janeiro de 2015

Hélder Manuel da Silva Ribeiro

UM

inho

|201

5H

élde

r M

anue

l da

Silv

a R

ibei

ro

Universidade do MinhoInstituto de Educação

O ensino e a aprendizagem das funções racionais com a calculadora gráfica: uma experiência com alunos do 11ºano

O e

nsi

no

e a

ap

ren

diz

ag

em

da

s fu

nçõ

es

raci

on

ais

co

m a

ca

lcu

lad

ora

grá

fica

: u

ma

exp

eri

ên

cia

co

m a

lun

os

do

11

ºan

o

Relatório de Estágio Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário

Trabalho realizado sob a orientação do

Doutor Floriano Augusto Veiga Viseu

Universidade do MinhoInstituto de Educação

janeiro de 2015

Hélder Manuel da Silva Ribeiro

O ensino e a aprendizagem das funções racionais com a calculadora gráfica: uma experiência com alunos do 11ºano

iii

AGRADECIMENTOS

Agradeço a todos os que contribuíram para que a concretização deste Relatório

designadamente:

Ao meu supervisor, Doutor Floriano Augusto Veiga Viseu, pela sua constante predisposição, pelo

seu apoio, pelas ideias e sugestões.

Ao meu orientador, doutor Marco Pereira pela sua ajuda, pela autonomia que sempre me

disponibilizou, pelo entusiasmo e pelas suas críticas pertinentes.

A todos os professores da escola pelo excelente acolhimento que tiveram para comigo. Aos

alunos da turma em estudo, pela simpatia e pelo excelente envolvimento nas tarefas que sempre

tiveram ao longo da minha intervenção.

Ao meu colega de estágio, João Barros, pela amizade, ajuda prestada e pelo debate de ideias.

Aos meus pais e à minha namorada pela força que me deram e por todo o apoio incondicional.

Sem eles nada disto teria sido possível.

Aos meus amigos, pela presença constante tanto nos momentos de frustração como nos

momentos de sucesso.

iv

v

O ENSINO E APRENDIZAGEM DAS FUNÇÕES RACIONAIS COM A

CALCULADORA GRÁFICA: UMA EXPERIÊNCIA COM ALUNOS DO 11.º ANO

Helder Manuel da Silva Ribeiro

Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário

Universidade do Minho, 2015

RESUMO

Este estudo teve como principal objetivo averiguar o contributo da calculadora gráfica

no ensino e na aprendizagem das funções racionais numa turma do 11.º ano de

Matemática A. Para concretizar este objetivo estabeleceram-se as seguintes questões de

investigação: (1) Como utiliza o aluno a calculadora gráfica nas atividades de aprendizagem das

funções racionais? (2) Que dificuldades manifestam os alunos no estudo das funções racionais?

(3) Que perceções têm os alunos sobre a utilização da calculadora gráfica na sua aprendizagem

das funções racionais? Para responder a estas questões recolheu-se informação através dos

seguintes métodos de recolha de dados: entrevista; questionário; produções dos alunos e

gravações de aulas.

Os tópicos abordados no estudo das funções racionais foram: funções do tipo y = a +

b

cx+d, x ≠

−𝑑

𝑐 continuidade e assíntotas, restrição e prolongamento de uma função racional.

Da análise aos dados recolhidos constatou-se que os alunos recorreram com maior

frequência à calculadora gráfica para confirmação dos resultados obtidos de forma analítica.

Trata-se de um dos formatos de implementação da calculadora gráfica na sala de aula, que

confere ao aluno um feedback importante de modo a dar-lhe incentivo e segurança na

resolução de tarefas.

Os resultados obtidos permitem perceber que as dificuldades mais sentidas pelos

alunos foram no subtema de restrição e prolongamento de funções racionais, embora

tenham revelado também dificuldades em utilizar o conceito intuitivo de limite para

determinar as assíntotas de gráficos de funções racionais, bem como na compreensão do

conceito de continuidade. Relativamente às perceções dos alunos sobre a calculadora gráfica,

verificou-se que estes a consideram importante para a sua aprendizagem, consideram-na

útil para confirmar resultados, mas não dispensam o papel e o lápis nas suas resoluções.

vi

vii

TEACHING AND LEARNING OF RATIONAL FUNCTION WITH GRAPHICAL CALCULATOR: AN

EXPERIENCE WITH 11TH GRADE STUDENTS.

Helder Manuel da Silva Ribeiro

Masters in Teaching Mathematics in the 3rd Cycle of Basic Education Secondary Education Minho

University, 2015

ABSTRACT

This study aimed to investigate the contribution of graphical calculator in teaching and

learning of rational functions in a class of the 11th year of mathematics A. To achieve this goal

settled the following research questions: (1) How the student uses the graphical calculator in

learning activities of rational functions? (2) What difficulties manifest students in the study of

rational functions? (3) What perception has students about the use of graphical calculator in their

learning of rational functions.

To answer these questions, information was collected through the following data

collection methods: interview; questionnaire; productions of students and classes recordings.

Topics covered in the study of rational functions were: type functions y = a +b

c+d, x ≠

−𝑑

𝑐 , continuity and asymptotes and restriction and extension of a rational function.

The analysis of the data collected, was found that students have greater recourse to the

graphing calculator to confirm the results obtained analytically. This is one of formats of the

implementation of graphing calculator in the classroom, which gives the student an important

feedback to give him encouragement and security in solving tasks.

The results allowed realizing that the difficulties experienced by most students were in

the sub-theme of restriction and extension of rational functions, while they also have revealed

difficulties in using the intuitive concept of limit to determine the asymptotes of rational functions

graphics as well as in understanding the concept of continuity. Regarding the students'

perceptions of the graphing calculator, it was found that these consider important to their

learning, consider it useful to confirm results, but not exempt the paper and the pencil in its

resolutions.

viii

ix

INDICE

DECLARAÇÃO ................................................................................................................................ ii

RESUMO........................................................................................................................................ v

ABSTRACT ................................................................................................................................... vii

INDICE ........................................................................................................................................ ix

INDICE DE TABELAS ...................................................................................................................... xi

INDICE DE FIGURAS ..................................................................................................................... xii

INDICE DE QUADROS .................................................................................................................. xiii

CAPÍTULO 1 ..................................................................................................................................... 1

INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 1

1.1. Tema, finalidades e questões de investigação ....................................................................... 1

1.2. Pertinência ......................................................................................................................... 3

1.3. Estrutura do relatório .......................................................................................................... 4

CAPÍTULO 2 ..................................................................................................................................... 5

2.1. Enquadramento contextual .................................................................................................. 5

2.1.1. Caracterização da Escola .......................................................................................... 5

2.1.2. Caracterização da turma ........................................................................................... 6

2.2. Enquadramento teórico ....................................................................................................... 8

2.2.1. O ensino das funções racionais ................................................................................. 8

2.2.2. Calculadora gráfica no ensino e na aprendizagem de funções racionais ....................... 10

2.3. Estratégias de intervenção ................................................................................................. 12

2.3.1. Metodologias de ensino e aprendizagem .................................................................. 12

2.3.2. Estratégias de avaliação da ação ............................................................................. 14

CAPÍTULO 3 ................................................................................................................................... 17

3.1. Conhecimentos prévios dos alunos sobre tópicos de funções ............................................... 17

3.2. Prática pedagógica ........................................................................................................... 23

3.2.1. Continuidade e assíntotas ....................................................................................... 24

3.2.2. Estudo de funções do tipo 𝑦 = 𝑎 +𝑏

𝑐𝑥+𝑑 b, c ≠ 0 , x ≠

−d

c .................................. 28

3.2.3. Restrição e prolongamento de uma função racional ................................................... 31

3.3. Avaliação da intervenção ................................................................................................... 35

CAPÍTULO 4 ................................................................................................................................... 41

4.1. Conclusões ...................................................................................................................... 41 4.1.1. Como utiliza o aluno a calculadora gráfica nas atividades de aprendizagem das funções

racionais? .............................................................................................................. 41

4.1.2. Que dificuldades manifestam os alunos no estudo das funções racionais? ................... 42

4.1.3. Que perceções têm os alunos sobre a utilização da calculadora gráfica na sua

x

aprendizagem das funções racionais? ...................................................................... 42

4.2. Implicações para o ensino e aprendizagem ........................................................................ 43

4.3. Recomendações e limitações............................................................................................. 45

BIBLIOGRAFIA .............................................................................................................................. 47

ANEXOS ........................................................................................................................................ 51

Teste diagnóstico .......................................................................................................................... 53

Questionário final de aula ............................................................................................................... 57

Questionário ................................................................................................................................. 61

Guião de entrevista ....................................................................................................................... 65

xi

INDICE DE TABELAS

Tabela 1 - Média do desempenho dos alunos, na disciplina de Matemática, no 11.º ano. .......................... 7

Tabela 2- Conceção de função racional na perspetiva dos alunos ........................................................... 9

Tabela 3 - Objetivos das questões do teste diagnóstico. ....................................................................... 17

Tabela 4- Distribuição das respostas dos alunos ao teste diagnóstico (n=21) ....................................... 18

Tabela 5 - Síntese da intervenção. .................................................................................................... 24

Tabela 6 - Perceção dos alunos quanto aos aspetos positivos e negativas da utilização da calculadora

gráfica no estudo das funções racionais ............................................................................ 38

xii

INDICE DE FIGURAS

Figura 1 - Aproveitamento final dos alunos no ano anterior................................................................... 6

Figura 2 - Desempenho à disciplina de Matemática no ano anterior. ....................................................... 7

Figura 3 - Questão 1 do grupo I do teste diagnóstico ......................................................................... 18

Figura 4 - Resolução do aluno A11 à questão 1 do grupo I do teste diagnóstico ................................... 19

Figura 5 - Resolução do aluno A2 à questão 1 do grupo I do teste diagnóstico ..................................... 19

Figura 6 - Questão 2 do grupo I do teste diagnóstico ......................................................................... 19

Figura 7 - Resolução do aluno A15 à questão 2 do grupo I do teste diagnóstico ................................... 19

Figura 8 - Resolução do aluno A11 à questão 2 do grupo I do teste diagnóstico ................................... 20

Figura 9 - Questão 3 do grupo I do teste diagnóstico ......................................................................... 20

Figura 10 - Resolução do aluno A4 à questão 3 do grupo I do teste diagnóstico ................................... 20

Figura 11 - Questão 4 do grupo I do teste diagnóstico ....................................................................... 21

Figura 12 - Questão 1 do grupo II do teste diagnóstico ....................................................................... 21

Figura 13 - Resolução do Aluno A7 à questão 1.1 do grupo II do teste diagnóstico ............................... 22

Figura 14 - Resolução do aluno A3 à questão 1.2 do grupo II do teste diagnóstico ............................... 22

Figura 15 - Resolução do aluno A15 à questão 1.5 do grupo II do teste diagnóstico ............................. 23

Figura 16 - Tarefa 1 sobre o tópico continuidade e assíntotas ............................................................. 24

Figura 17 - Resolução dos alunos A3 e A19 à Tarefa 1 sobre continuidade e assíntotas ....................... 25

Figura 18 - Resolução dos alunos A15 e A16 à Tarefa 1 sobre continuidade e assíntotas ..................... 25

Figura 19 - Resolução dos alunos A6 e A8 à Tarefa 1 sobre continuidade e assíntotas ......................... 25

Figura 20 - Tarefa 2 relativa ao tópico de continuidade e assíntotas .................................................... 26

Figura 21 - Resolução da tarefa 2 dos alunos A12 e A22 ................................................................... 26

Figura 22 - Resolução da tarefa 2 dos alunos A1 e A4. ...................................................................... 27

Figura 23 - Projeção do emulador da calculadora gráfica ................................................................... 27

Figura 24 - Tarefa 3 ........................................................................................................................ 29

Figura 25 - Resolução à tarefa 3 alínea a) do aluno A15. ................................................................... 29

Figura 26 - Resolução à tarefa 3 alínea b) do aluno A13. ................................................................... 30

Figura 27 - formato de utilização da calculadora gráfica na resolução das tarefas da aula 8 do aluno

A11. ........................................................................................................................... 30

Figura 28 - Formato de utilização da calculadora gráfica na resolução das tarefas da aula 8 do aluno A8.

.................................................................................................................................. 31

Figura 29 - Tarefa 4 ........................................................................................................................ 32

Figura 30 - Esboços gráficos dos alunos A12, A13 e A18 relativos à questão 2 da tarefa 4. .................. 33

xiii

INDICE DE QUADROS

Quadro 1 - Formas de utilização da calculadora gráfica e respetivas dificuldades no desenvolvimento

das questões a), b), c) e d) da tarefa 2 ....................................................................... 28

Quadro 2 - Formas de utilização da calculadora gráfica e respetivas dificuldades no desenvolvimento

das questões a), b) da tarefa 3. .................................................................................. 31

Quadro 3 - Formas de utilização da calculadora gráfica e respetivas dificuldades no desenvolvimento

das questões 1,2,3,4,5,6 da tarefa 4. ......................................................................... 34

Quadro 4 - Número de alunos segundo as opções de resposta relativas ao tema das funções

racionais (n=18) ..................................................................................................... 35

Quadro 5 - Número de alunos segundo as opções de resposta relativas à calculadora gráfica .......... 36

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

Neste capítulo procede-se à apresentação do tema em estudo, evidenciando as suas

finalidades e objetivos tratados, seguem-se algumas considerações sobre a pertinência do

estudo no âmbito da Educação Matemática e, por fim descreve-se, de forma resumida, a

estrutura do relatório.

1.1. Tema, finalidades e questões de investigação

O tema em estudo incide sobre o ensino e a aprendizagem das funções racionais com a

calculadora gráfica. A escolha do tema deve-se à minha experiência enquanto aluno e à

crença de que a calculadora gráfica constitui uma ferramenta fulcral no ensino e aprendizagem

de conceitos matemáticos. Enquanto aluno do ensino secundário, constatei que o recurso a

esta ferramenta era pouco frequente. A explicação gráfica do conceito matemático era

geralmente feita no quadro, por vezes com gráficos pouco rigorosos, o que dificultava a minha

compreensão. À medida que evoluí como aluno no mestrado de ensino de matemática no 3.º

ciclo do ensino básico, surgiu a curiosidade de perceber de que forma os alunos utilizavam a

calculadora gráfica e que perceções tinham da sua utilização.

O desenvolvimento da minha prática pedagógica acompanhada pela elaboração deste

relatório possibilitou desenvolver um processo de investigação diretamente articulado com a

prática educativa. Neste sentido, o desenvolvimento deste projeto visa, por um lado, a minha

formação e, por outro lado, a melhoria das aprendizagens dos alunos no tema das funções

racionais através de uma metodologia de ensino que valoriza a atividade dos alunos e a

utilização da calculadora gráfica nas suas aprendizagens.

O estudo das funções tem-se revelado como um dos mais importantes na Matemática,

assumindo não só um papel central e unificador nesta área do conhecimento mas também a

sua compreensão torna-se indispensável a outros ramos das ciências, tais como a Física,

Química, Biologia, Geografia ou Economia. No 11.º ano de escolaridade, os alunos quando

iniciam o tema das funções racionais já possuem conhecimentos sobre o conceito de função,

as propriedades das funções polinomiais e sobre o que resulta de transformações simples de

funções. Ao longo desse estudo, emerge a relevância da articulação entre a representação

analítica e a gráfica. O programa do 11.º ano (Ministério da Educação, 2002) aponta para a

2

importância do aluno recorrer, por vezes, a uma destas representações e, por outras, à conexão

entre ambas. É justamente na conexão entre estas duas representações que os estudantes

apresentam muitas dificuldades, tais como apontam os estudos realizados por Ainsworth (1997),

Duval (1988) e Tall (1994).

Admitindo uma das causas dessas dificuldades a metodologia de ensino e os

recursos utilizados pelos professores de matemática, pareceu-me pertinente desenvolver neste

projeto um método de ensino que despertasse interesse dos alunos. Uma maior ênfase na

utilização da calculadora gráfica pode dar ao aluno um contributo importante para ultrapassar

algumas das suas dificuldades de aprendizagem. Segundo Ponte (1995), a calculadora gráfica

“incentiva o investimento no desenvolvimento de capacidades intelectuais de ordem mais

elevada, como o raciocínio, a resolução de problemas e capacidade crítica, que se situam para

além do cálculo e da compreensão de conceitos e relações matemáticas simples” (p. 23).

Considerando a potencialidade da calculadora gráfica no desenvolvimento de algumas destas

atividades, delineei as seguintes finalidades do meu projeto: (i) Promover ambientes de

aprendizagem com ênfase na calculadora gráfica; (ii) Motivar os alunos nas aprendizagens do

tema das funções racionais; e (iii) desenvolver competências que possibilitem os alunos

aprender ao longo da vida.

Associadas às dificuldades sentidas pelos alunos na aprendizagem do tema das

funções racionais poderá estar a forma como os alunos utilizam a calculadora gráfica. Apesar

de existirem estudos em que “a utilização de calculadoras (…) em abordagens ativas e

exploratórias da Matemática incentivam a curiosidade, o aumento de confiança e o gosto dos

alunos por esta disciplina“ (Ponte, 1997, p. 121), existem outros estudos que identificam

casos em que os “alunos não encaram favoravelmente a utilização da calculadora” (Ponte,

1997, p. 121). Deste modo, torna-se necessário ter presente, por um lado, as formas de

utilização da calculadora gráfica no ensino e aprendizagem da matemática e, por outro, as

perceções dos alunos sobre a sua utilização. Associada a esta problemática, formulei as

seguintes questões de investigação:

1) Como utiliza o aluno a calculadora gráfica nas atividades de aprendizagem das

funções racionais?

2) Que dificuldades manifestam os alunos no estudo das funções racionais?

3) Que perceções têm os alunos sobre a utilização da calculadora gráfica na sua

aprendizagem das funções racionais?

3

1.2. Pertinência

O recurso à calculadora gráfica tem reunido consenso das instâncias políticas quanto às

suas potencialidades na educação matemática. Segundo o NCTM (2008), a utilização de

materiais tecnológicos é “essencial no ensino e na aprendizagem da matemática; influencia a

matemática que é ensinada e melhora a aprendizagem dos alunos. As tecnologias eletrónicas,

calculadoras e computadores, constituem ferramentas essenciais para o ensino, a aprendizagem

e o fazer matemática” (pp. 26-27). A calculadora gráfica além de ser um recurso considerado

imprescindível no desenvolvimento de conceitos matemáticos, em especial o conceito de função,

também é considerada de utilização obrigatória pelos programas atuais de Matemática do

ensino secundário (Ministério da Educação, 2002).

Segundo Rocha (2000), existem poucos estudos relacionados com a forma como os

alunos utilizam a calculadora gráfica, o que torna pertinente a sua identificação, uma vez que as

ferramentas tecnológicas, como por exemplo as calculadoras gráficas, exigem métodos de ensino

diferentes dos que habitualmente são designados por tradicionais. Em detrimento de uma

conceção de ensino que valoriza a atividade do professor na transmissão aos alunos do

conhecimento matemático, emerge hoje em dia a conceção de ensino que considera o

envolvimento dos alunos como fator determinante na construção desse conhecimento. Por isso,

a utilização da calculadora gráfica “nas aulas de matemática implica a tomada de decisões ao

nível da organização do ensino e ao nível do próprio ensino” (Fernandes & Vaz, 1998, p. 43).

Por tratar-se da integração de um recurso com outros meios já utilizados no ensino de

matemática, é importante identificarmos as formas de utilização desta ferramenta na

aprendizagem dos alunos, pois “como qualquer outro instrumento, pode, simplesmente, ser

bem ou mal usado” (Ponte, 1989, p. 1). Segundo este autor, a calculadora gráfica é um

instrumento rico de potencialidades e “proporciona a exploração de novas estratégias e métodos

de trabalho, como a tentativa e erro e as aproximações sucessivas“ (idem). Contudo, não se

pense que a integração da calculadora no ensino da matemática constitui a solução de todos os

problemas uma vez que a calculadora gráfica também apresenta limitações. Segundo Borrões

(1998), “o acesso a esta tecnologia não dá qualquer garantia de que o aluno se torne

alfabetizado em matemática. As calculadoras e os computadores, quando se usam em

matemática, são ferramentas que simplificam, mas não executam o trabalho” (p. 13).

De modo a desenvolver estratégias que conduzam a melhorias significativas no

ensino/aprendizagem do tópico das funções racionais, importa averiguar as perceções dos

alunos sobre a utilização da calculadora gráfica e as suas dificuldades. Sendo o conceito de

4

função um dos mais importantes em Matemática e tendo em consideração que o seu estudo

integra conceitos abstratos, é natural que os alunos tenham dificuldades em relacioná-los nas

suas diferentes representações. Como futuro professor, é fundamental estar consciente dos

obstáculos que o aluno se vê envolvido ao longo da sua aprendizagem de forma a criar

estratégias de ensino adequadas.

1.3. Estrutura do relatório

O Relatório de Estágio encontra-se organizado em quatro capítulos. No capítulo I –

Introdução, para além de se descrever em que consta cada capítulo do relatório de estágio,

apresenta-se ainda o tema, as suas finalidades, os objetivos e a pertinência do estudo efetuado.

No capítulo II – Enquadramento contextual e teórico, justifica-se a relevância do projeto segundo

o contexto e a literatura. Este capítulo encontra-se dividido em três subcapítulos. No primeiro,

enquadramento contextual, carateriza-se a escola e a turma onde se desenvolveu a intervenção

de ensino. No segundo subcapítulo, enquadramento teórico, descrevem-se as estratégias de

ensino e aprendizagem utilizadas na intervenção de ensino. Por último, apresentam-se as

estratégias investigação/avaliação da ação usadas na avaliação do processo de intervenção.

No capítulo III – Intervenção pedagógica, descreve-se, documenta-se e avalia-se o

processo da intervenção pedagógica. Inicialmente, é apresentada uma análise dos

conhecimentos prévios dos alunos sobre tópicos de funções. Seguidamente, ilustram-se

momentos da prática pedagógica e, por último, apresentam-se as perceções dos alunos sobre

esta intervenção com a calculadora gráfica.

Por último, no capítulo IV – Conclusões, Implicações, Recomendações e Limitações, faz-

se um sumário das principais conclusões deste estudo, procurando-se dar resposta às questões

de investigação inicialmente propostas. De seguida, referem-se as principais limitações do

estudo e, por último, são referidas algumas considerações didáticas bem como algumas

sugestões para futuros estudos.

5

CAPÍTULO 2

ENQUADRAMENTO CONTEXTUAL E TEÓRICO

Este capítulo encontra-se dividido em três secções nas quais se descreve o contexto de

intervenção — a escola e a turma — as metodologias e as estratégias utilizadas na concretização

do projeto devidamente justificadas à luz do contexto e da literatura.

2.1. Enquadramento contextual

Este subcapítulo apresenta uma caracterização da escola e da turma onde se

realizou o projeto de intervenção.

2.1.1. Caracterização da Escola

A escola secundária onde este estudo teve lugar situa-se no concelho de Amares. Esta

escola oferece formações diversificadas em diferentes níveis de ensino, nomeadamente Cursos

profissionais, Cursos científicos-humanísticos, Educação e Formação de Adultos (EFA) e Cursos

de Educação e Formação para Jovens (CEF). Os alunos desta escola usufruem de boas

condições a todos os níveis. As salas de aula apresentam-se equipadas com, no mínimo, um

computador com ligação à Internet e um projetor multimédia. A escola tem ao seu dispor 9

salas de informática, 156 computadores e 7 quadros interativos. Dos quatro blocos que

estruturam a escola, dois são relativos às salas de aula, outro integra os serviços administrativos

e um outro é o pavilhão gimnodesportivo.

O projeto educativo da escola apresenta como princípio orientador a “formação

integral do aluno enquanto cidadão livre, autónomo e responsável promovendo o

desenvolvimento das suas capacidades cognitivas, motoras, artísticas, sociais e morais” (p. 15).

Trata-se de uma orientação que visa criar condições que possibilitem fortalecer e alicerçar a

autonomia pessoal dos seus alunos, a sua responsabilidade, autoestima e sentido crítico. A nível

pedagógico, verifica-se neste documento uma preocupação da escola em dar prioridade ao

apoio dos alunos às disciplinas com maior taxa de insucesso. Nas disciplinas de Português

e Matemática A os alunos da escola têm apresentado um desempenho inferior à média nacional

nos últimos três anos. Para combater esta problemática, ainda no projeto educativo, apontam-se

estratégias tais como: “valorizar o papel do Gabinete de Apoio ao Aluno (…) [e dar] prioridade na

constituição de equipas pedagógicas que acompanhem os alunos nos ciclos de estudo” (p. 17).

6

A escola onde concretizei a minha prática pedagógica apresenta como principais pontos

fortes a valorização das aprendizagens e a diversificação da oferta educativa, o que lhe confere

capacidade de angariação de receitas próprias e bom empenho do pessoal docente e não

docente na definição de estratégias que visam melhorar as aprendizagens. Por outro lado,

apresenta debilidades no desempenho dos alunos do 9.º e 12.º ano nos exames nacionais,

frágil participação dos encarregados de educação no ambiente escolar e deficiente cultura

consolidada e participada de autoavaliação. Esta escola é também potenciadora de várias

atividades que procuram incentivar os alunos na participação da vida escolar. Entre elas,

destaca-se a equipa robótica da escola que se sagrou campeã do mundo de dança robótica

(Robocup) pelo segundo ano consecutivo.

No que respeita à avaliação externa, esta escola foi avaliada em bom em todas as

vertentes (prestação do serviço educativo, organização e gestão escolar, liderança, capacidade

de autorregulação). Segundo o documento da avaliação externa da escola, é evidenciada uma

preocupação quanto à garantia de que todos os alunos, mesmo os mais carenciados, tenham ao

seu dispor uma calculadora gráfica, “fornecendo, em regime de empréstimo, a todos quantos

não as possam adquirir” (p. 10).

De um modo geral, a escola é acolhedora e promove várias atividades lúdicas e

formativas de forma a propiciar experiências de aprendizagens diversificadas.

2.1.2. Caracterização da turma

A turma onde decorreu a minha intervenção pedagógica era do 11.º ano de escolaridade

e constituída por 9 rapazes e 12 raparigas. Os alunos da turma revelaram ser bem

comportados, apesar de alguns deles serem bastante conversadores, e quase todos transitaram

para o 11.º ano com aproveitamento a todas as disciplinas, como se pode verificar na Figura

1:

Figura 1 - Aproveitamento final dos alunos no ano anterior.

O aproveitamento dos alunos na disciplina de Matemática no 10.º ano foi também

positivo, como ilustra a Figura 2:

19% 14% 67%

Aproveitamento final Transitaram com uma classificação inferiora 10Transitaram com duas classificação inferiora 10

7

Figura 2 - Desempenho à disciplina de Matemática no ano anterior.

No ano letivo anterior, após diagnóstico das principais dificuldades dos alunos, o

Conselho de Turma definiu como prioritário aumentar a qualidade das aprendizagens dos alunos

que revelam mais dificuldades e criar hábitos de trabalho impulsionadores do sucesso. Nesse

sentido, foram propostas estratégias de modo a proporcionar momentos de realização de tarefas

escritas individuais ou em grupo. Para melhorar a organização de ideias e articulação de

conteúdos, solicitou-se uma maior e melhor participação dos alunos em situação de sala de

aula. Foram ainda incentivados os hábitos de estudo fora da sala de aula e a frequência das

aulas de apoio disponibilizadas pelos professores da turma, para além do reforço do controlo

dos trabalhos de casa.

No que diz respeito ao desempenho dos alunos na disciplina de Matemática ao longo

do ano letivo (2012/13), em que decorreu a minha intervenção, a turma obteve uma média

positiva nos três períodos. Em termos de género, as raparigas apresentaram, nos três períodos,

uma média de desempenho superior à dos rapazes (Tabela 1).

Tabela 1 - Média do desempenho dos alunos, na disciplina de Matemática, no 11.º ano.

1.º Período (�̅�) 2.º Período (�̅�) 3.º Período (�̅�)

Turma 11,2 11,4 11,7

Raparigas 12,2 12,3 13,1

Rapazes 10,0 10,2 9,9

Em termos gerais, os alunos terminaram o ano letivo com aproveitamento a

Matemática, o que mostra o gosto pela disciplina. Ao longo da minha intervenção pedagógica

confirmei isso mesmo. Os alunos manifestaram recetividade às tarefas que lhes propus, assim

como a maior parte deles procurou participar e envolver-se nas atividades das aulas.

Da análise das características da escola e da turma desde logo me apercebi que me

deparava com as condições ideais para a concretização do meu projeto de intervenção. No

entanto, tendo em conta que o meu colega de estágio implementou o seu projeto na mesma

turma que eu, senti que os alunos estavam um pouco apreensivos devido à presença de três

professores dentro da sala de aula, o que também foi referido por alguns estudantes em

conversas informais que tive com eles.

76%

24%

Desempenho a Matemática Transitou com aproveitamento a matemática

Transitou com negativa matemática

8

2.2. Enquadramento teórico

Este subcapítulo apresenta, numa primeira parte, a fundamentação teórica do

projeto e, numa segunda parte, descrevem-se as metodologias e as estratégias de avaliação da

ação desenvolvida.

2.2.1. O ensino das funções racionais

O tema relativo a funções racionais é iniciado no 11.º ano de escolaridade e conserva,

no essencial, o tipo de abordagem relativa ao ano anterior. Segundo o programa do 11.º ano

(Ministério da Educação, 2002), pretende-se neste ano escolar ampliar os conhecimentos do

10.º ano relativo ao tema funções. Como em qualquer tema em matemática, o estabelecimento

de uma estratégia adequada de ensino que contemple diversos tipos de tarefa e momentos

próprios para a sua exploração, reflexão e discussão entre todos os intervenientes na sala de

aula faz com que o professor dê um passo importante na criação de oportunidades que

potenciem as aprendizagens dos alunos. No estudo das propriedades das funções racionais

emerge a relevância da articulação entre a representação analítica e a gráfica. Como sugere o

programa de Matemática A do 11.º ano (Ministério da Educação, 2002), no estudo de algumas

dessas propriedades os alunos recorrem, por vezes, a uma destas representações e, por outras,

recorrem à conexão entre as duas representações.

Face a esta problemática, Carvalho, Ferreira e Ponte (2011) analisaram diferentes

tarefas resolvidas por uma aluna do 11.º ano de Matemática envolvendo funções racionais. Esse

estudo concluiu que a abordagem às diferentes formas de representação pode promover “a

construção de imagens dinâmicas dos gráficos, contribuindo para uma maior flexibilidade no

trabalho com essas funções” (p. 14). Por sua vez, Abrantes (1997) defende que o estudo das

funções seja feito com ênfase no estabelecimento de relações entre as diferentes

representações. Segundo Vinner e Dreyfus (1989), as tarefas que envolvem a conexão entre as

diferentes representações são fundamentais na compreensão do conceito de função. Todavia,

segundo Domingos (1994), a aprendizagem destes diferentes registos de representação não é

fácil para os alunos e, por isso, revelam dificuldades, acabando por utilizar apenas uma

representação. Por outro lado, também a noção de função racional constitui um obstáculo para a

aprendizagem do tema. Parece simples resumir a noção de função com base na forma como

esta aparece no nosso dia-a-dia (Domingos, 1994). No entanto, deve-se ir mais longe e o

conceito deve tornar-se num objeto que a mente pode manipular (Sierpinska, 1992). Um estudo

de Nair (2010), em que participaram dezanove estudantes, com o objetivo de perceber as suas

9

noções sobre o conceito de função racional, as suas dificuldades e conceções erróneas,

relativamente à noção de função racional, os autores organizaram as respostas dos alunos em

três categorias (Tabela 2):

Tabela 2- Conceção de função racional na perspetiva dos alunos

Conceito de função racional Número de

respostas

[Limitado] Conceito de número

“Como um número racional ” “os gráficos são bonitos”, “inteiros”, ”par”,

“simétrico”, “contínuos”, “descomplicados”.

15/19

Conceito de fração Em forma de fração sem variável no

denominador, sempre contínuo.

Sempre descontínua em algum lugar, gráfico aparece em várias peças, todas as funções racionais têm assíntotas verticais.

1/19

Conceito de

descontinuidade

3/19

Verifica-se que a conceção dos alunos de função racional se limita ao conceito de

número. Neste estudo, os alunos evidenciaram ideias pouco claras e mostraram-se muito

confusos nas suas respostas. Para a autora, “o estudo de funções racionais e das assíntotas

dos seus gráficos, segue o estudo de funções, revelando-se como fundamentais no campo da

matemática” (Nair, 2010, pp. 1-2). No entanto, as funções racionais é também um tema em

“que os alunos raramente desenvolvem uma compreensão adequada” (Nair, 2010, p. 2). Ao

longo deste estudo, os alunos evidenciaram dificuldades na conexão entre os conceitos de

assíntota do gráfico de uma função e de limite; na identificação das assíntotas do gráfico de uma

função recorrendo à expressão algébrica; no cálculo do domínio de uma função racional; e na

construção analítica de uma função dada uma determinada assíntota horizontal.

Por outro lado, Domingos (1994) refere que “os alunos apresentam dificuldades em

identificar o que é uma variável ou quais são as variáveis envolvidas no processo. Eles não

analisam a situação, mas tomam-na como um todo” (p. 33). Na perspetiva deste autor, a noção

de variável é um pré-requisito fundamental para uma completa compreensão das na sua

globalidade. A causa dessas dificuldades deve-se ao facto de se tratar de conceitos abstratos e

complexos (idem). Como forma de combater algumas dessas dificuldades, nomeadamente

problemas de representação, o uso da calculadora gráfica pode ser uma forma prática de

superar obstáculos.

10

2.2.2. Calculadora gráfica no ensino e na aprendizagem de funções racionais

A tecnologia assume nos dias de hoje um papel indiscutivelmente importante na

sociedade. O sistema educativo não lhe é indiferente e como consequência disso tem-se vindo a

assistir a inúmeras alterações nomeadamente ao nível do currículo de Matemática. Segundo

Hong (2000), o uso da calculadora gráfica nas escolas acarreta alterações inevitáveis nos

métodos de ensino e consequentemente uma mudança nas aprendizagens da Matemática. A

esse respeito, Cardoso (1995) acrescenta que o uso das calculadoras gráficas nas aulas de

Matemática, para além de ter originado mudanças inevitáveis no relacionamento do aluno com a

aprendizagem da disciplina, também provocou uma modificação dos “métodos memorizados

que se esquecem facilmente para um desenvolvimento de capacidades mais duradouras como

seja a compreensão e intuição matemática” (p. 30). Por outras palavras, o recurso a esta

tecnologia requer que o professor trabalhe com os seus alunos novos aspetos da disciplina, tais

como a resolução de problemas, a comunicação, o raciocínio matemático e as conexões.

Essa opinião é partilhada por Ponte (1997), para quem a calculadora gráfica obriga a

“relativização da importância das competências de cálculo e de simples manipulação simbólica,

uma vez que o cálculo numérico e algébrico é realizado de forma mais eficiente pelas máquinas,

que, neste domínio, superam o ser humano em rapidez e rigor” (p. 98). A utilização da

calculadora gráfica no ensino da matemática veio alargar o leque de tarefas que o aluno pode

resolver, uma vez que o liberta de procedimentos rotineiros e fastidiosos, deixando-o disponível

para atividades mais enriquecedoras (Rocha, 1998). Essas alterações devem-se, sobretudo, ao

reconhecimento das vantagens relativas ao uso da calculadora nas salas de aula. Vários estudos

apontam nesse sentido. Por exemplo, Bigode (1998) conclui que “quando libertados do cálculo,

os alunos conseguem se concentrar melhor nas relações entre os dados, nas condições e nas

variáveis dos problemas. Em outras palavras, canalizam suas energias para o raciocínio” (p. 45).

Por seu lado, o NCTM (2008) afirma que “a tecnologia é essencial no ensino e na aprendizagem

da matemática; influencia a matemática que é ensinada e melhora a aprendizagem dos alunos”

(p. 26).

O programa de Matemática do ensino secundário atualmente em vigor (Ministério da

Educação, 2002) também refere que o uso de calculadoras gráficas nas atividades de

aprendizagem de conteúdos matemáticos permite a “condução de experiências matemáticas,

elaboração e análise de conjeturas” (p. 16) e cada aluno deve realizar “investigação e exploração

de várias ligações entre diferentes representações para uma situação problemática” (p. 16). O

programa refere também, por um lado, a importância da confrontação dos resultados teóricos

11

com os da calculadora gráfica e, por outro lado, a relevância da descrição dos raciocínios e

interpretação dos resultados nas tarefas que se pretende que sejam resolvidas com a

calculadora gráfica (Ministério da Educação, 2002). Este recurso tecnológico também permite

“que se trabalhe com um muito maior número de funções em que diversas características,

como os zeros e os extremos, não se podem determinar de forma exata” (p. 16). A utilização

da calculadora gráfica no processo de ensino-aprendizagem “é considerada como um campo

privilegiado para o desenvolvimento de capacidades e de atitudes positivas” (Borrões, 1998, p.

29). Outros autores, como Borba e Penteado (2003), Scheffer et al. (2004), Cláudio e Cunha

(2001), apoiam esta ideia e defendem que o uso da calculadora gráfica na sala de aula

possibilita um melhor entendimento de fórmulas e conceitos matemáticos. Novas formas de

representação, associadas à utilização da calculadora gráfica, desafiam o professor a integrá-las

nas suas estratégias de ensino. Em particular, para o estudo das funções é fundamental que o

aluno estabeleça relações entre tabelas, gráficos e símbolos, avaliando as vantagens e as

desvantagens de cada representação e que adquiram a capacidade de passar informação de

uma representação para a outra (NCTM, 2008).

Quanto às formas de implementar a calculadora gráfica na sala de aula, Waits e

Demana (1994) referem três formatos: (i) abordagem analítica seguida da calculadora para

verificar; (ii) abordagem com a calculadora seguida de uma abordagem analítica; e (iii) apenas

uma abordagem usando a calculadora pois a resolução analítica é irrealizável ou mesmo

impossível. De acordo com Waits e Demana (1994), a primeira forma de implementação da

calculadora confere ao aluno feedback importante de modo a dar-lhe incentivo e segurança na

resolução das tarefas. Na segunda, a calculadora assume o papel de mediador de conjeturas e

hipóteses, fornecendo indícios importantes para a resolução analítica. Por último, a abordagem

apenas com a tecnologia é justificada quando se torna impossível realizar a resolução com papel

e lápis.

Waits e Demana (1994) defendem que as representações gráficas auxiliadas pelo uso

da calculadora podem incentivar o aluno na manipulação algébrica. Domingos (1994) considera

que a sobreposição de gráficos de várias funções é uma das funcionalidades da calculadora que

possibilita “ajudar o aluno no estudo da influência dos vários parâmetros numa dada família de

funções” (p. 44). Por outro lado, segundo Drijvers (1993), a utilização da calculadora gráfica

permite não só facilitar os alunos na manipulação de um grande número de funções mas

também no processo de conjeturas ajudando-o a construir a sua própria teoria. No entanto, um

estudo realizado por Ruthven (1997) revela que o trabalho envolvendo a calculadora gráfica

12

deve incluir também um forte sentido crítico na interpretação dos resultados obtidos e não

apenas se limitar à questão do uso da ferramenta ou os contextos dessa utilização.

Tendo presente as vantagens e limitações da própria máquina, torna-se ainda necessário

considerar um conjunto específico de dificuldades dos alunos que tende a decorrer da

integração da calculadora gráfica no ensino das funções racionais. Um dos erros mais comuns

dos alunos está ligado a questões de escala, mais especificamente na escolha de valores para

a janela de visualização dos gráficos (Rocha, 2000). Por sua vez, Cavanagh (2006) menciona

a tendência dos alunos pela escolha de valores simétricos e iguais nos dois eixos. Segundo o

autor, esta preferência demonstra dificuldades em compreenderem o impacto que a escolha dos

valores da escala tem na visualização do gráfico. Como exemplo disso mesmo, Como exemplo

disso mesmo, Hector (1992) dá um exemplo da função racional x3−10x2+x+50

x−2 e as janelas de

visualização [−10, 10] × [−70, 70] e [−100, 100] × [−7000, 7000]. Verifica-se que a função

racional com uma simples mudança de escala parece converter-se numa parábola. Face a

esta problemática, é importante que o professor esteja atento às dificuldades associadas à

utilização da calculadora pelos alunos de forma a chamar “continuamente a atenção para as

discrepâncias entre, por exemplo, o gráfico que seria de esperar e aquele que é exibido pela

calculadora gráfica” (Rocha, 2012, p. 119).

Sendo a calculadora gráfica de uso obrigatório na disciplina de Matemática e face às

suas potencialidades educativas que lhe é reconhecida, ao longo do Ensino Secundário deve ser

dada uma especial relevância à sua utilização de modo a despertar nos alunos o

desenvolvimento de competências de raciocínio e pensamento matemático.

2.3. Estratégias de intervenção

Neste subcapítulo são descritas as estratégias de ensino e aprendizagem da intervenção

recorrendo à literatura e ao contexto teórico para justificar a sua importância bem como a

descrição das estratégias de avaliação da ação e a sua relevância na resposta aos objetivos

propostos no projeto.

2.3.1. Metodologias de ensino e aprendizagem

Papel do professor e do aluno. Na concretização deste relatório, a forte convicção de

que “aprender resulta sobretudo de fazer e de refletir sobre esse fazer” (Ponte, 2003, p. 16)

manteve-se sempre presente ao longo da minha intervenção. Nos momentos em que os alunos

resolviam as tarefas propostas, procurei dar-lhes o feedback necessário para que pudessem

13

avançar nas suas resoluções, atuando como mediador da sua aprendizagem. Nos momentos de

discussão da resolução das tarefas, procurei colocar questões aos alunos de forma a promover o

diálogo, a discussão e a participação entre todos os intervenientes. Em relação ao papel dos

alunos, procurei envolvê-los nas atividades de aprendizagem, conferindo-lhes alguma

responsabilidade no seu processo de desenvolvimento cognitivo. Assim sendo, acredito numa

filosofia de ensino que valoriza a atividade do aluno. As orientações atuais do programa de

Matemática apontam no sentido da participação ativa entre alunos e professores sendo estes

responsáveis na gestão e no processo de ensino e aprendizagem (Ministério da Educação,

2002).

Tarefas. A seleção das tarefas a realizar na sala de aula influencia o processo de ensino

aprendizagem. Segundo Ponte (2005), “as tarefas são um elemento fundamental na

caracterização de qualquer currículo, pois elas determinam em grande medida as

oportunidades de aprendizagem oferecidas aos alunos” (p. 31). É dever do professor

selecionar e organizar as tarefas a propor com o objetivo de desenvolver as competências

requeridas. Assim, as tarefas propostas ao longo da minha intervenção apresentavam um

grau de dificuldade variado: tarefas de natureza mais acessível, com o intuito da execução de

um dado procedimento; tarefas de natureza mais desafiante, de forma a apelar à inteligência

dos alunos incentivando-os a estabelecer as suas conjeturas e discutir sobre elas. Para que isso

fosse possível, concedi o tempo que achei necessário para que os alunos tentassem resolver as

tarefas.

Como o tema deste relatório se relaciona com o uso da calculadora gráfica, as

tarefas apresentadas foram elaboradas visando, por um lado, concretizar os objetivos

curriculares e, por outro, recolher informação que me permita responder às questões de

investigação. Desta forma, é importante criar situações em que se desperte o interesse dos

alunos no que se refere à utilização da calculadora gráfica. Neste sentido, é importante a

escolha cuidadosa de tarefas que enquadrem a utilização deste recurso tecnológico de forma

vantajosa e que motivem os alunos para a sua utilização. Tendo em conta esse objetivo,

enfatiza-se a importância de propor tarefas mais incentivadoras de aprendizagem “onde as

calculadoras gráficas assumem um papel importante na medida em que podem estabelecer

conexões quando utilizadas como meios incentivadores do espírito de pesquisa e do espírito

crítico” (Silva & Seixas, 2010, p. 147).

Torna-se urgente descobrir metodologias que “levem os alunos a encarar as tarefas

matemáticas como algo d e s a f i a n t e , as aulas como um local de aprendizagem, mas onde se

14

está com prazer, em que as práticas de socialização não sejam esquecidas em nome do

cumprimento de conteúdos” (César, Loureiro & Rijo, 2000, p. 196).

2.3.2. Estratégias de avaliação da ação

De modo a a v a l i a r a minha intervenção pedagógica, recorri aos seguintes métodos de

recolha de informação: teste diagnóstico; questionário; gravação de aulas; entrevista; e análise

documental (reflexões, resoluções das tarefas realizadas pelos alunos).

Teste diagnóstico. O teste diagnóstico implementado antes da minha intervenção

pedagógica teve como objetivo central o desenvolvimento de estratégias de forma a

identificar os conhecimentos prévios que os alunos possuem sobre o tema e possíveis

dificuldades. Segundo o Decreto-Lei n.º 139/2012 de 5 de Julho, “a avaliação diagnóstica visa

facilitar a integração escolar do aluno, o apoio à orientação escolar e vocacional e o

reajustamento de estratégias” (p. 3482). Este teste permitiu-me também ter a perceção sobre a

destreza no manuseamento da calculadora gráfica por parte dos alunos. As tarefas propostas

aos alunos ao longo da minha intervenção foram de encontro a essas perceções e dificuldades

evidenciadas no teste diagnóstico.

O teste diagnóstico a p r e s e n t a -se dividido em dois grupos. O primeiro grupo é

constituído por quatro perguntas de resposta direta, embora solicitem os alunos a explicar os

seus raciocínios nas suas escolhas. O segundo grupo contém duas questões: a primeira questão

é uma pergunta de desenvolvimento onde é dada a representação gráfica de uma função em

que os alunos teriam de determinar o domínio, contradomínio, expressão analítica da função,

análise da função dada e interpretação de um dado valor no contexto do problema. A segunda

questão envolve a utilização da calculadora gráfica para o cálculo dos pontos de interceção do

gráfico de duas funções.

Questionário. O questionário foi implementado no final da minha intervenção e teve o

objetivo de recolher as perceções dos alunos da turma sobre a utilização da calculadora gráfica

na aprendizagem de funções racionais e sobre as suas dificuldades neste tema. A estrutura do

questionário apresenta três grupos. O primeiro grupo incide sobre questões de resposta

fechada. Em cada questão deste grupo os alunos teriam de escolher cinco opções, seguindo a

tipologia da escala de Likert: DT – Discordo totalmente, D – Discordo, I – Indiferente, C –

Concordo e CT – Concordo Totalmente. As primeiras quatro questões tiveram como objetivo

averiguar os conhecimentos dos alunos acerca do tema das funções racionais. As questões

entre 5 e 11, inclusive, visaram a recolha de informação sobre a importância da calculadora

15

gráfica na aprendizagem do tema. Nas restantes questões, até à 16, averiguam-se as perceções

dos alunos quanto à utilização da calculadora gráfica na sua aprendizagem das funções

racionais.

O segundo grupo é constituído por 5 questões. A primeira relaciona-se com a frequência

do uso da calculadora no tema do relatório. As questões 2 a 4 relacionam-se com as formas de

utilização da calculadora gráfica no estudo do tema das funções racionais segundo Waits e

Demana (1994). A última questão diz respeito às dificuldades dos alunos no tema de funções

racionais. Finalmente, o terceiro grupo contém duas questões de natureza aberta sobre os

aspetos positivos e negativos da utilização da calculadora gráfica nas aprendizagens dos

alunos.

A razão pela qual se utilizou este instrumento de investigação relaciona-se com a

facilidade com que se interroga um número significativo de pessoas, num espaço de tempo

relativamente curto.

Gravação de aulas. No sentido de recolher outro tipo de informação que não foi possível

alcançar através de outros instrumentos de recolha de dados, as gravações de aulas permitiram

registar comentários, questões e dúvidas dos alunos nas aulas. Com esse objetivo, foram

gravadas três aulas. Para isso, recorri a um gravador (de som) visto que a câmara de filmar não

foi autorizada pelo diretor da escola. Segundo Carvalho e Gonçalves (1999), este método de

recolha de dados permite “uma tomada de consciência coletiva sobre o desenrolar de cada aula

observando e discutindo atentamente o desempenho do aluno, do professor, do material

didático e principalmente a interação entre eles” (pp. 1-2).

Entrevista. No final da minha intervenção pedagógica e depois de analisar o teor das

respostas dos alunos ao questionário, deparei-me com algumas dúvidas em relação a algumas

questões de investigação. No sentido de perceber a razão de algumas das respostas dos alunos,

elaborei um guião de entrevista que foi posteriormente aplicado a seis alunos de diferentes

níveis de desempenho: dois alunos com classificação no final do ano letivo anterior de 17

valores, um com 14 valores, um com 13 valores e dois com classificação negativa de 9 valores.

Análise documental. Outros instrumentos de recolha de informação utilizados foram as

questões pós aula, as reflexões e as atividades realizadas pelos alunos ao longo da intervenção.

No final de algumas aulas, solicitei aos alunos o preenchimento de um questionário final de aula

contendo perguntas diretas sobre a utilização da calculadora gráfica nas atividades que

realizaram na aula. As reflexões das aulas visam fornecer informações sobre a forma como

esperava que fosse implementada a minha aula e antecipar possíveis dificuldades (pré-reflexão).

16

Depois de analisada, permitiu-me ter a consciência do que falhou para posteriormente criar

estratégias que possibilitassem colmatar essas falhas (pós-reflexão). A informação proveniente

dessas reflexões ajudou-me a estruturar momentos das aulas analisadas neste projeto de

intervenção.

Por sua vez, todas as resoluções relativas às tarefas realizadas nas aulas foram

recolhidas no final de cada aula bem como outras resoluções realizadas ao longo da minha

intervenção. Também as resoluções dos alunos nos dois testes de avaliação foram fotocopiadas.

A resolução das atividades realizadas pelos alunos ao longo da minha intervenção permitiu, por

um lado, identificar as suas dificuldades no tema das funções racionais e, por outro, analisar

a influência da calculadora gráfica na resolução das tarefas e a sua predisposição para utilizá-

la.

17

CAPÍTULO 3

INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA

Este capítulo, dividido em três secções, descreve, documenta e avalia o processo da

intervenção pedagógica: Começa por analisar os conhecimentos prévios dos alunos sobre

tópicos de funções, de seguida ilustra momentos da prática pedagógica e, por último,

apresenta as perceções dos alunos sobre esta intervenção com a calculadora gráfica.

3.1. Conhecimentos prévios dos alunos sobre tópicos de funções

Para além do conhecimento do grupo turma desenvolvido ao longo das aulas assistidas

e da consulta da documentação existente na escola relativa ao percurso escolar dos alunos nos

anos letivos anteriores, elaborei em conformidade um teste diagnóstico (Anexo 1) incidindo

sobre os seus conhecimentos de tópicos de funções. Este instrumento de recolha de informação

caracteriza-se como estratégia usada para compreender as dificuldades dos alunos sobre a

unidade temática em análise. A sua estrutura apresentava dez questões distribuídas por dois

grupos com objetivos e níveis de compreensão distintos:

Tabela 3 - Objetivos das questões do teste diagnóstico.

Questões Objetivos

1. Compreender o conceito de função;

Gru

po

I 2. Esboçar o gráfico de uma função conhecidas algumas das suas propriedades;

3. Definir condições de modo a verificar determinado número de soluções numa equação quadrática;

4. Compreender os conceitos de paridade e injetividade de uma função. Utilização do gráfico de uma função para contextualizar um problema da vida real;

1.1. Identificar o domínio e contradomínio de uma função através da sua representação gráfica;

1.2. Definir a expressão analítica de uma função a partir da sua representação gráfica;

Gru

po

II 1.3. Interpretar um dado valor da variável independente em contexto do problema

apresentado;

1.4. Calcular o valor de x para um dado valor da função e interpretar esse valor tendo em conta o problema;

1.5. Determinar entre que valores podem variar a variável x dado um intervalo de valores da função apresentada;

2. Utilizar a calculadora gráfica para determinar as coordenadas dos pontos de interseção dos gráficos de duas funções.

18

Em geral, os alunos não revelaram dificuldades em identificar gráficos de funções,

embora se evidenciassem falhas nas suas justificações. Os alunos não tiveram igualmente

dificuldades em ler o domínio e o contradomínio das funções apresentadas a partir do respetivo

gráfico, bem como utilizar a calculadora gráfica para determinar as coordenadas dos pontos

de interseção dos gráficos de duas funções. No entanto, a maior parte dos alunos deu

respostas incorretas às questões cujo objetivo era esboçar gráficos a partir de algumas

propriedades previamente conhecidas do mesmo e também em definir condições de forma a

verificar determinado número de soluções, o que revela alguma dificuldade de interpretação da

questão em causa. De forma mais pormenorizada, determinou-se o número de alunos que

responderam de forma correta, parcialmente correta, incorreta e não respondeu às questões do

teste diagnóstico.

Tabela 4- Distribuição das respostas dos alunos ao teste diagnóstico (n=21)

Para averiguar a compreensão dos alunos sobre o conceito de função, o teste

diagnóstico apresentava a seguinte questão:

Da análise à tabela 4, conclui-se que os 3 alunos que responderam incorretamente à

Tipo de resposta

Questões

Grupo I Grupo II

1 2 3 4 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2

Correta 7 1 0 0 18 1 11 5 1 13

Parcialmente correta 11 5 0 11 2 5 1 1 1 4

Incorreta 3 15 20 5 1 7 2 0 13 2

Não respondeu 0 0 1 5 0 8 7 15 6 2

Grupo I:Questão 1

Quais dos seguintes gráficos representam funções? Explica o teu raciocínio.

Figura 3 - Questão 1 do grupo I do teste diagnóstico

19

questão 1, indicaram o gráfico II como sendo uma função como é o caso do alunoA11:

As respostas consideradas parcialmente corretas (11), os alunos indicam bem os

gráficos que representavam funções. No entanto, 9 não apresentam qualquer justificação e 5

evidenciam confusões nos seus raciocínios como é o caso do aluno A2:

Nesta questão, os estudantes evidenciaram dificuldades nas explicações das suas respostas

e também foram notórias dúvidas na própria definição de função.

No que respeita à questão 2 do grupo I, denotaram-se muitas dificuldades:

Se o esboço gráfico do aluno reuniu todas as condições (I, II e III), a resposta é

considerada correta. Se se verificar duas é considerada parcialmente correta. Quando verifica

uma ou nenhuma das condições referidas, a resposta é avaliada como incorreta. Nesse sentido,

foram notórias muitas respostas incorretas (15), como é o caso do aluno A15:

Grupo I: Questão 2

De uma função 𝑓 sabe-se que:

I) Df = IR+;

II) D′f = [−1 , 1];

III) A equação f(x) =1

2 admite uma e uma só solução.

Represente uma possível representação gráfica de f.

Figura 4 - Resolução do aluno A11 à questão 1 do grupo I do teste diagnóstico

Figura 5 - Resolução do aluno A2 à questão 1 do grupo I do teste diagnóstico

Figura 6 - Questão 2 do grupo I do teste diagnóstico

Figura 7 - Resolução do aluno A15 à questão 2 do grupo I do teste diagnóstico

20

Tal resposta indicia que o aluno interpretou que a condição f(x) =1

2 representava a função

e não revelou cuidado em garantir o contradomínio pretendido e o número de soluções que a

equação f(x) =1

2 satisfazia. Apesar de alguns alunos atenderem ao domínio da função, outros

alunos (5) tiveram dificuldades em conciliar as três condições, como ilustra o esboço gráfico

efetuado pelo aluno A11:

Quanto à questão 3 do grupo I, não teve qualquer resposta correta:

Todos os alunos, exceto um que não apresentou qualquer resposta, responderam de

forma incorreta. As dificuldades evidenciadas vão desde o desconhecimento da condição que

possibilita a função quadrática ter duas raízes a erros na manipulação de expressões como de

seguida se ilustra:

Figura 10 - Resolução do aluno A4 à questão 3 do grupo I do teste diagnóstico

A questão 4 do grupo I, à semelhança da anterior, também nenhum aluno respondeu

de forma correta quanto à paridade e injetividade das quatro funções representadas

graficamente, nem explicaram de forma clara os seus raciocínios:

Grupo I: Questão 3

Considere a função real de variável real definida por f(x) = 1 − x2. Sabendo que a equação

f(x) = k admite exatamente duas soluções reais, indique o conjunto de valores que k pode

assumir.

Figura 8 - Resolução do aluno A11 à questão 2 do grupo I do teste diagnóstico

Figura 9 - Questão 3 do grupo I do teste diagnóstico

21

Das 11 respostas parcialmente corretas, concluiu-se que 4 alunos classificaram

corretamente a paridade e injetividade de todas as funções. No entanto não explicaram ou foram

pouco claros na forma como chegaram às suas respostas, o que denota, uma vez mais,

dificuldades em expressar os seus raciocínios. Os restantes 7 apenas classificaram corretamente

alguns dos gráficos quanto à paridade e injetividade mas não explicaram de forma convicta as

suas análises, o que prova que os conceitos de paridade e injetividade de uma função não

estavam consolidados neste grupo turma.

Relativamente às questões do grupo II do teste diagnóstico, verificou-se maior número

de respostas incorretas à questão 1.5. Por outro lado, observou-se maior número de não

respostas na questão 1.4. Vejamos de seguida a questão 1 do grupo II:

Figura 12 - Questão 1 do grupo II do teste diagnóstico

Grupo I: Questão 4

Os seguintes gráficos representam funções. Classifique-os quanto à sua paridade e injetividade. Explica o teu raciocínio.

I II III IV

Grupo II

A D. Joaquina é proprietária de um pequeno estabelecimento onde dispõe de uma funcionária para o

fabrico de pão-de-ló de Ovar por encomenda. No entanto, para fazer mais de 600 bolos por mês

necessita de outra funcionária para ajudar. O gráfico seguinte mostra o lucro (L) da Dona Joaquina

(no final do mês) em função do número de bolos que o seu estabelecimento fabrica.

1.1. Indique o domínio e o contradomínio de L.

1.2. Defina a função L através de uma expressão analítica.

1.3. Calcula L(0) e explica o significado desse valor no contexto do problema

1.4. Qual o número de bolos que são necessários fazer para que a Dona Joaquina não obtenha

lucro nem prejuízo (arredonde este resultado às unidades).

1.5. Determina entre que valores podem variar o número de bolos que a D. Joaquina tem de fazer,

por mês, para obter um lucro superior a 1000 euros.

Figura 11 - Questão 4 do grupo I do teste diagnóstico

Figura 12 - Questão 1 do grupo II do teste diagnóstico

22

A questão 1.1 foi a que menos suscitou dúvidas dos alunos, uma vez que se apurou

apenas 1 resposta incorreta pois o estudante atribuiu um intervalo de valores inadequado ao

domínio e contradomínio da função L. As 2 respostas parcialmente corretas devem-se ao facto

dos alunos apresentarem apenas os intervalos sem qualquer referência ao seu significado, o que

evidencia dificuldades em escreverem notações matemáticas, como é o caso do aluno A7:

Figura 13 - Resolução do Aluno A7 à questão 1.1 do grupo II do teste diagnóstico

A questão seguinte (1.2) registou apenas 1 resposta assertiva, 7 incorretas e 8 não

responderam. As restantes 5 foram avaliadas como parcialmente corretas pois apenas

definiram um dos ramos da função considerando essa expressão a representação analítica da

função em todo o seu domínio como é o caso do aluno A3:

Figura 14 - Resolução do aluno A3 à questão 1.2 do grupo II do teste diagnóstico

A questão seguinte (1.3), a par da 1.1, teve o maior número de respostas corretas (11),

apesar de 7 alunos não terem respondido a esta questão. Constatou-se também duas

respostas incorretas, devido a erros no cálculo de L(0), e uma parcialmente correta pois o

aluno, embora tenha calculado bem o valor da função no ponto de abcissa 0, não explicou o seu

significado no contexto do problema.

Já na questão 1.4, apenas 5 alunos responderam corretamente. Observou-se também

que 15 alunos não responderam a esta questão e 1 calculou bem o valor da variável

independente dado o valor da função, mas não justificou a sua resposta (parcialmente

correta). Conclui-se, assim, que os estudantes demonstraram dificuldades na contextualização

do problema e interpretação do gráfico apresentado.

Por sua vez, na questão 1.5, o cenário de alunos que não responderam (6) melhorou

um pouco. No entanto a maioria dos alunos respondeu incorretamente, observando apenas o

23

gráfico apresentado e sem qualquer justificação como é o caso do aluno A15:

Figura 15 - Resolução do aluno A15 à questão 1.5 do grupo II do teste diagnóstico

Por último apresenta-se a questão 2 do grupo II:

A questão que solicitava o recurso da calculadora gráfica não foi reveladora de muitas

dificuldades, o que denota que a generalidade dos alunos (13) estava à vontade no

manuseamento da calculadora gráfica, nomeadamente no uso do comando que possibilita

obter os pontos de interceção de duas funções na máquina e no cálculo da área de

triângulos. No entanto, das 4 respostas parcialmente corretas, 3 apresentaram apenas as

abcissas dos pontos A e B sem o cálculo da área do triângulo que era pedido e 1 não

apresentou o arredondamento referido.

3.2. Prática pedagógica

Ao longo da minha intervenção pedagógica foram detetadas algumas lacunas e

deficiências nas aprendizagens ao nível dos pré-requisitos com maior incidência nas primeiras

aulas. Aos alunos com maior dificuldade foi dado um apoio mais individualizado mas

promovendo sempre a aprendizagem dos temas uns com os outros.

Grupo II Questão 2

Considere a função 𝑔, de domínio IR, definida por 𝑔(𝑥) =1

4𝑥4 +

1

3𝑥3 + 2𝑥 − 1.

O gráfico da função 𝑔 , num referencial o.n. xOy, intersecta a recta de equação y = 5 em

dois pontos.

Sejam A e B esses dois pontos, sendo o ponto A o que tem menor abcissa.

Determine a área do triângulo [AOB], recorrendo às capacidades gráficas da sua

calculadora.

Apresente o resultado arredondado às centésimas. Na sua resposta deve:

•indicar as abcissas dos pontos A e B, arredondadas às centésimas;

•apresentar a área do triângulo [AOB], com o arredondamento pedido.

24

Tarefa 1

Considera os seguintes gráficos:

𝐷𝑓 = 𝐼𝑅\{0} 𝐷𝑔 = 𝐼𝑅 𝐷ℎ = 𝐼𝑅 𝐷𝑖 = 𝐼𝑅

Da análise de cada um dos gráficos verifica-se que: (i) 𝑓 e 𝑔 são funções contínuas no seu domínio

(ii) ℎ é descontínua em 𝑥 = 3 (iii) 𝑖 é descontínua em 𝑥 = 1

Com base nestas afirmações, indica quando uma função é contínua no seu domínio? E quando uma função tem pontos de descontinuidade?

De seguida apresento de forma resumida na Tabela 5 o processo de intervenção.

Tabela 5 - Síntese da intervenção.

AULAS Tópicos

Aula 1e Aula 2 Estudo da função real de variável real 𝑓: 𝑥 →1

𝑥.

Aula 3 Conceito intuitivo de limite.

Aula 4 Aula Prática.

Aula 5 Continuidade e assíntotas.

Aula 6, 7 e 8 Estudo de funções do tipo y = a +b

cx+d, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝐼𝑅, x ≠

−𝑑

𝑐.

Aula 9 Assíntotas oblíquas.

Aula 10 Simplificação de frações racionais;

Equações e inequações fracionárias.

Aula 11 Restrição e prolongamento de uma função racional.

Aula 12 Aula Prática.

Para ilustrar a minha intervenção, o trabalho do aluno e as estratégias implementadas

descrevo alguns dos momentos mais significativos de três aulas lecionadas: aulas 5, 8 e 11.

3.2.1. Continuidade e assíntotas

O objetivo principal desta aula foi analisar as propriedades de funções racionais e do seu

gráfico quanto à continuidade e às assíntotas verticais e horizontais. As assíntotas do gráfico de

uma função racional traduziram-se, para os alunos, num novo conceito, apesar do estudo, na

aula anterior, do conceito intuitivo de limite de funções do tipo 𝑦 =1

𝑥. Relativamente à

continuidade, os alunos trabalharam em pares a seguinte tarefa:

Figura 16 - Tarefa 1 sobre o tópico continuidade e assíntotas

25

O trabalho em pares foi importante para este tipo de tarefa pois não se tratava de uma mera

aplicação ou exercício. A ideia era apelar aos conceitos previamente estudados e às suas

intuições.

A realização desta tarefa suscitou alguma perplexidade muito por causa da afirmação (i):

Professor: Então já chegaram a alguma conclusão?

Aluno1: Estão a dizer que para ser contínua não posso levantar o lápis para

desenhar a função mas na (i) do enunciado diz que é contínua e eu preciso

levantar o lápis.

É interessante evidenciar a diversidade de respostas dadas pelos alunos às questões,

pois é reveladora das limitações que uma abordagem intuitiva apresenta nomeadamente em

conceitos tão complexos como este. Vejamos algumas respostas dadas pelos pares formados

pelos alunos A3 e A19, A15 e A16 e A6 e A8:

Figura 17 - Resolução dos alunos A3 e A19 à Tarefa 1 sobre continuidade e assíntotas

Figura 18 - Resolução dos alunos A15 e A16 à Tarefa 1 sobre continuidade e assíntotas

Figura 19 - Resolução dos alunos A6 e A8 à Tarefa 1 sobre continuidade e assíntotas

No que se refere às respostas dos pares de alunos, observaram-se respostas muito

idênticas às acima mencionadas. Apenas duas respostas não mencionaram a palavra

“interrupções”.

Para o estudo dos conceitos de assíntotas horizontais e verticais, os alunos realizaram a

seguinte tarefa:

26

Os 20 alunos presentes na realização da tarefa, trabalharam em pares. Da análise às

respostas dos alunos, verifica-se que não tiveram dificuldade em determinar o domínio da

função, visto que 90% dos pares responderam corretamente a essa questão. Apenas um par de

alunos falhou nessa questão. A representação gráfica da função foi concretizada por todos eles,

embora, quanto à continuidade, 40% dos pares de alunos responderam que a função era

contínua, 50% descontínua e 10% não responderam.

Quanto ao cálculo dos limites, 60 % dos pares determinaram corretamente os limites,

enquanto os restantes 40% responderam corretamente apenas a i) e ii), o que mostra que

os alunos sentiram dificuldades no cálculo dos limites no infinito como ilustram as respostas

dos alunos A12 e A22.

Figura 21 - Resolução da tarefa 2 dos alunos A12 e A22

Relativamente à última questão desta tarefa, 70% dos pares referiu, corretamente, que

a Ana tinha razão. No entanto, não apresentaram qualquer justificação. Desses 70% apenas um

par de alunos apresentou justificação:

Tarefa 2

Considera a função real de variável real f definida por 𝑓(𝑥) =𝑥+6

𝑥−3.

a) Indica o domínio de f.

b) Representa o gráfico de f e descreve o comportamento da função e a sua continuidade.

c) Determina:

i) x 3lim f(x) .....

iii) xlim f(x) .....

ii) x 3lim f(x) .....

iv) xlim f(x) .....

d) Considera o seguinte diálogo entre a Ana e o João:

João: “A calculadora elabora um gráfico de f que não é completo. Se considerares valores muito grandes de 𝑥 a partir de certa ordem o gráfico interceta a reta 𝑦 = 1”.

Ana: “Não concordo, por maior que seja o valor que deres a 𝑥, as respetivas imagens nunca assumem o valor 1, ou seja, o gráfico de 𝑓não interceta a reta 𝑦 = 1”.

Quem tem razão, o João ou a Ana? Figura 20 - Tarefa 2 relativa ao tópico de continuidade e assíntotas

27

Figura 22 - Resolução da tarefa 2 dos alunos A1 e A4.

Tendo em consideração que esta questão suscitou alguma dúvida no grupo turma,

utilizou-se o emulador da calculadora gráfica instalado no computador e projetou-se na sala de

aula:

Figura 23 - Projeção do emulador da calculadora gráfica

A utilização deste emulador revelou-se eficaz na medida que proporcionou à turma

estipularem as noções de assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função 𝑓. Uma vez

tratando-se de conceitos novos, permitiu também ao grupo turma realizarem as suas próprias

conjeturas tal como se verificou na discussão com o seguinte aluno:

Aluno1: Professor, mas a partir das assíntotas sabemos qual é o domínio e o contradomínio das funções racionais.

Professor: Não achas que estás a generalizar? Aluno1: Eu acho que é possível professor porque se as assíntotas são os valores que

não pertencem ao gráfico, então se é assíntota vertical, por exemplo, nós colocamos todos os valores menos aquele da assíntota e nas horizontais a mesma coisa.

Professor: Os casos que estivemos a trabalhar parecem permitir fazer conjeturas, mas em Matemática devemos ter muito cuidado com as generalizações. Nas

próximas aulas iremos estudar as funções do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎 +𝑏

𝑐𝑥+𝑑 e vamos

verificar o que estás a sugerir.

Quanto às formas de utilização da calculadora gráfica, conjugou-se também, à

semelhança das tarefas analisadas anteriormente, três formas de utilização: (I) Papel e lápis e

de seguida a calculadora gráfica; (II) calculadora gráfica e de seguida papel e lápis, e (III) apenas

calculadora gráfica.

Em suma, o quadro seguinte mostra as formas de utilização da calculadora gráfica e

respetivas dificuldades no desenvolvimento das questões a), b), c) e d) da tarefa 2.

28

Da análise a este quadro, constata-se que os alunos optaram mais pela forma de

utilização I. Mesmo no cálculo dos limites os alunos dão preferência à resolução analítica.

O questionário final de aula (Anexo 2), tende a confirmar a tendência pela utilização da

calculadora gráfica como forma de confirmação dos resultados. Das 20 respostas obtidas pelos

alunos, 14 responderam que começaram a resolução com papel e lápis e depois partiram para

a verificação na calculadora gráfica (I). Por sua vez, 6 responderam que começaram a resolução

com calculadora e depois completaram com papel e lápis (II). Nenhum aluno afirmou ter usado

apenas a calculadora gráfica (III).

3.2.2. Estudo de funções do tipo 𝐲 = 𝐚 +𝐛

𝐜𝐱+𝐝, 𝐛, 𝐜 ≠ 𝟎 , 𝐱 ≠

−𝐝

𝐜

Esta aula tinha como objetivo central levar o aluno à generalização das propriedades das

funções do tipo 𝑦 = 𝑎 +𝑏

𝑐𝑥+𝑑 quanto ao domínio, contradomínio e assíntotas dos seus gráficos.

A tarefa que visava esse objetivo foi realizada individualmente. No final de cada alínea, pedi ao

grupo turma para que descrevessem a forma como a resolveram.

Questões Número de alunos segundo as diferentes formas de utilização da calculadora (20 alunos)

Dificuldades detetadas

I II III

a) 16 4 0 Apresentação apenas do intervalo sem referência ao domínio.

b) 10 9 1 Encontrar a janela de visualização adequada para a representação gráfica da função. Dúvidas quanto à continuidade da função.

c) 11 7 2 Conceito de limite à esquerda e à direita de 3.

d) 12 7 1

Dificuldade na identificação da reta y=1 como a reta horizontal da qual o gráfico se aproxima cada vez mais, sem chegar a intercetar.

Quadro 1 - Formas de utilização da calculadora gráfica e respetivas dificuldades no desenvolvimento das questões a), b), c) e

d) da tarefa 2

29

A questão a) não apresentou muita dificuldade aos alunos uma vez que pareceram estar

presente as transformações simples de funções que aprenderam no 10.º ano. Apenas um aluno

aplicou o conceito de limite na resolução da tarefa. Observaram-se 75% de respostas corretas ao

que era pedido, embora com algumas limitações na linguagem matemática usada. Exemplo

disso é a resposta do aluno A15:

Figura 25 - Resolução à tarefa 3 alínea a) do aluno A15.

Já o preenchimento da tabela revelou maior dificuldade, principalmente no cálculo do

contradomínio das funções pedidas, como ilustra o diálogo entre o professor e o grupo turma

depois da análise da resolução no quadro de um aluno:

Professor: Relativamente à função 𝑡(𝑥) =3

𝑥, porque é que vocês afirmam que o

domínio é IR\{0}? Aluno1: Porque o domínio corresponde a todos os valores exceto os que anulam o

denominador. Professor: Muito bem, nós aprendemos no estudo das funções racionais que o

domínio de uma função racional que o seu domínio são todos os valores exceto os que anulam o denominador. Foi isso que aprendemos certo?

Alunos: Sim.

𝑓(𝑥) = −1 +3

𝑥; 𝑔(𝑥) =

3

𝑥 − 2 𝑒 ℎ(𝑥) = −1 +

3

𝑥 − 2

Tarefa 3

Considera as funções 𝑓, 𝑔 e ℎ tais que:

a) A partir da função 𝑡(𝑥) =3

𝑥, explica como podes obter uma representação gráfica da função:

i) f ii) g iii) h b) Completa a tabela seguinte:

Função Domínio Contradomínio Assíntotas

𝑡(𝑥) =3

𝑥

𝑓(𝑥) = −1 +3

𝑥

𝑔(𝑥) =3

𝑥 − 2

ℎ(𝑥) = −1 +3

𝑥 − 2

Figura 24 - Tarefa 3

30

Professor: No caso desta função, o único valor que anula o denominador é zero, certo? Alunos: Certo. Professor: E quanto ao contradomínio da função? Porque é que vocês dizem que o

contradomínio desta função é também IR\{0}? Aluno9: Não é tao fácil de observar. Aluno1: Professor, ao observar o gráfico na calculadora, reparei que a reta y=0 é

uma assíntota, o gráfico aproxima-se sempre desse valor sem nunca lhe tocar por isso é que é o contradomínio é IR\{0}.

Professor: Então estás a dizer que o contradomínio da função é IR\{0} porque o gráfico tem uma assintota horizontal y=0?

Aluno1: Eu fiz a análise do gráfico e então concluí isso. Depois vi na máquina e deu. Professor: Tu observaste na calculadora gráfica e fizeste essa conjetura? Aluno1: Sim, foi isso.

Da análise a esta questão, verifica-se 100% de respostas corretas no cálculo do

domínio das funções apresentadas. Por outro lado, apenas 60% responderam corretamente à

questão do contradomínio. Por último, 90% dos alunos acertaram na determinação das

assíntotas verticais embora nas assíntotas horizontais apenas 40% responderam

acertadamente. Na figura 26 mostra-se a descrição do aluno A13 relativamente aos

procedimentos que efetuou na sua resolução.

Figura 26 - Resolução à tarefa 3 alínea b) do aluno A13.

Para averiguar as formas de utilização da calculadora gráfica pelos alunos no

desenvolvimento da tarefa 3, no final da resolução de cada alínea os alunos indicaram as formas

de utilização da calculadora gráfica. Da análise geral à tarefa, verifica-se mais uma vez a

tendência para a forma I (62,5%), como salienta o aluno A11:

Figura 27 - formato de utilização da calculadora gráfica na resolução das tarefas da aula 8 do aluno A11.

Por sua vez, 35% dos alunos responderam que usaram a forma de utilização II

(calculadora como primeira abordagem ao exercício e de seguida papel e lápis). Apenas um

aluno (2,5%), A8, referiu na alínea b) não ter usado a calculadora gráfica, ou seja, resolveu

apenas analiticamente:

31

Figura 28 - Formato de utilização da calculadora gráfica na resolução das tarefas da aula 8 do aluno A8.

Em suma, o quadro seguinte mostra as formas de utilização da calculadora gráfica e

respetivas dificuldades presentes no desenvolvimento das alíneas a) e b) da tarefa 3:

Quadro 2 - Formas de utilização da calculadora gráfica e respetivas dificuldades no desenvolvimento das questões a), b) da tarefa 3.

Questões

Número de alunos segundo as diferentes formas de utilização da calculadora (20 alunos)

Dificuldades detetadas

I II III

a) 14 6 0 Erros na referência aos vetores de translação.

b) 11 8 1 Dificuldades no cálculo do contradomínio e assíntotas horizontais.

Total: 25 14 1

Relativamente ao questionário final de aula (Anexo 2) onde esta tarefa foi inserida,

observou-se um maior equilíbrio quanto às formas de utilização da calculadora gráfica: 55 % dos

alunos afirmam ter usado a calculadora gráfica apenas para confirmação dos resultados

analíticos (I); 40 % dizem ter usado primeiro a calculadora gráfica como primeira abordagem às

questões; e nenhum aluno diz ter usado apenas a calculadora gráfica (III). Apenas um aluno

afirma que não utilizou a calculadora gráfica para resolução das tarefas.

3.2.3. Restrição e prolongamento de uma função racional

O tópico proposto insere-se no tema das Funções racionais e tem como objetivo

conduzir o aluno às definições de restrição e prolongamento de uma função racional. Uma das

tarefas apresentadas com esse propósito foi a seguinte:

32

As designações restrição e prolongamento são por si só sugestivas. Neste sentido,

esperava que de forma intuitiva os alunos entendessem esses conceitos sem dificuldade, o que

não aconteceu. Aliás, estes tópicos foram os que suscitaram mais dúvidas nos alunos no tema

das funções racionais.

A primeira, quarta e sexta questões foram resolvidas corretamente pela generalidade

dos alunos da turma. Já a segunda, terceira e quinta questões suscitaram maior dúvida aos

alunos.

Professor: Vamos agora para a questão 2. Pede um esboço da função T1(t) sem recurso à calculadora.

Aluno 3: Professor, é para fazer o esboço no momento que existe o corte da luz ou é tudo?

Professor: Eu quero que vocês façam o esboço da função T1, essa função tem um dado comportamento e eu quero que vocês a representem graficamente. Quero um esboço gráfico dessa função. (…)

Professor: Nós já vimos que para t=0 a função valia 250 graus e que a partir daí ia diminuindo. Agora façam o esboço de T2 a partir do momento que a pessoa se apercebeu do corte de energia.

Relativamente à questão 2, verifica-se que 5 alunos responderam corretamente. Por sua

vez, 4 não responderam e 11 responderam incorretamente. Da análise às respostas incorretas

constata-se que: 4 alunos esboçaram o gráfico da função 𝑇1 (𝑡) como uma reta; 5

calcularam incorretamente as assíntotas; e 2 alunos representaram gráficos completamente

despropositados, como são exemplo os seguintes esboços:

Tarefa 4 Numa cozinha, um forno elétrico estava a funcionar a uma temperatura constante quando houve um corte de energia elétrica. A partir do instante 𝑡 = 0, momento da falha de energia, a temperatura no forno evoluiu de acordo

com o seguinte modelo matemático: 𝑇1(𝑡) =150𝑡+250

6𝑡+1, 𝑇 graus Celcius e 𝑡 horas.

1. Determina a temperatura a que o forno estava a funcionar no momento em que houve o corte de energia elétrica.

2. Efetua um esboço gráfico da função 𝑇1 sem recurso à calculadora.

3. Efetua um esboço gráfico da função 𝑇1 com recurso à calculadora. Identifica propriedades da função e do seu gráfico.

4. A pessoa responsável por vigiar o forno apenas se apercebeu da falha de energia elétrica quando a temperatura no forno era de 75º𝐶. Determina, em minutos, o tempo que decorreu

entre o instante em que houve o corte de energia elétrica e o instante em que o mesmo foi detetado.

5. Representa analiticamente e graficamente a função que contextualiza a temperatura do forno a partir do momento que a pessoa responsável por vigiar o forno se apercebeu da falha de energia (𝑇2).

6. Com o decorrer do tempo, a temperatura no forno aproximou-se de um dado valor. Que significado tem esse valor no contexto do problema e na representação gráfica da função?

Figura 29 - Tarefa 4

33

No que diz respeito à questão 3, 16 estudantes transcreveram para o papel o esboço

gráfico que visualizaram na calculadora gráfica. No entanto, nenhum deles apresentou qualquer

propriedade da função e do seu gráfico como é o caso do aluno A2.

Figura 31 - Resolução do aluno A2 à questão 3 da tarefa 4.

A Questão 5 foi a que suscitou maior dificuldade. Apenas 1 aluno respondeu

corretamente, 8 alunos não responderam e 11 responderam incorretamente, o que revela

dificuldades em adaptarem o gráfico da função 𝑇1(𝑡) ao contexto do problema.

Como o principal objetivo desta aula foi de levar o aluno à definição de restrição e

prolongamento de uma função racional, o grupo turma foi confrontado com os esboços gráficos

das funções 𝑇1 e 𝑇2. O seguinte diálogo é revelador das dificuldades sentidas na compreensão

desses conceitos:

Professor: Vamos lá analisar o domínio da nova função T2. O domínio de T2 vai de 0.58 fechado até?

Aluno 2: Até mais infinito. Professor: Muito bem, e de T1 é qual?

Alunos: ℝ0+.

Professor: Tendo em conta a própria palavra ‘Restrição’, qual é a função que vos parece uma restrição da outra?

Aluno 2: A T2 é uma restrição da T1.

Professor: Porquê? Aluno 2: Porque é um domínio mais pequeno. Professor: E se agora olharmos para a função T1 e quisermos um prolongamento da

função? Aluno3: Temos de aumentar a função. Professor: A própria palavra diz-nos para aumentar, estender. Quero então que vocês

me digam uma função T3 de maneira que seja um prolongamento da

função T1.

Aluno3: Temos que alargar o domínio da função, certo?

Figura 30 - Esboços gráficos dos alunos A12, A13 e A18 relativos à questão 2 da tarefa 4.

34

Professor: Então temos que considerar o quê? Aluno2: Valores negativos.

Aluno2: Mas −1

6 não pode pertencer porque senão a função não tem significado e

o denominador fica igual a zero. Professor: A vossa colega diz que não consegue alargar a função porque se

considerar o ponto de abcissa −1

6 a função deixa de ter significado.

Aluno 2: Claro, porque se eu considerar o ponto de abcissa −1

6 o denominador fica

igual a zero e não pode ser pois é uma contradição. Professor: Contradição porquê?

Aluno 3: Então −1

6 não podia pertencer ao domínio e agora já pode?

A dificuldade evidenciada pelos alunos residia no facto de se introduzir o valor −1

6 ao

domínio da função resultante do prolongamento de T1 uma vez que anulava o denominador da

expressão que representa esta função.

As formas de utilização da calculadora gráfica e as dificuldades que os alunos sentiram

no desenvolvimento da tarefa 4 estão sintetizadas no Quadro 3:

Quadro 3 - Formas de utilização da calculadora gráfica e respetivas dificuldades no desenvolvimento das questões 1,2,3,4,5,6 da tarefa 4.

Questões Número de alunos segundo as diferentes formas de utilização da calculadora (20 alunos)

Dificuldades detetadas

I II III

1 10 6 4 Incompreensão do contexto da situação apresentada; Manipulação de expressões algébricas.

2 19 1 0 Erros na determinação das assíntotas; Incompreensão da situação-problema.

3 3 14 3 Identificação de propriedades da função e do seu gráfico.

4 14 5 1 Manipulação de expressões algébricas. Incompreensão da situação-problema.

5 12 7 1

Dificuldades em reconhecer que a função

𝑇2 é uma restrição de 𝑇1 ao intervalo [0 ,+∞[

6 17 3 0 Incompreensão do contexto da situação apresentada

Também nesta tarefa se evidenciou maior influência ao uso da calculadora como forma

de confirmação dos resultados. Apenas na questão 3,70% dos alunos afirmaram ter usado a

calculadora gráfica como primeira abordagem à resolução da tarefa. Este facto parece dever-

se ao próprio enunciado pedir o esboço com a calculadora gráfica. Nas restantes questões,

os alunos privilegiam o uso da calculadora gráfica apenas para confirmação dos resultados. No

total das 120 respostas analisadas a toda a tarefa 4, 62,5% dos alunos dizem usar a forma de

35

utilização da calculadora I (Papel e lápis seguido da calculadora para confirmação). Por sua vez,

30% consideram a forma de utilização da calculadora II (calculadora como primeira abordagem

e de seguida papel e lápis). Por último, das 120 respostas analisadas, apenas 7,5% usaram a

forma III (apenas calculadora).

3.3. Avaliação da intervenção

Neste subcapítulo analisa-se a perceção dos alunos sobre a utilização da calculadora

gráfica na sua aprendizagem de tópicos das funções racionais. Nesse sentido, no final da minha

intervenção pedagógica elaborei um questionário (Anexo 3) e uma entrevista a 6 alunos de

diferentes níveis de desempenho (Anexo 4). O questionário foi distribuído a 18 alunos presentes

na última aula da minha intervenção, 11 raparigas e 7 rapazes.

Perceções dos alunos sobre as funções racionais. O quadro 4, apresentado em baixo, diz

respeito às respostas dos alunos às questões que abordam o tema das funções racionais. São

atribuídas as seguintes designações: Discordo Totalmente (DT), Discordo (D), Indiferente (I),

Concordo (C), Concordo Totalmente (CT) uma escala de 1 a 5 por esta ordem.

Quadro 4 - Número de alunos segundo as opções de resposta relativas ao tema das funções racionais (n=18)

AFIRMAÇÕES DT/D I C/CT �̅�

Funções racionais é um tema da matemática que gostei de estudar. 0 2 16 4,1

No tema funções racionais evidenciei menos dificuldades do que noutros temas de matemática.

5 5 8 3,2

As tarefas propostas sobre o tema funções racionais despertaram o meu interesse pela matemática.

0 3 15 3,9

O tema funções racionais não é importante para a minha formação 17 1 0 1,5

Quase 90% dos alunos gostaram de estudar o tema das funções racionais e 94,4%

reconheceram a sua importância para a sua formação. Esse facto constatou-se na entrevista

como se pode verificar na seguinte afirmação de um dos alunos: “Eu gosto de funções (...) Tem

partes que acho que tem utilidade de facto no dia-a-dia, até mais que outros conteúdos de

matemática”.

Relativamente ao grau de dificuldade, comparativamente a outros tópicos da disciplina,

manifestaram opiniões muito dispersas. Por outro lado, 83,3% reconheceram que as tarefas

propostas ajudaram a despertar os seus interesses pela disciplina.

Perceções dos alunos sobre a utilização da calculadora gráfica no tema das funções racionais.

O quadro seguinte representa as respostas dos inquiridos às questões relacionadas ao uso da

36

calculadora gráfica no ensino e na aprendizagem das funções racionais.

Quadro 5 - Número de alunos segundo as opções de resposta relativas à calculadora gráfica

AFIRMAÇÕES DT/D I C/CT �̅�

Na aprendizagem de funções racionais recorri à calculadora gráfica para me ajudar na resolução das tarefas. 3 2 13 3,8

Costumo utilizar a calculadora gráfica com muita frequência nas minhas atividades de estudo fora das aulas. 7 2 9 3,1

A interpretação da informação gerada pela calculadora gráfica desafiou os meus conhecimentos que adquiri no estudo do tema funções racionais. 2 4 12 3,6

A calculadora gráfica ajudou-me a estabelecer as definições e as propriedades de tópicos que estudei no tema funções racionais. 0 3 15 3,8

A calculadora gráfica ajudou-me a visualizar os conceitos estudados no tema funções racionais. 0 4 14 3,8

A calculadora gráfica ajudou-me a desenvolver o meu espirito crítico. 1 5 12 3,7

O uso da calculadora gráfica levou-me a repensar os meus raciocínios. 3 5 10 3,4

Compreendi melhor os tópicos de funções racionais quando usei papel e lápis.

2 11 5 3,2

A calculadora gráfica dificultou a minha aprendizagem de tópicos de funções racionais.

14 2 2 2

Compreendi melhor os tópicos de funções racionais quando usei a calculadora gráfica.

2 7 9 3,4

Não precisei de utilizar a calculadora gráfica nas atividades que realizei no estudo do tema funções racionais.

13 2 3 2,2

Aprendi melhor os tópicos de funções racionais quando combinei papel e lápis com a calculadora gráfica. 2 3 13 4,2

Quanto à utilização da calculadora gráfica, a maioria dos alunos (72,2%) utilizou a

calculadora gráfica no estudo dos tópicos de funções racionais. No entanto, metade deste grupo

turma não utiliza como muita frequência a calculadora gráfica no seu estudo fora das aulas.

Por outro lado, a tendência de opiniões (3,6 numa escala de 1 a 5) aponta a tendência

dos alunos considerarem que a interpretação da informação gerada pela calculadora gráfica

desafiou os seus conhecimentos adquiridos nestes tópicos. Por sua vez, mais de 80% são da

opinião que este recurso tecnológico os ajudou a estabelecer as definições e as propriedades das

funções racionais, como se comprova na seguinte transcrição: “Ajudou porque ajudava a ver o

comportamento das funções e facilitou-me a compreensão. Em casa para estudar para os testes

também me ajudou”.

Analisando o questionário, infere-se que mais de 77% entende que a calculadora os

ajudou a visualizar os conceitos estudados, 66% dos inquiridos refere ainda que a mesma

contribuiu para desenvolver o seu sentido crítico e mais de 80% os levou mesmo a repensar os

37

seus raciocínios. Ainda assim, observa-se disparidade de opiniões quanto à importância da

calculadora na melhoria das suas aprendizagens, como refere um aluno:

“A compreender não. A resolver exercícios sim. A aprendizagem torna- se mais interativa se tivermos os meios gráficos mas em termos de compreender penso que o mais importante é mesmo o professor, a forma como ele vai explicitar os conteúdos. Acho que o mais importante é o professor, depois claro que a máquina é fundamental para mais que não seja para confirmar os resultados”.

A opinião dominante expressa neste questionário revela que os alunos aprenderam

melhor os tópicos das funções racionais quando combinaram papel e lápis e calculadora

gráfica (72,2%), como se pode verificar na seguinte resposta:

“Usei a calculadora gráfica essencialmente para verificar. Eu resolvia analiticamente e depois claro, tenho a máquina, convém verificar. Até porque se fosse no teste era assim que eu faria. Posso ter feito na máquina e depois partia para o analítico, posso ter feito isso algumas vezes sim. Eu quase sempre recorro ao modo analítico porque sinto mais à vontade, mas depois uso a calculadora para verificar os resultados que obtive”.

Os alunos reconhecem a importância do uso da calculadora gráfica nas suas

aprendizagens. No entanto, desvalorizam a sua utilização pois preferem usar o método analítico

nas resoluções das tarefas, tal como indica um aluno: “Para visualização de gráficos

praticamente, ou às vezes nos limites para aumentar o x e ver o que acontece ao y. Eu não uso

muito a calculadora. Uso mais o método analítico”.

A maioria dos alunos (55,6%) diz ter utilizado a calculadora gráfica apenas quando

surgiram dúvidas nas suas resoluções com papel e lápis e 55,6% dizem que este recurso

tecnológico os ajudou a compreender o que a tarefa pedia, como sustenta a afirmação de

um aluno:

“É claro que a matéria foi dada e depois ao analisar o gráfico na calculadora gráfica consolidei melhor a matéria, por exemplo, nos vários tipos de funções racionais e assim. Verifiquei o gráfico na calculadora e consolidei melhor o que foi dito e se calhar compreendi melhor do que se não tivesse o apoio da calculadora gráfica”.

Ainda sobre as formas de utilização da calculadora gráfica e as dificuldades no estudo

do tópico das funções racionais, constata-se no questionário final que os alunos usaram mais

esta tecnologia para verificar a continuidade, a monotonia e as assíntotas dos gráficos.

Também neste questionário, 13 no total de 18 alunos (72,2%) afirmaram que neste tópico

começaram por resolver as tarefas com papel e lápis e, de seguida, usaram a calculadora

gráfica para verificar as suas respostas. Por sua vez, 3 alunos (16,7%) declararam que primeiro

38

usaram a calculadora gráfica e só depois completaram com papel e lápis. Apenas 1 aluno (5,5%)

referiu ter usado apenas a calculadora gráfica enquanto um outro (5,5%) afirmou a utilização só

papel e lápis. Esta ideia comprovou-se também na entrevista final: “Ajudou, foi importante por

exemplo nas assíntotas. Basicamente para ver se a assíntota que me deu dá certo. No meu

estudo a calculadora gráfica serve mais para confirmar resultados. Primeiro faço

analiticamente e depois vejo se tenho certo na calculadora”.

Quanto ao subtópico de funções racionais que mais sentiram dificuldades, a maioria, 13

no total de 18 (72,2%), afirmou ter sido na restrição e prolongamento. Também na entrevista

realizada, 5 no total de 6 alunos entrevistados evidenciaram isso mesmo, como exemplifica a

afirmação de um deles: “No tema das funções racionais eu tive mais dificuldades nos

prolongamentos e restrições porque eu entendi o conceito, mas não conseguia definir as

funções e traduzir para linguagem matemática”.

Relativamente aos aspetos positivos e negativos da utilização da calculadora gráfica,

referidos no questionário final, os alunos apresentaram as seguintes respostas, sendo que cada

um dos estudantes poderia referir mais que um aspeto tanto negativo como positivo:

Tabela 6 - Perceção dos alunos quanto aos aspetos positivos e negativas da utilização da calculadora gráfica no estudo das funções racionais

Aspe

tos

posi

tivos

Ajuda a verificar os resultados

Permite visualizar melhor o gráfico da função

Facilita a “perceção” da função

Possibilita resolver mais rapidamente os exercícios

Aumenta a “eficácia” na resolução das tarefas

9

7

5

3

1

Aspe

tos

nega

tivos

Torna mais fácil e mecânico e dificulta a desenvolver o raciocínio

matemático;

Dificuldades no manuseamento da máquina;

Autonomia do aluno;

Torna o aluno mais “preguiçoso”.

7

3

1

1

No que se refere aos aspetos positivos, nove alunos referiram que a calculadora gráfica

os ajudou a verificar os resultados, sete referiram que a calculadora gráfica permitiu visualizar

melhor o gráfico da função e cinco mencionaram que este recurso tecnológico facilitou as

suas perceções relativamente às funções apresentadas. Estes aspetos também foram referidos

pelo aluno 3 na entrevista: “Para ver se está certo ou por exemplo, num exercício que não sei

fazer, vou à calculadora e vejo mais ou menos como se faz. Por exemplo, nos gráficos vou

sempre à calculadora gráfica para ter uma ideia”. Ainda como aspetos positivos, três alunos

constaram que a calculadora gráfica possibilitou resolver mais rapidamente as tarefas e um

39

considera que esta ferramenta aumentou a sua eficácia nas suas resoluções por lhe permitir

confirmá-las, como é referido por um dos alunos na entrevista: “Só se no teste não tiver

tempo, vou logo à calculadora e ponho o resultado final, mas se estiver nas aulas com tempo,

prefiro usar o papel e lápis e a máquina é só para confirmar”.

Quanto aos aspetos negativos, sete alunos sustentaram que a utilização da calculadora

gráfica tornou mais fácil, mecânico as suas resoluções e dificultou o desenvolvimento do

raciocínio matemático. Por sua vez, três alunos referiram sentir dificuldades no manuseamento

deste recurso, como exemplifica a afirmação do aluno 6:

“Já me aconteceu querer utilizar a calculadora gráfica num exercício e não saber como a usar. No entanto, tento depois descobrir. Não me lembro exatamente o que foi mas sei que já tive esse problema. Quando isso acontece eu chamo o professor mas por vezes também não sabe resolver esse problema. Depois tento procurar no manual da calculadora gráfica.”

Para além destes aspetos negativos da utilização da calculadora gráfica, constatou-se

outros tais como a perda de autonomia e a tendência de se tornarem mais ‘preguiçosos’.

40

41

CAPÍTULO 4

CONCLUSÕES, LIMITAÇÕES E RECOMENDAÇÕES

Neste capítulo, dividido em três secções, apresentam-se as principais conclusões deste

estudo, referem-se as suas implicações para o ensino e a aprendizagem de funções racionais

com recurso à calculadora gráfica e, por último, apresentam-se algumas recomendações para

projetos futuros e as limitações inerentes ao projeto desenvolvido.

4.1. Conclusões

As conclusões do estudo surgem como resposta às questões de investigação delineadas

que orientaram a intervenção pedagógica, e discutem-se essas conclusões com base nos

estudos referidos no enquadramento teórico.

4.1.1. Como utiliza o aluno a calculadora gráfica nas atividades de aprendizagem das funções racionais?

Ao longo da intervenção pedagógica a calculadora gráfica foi implementada nos métodos

de ensino com o objetivo de estudar os diferentes formatos de utilização desta tecnologia

segundo Waits e Demana (1994): I. Abordagem analítica seguida da calculadora gráfica para

verificar; II. Abordagem com a calculadora gráfica seguida de uma abordagem analítica; III.

Apenas uma abordagem usando a calculadora gráfica pois a resolução analítica é irrealizável ou

mesmo impossível.

Em geral, nos tópicos abordados no tema das funções racionais, os alunos

começaram por resolver as tarefas com papel e lápis e de seguida foram à calculadora

confirmar. No entanto, verifica-se que esta forma de utilização é mais ou menos significativa

mediante o que é pedido no enunciado. Por exemplo, na tarefa 2 alínea b) em que era

solicitado que o aluno representasse graficamente a função e que descrevesse o seu

comportamento, quase metade da turma optou por começar as suas resoluções com a

calculadora gráfica (forma II). Também Semião e Canavarro (2012) num estudo a alunos do

12º ano referente ao tema das funções concluíram que “Sempre que os enunciados peçam

explicitamente para utilizar a calculadora gráfica, os alunos utilizam-na. Mas também a

utilizam mesmo que o enunciado não diga explicitamente para recorrer à calculadora

gráfica, desde que sejam pedidos gráficos”. Outro exemplo é a alínea b) da tarefa 3 em que

se pretende que os alunos completem as tabelas com os domínios e contradomínios das

42

respetivas funções e com as assíntotas dos seus gráficos. Também nessa questão, o número de

alunos que utilizaram a calculadora gráfica como feedback (formato I) não foi tão significativa

como a maioria das questões pois 40% dos alunos utilizaram a máquina como geradora de

uma ideia geral do problema (formato II).

Assim, os alunos tendem a começar as suas resoluções com recurso à calculadora

gráfica quando observaram alguma indicação nesse sentido, do professor ou pelos próprios

enunciados das questões. Caso contrário, os alunos depositaram maior confiança na resolução

analítica como primeira abordagem às questões. A tarefa 4 (questão 3) é prova disso pois

constatou-se que 14 alunos no total de 20 utilizaram a calculadora gráfica como geradora de

uma ideia (formato II).

Neste sentido, este estudo está de acordo com os investigadores Gracias e Borba

(2000), que salientam a importância da calculadora gráfica no desenvolvimento das

investigações dos alunos, nomeadamente, na elaboração das suas conjeturas.

4.1.2. Que dificuldades manifestam os alunos no estudo das funções racionais?

No trabalho dos tópicos abordados neste estudo detetaram-se dificuldades no

estabelecimento de uma escala para a representação do gráfico na calculadora gráfica de

acordo com o estudo de Hector (1992) já referido neste estudo. Também se refletiram

confusões na compreensão dos conceitos de limite à esquerda e à direita de um dado ponto, na

identificação das assíntotas do gráfico da função apresentada, no cálculo do contradomínio e

assíntotas horizontais.

Neste projeto constatou-se que foi no tópico relativo ao estudo de funções do tipo

𝑦 = 𝑎 +𝑏

𝑐𝑥+𝑑 𝑏, 𝑐 ≠ 0 que os alunos evidenciaram maiores adversidades, desde a

interpretação do contexto em que o problema é apresentado a erros na determinação das

assíntotas e na manipulação de expressões. Também no trabalho com estes conceitos foram

evidentes dificuldades na identificação de propriedades da função racional, na interpretação de

um dado valor em contexto do problema e principalmente na compreensão dos próprios

conceitos de restrição e prolongamento.

4.1.3. Que perceções têm os alunos sobre a utilização da calculadora gráfica na sua aprendizagem das funções racionais?

No questionário e na entrevista pretendeu-se constatar as perceções dos alunos

relativamente ao tema das funções racionais e, sobretudo à calculadora gráfica.

43

Funções racionais. A maioria dos alunos (90%) gostou de estudar o tema e 94,4%

reconheceram utilidade na sua formação. Por sua vez, as tarefas propostas sobre o tópico das

funções racionais despertaram o seu interesse pela Matemática (83,3%) apesar de alguns

alunos (27,8%) admitirem ter mais dificuldades comparativamente a outros temas da disciplina.

Calculadora gráfica. Grande parte dos alunos da turma em estudo (72,2%) recorreu

à calculadora gráfica para lhes ajudar na resolução das tarefas, mas apenas 50% utilizaram a

máquina no seu estudo fora das aulas. Por outro lado, quase 68% admitiu que a interpretação

da informação gerada pela máquina desafiou os seus conhecimentos no tema das funções

racionais assim como concluiu Ponte (1995). Este autor também concluiu no seu estudo que a

calculadora gráfica incentiva o aluno no desenvolvimento das suas capacidades intelectuais, na

resolução de problemas e sua capacidade crítica.

Em geral, a grande maioria dos alunos (83,3%) concordou que esta ferramenta

tecnológica os ajudou a estabelecer as definições, as propriedades e a visualizar os conceitos

que estudaram no tema das funções racionais, analogamente aos estudos de Bigode (1998) e

Cláudio e Cunha (2001),

Além disso, a generalidade dos alunos consideram que a calculadora gráfica

contribuiu para desenvolvimento do espírito crítico e os levou a repensar os seus raciocínios. O

estudo de Borrões (1998) também aponta nesse sentido uma vez que refere que a utilização da

máquina favorece o desenvolvimento de capacidades do aluno no processo de ensino-

aprendizagem.

Para os alunos da turma, ficou claro que os alunos consideraram importante a

calculadora gráfica nas suas aprendizagens do tema das funções racionais pois apenas 16,7%

afirmaram que não precisaram de utilizar a calculadora gráfica no estudo do tópico. No

entanto, somente 50% dos alunos são da opinião que compreenderam melhor os tópicos de

funções racionais quando usaram a calculadora gráfica e 38,9% mostram- se indiferentes a esta

afirmação. Por outro lado 72,2% afirmam que compreenderam melhor os tópicos do tema

proposto quando combinaram a máquina e papel e lápis.

Em geral ficou claro nesta intervenção que os alunos da turma em estudo consideram a

calculadora gráfica importante nas aprendizagens dos tópicos das funções racionais, é útil na

resolução dos exercícios, mas não dispensam o papel e lápis nas resoluções das tarefas.

4.2. Implicações para o ensino e aprendizagem

Deste estudo resultam várias implicações para o ensino e a aprendizagem das funções

44

racionais com a calculadora gráfica. Dos resultados obtidos, constatou-se que as capacidades

gráficas da calculadora possibilitam uma mudança efetiva nas abordagens a alguns tópicos,

nomeadamente o das funções racionais, perspetivando melhorias no processo de ensino e

aprendizagem. Mas, para que isso seja possível, importa conhecer e compreender a forma como

os alunos utilizam a calculadora gráfica nas suas aprendizagens. No presente estudo

constatou-se que recorrem a esta ferramenta tecnológica mais para verificarem as suas

resoluções analíticas. Nesta perspetiva, também se verificou neste estudo ser fundamental

conjugar a calculadora gráfica com o papel e lápis e observaram-se muitas vantagens inerentes

a esta estratégia de ensino e aprendizagem, nomeadamente, maior atitude de persistência na

resolução de situações problemáticas, desenvolveu a autonomia e a capacidade de

argumentação, o espírito crítico e de iniciativa.

Este estudo está de acordo com o estudo de Silva e Seixas (2010), pois os autores

concluíram que a calculadora gráfica aliada a outros meios de ensino como o papel e lápis

favorece “o desenvolvimento de competências de argumentação, do espírito crítico, de pesquisa

e de autonomia” (p. 163). Como a calculadora gráfica é um recurso que os alunos deverão usar

nas suas aprendizagens, tendem a estar sempre presentes as dificuldades não só no

manuseamento da máquina bem como na interpretação dos resultados obtidos.

Nesta intervenção também ficou patente as adversidades que os alunos encontram nas

suas análises aos gráficos visualizados bem como na contextualização de problemas

apresentados. Deste modo, este estudo revela que o trabalho envolvendo a calculadora gráfica

nas salas de aula deve incluir também um forte sentido crítico na interpretação dos resultados

obtidos e não apenas se limitar à questão do uso da ferramenta, o que já foi referido

anteriormente no estudo de Rocha (2001).

Neste trabalho também se averiguou as perceções dos alunos sobre a utilização da

calculadora gráfica nas aprendizagens das funções racionais e verificou-se que a generalidade

reconhece a sua importância na compreensão dos tópicos propostos. Assim, este projeto

revelou-se uma mais-valia na formação do professor, ao longo do estágio profissional, na

medida em que lhe permitiu conhecer estratégias de ensino e de aprendizagens variados e

inovadores, assim como recursos didáticos e a sua aplicabilidade na sala de aula.

Assim, pro jeta -se uma busca incessante por metodologias diferentes que aliadas a

outras já existentes possam contribuir para a formação de cidadãos ativos e interessados em

aprender Matemática.

45

4.3. Recomendações e limitações

Embora considere que este estudo respondeu aos objetivos propostos, ao longo da sua

consecução foram surgindo outras questões, que podem servir a outros projetos ou

investigações nesta área. Neste projeto verificou-se a influência das tarefas utilizadas no elencar

das potencialidades da utilização da calculadora gráfica. Assim, seria interessante estudar qual o

tipo de tarefas que conduz a um maior número de vantagens no uso da calculadora gráfica. Por

outro lado, apesar deste estudo se centrar nas aprendizagens, denotou-se, ao longo do projeto,

que o papel do professor revela-se crucial no ensino e aprendizagem com a calculadora gráfica.

Deste modo, seria pertinente estudar as relações entre o tipo de ensino e o papel da calculadora

gráfica nas aprendizagens dos alunos. Neste sentido, também seria interessante averiguar se o

discurso do professor influencia as perceções dos alunos perante a calculadora gráfica.

Nesta intervenção constataram-se alguns aspetos que podem ser colmatados em

estudos posteriores ou mesmo em intervenções futuras. Por exemplo, apesar do professor

demonstrar preocupação de, na resolução dos problemas, diversificar as estratégias a utilizar e

não demonstrar preferência pela via analítica ou gráfica, constatou-se algumas vezes que a

simples utilização da calculadora gráfica permitiu ao aluno chegar à resposta pretendida. Assim,

a elaboração desse tipo de tarefas mais abertas podiam ter sido desenvolvidas com grau de

complexidade maior sendo a calculadora gráfica um instrumento precioso na descoberta de

respostas aos problemas propostos.

Embora os objetivos deste projeto se centrassem nas respostas às questões de

investigação e tratando-se de uma intervenção de ensino de curta duração de um professor

estagiário, talvez se este tivesse sido mais profundo ao nível da comunicação e da interação com

a turma, os resultados obtidos pudessem ter sido mais profícuos.

46

47

BIBLIOGRAFIA

Abrantes, P.; Leal, L.; Teixeira, P. & Veloso, E. (1997). Mat789. Inovação curricular em

matemática. Propostas de actividades para os alunos. Lisboa: APM.

Ainsworth, S., Wood, D., & Bibby, P. (1997). Evaluating principles for Multi-Representational

Learning Environments. In S. Vosniadou, K. Matsagouras, K. Maridaki-Kassotaki, & S. Kotsanis

(Eds.), 7th European Conference for Research on Learning and Instruction (pp. 500-501).

Bigode, A. (1998). A calculadora e o raciocínio da criança. In Cadernos da TV escola. PCN na

Escola. MATEMÁTICA II - Brasília: Ministério da educação e do desporto, secretária de

educação a distância, 1998. 2v.: il; 16cm., ISS – 148; n.º 2.

Borba, M. C., & Penteado, M. G. (2003). Informática e Educação Matemática. Belo Horizonte.

Borrões, L. M. C. (1998). O computador na Educação Matemática. Acedido em 23 de novembro,

2014, de: http://www.apm.pt/apm/borrao/matematica.PDF.

Cardoso, M. (1995). O Papel da calculadora gráfica na aprendizagem de conceitos de análise

matemática: estudo de uma turma do 11º ano com dificuldades. Lisboa; APM, Tese de

Mestrado.

Carvalho, A. & Gonçalves, M. (1999). Uma Investigação na formação continuada dos professores: a

reflexão sobre as aulas e a superação de obstáculos. I n E ncontro nacional de pesquisa em

educação em ciências, vol. 2 (pp. 1-14).

Carvalho, L., Ferreira, R. A. T. & Ponte, J. P. (2011). Representações no estudo das funções

racionais. In A. Henriques, C. C. Nunes, A. Silvestre, H. Jacinto, H. Pinto, A. Caseiro & J. P.

Ponte (Orgs.), Atas do XXII Seminário de Investigação em Educação Matemática (pp. 179-192).

Lisboa: APM.

Cavanagh, M. (2006). Enhancing teachers ’ knowledge of students’ thinking: the case of graphics

calculator graphs. In P. Jeffery (Ed.), Creative dissent, constructive solutions. Parramatta, NSW:

AARE.

César, M., Loureiro, M. & Rijo, C. (2000). Matemática e Interacções Sociais: Para ouvir e ser

ouvido! In Actas do ProfMat 2000 (pp.189-197). Funchal: APM.

Cláudio, D. M. & Cunha, M. L. (2001). As novas tecnologias na formação de professores de

matemática. In H. N. Cury (Org.), Formação de professores de matemática: uma visão

multifacetada. Porto Alegre: EdiPucrs.

48

Domingos, A. (1994). A aprendizagem de funções num ambiente computacional com recurso a

diferentes representações. Lisboa: APM

Drijvers, P. (1993). The classification of the graphs using a graphics calculator. In B. Jaworski (Ed.),

Proceedings of the International Conference on Technology in Mathematics Teaching, (pp. 213-

220). Birmingham: University of Birmingham.

Duval, R. (1988) Graphiques et Equations: L’Articullation de deux registres. Annales de

Didactique et sciences cognitives (pp. 233-254). Strasbourg.

Fernandes, J. A. & Vaz, O. (1998). Porquê usar tecnologia nas aulas de Matemática? Boletim da SPM, 39, 43-55.

Gracias, T. S. & Borba, M. C. (2000). Explorando possibilidades e potenciais limitações da

calculadora gráfica. Educação Matemática, 56, 35-39.

Hector, J. (1992). Graphical insight into elementary functions. In J. Fey & C. Hirsch (Eds.),

Calculators in Mathematics Education (pp. 131-137). Reston, Va.: NCTM.

Hong, Y., Thomas, M. & Kiernan, C. (2000). Supercalculators and University Entrance Calculus

Examinations. Mathematics Education Research Journal, 12, 321–336.

Ministério da Educação (2002). Cursos Científico-Humanísticos de Ciências e Tecnologias e de

Ciências Socioeconómicas. Lisboa: Autor.

NCTM (2008). Princípios e Normas para a Matemática Escolar. Lisboa: APM.

Nair, G. (2010). College Students Concept Images of Asymptotes, Limits, and Continuity of Rational

Functions. The Ohio State University.

Ponte, J. P. (1989). A calculadora e o processo de ensino-aprendizagem. Educação Matemática,

11(3), 1-2.

Ponte, J. P. (1995). Novas tecnologias na aula de Matemática. Educação e Matemática, 34, 2-7.

Ponte, J. P. (2003). O ensino da Matemática em Portugal: Uma prioridade educativa? In O

ensino da Matemática: Situação e perspectivas (pp. 21-56). Lisboa: Conselho Nacional de

Educação.

Ponte, J. P. (2005). Gestão curricular em Matemática. In GTI (Ed.), O professor e o

desenvolvimento curricular (pp. 11-34). Lisboa: APM.

Ponte, J. & Canavarro, A. (1997). Matemática e Novas Tecnologias. Lisboa: Universidade Aberta.

49

Rocha, H (2012). A integração da calculadora gráfica no ensino da matemática: estudo sobre as

práticas curriculares de professores do ensino secundário. Tese de Doutoramento, Instituto

de educação da Universidade de lisboa.

Rocha, H. (1998). Calculadoras gráficas a avaliação. Educação e Matemática, 49, 3-5.

Rocha, H. (2000). A utilização da calculadora gráfica por alunos do ensino secundário. Tese de

mestrado. Lisboa: APM.

Rocha, H. (2001). Calculadoras gráficas: Que utilização? In Actas do XIII Seminário de

Investigação em Educação Matemática (pp. 233-252). Lisboa: APM.

Ruthven, K. (1997). Calculator use by upper-primary pupils tackling a realistic number problem.

In E. Pehkonen (Ed.), Proceedings of the 21st Conference of the International Group for the

Psychology of Mathematics Education (volume 4, pp. 96-103). Lahti: PME.

Scheffer, N. F., Pedroso, C. A., Nava, A. L., Aimi, S. & Dallazen, A. B. (2004). A

calculadora gráfica como atribuição de significados matemáticos. Pesquisa em Educação

Matemática, 45, 43-53.

Semião, M. J. & Canavarro, A. P. (2012). A utilização da calculadora gráfica na aula de matemática: um

estudo com alunos do 12.º ano no âmbito das funções. In O. Magalhães & A. Folque (Orgs.), Práticas

de investigação em Educação. Évora: Departamento de Pedagogia e Educação.

Sierpinska, A. (1992). On understanding the notion of function. In G. Harel & E. Dubinsky (Eds.),

The concept of function (pp. 25-58). Washington: Mathematical Association of America.

Silva, D. & Seixas S. (2010). As competências que a calculadora gráfica promove no

ensino/aprendizagem da matemática: um estudo de caso numa turma do 11.º ano (pp.

141-172): Escola Superior de Educação do Instituto Politécnico de Santarém.

Tall, D. (1994). Computer environments for the learning of mathematics. In R. Biehler, W. Scholz, R.

StäBer & B. Winkelmann (Eds.), Didactics of mathematics as a scientific discipline (pp. 189-

199): Dordrecht: Kluwer.

Vinner, S. (1989). The avoidance of visual considerations in calculus students. Journal of

Mathematical Behavior, 11, 149–156.

Waits, B. K. & Demana, F. (1994). The Calculator and Computer Precalculus Project (C2 PC): What

have we learned in Ten Years? In G. W. Bright, H. C. Waxman & E. Williams (Eds), Impact of

Calculators on Mathematics Instruction. Lanham, Maryland, University Press of America.

50

51

ANEXOS

52

53

ANEXO 1

Teste diagnóstico

54

55

Teste diagnótico Duração:60m

Grupo I 1. Qual dos seguintes gráficos representam funções ? Explica o teu raciocínio

2. De uma função 𝑓 sabe-se que:

I) Df = IR+;

II) D′𝒇 = [−1 , 1];

III) A equação f(x) =1

2 admite uma, e uma só solução.

Represente uma possível representação gráfica de 𝑓.

Considere a função real de variável real definida por f(x) = 1 − x2. Sabendo que a equação f(x) = k

admite exactamente duas soluções reais. Indique o conjunto de valores que k pode assumir.

3. Os seguintes gráficos representam funções. Classifique-os quanto à sua paridade e injetividade.

Explica o teu raciocínio.

I II III IV

Grupo II

1. A D. Joaquina é proprietária de um pequeno estabelecimento onde dispõe de uma funcionária para o

fabrico de pão-de-ló de Ovar por encomenda. No entanto, para fazer mais de 600 bolos por mês

necessita de outra funcionária para ajudar. O gráfico L seguinte mostra o lucro da Dona Joaquina (no

final do mês) em função do número de bolos que o seu estabelecimento fabrica.

1.1. Indique o domínio e o contradomínio de L.

1.2. Defina a função L através de uma expressão analítica.

1.3. Calcula L(0) e explica o significado desse valor no contexto do problema

56

1.4. Qual o número de bolos que são necessários fazer para que a Dona Joaquina não obtenha lucro

nem prejuízo (arredonde este resultado às unidades).

1.5. Determina entre que valores podem variar o número de bolos que a D. Joaquina tem de fazer,

por mês, para obter um lucro superior a 1000 euros.

2. Considere a função g, de domínio IR, definida por g(x) =1

4x4 +

1

3x3 + 2x − 1.

O gráfico da função g , num referencial o.n. xOy, intersecta a reta de equação y = 5 em dois pontos.

Sejam A e B esses dois pontos, sendo o ponto A o que tem menor abcissa.

Determine a área do triângulo [AOB], recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora.

Apresente o resultado arredondado às centésimas.

Na sua resposta deve:

• indicar as abcissas dos pontos A e B, arredondadas às centésimas;

• apresentar a área do triângulo [AOB ], com o arredondamento pedido.

57

ANEXO 2

Questionário final de aula

58

59

QUESTIONÁRIOS DE AULA

Coloca um X na resposta que achares adequada:

Na resolução das tarefas que foram hoje propostas pelo professor, de que forma utilizaste a calculadora

gráfica:

1. Comecei por resolver as tarefas propostas com papel e lápis e, de seguida, utilizei a calculadora para verificar

se a minha resolução estava correta.

2. Comecei por desenvolver as tarefas com a calculadora e de seguida completei-as com papel e lápis.

3. Resolvi as tarefas apenas com a calculadora, pois foi impossível a resolução com papel e lápis. A calculadora gráfica ajudou-te na resolução das tarefas ? Como ? R:

60

61

ANEXO 3

Questionário

62

63

Caro(a) aluno(a),

No âmbito da unidade curricular Estágio Profissional, do 2.º ano do Mestrado em Ensino da Matemática, pretendo averiguar, através deste questionário, as perceções que os alunos de uma turma do 11.º ano de escolaridade têm sobre a utilização da calculadora gráfica na aprendizagem de tópicos da função racional. A informação recolhida será usada somente para fins académicos, comprometendo-me a assegurar o anonimato da mesma.

I. Dados pessoais

1. Idade: _____

2. Sexo: Masculino Feminino

3. Número de retenções durante o teu percurso escolar: ____________________________

4. Que anos escolares repetiste? ______________________________________________

5. Que classificação final obtiveste na disciplina de Matemática no 10.ºano? _______________

II. A calculadora gráfica no ensino e na aprendizagem de funções racionais

Nas afirmações seguintes, assinala com uma cruz (x) o quadrado que mais se adequa ao teu grau de concordância tendo em consideração a seguinte escala:

DT: Discordo Totalmente; D: Discordo; I: Indiferente; CT: Concordo Totalmente. Afirmações DT D I C CT

1. Funções racionais é um tema da matemática que gostei de estudar.

2. No tema funções racionais evidenciei menos dificuldades do que noutros temas de matemática.

3. As tarefas propostas sobre o tema funções racionais despertaram o meu interesse pela matemática.

4. O tema funções racionais não é importante para a minha formação

5. Na aprendizagem de funções racionais recorri à calculadora gráfica para me ajudar na resolução das tarefas.

6. Costumo utilizar a calculadora gráfica com muita frequência nas minhas atividades de estudo fora das aulas.

7. A interpretação da informação gerada pela calculadora gráfica desafiou os meus conhecimentos que adquiri no estudo do tema funções racionais.

8. A calculadora gráfica ajudou-me a estabelecer as definições e as propriedades de tópicos que estudei no tema funções racionais.

9. A calculadora gráfica ajudou-me a visualizar os conceitos estudados no tema funções racionais.

10. A calculadora gráfica ajudou-me a desenvolver o meu espírito crítico.

11. O uso da calculadora gráfica levou-me a repensar os meus raciocínios.

12. Compreendi melhor os tópicos de funções racionais quando usei papel e lápis.

13. A calculadora gráfica dificultou a minha aprendizagem de tópicos de funções racionais.

14. Compreendi melhor os tópicos de funções racionais quando usei a calculadora gráfica.

15. Não precisei de utilizar a calculadora gráfica nas atividades que realizei no estudo do tema funções racionais.

16. Aprendi melhor os tópicos de funções racionais quando combinei papel e lápis com a calculadora gráfica.

64

III. Formas de utilização da calculadora gráfica no estudo do tema funções racionais

Coloca uma cruz (x) no(s) quadrado(s) que mais se adequa à tua opinião

1. No estudo de funções racionais utilizaste mais a calculadora gráfica para verificar a:

2. Na resolução das tarefas sobre funções racionais, na maioria das vezes…

3. Na resolução de algumas tarefas só usaste a calculadora gráfica porque:

4. Na resolução das tarefas, utilizaste a calculadora gráfica:

Na maioria das vezes.

IV. Aspetos positivos e negativos do uso da calculadora no estudo de funções racionais

Indica três aspetos postivos do uso da calculadora gráfica na tua aprendizagem de funções racionais:

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Continuidade Paridade Monotonia

Raízes Assíntotas Sinal

Comecei por resolver as tarefas com papel e lápis e, de seguida, utilizei a calculadora para verificar se a minha resolução estava correta.

Comecei por resolver as tarefas com a calculadora e de seguida completei-as com papel e lápis.

Resolvi as tarefas apenas com a calculadora, não sabia resolver de outra forma.

Outra situação. Qual ________________________________________________

Ajudou a compreender o que a tarefa pedia.

Era mais fácil chegar à solução.

Era mais rigoroso.

Facilitava os cálculos.

Outra situação. Qual ? ________________________________________________________

Sempre que tive dúvidas sobre a minha resolução com papel e lápis.

Apenas quando o enunciado da tarefa mencionava o seu uso.

Poucas vezes pois confio mais na minha resolução analítica.

Outra situação. Qual ? ________________________________________________________

5. No estudo de uma função racional ou do seu gráfico tiveste dificuldades no estudo de:

Continuidade Paridade Domínio

Raízes Sinal Contradomínio Assíntotas Monotonia Restrição e prolongamento

65

ANEXO 4

Guião de entrevista

66

67

A entrevista foi realizada a 6 estudantes de diferentes níveis de desempenho no sentido

de recolher informações relativas às suas perceções sobre o uso da calculadora gráfica.

Guião de Entrevista A. Dados pessoais sobre a disciplina de matemática

1. Como foi o seu percurso escolar? Já repetiste algum ano? Se sim, qual?

2. Como te descreves como aluno(a) na disciplina de Matemática? Como foi o teu percurso

escolar nesta disciplina?

3. Qual a importância que atribuis à disciplina de Matemática para a tua formação?

4. Quais os temas que mais gosta em Matemática? Porquê? E quais os que menos gostas?

Porquê?

5. Qual foi a tua classificação no final do 10.º ano na disciplina de Matemática? E no final do 1.º e 2.º

períodos deste ano?

B. Utilização da calculadora gráfica

1. Desde quando é que tens uma calculadora gráfica? Aprendeste a trabalhar com ela nas aulas ou

em casa? Foi complicado?

2. Sentes-te à vontade a trabalhar com a calculadora gráfica ou sentes dificuldade em alguns

aspetos? Quais?

3. Com que finalidade(s) costumas usar a calculadora?

4. No tema das funções racionais, a utilização da calculadora ajudou-te a compreender melhor a

matéria? Porquê?

5. Quando podes escolher um modo de resolução de um problema, preferes recorrer ao modo

gráfico ou analítico? Porquê?

6. De que forma usaste a calculadora gráfica na resolução das tarefas relativas a funções

racionais?

7. Na questão X, resolverias o exercício analiticamente ou utilizavas a calculadora gráfica para te

ajudar na resolução?

8. Quais foram as maiores dificuldades que sentiste no tema de funções racionais?