UNIVERSIDADE ESTADUAL DA PARABA

PR-REITORIA DE PS-GRADUAO E PESQUISA

CENTRO DE CINCIAS E TECNOLOGIA

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE CINCIAS E MATEMTICA

HLDER ALVES DE OLIVEIRA

PLANILHA ELETRNICA EXCEL E A MATEMTICA

DESENVOLMENTO DE APLICATIVO PARA O ENSINO DE MATRIZES

Campina Grande, PB

2011

Hlder Alves de Oliveira

PLANILHA ELETRNICA EXCEL E A MATEMTICA

DESENVOLMENTO DE APLICATIVO PARA O ENSINO DE MATRIZES

Dissertao apresentada ao Programa de

Ps Graduao Stricto Sensu em Ensino de Cincias e Matemtica da Universidade

Estadual da Paraba Linha de pesquisa Metodologia e Didtica no Ensino das Cincias e na Educao Matemtica como requisito para obter o titulo de Mestre

em educao matemtica.

Orientador(a): Prof. Dr. Filomena Maria

Gonalves da Silva Cordeiro Moita

Campina Grande 2011

AGRADECIMENTO

A Deus, pela sua infinita sabedoria, fortaleza e misericrdia, que me encorajou nos dias

difceis, mostrando-me que a aurora de uma nova manh traria uma sol irradiante e com

ele a certeza da vitria pelas mos do seu filho amado Jesus.

A toda a minha famlia, pelo apoio e por estar sempre presente em minha vida.

Aos meus companheiros do mestrado pelo esprito de unio e pelas contribuies e

colaboraes durante todo o perodo do curso.

Aos meus mestres Prof. Dr. Rmulo Marinho do Rego e Prof Dr. Maria G. da S.

Cordeiro Moita, por compartilharem comigo seus ensinamentos, e em especial minha

orientadora pelos incentivos e por sua pacincia nas orientaes.

Ao meu fiel amigo e companheiro Joseildo por compartilhar tantos momentos difceis

ajudando-me a super-los.

Aos meus amigos Carlos Henrique e Jos Neto por me acolher em seus lares, sempre

prontos a me ajudar nas horas em que mais precisei.

Aos irmos em cristo da igreja Cristo Maranata de Campina Grande por tantas

assistncias que me deram durante o curso.

DEDICATRIA

Dedico este trabalho a minha famlia, a

minha esposa Tereza Cristina e a minha

Filha Ana Vitria, que so as pessoas em

que eu sempre me apoiei e que estiveram

ao meu lado, lutando contra as

adversidades da vida e festejando as

vitrias conquistadas.

O desafio que os educadores enfrentam est relacionado aplicao prtica do

computador, como elemento integrador no processo de ensino-aprendizagem, e no,

como uma simples ferramenta que facilita ou automatiza clculos.

STIELLER E FERREIRA

FICHA CATALOGRAFICA

expressamente proibida a comercializao deste documento, tanto na sua forma impressa como

eletrnica. Sua reproduo total ou parcial permitida exclusivamente para fins acadmicos e

cientficos, desde que na reproduo figure a identificao do autor, ttulo, instituio e ano da

dissertao

FICHA CATALOGRFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL-UEPB

O48p Oliveira, Hlder Alves de.

Planilha eletrnica Excel e a matemtica [manuscrito]:

Desenvolvimento de aplicativo para o ensino de matriz / Hlder Alves

de Oliveira. 2011. 119 f.

Digitado.

Dissertao (Mestrado Profissional em Ensino de Cincias e

Matemtica), Centro de Cincias e Tecnologia, Universidade Estadual

da Paraba, 2011.

Orientao: Profa. Dra. Filomena Maria Gonalves da Silva Cordeiro Moita, Departamento de Matemtica.

1. Ensino de matemtica. 2. lgebra. 3. Excel. 4. Aprendizagem.

I. Ttulo.

21. ed. CDD 510

RESUMO

Este trabalho tem como objetivo apresentar os resultados de uma pesquisa qualitativa,

voltada para a modalidade estudo de caso, na qual foram utilizadas as TICs, seguindo

pressupostos da Teoria Construcionista criada por Seymuor Papert, com a finalidade de

introduzir os conceitos bsicos da lgebra de matrizes por meio da utilizao do

software Planilha Eletrnica Excel desenvolvido pela Microsoft Corporation. Para a

realizao da pesquisa utilizamos o OA (Objeto de Aprendizagem) e um minicurso,

procurando introduzir os conceitos de soma, multiplicao e clculo da matriz inversa

de uma matriz dada, para que os discentes pudessem observar suas aplicaes na

resoluo de problemas contextualizados e lanar mo desse recurso para resolver

sistemas de equaes lineares. A posteriori, fizemos uma anlise atravs de um

questionrio, o mesmo revelou que a maioria dos discentes, cerca de setenta por cento,

considerou atraente a proposta metodolgica, demonstrando um interesse satisfatrio

pelos contedos apresentados por meio da tecnologia. Neste trabalho, inferimos uma

proposta metodolgica para utilizar o Software Excel no ensino da lgebra de matrizes.

Palavras-chave: Estudo de caso. TICs. Teoria Construcionista. lgebra de matrizes.

Planilha Eletrnica Excel. OA.

ABSTRACT

This paper aims to present the results of a qualitative research focused on the case study

method, in which TICs have been used, following the assumptions of constructivist

theory created by Seymuor Papert, in order to introduce the basic concepts of matrix

algebra by using the Excel Spreadsheet software developed by Microsoft Corporation.

To conduct the survey used the OA (Learning Objects) and a short course, and to

introduce the concepts of addition, multiplication, and calculating the inverse of a given

matrix, so that students could observe their applications in solving problems in context

and launch hand this feature to solve systems of linear equations. Subsequently, we

analyzed through a questionnaire, it showed that the majority of students, about seventy

percent, considered attractive methodological proposal, demonstrating an interest in

satisfying the content presented through technology. In this work, we infer a

methodology for using Excel software in the teaching of matrix algebra.

Keywords: Case study. TICs. Constructivist theory. Matrix algebra. Excel Spreadsheet.

OA.

SUMRIO

INTRODUO ............................................................................................................ 11

1 PANORAMA GERAL DA PESQUISA ................................................................. 13

1.1 Pontos de partida ................................................................................................ 13

1.2 A experincia que deu origem ao trabalho ....................................................... 18

1.3 A Matemtica no ensino mdio: uma abordagem tradicional ........................ 19

1.4 Problemtica ........................................................................................................ 22

2 FUNDAMENTAO TERICA ........................................................................... 26

2.1 Pesquisa: outros olhares ..................................................................................... 26

2.2 O caminhar pela teoria ....................................................................................... 29

2.3 Seymour Papert: a aprendizagem em um pressuposto construcionista ........ 32

2.4 Intrucionismo versus Construcionismo ............................................................ 34

2.5 As tecnologias na Educao ............................................................................... 35

2.6 Matrizes: um passeio pela histria .................................................................... 38

2.7 lgebra das matrizes .......................................................................................... 45

3 UTILIZANDO A PLANILHA EXCEL PARA ENSINAR MATRIZES ............. 46

3. 1 Nossa percepo ................................................................................................. 46

3.2 Abordagem dos livros didticos para o clculo da matriz inversa ................. 54

3.3 Funo MATRIZ.INVERSO: clculo da matriz inversa no Excel ................ 58

3.4 Problemas contextualizados: multiplicao de matrizes ................................. 60

3.5 Aplicao do clculo da matriz inversa ............................................................ 64

4 METODOLOGIA ..................................................................................................... 69

5 OBJETOS DE APRENDIZAGEM .......................................................................... 72

5.1 Elaborao do OA ............................................................................................... 73

5.2 Universo da pesquisa .......................................................................................... 76

5.3 Sujeitos da pesquisa ............................................................................................ 76

5.4 Instrumentos da pesquisa ................................................................................... 76

6 ANLISE DOS DADOS ........................................................................................... 78

6.1 Etapas desenvolvidas .......................................................................................... 78

7 CONSIDERAES FINAIS ................................................................................... 81

APNDICE ................................................................................................................... 89

11

INTRODUO

Meu interesse em realizar uma pesquisa em educao matemtica surgiu a partir

do momento em que percebi, em minha prtica profissional, o desgaste de uma

metodologia tradicional de ensino que utilizei durante anos e que, a cada dia, ia se

tornando mais cansativa. Talvez por ser muito cmoda e fcil de realizar, as aulas que

ministrava no causavam nenhum impacto nos aprendizes, e aquela postura passiva que

eles assumiam me deixava saturado daquela rotina de trabalho.

Em alguns momentos, percebi que era em vo repetir uma srie de exerccios

que seguiam a mesma linha de raciocnio, que fazia numa tentativa frustrada, para eles

entenderem algo que existia apenas dentro da minha cabea. Algumas vezes, chegava a

desistir de ministrar aulas empregando aquela metodologia, pensando que o tempo

pudesse sanar o problema que, depois de muitas reflexes, entendia que no era dos

alunos, mas meu, por cair num tradicionalismo que, como professor, recebera como

herana de outras geraes. Por causa isso, decidi mudar minha postura pedaggica. No

entanto, promover essa mudana na minha prtica de ensino no foi fcil, devido a um

conjunto de fatores externos que eram verdadeiros obstculos, tais como: o tempo que

tinha para pesquisar e elaborar aulas mais criativas e atraentes no era suficiente, uma

vez que lecionava em trs escolas diferentes, cada uma em um turno.

Outro fator de suma relevncia foi identificar meus erros e procurar um caminho

novo para seguir, de forma que pudesse super-los; buscar em mim humildade

suficiente para aceitar crticas e sugestes vindas de discentes. Dessa forma, senti que

estava na hora de parar e investir mais na minha capacitao profissional. Tal

aprimoramento na minha prtica de ensino comeou com este trabalho de pesquisa, cujo

foco principal utilizar a tecnologia para lecionar o contedo de matrizes por meio do

software Excel.

Iniciamos com esse contedo e utilizando o referido programa de computador

por dois motivos singulares: atualmente, o computador faz parte da rotina de trabalho

em diversos setores da sociedade; o software, Planilha Eletrnica Excel, alm de ser

similar a outras planilhas de clculo, tem uma srie de funes matemticas que fazem

parte do currculo do ensino mdio, tais como: o clculo do determinante de uma

matriz; o clculo da matriz inversa; o produto de matrizes etc. Assim, buscamos, com

12

este trabalho, promover sugestes que tragam melhorias para o ensino. Nesse trabalho,

ainda, segue em anexo um tutorial do Excel para o professor.

13

1 PANORAMA GERAL DA PESQUISA

1.1 Pontos de partida

A premissa que deu origem a este trabalho de pesquisa surgiu quando, em certa

ocasio, levamos para a sala de aula um notebook e um data-show, para uma aula de

matemtica que ministraramos sobre geometria analtica, numa turma de 3 ano do

ensino mdio, em uma Escola da Rede Estadual de Ensino da cidade de Joo Pessoa. O

objetivo era de mostrar aos discentes uma planilha eletrnica com a qual podamos

calcular a distncia entre dois pontos quaisquer, no plano cartesiano, e expor sua

condio de alinhamento. Foi quando percebemos o entusiasmo e o interesse dos alunos

em descobrir como desenvolvemos tal modelo matemtico a partir do aplicativo, uma

planilha eletrnica Excel. Depois da exposio, comearam a surgir muitos

questionamentos vindos dos discentes. A partir de ento, comeou a nascer um desejo

maior pelas aulas, e a frequncia e a participao dos discentes aumentaram

consideravelmente. A cada aula que ministrvamos, surgia um elemento novo, um olhar

diferente, uma ateno mais rigorosa, e, assim apresentamos outros aplicativos com

contedos que j haviam sido ministrados, s que, dessa vez, com a planilha eletrnica

Excel.

Percebemos que a utilizao do recurso tecnolgico poderia nos auxiliar no

processo de ensino. Iniciamos a investigao procurando respaldo terico-metodolgico

em artigos, peridicos ou bibliografias que nos apoiassem na idia que estava

amadurecendo utilizar o computador como ferramenta para ensinar contedos

matemticos.

Ao analisar os PCN para o Ensino Mdio, encontramos vrias propostas

pedaggicas, quanto ao uso da tecnologia em sala de aula, para facilitar o ensino de

matemtica e desenvolver competncias e habilidades a fim de preparar o cidado e

inseri-lo na sociedade moderna.

O Ensino Mdio no Brasil est mudando. A consolidao do

Estado democrtico, as novas tecnologias e as mudanas na

produo de bens, servios e conhecimentos exigem que a

escola possibilite aos alunos integrarem-se ao mundo

14

contemporneo nas dimenses fundamentais da cidadania e do

trabalho. (PCNEM, 2000, p. 4)1

Nessa afirmao extrada dos PCN2 para o Ensino Mdio, vemos que a escola

precisa adotar novas metodologias de ensino, que sejam capazes de integrar os

aprendizes com a nova realidade social que estamos vivendo e capacit-los para essa

nova realidade, uma vez que a sociedade, a cincia e a tecnologia tm passado por

muitas transformaes, principalmente no campo da tecnologia.

Segundo Monteiro (1995, sp),

[...] preciso ir muito alm do que se faz hoje, utilizando-se o

computador como estratgia de apoio aos contedos curriculares e

como instrumento de estimulao colaborao e a motivao do

aprendiz. preciso que trabalhemos muito para formar pessoas mais

sensveis e capazes de estabelecer novas ticas, altura dos desafios

que nos coloca a nova comunicao.

Como a escola desempenha um papel de grande importncia na formao do

cidado, a possibilidade de lanar mo de um recurso tecnolgico para expor um

determinado contedo, adaptando-o realidade cotidiana do aluno, seria muito

importante, em se tratando da disciplina Matemtica, por ser considerada pelos alunos

como uma matria cujos contedos no so teis para sua rotina diria ou a vida prtica.

Stieller e Ferreira (Apud BORGES NETO, 1998) afirmam que, apesar de o

papel do computador, no ensino de Matemtica, ser o de apresentar uma nova lgica

para problemas antigos, por meio da manipulao e da simulao que a mquina

produz, ele no termina a. Assim, o desafio que os educadores enfrentam est

relacionado aplicao prtica do computador, como elemento integrador do processo

de ensino-aprendizagem, e no, como uma simples ferramenta que facilita ou

automatiza clculos (STIELLER E FERREIRA Apud LVY, 1993).

Ainda segundo os PCN do Ensino Mdio, a nova sociedade que surge

aps a revoluo tecnolgica, assim como seus desdobramentos na produo e na rea

da informao,

[...] apresentam caractersticas possveis de assegurar educao

uma autonomia ainda no alcanada. Isto ocorre na medida em

que o desenvolvimento das competncias cognitivas e culturais

1PCN: Parmetros Curriculares Nacionais

2 PCNs: Parmetros Curriculares Nacionais para o ensino mdio.

15

exigidas para o pleno desenvolvimento humano passa a

coincidir com o que se espera na esfera da produo. (2000,

PCN, p. 11)

O texto citado, implicitamente, quer dizer que o desenvolvimento da sociedade

atual est atrelado aos avanos da tecnologia ocorrido nos ltimos anos, e que a escola

deve dar sua contribuio para o pleno desenvolvimento cognitivo do indivduo, para

que ele possa interferir na formao dessa sociedade e contribuir com ela.

Ponte e Canavarro (1997, p. 24) assim se expressam sobre a necessidade de

mudanas na educao:

A escola corre o srio risco de ser cada vez mais rejeitada pelos

jovens, surgindo lhes como representante de uma cultura de outra

poca, como uma instituio defasada do seu tempo. Para a maioria

dos alunos, os assuntos tratados nas aulas no despertam grande

interesse. Muitas vezes isso no resulta propriamente dos assuntos em

si, mas da forma como so apresentados, de maneira formal, rgida,

como matrias a aceitar e no como problemas a investigar. Os

prprios professores esto presos a uma concepo do saber esttico,

cristalizada, que v o currculo como uma simples sequncia de

tpicos e subtpicos. Uma escola que no proporcione aos seus alunos

e professores a oportunidade de se poderem envolver duma forma

ativa no estudo de novos problemas, no prosseguimento de novos

interesses, na criao de novas atividades e formas de trabalho, em

suma, no desenvolvimento de novas aprendizagens falha

necessariamente nos seus objetivos.

Alm das mudanas na forma de ensinar o texto, os autores apontam a

importncia de se usar o computador como ferramenta para obter tais transformaes no

contexto educacional e na formao ideolgica, visando preparar o discente para o

exerccio da atividade profissional. Deparamo-nos, assim, com questes intrigantes, tais

como: Qual seria a melhor forma de utilizarmos aquele recurso tecnolgico para que ele

promova a formao do conhecimento no discente? Como poderamos criar um

ambiente de ensino que nos fosse favorvel?

Foi a partir dessas indagaes que nasceu dentro de mim um sentimento de

empolgao para iniciar um trabalho de pesquisa mais substancial, pois a escola onde

leciono dispunha de alguns recursos tecnolgicos que me auxiliariam na implantao da

nova forma de ensinar contedos matemticos. Nela temos um laboratrio de

informtica com 16 computadores e um data-show, que no so utilizados pelos

docentes e, por esse motivo, j estavam ficando sucateados.

16

Isso nos levou a novas reflexes quanto a nossa prtica docente. Limitados ao

mbito escolar, especificamente em sala de aula, no conseguiramos atingir a nossa

meta. Seria preciso aprofundar os estudos relativos utilizao daquele recurso

didtico, para saber manipul-lo de forma adequada e alcanar os objetivos que

almejvamos.

Quando enveredamos por esse caminho, tnhamos a plena conscincia de que

no bastava utilizar o computador para reproduzir aquilo que j fazamos, pois utilizar

os computadores para auxiliar os aprendizes a realizarem tarefas sem compreender o

que esto fazendo uma mera informatizao do atual processo de ensino e

aprendizagem (VALENTE, 1999).

Ressaltamos que utilizar o computador como suporte para o ensino, a fim de

promover uma metodologia mais atraente, um caminho novo que se inicia para a

construo de uma escola atual. E como a sociedade tem acompanhado os avanos

tecnolgicos, inserindo o computador na rotina cotidiano de vrios profissionais, a

escola no pode deixar de lanar mo desse recurso para retratar a realidade moderna.

Sobre isso, Ponte (1997, p. 30) afirma que

o computador pode ainda ser utilizado como uma ferramenta e

trabalho, aberta e flexvel para o armazenamento e processamento de

informao, em numerosas profisses, tanto de natureza tcnica, como

administrativa, como de investigao cientifica. Diversos programas

utilitrios so de aprendizagem relativamente simples e permitem a

execuo de uma variedade de tarefas. Podem indicar-se em especial,

programas de processamento de texto, desenho livre base de dados,

edio eletrnica, folha de calculo, grfico e tratamento estatstico de

dados... Nessa perspectiva, as novas tecnologias surgem como

instrumentos para serem usados livre e criativamente por professores e

alunos.

Conhecendo os benefcios que as tecnologias podem trazer para a rea

educacional, importante que o professor procure obter as vantagens que o uso

adequado do computador, bem como o de qualquer outro recurso tecnolgico, pode

oferecer aos discentes na sala de aula. Em relao a isso, Ponte e Canavarro (1997)

ressaltam a influncia das tecnologias no processo de ensino, destacando o sucesso de

experincias realizadas com o computador e a calculadora. Essas ferramentas facilitam a

compreenso de clculos e ajudam na manipulao simblica de operaes algbricas

matemticas, uma vez que as mquinas so mais eficientes na realizao dessas tarefas.

Elas incentivam o investimento no desenvolvimento de competncias intelectuais mais

17

avanadas, como o raciocnio lgico dedutivo, a agilidade na resoluo de problemas e

a capacidade crtica, que esto alm da simples compreenso das operaes matemticas

fundamentais. Tambm valorizam o significado da representao grfica e de novas

formas de notaes, permitindo outras abordagens s situaes matemticas, que podem

substituir os processos formais de cunho puramente algbrico ou analtico. Ainda do

margem criao e elaborao de projetos e atividades de modelagem e de

investigao, que os discentes podem explorar para compor sua experincia matemtica.

Por fim, possibilitam o engajamento dos discentes em atividades mais profundas e

significativas, porquanto contribuem para o desenvolvimento de atitudes positivas, em

detrimento da disciplina, criam uma viso mais adjacente, no tocante a sua natureza

real, e oferecem oportunidades para que os discentes possam ser mais bem sucedidos na

aprendizagem da matemtica.

Os recursos tecnolgicos surgem como uma ferramenta capaz de superar

obstculos e quebrar paradigmas que esto arraigados na cultura da prtica docente h

anos, em muitas sociedades, em especial, na brasileira, onde, ainda hoje, predomina o

modelo tradicional de ensino, apoiado em um conjunto de tcnicas metdicas seguidas

de uma sequncia de exerccios repetitivos, com a finalidade de que os discentes

memorizem determinados conceitos para reproduzi-los em contextos puramente

abstratos, quase sempre, sem qualquer vnculo com sua realidade.

Diante dessas afirmaes, acreditamos que as tecnologias podem trazer

vantagens que auxiliem no ensino e promovam um processo de aprendizagem mais

atraente para os discentes. Esse o nosso ponto de vista. No entanto, a eficcia de tal

recurso para o ensino de matemtica ser verificada e evidenciada no decorrer deste

trabalho de pesquisa que realizamos. No queremos comprovar tampouco demonstrar

uma teoria, sua eficincia e veracidade. Apenas nos propomos a investigar um modelo

que possa ser utilizado com fins educacionais, visando contribuir para a melhoria da

educao, diante de uma realidade prxima a ns.

18

1.2 A experincia que deu origem ao trabalho

Neste item, descreveremos a experincia feita em sala de aula com alunos do

terceiro ano do ensino mdio de uma Escola Estadual da cidade de Joo Pessoa.

Aps termos ensinado os contedos de distncia entre dois pontos no plano

cartesiano e condio de alinhamento entre trs pontos, ainda no modelo tradicional,

utilizando apenas o quadro e o giz, procuramos mostrar como seria possvel criar uma

planilha de clculo no software Microsoft Excel que nos fornecesse tal informao. Para

isso, desenvolvemos ento a seguinte planilha:

Figura 1 Condio de alinhamento de trs pontos Fonte: Desenvolvida pelo autor (Hlder Alves de Oliveira)

A planilha exibida na Figura 1, que criamos, capaz de verificar se trs pontos

no plano cartesiano so colineares ou se so os vrtices de um tringulo. Essas

condies so verificadas quando digitamos, nas clulas J4, J6, J8, J10, J12 e J14, as

coordenadas dos trs pontos, conforme indicado ao lado, considerando os pontos como

sendo A, B e C.

Ao digitar os valores das coordenadas dos pontos para a funo REP, que

disponibilizada no Excel, construmos o determinante D, indicado ao lado direito da

19

tela. Imediatamente, quando fazemos isso, a clula R8, que est programada com a

funo MATRIZ.DETERM, calcula automaticamente o valor de D. Em seguida, a

clula M14, que est formatada com a funo lgica SE, apresenta o valor

COLINEARES se D=0 e SO VRTICES DE UM TRINGULO, caso contrrio.

Quando criamos essa planilha de clculo na sala de aula, utilizando um notbook

e um data-show, a nossa inteno era apenas de mostrar aos alunos que o conhecimento

de Matemtica que detnhamos, aliado a um pouco do de informtica, poderia

concretizar aquilo que era abstrato e que s existia no nosso pensamento.

Aquela aula causou-nos um impacto inesperado, e o olhar opaco e distante que,

em tantas aulas, vamos nos discentes, transformou-se e surgiu um brilho que outrora

jamais tnhamos visto. A ateno e a curiosidade ficavam cada vez mais intensas, e

medida que amos elaborando cada etapa do experimento, as perguntas a respeito do

software e suas aplicaes perduraram por muitas aulas naquela turma depois daquele

dia. Foi assim que nos sentimos na obrigao de criar um projeto que resgatasse o brilho

nos olhos dos nossos aprendizes e o interesse deles pela Matemtica, tendo como nosso

aliado, o recurso tecnolgico.

1.3 A Matemtica no ensino mdio: uma abordagem tradicional

Quase todas as aulas de Matemtica, no Ensino Mdio, ainda so ministradas no

modelo tradicional. Isso porque a maioria dos professores segue livros-texto que no

so atrativos e, portanto, no despertam interesse nos alunos, as aulas resumem-se

aplicao de problemas e suas solues, o que as torna cansativas, desagradveis e at

difceis de entender. O nvel de abstrao com que apresentam os contedos

matemticos, em alguns deles, muito elevado, sem contar com o formalismo e o rigor

da linguagem cientfica. Isso faz com que os alunos tenham antipatia pela disciplina e,

consequentemente, adquirem uma aprendizagem deficitria.

Geralmente, os professores costumam expor as definies de determinados

contedos matemticos e, em seguida, resolver uma srie de exerccios utilizando essas

definies. No entanto, quando os alunos se deparam com problemas vividos em seu

cotidiano, no sabem como empreg-las para resolv-los e terminam no fazendo o

problema, ou, quando o fazem, no chegam resposta correta.

20

Convivemos com isso durante muito tempo, em nossa prtica docente, e

resolvemos mudar, ao perceber que estamos vivendo uma nova era, a era da informao

rpida ou a era da informtica.

Nos dias atuais, a informao chega at as pessoas de forma muito veloz. Hoje

no enviamos mais uma correspondncia para relatar um fato da nossa vida ou nos

comunicarmos com algum que conhecemos ou com algum parente distante, porque

fazemos isso atravs de e-mails.

Diante desse quadro, mudar o procedimento metodolgico passou a ser uma

meta a alcanar e resolvemos fazer isso iniciando com o contedo de matrizes com os

alunos do segundo ano do ensino mdio. Escolhemos esse contedo por ser considerado

um assunto novo no campo da lgebra, com pouco mais de 150 anos, e por estar

associado a outros contedos, como sistemas lineares e determinantes. Some-se a isso o

fato de ter uma importncia considervel no ramo da lgebra. Doravante faremos um

comentrio acerca da escolha do contedo.

Segundo Messias, Franco e Fonseca (2006), o ensino de matrizes encontra-se

deficitrio, devido ao uso exacerbado de smbolos algbricos e de regras que so

utilizados pelos professores em suas aulas expositivas. Eles afirmam que os livros

didticos so inadequados por apresentarem conceitos confusos e linguagem

inadequada, com raras contextualizaes nos exerccios e nas definies feitas, onde os

contedos expostos seguem uma sequncia formal arcaica e ultrapassada. Nosso olhar

crtico em relao s afirmaes dos autores no sentido de que sua inteno mostrar

que os conceitos e as definies relativos ao tema estudado devem estar associados

vivncia dos discentes e se ligarem o outro, formando uma sequncia lgica para que

seja possvel se verificar sua coerncia.

Na viso de Sanches (2002), o ensino de matrizes apresenta-se em um verdadeiro descompasso em relao aos avanos tecnolgicos. Ela afirma que o ensino

de matrizes est resumido numa mera transmisso de regras, descontextualizado da

realidade dos discentes e da prpria matemtica, e que os contedos de matrizes e

determinantes ministrados no ensino mdio servem apenas como ferramentas

auxiliadoras na resoluo de sistemas de equaes lineares. Dessa forma,

desconsiderada a evoluo de seu conceito no tempo, e seu verdadeiro significado se

perde.

21

Neste trabalho de pesquisa, a escolha pelo estudo de matrizes deu-se pelo fato de

que, atualmente, alm de a matriz ser uma ferramenta poderosa, no contexto

matemtico, e estar sendo utilizada em vrias reas do conhecimento, se for associada

ao recurso tecnolgico, por analogia, pode produzir resultados satisfatrios no tocante

formao de conceitos. Alm disso, quando tratamos uma matriz segundo as definies

propostas por autores de livros didticos do ensino mdio, abrimos mais um caminho

para estudar mais detalhadamente a interpretao e a compreenso de tabelas, o que

favorece na tomada de decises e d margem ao desenvolvimento do pensamento

crtico. Sobre esse aspecto, Sanches (2002, p. 7) refere:

A lgebra das matrizes tem importncia significativa para vrias

cincias e encontra, cada vez mais, aplicaes em diversos setores como

a Economia, a Engenharia e Tecnologia, etc. Se no ocorrer uma

aprendizagem significativa e relevante dos conceitos de matrizes, os

estudantes podero apresentar dificuldades, em nveis mais avanados,

para compreender e aplicar outros conceitos relacionados, tais como

conceitos de programao, computao grfica, custos de produo,

teoria dos grafos, circuitos eltricos, modelos econmicos lineares,

entre centenas de outros.

Ressalte-se, tambm, que a formao de tais conceitos, em especial, o de

matrizes, ora aqui mencionados, na concepo de Miguel (2007, p. 190-194), deve

considerar, como teses centrais da ao na situao de ensino e aprendizagem, as

perspectivas de contextualizao, historicizao e enredamento, o que corrobora o

pensamento de Sanches. Tal contextualizao, qual o autor faz aluso, est

relacionada com o aspecto sociocultural do qual o aprendiz faz parte: a historicizao

o processo que se coloca em evidncia como as idias matemticas evoluem, formando

um todo orgnico, ou seja, um processo de construo. O enredamento, por sua vez,

a organizao das idias matemticas em articulao com as diversas reas do

conhecimento, posto que elas no surgem do nada.

No campo da Informtica, o estudo de matrizes um recurso importante na

criao de software em diversos setores, como, por exemplo, na indstria, e, em

especial, na teoria dos grafos3. Por isso consideramos importante o contedo de

matrizes como ponto de partida para o nosso trabalho de pesquisa, utilizando a planilha

eletrnica Excel, a fim de alcanarmos os pontos de vista colocados pelos autores.

3 Teoria dos Grafos: Tem suas origens em jogos e recreaes matemticas. Sua criao atribui-se ao

matemtico Leonhard Paul Euler. Tem sido aplicada em muitas reas, como: Informtica, Investigao

Operacional, Economia, Sociologia, Gentica etc.

22

1.4 Problemtica

Preocupados com a desmotivao dos alunos, no que diz respeito aos contedos

estudados na disciplina de Matemtica, e por estar acompanhando os avanos da

tecnologia, no seio da sociedade moderna, sobretudo no que concerne educao, e por

exercer a funo de docente em escolas pblicas, senti-me motivado a refletir sobre o

uso da tecnologia da informtica e de recursos metodolgicos que promovessem um

ambiente de estudo mais atrativo para o ensino dessa disciplina. Gravina e Santarosa

(1998) afirmam que ambientes informatizados so ferramentas que do suporte ao

processo de ensino e aprendizagem, embora tais ambientes tenham sido implantados de

forma acanhada, devido questo da adaptao ao contexto educacional e que, portanto,

incorpor-los na prtica docente um grande desafio.

Os novos modelos de educao devem apontar para um profissional com perfil

diferente, preparado para conviver numa sociedade que sofre mudanas violentas, tanto

no campo da tecnologia quanto no da indstria, e em quase todos os setores. Dessa

forma, eles precisam ser capazes de construir seu conhecimento e tornam-se sujeitos

ativos do processo em que a intuio e a descoberta so elementos privilegiados e

primordiais no processo dessa construo.

Diante desse cenrio criado pelas transformaes sociais, o professor deve

deixar de ser um mero transmissor do conhecimento que, s vezes, arcaico e

ultrapassado devido maneira como transmitido, e passar a atuar como elo de

transmisso entre aprendiz e conhecimento, para auxiliar na construo da sua formao

ideolgica e em seu desenvolvimento cognitivo. Nessa nova perspectiva de ensino, o

aprendiz no deve ser visto como um ser vazio, simplesmente um espectador. Devemos

levar em considerao o conhecimento prvio que detm, dando-lhe condies de

desenvolver suas potencialidades a partir de suas habilidades pessoais. No contexto

atual, devido s inovaes por que a sociedade vem passando, o professor, que parte

integrante e sujeito ativo, colaborador desse novo paradigma social, ao qual a educao

est intrinsecamente ligada, deve procurar atualizar-se constantemente, a fim de dar sua

parcela de contribuio, para que o aprendiz alcance o perfil que exigido nos nveis

sociais.

23

A tecnologia da informtica rene caractersticas importantes que, se forem

exploradas de forma consciente e com objetividade, podem dar uma contribuio eficaz

no ensino e na construo do conhecimento. Ela pode despertar a motivao e o

interesse do aprendiz, por estar presente no seu dia a dia em, praticamente, todos os

ramos da sociedade. A priori, sua criao e seu desenvolvimento no previam fins

educacionais, mas, por estar atrelada s mudanas e aos avanos que temos

acompanhado nos ltimos anos, temos que lanar mo dela como recurso auxiliador na

formao cidad no mbito escolar. Inserir o computador no convvio escolar, tornando-

o parte da prtica docente, embora seja um grande desafio, uma realidade que no

podemos marginalizar.

Papert (2001) faz um comentrio que de suma importncia e que nos instiga a

refletir sobre a nossa prtica docente. Ele afirma, numa parbola que criou, que a

educao no acompanha as mudanas que ocorrem na sociedade. Assim, para que a

educao e o ensino resistam ao tempo e s mudanas sociais oriundas do avano

tecnolgico e cientfico, e ainda mais, para que os sistemas educacionais tenham

credibilidade e eficcia, precisamos abraar uma proposta pedaggica pautada na

realidade cotidiana. Nesse sentido, o papel do professor sobe mais um degrau no

processo de construo do conhecimento e no ato de ensinar. A relao professor-aluno

que, h muitos anos, distanciou um do outro, devido postura tradicional assumida por

muitos, deve ser deixada de lado e dar lugar a uma relao interativa, por meio da qual

ambos busquem a motivao no processo educacional de ensino e na convivncia

mtua. Trilhar nesse novo caminho de interao e participao culmina numa educao

de qualidade, que o que todos almejam.

Com os projetos de informatizao nas escolas pblicas, criados pelos governos

em vrios estados, muitas escolas pblicas j dispem de laboratrios de informtica, no

entanto, usar esse recurso adequadamente, fazendo com que ele possa proporcionar

mudanas nas modalidades de ensino, a nossa maior preocupao. A respeito disso,

Almeida (1999, p. 19) afirma:

Estamos em um momento em que a disseminao do computador na

educao atingiu larga escala. Mas o impacto das mudanas que

poderia provocar ainda no ocorreu, embora existam modalidades de

uso cujos ambientes de aprendizagem informatizados possam

contribuir para transformaes.

24

Diante dessa perspectiva, o professor assume um papel fundamental o de

fazer com que esse recurso no entre em desuso, no se torne um simples amontoado de

equipamentos eletrnicos que, com a ao do tempo, venham deteriorar-se. Alguns

docentes ainda resistem em no empregar recursos tecnolgicos que possibilitem um

ensino mais atraente, talvez, pela falta de planejamento ou de capacitao ou por

preconceito. Assim, compactuamos com o que afirma Dambrosio (1990, p. 17),

quando ele explicita a importncia da utilizao de computadores no contexto

educacional, como mostra este seu discurso:

Creio que um dos maiores males que a escola pratica tomar a atitude de que computadores, calculadoras e coisas do gnero no so para as escolas dos pobres. Ao contrrio: uma escola de classe pobre necessita expor seus alunos a esses equipamentos que estaro presentes em todo o mercado de futuro imediato. Se uma criana de classe pobre no v na escola um computador, como jamais ter oportunidade de manej-lo em sua casa, estar condenada a aceitar os piores empregos que se lhe ofeream. Nem mesmo estar capacitada para trabalhar como um caixa num grande magazine ou num banco. inacreditvel que a Educao Matemtica ignore isso. Ignorar a presena de computadores e calculadoras condenar os estudantes a uma subordinao total a subempregos.

Uma simples calculadora, ainda que tenha poucas funes, quando utilizada de

forma coerente pelo professor pode trazer resultados inesperados. Alm disso, devemos

levar em considerao que o computador pessoal, no contexto atual, tem se tornado to

popular quanto muitos equipamentos eletrnicos. A maioria dos discentes tem acesso a

ele de vrias formas: em lan houses, em casas de parentes ou no prprio lar. Em

consonncia com os Parmetros Curriculares Nacionais (PCNs),

[...] a Matemtica componente importante na construo da

cidadania, na medida em que a sociedade se utiliza, cada vez mais, de

conhecimentos cientficos e recursos tecnolgicos, dos quais os

cidados devem se apropriar. A Matemtica precisa estar ao alcance

de todos e a democratizao do seu ensino deve ser meta prioritria do

trabalho docente. A atividade matemtica no olhar para coisas

prontas e definitivas, mas a construo e a apropriao de um

conhecimento pelo aluno, que se servir dele para compreender e

transformar sua realidade. O ensino da Matemtica deve relacionar

observaes do mundo real com representaes (esquemas, tabelas,

figuras) e tambm relacionar essas representaes com princpios e

conceitos matemticos. A aprendizagem em Matemtica est ligada

compreenso, deve favorecer conexes com outras disciplinas, com o

cotidiano do aluno e tambm conexes com os diferentes temas

matemticos. O conhecimento matemtico deve ser apresentado aos

alunos como historicamente construdo e em permanente evoluo.

Recursos didticos como jogos, livros, vdeos, calculadoras,

computadores e outros materiais tm um papel importante no processo

de ensino e aprendizagem (BRASIL - b, 1997, p. 19).

25

Portanto, tendo em vista os aspectos que aqui expusemos o fato de que nossa

viso educacional est focada nas transformaes que a tecnologia da informao tem

promovido na sociedade, neste trabalho de pesquisa, buscamos analisar o impacto que

o uso da planilha eletrnica Excel pode causar no ensino de matrizes aos discentes,

com base em pressupostos construcionistas.

Alm disso, o presente trabalho tem como objetivo geral investigar as contribuies do

software supracitado para o ensino de matrizes, segundo a Teoria Construcionista criada

por Seymour Papert.

A fim de alcanar essa meta e desenvolver a pesquisa com alunos do ensino

mdio, elaboramos algumas etapas que se constituram em: compreender a linguagem

algbrica abstrata da definio de matrizes por analogia planilha eletrnica Excel;

efetuar as operaes de adio e multiplicao de matrizes, por meio da criao de

modelos de aplicativos desenvolvidos na referida planilha; determinar a inversa de uma

matriz A dada, utilizando como recurso as potencialidades oferecidas pela planilha

eletrnica Excel; determinar a incgnita de uma equao matricial, criando modelos de

aplicativos na planilha eletrnica Excel; determinar a soluo de sistemas de equaes

lineares, construdos de acordo com problemas cotidianos sugeridos, a partir de

equaes matriciais com modelos de aplicativos desenvolvidos na planilha eletrnica

Excel.

26

2 FUNDAMENTAO TERICA

A fundamentao terica que d respaldo a este trabalho de pesquisa est

estruturada em dois momentos que se complementam. No primeiro, buscamos, na

literatura, pesquisas que j haviam sido realizadas em Educao Matemtica, utilizando

o recurso da tecnologia, em especial, o software4 Excel, para auxiliar no processo de

ensino de algum contedo de Matemtica, expondo alguns objetivos dos autores e os

resultados alcanados em suas pesquisas, bem como suas percepes acerca do uso da

tecnologia.

Em seguida, selecionamos o autor que fosse capaz de traduzir aquilo que

pretendia realizar e descobrimos as ideias de Seymour Papert, que convergiram para o

que tinha em mente, no sentido de fundamentar este trabalho de investigao.

2.1 Pesquisa: outros olhares

O uso da tecnologia no ambiente escolar tem sido, nos ltimos anos, objeto de

estudo de muitos pesquisadores. Em relao planilha eletrnica Excel, desenvolvida

pela Microsoft Corporation, h vrios trabalhos de pesquisa publicados, em que se

utiliza esse software para o ensino e a aprendizagem de contedos matemticos. Isso

devido grande versatilidade e interao do usurio com o software, bem como a

enorme variedade de funes disponveis, das quais o aprendiz pode lanar mo para

criar seus prprios modelos a fim de resolver problemas especficos. Vejamos, agora,

autores que desenvolveram ou escreveram trabalhos de pesquisa utilizando a Planilha

eletrnica Excel.

Merchede (2001), autor do livro Matemtica financeira para usurios do Excel

e da calculadora HP-12c, mostra solues prticas de problemas relacionados a

contedos bsicos do ensino fundamental, como: porcentagem, juros simples, descontos

simples, equivalncia de capitais e juros compostos, obtidas com o uso do Excel. Nos

livros de Matemtica voltados para esse nvel do ensino, tais contedos, embora estejam

presentes no cotidiano da sociedade moderna e faam parte do dia a dia do aluno,

mesmo de forma implcita e imperceptvel por ele, no so tratados da mesma forma

pelos autores, com o uso da tecnologia.

4 Software: Programa ou aplicativo de computador desenvolvido para realizar tarefas especficas.

27

lamentvel o fato de os professores do Ensino Fundamental e Mdio adotarem

bibliografias que assumem essa postura, uma vez que a escola tem como papel

primordial preparar o cidado para inseri-lo no convvio social, e a maioria das

empresas faz uso da tecnologia, tanto no setor produtivo quanto no de servios. No

obstante o objetivo de cada seguimento da sociedade seja diferente, sempre h um vis

em comum. Em relao a isso, Leme (2007, p. 31) afirma:

Considera-se importante destacar que o emprego das tecnologias

no ambiente de trabalho dos setores produtivos e de servios

apresentam objetivos diferentes do uso nos ambientes de

aprendizagem dos sistemas de ensino. Enquanto no ambiente de

trabalho, os objetivos do uso das tecnologias so proporcionar

produtividade, agilidade e resultados no curto prazo; no

ambiente de aprendizagem, a tecnologia usada como

ferramenta de ensino que auxilia o aluno em cada etapa da

construo de seu conhecimento e, portanto, nesse processo o

fator tempo no o mais importante e, sim, a aprendizagem.

O trabalho realizado por Leme (2007) lhe conferiu o ttulo de mestre em

Educao Matemtica pela PUC-SP5 e teve como objetivo explorar as potencialidades

da planilha eletrnica Excel, utilizando juros e montante da matemtica financeira com

um grupo de alunos. A pretenso do pesquisador era fazer com que os aprendizes

criassem seus prprios modelos, a fim de resolver problemas especficos do contedo

escolhido.

Azevedo (2008) realizou um trabalho de pesquisa utilizando a TI6 para

desenvolver conceitos matemticos atravs de projetos de construo civil. O

referencial terico seguido pelo autor teve embasamento nas concepes de Papert. Ele

buscou relacionar contedos de Geometria com Matemtica Financeira utilizando os

seguintes softwares: Arcon e a Planilha eletrnica Excel. A priori a ideia ou objetivo

principal de Azevedo (2008) era criar um ambiente de aprendizagem construcionista

atravs dos softwares. O Arcom, com a finalidade de explorar os conceitos de geometria

plana e espacial, e o Excel, para efetuar clculos da matemtica financeira nos projetos

elaborados.

5 PUC-SP: Pontifcia Universidade Catlica de So Paulo

6 TI: Tecnologias da informtica

28

Stieler (2007), valendo-se da metodologia da engenharia didtica, desenvolveu

um trabalho de pesquisa na UNIFRA7 com alunos do oitavo semestre do Curso de

Matemtica, utilizando a planilha eletrnica Excel para desenvolverem conceitos de

capitalizao simples e composta e desconto simples. Tais conceitos foram introduzidos

atravs de situaes-problema em que foi empregado o software. Segundo o autor

(2007), o resultado obtido foi muito satisfatrio.

Stieler (2007, p. 20) afirma:

imprescindvel que o professor perceba e saiba a importncia dos

recursos computacionais para o bom desempenho e eficcia do

trabalho escolar. A tecnologia, alm de renovar o processo de ensino-

aprendizagem, pode propiciar o desenvolvimento integral do aluno,

valorizando o seu lado social, emocional, crtico e ainda deixar

margens para a explorao de novas possibilidades de criao.

A afirmao feita pelo autor de suma importncia porque ainda h muita

resistncia por parte dos professores nas escolas pblicas em querer utilizarem as

tecnologias para auxiliar em suas aulas. Segundo Tajra (2001), os argumentos que eles

utilizam para justificar sua postura pedaggica so a falta de investimento por parte dos

diretores, a formao acadmica, em que no abordaram sobre o uso das tecnologias, a

falta de recursos tecnolgicos nas escolas e os salrios muito baixos. Achamos relevante

colocar essas afirmaes porque o trabalho desenvolvido por Stieler (2007) foi,

justamente, com estudantes do Curso de Matemtica. Isso mostra que, nas

universidades, j esto sendo realizados programas de Mestrado em que se destaca a

preocupao com a formao acadmica dos profissionais da rea de Educao.

Neste item, pretendamos mostrar que, apesar de estarmos propondo o uso da

planilha eletrnica Excel para construir a formao de conceitos nos aprendizes com o

contedo de matriz, no somos os pioneiros a fazer isso. A diferena entre o nosso

trabalho e os outros estudos est na escolha do contedo e na elaborao do OA8, que

fizemos no decorrer do Curso de Mestrado em ensino de Cincias e Matemtica da

UEPB9.

7 UNIFRA: Centro Universitrio Franciscano - RS

8 AO: Objeto de Aprendizagem. No item 3.1, iremos detalhar a respeito dessa mdia.

9 UEPB: Universidade Estadual da Paraba.

29

2.2 O caminhar pela teoria

Nossa pesquisa, baseada no uso do computador como ferramenta para auxiliar

no processo de ensino e aprendizagem de contedos matemticos, em especial, o de

matrizes, tem como principal apoio terico as concepes de Seymour Papert. Em seu

clebre livro, A mquina das crianas, escrito e publicado na dcada de 1980, o autor

deixa implcito, numa parbola proferida no incio do livro, que a escola precisa

acompanhar o desenvolvimento da sociedade moderna, no que diz respeito ao uso do

computador. Eis o contedo da parbola:

Imaginemos viajantes do tempo de um sculo atrs um grupo de

cirurgies e outro de professores do ensino fundamental cada qual

mais ansioso para ver o quanto as coisas mudariam nas respectivas

profisses em 100 anos ou mais no futuro. Imagine o espanto dos

cirurgies entrando em uma sala de cirurgia de um hospital moderno.

Embora pudessem perceber que algum tipo de operao estava

ocorrendo e at mesmo adivinhar qual o rgo operado, na maioria

dos casos seriam incapazes de imaginar o que o atual cirurgio estaria

tentando fazes ou qual a finalidade dos muitos instrumentos estranhos

que ele e sua equipe cirrgica estavam utilizando. Os rituais de

antissepsia e anestesia, os sons de alarmes dos aparelhos eletrnicos e

at mesmo as luzes intensas, to familiares s platias de televiso,

seriam completamente estranhos para os visitantes. Os professores

viajantes do tempo reagiriam de forma bem diferente a uma sala de

aula do ensino fundamental. Eles poderiam sentir-se intrigados com

alguns objetos estranhos. Iriam constatar que algumas tcnicas

convencionais mudaram e provavelmente discordariam entre si se as

mudanas foram para melhor ou para pior -, mas perceberiam

plenamente a finalidade da maior parte do que se estava tentando fazer

e facilmente poderiam assumir a classe (PAPERT, 2001, p. 17).

Como evidenciamos, a parbola que o autor utiliza para fazer uma comparao

com os dois grupos de profissionais - mdicos e professores - infere que, embora haja

mudanas no contexto escolar, no haveria mudanas no modo de os professores

transmitirem o conhecimento. Papert quis dizer com isso que as mudanas acontecem

na sociedade, mas a postura pedaggica dos professores no muda. Ele faz outra

colocao em relao ao seu pensamento, ao referir-se parbola:

A parbola levanta a pergunta: por que, durante um perodo em que

tantas atividades humanas foram revolucionadas, no vimos mudanas

semelhantes na forma de ajudarmos nossas crianas a aprender?

(PAPERT, 2001, p. 18)

30

Fica claro que, sob o ponto de vista de Papert, a escola precisa adotar uma nova

postura pedaggica para se adaptar s exigncias oriundas das transformaes por que

as sociedades passam.

H quase trinta anos, Papert j expunha que o computador poderia ajudar a

criana na construo do conhecimento e que problemas abstratos e de difcil

compreenso poderiam se tornar mais concretos e transparentes.

No meu caso, ocorreu uma virada no incio da dcada de 1960,

quando os computadores mudaram na essncia o meu modo de

trabalhar. O que mais me impressionou foi que determinados

problemas abstratos e difceis de captar tornaram-se concretos e

transparentes e que certos projetos potencialmente interessantes, mas

complexos demais para empreender, tornaram-se manejveis. Ao

mesmo tempo, tive minha primeira experincia de empolgao e do

poder de domnio que mantm as pessoas trabalhando noite a dentro

com seus computadores. Percebi que as crianas poderiam ter

condies de desfrutar das mesmas vantagens um pensamento que

mudou a minha vida. (PAPERT, 2001, pp. 27- 28)

Outro ponto relevante no tocante ao uso do computador na escola para a

construo do conhecimento do aprendiz que ele, o computador, pode minimizar os

obstculos encontrados pelos professores ao explorar o conhecimento prvio dos

discentes. Em relao a isso, Papert (2001, p. 30) refere:

O problema central para a educao matemtica encontrar maneiras

de valer-se da vasta experincia da criana em matemtica oral, mas

os computadores podem fazer isso.

Hoje, para ns, tais experincias que o autor menciona consistem no

conhecimento que o aprendiz j tem a respeito de um determinado objeto, como, por

exemplo: mesmo que os alunos no conheam a planilha eletrnica Excel, eles utilizam

o computador com outras finalidades, outros aplicativos e sabem manipul-lo. Explorar

esse conhecimento de forma que ele possa auxiliar na construo de outros

conhecimentos especficos um desafio para os professores. Papert o criador da

Teoria Construcionista, concepo que defende o uso do computador como ferramenta

para auxiliar no desenvolvimento cognitivo do aprendiz.

O Construcionismo, uma teoria da aprendizagem que adotamos como respaldo

terico da nossa pesquisa, tem influenciado vrios autores quanto ao uso do computador

como facilitador da aprendizagem, principalmente por ter causado uma grande

31

revoluo no campo da informao, proporcionado pela informtica nas sociedades,

atravs dos sistemas de redes10

, e ter conquistado lugar em todos os setores: indstria,

comrcio, prestao de servios, entre outros. Tajra (2001, p. 26) assevera que,

nos ltimos anos, surgiram, de forma nunca vista antes, inclusive nos

aspectos quantitativo e qualitativo, grandes mudanas tecnolgicas,

principalmente no campo da microeletrnica e das telecomunicaes,

as quais proporcionaram o desenvolvimento em diversas reas: [... ].

Todas essas evolues cientficas foram tambm favorecidas pela

informtica, que possibilita o embasamento e aprimoramento dos

processos de produes e pesquisas.

A afirmao de Tajra (2001) coloca a informtica com um veculo que veio

contribuir com a revoluo tecnolgica que a sociedade tem alcanado.

No que diz respeito ao uso do computador, como ferramenta para proporcionar

mudanas significativas no contexto escolar, Valente (1993) considera que preciso

ensinar mais e melhor, criar oportunidades de aprendizagem cada vez mais eficaz e

eficiente e aproveitar os recursos disponveis, entre eles, o computador e suas

potencialidades.

Ponte (1997, p. 30) concebe que

o computador pode ainda ser utilizado como uma ferramenta de

trabalho, aberta e flexvel para o armazenamento e processamento de

informao, em numerosas profisses, tanto de natureza tcnica, como

administrativa, como de investigao cientfica. Diversos programas

utilizados so de aprendizagem relativamente simples e permitem a

execuo de uma variedade de tarefas. Podem indicar-se em especial,

programas de processamento de texto, desenho livre base de dados,

edio eletrnica, folha de clculo, grfico e tratamento estatstico de

dados. Nessa perspectiva, as novas tecnologias surgem como

instrumentos para serem usados livre e criativamente por professores e

alunos.

Para o autor, no h regras definidas para se utilizarem as tecnologias, ou seja, o

professor, junto com os alunos, tem a liberdade de criar modelos que possam ser teis

na construo do conhecimento. O mesmo acontece com os computadores quando so

utilizados como uma ferramenta para esse propsito.

10

So sistemas de rede: a intranet, a internet e as redes locais onde os computadores esto conectados

entre si.

32

As ideias defendidas por Papert, desde 1960, tornaram-se uma realidade, da qual

no podemos nos eximir. preciso promover, no mbito escolar, meios que favoream

a aprendizagem, pois a escola no est desvinculada da sociedade, e se esta passa por

transformaes, aquela tem o papel primordial de acompanhar tais transformaes de

forma que o aprendiz no se sinta num universo diferente, longe da sua realidade.

Trazer essa realidade, desde cedo, para dentro da sala de aula era o objetivo de

Papert (2001). Para sermos mais precisos, desde o ensino fundamental, ele tinha plena

convico de que seu trabalho intelectual ocorria melhor no meio do que na sala de aula,

onde seu ressentimento era atenuado por gostar de realizar tarefas que, para ele, eram

valiosas, com seus amigos e professores. Assim, procurou promover mudanas na

educao, enfatizando o uso do computador como ferramenta no ensino e na

aprendizagem, inicialmente com a publicao de seu primeiro livro, Mindstorms:

chilren, computers, and powerful ideas, publicado na dcada de 1970, quando os PCs11

surgiam como novidade.

A partir desse lanamento, seu objetivo foi se tornando cada vez mais forte e

culminou com o desenvolvimento da linguagem Logo, que possibilita a interao do

usurio com a mquina, e as aes de uma tartaruga so comandadas ou manipuladas

por quem o est utilizando.

O Logo proporcionou a muitos milhares de professores de

ensino fundamental a primeira oportunidade para apropriar-se

do computador de maneira que ampliaram seus estilos pessoais

de ensinar. (PAPERT, 2001, p. 66)

Portanto, compactuamos com as ideias de Seymour Papert, de que podemos

promover mudanas na educao e ajudar na formao do indivduo, concedendo-lhe a

oportunidade de construir seu conhecimento utilizando o computador como um recurso

metodolgico nas aulas de Matemtica.

2.3 Seymour Papert: a aprendizagem em um pressuposto construcionista

Seymour Papert nasceu em Pretria, na frica do Sul, onde foi educado e

formou-se em Licenciatura em Matemtica pelo Instituto Tecnolgico de

Massachusetts. Trabalhou com o psiclogo Jean Piaget, na University of Geneva, entre

11

PCs: Computadores pessoais

33

os anos de 1958 a 1963, onde recebeu forte influncia para desenvolver a Teoria

Construcionista. De 1954 a 1958, realizou vrias pesquisas na rea de Matemtica na

Cambridge University. Na dcada de 1960, inicia o desenvolvimento da Teoria

Construcionista, no Massachusetts Institute of Tecnology (MIT12

), e cria o Logo13

.

Posteriormente, escreve vrios livros, entre eles, A mquina das crianas, bem

reconhecido em toda a comunidade cientfica, em especial, na rea de Educao.

Por ter trabalhado algum tempo com Jean Piaget, Papert utilizou a Teoria

Epistemolgica para desenvolver seu trabalho, que recebeu o nome de Teoria

Construcionista, que defende o uso do computador como ferramenta para auxiliar a

formao do conhecimento, colocando o professor como um elo de ligao entre o

aprendiz e a aprendizagem.

Assim como Piaget, Papert acredita que a criana um ser pensante, capaz de

construir suas prprias estruturas cognitivas. Ao criar o Logo, seu objetivo estava

firmado nessa convico, pois, usando o programa, a criana tinha total autonomia para

comandar as aes realizadas pela tartaruga, e, dessa forma, a aprendizagem ia se

construindo.

Outro aspecto importante para Piaget que a construo do pensamento se

processa em funo da mutao biolgica que o indivduo sofre por estar em interao

com o meio em etapas universais, sendo que algumas delas no so atingidas por alguns

deles. Para Papert, essas etapas so atingidas pela disponibilidade de matrias no

ambiente, quando o indivduo pode explor-las. Isso explica o fato de determinados

conhecimentos se tornarem mais complexos para algumas crianas por no estarem

presentes em seu cotidiano.

Quanto ao estudo das operaes concretas, realizado por Piaget, Papert

considera importante que a construo do conhecimento, no pensamento concreto, seja

intensamente solidificada para que, em seguida, passe-se para a construo do

pensamento abstrato. Essa etapa de formao do conhecimento no indivduo deve estar

bem definida, pois, assim, a criana ter um arsenal maior de opes para atuar em

situaes vivenciadas em seu cotidiano de forma criativa.

Sobre a construo do conhecimento, tambm importante destacar que a

criao de um ambiente propcio tem um papel relevante. Papert (1986) comenta a

12

MIT: Massachusetts Institute of Technology 13

Logo: Linguagem de programao que possibilita o aluno expressar suas ideias atravs de uma

linguagem formal.

34

respeito de cinco dimenses que so fundamentais para se criar um ambiente de

aprendizagem construcionista, a saber: a pragmtica, a sintnica, a sinttica, a semntica

e a social. Vejamos um breve comentrio a respeito dessas dimenses a que Papert faz

referencia, pois elas esto correlacionadas ao que falamos anteriormente.

Na concepo de Papert, a dimenso pragmtica refere-se construo do

pensamento apoiada em situaes concretas, com a possibilidade de serem discutidas e

analisadas. Para ns, esse aspecto relevante porque o software Excel capaz de

propiciar situaes concretas, em que os alunos tm a oportunidade de criar seus

prprios aplicativos e discuti-los com os outros.

A dimenso sintnica sugere a contextualizao do objeto que interessa ao

aprendiz. Como nossa proposta utilizar o software Excel e um objeto de

aprendizagem, o aluno ter total liberdade para desenvolver seus prprios modelos de

aplicativos desenvolvidos na planilha. Alm disso, o interesse pela tecnologia uma

realidade na vida dos discentes, pois todos possuem celulares e outros aparelhos

eletrnicos.

No que diz respeito dimenso sinttica, Papert coloca em evidncia a

importncia do acesso fcil aos elementos bsicos do ambiente de aprendizagem e o

progresso na manipulao desses elementos, segundo a necessidade e o

desenvolvimento cognitivo.

A dimenso semntica trata da manipulao de elementos que tragam algum

elemento que faam sentido para o usurio. E por fim a dimenso social aborda sua

integrao nas relaes pessoais e culturais do meio o qual ele est inserido.

2.4 Intrucionismo versus Construcionismo

Consideramos importante expor o que Papert classifica como Instrucionismo e

Construcionismo para que o nosso trabalho possa ser avaliado dentro desse parmetro.

Instrucionismo versus Construcionismo um dos captulos do livro A mquina das

crianas, escrito por esse autor.

Resultante da convivncia de Seymour Papert com Jean Piaget, o Construcionismo

um termo cunhado pelo autor para se referir a um tipo de aprendizagem centrado no pensamento

operacional concreto. No captulo Instrucionismo vs. Construcionismo, ele demonstra a

importncia do pensamento concreto para a aprendizagem, sem a conotao de trampolim para

o abstrato. Se assim fosse, nas suas prprias palavras, deixaria o pensamento abstrato plantado

35

imvel como a forma derradeira de conhecer. Ele enfatiza a ao mental e material com

objetos enraizados no tempo, no espao e em experincias e representaes do mundo, onde

abstraes formais, certamente, so importantes, porm como ferramentas para intensificar o

modo concreto de pensar, o relacionamento mental de representaes concretas em redes

pessoais de conhecimento.

Pesquisador dos assuntos de matemtica, no Instituto de Tecnologia de Massachusetts,

Papert nos conta como viveu a poca do nascimento do computador de grande porte, que

mostrava suas maravilhas e ignorava o fato de ele ter sido pensado e financiado para a guerra,

concebido por matemticos e parido como uma tecnologia militar, hermtica para a pessoa

comum. Para ele, a mudana de matemtico para educador comeou a ocorrer no incio da

dcada de 1960, quando os computadores mudaram seu modo de trabalhar. Impressionou-o o

fato de determinados problemas abstratos e difceis de captar terem se tornado concretos,

transparentes, manipulveis.

Aps conhecer Jean Piaget, em Paris, e acreditando que as crianas poderiam desfrutar

das mesmas experincias dos adultos com as novas mquinas do conhecimento, Papert comeou

a trabalhar com sua equipe, numa linguagem de programao acessvel a crianas, e isso

resultou na linguagem Logo (www.eurologo.org), algo completamente diferente do que se

fazia ento com informtica na Educao. Em poucos anos, essa linguagem se espalhou por

todo o mundo, contrapondo-se a um modo de uso do computador na escola, baseado em

softwares educativos que replicavam o lugar comum dos livros didticos. Papert afirma que os

computadores no apenas melhoram a aprendizagem escolar, como tambm apoiam formas

diferentes de pensar e de aprender.

2.5 As tecnologias na Educao

Segundo Mercado (1998), o objetivo de introduzir novas tecnologias na escola

de fazer coisas novas e pedagogicamente importantes, que no se podem realizar de

outras maneiras. Com metodologias adequadas, o aluno poder utilizar essas

tecnologias na integrao de matrias estanques. Desse modo, a escola passa a ser um

lugar mais aprazvel, que tem como objetivo preparar o aluno para o futuro, e a

aprendizagem, a ser vista de forma inovadora, centrada nas diferenas individuais e na

capacitao do aluno para torn-lo um usurio independente da informao, com o

potencial de usar vrios tipos de fontes de informao e meios de comunicao

eletrnica.

36

O autor acrescenta que os ambientes computacionais, quando voltados para a

inteligncia e o desenvolvimento cognitivo, como processos bsicos da aprendizagem,

podem constituir-se como um desafio criatividade e inveno. Uma nova ecologia

cognitiva (LVY, 1993) significa uma nova dinmica na construo do conhecimento,

um novo movimento, novas capacidades de adaptao e de equilbrio dinmico, nos

processos de construo do conhecimento, um novo jogo entre sujeito e objeto, um

novo enfoque, mostrando o enlace e a interatividade existentes entre as coisas do

crebro e os instrumentos que o homem utiliza.

Outro aspecto de grande relevncia que, devido informatizao de

praticamente todos os setores da sociedade, os governos estaduais e municipais tm se

preocupado em levar o uso da tecnologia para o mbito escolar. Para isso, cria

laboratrios de informtica nas escolas pblicas, embora a formao acadmica dos

professores tenha sido deficitria, quanto implementao do uso da tecnologia como

metodologia para lecionar determinados contedos. Isso gera um grande problema,

porque o no uso dos laboratrios de informtica converge para a deteriorao das

maquinas e, com o tempo, elas acabam ficando obsoletas.

Sobre isso, Cysneiros (2000) afirma que o no uso das novas tecnologias deve-se

ao fato de que os computadores pessoais ainda so tecnologias em expanso,

relativamente novas, e pouco adaptadas s necessidades dos professores e dos alunos.

No Brasil, a implantao de laboratrios de informtica e o sucateamento deles tm se

tornado uma realidade, devido falta de preparao dos docentes na sua formao

acadmica. Aqui no pretendemos fazer apologia ao desuso dos laboratrios de

informtica implantados nas escolas, mas salientar sua importncia como recursos

pedaggicos de grande valia, no processo de ensino e aprendizagem, e a importncia de

se fazerem propostas educacionais que possam viabilizar o uso desse recurso.

Ainda devemos levar em considerao um fato sobremaneira importante: devido

minimizao do custo, o computador pessoal tem se popularizado de forma

significativa. Cerca de trina e cinco por cento dos alunos da rede pblica possuem

computador em casa, e os que no dispem tm acesso a ele em lan hauses ou em

residncias de parentes e amigos. Assim, a possibilidade que o computador oferece

como ferramenta para ajudar o aprendiz na construo do conhecimento pode constituir

37

uma revoluo no processo de ensino e aprendizagem. Almeida (1999, p. 19) enuncia

que

estamos em um momento em que a disseminao do computador na

Educao atingiu larga escala. Mas o impacto das mudanas que

poderia provocar ainda no ocorreu, embora existam modalidades de

uso cujos ambientes de aprendizagem informatizados possam

contribuir para transformaes. Uma das formas o emprego do

computador como ferramenta educacional com a qual o aluno resolve

problemas significativos. Por exemplo, atravs do uso de aplicativos

como processador de texto, planilha eletrnica, gerenciador de banco

de dados, ou mesmo de uma linguagem de programao que favorea

a aprendizagem ativa. Isto , que propicie ao aluno a construo de

conhecimentos a partir de suas prprias aes (fsicas ou mentais). O

aluno pode ainda fazer uso de outros recursos disponveis, tais como

redes de comunicao distncia ou sistema de autoria, para construir

conhecimento de forma cooperativa ou para a busca de informaes.

No ponto de vista do autor (1999), tal impacto poder levar o educador a

desenvolver uma nova forma de ensinar, aproveitando o recurso tecnolgico

disponibilizado em larga escala, tanto no mbito escolar quanto no cotidiano em que o

aprendiz est inserido. Dessa forma, possvel que surja na educao um profissional

com um novo perfil, distante daquele especialista que, por meio de uma oratria

refinada, habituado a lanar mo de padres pr-definidos para expor contedos numa

linguagem sistematizada - estamos nos referindo ao professor tradicional. Com um novo

perfil metodolgico, esse novo profissional capaz de promover a aprendizagem de

seus discentes atravs de diferentes meios e estratgias, pois sua preocupao estar

focada em contribuir para que o aprendiz tenha autonomia para navegar em um contexto

multifuncional.

O profissional de educao 14

com esse perfil tem o papel primordial de

estabelecer pontes entre o aluno e o conhecimento, sendo assim um facilitador da

aprendizagem. Quando o professor assume essa postura, o aluno passa a ser sujeito

ativo da construo e da reconstruo do conhecimento. Essa postura denominada por

Moran (2002) de mediao pedaggica, cujas caractersticas devem envolver todas as

aes do professor, incluindo o uso das novas tecnologias. Tais aes desempenhadas

14

Profissional de educao: Nessa expresso, estamos nos referindo ao professor como profissional de

educao.

38

pelo professor dizem respeito motivao, ao incentivo e participao no processo de

ensino e aprendizagem.

O uso das novas tecnologias, no contexto escolar, pode ser considerado uma

ferramenta indispensvel na construo do conhecimento. Moita (2006) buscou nos

games15

um espao de construo de currculo aberto e autnomo, conectado com o

ldico, o prazer, o subjetivo e a simulao. A construo de tal currculo refere-se ao

potencial que os games tm de produzir o conhecimento e desenvolver habilidades e

competncias, levando em considerao o ambiente onde o aprendiz est inserido.

2.6 Matrizes: um passeio pela histria

Em matemtica, um conceito ou uma definio de um determinado contedo torna-

se mais compreensivo quando o professor expe aos seus alunos a origem dele, ou seja,

como surgiu ou, at mesmo, como o pesquisador ou cientista conseguiu chegar quele

resultado. Essa exposio depende do domnio do professor em relao quele contedo

que ele quer transmitir para o seu aluno. Isso est intrinsecamente relacionado com o

conhecimento histrico do contedo. Vergnaud (1994) afirma que o processo de ensino

e aprendizagem de contedos matemticos mais produtivo quando ele ocorre atravs

do estudo interativo advindo do processo individual e histrico, pois, quando se

observam as dificuldades que o pesquisador ou cientista encontrou no passado,

possvel compreender os erros que os alunos cometem no presente.

Considerando a concepo exposta no pargrafo anterior, acreditamos ser necessria

a apresentao de um contedo matemtico seguido da sua evoluo. Nesse sentido,

faremos um breve comentrio sobre a origem e o desenvolvimento das matrizes, um

contedo que abordado no segundo ano do ensino mdio. Salientamos, tambm, que,

quando esse assunto exposto para os discentes, so colocados apenas os aspectos

fundamentais de seu desenvolvimento histrico.

Segundo Hawkins (1975, 1977a, 1977b)16, autor que fundamentou esse breve relato

histrico, o estudo das matrizes e de determinantes iniciou por volta do Sculo II a.C,

embora seja possvel identificar o aparecimento de seu conceito no Sculo IV a.C. As

matrizes ficaram esquecidas por, aproximadamente, vinte e um sculos e surgiram

15

Games: Jogos eletrnicos 16

Hawkins: Autor do livro: Cauchy and spectral theory of matrices. History Mathematica. Indicado nas

referncias bibliogrficas.

39

novamente por volta do Sculo XVII, quando seu conceito foi desenvolvido de forma

no convencional. O que formalizou os conceitos de matrizes e de determinantes foi o

estudo dos sistemas de equaes lineares.

Alguns problemas estudados pelos babilnicos convergiam para equaes lineares

simultneas. Descobertas arqueolgicas revelam que tais problemas eram registrados

em blocos de barro, alguns no se deterioraram. Um desses blocos, escrito por volta de

300 a.C, contm o seguinte problema: Dois campos tm rea total de 1800 jardas

quadradas. Um produz gros em 2/3 de um alqueire por jarda quadrada, enquanto o

outro produz gros em 1/2 de um alqueire por jarda quadrada. Se o lucro total de 1100

alqueires, qual o tamanho de cada campo?

H uma forte evidncia de que os chineses, por volta de 200 a 100 a.C, chegaram

mais prximos que os babilnicos do mtodo das matrizes. No texto, Nove captulos

sobre a arte matemtica, escrito durante o perodo da Dinastia de Han17, h o primeiro

exemplo prtico do mtodo de matriz. Nesse mesmo texto, encontra-se um problema

semelhante ao dos babilnicos escrito no bloco. O problema do texto Nove captulos

sobre a arte matemtica tem a seguinte redao: Existem trs tipos de milho, sendo

que trs pacotes do primeiro, dois do segundo e um do terceiro formam 39 unidades.

Dois do primeiro, trs do segundo e um do terceiro formam 34 unidades. Em um do

primeiro, dois do segundo e trs do terceiro formam 26 unidades. Quantas unidades de

milho esto contidas em cada tipo de pacote? Na resoluo do problema, o autor

distribuiu os coeficientes do sistema de trs equaes lineares a trs incgnitas de forma

anloga a uma tabela. A nica diferena foi a maneira como ele distribuiu os

coeficientes, pois os chineses escrevem de baixo para cima e da esquerda para direita.

Ento, a construo ficou da seguinte forma:

393426

113

232

321

Atualmente, representa-se o referido problema equacionando-o da seguinte forma:

17

Dinastia de Han: Foi governada pela famlia conhecida como o cl de Liu. Seu domnio,durou

aproximadamente, quatrocentos anos.

40

2632

3432

3923

zyx

zyx

zyx

ou

26321

34132

39123

Os valores de x, y e z, na soluo apresentada pelo autor, so idnticos ao

mtodo de eliminao de Gauss que, atualmente, muito conhecido e utilizado. Tal

mtodo conhecido como mtodo de escalonamento de sistema de equaes lineares e

consiste em se multiplicarem as equaes por valores reais, de forma que, somando-se

as equaes duas a duas, possam se eliminar incgnitas at que o sistema tome a forma

de uma escada, determinando-se assim, no final, o valor de z. No texto Ars Magna,

publicado em 1545 por Cardan, encontra-se uma regra para resolver sistemas de duas

equaes lineares, nomeado pelo autor de regula de modo, que, traduzida, entende-se

por me das regras. Esse trabalho escrito por Cardan deu origem regra de Cramer para

resolver sistemas lineares. A diferena entre o mtodo desenvolvido por Cardan e a

regra de Cramer e que Cardan no chegou definio de determinante, como fez

Cramer. A definio de determinante surgiu quase que paralelamente, na Europa e

Japo, no entanto, foi neste ltimo que tal definio foi publicada pela primeira vez por

Seki, que apresentou os mtodos matriciais escritos em tabelas da mesma forma que os

chineses. Ele fez essa apresentao no texto, Methods of solving the dissimulated

problem, que escreveu em 1683. Tambm mostrou que era possvel resolver sistemas de

equaes lineares 2x2, 3x3, 4x4, 5x5 e apresentou solues. Nesse mesmo ano, surgiu,

na Europa, a primeira ideia de determinante, proposta por Libiniz, quando ele escreveu

uma carta para o Marquis de L Hospital, dizendo que o seguinte sistema:

0323130

0222120

0121110

yx

yx

yx

era passvel de soluo, devido igualdade 10.21.32 + 11.22.30 + 12.20.31= 10.22.31 +

11.20.32 + 12.21.30. Essa igualdade escrita por Libniz trata do valor do determinante

dos coeficientes, a saber:

323130

222120

121110

41

que igual a zero. Libiniz trabalhou, aproximadamente, cinquenta anos a fim de obter

uma notao adequada para sistemas de coeficientes, e seus manuscritos, que no foram

publicados, contm mais de cinquenta maneiras diferentes de notaes para tais

sistemas. Nos anos de 1700 e 1710, foram publicados resultados para esses sistemas,

cujas notaes eram iguais s contidas na carta que ele enviou para o Marquis de

LHospital. Leibniz usou a palavra resultante para algumas combinaes de somas dos

termos de um determinante. O que, hoje, conhecemos como regra de Cramer ,

essencialmente, o que foi proposto por Libiniz. A expanso do determinante feita por

qualquer uma de suas colunas, que era utilizada na regra, mais tarde, ficou conhecida

como expanso de Laplace. Assim como o estudo de sistemas de coeficientes convergiu

para os determinantes, o estudo de sistemas de coeficientes de formas quadrangulares

levou Libniz teoria da matriz. Em 1748, foi publicado o texto Treatise of lgebra,

escrito por Maclaurin, onde se encontram resultados de determinantes, provando a regra

de Cramer para sistemas de equaes lineares 2x2, 3x3, e como ela funcionava para os

sistemas 4x4. O referido texto publicado dois anos depois da morte de seu autor. A

regra de Cramer, que bastante utilizada no ensino mdio, para se resolverem sistemas

de equaes lineares por meio da resoluo de determinantes relacionados aos

coeficientes das incgnitas, foi apresentada no artigo Introduo para anlises de

curvas algbrica, escrito por ele, em 1750. Nele, Cramer publicou a regra geral para

sistema nxn. O nico problema que essa regra apresenta que os determinantes das

matrizes incompletas devem ser diferentes de zero. Caso os planos sejam paralelos, a

regra no funciona, ou seja, no serve para discutir o sistema.

O interesse pelo estudo de determinantes cresceu depois dos trabalhos realizados

por Cramer. Matemticos como Bezout, em 1764, e Vandermonde, em 1771,

apresentaram mtodos para calcular determinantes. Em 1772, Laplace apresentou um

trabalho sobre o estudo das rbitas dos planetas, utilizando apenas determinantes. Ele

mostrou a discusso de sistemas de equaes lineares sem clculos e utilizou a palavra

resultante referindo-se ao determinante, a mesma expresso utilizada por Leibiniz.

Todos os detalhes que conhecemos hoje a respeito dos determinantes se devem a

Laplace.

Um artigo publicado por Lagrange, em 1773, apresentava em seu contexto um

estudo para determinantes funcionais de ordem 3x3. No obstante esse trabalho no

tinha nenhuma relao com os trabalhos feito por Laplace e Vandermonde. S em 1801,

o termo determinante foi usado pela primeira vez por Carl F. Gauss em Disquisitiones

42

arithmeticae, num estudo em que se discutiam as formas quadrticas, e ele utilizou esse

termo para fazer referncia quilo que determinava as propriedades das formas

quadrticas.

Gauss representou as formas quadrticas em retangulares e descreveu a

multiplicao de matriz que, para ele, era uma composio. O famoso mtodo da

eliminao ou do escalonamento que utilizado atualmente para se discutirem sistemas

de equaes lineares e para se encontrarem suas solues, foi utilizado por Gauss para

estudar a rbita de Pallas 18

; no texto, Nove captulos sobre a arte matemtica, escrito

200 a.C, o mtodo da eliminao j tinha sido descrito. Para realizar o estudo da rbita

de Pallas, Gauss fez vrias observaes entre os anos de 1803 e 1809, at obter um

sistema de equaes lineares formado por seis equaes e desenvolveu um mtodo

sistemtico para resolv-lo.

Outro grande matemtico que utilizou o termo determinante, s que numa

linguagem moderna, foi Cauchy. Seu trabalho com determinantes foi um dos mais

completos e mais bem elaborados, porquanto ele conseguiu sintetizar os resultados e

agrup-los de forma mais organizada. Por volta do ano 1812, numa reunio realizada no

Institut de France, o teorema da multiplicao para determinantes foi provado pela

primeira vez. Em relao s formas quadrticas, Cauchy utilizou o termo tableau para a

matriz de coeficientes e mostrou que, se duas matrizes so similares, elas tm a mesma

equao caracterstica. Ele obteve esse resultado atravs da diagonalizao das matrizes.

A ideia de matrizes similares foi, portanto, introduzida por ele.

DAlembert tambm deu sua contribuio na teoria de matriz e determinante,

estudando o movimento de um barbante com massas presas a ele distribudas em sua

extenso. Nesse estudo, ele obteve um sistema de equaes lineares. Jacques Sturm foi

outro matemtico que dedicou parte de seus estudos resoluo de sistemas de

equaes lineares, mas tanto ele quanto Cauchy desenvolveram seus trabalhos em

contextos especficos. Outros matemticos como Jacob, em 1830, Kronecker, por volta

de 1850, e Weierstrass, em 1860, estudaram matrizes numa abordagem especial: com

nfase nas transformaes lineares. Em 1841, Jacob escreveu trs tratados que deram

uma grande contribuio para o estudo das matrizes e dos determinantes e que

continham, pela primeira vez, a definio de um determinante.

18

Pallas: Segundo maior asteroide situado no cinturo entre Marte e Jpiter.

43

A representao de determinantes feita atravs de barras deve-se a Cauchy, que

utilizou essa notao quando publicou um artigo em 1841, a qual, at hoje, ainda

utilizada. Sua contribuio para o estudo de determinantes foi muito significativa. Como

nossa inteno de mostrar brevemente como surgiu a ideia ou a teoria das matrizes,

no podamos deixar de relatar seus vnculos com o estudo de sistemas de equaes

lineares e determinantes.

Agora iremos nos deter mais a esse assunto. Em 1850, Joseph Sylvester foi o

primeiro a fazer uma definio mais formal de matrizes e as definiu como um arranjo

de termos num quadriltero. H relatos de que ele abandonou a matemtica para seguir

a carreira de advogado na Inglaterra, onde conheceu Cayley que tambm era advogado,

mas demonstrava muito interesse pela Matemtica. Pela afinidade que tinham em

relao a essa Cincia, trabalharam juntos e fizeram vrias publicaes. A equao

IAA1

. , que conhecemos como equao matricial para calcular a inversa de uma

matriz A, foi mostrada numa nota publicada por Cayley em 1853. No ano de 1855,

surgiu uma publicao que mostrava a associao de matrizes a arranjos retangulares, os

quais eram quadrados.

Em 1858, Cayley publicou a Autobiografia da teoria das matrizes. Nesse texto,

aparece, pela primeira vez, a definio de uma matriz feita de forma abstrata. Cayley

mostrou que as formas quadrticas e as transformaes lineares so casos especiais das

variedades dos coeficientes outrora estudados. Ele tratou as matrizes como objetos

matemticos passveis de efetuar operaes algbricas e definiu a soma, o produto de

matrizes, e o produto por um escalar, bem como o clculo da matriz inversa como

expusemos no incio do pargrafo anterior. A Cayley deve-se a prova da existncia da

equao caracterstica prpria associada a uma matriz 2x2. Ele declarou que o mesmo

era possvel com as matrizes 3x3, no entanto no chegou a generalizar para o caso da

matriz nxn. Um fato curiosamente coincidente que, aos vinte e cinco anos de idade,

Cayley j havia escrito vinte e cinco livros de Matemtica. Em um deles, provavel