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Guia do Professor ÁBACO E MUDANÇA DE BASE Introdução

Tomando como base os Parâmetros Curriculares Nacionais, iniciamos este guia enfatizando a importância do ensino de Matemática no Ensino Fundamental, uma vez que tal ciência nasceu de diversas necessidades dos homens desde a antiguidade, e está ligada direta ou indiretamente a todas as demais ciências, sendo de extrema importância para o cotidiano dos indivíduos, embora muitas vezes na escola, seja interpretada de maneira “aterrorizante” por grande parte dos alunos até os dias de hoje. Para que um educador possa promover um ensino de Matemática de qualidade e significativo para seus alunos, é de fundamental adotar uma postura crítica e autocrítica, revisando sua prática e os conteúdos abordados freqüentemente, vinculando as atividades matemáticas a atividades concretas a fim de favorecer o processo de abstração dos conceitos em seus alunos. Desta forma, deve considerar-se que as situações empíricas favorecem que uma transposição do concreto para o abstrato, instigando os alunos ao “exercício” do pensamento, da reflexão e depuração. É muito importante considerar que a Matemática é uma ciência abstrata, desenvolvida a partir de raciocínios lógicos, e por isto o ensino deve ser o mais contextualizado possível (Machado, 1991). Além disto, é de extrema importância que os alunos construam os conceitos de número já nas séries iniciais, a fim de que estes evoluam para que possam sair do concreto e avançar para os estágios de abstração.

Assim, os PCN (PCN 1, Matemática, p. 53), atentam para que o ensino de Matemática deve estimular a ler e escrever números, a fim de que o aluno conheça escrita posicional, utilizando o número como um instrumento para representação e resolução de situações quantitativas presentes no cotidiano, para compreensão das regras do sistema de numeração decimal. Para tanto, a Matemática deve ser utilizada no sentido de favorecer a construção do conhecimento por meio de uma sistematização de temas globais, pensados conjuntamente com a produção humana e onde os saberes sejam entendidos, assimilados e recriados pelos alunos, considerando-se estes pontos como procedimentos fundamentais para a formação do ser humano como sujeito na história.

Diante destas premissas, recorremos à história da numeração e atentos à importância de instrumentos como calculadoras e ábacos, escolhemos o tema “Ábaco”, por acreditamos que este pode contribuir significativamente para um trabalho construtivo com os números, especialmente com o sistema de numeração. Assim, o trabalho com ábaco deve ser contextualizado às necessidades cotidianas dos alunos, a fim de que estes utilizem os conceitos adquiridos às suas próprias experiências de vida. Tais conhecimentos só podem ser adquiridos por meio da observação, análise, comparação e interpretação (Oliveira, 1993), desde que os alunos sintam-se motivados para este exercício por meio desta ciência tão importante para nossas vidas: A Matemática. Desta forma, a partir do trabalho com ábaco em sala de aula, é possível favorecer que o aluno leia, escreva, compare e ordene notações numéricas, por meio da compreensão das características do sistema de numeração decimal que envolve base e valor posicional. Abaixo, seguem os objetivos que norteiam o trabalho com o ábaco.

Objetivos

• Identificar a base na contagem dos elementos de um agrupamento; • Utilizar o ábaco para representar conjuntos em algarismos; • Compreender o valor posicional dos dígitos de um número em uma determinada base; • Reconhecer que existem bases para os sistemas de numeração diferente de 10 (sobretudo as

bases 2, 8 e 16, utilizadas em sistemas computacionais); • Estabelecer uma relação entre as bases de numeração; • Realizar mudanças de bases numéricas; • Realizar operações simples (adição e subtração) na base 10 e em outras bases; • Reconhecer a evolução histórica dos sistemas de numeração; e • Compreender o sistema posicional decimal por meio da generalização e representação em

outras bases. Pré-requisitos Para a atividade é necessário que os alunos reconheçam as operações do sistema decimal, além de potências. O que recomenda o uso do OA com alunos a partir da 5ª série do Ensino Fundamental. Tempo previsto para a atividade A atividade poderá levar o tempo de 2 (duas) horas/aula, sendo importante utilizar atividades concretas e aulas expositivas antes e depois do trabalho com o OA. Na sala de aula

Na sala de aula você poderá resgatar com seus alunos a história dos sistemas de numeração e apresentar a eles diferentes sistemas como o Romano, o Egípcio, o Babilônico e o Maia.

É importante que os alunos compreendam, por exemplo, que o sistema Babilônico podia gerar ambigüidade, uma vez que era pouco prático por utilizar somente dois (2) símbolos e por ter uma base de contagem sexagesimal, ou seja, base sessenta (60).

Você também pode explicar para eles que a base de um número diz respeito à forma com que os seres humanos organizam os objetos para fazer uma contagem e que, após a contagem representam-lhes pela escrita. É importante dar exemplos de situações onde é mais conveniente contarmos em grupos diferentes de 10, como por exemplo, as dúzias ao fazer compras, os minutos e horas do relógio, os eventos cronológicos como as Olimpíadas e Copa do Mundo, as eleições e os dias da semana. Mais à frente os alunos poderão compreender que representar esses conjuntos em bases diferentes (12, 60, 4, 7...) facilita operar tais números.

Questões para discussão

As questões sugeridas devem servir como parâmetro, uma vez que diversos questionamentos poderão surgir na sala de aula. Aproveite-as!

• Por que contamos de 10 em 10? • Como se fala dez em Inglês? E em Espanhol? • Como se escreve dois em Inglês? E usando algarismos?

Dica: O objetivo dos questionamentos é estimular os alunos a perceber que a representação numérica decimal com algarismos indo-arábicos é idêntica em todos os lugares que a utilizam, independente da língua que falam ou de sua escrita.

• Como os romanos escreviam os números? • Como os computadores gravam os dados?

Dica: Neste caso é importante fazer os alunos refletirem sobre os diversos tipos de bases utilizadas em sistemas distintos.

Na sala de computadores

Preparação É interessante que o OA seja utilizado em grupos de no máximo três (3) alunos para que todos tenham a oportunidade de manipulá-lo. Para utilizá-lo você não precisará de nenhum outro material, porém, se julgar necessário e interessante, ou no caso de haver número de computadores insuficientes para os grupos de alunos, você poderá usar materiais concretos (ábaco, sorobam, calculadora) e outros materiais para sugestão de atividades diferentes que envolvam os sistemas de contagem. Uma sugestão interessante é pedir para que eles, utilizando objetos (como fichas, tampinhas de garrafa, pedras...), separem em grupos de um determinado número de elementos (base) e depois tentem representar o mesmo grupo inicial com uma quantidade reduzida de objetos. Exemplo: Como é possível usar no máximo 10 fichas para representar um conjunto que contém X fichas? Material necessário

Para atividades complementares, cartolina, tesoura, lápis colorido, e objetos que possam ser contados (tampinhas de garrafa, pedras, feijões, entre outros) são interessantes, além de um quadro branco e caneta específica para auxiliar nas explanações. Para o uso do OA é essencial o computador e, como auxiliares, lápis e papel para eventuais anotações. Requerimentos técnicos

Para utilização do OA é necessário navegador WEB com plug-in do Adobe Flash MX ou superior. Dica: o plug-in está disponível em <www.adobe.com.br>

Durante a atividade

Ao abrir o OA a primeira tela que aparece é a de seleção das atividades, com as seguintes opções possíveis: Contagem, Mudança de Base, Operações e Sair. Veja na figura abaixo:

Contagem: No canto superior esquerdo da tela o aluno deve entrar com um número qualquer e escolher a base que pretende trabalhar usando os botões e . A menor base disponível é a dois (2) e a maior é a dezesseis (16), sendo que para representar os números: 10, 11, 12, 13, 14 e 15 da base 10 em bases superiores, são utilizados os caracteres a, b, c, d e f. Todos os outros números apresentados na interface do ábaco estão escritos na base 10.

Ao clicar no botão , aparecerá no quadro superior a quantidade equivalente ao número fornecido de contas azuis. O aluno pode entrar com um número ou mudar a base a qualquer momento, sendo necessário confirmar a mudança clicando no botão . Este botão também pode ser usado para reiniciar a atividade, zerando todas as colunas do ábaco e redefinindo as contas no quadro superior.

Pode-se usar os botões de rolagem para visualizar todas as contas do quadro superior. Sendo que eles possuem as seguintes ações:

Rolar para cima.

Restaurar posição inicial.

Rolar para baixo O aluno deve então selecionar uma base para o ábaco, no campo “base” no canto inferior esquerdo da tela, usando os botões e . O Objetivo é converter o número para esta base usando o conjunto de contas azuis como intermediário. A base do ábaco poderá ser alterada a qualquer momento, sendo que a cada alteração o aluno recupera as contas no quadro superior e limpa as colunas do ábaco.

Para inserir ou remover contas em uma determinada coluna deve-se usar os botões (mais) e (menos) , e o número abaixo de cada coluna indica seu índice. Cada conta adicionada a uma coluna corresponde a baseíndice contas do quadro superior. As contas inseridas ou removidas de uma coluna são automaticamente atualizadas no quadro superior. Porém o aluno pode inserir uma conta cujo valor seja maior que o número de contas azuis no quadro superior. Se isso acontecer, ao clicar no botão (menos) o número de contas azuis, equivalente àquela coluna, será adicionado no quadro superior, mesmo que o conjunto não corresponda mais ao número entrado. Nenhuma mensagem de erro é mostrada quando isso acontece, pois intenciona-se que o aluno perceba que há algo errado na operação, tendo a oportunidade de depurar o erro para iniciar novamente a atividade ou prosseguir. As contas da coluna 0 (zero) são verdes , as da coluna 1 (um) são amarelas e as da coluna 2 (dois) são vermelhas , as demais colunas repetem essa ordem para facilitar a visualização do ábaco e destacar o valor posicional de cada coluna. Quando o número de contas em uma coluna for o máximo, ao adicionar mais uma conta, ela será zerada e uma conta é transferida para a coluna mais a esquerda.

Se o aluno escolher um número muito grande é possível adicionar mais colunas ao ábaco utilizando

o botão e os botões e para rolar as colunas.

Para obter ajuda sobre o funcionamento de um botão, passe o mouse sobre ele e uma mensagem aparecerá na caixa de ajuda.

Para saber mais detalhes sobre o funcionamento da atividade utilize o botão e uma descrição sobre a atividade aparecerá na tela. Ao término da operação o aluno deve converter o valor do ábaco para algarismos indo-arábicos utilizando as letras a, b, c, d e f, representando respectivamente 10, 11, 12, 13, 14 e 15, e inserir o valor encontrado no campo saída para confirmar o término da atividade utilizando o botão do referido campo.

Dica: Você pode orientar seus alunos para o uso do zero (0) a fim de representar uma coluna vazia e como seria ambíguo representar números sem o uso desse símbolo.

Dependendo da resposta, será exibida uma das mensagens: Quando a conversão de base estiver correta:

Texto: Correto. A representação na base <base de saída> do número <número de entrada> na

base <base de entrada> é <saída>.

Quando a saída digitada não corresponder ao valor atual do ábaco:

Texto: A saída digitada não corresponde a representação do ábaco.

Quando a saída digitada corresponder ao valor atual do ábaco, mas a representação na base de saída estiver errada.

Texto: O valor digitado corresponde ao ábaco, mas não é a resposta correta.

Nas três mensagens os botões , e , executam respectivamente: Volta a atividade do ponto onde havia parado. Limpa todos os campos. Limpa as colunas e restaura as contas do quadro superior. O botão , fecha a atividade e retorna ao menu principal.

Mudança de Base: Os componentes desta atividade funcionam como os da atividade de “Contagem”. Nesta tela temos dois ábacos e o objetivo é entrar com um número direto no ábaco superior e converter para uma outra base usando o ábaco inferior. Espera-se que os alunos compreendam o conceito de valor posicional das colunas visualizando as mudanças ocorridas ao adicionar e remover contas das colunas. A atividade deve ser executada como segue: O aluno escolhe a base dos ábacos usando os campos:

Posteriormente, entra com um número no ábaco superior usando os botões (mais) e (menos)

. Para passar uma conta para o ábaco inferior deve-se usar a coluna zero de um dos ábacos. Vale como entrada o valor do ábaco superior imediatamente antes de ser efetuada a primeira transferência entre os ábacos. Este número será exibido no campo “Entrada” no menu lateral. No ábaco superior:

Ao clicar no botão (menos) a conta é adicionada ao ábaco inferior e removida da coluna e ao clicar no botão (mais) uma conta é removida do ábaco inferior e adicionada a coluna. Vale o inverso para o ábaco inferior. Nas demais colunas, ao se clicar no botão (mais) , uma conta é adicionada a coluna e ao clicar no botão (menos) uma conta é removida da coluna. Todas as colunas da direita são preenchidas e uma conta é adicionada à coluna zero do ábaco inferior. Mas para isso as colunas à direita devem estar vazias, caso contrário, será exibido uma mensagem de erro como segue: Não foi possível remover a conta. Esvazie as colunas a direita.

Pode-se adicionar contas às colunas livremente, porém ao retirá-las estas serão transferidas para o ábaco inferior. Tal procedimento dificulta a correção de erros, pois as contas precisarão ser transferidas ao ábaco inferior para depois serem removidas. Se uma conta foi adicionada por engano pode-se usar o botão confirmar e escolher a opção de reiniciar a tela. No ábaco inferior: Este ábaco funciona como o ábaco da atividade de “Contagem”, exceto pelo funcionamento da coluna 0 (zero), onde as contas adicionadas e removidas são transferidas para a coluna 0 (zero) do ábaco superior. Ao remover contas das colunas diferentes de zero o ábaco superior não é alterado. Ao término dessa atividade o aluno deverá converter a representação do ábaco em algarismos indo-arábicos e inserir o resultado no campo Saída.

Ao clicar no botão , ele terá uma das respostas: Quando a conversão de base estiver correta:

Texto: Correto. A representação na base <base de saída> do número <número de entrada> na

base <base de entrada> é <saída>.

Quando a saída digitada não corresponder ao valor atual do ábaco inferior:

Texto: A saída digitada não corresponde a representação do ábaco.



Nas três mensagens os botões , e , executam respectivamente: Volta a atividade do ponto onde havia parado. Limpa todos os campos. Limpa as colunas e restaura o ábaco superior. Observe nas figuras abaixo:

A seguir será apresentada a última atividade.

Operações: Nesta atividade o aluno deve escolher uma base e inserir dois números no campo Entrada. O número de contas no ábaco muda de acordo com a base.

Após tal procedimento, ele deve selecionar uma das operações: soma ou subtração.

O aluno deve então representar o primeiro número no ábaco e realizar a operação que deseja. Para deslizar uma conta sobre uma coluna deve-se clicar na conta desejada. Quando o aluno obtiver o resultado da operação deve digitá-lo no campo Saída e clicar no botão .

De acordo com sua resposta ele recebera uma das seguintes mensagens: Quando a conversão de base estiver correta:

Texto: A operação está correta.

Quando a saída digitada não corresponder ao valor atual do ábaco inferior:

Texto:A operação está incorreta.



Nas três mensagens os botões , e , executam respectivamente: Volta a atividade do ponto onde havia parado. Limpa todos os campos. Limpa as colunas e restaura o ábaco superior.

Dica: Durante a atividade sugira números fáceis de operar aos seus alunos, como números de um ou dois dígitos. Depois passe para números com maior grau de dificuldade, assim o processo de depuração permitirá que os alunos formalizem os conceitos. De preferência a começar a atividade usando a base 10, depois passe para as bases menores e por último para as bases maiores.

Depois da atividade

Questões para discussão

É importante discutir com os alunos o valor que cada conta no ábaco que representa um determinado conjunto. E que em cada coluna esse valor muda. Questione o por quê desse valor mudar em cada coluna e por que em cada base ele assume um valor diferente. Assim, o principal objetivo do OA, que é formalizar por meio da abstração e da representação de outras bases o sistema decimal indo-arábico, será alcançado.

Dica Este OA poderá ser usado para demonstrar de maneira intuitiva as transformações de bases para alunos de ensino técnico de áreas onde utiliza-se representação binária, octal e hexadecimal, como em cursos Técnicos de Informática. Caso algum aluno precise de recursos para acessibilidade, o Microsoft Windows possui diversas configurações de acessibilidade, duas delas muito úteis. São elas:

Lente de Aumento: amplia uma região da tela. Iniciar -> Programas -> Acessórios -> Acessibilidade -> Lente de aumento Start -> Programs -> Acessories -> Acessibility -> Magnifier

Teclado para mouse: possibilita mover o cursor utilizando o teclado numérico. Iniciar/Configurações/Painel de controle/Opções de Acessibilidade/Mouse/Usar as teclas para mouse Start/Settings/Control Panel/Acessibility Options/Mouse/Use MouseKeys

Avaliação

Espera-se que após o trabalho com o OA e suas diferentes atividades os alunos construam conceitos, uma vez que o uso deste tipo de ferramenta propicia a compreensão dos processos que configuram cada atividade, pois é possível que os alunos construam estratégias, construam hipóteses e analisem os resultados, analisando e depurando cada etapa realizada.

Entendemos que o processo de avaliação é uma parte do processo de ensino e aprendizagem, mas não é um fim, e sim um meio de análise de como os alunos construíram o conhecimento. Para avaliarmos é importante considerar diversos aspectos relativos ao: interesse dos alunos, aquisição dos conceitos, domínio dos procedimentos e desenvolvimento de atitudes na realização das atividades propostas com o OA. Sugerimos que atividades complementares sejam utilizadas apenas como elementos de seleção e dimensionamento de conteúdos. Atentos aos PCN, ao final do processo espera-se que os alunos realizem cálculos mentais ou escritos e exatos ou aproximados, construindo estratégias variadas, porém compreendendo os processos nelas envolvidos, onde o ábaco é utilizado para verificar e controlar resultados.

Atividades complementares

Após o uso do OA você poderá solicitar que os alunos escolham uma base e criem um

conjunto de símbolos para ela e que, depois convertam números do sistema decimal Indo-arábico para a base escolhida usando os símbolos (algarismos) inventados.

Depois de usar o OA você pode formalizar os conceitos de mudança de base e trabalhar com os algoritmos de conversão, usando a notação posicional em potências da base. Ex. 1235 = 1x103+2x102+3x101+5x100

Para saber mais BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros

Curriculares Nacionais: matemática. Brasília: MEC/SEF. 1997. BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental. Referencial

curricular nacional para a educação infantil. 2 v. Brasília: MEC/SEF. 1998. ABACUS, The art of calculating with beads. <http://www.ee.ryerson.ca/~elf/abacus/> EVES, Howard, Introdução à História da Matemática, Unicamp, Campinas, 1997. MACHADO, N.J. Matemática e Realidade: análise dos pressupostos que fundamentam o ensino de Matemática. São Paulo: Cortez: Autores Associados, 1991. OLIVEIRA, J.C.G. A Matemática no Currículo Escolar. Rio Claro/SP: Bolema, ano 8, pp. 17 a 22, 1993.

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