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Guia do professor

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geometria e medidas

Objetivos da unidadeDesenvolver a habilidade para utilizar um transferidor;1. Apresentar, experimentalmente, a noção de tangente 2. de um ângulo;Usar a noção de tangente para medir uma altura inacessível.3.

Guia do professor

SinopseExperimentalmente os alunos serão expostos ao significado da tangente de um ângulo interno do triângulo retângulo. Esse novo conceito será usado para, depois de construir uma ferramenta capaz de medir ângulos verticais, encontrar a altura de objetos como antenas, árvores, prédios ou postes.

ConteúdosTrigonometria no triângulo retângulo, Função Tangente. �

ObjetivosDesenvolver a habilidade para utilizar um transferidor;1. Apresentar, experimentalmente, a noção de tangente de um ângulo;2. Usar a noção de tangente para medir uma altura inacessível.3.

DuraçãoUma aula dupla.

A altura da árvore

A preocupação em medir distâncias acompanha o homem desde os tempos mais remotos: o trabalho dos cartógrafos em descobrir a extensão do pla-neta, os limites dos países, as suas distâncias até o mar etc. Distâncias pequenas são mais simples de se calcular, mas quando se deseja medir distâncias inacessíveis, como a largura de um rio ou a altura de um prédio, por exemplo, utilizamos instrumentos denominados teodolitos. Nesta atividade, pretendemos medir a altura de uma árvore utilizando um instrumento rudimentar que denominaremos medidor de ângulos, cons-truído com um transferidor, um canudinho para visor e um fi o de prumo. Seguiremos os seguintes passos no roteiro: no início, investigaremos experimentalmente a noção de tangente; em seguida, construiremos o medidor de ângulos para medir a altura de uma árvore.

A idéia de medir alturas inacessíveis pode ser algo motivador para os alunos. O uso de instrumentos simples construídos pelos próprios alunos e o desenvolvimento de uma atividade ao ar livre são elementos que contri-buem para que o desenvolvimento dos conteúdos matemáticos pertinentes a esta atividade ocorram de maneira natural e signifi cativa.

Comentários iniciais

A primeira etapa da atividade destina-se a dar subsídios para a construção do conceito de tangente de um ângulo. Deve fi car muito claro para o aluno, ao fi nal da atividade, que a razão entre as medidas dos catetos de um triângulo retângulo depende apenas do ângulo em questão, e não das medidas dos lados do triângulo. Nas etapas posteriores, esse conceito é aplicado numa situação prática.

Tangente de qualquer ângulo

Com relação à defi nição de tangente de um ângulo, é importante deixar claro ao aluno que: Dado um triângulo , retângulo em como na fi gura, podemos verifi car que os triângulos e são semelhantes pelo caso aaa. Podemos afi rmar ainda que, para quaisquer pontos e pertencentes às semirretas e , respectivamente, com o segmento perpendicular à semi-reta , teremos as relações:

onde é uma constante denominada tangente do ângulo de medida .

fig. 1

O α

A

B

X

Y

Quando representamos o gráfi co de uma reta em um plano cartesiano, a partir das coordenadas de dois de seus pontos, obtemos a tangente do ângulo defi nido pela reta e o eixo . Assim se estabelece a seguinte relação:

tg , denominada coefi ciente angular da reta.

Encontrar um ângulo a partir de sua tangente

Para resolver equações envolvendo a tangente, ou seja, para descobrir a medida de um ângulo do qual conhecemos a tangente, nós precisamos de uma função inversa da tangente. Por exemplo, suponhamos que queiramos resolver tg , isto é, encontrar um arco cuja tangente é 0,8.

Ampliações do conceito de tangente de um ângulo

fig. 2

y

rB

A αyA

0

yB

xA xB

x

Na calculadora, a tecla da função tangente é a tecla tan ou tan (algumas vezes encontramos tg). A função arco tangente costuma aparecer na mesma tecla, precedida por “shift”. Pode ser indicada acima da tecla por atan ou tan−¹. É importante notar que o valor fornecido pela calculadora refere-se ao intervalo . Observando o gráfi co da função tangente, entretanto, vemos que existem vários ângulos cuja tangente é igual a 0,8.

0,8

0 π⁄2–π⁄2–π π

fig. 3

A função arco tangente

Para defi nir a função arco tangente, é necessário escolher um intervalo onde exista apenas um ângulo cuja tangente seja igual a 0,8. Fazendo isso, escolhemos um intervalo no eixo x que produz todos os valores da função tangente uma única vez, o intervalo aberto , .

0,8

0 π⁄2–π⁄2–π π

fig. 4

Em verde, o gráfi co de tg , . A função inversa da tangente, também chamada função arco tangente , é denotada por tg ou arctg ou tan ou arctan . Escrevemos tg se e somente se tg e . O domínio da função inversa é e seu contradomínio é

, . As calculadoras possuem a tecla tan–¹ para a função arco tangente. Por exemplo, digitando 1 e em seguida tan–¹ aparece no visor 45° ou 0,785398, que é π⁄4 radianos. Verifi que:tg � ;arctg � ;arctg � .

No triângulo retângulo, o ângulo fi ca restrito. Ele varia de zero a , . Neste caso, a tangente assume valores de 0 até .

O “medidor de ângulos”

Esta etapa consiste basicamente de atividades de recorte e colagem. Apesar de envolver procedimentos simples, deve ser dada atenção especial à necessidade de construir o aparelho com precisão e meticulosidade, uma vez que este é um momento importante para desenvolver habilidades motoras.

A altura da árvore

O problema da medida da árvore é bastante simples. A atenção principal estará na obtenção do ângulo de visada a partir da leitura do medidor. Uma possível questão a ser colocada é se é possível construir um medidor de ângulos que forneça direto a medida do ângulo de visada, sem a neces-sidade do cálculo do complemento. Estimule os alunos a se envolverem com essa questão! O problema pode ser resolvido se for construída uma escala invertida, como na fi gura abaixo.

fig. 5

10

2030

4050

60 70 80

Nas diversas etapas propostas deste experimento, o aluno é convidado se envolver com o experimento em diversos níveis. Neste sentido, há a possibilidade de se desenvolver uma atividade de ensino contextualizada, na qual o aluno poderá manifestar ou adquirir diferentes habilidades pessoais que poderão, ainda, ser compartilhadas com seus colegas e professores. Destacamos a apresentação de uma questão histórica pertinente a este assunto e também a possibilidade de aumentar o número de maneiras de se construir um medidor de ângulos, como citado na etapa 3 deste guia. Embora o primeiro medidor possibilite uma discussão matemática mais abrangente, o professor poderá fazer sua opção de uso.

Um problema clássico da história da Matemática pode ser resolvido a partir da construção do quadrante, conforme ilustrado na fi gura abaixo.

fig. 6

Observando a fi gura, percebemos que o homem observava a torre numa situação inicial em que o ângulo marcado no quadrante era de 25°. Após caminhar 246 unidades em direção à torre, passou a observá-la segundo um ângulo de 50°. Partindo desses dados, como podemos determinar a altura da torre sem considerar a altura do homem? Este problema precisa ser resolvido com auxílio de uma calculadora científi ca ou de uma tábua de razões trigonométricas. Podemos expressá-lo da seguinte maneira:

fig. 7

h

d 246

25°50°

Assim,

tgtg

(I)

tgtg

tg (II)

Igualando (I) e (II)

tgtg

tg tgtg tg

sabendo que tg e que tg

tg tgtg tg

unidades.

Carmo, Perdigão do Carmo; Morgado Augusto César; Wagner, Eduardo. Trigonometria Números Complexos. sbm, 1992.

Iezzi, Gelson. Fundamentos de matemática elementar 32: trigonometria. 7ª ed, São Paulo: Atual, 1993.

Lima, Elon Lages Lima; Carvalho, Paulo C P; Wagner, Eduardo; Morgado, Augusto César. Temas e Problemas. sbm, 2003

Lima, Elon Lages Lima; Carvalho, Paulo C P; Wagner, Eduardo; Morgado, Augusto César. Temas e Problemas Elementares. sbm, 2005.

Queiroz, Maria Lucia B.; Rezende, Eliane Q.F. Geometria Euclidiana Plana

e Construções Geométricas. Campinas, SP: Editora da Unicamp;São Paulo, SP: Imprensa Oficial, 2000.

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Matemática MultimídiaCoordenador GeralSamuel Rocha de OliveiraCoordenador de ExperimentosLeonardo Barichello

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc – unicamp)DiretorJayme Vaz Jr.Vice-DiretorEdmundo Capelas de Oliveira

Universidade Estadual de CampinasReitorFernando Ferreira CostaVice-ReitorEdgar Salvadori de DeccaPró-Reitor de Pós-GraduaçãoEuclides de Mesquita Neto

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AutoresMaria Zoraide M. C. Soares, Miriam Sampieri Santinho, Rosa Maria Machado e Wilson Roberto Rodrigues.

RevisoresMatemáticaAntônio Carlos do PatrocínioLíngua PortuguesaCarolina BonturiPedagogiaÂngela Soligo

Projeto gráfico e ilustrações técnicas Preface Design FotógrafoAugusto Fidalgo Yamamoto