guia modelado segunda parte

8/18/2019 Guia Modelado Segunda Parte

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PARTE II. MODELADO DE SISTEMAS

Resumen

En este capítulo estudiamos la forma de hallar un modelo matemático, llamado

función de transferencia, para sistemas lineales, eléctricos invariantes con el

tiempo, mecánicos y electromecánicos. La función de transferencia está definida

como G ( s )=C (s)/ R(s) , o la razón entre la transformada de Laplace de la salida

y la transformada de Laplace de la entrada. Esta razón o cociente es algebraica y

también se adapta al modelado de subsistemas interconectados.

Vemos ue el mundo físico está formado no !nicamente con los sistemas vistos

hasta auí. "or e#emplo, podríamos aplicar modelos de función de transferencia a

sistemas hidráulicos, neumáticos, térmicos y hasta económicos. $esde luego

debemos suponer ue estos sistemas son lineales, o ue hacen apro%imaciones

lineales, para utilizar esta técnica de modelado.

&abe aclarar ue esta información será usada en cursos posteriores para evaluar

su respuesta a una entrada específica, analizando y'o dise(ando sistemas

mediante los métodos en el dominio del tiempo y'o de la frecuencia


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PREGUNTAS:

). *+ué modelo matemático permite una fácil intercone%ión de los sistemas

físicos-. * ué clasificación de sistemas se puede aplicar me#or la función de

transferencia/. *+ué transformación convierte la solución de ecuaciones diferenciales en

manipulaciones algebraicas0. $efina la función de transferencia.1. *+ué suposición se hace respecto a condiciones iniciales cuando se

traba#a con funciones de transferencia2. *+ué nombre se da a las ecuaciones mecánicas escritas para evaluar la

función de transferencia3. 4i entendemos la forma ue toman las ecuaciones mecánicas, *ué paso

evitamos al evaluar la función de transferencia5. *"or ué razón las funciones de transferencia para redes mecánicas

parecen idénticas a las funciones de transferencia para las redes

eléctricas6. *+ué función realizan los engranes)7.*&uáles son las partes componentes de las constantes mecánicas de la

función de transferencia de un motor)). La función de transferencia de un motor relaciona el desplazamiento de

armadura con el volta#e de armadura. *&ómo puede determinarse la

función de transferencia ue relaciona el desplazamiento de carga y el

volta#e de armadura)-.8esuma los pasos para hacer lineal un sistema no lineal.

PROBLEMAS

). Encuentre la función de transferencia 9:s; < =-:s; ' >:s;, para la red mecánicatraslacional ue se muestra en la figura.


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-. Encuentre la función de transferencia 9:s; < =-:s; ' >:s;, para el sistema mecánico

traslacional ue se muestra en la figura, :sugerencia? ponga una masa cero en

%-:t;.;

/. "ara el sistema de la figura, encuentre la función de transferencia 9:s; < =):s; '

>:s;

0. Encuentre la función de transferencia 9:s; < =-:s; ' >:s;, para el sistema mecánicotraslacional ue se muestra en la figura,

1. Encuentre la función de transferencia =/:s; ' >:s;, para cada uno de los sistemas ue

se muestran en la figura.


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2. Escriba, pero no resuelva, las ecuaciones de movimiento para el sistema

mecánico traslacional ue se muestra en la figura.

3. "ara cada uno de los sistemas mecánicos rotacionales ue se muestran en lafigura escriba, pero no resuelva, las ecuaciones de movimiento.


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5. "ara el sistema mecánico rotacional ue se muestra en la figura, encuentre la

función de transferenciaG ( s )=θ

2(s)/T (s)

FUNCIONES DE TRANSFERENCIA PARA SISTEMAS MECÁNICOSCON ENGRANES.

$espués de estudiar a los sistemas rotacionales, se puede ver ue estos, en especial los

accionados por motores, raras veces se observan sin trenes de engranes asociados ue

mueven la carga. Esta acción abarca este importante tema.

Los engranes proporcionan venta#as mecánicas a los sistemas rotacionales. &ualuier

persona ue haya andado en una bicicleta de diez velocidades sabe el efecto de los

engranes. l ascender una cuesta, se cambia de velocidad para obtener más par y menos

velocidad. En una recta, cambiamos para obtener más velocidad y menos par. sí los

engranes nos permiten acoplar el sistema de transmisión y la carga, ue es un término

medio entre velocidad y par. "ara numerosas aplicaciones, los engranes e%hiben #uego,

ue se presenta debido al a#uste @flo#oA entre dos engranes conectados. El engraneimpulsor gira un peue(o ángulo antes de hacer contacto con él impulsado. El resultado

es ue la rotación angular del engrane de salida no ocurre, sino hasta ue halla ocurrido

una peue(a rotación angular del engrane de entrada. "ara nuestro caso suponemos ue

no hay #uego.

En la figura ) se describe la interacción linealizada entre dos engranes, un engrane de

entrada con radio r ) y B) dientes gira un ánguloθ1(t ) debido a un par C):t;. Dn engrane

de salida con radio r - y B- dientes responde al girar un ánguloθ2(t ) y entrega un par

C-:t;. Encontramos ahora la relación entre la rotación del engrane ),θ1(t ) , y el

engrane -,θ2(t ) . $e la figura ), a medida ue giran los engranes, la distancia

recorrida a lo largo de la circunferencia de cada uno de los engranes es la misma. sí

r1θ1=r2θ2(1)


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o sea

θ2

θ 1=

r1

r2=

N 1

N 2 (2)

puesto ue el radio del número de dientes a lo largo de la circunferencia está en lamisma propori!n de los radios. Concluimos que la razón (o cociente) del desplazamiento angular de los engranes es inversamente proporcional a la razón

del número de dientes.

*&uál es la relación entre el par de entrada, C), y el par entregado, C- 4i suponemos ue

los engranes no absorben o almacenan energía, la energía ue entra al engrane ) es

igual a la energía ue sale del engrane -. :Esto uiere decir ue los engranes tienen

inercia y amortiguamiento despreciables;. &omo la energía de translación de fuerza

multiplicada por el desplazamiento se convierte en energía rotacional de par por el

desplazamiento angular.

T 1 θ1=T 2θ 2(3)

4i de la ecuación / se despe#a la razón entre los pares y se usa la ecuación -,

obtenemos?

θ2

θ 1=

r1

r2=

N 1

N 2(4)

sí los pares son directamente proporcionales a la razón del n!mero de dientes. 4e

resumen todos los resultados en la figura -.

>igura ). 4istema de engranes

Veamos lo ue ocurre a las impedancias mecánicas ue son impulsadas por engranes. La

figura /a, muestra engranes ue mueven una inercia rotacional, un resorte y un

amortiguador viscoso.

N 2

N

N 1


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θ1(s) θ2(s) T 1(s)

T 2 (s)

>igura -. >unciones de transferencia para? :a; Engranes de desplazamiento angular sin

perdida :b; "ar en engranes sin perdida.

"ara mayor claridad, los engranes se ilustran desde un e%tremo. $eseamos representar la

figura /a como un sistema euivalente enθ

1 sin los engranes. En otras palabras,

*"ueden las impedancias mecánicas referirse desde la salida a la entrada, eliminando,

por tanto, los engranes

N1

θ2(t )

D G

T1(t)θ1(t )

N2

T1(t)(N2/N1) θ2(t )

D

G

T1(t)θ1(t ) De

Ge

J2 J1

:a; 4istema original

:b; 4istema euivale

en la salida desp

de referir el par

entrada.

J

J

:c;4istema euivalente

la entrada después

referir las impedancias

Je


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>igura /. 4istema rotacional impulsado por engranes.

donde

J e=J ( N 1 N 2 )2

De= D( N 1

N 2 )

2

Ge=G( N 1 N 2 )

2

$e la figura -b, C) puede referirse a la salida si se multiplica por B-'B). El resultado se

muestra en la figura /b, de la cual escribimos la ecuación de movimiento como?

( J s2+ Ds+G )θ2( s)=T

1 (s )

N 2

N 1(5)

continuación convertimosθ2(s) en un θ1(s) euivalente, de modo ue la

ecuación 1 se verá como si estuviera escrita en la entrada. 4i usamos la figura - para

obtenerθ2(s) en términos de θ1(s) , obtenemos

( J s2+ Ds+G ) N

1

N 2θ

1 (s )=T

1( s )

N 2

N 1(6)

después de simplificar

[J

( N 1 N

2 )2

s2+ D( N 1 N

2 )2

+G( N 1 N

2 )2

]θ1 (s )=T 1 ( s )(7)

+ue sugiere al sistema euivalente en la entrada sin engranes ue se muestra en la figura

/c. Entonces, la carga puede considerarse como ue ha sido referida desde la salida a la

entrada.

l generalizar los resultados, podemos hacer el siguiente enunciado?

Las impedancias mecánicas rotacionales se pueden referir en trenes de engranes si se

multiplica la impedancia mecánica por su cociente

( Número de dientes del engrane en el eje destino

Número de dientes del engrane en el eje fuente )2

donde la impedancia a referirse está unida al e#e fuente y se refiere al e#e destino.

N1

θ2(t ) J1


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D 2

G2

T1(t)θ1(t )

N2

T1(t)(N2/N1) θ2(t ) De

Ge

J e=J 1( N 2 N 1 )

2

+J 2

; De= D1( N 2 N 1 )

2

+ D2

; G e=G

T1(s)θ

2 (s)

>igura 0. 4istema mecánico rotacional con engranes.

SOLU"I#N: En este momento puede ser tentador buscar dos ecuaciones simultáneascorrespondientes a cada inercia. Las inercias, sin embargo, no e%perimentan movimientos

lineales independientes porue están unidas por los engranes. Entonces, e%iste solo un

grado de libertad y, por lo tanto, una ecuación de movimiento.

8efiramos primeramente las impedancias :F) y $); y el par :C); sobre el e#e de entrada

la salida, como se muestra en la figura 0b, donde las impedancias están referidas por

( N 2 N 1 )

2

y el par por

N 2

N 1 . La ecuación de movimiento se puede escribir ahora como?

(J e s2+ De s+Ge )θ2 ( s )=T 1 (s )

N 2

N 1(8)

donde

J e=J 1( N 2 N 1 )2

+J 2; De= D1( N 2 N

1 )2

yGe=G

l despe#ar

θ2 (s )

T 1(s ) se encuentra ue la función de transferencia es

:a; 4istema original

con engranes J2 J

:b; 4istema euival

después de referir pare

impedancias al e#e

salida. Je

:c; $iagrama de bloue N 2/ N 1J e s

2+ De+G e


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G ( s )= θ

2 (s )

T 1(s)

= N

2/ N

1

J e s2+ De s+Ge

(9)

&omo se ve en la figura 0c.

"ara eliminar los engranes con radios grandes, se utiliza un tren de engranes para poner en práctica grandes reducciones al poner en cascada reducciones más peue(as.

En la figura 1, se muestra un diagrama esuemático de un tren de engranes. $espués de

cada rotación, el desplazamiento angular relativo aθ

1 se ha calculado. $e la figura 1

θ4=

N 1 N

3 N

5

N 2 N 4 N 6θ

1(10)

Para trenes de engranes, concluimos que la reducción (de engranes) equivalente,

es el producto de las reducciones individuales.

N1

θ2(t )

N3

θ1(t )

N2 N5

θ4( t )

N4

θ3(t ) N6

Figura 5. Tren de engranes.

θ2 ( t )=

N 1

N 2θ

1(t )

θ3 ( t )= N 3

N 4θ2 (t )= N 1 N 3

N 2 N 4θ

1(t )

θ4 ( t )=

N 5

N 6θ

3 (t )=

N 1 N

3 N

5

N 2 N 4 N 6θ

1(t )


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EJEMPLO. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Y ENGRANES CON PÉRDIDAS.

PRO$LEMA. Encuentre la función de transferencia θ1(s)/T 1(s) para el sistema de la

figura :2a;

:a; N1 >igura 2. 4istema mecánico

con engranes y perdidas

J

2, D

2 N3

T 1(t )

θ1(t )

N2 D

3

J4

N4

De

(b)

T 1(t ) θ1(t )

T 1(s) θ1(s)

(c)

SOLU"I#N. Este sistema, ue utiliza un tren de engranes, no tiene engranes sin pérdida.Codos los engranes tienen inercia y para algunos hay fricción viscosa. "ara resolver el

problema, buscamos referir todas las impedancias al e#e de entrada,θ

1 . La reducción

:de engranes; no es la misma para todas las impedancias. "or e#emplo, $- está referido

J 1

, D1

J5

J e=J 1+( J 2+J 3 )( N 1 N 2 )

2

+( J 4+J 5 )( N 1 N 3 N 2 N

4 )

2

N 12

N 1 N 32

Je

1

je s2+ De s


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solo por una reducción como D

2( N 1 N 2 )

2

, mientras ue F0 y F1 están referidos por dos

reducciones como ( J 4+J 5)

(

N 1 N 3

N 2 N 4

)

2

. El resultado de referir todas las impedancias a

θ1 , se ilustra en la figura 2b, de la cual la ecuación de movimiento es

(J e s2+ De s )θ1 (s )=T 1 ( s )(11)

donde

J e=J 1+( J 2+J 3 )

(

N 1

N 2

)

2

+( J 4+J 5 )

(

N 1 N 3

N 2 N 4

)

2

y De= D1+ D2

(

N 1

N 2

)

2

+ D3

(

N 1 N 3

N 2 N 4

)

2

$e la ecuación :));, la función de transferencia es?

G ( s )= θ1(s )T

1(s)

= 1 je s

2+ De s

&omo se ilustra en la figura :2c;.


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PRO$LEMAS). "ara el sistema rotacional ue se muestra en la figura, encuentre la función de

transferencia,G ( s )=

θ2(s)T (s)

-. Encuentre la función de transferenciaG ( s )=

θ2(s)T (s) , para el sistema mecánico

rotacional ue se muestra en la figura.


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/. Encuentre la función de transferenciaG ( s )=

θ4(s)T (s) , para el sistema rotacional

ue se muestra en la figura.

0. "ara el sistema ue se muestra en la figura, encuentre la función de transferencia

G ( s )=θ L (s)T (s) .

1. "ara el sistema rotacional ue se muestra en la figura, escriba las ecuaciones demovimiento para las ue se puede encontrar la función de transferencia

G ( s )=θ1(s)

T (s)

2. $ado el sistema rotacional ue se ilustra en la figura, encuentre la función de

transferencia,G ( s )=

θ6(s )

θ1(s )


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3. $etermine si los siguientes sistemas mecánico y eléctrico son análogos?

5. Encuentre los análogos en serie y paralelo para el sistema mecánico traslacional

ue se muestra en la figura

6. Encuentre los análogos en serie y en paralelo para los sistemas mecánicos

rotacionales ue se muestran en la figura.

MODELADO POR ESPA"IO DE ESTADOS

Resumen


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En esta unidad se refirió a la representación en el espacio de estados de sistemas físicos,

ue tomaron la forma de una ecuación de estado,

x' = Ax+Bu(1)

G una ecuación de salida,

=Cx+ Du(2)

"arat ! t

0 , y condiciones iniciales x (t 0) . El vector x se llama vector de estado y

contiene variables, llamadas variables de estado. Las variables de estado se pueden

combinar algebraicamente con la entrada para formar la ecuación de salida, la :-;, de la

cual se pueden hallar las variables de cualuier otros sistemas. Las variables de estado,

ue pueden representar cantidades físicas como corriente o volta#e, se seleccionan para

ser linealmente independientes. La selección de las variables de estado no es !nica y

afecta la forma en ue las matrices A, B, C y D se ven.

En este capítulo, las funciones de transferencia estuvieron representadas en el espacio de

estados. La forma seleccionada fue la de variables de fase, ue consta de variables de

estado ue son derivadas sucesivas unas de otras. En el espacio de estados en tres

dimensiones, la matriz resultante del sistema, para la representación mediante las

variables de fase, es de la forma

[ 0 1 0

0 0 1

−a0 −a1 −a2](3)

$onde las ai son los coeficientes del polinomio característico o denominador de la

función de transferencia del sistema.

En conclusión, entonces, para sistemas lineales invariantes con el tiempo, la

representación en el espacio de estados es sólo otra forma de modelar matemáticamente

el sistema. Dna venta#a importante de aplicar la representación en el espacio de estados a

estos sistemas lineales es ue permite la simulación por computadora. La programación

del sistema en una computadora y la observación de la respuesta del sistema son una

herramienta de gran valor para el análisis y dise(o.

Pre%untas

). $e dos razones para modelar sistemas en el espacio de estados.-. E%prese una venta#a del método de función de transferencia sobre el método en el

espacio de estados./. $efina variables de estado.0. $efina estado


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1. $efina vector de estado2. $efina espacio de estados.3. *+ué es necesario para representar un sistema en el espacio de estados5. *&on cuántas ecuaciones de estado sería representado en el espacio de estados

un sistema de octavo orden

6. 4i las ecuaciones de estado son un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden cuya solución da las variables de estado, *cuál es entonces la función ue

realiza la ecuación de salida)7. *+ué significa independencia lineal)). *+ué factores influyen en la selección de las variables de estado en cualuier

sistema)-. *&uál es una selección conveniente de variables de estado para redes eléctricas13. 4i una red eléctrica tiene tres elementos ue almacenan energía, *es posible tener

una representación en el espacio de estados con más de tres variables de estado)0. *+ué significa la forma de las variables de fase de la ecuación de estado

Pro&lemas

). 8epresente la red eléctrica ilustrada en la figura en el espacio de estados, donde

" 0(T ) es la salida.


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-. 8epresente la red eléctrica ilustrada en la figura en el espacio de estados, donde

i R es la salida

/. Encuentre la representación en el espacio de estados de la red ue se ilustra en la

figura, si la salida es#0(t ) .

0. 8epresente el sistema ue se muestra en la figura en el espacio de estados,

donde la salida es x3( t )


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1. 8epresente el sistema mecánico traslacional ue se ilustra en la figura en el

espacio de estados, donde x1( t ) es la salida

2. 8epresente el sistema mecánico rotacional ue se ilustra en la figura, en el

espacio de estados, dondeθ

1 es la salida.


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3. 8epresente el sistema ue se muestra en la figura, en el espacio de estados,

donde la salida esθ L(t )

5. $emuestre ue el sistema de la figura produce una función de transferencia de

cuarto orden, si relacionamos el desplazamiento de cualuier masa con la fuerza

aplicada, y una de tercer orden si relacionamos la velocidad de cualuier masa

con la fuerza aplicada.

6. Encuentre la representación en el espacio de estados en forma de las variables de

fase para cada uno de los sistemas ue se muestran en la figura


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)7. "ara cada sistema ue se ilustra en la figura, escriba las ecuaciones de estado y

la ecuación de salida para la representación de las variables de fase.

)). 8epresente la siguiente función de transferencia en el espacio de estados. $é su

respuesta en forma matricial

12. Dado el servomoor ! "ar#a $%e se &l%sra' e' la (#%ra)re*rese'e el s&sema e' el es*a"&o de esados) do'de las

var&a+les de esado so' la "orr&e'e de armad%ra) ia ) el

des*la,am&e'o de "ar#a) θ L ) ! la velo"&dad a'#%lar de "ar#a)

$ L . S%*o'#a $%e la sal&da es el des*la,am&e'o a'#%lar de la

armad%ra. No des*re"&e la &'d%"a'"&a de la armad%ra.

1-. Co's&derar el s&sema me"'&"o de la (#%ra. S& el resore

es 'o l&'eal) ! la /%er,a % s ) re$%er&da *ara res&rar el resore


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es) % s=2 x12

, re*rese'ar la e"%a"&0' e' el es*a"&o de esado del

s&sema l&'eal&,ada alrededor de x1=1 s& la sal&da es x2 .

Ampli'iadores operaionales

U' am*l&("ador o*era"&o'al $%e se re*rese'a e' la (#%ra 1a es %'am*l&("ador ele"r0'&"o em*leado "omo eleme'o +s&"o de"o'sr%""&0' *ara *o'er e' *r"&"a /%'"&o'es de ra's/ere'"&a. T&e'elas s%&e'es "ara"er3s&"as4

1. E'rada d&/ere'"&al, #2(t )−#1(t )

2. Ala &m*eda'"&a de e'rada, & i=' (idea)

3. Ba5a &m*eda'"&a de sal&da, & 0=0 (idea)

6. Ala #a'a'"&a "o'sa'e de am*l&("a"&0', A= &deal

La sal&da, #0(t ) , es dada *or

#0 (t )= A [#

2 ( t )−#

1 (t )] (1)

Ampli'iador operaional in(ersor

S& #2 (t ) se *o'e a &erra) el am*l&("ador re"&+e el 'om+re de

am*l&("ador o*era"&o'al &'versor) "omo se &l%sra e' la (#%ra 1+.Para el am*l&("ador o*era"&o'al &'versor) e'emos

#0 ( t )=− A # i (t ) (2)

S& dos &m*eda'"&as se "o'e"a' al am*l&("ador o*era"&o'al &'versor

"omo se ve e' la (#%ra 1") *odemos ded%"&r %' &m*ora'eres%lado s& el am*l&("ador &e'e las "ara"er3s&"as


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F%ra 1. a Am*l&("ador o*era"&o'al7 + d&a#rama es$%em&"o

de %' am*l&("ador o*era"&o'al &'versor7 " el am*l&("ador

o*era"&o'al &'versor "o'(#%rado *ara real&,a"&0' de /%'"&0' de

ra's/ere'"&a. Por lo #e'eral) la #a'a'"&a del am*l&("ador) A) se

om&e.

me'"&o'adas al *r&'"&*&o de esa s%+se""&0'. S& la &m*eda'"&a dee'rada al am*l&("ador es ala) e'o'"es) *or la le! de "orr&e'es de

8&r"99o:) Ias ; < e I1s ; = I2s. Del m&smo modo) "omo la #a'a'"&a

A es ala) " 1 (t )=0 . E'o'"es) ( 1 (s )=" i(s)&

1(s)

, − ( 2 (s )=

" 0(s)&

2(s ) . I#%ala'do

las dos "orr&e'es)" 0(s)&

2(s)

=−" i(s)

& 1(s ) ) o la /%'"&0' de ra's/ere'"&a del

am*l&("ador o*era"&o'al &'versor "o'(#%rado "omo se ve e' la (#%ra1" es

" 0(s)

" i(s) =

−& 2( s )

& 1 (s ) (3)

E5em*lo. F%'"&0' de ra's/ere'"&a ! "&r"%&o am*l&("adoro*era"&o'al &'versor.


24/30

Pro+lema. E'"%e're la /%'"&0' de ra's/ere'"&a)" 0(s)" i(s) ) *ara el

"&r"%&o dado e' la (#%ra 2.

Sol%"&0' . La /%'"&0' de ra's/ere'"&a del "&r"%&o am*l&("adoro*era"&o'al es dada *or la e"%a"&0' -. Como las adm&a'"&as de los

"om*o'e'es e' *aralelo se s%ma') & 1 (s ) es el re"&*ro"o de la s%ma

de las adm&a'"&as) o sea

& 1 (s )=

1

C 1s+

1

R1

= 1

5.6 x 10−6s+

1

360 x103

= 360 x10

3

2.016 s+1(4)

Para & 2 (s ) ) las &m*eda'"&as se s%ma') o sea

& 2 (s )= R

2+ 1

C 2 s=220 x103+

107

s (5)

Al s%s&%&r las e"%a"&o'es 6 ! > e' la e"%a"&0' - ! s&m*l&("a'do)o+e'emos

" 0(s)" i(s)

=−1.232 s

2+45.95 s+22.55s

(6)

El "&r"%&o res%la'e se de'om&'a "o'rolador PID *ro*or"&o'al&'e#ral der&va&vo) ! se *%ede %sar *ara me5orar la o*era"&0' de %'

s&sema de "o'rol.

F%ra 2. C&r"%&o am*l&("ador o*era"&o'al &'versor *ara el

e5em*lo

Ampli'iador operaional no in(ersor


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Htro circuito ue se puede analizar por su función de transferencia es el circuito

amplificador operacional no inversor, ue se muestra en la figura :/;. continuación

deducimos la función de transferencia. Veamos ue

" 0 (s )= A [" i ( s )−" 1 ( s ) ](7)

"ero, al usar la división de volta#e,

" 1( s )=

& 1

& 1+& 2"

0 (s )(8)

l sustituir la ecuación :5; en la :3;, reacomodando y simplificando, obtenemos

" 0(s)" i(s)

= A

1+ A )

1

& 1+&

2

(9)

"ara de valor elevado, descartamos la unidad del denominador, y la ecuación :6; se

convierte en

" 0(s)" i(s)

=& 1+& 2

& 1

(10)

>igura /. &ircuito amplificador operacional no inversor

Veamos a continuación un e#emplo

E)emplo. *uni!n de trans'erenia + iruito ampli'iador operaional no in(ersor.


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Pro&lema. Encuentre la función de transferencia" 0(s)" i(s) para el circuito dado en la

figura :0;.

Solui!n. Encontramos cada una de las funciones de impedancia&

1

y&

2

, y luego

las sustituimos en la ecuación :)7;. Entonces

& 1= R

1+

1

C 1

s(11)

y & 2=

R2( 1C 2

s ) R

2+ 1

C 2

s

(12)

l sustituir las ecuaciones :)); y :)-; en la ecuación :)7;, resulta

" 0(s)" i(s)

=C 2 C 1 R2 R 1 s

2+(C 2 R2+C 1 R2+C 1 R1 ) s+1C

2C

1 R

2 R

1s

2+( C 2 R2+C 1 R 1 ) s+1(13)

>igura 0. &ircuito amplificador operacional no inversor para el e#emplo.


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Pro&lemas a resol(er.

). 4i&

1 es la impedancia de un condensador de 10 *% y&

2 es la

impedancia de un resistor de 100+, , encuentre la función de transferencia,

G ( s )=" 0(s)" i(s) si estos componentes se utilizan con a; un amplificador

operacional inversor y b; un amplificador no inversor como se ilustra en las figuras

:) c; y :/;, respectivamente.

-. Encuentre la función de transferencia,G ( s )=

" 0(s)" i(s) , para cada uno de los

circuitos amplificadores operacionales ue se ilustran en la figura :1;


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Figura 5. !r"be#a 2

/. Encuentre la función de transferencia,G ( s )=

" 0(s)" i(s) , para cada uno de los

circuitos amplificadores operacionales ue se ilustran en la figura :2;


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Figura 6. !r"be#a 3

0. 4i vi:t; es un volta#e escalón en la red ue se muestra en la figura. Encuentre el valor

del resistor tal ue se vea un -7I de sobretiro en volta#e entre las dos terminales delcapacitor, si & < )7J2 > y L < ) K.

1. "ara el circuito de la figura anterior, donde C =10 *% , encuentre los valores de 8 y L

para obtener )1I de sobretiro con un tiempo de asentamiento de - ms para el volta#e delcapacitor. La entrada vi:t; es un escalón unitario.

2. "ara el circuito de la figura, encuentre los valores de 8 - y & para obtener )1I desobretiro con un tiempo de asentamiento de ) ms para el volta#e entre las terminales delcapacitor con vi:t; como entrada de escalón.


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guia modelado segunda parte

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