deve ser classificada de acordo com o critério que se segue, no qual,para cada nível de desempenho, é indicada uma percentagem. Esta percentagemdeve ser aplicada sobre a cotação prevista para a explicação do método utilizado, eo valor obtido deve ser arredondado às unidades (por excesso, se a mantissa donúmero a arredondar for 0,5 ou superior).
4.5.2. Apresentação do(s) valor(es):
Para cada valor que o examinando deve apresentar, os critérios específicos podemindicar um intervalo admissível. O valor apresentado pelo examinando podepertencer, ou não, a esse intervalo.
• Se o valor pertencer ao intervalo, deve ser atribuída a classificação máximaprevista para essa apresentação, a menos que haja lugar a qualquerdesvalorização prevista nos critérios específicos, por desrespeito relativo aonúmero de casas decimais com que o resultado deve ser apresentado.
• Se o valor não pertencer ao intervalo, deve ser atribuída a classificação de zeropontos.
4.6. Quando, num item, é pedida uma forma específica de apresentação do resultado final (porexemplo, «em minutos», «em percentagem», etc.), este deve ser apresentado na formapedida. Se o resultado final apresentado pelo examinando não respeitar a forma pedida noenunciado (por exemplo, se o enunciado pedir o resultado em minutos, e o examinando oapresentar em horas), devem ser atribuídos zero pontos na etapa correspondente aoresultado final. No entanto, o examinando não deve ser desvalorizado se não indicar aunidade em que é pedido o resultado (por exemplo, se o resultado final for 12 minutos, ou12 metros, e o examinando escrever simplesmente 12, não deve ser desvalorizado).
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4.7. O examinando deve respeitar sempre a instrução relativa à apresentação de todos oscálculos e de todas as justificações. Se, numa etapa, o examinando não respeitar estainstrução, apresentando algo (valor, quadro, tabela, gráfico, etc.) que não resulte detrabalho anterior, deve ser atribuída a classificação de zero pontos a essa etapa. Todas asetapas subsequentes que dela dependam devem ser igualmente classificadas com zeropontos.
4.8. O examinando deve respeitar sempre qualquer instrução relativa ao método a utilizar naresolução de um item (por exemplo, «equacione o problema», «resolva graficamente», etc.).Na resolução apresentada pelo examinando, deve ser inequívoco, pela apresentação de todosos cálculos e de todas as justificações, o cumprimento da instrução. Se tal não acontecer,considera-se que o examinando não respeitou a instrução. A etapa em que se dá o desrespeitoe todas as subsequentes que dela dependam devem ser classificadas com zero pontos.
4.9. Se, na resolução de um item, o examinando utilizar simbologia, ou escrever umaexpressão, inequivocamente incorrecta do ponto de vista formal (por exemplo, se escrevero símbolo de igualdade onde deveria estar o símbolo de equivalência), deve serdesvalorizado em um ponto, na cotação total desse item. Esta desvalorização não se aplicano caso em que tais incorrecções ocorram apenas em etapas cotadas com zero pontos,nem a eventuais utilizações do símbolo de igualdade, onde, em rigor, deveria estar osímbolo de igualdade aproximada.
4.10. Existem itens em cujo enunciado é dada uma instrução relativa ao número mínimo decasas decimais que o examinando deve conservar, sempre que, em cálculos intermédios,proceder a arredondamentos. Indicam-se, a seguir, as desvalorizações a aplicar, naclassificação total a atribuir ao item, em caso de desrespeito dessa instrução e/ou dearredondamentos mal efectuados.
Todos os valores intermédios estão de acordo com a instrução, mas existe, pelo menos, um valor intermédio mal arredondado ........................................... –1 pontos
Todos os valores intermédios estão bem arredondados, mas existe, pelo menos, um que não está de acordo com a instrução......................................... –1 pontos
Existe, pelo menos, um valor intermédio mal arredondado e existe, pelo menos, um que não está de acordo com a instrução......................................... –2 pontos
4.11. As classificações a atribuir às respostas dos examinandos devem ser expressas,obrigatoriamente, em números inteiros.
5. EXEMPLOS DE ITENS E RESPECTIVOS CRITÉRIOS DE CLASSIFICAÇÃO
Os exemplos de itens que se seguem não constituem um modelo de prova de exame.
Alguns itens saídos nos Exames Nacionais do 12º Ano, com os códigos 135 e 435, de 1997 até2004, no âmbito do tema Funções e contextualizados em situações da realidade, constituem,com eventuais adaptações, exemplos de itens que podem ser incluídos na prova. As adaptaçõessão necessárias, dado que, nesta prova, é permitida a resolução de qualquer item com recursoà calculadora.
Apresenta-se a seguir um conjunto de tipos de itens que também podem ser incluídos na provae os respectivos critérios de classificação. Salienta-se o carácter exemplificativo destes itens,bem como dos respectivos critérios de classificação. Os exemplos E, F e G são exemplos deitens que pretendem avaliar a capacidade de resolver problemas de um nível de complexidadesuperior ao dos restantes, podendo envolver a interpretação de um conjunto de dados e oestabelecimento de conexões entre diferentes temas ou diferentes aspectos do mesmo tema.
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A.1. A figura ao lado volta a reproduzir a caixa, com os
cinco pacotes cilíndricos, vistos de cima.
Os pontos , e são os centros das basesE F G
de três desses cinco cilindros.
Justifique que o triângulo é equilátero.ÒEFGÓ
A.2. A Maria pretende utilizar a caixa para guardar açúcar.
Sabe-se que do açúcar que a Maria costuma comprar ocupa" O1
."""! -7$
Será que a caixa permite guardar de açúcar?% O1
Exemplo A
A Maria comprou cinco pacotes de bolachas, que vêm acondicionados numa caixa de
forma paralelepipédica. A altura da caixa é igual à dos pacotes.
Em baixo estão representados: um pacote de bolachas, a caixa com os cinco pacotes e
um esquema (vista de cima) da forma como os mesmos estão acondicionados.
Cada pacote de bolachas tem a forma de um cilindro com de altura e cujas bases#! -7
têm de raio.$ -7
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CRITÉRIOS DE CLASSIFICAÇÃO
Exemplo A
A.1. ................................................................................................................................ 10
A classificação deve ser atribuída de acordo com os seguintes níveis de
desempenho:
Justificação correcta ......................................................................................... 10
Justificação correcta, com algumas incorrecções formais ................................ 8
Justificação incorrecta ou muito incompleta (por exemplo,
EF œ FG œ EG ) ........................................................................................... 0
A.2. ................................................................................................................................ 14
Determinar o comprimento da base da caixa ..................................................... 2
Determinar a altura do triângulo ÒEFGÓ .........................................................3
Determinar a largura da base da caixa ...............................................................2
Determinar o volume da caixa ............................................................................ 2
Determinar o peso de açúcar que é possível colocar na caixa
ou Determinar o volume ocupado por 4 Kg de açúcar .......................................3
Responder à questão colocada .............................................................................2
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Exemplo B
Encomendaram-se a um pasteleiro dois tipos de bolos para uma festa de casamento.
Cada quilograma de bolo do tipo A dá um lucro de 5 euros, e cada quilograma de bolo do
tipo B dá um lucro de 7 euros.
Relativamente aos produtos necessários à confecção dos bolos, o pasteleiro só tem
limitações em dois: dispõe apenas de 10 Kg de açúcar e de 6 Kg de farinha.
Sabe-se que:
• cada quilograma de bolo do tipo A leva 0,4 Kg de açúcar e 0,2 Kg de farinha;
• cada quilograma de bolo do tipo B leva 0,2 Kg de açúcar e 0,3 Kg de farinha.
B.1. O pasteleiro pensa fazer 7 Kg de bolo do tipo A e 18 Kg de bolo do tipo B. Será que
é possível? Justifique a sua resposta.
B.2. Quantos quilogramas de bolo do tipo A e quantos quilogramas de bolo do tipo B
deve o pasteleiro fabricar para ter o maior lucro possível? Determine o valor desse
lucro.
CRITÉRIOS DE CLASSIFICAÇÃO
Exemplo B
B.1. ................................................................................................................................ 10
Calcular o número de quilogramas de açúcar que seria necessário ....................4
Calcular o número de quilogramas de farinha que seria necessário ....................4
Concluir ..................................................................................................................2
B.2. ................................................................................................................................ 20
Indicar a função objectivo.......................................................................................2
Indicar as restrições .............................................................................................. 6
B ! .......................................................................................... 1
C ! ...........................................................................................1
! % B � ! # C Ÿ "!, , .................................................................... 2
! # B � ! $ C Ÿ ', , .......................................................................2
Apresentar o gráfico da região admissível.............................................................6
Indicar os valores de e para os quais é máxima a funçãoB C
objectivo..................................................................................................................4
Determinar o lucro máximo ................................................................................... 2
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Exemplo C
Suponha que, com o objectivo de angariar fundos, o presidente de uma instituição de
solidariedade social lhe propõe que invente um jogo de dados, cujos lucros revertam a favor
da instituição.
Neste jogo, a realizar-se na sede da instituição, deverão participar dois jogadores, apostando
cada um deles uma determinada quantia por jogada. O prémio de cada jogada será a soma
das duas quantias.
Em cada jogada, é , numerados de um a seis, e registada a lançado um par de dados soma
dos números saídos.
O jogo deverá obedecer ainda às seguintes restrições:
o jogo terá de ser justo, isto é, os dois jogadores deverão ter igual probabilidade de ganhar;†
para que o jogo seja mais emotivo, deverão ocorrer situações em que ninguém ganha,†
transitando o valor do prémio para a jogada seguinte;
uma vez que a instituição terá de ganhar dinheiro, deverá ocorrer uma situação (embora†
com probabilidade mais pequena do que a probabilidade de cada um dos jogadores
ganhar) em que o prémio reverta a favor da instituição.
Numa curta composição, com cerca de dez linhas, apresente uma proposta de um jogo que
obedeça a tais condições.
Deverá fundamentar a sua proposta indicando, na forma de percentagem, a probabilidade de,
em cada jogada:
cada um dos jogadores ganhar;†
a instituição ganhar.†
Sugestão: comece por elaborar uma tabela onde figurem todas as somas possíveis (no
lançamento de dois dados).
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CRITÉRIOS DE CLASSIFICAÇÃO
Exemplo C
Cotação ......................................................................................................................... 16
Apresenta-se a seguir um exemplo de resposta:
Neste jogo, participam dois jogadores, que apostam uma quantia fixa por cada jogada.
Lançam-se, em simultâneo, dois dados. Se a soma dos números saídos for:
• ;2 ou 12, o montante apostado reverte a favor da instituição
• ;7, o montante apostado transita para a jogada seguinte
• ;3, 4, 5 ou 6, ganha o jogador A
• .8, 9, 10 ou 11, ganha o jogador B
A probabilidade de o jogador A ganhar é igual à probabilidade de o jogador B
ganhar, e esse valor é cerca de . A probabilidade de a instituição ganhar é$*%
cerca de .'%
Tal como o exemplo acima ilustra, para que uma composição possa ser
considerada correcta e completa, deverá estar de acordo com os seguintes tópicos:
• os dois jogadores deverão ter a mesma probabilidade de ganhar;
• terá de existir uma situação que não seja favorável a nenhum dos jogadores e
seja favorável à instituição;
• terá de existir uma situação que não seja favorável a nenhum dos jogadores, nem
à instituição, e em que o montante apostado transite para a jogada seguinte;
• deverão ser explicitadas as probabilidades de, em cada jogada, cada um dos
jogadores e a instituição ganharem.
No quadro seguinte, indica-se como este item deve ser classificação.
Forma
Conteúdo
Nível 3 Nível 2 Nível 1
( ) ( ) ( )
A composição contempla
correctamente os quatro tópico
‡ ‡‡ ‡‡‡
s.
16 15 14
A composição contempla correctamente 12 11 10
três tópicos.
A composição contempla correctamente
dois tópicos.
8 7 6
A composição contempla correctamente 4 3 2
um tópico.
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( ) - Composição bem estruturada, sem erros de sintaxe, de pontuação‡ Nível 3
e/ou de ortografia, ou com erros esporádicos, cuja gravidade não
implique perda de inteligibilidade e/ou de rigor de sentido.
( ) - Composição razoavelmente estruturada, com alguns erros de‡‡ Nível 2
sintaxe, de pontuação e/ou de ortografia, cuja gravidade não
implique a perda de inteligibilidade e/ou de sentido.
( ) - Composição sem estruturação aparente, com a presença de erros‡‡‡ Nível 1
graves de sintaxe, de pontuação e/ou de ortografia, com perda
frequente de inteligibilidade e/ou de sentido.
Notas:
1. Se o examinando tiver elaborado uma tabela de dupla entrada, pode
depreender-se que as suas afirmações, estando correctas, se baseiam na sua
leitura. Caso contrário, o examinando deverá apresentar as justificações
necessárias. Se o examinando não apresentar uma tabela de dupla entrada,
nem apresentar qualquer justificação que a substitua, a cotação a atribuir à sua
resposta deverá ser, no máximo, metade da classificação prevista em cada
célula da quadro apresentada.
2. Deverão ser classificadas com zero pontos todas as respostas:
• que se limitem à apresentação da tabela;
• em que os acontecimentos não sejam disjuntos (por exemplo, existam
situações favoráveis simultaneamente a um jogador e à instituição);
• em que as condições de partida sejam alteradas (por exemplo, o jogo
consistir no lançamento de um só dado).
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Exemplo D
Considere o seguinte problema:
A tia Beta ofereceu, como prenda de Natal, um mealheiro a cada um dos seus sobrinhos, João
e André. No mealheiro do João, a tia colocou 20 euros. No mealheiro do André, a tia colocou 1
cêntimo. Ficou combinado que estes mealheiros eram para guardar, exclusivamente, o
dinheiro que, todos os meses, a tia Beta ia oferecer a cada um destes sobrinhos.
Ao João, a tia Beta deu 50 euros por mês. Assim, ao fim de um mês, o João ficou com 70 (20
+ 50) euros; ao fim de dois meses, o João ficou com 120 (20 + 50 + 50) euros; etc.
Ao André, a tia Beta deu, em cada mês, o dobro da quantia oferecida no mês anterior. Assim,
ao fim de um mês, o André ficou com 3 (1 + 2) cêntimos; ao fim de dois meses, o André ficou
com 7 (1 + 2 + 4) cêntimos; etc.
Ao fim de quantos meses terá o André ficado com mais dinheiro no mealheiro do que o João?
Traduza este problema por uma inequação e, recorrendo à sua calculadora, resolva-a.
CRITÉRIOS DE CLASSIFICAÇÃO
Exemplo D
Cotação ......................................................................................................................... 20
Quantia, em euros, existente no mealheiro do João
ao fim de 8 meses igual a .................................................................. 5#! � &!8
Quantia, em euros, existente no mealheiro do André
ao fim de 8 meses igual a ................................................8! !" ‚ Ð# � "Ñ, 8�"
Inequação que traduz o problema .........................................................................2
Resolução da inequação .......................................................................................5
Explicação do método utilizado (ver critério geral 7.1).............. 3
Resposta (16 meses) (ver nota)...............................................2
Nota: qualquer outro valor deve ser cotado com 0 (zero) pontos.
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Exemplo E
Numa aula de laboratório de Matemática, a professora propôs aos seus alunos o estudo da
Lei do Arrefecimento.
Para isso, propôs que aquecessem um pouco de água e que depois a deixassem arrefecer.
Enquanto a água esteve a arrefecer, mediram a temperatura desta de dois em dois minutos.
Os resultados das medições foram os seguintes (a variável designa o tempo, medido em>
minutos; a variável designa a temperatura, medida em graus Celsius):X
> ! # % ' ) "! "# "% "' ")
X )* % )& ( )! & (' ( (# # ') & '& ) '" * &) & && ', , , , , , , , , ,
A professora pediu depois aos alunos que medissem a temperatura ambiente, que era de 25
graus Celsius.
A professora sugeriu então que acrescentassem duas linhas à tabela anterior:
• uma para colocar os valores das diferenças entre as temperaturas da água e a temperatura
ambiente ( );X � #&
• outra para colocar os logaritmos (de base ) desses valores./
> ! # % ' ) "! "# "% "' ")
X )* % )& ( )! & (' ( (# # ') & '& ) '" * &) & && '
X � #&
68 ÐX � #&Ñ
, , , , , , , , , ,
A partir daqui, os alunos conseguiram estabelecer uma relação entre a temperatura, , daX
água e o tempo, , à custa da qual podiam prever a temperatura da água em qualquer>
instante.
Pretende-se que, tal como esses alunos, estabeleça uma relação entre a temperatura, , daX
água e o tempo, , e, à custa dessa relação, determine qual deverá ser a temperatura, , da> X
água, ao fim de meia hora.
Sugere-se que:
• Complete a tabela, apresentando os valores da última linha com três casas decimais.
• Utilizando a sua calculadora, obtenha o diagrama de dispersão relativo às variáveis e , sendo> C
C œ 68 ÐX � #&Ñ, e o coeficiente de correlação linear entre as mesmas variáveis. Atendendo ao
diagrama, interprete o valor do coeficiente de correlação.
• Utilizando a sua calculadora, obtenha, por regressão linear, os valores de e de tais que7 ,
C œ 7> � , 7 , (aproximadamente). Apresente os valores de e de arredondados às centésimas.
• Tendo em conta os valores de e de obtidos, determine qual deverá ser a temperatura da água7 ,
ao fim de meia hora de arrefecimento. Apresente o resultado em graus Celsius, arredondado às
unidades.
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CRITÉRIOS DE CLASSIFICAÇÃO
Exemplo E
Cotação ......................................................................................................................... 20
Completar a tabela ................................................................................................ 2
Indicar o coeficiente de correlação ........................................................................3
Interpretar o valor obtido para o coeficiente de correlação ...................................6
Interpretação relativa ao sinal ..................................................... 3
Interpretação relativa ao valor absoluto ...................................... 3
Indicar os valores de e de .......................................................................... 37 ,
Escrever a equação ............................. 268ÐX � #&Ñ œ � ! !% ‚ $! � % "), ,
Resolver a equação .....................................468 ÐX � #&Ñ œ # *), (ver nota)
Nota:
O examinando pode resolver a equação analiticamente ou graficamente.
Se o examinando resolver a equação analiticamente, a cotação desta etapa deve
ser repartida da seguinte forma:
68 ÐX � #&Ñ œ # *) X � #& œ /, Í# *),
.............................2
X ¸ %& ......................................................................................2
Se o examinando resolver a equação graficamente, com recurso à calculadora, a
cotação desta etapa deve ser repartida da seguinte forma:
Explicação do método utilizado (ver critério geral 7.1).............. 2
Apresentação do valor %& .......................................................... 2
Qualquer outro valor deve ser cotado com 0 (zero)
pontos.
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Exemplo F
Quando se dobra uma folha de papel ao meio, a espessura duplica.
Ao dobrar a folha novamente ao meio, a espessura volta a duplicar.
Admita que tem uma folha de papel com meio milímetro de espessura e imagine que é
possível dobrá-la ao meio tantas vezes quantas se queira.
Quantas dobragens serão necessárias para que a espessura da folha ultrapasse a distância
da Terra à Estrela Polar?
Para resolver este problema, deve ter em conta que a distância da Terra à Estrela Polar é de
680 anos-luz (um ano-luz é a distância que a luz percorre num ano, à velocidade de 300 mil
quilómetros por segundo).
Sugere-se que percorra as seguintes etapas:
- Determinar a distância da Terra à Estrela Polar, em milímetros, apresentando o resultado na
forma , com inteiro e entre e , arredondado às milésimas+ ‚ "! " "!,
, +
(considere , )." +89 œ $'& #& .3+=
- Determinar a expressão que dá a espessura, em milímetros, da folha de papel, ao fim de 8
dobragens.
- Traduzir o problema proposto por uma inequação.
- Resolver a inequação e responder à questão colocada.
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CRITÉRIOS DE CLASSIFICAÇÃO
Exemplo F
Cotação ......................................................................................................................... 30
Determinar a distância da Terra à Estrela Polar, em ...................................977
Exprimir 1 ano, em segundos ......................................................3
Exprimir, em , a distância que a luz percorre num ano....... 377
Distância da Terra à Estrela Polar, em ............................... 377
Determinar a expressão da espessura da folha ao fim de dobragens...............68
Escrever a inequação .....................................................4# � 'ß %$) ‚ "!8�" #"
Resolver a inequação ........................................................................ 11(ver nota)
Nota:
O examinando pode resolver a inequação analiticamente ou graficamente.
Se o examinando resolver a inequação analiticamente, a cotação desta etapa deve
ser repartida da seguinte forma:
8 � " � 691 'ß %$) ‚ "!#
� �#"
................................................... 4
8 � ($ß %%(.................................................................................4
Resposta ( dobragens ........................................................... 3(% Ñ
Se o examinando resolver a inequação graficamente, com recurso à calculadora,
a cotação desta etapa deve ser repartida da seguinte forma:
Explicação do método utilizado (ver critério geral 7.1).............. 9
Apresentação do valor 74............................................................ 2
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Exemplo G
A Margarida e o Pedro são irmãos.
Cada um deles quer construir um prisma quadrangular regular, a partir de uma folha de
cartolina rectangular, com 18 unidades de comprimento e 12 de largura.
Na figura, estão representados dois esquemas de possíveis planificações, um feito pela
Margarida e outro pelo Pedro.
Esquema da Margarida Esquema do Pedro
• designa o comprimento da aresta da base do prisma da Margarida;B
• designa o comprimento da aresta da base do prisma do Pedro.C
Admita que cada um dos dois irmãos constrói o prisma que, de acordo com o esquema que fez, tem
volume máximo.
Pretende-se saber qual dos dois irmãos obtém o prisma com maior volume. Pretende-se também
saber qual deles desperdiça menos cartolina com a sua construção.
Tendo em vista este objectivo, sugere-se que, relativamente a cada uma das construções, determine:
- O conjunto dos valores que a variável pode assumir, tornando possível a construção do prisma.
- O valor da variável para o qual o volume é máximo e o valor desse volume.
- A área de cartolina desperdiçada.
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CRITÉRIOS DE CLASSIFICAÇÃO
Exemplo G
Cotação ......................................................................................................................... 30
Indicar o conjunto dos valores que pode assumir ...................... 3B Ó!à % &Ó� �,
Volume do prisma da Margarida, em função de .................3B "# B � #B� �# $
Determinar o valor de para o qual o volume do prisma da MargaridaB
é máximo ..............................................................................................3(ver nota)
Determinar o volume máximo ...............................................................................2
Determinar a área de cartolina desperdiçada pela Margarida ..............................3
Indicar o conjunto dos valores que pode assumir ..........................3C Ó!à $Ó� �
Volume do prisma do Pedro, em função de ........................ 3C ") C � # C� �# $
Determinar o valor de para o qual o volume do prisma do Pedro éC
máximo .................................................................................................3(ver nota)
Determinar o volume máximo ...............................................................................2
Determinar a área de cartolina desperdiçada pelo Pedro .................................... 3
Responder à questão colocada .............................................................................2
Nota
O examinando pode encontrar o maximizante analiticamente ou graficamente.
Se o examinando utilizar a via analítica, a cotação desta etapa deve ser repartida da
seguinte forma:
Determinar a taxa de variação da função .................................1
Determinar o maximizante ......................................................... 2
Observe-se que, no caso do prisma do Pedro, a
função é sempre crescente, no seu domínio, pelo
que é máxima para .C œ $
Se o examinando utilizar a via gráfica, com recurso à calculadora, a cotação desta
etapa deve ser repartida da seguinte forma:
Explicação do método utilizado (ver critério geral 7.1).............. 2
Indicar o maximizante ................................................................1
No caso do prisma da Margarida, o intervalo
admissível para o maximizante é [3, , (ver**à % !"Ó
critério geral 7.2). No caso do prisma do Pedro,
onde a função é sempre crescente, no seu domínio,
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6. MATERIAL A UTILIZAR
O examinando apenas pode usar na prova, como material de escrita, caneta ou esferográfica detinta azul ou preta.
O examinando deve ainda ser portador de material de desenho (régua, compasso, esquadro etransferidor) e de calculadora gráfica.
A lista das calculadoras admissíveis é fornecida pela Direcção-Geral de Inovação e deDesenvolvimento Curricular.
O uso de lápis só é permitido nas construções que envolvam a utilização de material dedesenho.
Não é permitido o uso de «esferográfica-lápis» nem de corrector.
7. DURAÇÃO DA PROVA
A prova tem a duração de 150 minutos.
8. INDICAÇÕES ESPECÍFICAS
A prova tem um formulário anexo. A quantidade de fórmulas incluídas ultrapassa o número dasque serão eventualmente necessárias à realização de cada prova. Este formulário é comum atodas as provas.
O Director
(Carlos Pinto Ferreira)
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ANEXO
FORMULÁRIO
Comprimento de um arco de circunferência
α α< � < ( )amplitude, em radianos, do ângulo ao centro raio; �
Áreas de figuras planas
Losango: H3+198+67+39<‚H3+198+67/89<
#
Trapézio: F+=/7+39<�F+=/7/89<
#‚E6>?<+
Polígono regular: Semiperímetro Apótema‚
Sector circular: α <
#
#
(α� amplitude,
em radianos, do ângulo ao centro raio; < � )
Áreas de superfícies
Área lateral de um cone: 1 < 1
( )< 1� �raio da base geratriz;
Área de uma superfície esférica: % <1
#
( )< � raio
Volumes
Pirâmide: "
$‚ Área da base Altura‚
Cone: "
$‚ Área da base Altura‚
Esfera: %
$
$1 ( )< < � raio
Progressões
Soma dos primeiros termos de uma8
Prog. Aritmética:
? �?
#
" 8
‚ 8
Prog. Geométrica: ? ‚"
"� <
"� <
8
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