Testes de hipteses

Aqui estudaremos outro aspecto da inferncia estatstica: o teste de hipteses,

cujo o objetivo decidir se uma afirmao, em geral, sobre parmetros de

uma ou mais populaes , ou no, apoiado pela evidncia obtida de dados

amostrais. Tal afirmao o que se chama Hiptese Estatstica e a regra

usada para decidir se ela verdadeira ou no, o Teste de Hipteses. Iremos

ilustr-lo por meio de um exemplo.

Exemplo 1. Uma suinocultura usa uma rao A que propicia, da desmama at

a idade de abate, um ganho em peso de 500 g/dia/suno ( = 25 g). O fabricante de uma rao B afirma que nas mesmas condies, sua rao

propicia um ganho de 510 g/dia ( = 25 g). evidente que em termos financeiros, se for verdica a afirmao do fabricante da rao do tipo B, esta

deve ser usada em substituio do tipo A.

Se o criador tem de decidir com base em uma amostra, se o ganho em peso

dos sunos dando a nova rao 510 g/dia, o problema pode ser expresso na

linguagem de teste estatstico de hipteses.

1. Hipteses estatsticas

Em experimentos comparativos, nos quais um novo produto ou nova tcnica

comparado com o padro, para determinar se sua superioridade pode ser

corroborada pela evidncia experimental, necessrio formular a:

Hiptese nula (H0), cujo termo aplicado para a hiptese a ser testada, e a

Hiptese alternativa (H1)

A hiptese nula (H0) a hiptese de igualdade entre o novo e o produto

padro, ou seja, a designao hiptese nula decorre da suposio que a diferena entre eles nula ou zero.

A anlise de cada situao indicar qual deve ser considerada a hiptese nula e

qual a hiptese alternativa. Uma especificao de H0 e H1 no exemplo seria:

H0 : = 500 g/dia (a rao B no melhor)

H1 : = 510 g/dia (a rao B melhor) ou

H0 : = 0

H1 : = 1

onde: 1 > 0 e = 25

Se uma hiptese estatstica especifica o valor do parmetro, ela referida

como hiptese simples; se no, referida como composta. Assim, no

exemplo, a hiptese alternativa = 510 simples. Seria composta, por

exemplo, se > 500, visto que no fixa um valor especfico para o parmetro

. Em H0, o valor do parmetro tem de ser especificado.

A hiptese preferencial H0 e sustentada como verdadeira, a menos que os

dados se coloquem firmemente contra ela. Em tal caso, H0 seria rejeitada a

favor de H1. Rejeitar erradamente H0 visto como um erro mais grave do que

no rejeitar H0 quando H1 verdadeira.

2. Erros tipos I e II

O problema proposto consiste em verificar se com a utilizao da nova rao,

a mdia de ganho em peso seria estatisticamente maior que 500 g e caso isto

se verifique, a suinocultura passaria a utiliz-la. Caso contrrio, continuaria

com a rao do tipo A, que j foi testada (conhecida a priori).

Para a tomada de deciso, deve-se extrair uma amostra aleatria (por exemplo,

n = 50) de sunos, fornecendo mesma, da desmama at a idade de abate, a

rao B, e aps o trmino da prova, calcula-se a mdia amostral ( x a) do ganho

dirio em peso no perodo, que , no caso, a estatstica teste. A estatstica

teste o valor amostral da estatstica utilizada para testar um parmetro no

teste de hipteses.

Parece razovel estabelecer que se x a estiver prxima de 500 g, no se deve

rejeitar H0, e a concluso que a rao do tipo B estatisticamente igual a do

tipo A. Por outro lado, se x a estiver prxima ou for superior 510 g, a tomada

de deciso que a rao do tipo B superior do tipo A (rejeitar H0) e que a

suinocultura passe a utiliz-la. A mdia amostral ( x a) , no entanto, uma varivel aleatria que pode assumir qualquer valor entre 500 e 510 g. Assim,

deve-se estabelecer um critrio de deciso para aceitar ou rejeitar H0. Isto

feito determinando um valor k (ponto) entre 500 e 510 g, chamado valor

crtico )x( c , e adotando a seguinte regra de deciso:

Se a mdia amostral ( x a) estiver direita de k, rejeita-se H0, caso contrrio no se rejeita

Graficamente tem-se a seguinte situao:

Figura 1. Regio de rejeio de H0 para o teste = 0 vs. = 1

Um teste de hipteses completamente especificado pela estatstica teste e

regio de rejeio. A regio de rejeio ou regio crtica (RC) o conjunto de

valores da estatstica teste para os quais H0 rejeitada.

O procedimento do teste, ento, divide os possveis valores da estatstica teste

em dois subconjuntos: uma regio de aceitao e uma de rejeio para H0, o

que pode levar a dois tipos de erros. Por exemplo, se o verdadeiro valor do

parmetro 500 g e incorretamente conclumos que = 510 g, cometeremos

um erro referido como erro tipo I. Por outro lado, se o verdadeiro valor de

510 g e incorretamente conclumos que = 500 g, cometeremos uma segunda espcie de erro, referido como erro tipo II.

O quadro abaixo resume a natureza dos erros envolvidos no processo de

deciso, por meio dos testes de significncia:

Concluso do teste

Situao especfica na populao

H0 verdadeira H0 falsa

No rejeitar H0 Deciso correta Erro tipo II (perdas

potenciais para o criador)

Rejeitar H0 Erro tipo I (perdas reais

para o criador)

Deciso correta

k = cx

Regio de rejeio para H0 Regio de aceitao para H0

500 510

Denota-se por:

= P (erro tipo I) = P (rejeitar H0/H0 verdadeira)

= P (erro tipo II) = P (no rejeitar H0/H0 falsa)

Assim, o tamanho da regio crtica exatamente a probabilidade de cometer o erro tipo I . Essa probabilidade tambm chamada de nvel de significncia

do teste. O nvel de significncia do teste () , portanto, a probabilidade com

que desejamos correr o risco de cometer o erro tipo I, ou seja, em % dos casos de rejeio de H0, estaremos tomando deciso errada.

Escolhendo um valor para cx , pode-se determinar as probabilidades e de

cometer cada tipo de erro. Mas, o procedimento que se usa na prtica para

construir a regra de deciso fixar , a probabilidade do erro tipo I (rejeitar H0 quando ela for verdadeira). O valor arbitrrio e o resultado da amostra

tanto mais significante para rejeitar H0 quanto menor for esse nvel.

Geralmente, o valor fixado em 5%, 1% ou 0,1%.

Por exemplo, fixemos em 5%, ou seja, P(erro I) = P( 0c H/xX

verdadeira) = 5%, e vejamos qual a regra de deciso correspondente.

Quando H0 verdadeira ( = 500 g), sabe-se do Teorema Limite Central, que

X , a mdia de amostras de tamanho 50, ter distribuio aproximadamente

])50(n

)g625(;)500([N

22

ou seja, )g5,12;g500(N 2 . Assim,

%5)]g5,12;g500(N:X/xX[P)Ierro(P 2c

%5]5,3

500xZ[P]

n

xZ[P c0c

65,1

5,3

500xc

ou seja, g78,505500)65,1.5,3(kxc

Ento, RC = { X R/ X 505,78 g} e a regra de deciso : se x a RC,

rejeita-se H0 e a concluso que a rao B superior A; se , no se rejeita H0, e a concluso que as raes so estatisticamente iguais.

Convm observar que a RC sempre construda usando os valores

hipotetizados por H0 ou seja, sob a hiptese H0 ser verdadeira.

Com essa regra de deciso:

= P(erro II) = P[ X < 505,78/ X : N(510 g, 12,3 g2)]

= P [Z < 5,3

51078,505 ] = P[Z < -1,21] = 11,31 %

H uma relao inversa entre e , ou seja, se a probabilidade de um tipo de erro reduzida, aquela do outro tipo aumentada (Verifique na Figura 1). No

caso da escolha de um valor para cx , por exemplo, 505 kg (o ponto mdio

entre 500 e 510 kg), podem-se reduzir as probabilidades de ambos os tipos de

erros, aumentando o tamanho da amostra (n). Este resultado tambm pode ser

facilmente verificado a partir da Figura 1, considerando que, da transformao

para a normal reduzida,

n

cc

xz

.

A probabilidade com que o teste de significncia, com fixado, rejeita H0, quando o particular valor alternativo do parmetro verdadeiro, chamada

poder do teste. O poder do teste um menos a probabilidade do erro tipo II

ou seja, (1 - ). No exemplo, o poder do teste : 1 - = 1 0,1131 = 0,8869 (88,7%). Freqentemente, no entanto, no so especificados valores fixos para o

parmetro em H1. Ento, sua caracterizao depender do grau de

conhecimento que se tem do problema. A alternativa mais geral :

H1: 0 (teste bilateral)

Neste caso, a regra de deciso dever indicar dois pontos 1c

x e 2c

x , tais que,

H1 ser sustentada se a mdia da amostra for muito grande ou muito pequena.

Ento, a estrutura apropriada da regio de rejeio ou crtica (RC) :

rejeita-se H0 se 2c1c xXouxX

Com esta regra de deciso, no podemos encontrar , consequentemente, no podemos controlar o erro tipo II, pois o valor do parmetro sob a hiptese

alternativa no especificado.

Voltando ao problema proposto, e testando

H0: = 500 g vs. H1: 500 g

tem-se, fixando = 5%,

P(erro I) = P[ X 1cx ou X 2cx / X : N (500 g, 12,3 g2)] = 5%

= P[Z -1,96 ou Z 1,96) = 5%

5,3

500x96,1 1c

1,493x

1c g

5,3

500x96,1 2c

9,506x

2c g

Assim,

RC = { X R/ X 493,1g ou X 506,9 g}

A extenso para testes unilaterais das formas:

H1: > 0 (teste unilateral direita) e

H1: < 0 (teste unilateral esquerda), imediata.

Exemplo 2. No caso da suinocultura, considerando a amostra de 50 leites

(n = 50), aos quais foi fornecida a nova rao (B), deve-se ou no adotar essa

/2 /2

1cx 2cx

RC RC

0

rao, admitindo-se como resultado um ganho em peso mdio dirio de 504 g

( g504xa ), fixando = 5%?

Soluo:

H0: = 500 g

H1: = 510 g

g504xa n = 50 = 0,05 = 25 g

n/

xz 0cc

1,65 =

50/25

500x c x c = 505,78 g

RC = { X 505,78 g}

Concluso:

Como a

x RC, no se rejeita H0 ao nvel de significncia de 5%, ou seja, a

rao B no melhor do que a A. Portanto, a suinocultura no deve adot-la.

Equivalentemente, os testes descritos podem ser baseados na estatstica:

n/

XZ 0

, obtendo-se as regies crticas na distribuio N (0,1).

Esta expresso corresponde seguinte frmula geral:

parmetrodoestimativadapadroerro

HpordohipotetizaparmetrodovalorparmetrodoestimativatesteaEstatstic 0

,

que ser aplicada daqui em diante em testes de hipteses.

Assim procedendo na resoluo do Exemplo 2, o valor observado da

estatstica teste (Zobs) dado por:

n/

xz 0aobs

=

50/25

500504 = 1,14

RC = {Z 1,65}

Como zobs < zc, no se rejeita H0 ao nvel de 5%.

3. Passos para a construo de um teste de hipteses

Nos itens anteriores foram introduzidos os conceitos bsicos e as

terminologias que so aplicados em testes de hipteses. Um sumrio dos

principais passos que podem ser usados sistematicamente para qualquer teste

de hipteses apresentado aqui, ou seja:

(a) Fixe a hiptese H0 a ser testada e a alternativa H1; (b) Use a teoria estatstica e as informaes disponveis para decidir qual

estatstica (estimador) ser usada para testar a hiptese H0, obtendo-se

suas propriedades (distribuio, estimativa, erro padro);

(c) Fixe a probabilidade de cometer o erro tipo I e use este valor para construir a RC (regio crtica). Lembre-se que a RC construda para a

estatstica definida no passo (a), usando os valores hipotetizados por H0;

(d) Use as informaes da amostra para calcular o valor da estatstica do teste; e

(e) Se o valor da estatstica calculado com os dados da amostra no pertencer RC, no rejeite H0; caso contrrio, rejeite H0.

4. Teste sobre a mdia de uma populao com varincia conhecida

Descreveremos agora, de modo sucinto, os passos bsicos definidos na seo

anterior, para testar a hiptese de que a mdia de uma populao igual a

um nmero fixado 0, supondo que a populao tem distribuio normal, cuja

varincia (2), embora seja uma condio irreal, conhecida.

= 5%

zc = 1,65 0 Z

RC

4.1 . Hiptese simples vs. alternativa simples

(a) Teste unilateral direita

H0 : = 0

H1 : = 1 (1 > 0)

Com fixado,

RC = { X R/ X x c}, onde: x c obtido a partir de n/

xz 0cc

,

sendo zc: N(0,1), tal que P(Z zc) =

Equivalentemente,

RC = {Z zc}, onde: n/

XZ 0

(b) Teste unilateral esquerda

H0 : = 0 H1 : = 1 (1 < 0)

0

xc

x

0 zc Z

xx

0 x c

RC = {Z - zc }

4.2. Hiptese simples vs. alternativa composta

(i) H0 : = 0 RC idntica de (a) H1 : > 0

(ii) H0 : = 0

RC idntica de (b) H1 : < 0

(iii) H0 : = 0

H1 : 0

Teste bilateral da forma:

RC = {Z zc ou Z - zc}

Exemplo 3. Usando os dados do Exemplo 1, testar a hiptese de = 500 g

contra a hiptese alternativa 500 g, ao nvel de significncia de 5%.

Soluo:

-zc Z

/2 /2 1 -

-zc zc Z

H0: = 500 g g504x a = 5%

H1: 500 g

RC = {Z 1,96 ou Z - 1,96} n/

xz 0aobs

=

50/25

500504 = 1,14

Concluso:

Como zobs RC, no se rejeita H0 ao nvel de 5%, ou seja, a rao B no estatisticamente melhor do que a A.

5. Probabilidade de significncia (valor-p)

Existem duas opes para expressar a concluso final de um teste de

hipteses:

- Comparar, como descrito anteriormente, o valor da estatstica teste com o

valor obtido a partir da distribuio terica, especfica para o teste, para um

valor pr-fixado do nvel de significncia )( ;

- Quantificar a chance do que foi observado ou resultados mais extremos, sob

a hiptese nula (H0) ser verdadeira. Essa opo baseia-se na probabilidade de

ocorrncia de valores iguais ou superiores ao assumido pela estatstica teste,

dado que a hiptese H0 verdadeira. Este nmero chamado de probabilidade

de significncia ou valor-p e freqentemente indicado apenas por p.

Obs. Valor-p e nvel de significncia )( no so sinnimos. O valor-p

sempre obtido de uma amostra, enquanto o nvel de significncia geralmente

fixado antes da coleta dos dados.

Definio: valor-p, tambm denotado como nvel descritivo do teste, o nome

que se d probabilidade de se observar um resultado to ou mais extremo

que o da amostra, supondo que a hiptese nula seja verdadeira. No caso de um

teste de hipteses no qual o valor da estatstica teste Zobs, o valor-p dado

por:

p = P(Z Zobs| H0).

Em outras palavras, o valor-p corresponde ao menor nvel de significncia que

pode ser assumido para rejeitar a hiptese nula. Dizemos ento que h

significncia estatstica quando o valor-p menor que o nvel de significncia

adotado )( .

Para exemplificar a definio de valor-p, consideremos primeiro o caso de um

teste de hipteses monocaudal para a mdia. Vide Exemplo 2, onde 05,0 e

Zobs = 1,14. Assim,

p = P(Z Zobs) = P(Z 1,14) = 0,12714

Portanto, podemos concluir que, para qualquer nvel de significncia maior

que 0,12714, temos evidncias para rejeitar a hiptese nula. Observe que o

valor-p maior que o nvel de significncia proposto )p( , assim, como

concludo, no rejeitamos a hiptese nula (H0: = 500 g). Alm disso, quanto maior (ou menor) for o valor-p, mais prximo (ou distante) estamos da hiptese nula (H0). Do que se deduz que o valor-p tem mais informaes sobre

a evidncia contra hiptese H0 e deste modo o experimentador tem mais

informaes para decidir sobre ela, com o nvel de significncia apropriado.

Ao contrrio, se o valor-p for menor que o nvel de significncia proposto

)p( , rejeita-se H0.

Considerando agora o teste para a mdia como bicaudal (vide Exemplo 3),

segue que o valor-p dado por:

p = P(Z Zobs) + P(Z -Zobs) = P(Z 1,14) + P(Z -1,14) = 0,2542

donde podemos concluir que, para qualquer nvel de significncia menor que

0,2542, temos evidncias, como no caso do exemplo, para no rejeitar a

hiptese nula.

Em geral, os resultados podem ser interpretados como:

Valor-p prximo de 0 - Um indicador de que a hiptese nula falsa.

Valor-p prximo de 1 - No h evidncia suficiente para rejeitar a hiptese

nula.

Normalmente considera-se um valor-p de 0,05 como o patamar para avaliar a

hiptese nula (H0). Se o valor-p for inferior a 0,05 podemos rejeitar H0. Em

caso contrrio, no temos evidncia que nos permita rejeit-la (o que no

significa automaticamente que seja verdadeira). Em situaes de maior

exigncia usado um valor-p inferior a 0,05.

Na maioria dos softwares, a significncia estatstica expressa pelo nvel

descritivo (valor-p).

6. Teste para proporo

Considere uma populao e uma hiptese sobre uma proporo p dessa

populao:

H0 : p = p0

O problema fornece informaes sobre H1, que pode ser:

(a) H1 : p = p1 p1 > p0 (teste monocaudal direita)

(b) H1 : p = p1 p1 < p0 (teste monocaudal esquerda)

(c) H1 : p > p0 (teste monocaudal direita)

(d) H1 : p < p0 (teste monocaudal esquerda)

(e) H1 : p p0 (teste bicaudal)

Quando n (tamanho da amostra) grande,

n/)p1(p

ppZ

~ N(0,1)

onde: p a proporo da amostra

Sob H0 verdadeira,

n/)p1(p

ppZ

00

0

~ N(0,1)

e para todas as formas de H1

n/)p1(p

ppz

00

0obs

~ N (0,1)

As regies crticas so idnticas s mostradas em (3) e os valores de zc,

fixando-se , so obtidos na distribuio N (0,1).

Exemplo 4. Um laboratrio de vacinas contra febre aftosa reinvidicou que ela

imuniza 90% dos animais. Em uma amostra de 200 animais, nos quais foram

aplicados a vacina, 160 foram imunizados. Verificar se a declarao do

fabricante verdadeira ao nvel de 5%.

Soluo:

H0 : p = 0,90 (p0)

H1 : p < 0,90

n = 200 200

160p = 0,80 = 0,05

n/)p1(p

ppz

00

0obs

=

200/)10,0.90,0(

90,080,0 = - 4,72

RC = {Z -1,65}

Deciso :

Como zobs < zc, rejeita-se H0 ao nvel de 5%, ou seja, a proporo de

imunizao menor do que 90%.

Concluso:

A declarao do laboratrio falsa ao nvel de 5%.

7. Teste para a mdia de uma populao N( , 2), 2 desconhecido

Hipteses:

H0: = 0

H1: 0 [ ou > 0 ou < 0 ], onde 0 um valor conhecido.

Estatstica teste: Neste caso, a exemplo do que foi feito na construo de

intervalos de confiana, a estatstica a ser usada para testar a hiptese H0 :

t = n/s

X0

que tem distribuio t de Student com n 1 graus de liberdade (tn-1).

Regio crtica: Fixado , a regio crtica (RC) :

1n,2/1n1n,2/1n ttoutt:RC

ou 1n,2/1n tt:RC .

Os valores de t/2, n-1 podem ser obtidos na Tabela 4, apresentada no captulo

anterior.

Resultado da amostra: Colhida uma amostra aleatria de tamanho n, calculada

sua mdia )x( a e desvio padro ),s( a calcula-se:

tobs = n/s

x

a

0a

Anlise do resultado: Se tobs RC, rejeita-se H0; caso contrrio, no se rejeita

Esse teste chamado teste t de Student ou, simplesmente, teste t.

Se n for grande (n 30), x , como j visto, pode ser tratada como uma varivel

aproximadamente normal ),(N n2 , em virtude da aplicao do teorema limite

central. Alm disso, pode ser substitudo por s sem afetar consideravelmente a

distribuio. Assim, um teste aproximado de H0: = 0 pode ser executado usando-se a estatstica Z, consultando a tabela normal para a regio de rejeio.

Exemplo 5. As especificaes de uma dada droga veterinria exigem 23,2g de

lcool etlico. Uma amostra de 10 anlises do produto apresentou um teor

mdio de lcool de 23,5g com desvio padro de 0,24g. Pode-se concluir ao

nvel de significncia de 1% que o produto satisfaz as condies exigidas

( 23,2g)?

Soluo:

H0: = 23,2 g

H1: 23,2 g

= 0,01 g523xa , sa = 0,24 n = 10

Consultando a Tabela 4, tc(0,01; 9) = 3,25, de modo que

RC = t > -3,25 ou t > 3,25

953g223g523

n

s

xt

10240

a

0aobs ,

,,

,

Concluso: como tobs RC, rejeita-se H0 ao nvel de 1%, ou seja, o teste indica que o produto no satisfaz as condies exigidas.