Matemática

Indução Matemática

Nome:

Nº

Classificação: (______)

Professor: (__________________)

Matola, ao 19 de Março de 2015

Índice1. Introdução...........................................................................................................................3

2. Indução matemática............................................................................................................4

1.IntroduçãoNo presente trabalho falarei da indução matemática que é um dos métodos

matemáticos utilizados para facilitar os cálculos de determinados exercícios. Em conexão com esse pensamento, exemplificarei de modo a demonstrar a utilidade funcional da indução.

2.Indução matemáticaPara demonstrar que uma condição P (n) é verdadeira para qualquer que pertence

a IN recorre-se ao método de indução matemática que se baseia no seguinte axioma: se uma propriedade é valida que pertence a IN e para n+1 (chamado sucessor de n), então ela é uma propriedade hereditária métodos números naturais.

A indução matemática consiste em:

1º Verificar se P (1) =(P de 1) é valido.

2º Hipótese da indução: supõe-se que P (k) é verdadeiro (n=k).

3º Tese da Indução: demonstrar que a validade de P (k) pode-se demonstrar a validade de P (k+1).

4º Conclusão: se de P (k+1) é verdadeiro, então P (n) é verdadeiro para qualquer n que pertence ao conjunto dos números naturais.

Método de indução matemática

Método de indução matemática é um método para demonstrar posições sobre os números naturais.

Uma posição P (n) sobre os números é valida para todos números naturais se não comparadas as duas propriedades seguintes:

a) P (n) é verdadeira para n=0 (começo da Indução).

b) Da validade de P (n) para n=k segue sempre a validade de P (n) para n=k+1 (passos da Indução).

Para demonstrar P (n), devemos tentar demonstrar as propriedades a) e b).Caso a) e b) sejam compridas, então a posição é valida para todos os números naturais.

Exemplo:

Demonstremos que a soma de todos os números naturais de 0 ate n é igual a, n(n+1)

2.

Vamos provar que:0+1+2+…+n=n (n+1)

2.

Observação:

Para n=2 ,0+1+2=2(2+1)

2=2

32=3.

Para n=4 ,−0+1+2+3+4=4( 4+1 )

2=4

52=10.

Vimos que a fórmula é valida para n=2 e4 .

Agora, queremos provar que esta fórmula é valida para qualquer n por indução Matemática.

Demonstração:

Para n=0

0=0(0+1)

2=0.

A fórmula é valida para n=0.- Para n=kVamos provar eu a formula é valida para n=k+1.

0+1+2+…+k+( k+1 )= (k+1 ) (k+1 )2

=(k+1 ) (k+2 )

2.

Por provado. Já vimos que 0+1+2+…+k=k(k+1)

2.

Vamos adicionar a ambos membros desta equação o númerok+1.

0+1+2+…+k+( k+1 )=k(k+1 )

2+(k+1 ) .

k(k+1 )

2+(k+1 )=k

( k+1 )2

+( k+1 )

k(k+1 )

2+(k+1 )=k (k+1 )+2 (k+1 )

k(k+1 )

2+(k+1 )=k2+k+2k+2

k(k+1 )

2+(k+1 )=k 2+3 k+2

2

Vamos fautorizar k 2+3 k+2=(k+1 ) (k+2 )

Concluímos que a fórmula é valida para todos os números naturais.Aplicando o método de indução matemática, vamos demonstrar que

am. bm=(a . b)m onde todos osnumros pertencem a∈.

Demonstração:

Demonstremos sendo m=0

a0 . b0=(a . b )0 ↔ 1=1.

A propriedade é valida para m=0.

Resolução de problema usando método de indução matemática.

a) am÷ bm=(a ÷ b )m pertecentes a∈.

am÷ bm. am. bm=(a ÷ b )m. (a . b )1

(a¿¿m÷ b) .(a¿¿m. b)=(a÷ b )m+1 ¿¿

am+1 ÷ bm+ 1=(a ÷ b )m+1