inequaÇÕes trigonomÉtricas 01. ! s€¦ · texto para a prÓxima questÃo: leia o texto abaixo...
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INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
01. (Espcex (Aman) 2020) O conjunto solução da inequação 22 cos x sen x 2, no intervalo [0, ], é
a)
0,
6 d)
0,
3
b)
5,
6 e)
50, ,
6 6
c)
20, ,
3 3
02. (Fuvest 2020) É dada a função f :[0, ] definida por 4 4f(x) sen x cos x, para todo x [0, ].
a) Apresente três valores x [0, ] para os quais f(x) 1.
b) Determine os valores x [0, ] para os quais 5
f(x) .8
c) Determine os valores x [0, ] para os quais 1 3 5
f(x) sen (2x) .2 8 8
03. (Epcar (Afa) 2019) Considere as matrizes
sen x 1A
1 sen x e
sen x sen xB
1 3
Se o determinante do produto matricial AB é um número real positivo ou nulo, então os valores de x, no
ciclo trigonométrico, que satisfazem essa condição estão representados em
a)
c)
b)
d)
04. (Mackenzie 2019) A função
xf(x) 3cos x ,
2 no intervalo 0 x 2 , é positiva para
a) 0 x 2 b) x 2 c) 0 x d)
3x
2 2 e)
0 x
2
05. (Mackenzie 2019) Os valores de x, 0 x 2 , para os quais 1
| sen x |2
são
a)
5x
6 6 e
7 11x
6 6 d)
5 7x
6 6
b)
7x
6 6 e)
2x
3 3 e
4 5x
3 3
c) 0 x
2
06. (Uefs 2018) A figura mostra parte do gráfico da função
sen(x)f(x) .
cos(x) 2
No intervalo aberto (0, 2 ) a solução de sen(x) f(x) é o conjunto
a)
x |0 x
2 d) x | x 2
b)
x | x
2 e) x |0 x 2
c) x |0 x
07. (Espcex (Aman) 2018) O conjunto solução da inequação 22sen x cosx 1 0, no intervalo 0, 2 é
a)
2 4, .
3 3 d)
2 4 5, , .
3 3 3 3
b)
5, .
3 6 e)
5 7 10, , .
6 6 6 6
c)
5, .
3 3
08. (Ueg 2017) A inequação sen(x)cos(x) 0, no intervalo de 0 x 2 e x real, possui conjunto solução
a) x
2 ou
3x 2
2
b)
0 x2
ou
3
x2
c)
3x
4 4 ou
5 7x
4 4
d)
3 5x
4 4 ou
7x 2
4
e)
0 x3
ou
2x
3
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Leia o texto abaixo para responder à(s) questão(ões) a seguir.
Ao longo de um ano, a taxa de câmbio de uma moeda X em relação a uma moeda Y foi dada pela seguinte
função:
(t 3)f(t) 1,625 1,25 cos
12
sendo t o tempo, dado em meses desde o início do ano. Assim, t 9 indica a taxa no início de outubro, que
era de 1,625 unidades da moeda X para uma unidade da moeda Y (note que esse valor da taxa indica que no
instante considerado a moeda X era “menos valiosa” que a moeda Y).
09. (Insper 2016) Houve um intervalo de tempo ao longo do ano considerado em que a moeda X deixou de
ser “menos valiosa” que a moeda Y. Esse intervalo teve duração de
a) 5 meses. c) 3 meses. e) 1 mês.
b) 4 meses. d) 2 meses.
Exercícios Complementares
3
10. (Espcex (Aman) 2015) Seja
3
10
3 7
10 10
log1.
2 log log O conjunto solução da desigualdade
cos(x) 33
7 no
intervalo 0,2 , é igual a
a)
0, .
3 b)
5, .
3 3 c)
,2 .
3 d)
,2 .
3 e)
3,2 .
2
11. (Fuvest 2014) O triângulo AOB é isósceles, com OA OB, e ABCD é um quadrado. Sendo a medida do
ângulo ˆAOB, pode-se garantir que a área do quadrado é maior do que a área do triângulo se
Dados os valores aproximados:
tg 14 0,2493 , tg15 0,2679
tg 20 0,3640 , tg 28 0,5317
a) 14 28
b) 15 60
c) 20 90
d) 25 120
e) 30 150
12. (Uem 2014) Com base nos conhecimentos de trigonometria, assinale o que for correto.
01) Para todo x pertencente ao intervalo
0, , sen x cos x.
4
02) Não existe solução para a equação x
sen x sen2
no intervalo [0,3].
04) Para todo x real,
sen x cos x .2
08) Existe
x 0,2
satisfazendo a desigualdade x < sen x .
16) Para todo x real, 1 1
sen x cos x .2 2
13. (Mackenzie 2014) Em , o domínio da função f, definida por sen 2x
f(x) ,sen x
é
a) x | x k , k
b) x |2k x 2k , k
c)
3x | 2k x 2k , k
2 2
d)
3x |2k x 2k 2k x 2 2k , k
2 2
e)
3x |2k x 2k 2k x 2 2k , k
2 2
14. (Cefet MG 2014) A solução da inequação
22sen x sen2x0 1
1 tgx para
x 0,2
é o conjunto
a)
0, .
4 b)
0, .
4 c)
0,
2. d)
0,2
. e)
, .4 2
15. (Fmp 2014) Um objeto é colocado entre dois espelhos planos cujas superfícies refletoras formam um ângulo . Sabe-se que a medida de é um divisor positivo de 24 e que o número total de imagens que
esse objeto produz é maior que 17 e menor que 59. Quantos são os possíveis valores de ?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
4
16. (Unesp 2014) O conjunto solução (S) para a inequação 22 cos x cos(2x) 2, em que 0 x , é dado
por:
a)
S x (0, )|0 x6
ou
5x
6
b)
2S x (0, )| x
3 3
c)
S x (0, )|0 x3
ou
2x
3
d)
5S x (0, )| x
6 6
e) S x (0, )
17. (Ita 2014) Determine o conjunto de todos os valores de x 0, 2 satisfazem, simultaneamente, a
22 sen x sen x 10
cos x 1 e tg x 3 1 3 cotg x cotg x.
18. (Ita 2013) Determine o maior domínio D da função
x( x)
4
f : D , f x log (4senx cosx 1).
19. (Unifesp 2012) A função
D(t) 12 (1,6) cos (t 10)
180
fornece uma aproximação da duração do dia (diferença em horas entre o horário do pôr do sol e o horário do nascer do sol) numa cidade do Sul do país, no dia t de 2010. A variável inteira t, que representa o dia,
varia de 1 a 365, sendo t 1 correspondente ao dia 1.º de janeiro e t 365 correspondente ao dia 31 de
dezembro. O argumento da função cosseno é medido em radianos. Com base nessa função, determine a) a duração do dia 19.02.2010, expressando o resultado em horas e minutos. b) em quantos dias no ano de 2010 a duração do dia naquela cidade foi menor ou igual a doze horas.
20. (Epcar (Afa) 2012) Sendo x 0, 2 , a interpretação gráfica no ciclo trigonométrico para o conjunto
solução da inequação 4 28sen x 10sen x 3 0 é dada por
a)
c)
b)
d)
Exercícios Complementares
5
Gabarito:
01. E
Sabendo que 2 2cos x 1 sen x, temos
2 22cos x senx 2 2(1 sen x) senx 2
1senx senx 0
2
10 senx .
2
Assim, como os arcos da primeira volta que possuem seno igual a 1
2 são
6 e
5,
6 vem
5S 0, , .
6 6
02. Reescrevendo a lei de f, encontramos
2 2 2 2 2
2
2
f(x) (sen x cos x) 2sen xcos x
11 (2senxcosx)
2
11 sen 2x.
2
a) Se f(x) 1, então
2 211 sen 2x 1 sen 2x 0
2
sen2x sen0
x k ou x k , k .2
Logo, para
x 0, , ,2
temos f(x) 1.
b) Se 5
f(x) ,8
então
2 21 5 31 sen 2x sen 2x
2 8 4
3sen2x
2
sen2x sen3
ou
4sen2x sen
3
x k ou x k , k 6 3
ou .
2x k ou x k , k
3 6
Por conseguinte, para
2 5x , , , ,
6 3 3 6 temos
5f(x) .
8
c) Se 21f(x) 1 sen 2x,
2 então
21 3 5f(x) sen(2x) 2sen 2x 3sen2x 1 0
2 8 8
12( 1 sen2x) sen2x 0
2
1sen2x 1
2
52x
6 6
5x .
12 12
6
03. B
De
senx 1A ,
1 senx
2
det A senx senx 1 1
det A sen x 1
De
senx senxB ,
1 3
detB sen 3 senx 1
detB 3senx senx
detB 4senx
Logo,
2
2
det A B sen x 1 4senx
det A B 4senx sen x 1
Como det A B 0,
2
2
4senx sen x 1 0
senx sen x 1 0
Daí,
2
senx 0 iA
sen x 1 0 ii ou
2
senx 0 iiiB
sen x 1 0 iv
Da desigualdade (i),
0 k 2 x k 2 ,k
2k x 1 2k ,k
Da desigualdade (ii),
senx 1 senx 1 0
Note que senx 1 0, x , logo,
senx 1 0 e senx 1 0, ou seja, 1 senx 1.
Dessa forma, a solução do sistema de desigualdades A é:
2k x 1 2k ,k
Da desigualdade (iii),
k 2 x 2 k 2 ,k
1 2k x 2 1 k ,k
Da desigualdade (iv),
senx 1 senx 1 0
Como senx 1 0, x e senx 1 0, x , segue que senx 1 0 ou senx 1 0, ou seja,
3x k 2 ,k
2 ou
x k 2 ,k .
2
Dessa forma, a solução do sistema de desigualdades B é:
3x k 2 ,k
2
Portanto, det A B 0 se, e somente se,
2k x 1 2k ,k ou
3
x k 2 ,k .2
Exercícios Complementares
7
Tal solução, no ciclo trigonométrico, é representada por:
04. ANULADA Gabarito Oficial: [B] Gabarito SuperPro®: Anulada (Sem resposta)
Tem-se que
3xf(x) 3cos ,
2 com 0 x 2 . Logo, fazendo
3xy,
2 vem
3x3cos 0 cosy 0.
2
Daí, encontramos
4k 4k2k y 2k x
2 3 3 3
ou
3 4k 4 4k2k y 2 2k x .
2 3 3 3
Portanto, como x [0, 2 ], para k 0, temos
0 x3
ou
4
x3
e, para k 1, vem
4 5x .
3 3
A resposta é
0 x3
ou
5
x .3
Observação: Desde que nenhuma das alternativas apresenta pelo menos um subconjunto do conjunto solução da inequação, o item não possui alternativa correta.
05. A
Tem-se que
1 1 1
| senx | senx ou senx .2 2 2
Logo, sendo 7
6 e
11
6 os arcos cujo seno é igual a
1,
2 bem como
6 e
5
6 os arcos cujo seno é igual a
1,
2 podemos afirmar que a resposta é
5x
6 6 ou
7 11x .
6 6
06. C
Do enunciado,
senxsenx
cosx 2
Note que cosx 2 0, para qualquer x real. Logo,
8
senx cosx 2 senx
senx cosx 2 senx 0
senx cosx 2 1 0
senx cosx 3 0
Observe também que cosx 3 0, para qualquer x real.
Daí, senx 0
No intervalo aberto 0, 2 ,
0 x
07. C
2
2
2
2
2sen x cosx 1 0
2 1 cos x cosx 1 0
2 2cos x cosx 1 0
2cos x cosx 1 0
Resolvendo a equação 22cos x cosx 1 0,
Daí,
2 12cos x cosx 1 2 cosx 1 cosx
2
Dessa forma,
22cos x cosx 1 0
12 cosx 1 cosx 0
2
cosx 1 2cosx 1 0
Note que cosx 1 0, x , logo,
2cosx 1 0
1cosx
2
Como 0 x 2 e 1
cosx ,2
5x
3 3
Assim, sendo S o conjunto solução da inequação 22sen x cosx 1 0, 0 x 2 ,
5S ,
3 3
08. A
Tem-se que
1senx cosx 0 sen2x 0
2
sen2x 0
2k 2x 2 2k
k x k ,2
com k .
Assim, como para k 0 vem x ,
2 e para k 1 temos
3x 2 ,
2 segue que o conjunto solução da
inequação no intervalo [0, 2 ] é
3S x | x ou x 2 .
2 2
Exercícios Complementares
9
09. E
A moeda X deixa de ser “menos valiosa” que a moeda Y quando f t 1, ou seja,
t 31,625 1,25cos 1
12
t 31,25cos 0,625
12
t 3cos 0,5
12
Logo,
t 32 42 n 2 n, n
3 12 3
8 24n t 3 16 24n
8 24n t 3 16 24n
11 24n t 19 24n
Para n 0,
11 t 19
Mas, 0 t 11
Então,
t 11
Assim, X deixa de ser “menos valiosa” que Y do início de dezembro ao fim de dezembro, ou seja, durante
um mês. Note que para outros valores de n, o intervalo não refere-se ao ano em questão.
10. B
1
23
7
1 log3
2 log3 log7
1 3log 3 3
2 7
Portanto:
1cos x cos x 2
3 13 3 3 cosx
7 2
Portanto, a solução da inequação é:
5S , .
3 3
10
11. E Considere a figura, em que M é o ponto médio do lado AB.
Do triângulo retângulo OMB, obtemos
BM ABtgMOB MO .
MO 2tg2
Sem perda de generalidade, suponhamos que AB 1. Assim,
AB MO 1(AOB) .
24tg
2
A área do quadrado ABCD é maior do que a área do triângulo AOB se
2 1(ABCD) (AOB) 1
4tg2
1tg 0,25.
2 4
Logo, como tg15 0,2679 0,25 e 0 180 , vem que 30 180 . Note que
]30 , 150 [ ]30 , 180 [.
12. 04 + 16 = 20.
[01] Falsa, pois sen cos .
4 4
[02] Falsa, pois x = 0 é solução da equação x
sen x sen .2
[04] Verdadeira, pois
cos x cos cosx sen senx senx.
2 2 2
[08] Falsa, pois x > senx para todo
x 0,2
(o arco é sempre maior que a corda).
[16] Verdadeira. 1 1
1 sen2x 1 1 2 senx cosx 1 senx cosx .2 2
13. D
O maior subconjunto dos números reais para o qual f está definida é tal que
sen2x 2senxcosx
0 0.senx senx
Como senx 0 para x k , k , vem
2senxcosx
0 cosx 0.senx
Portanto, o resultado pedido é
3D(f) x |2k x 2k 2k x 2 2k , k
2 2
Exercícios Complementares
11
14. B Lembrando que sen2x 2senxcosx, temos
2 22sen x sen2x 2sen x 2senx cosx0 1 0 1
senx1 tgx1
cosx
2senx(senx cosx)0 1
cosx senx
cosx
0 2senx cosx 1
sen0 sen2x sen2
0 x .4
Portanto, o resultado pedido é
0, .
4
15. A
é divisor positivo de 24°.
O número de imagens num espelho angular é dado pela fórmula
360N 1.
Portanto, temos:
36017 1 59
36018 60
De acordo com as condições do problema, os únicos valores de possíveis são 8 e 12. Portanto, temos
dois valores possíveis para .
16. A
2
2 2 2
2 2 2
2
2
2
cos x cos 2x 2
2cos x cos x – sen x 2
2cos x cos x – 1– cos x 2
3 3cosx ou
4
cosx 2
cos x – 3 0
Logo, o conjunto solução será:
5S x (0, )|0 x ou x
6 6
12
17. Parte 1:
22 sen x sen x 10
cos x 1
22sen x senx 1 0 5x
6 6cosx 1 0
Observação: (cos x 1) não poderá ser maior ou igual a zero, pois anularia o denominador e não existe
cosseno maior que 1.
Parte 2:
2
2
2
tg x 3 (1 3 cot g x)cot g x
3 1tgx 3 1
tgx tgx
tgx 3tgx 3
tg x
tg x (tgx 3) tgx 3
tg x 1 tgx 3 0
Quadro de sinais.
Assim:
2 3 5 3 5 70 x ou x ou x ou x ou x ou x 2
4 2 3 4 4 2 3 4
Fazendo, agora, a intersecção das soluções, temos:
Resposta:
2 3 5x R / x ou x ou x
6 4 2 3 4 6
Exercícios Complementares
13
18. Pelas condições de existência dos logaritmos, vem
2
1sen2x
24senx cosx 1 0
x x 01 x x 0 4
4
x x 1 0 ( 0)4
5k x k
12 12
0 x4
x .12 4
Portanto,
D , .12 4
19. a) O dia 19.02.2010 corresponde a t 50. Logo, o resultado pedido é dado por
D(50) 12 1,6 cos (50 10)180
12 1,6 cos3
(12 0,8) h
12 h 48min.
b) Queremos calcular os valores de t para os quais D(t) 12. Desse modo,
12 (1,6) cos (t 10) 12 cos (t 10) 0180 180
3(t 10)
2 180 2
90 t 10 270
80 t 260.
Portanto, a duração do dia naquela cidade foi menor do que ou igual a doze horas em 260 80 1 181 dias.
14
20. B
4 28sen x 10sen x 3 0
Resolvendo a inequação na incógnita 2sen x temos as raízes: 2 1sen x
2 ou 2 3
sen x .4
2 1sen x
2 ou 2 3
sen x .4
Resolvendo as inequações acima, temos:
2 1sen x
2
2 3sen x .
4
Representando estas inequações na circunferência trigonométrica, temos: