hpdemat - lei de composição interna ( operações )

27/08/13 HPdeMat - Lei de Composição Interna ( Operações )

hpdemat.apphb.com/Operacao 1/10

Lei de Composição Interna (Operações )

Uma aplicação f : A x A A é dita operação ou lei

composição interna sobre A ou em A, se x, y A,

x * y A.

Logo, f (x, y) = x * y, (x, y) A x A. ( " f " de (x, y) é

igual a x 'estrela' y, para todo par (x, y) pertencente a A x A )

Exemplos:1) A relação f : x dada pela lei f(x, y) = x – y não

define uma operação, visto que, por exemplo, (3, 5) x e f(3, 5) = 3 – 5 = – 2

que não pertence aos naturais.

2) A relação f : x dada pela lei f(x, y) = x/y não

define uma operação, visto que, por exemplo, (3, 6) x e f(3, 6) = 3/6 = 1/2

que não pertence aos inteiros.

3) A relação f : x dada pela lei f(x, y) = xy define

uma operação, pois para quaisquer x, y , x . y é um

número natural.

Propriedades de uma operação

HPdeMatHome Biografias Humor Ensino Médio

Ensino Superior Sobre Bibliografia

http://hpdemat.apphb.com/

http://hpdemat.apphb.com/

http://hpdemat.apphb.com/Biografia

http://hpdemat.apphb.com/Humor

http://hpdemat.apphb.com/EnsinoMedio

http://hpdemat.apphb.com/EnsinoSuperior

http://hpdemat.apphb.com/About

http://hpdemat.apphb.com/Bibliografia



Associativa

Uma operação * sobre um conjunto A é dita associativa se,

x, y, z A,

x * ( y * z ) = ( x * y ) * z

Significado:Toda operação é definida para dois elementos, mas se ela forassociativa então pode ser realizada com mais de doiselementos.

Comutativa

Uma operação * sobre um conjunto A é dita comutativa se,

x, y A,

x * y = y * x

Significado:Toda operação deve ser resolvida da esquerda para direita,mas se ela for comutativa então pode ser realizada emqualquer ordem.

Elemento neutro

Uma operação * sobre um conjunto A admite elemento

neutro representado por "e" também em A, se, x A,

x * e = x = e * x



Se x * e = x, se diz que existe elemento neutro à direita.

Se e * x = x, se diz que existe elemento neutro à esquerda.

Só existe elemento neutrose à esquerda e à direita

forem o mesmo elementode A, e caso exista, ele é

único.

Significado:O elemento neutro é aquele que não muda o resultado daoperação, em qualquer ordem que esta seja realizada.

Unicidade do elemento neutro:Sobre a afirmação de que o elemento neutro é único, pode-seprovar por absurdo.

Considerando que se tenha dois elementos neutros e, u eque sejam diferentes. e * u = u ( se e for o elemento neutro à esquerda )

u * e = e ( se u for o elemento neutro à esquerda )

Mas, independente de qual dos dois seja o elemento neutro, e * u = u * e

Da mesma forma ocorre considerando o elemento neutro àdireita.

Logo, u = e, o que é uma contradição. Portanto, se existissemnão seriam diferentes.

Elemento simetrizável

Uma elemento "x" de um conjunto A tem simétrico ou é simetrizável em relação a operação * sobre um conjunto A

se,

x A, existe um x' em A tal que:



x * x' = e = x' * x

Se x * x' = e, se diz que "x" tem simétrico à direita.

Se x' * x = e, se diz que "x" tem simétrico à esquerda.

O conjunto U *

(A) representa o conjunto dos elementos que

tem simétrico em relação a operação * sobre um conjunto A.

Se uma operação * admite elemento neutro então U *

(A)

, pois e * e' = e = e' * e.

Só existe o simétrico deum elemento "x" de A, se àesquerda e à direita foremiguais, e caso exista ele é

único.

Significado:O simetrizável é aquele que operado com o seu simétrico dá oelemento neutro.

Consequências do elemento simetrizável:Se uma operação * sobre um conjunto A é associativa e tem

elemento neutro, então:

1) Se "x" tem simétrico x' então x' tem simétrico "x".

x' * x = x * x' = e

Portanto, o simétrico de x' é x, ou seja, ( x' )' = x.

2) Se "x" e "y" em A, têm simétricos então x * y tem

simétrico e ( x * y )' = y' * x'.

Se y' * x' é o simétrico de x * y, então, tería-se:

( y' * x' ) * ( x * y ) = e ( simétrico à esquerda )

( x * y ) * ( y' * x' ) = e ( simétrico à direita )

( x * y ) * ( y' * x' ) = [ x * ( y * y' ) ] * x' = ( x * e ) * x'



= x * x' = e

Da mesma forma se mostra à esquerda.

Exemplos:Verifique se a operação * sobre o conjunto "B" é associativa,

se é comutativa, se existe neutro e determine os elementossimetrizáveis para: a) B = e x * y = x + xy.

Como x * y = x + x . y sobre

i) a, b, c B, ( a * b ) * c = a * ( b * c )

( a + a . b ) * c = a * ( b + b . c )

( a + a . b) + ( a + b . c ) . c = a + a . ( b + b . c )

a + a . b + a . c + b . c2 = a + a . b + a . b . c ( o queobviamente é falso )

Portanto, a operação * não é associativa.

ii) a, b B, a * b = b * a

a + a . b = b + b . a a + ab = b + ab ( o que obviamente é falso )

Portanto, a operação * não é comutativa.

iii) a B, a * e = a = e * a

a * e = a

a + a . e = a a . e = 0 e = 0

e * a = a

e + e . a = a e . (1 + a) = a ( logo, não tem elemento neutro à esquerda )



Portanto, a operação * não admite elemento neutro.

iv) Como não tem elemento neutro, então não tem elementosimetrizável.

b) B = x e (a, b) * (c, d) = (ac, b + d).

Como (a, b) * (c, d) = (a . c, b + d) sobre x

i) (a, b); (c, d); (f, g) B, [ (a, b) * (c, d) ] * (f, g) = (a, b) * [ (c, d) * (f, g) ]

(a . c, b + d) * (f, g) = (a, b) * (c . f, d + g)

(a . c . f, b + d + g) = (a . c . f, b + d + g) ( o que obviamente éverdadeiro )

Portanto, a operação * é associativa.

ii) (a, b); (c, d) B, (a, b) * (c, d) = (c, d) * (a, b)

(a . c, b + d) = (c . a, d + b) ( o que obviamente é verdadeiro)

Portanto, a operação * é comutativa.

iii) Considerando e = (e1, e2) em B, então (a, b) B, tem-

se: (a, b) * (e1, e2) = (e1, e2) * (a, b) = (a, b)

Tomando, (a, b) * (e1, e2) = (a, b) tem-se:

(a . e1, b + e2) = (a, b)

a . e1 = a e b + e2 = b

e1 = 1 e e2 = 0

Como a operação * é comutativa não se faz necessário

resolver à esquerda.

Portanto, e = (1, 0) é o elemento neutro da operação *

sobre B.



iv) Considerando (b', a') em B, então (a, b) B, tem-se:

(a, b) * (b', a') = (1, 0) = (b', a') * (a, b)

Tomando, (a, b) * (b', a') = (1, 0), tem-se:

(a, b) * (b', a') = (1, 0)

(a . b', b + a') = (1, 0)

a . b' = 1 e b + a' = 0

b' = 1/a e a' = – b

O conjunto B é formado apenas por números inteiros, nestecaso,

b' só existirá se a = 1 ou a = –1, mas a' pode serqualquer inteiro.

Como a operação * é comutativa não se faz necessário

resolver à esquerda.

Portanto, o conjunto dos elementos simetrizáveis para aoperação * sobre B é:

U *

(B) = { (x, y) x ; x = 1 ou x = – 1 }.

Elemento regular

Um elemento "r" de um conjunto A é dito elemento regularmediante a operação * sobre um conjunto A, se

x, y A, só for possível se ter as igualdades:

r * x = r * y e x * r = y * r, apenas se x = y.

Se r * x = r * y x = y, então "r" é dito regular à

esquerda. Se x * r = y * r x = y, então "r" é dito regular à direita.



R *

(A) representa o conjunto dos elementos regulares em

relação à operação * sobre um conjunto A.

Observação:Se o elemento é regular o resultado da operação dele comqualquer outro elemento do conjunto é único.

Exemplo:Considerando o conjunto B = e a operação dada por x * y = x + xy.

Seja "r" o elemento regular, então a, b B, tem-se:

Regular à esquerda: r * a = r * b a = b

r + r . a = r + r . b r + r . a – r – r . b = 0 r . a – r . b = 0 r . (a – b) = 0

Para se ter exclusivamente a = b é necessário que r 0.

Isto quer dizer que exceto o zero todo elemento de B éregular à esquerda.

Regular à direita: a * r = b * r a = b

a + a . r = b + b . r a + a . r – b – b . r = 0 a – b + a . r – b . r = 0 a – b + r . (a – b) = 0 (a – b) . (1 + r) = 0

Para se ter exclusivamente a = b é necessário que 1 + r 0, ou seja, r – 1.

Isto quer dizer que exceto o "– 1" todo elemento de B éregular à direita.



Obviamente se, "r" não for "0" nem "– 1", então, ele é regular.

Portanto, o conjunto dos elementos regulares para aoperação * sobre é:

R *

( ) = { x ; x 0 e x – 1 }.

Distributiva

Dadas as operações * e ∆ ambas em A, se diz que a

operação ∆ é distributiva em relação a operação * se, x,

y, z A, x ∆ ( y * z ) = ( x ∆ y ) * ( x ∆ z ) ( ∆ é distributiva à esquerda

de * ) e, se

( y * z ) ∆ x = ( y ∆ x ) * ( z ∆ x ) ( ∆ distributiva à direita de

* ).

Observação:Se a operação ∆ for comutativa, então distributiva à esquerdaou à direita se equivalem.

Exemplo:Sejam x * y = x + xy e x ∆ y = xy + 1 operações sobre

, verifique se ∆ é distributiva em relação a operação * .

Como x * y = x + x . y e x ∆ y = x . y + 1, tem-se:

a, b, c , considerando ∆ é distributiva à esquerda de * :

a ∆ ( b * c ) = ( a ∆ b ) * ( a ∆ c )

a ∆ ( b + b . c ) = ( a . b + 1 ) * ( a . c + 1 )

a . ( b + b . c ) + 1 = ( a . b + 1 ) + ( a . b + 1 ) . ( a . c + 1 ) a . b + a . b . c + 1 = a . b + 1 + a . b . a . c + a . b + a . c + 1

ab + abc + 1 = ab + a2bc + ab + ac + 1 ( o que obviamente é



falso )

Não é necessário fazer à direita, visto que mesmo que dêverdadeiro, à esquerda já deu errado.

Portanto, ∆ não é distributiva em relação a operação * .

Parte fechada

Seja * uma operação sobre um conjunto A . Um

subconjunto B do conjunto A é fechado mediante a operaçãode A se,

x, y B, x * y B.

Exemplos:1) O conjunto é fechado para a adição em , pois além de

ser um subconjunto não vazio dos inteiros, x, y , ( x +

y ) .

2) O conjunto não é fechado para a subtração em , pois

existem x, y , tal que ( x – y ) . ( nos casos em

que x < y )

Classe de Resto

O conjunto m = {

hpdemat - lei de composição interna ( operações )

Documents