guia de matemática ii.docx

Lima – Perú

2014

M a t e m á t i c a I I

AUTOR: ING. OSCAR PAIBA

Matemática II | Guía del Estudiante | 2

MATEMATICA II

GUÍA DEL ESTUDIANTE

© MATEMÁTICA II

GUÍA DEL ESTUDIANTE P r o h i b i d a l a r e p r o d u c c i ó n p a r c i a l o t o t a l d e

e s t a o b r a p o r c u a l q u i e r m e d i o , s i n a u t o r i z a c i ó n e s c r i t a d e l A u t o r .

© Derechos Reservados 2014

Cuarta Edición

© Universidad Científica del Sur

© Área de Matemática

Universidad Científica del Sur S.A.C.

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autorización será en hoja aparte y firmada y adosada a este material. Todo compromiso suscrito aparte, no se

refiere a este manual. Queda exento del compromiso, el fotocopiado interno en una cantidad no mayor de 100,

sólo para uso con fines educativos y sin lucro.

MBA Rolando Vallejo Cortéz Presidente Ejecutivo

MBA Luis Pérez Del Solar Vicepresidente Ejecutivo

Dr. José Amiel Pérez Rector

Dra. Josefina Takahashi Vicerrectora Académica

M Sc. Alejandro Fukusaki Coordinador de cursos Básicos de Ciencias

Ing. José Dávila Coordinador del área de Matemática

Autor Ing. Oscar Paiba


E l e s t u d i o d e e s t a g u í a d e

p r á c t i c a p e r m i t i r á :

Obtener información de los

diferentes temas del curso de

Matemática II, de acuerdo al perfil

profesional.

Que se use en el desarrollo de los

temas del curso tanto en la teoría

como en la práctica de los ejercicios

y problemas aplicativos.

Disponer de ejercicios propuestos.

Disponer de problemas de

Aplicación.

OBJETIVOS


1. Capítulo 1: Integral Indefinida

1.1. La antiderivada.

1.1.1. Propiedades de la Integral Indefinida

1.1.2. Fórmulas de Integración.

1.1.3. Integración inmediata

1.2. Métodos de Integración

1.2.1. Por sustitución o cambio de variable

1.2.2. Integración por partes

1.2.3. De funciones trigonométricas

1.2.4. Por sustitución trigonométrica

1.2.5. De funciones racionales

1.2.6. Integrales especiales

1.3. Problemas propuestos

2. Capítulo 2: Integral definida

2.1. Introducción

2.2. Cálculo de áreas de regiones planas

2.3. Cálculo del volumen. Sólidos de revolución

2.3.1. Método del disco o método de las rebanadas


2.3.2. Método del anillo o método de la arandela

2.3.3. Método de la corteza cilíndrica

2.4. Longitud de Arco


3. Capítulo 3: Integrales Impropias.

3.1. Integrales impropias con límites infinitos

3.2. Integrales impropias con límites finitos

3.3. Cálculo de áreas


4. Bibliografía

5. Anexos

5.1. Ejercicios propuestos en evaluaciones anteriores.


1.1 . La Ant ider ivada

Una función F se l l ama ant ider ivada de una función f en un

in te rva lo I; s i F’(x) = f (x) para todo va lor de x en I .

Ej emplo 1 :

S i 𝑭(𝒙) = 𝟕𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝟓

𝒇´(𝒙) = 𝟐𝟏𝒙𝟐 − 𝟒𝒙

Entonces : 𝒇(𝒙) = 𝟐𝟏𝒙𝟐 − 𝟒𝒙

Y dec imos que 𝒇(𝒙) es l a der ivada de 𝑭(𝒙) y 𝑭(𝒙) es l a an t ider ivada

(pr imi t iva o función or iginal ) de 𝒇(𝒙).

Ej emplo 2 :

S i 𝑮(𝒙) = 𝟕𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝒄

𝒈´(𝒙) = 𝟐𝟏𝒙𝟐 − 𝟒𝒙

𝒈(𝒙) = 𝟐𝟏𝒙𝟐 − 𝟒𝒙

En genera l , s i una función F(x) es una ant ider ivada de una función

f (x) en un interva lo I y s i G(x) es tá def inida por:

G(x) = F(x) + C

Donde “C” es una cons tante a rbi t rar ia , entonces , der ivando:

G’(x) = F’ (x) = f (x)

G(x) t ambién es una ant ider ivada de f en e l in te rva lo I .

La Integral Indef inida

La In tegra l Indef inida o ant idi fe renc iación , es e l proceso de

encont rar l a ant ider ivada más general de una función dada y se

denota así :

∫𝐟(𝐱)𝐝𝐱 = 𝐅(𝐱) + 𝐂


Donde: (F(x) + C)’ = f (x)

𝐱 = var iable de integración

𝐟(𝐱) = in tegrando

𝐟(𝐱)𝐝𝐱 = e lemento de integración

∫. = s ímbolo de la in tegra l

∫ 𝐟(𝐱)𝐝𝐱 = in tegra l de f (x) di fe renc ial de x

𝐅(𝐱) = in tegra l par t icu lar

𝐅(𝐱) + 𝐂 = In tegra l Indef in ida .

𝐂 = cons tante de integración arbi t rar ia e indef in ida

1.1 .1 . Propiedades de la Integral Indef inida.

- Derivada de una integral:

𝐝

𝐝𝐱(∫𝐟(𝐱)𝐝𝐱) = (∫ 𝐟(𝐱)𝐝𝐱)

′

= (𝐅(𝐱) + 𝐂)′ = 𝐅′(𝐱) + 𝐂′ = 𝐟(𝐱)

“La der ivada de una in tegra l indef in ida , es igua l a l integrando”

- Diferencia l de una integral :

𝐝(∫ 𝐟(𝐱)𝐝𝐱) = (∫ 𝐟(𝐱)𝐝𝐱)′

𝐝𝐱 = 𝐟(𝐱)𝐝𝐱

“El di fe rencia l de una integral indef in ida , es igua l a l e lemento de

in tegrac ión”

S i 𝐟(𝐱) es función der ivable en el in te rva lo I

Di ferenciando 𝐝(𝐟(𝐱)) = (𝐟(𝐱))′𝐝𝐱 = 𝐟′(𝐱)𝐝𝐱

Entonces : ∫ 𝐟′(𝐱)𝐝𝐱 = ∫ 𝐝(𝐟(𝐱)) = 𝐟(𝐱) + 𝐜

“La in tegra l indef in ida , es una operación inversa a la

d i ferenc iac ión”

Ej emplo 3 :

Sea la función: 𝒇(𝒙) = 𝒙. 𝐥𝐧 𝒙 − 𝒙


Diferenciando: 𝒅𝒇(𝒙) = 𝒅(𝒙. 𝒍𝒏𝒙 − 𝒙) = 𝒍𝒏𝒙. 𝒅𝒙

Entonces ∫𝒅(𝒙. 𝒍𝒏𝒙 − 𝒙) = ∫ 𝒍𝒏𝒙. 𝒅𝒙 = 𝒙. 𝒍𝒏𝒙 − 𝒙 + 𝒄

- Producto de una constante por una función:

∫𝒂. 𝑢. 𝑑𝑢 = 𝒂 ∫ 𝑢. 𝑑 𝑢

- Suma algebraica de 2 o más funciones:

∫(𝑢𝑑𝑢 ± 𝑣 𝑑𝑣 ± 𝑤𝑑𝑤) = ∫ 𝑢𝑑𝑢 ± ∫ 𝑣𝑑𝑣 ± ∫𝑤𝑑𝑤

1.1 .2 . Fórmulas bás icas de integración.

(u, v , w = funciones ; a, n , c = constantes)

1. ∫𝐝𝐮 = 𝐮 + 𝐜

2. ∫𝐮𝐧𝐝𝐮 =𝐮𝐧+𝟏

𝐧 + 𝟏+ 𝐜 , 𝐬𝐢 𝐧 ≠ −𝟏

3. ∫𝐝𝐮

𝐮= ∫

𝟏

𝐮𝐝𝐮 = 𝐥𝐧|𝐮| + 𝐜

4. ∫ 𝐞𝐮𝐝𝐮 = 𝐞𝐮 + 𝐜

5. ∫𝐚𝐮𝐝𝐮 =𝐚𝐮

𝐥𝐧𝐚+ 𝐜

6. ∫ 𝐬𝐞𝐧(𝐮)𝐝𝐮 = −𝐜𝐨𝐬 (𝐮) + 𝐜

7. ∫ 𝐜𝐨𝐬(𝐮)𝐝𝐮 = 𝐬𝐞𝐧(𝐮) + 𝐜

8. ∫ 𝐭𝐠(𝐮)𝐝𝐮 = 𝐥𝐧|𝐬𝐞𝐜 𝐮| + 𝐜 = −𝐥𝐧|𝐜𝐨𝐬 𝐮| + 𝐜

9. ∫ 𝐜𝐭𝐠(𝐮)𝐝𝐮 = 𝐥𝐧|𝐬𝐞𝐧 𝐮| + 𝐜

10. ∫ 𝐬𝐞𝐜(𝐮)𝐝𝐮 = 𝐥𝐧|𝐬𝐞𝐜 𝐮 + 𝐭𝐠 𝐮| + 𝐜 = 𝒍𝒏. 𝒕𝒈 (𝒖

𝟐+𝝅

𝟒)

11. ∫ 𝐬𝐞𝐜𝟐(𝐮)𝐝𝐮 = 𝐭𝐠(𝐮) + 𝐜

12. ∫ 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜(𝐮)𝐝𝐮 = 𝐥𝐧|𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜 𝐮 − 𝐜𝐨𝐭𝐠 𝐮| + 𝐜 = 𝐥𝐧 |𝐭𝐠 𝐮

𝟐| + 𝐜

13. ∫ 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜𝟐(𝐮)𝐝𝐮 = −𝐜𝐭𝐠 (𝐮) + 𝐜


14. ∫𝐝𝐮

𝐮𝟐 + 𝐚𝟐 =

𝟏

𝐚𝐚𝐫𝐜𝐭𝐠 (

𝐮

𝐚) + 𝐜 , 𝐚 > 0

15. ∫𝐝𝐮

𝐮𝟐 − 𝐚𝟐 =

𝟏

𝟐𝐚𝐥𝐧 |

𝐮 − 𝐚

𝐮 + 𝐚| + 𝐜 , 𝐚 > 0

16. ∫𝐝𝐮

𝐚𝟐 − 𝐮𝟐 =

𝟏

𝟐𝐚𝐥𝐧 |

𝐚 + 𝐮

𝐚 − 𝐮| + 𝐜 , 𝐚 > 0

17. ∫𝒅𝒖

√𝒂𝟐 − 𝒖𝟐 = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏(

𝒖

𝒂) + 𝒄 , 𝒂 > 0

18. ∫𝐝𝐮

√𝐮𝟐 ± 𝐚𝟐 = 𝐥𝐧 |𝐮 + √𝐮𝟐 ± 𝐚𝟐| + 𝐜

19. ∫√𝐚𝟐 − 𝐮𝟐 𝐝𝐮 = 𝟏

𝟐(𝐮√𝐚𝟐 − 𝐮𝟐 + 𝐚𝟐𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧

𝐮

𝐚) + 𝐜

20. ∫𝐝𝐮

𝐮√𝐮𝟐 − 𝐚𝟐 =

𝟏

𝐚𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐜 |

𝐮

𝐚| + 𝐜, 𝐚 > 0

21. ∫√𝐮𝟐 ± 𝐚𝟐𝐝𝐮 = 𝟏

𝟐(𝐮√𝐮𝟐 ± 𝐚𝟐 ± 𝐚𝟐𝐥𝐧 |𝐮 + √𝐮𝟐 ± 𝐚𝟐|) + 𝐜

22. ∫ 𝐬𝐞𝐧𝐡(𝐮)𝐝𝐮 = 𝐜𝐨𝐬𝐡(𝐮) + 𝐜

23. ∫ 𝐜𝐨𝐬𝐡(𝐮)𝐝𝐮 = 𝐬𝐞𝐧𝐡(𝐮) + 𝐜

24. ∫ 𝐭𝐠𝐡(𝐮)𝐝𝐮 = 𝐥𝐧|𝐜𝐨𝐬𝐡(𝐮)| + 𝐜

25. ∫ 𝐜𝐭𝐠𝐡(𝐮)𝐝𝐮 = 𝐥𝐧|𝐬𝐞𝐧𝐡(𝐮)| + 𝐜

26. ∫ 𝐬𝐞𝐜𝐡(𝐮)𝐝𝐮 = 𝐬𝐞𝐧−𝟏𝐭𝐠𝐡(𝐮) + 𝐜 ó 𝟐𝐭𝐠−𝟏𝐞𝐮 + 𝐜

27. ∫ 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜𝐡(𝐮)𝐝𝐮 = 𝐥𝐧 |𝐭𝐠𝐡(𝐮

𝟐)| + 𝐜 ó −𝐜𝐨𝐭𝐠𝐡−𝟏𝐞𝐮 + 𝐜

28. ∫ 𝐬𝐞𝐜𝐡𝟐(𝐮)𝐝𝐮 = 𝐭𝐠𝐡(𝐮) + 𝐜

29. ∫ 𝐜𝐨𝐬𝐞𝐜𝐡𝟐(𝐮)𝐝𝐮 = −𝐜𝐭𝐠𝐡(𝐮) + 𝐜

30. ∫ 𝐬𝐞𝐜𝐡(𝐮). 𝐭𝐠𝐡(𝐮)𝐝𝐮 = −𝐬𝐞𝐜𝐡(𝐮) + 𝐜


31. ∫𝐚𝐫𝐜. 𝐬𝐞𝐧𝐡(𝐮)𝐝𝐮 = −√𝟏+ 𝐮𝟐 + 𝐮. 𝐚𝐫𝐜. 𝐬𝐞𝐧𝐡(𝐮) + 𝐜

32. ∫𝐚𝐫𝐜. 𝐜𝐨𝐬𝐡(𝐮)𝐝𝐮 = −(−𝟏 − 𝐮)√−𝟏 + 𝐮

𝟏 + 𝐮 + 𝐮. 𝐚𝐫𝐜. 𝐜𝐨𝐬𝐡(𝐮) + 𝐜

33. ∫𝐚𝐫𝐜. 𝐭𝐠𝐡(𝐮)𝐝𝐮 = 𝐮. 𝐚𝐫𝐜. 𝐭𝐠𝐡(𝐮) + 𝟏

𝟐𝐥𝐧|−𝟏 + 𝐮𝟐| + 𝐜

1 .1 .3 . Integración Inmediata

Cons is te en resolver l a integral ut i l i zando las propiedades y

fórmulas básicas de acuerdo a l a conclus ión ar r iba mencionada .

Ej emplo 4 :

In tegrar :

∫(8x3 − 19x−3)dx

Ut i l i zando propiedad : ∫8x3dx − ∫ 19x−3dx =

Ut i l i zando propiedad : 8 ∫ x3dx − 19 ∫ x−3dx =

Ut i l i zando la fórmula (2 ) : (8x4

4+ c1) − (

19x−2

−2+ c2) =

Haciendo:

c1 + (−c2 ) = c

S impl i f icando y ordenando, se obt iene como resul tado:

∫(8x3 − 19x−3)dx = 𝟐𝐱𝟒 + 𝟏𝟗

𝟐𝐱𝟐 + 𝐜

Ej emplo 5 :

In tegrar :

∫2x3 + x

x4 + x2 + 2dx

Al d ife renciar e l denominador , resu l ta par te de l numerador:

d(x4 + x2 + 2) = (4x3 + 2x)dx = 2(2x3 + x)dx


Para parecerse con la fórmula (3 ) , se mul t ip l ica y d ivide por 2:

1

2∫2(2x3+x)

x4+x2+2dx =

1

2∫(4x3+2x)

x4+x2+2dx

O sea se t i ene la forma de la fórmula (3 ) :

1

2∫du

u =

1

2(ln|u| + c)

Resul tando:

∫𝟐𝐱𝟑+𝐱

𝐱𝟒+𝐱𝟐+𝟐. dx =

𝟏

𝟐∫(𝟒𝐱𝟑+𝟐𝐱)

𝐱𝟒+𝐱𝟐+𝟐. dx =

𝟏

𝟐𝐥𝐧|𝐱𝟒 + 𝐱𝟐 + 𝟐| + 𝐜

Ejemplo 6 :

In tegrar :

∫y2 + 15

√y2 + 9dy

Se descompone 15 en 9+6 y se obt ienen dos in tegra les :

∫(y2+9)

√y2+9dy + ∫

6

√y2+9dy → ∫√y2 + 9 dy + 6 ∫

dy

√y2+9

Apl icando las fórmulas d irec tas (21) y (18) resul ta :

∫𝐲𝟐+𝟏𝟓

√𝐲𝟐+𝟗𝐝𝐲 =

𝟏

𝟐[𝐲√𝐲𝟐 + 𝟗 + 𝟗𝐥𝐧 |𝐲 + √𝐲𝟐 + 𝟗|] + 𝐥𝐧 |𝐲 + √𝐲𝟐 + 𝟗| + 𝐜

1 .2 . Métodos de Integración

Para resolver in tegra les exis ten var ios métodos , desde los más

s imples a los más comple jos de acuerdo a l as caracter í s t icas de la

in tegra l .

En todos los métodos se busca l legar mediante procedimientos

a lgebraicos u a r t i f ic ios matemát icos , a una de las formas de las

in tegra les bás icas ( tab la) para obtener l a respues ta .

1.2 .1 . Método: Por Sust i tución o cambio de variable


Si en ∫ f(x)dx , reemplazamos la var iable “x” por : x = g(u)

Tenemos : dx = g′(u)du

Donde “u” es una nueva var iable y “g” una función cont inua

di ferenc iable .

Reemplazando, t enemos:

∫ f(x)dx = ∫ f(g(u)) g′(u)du (1)

La función “g” se procura elegi r de tal manera , que , e l segundo

miembro de la fórmula (1) tome una forma adecuada y parecida a

l as fórmulas básicas de integración .

Ej emplo 7 :

In tegrar :

∫ x2. √3 − x3. dx = ∫√3 − x3. x2. dx ( E l o r d e n d e l o s f a c t o r e s n o a l t e r a e l p r o d u c t o )

a) Forma de resolución 1: ( tomando solo el rad icando)

Hacemos e l cambio de var iable: 𝐮 = 𝟑 − 𝐱𝟑

Di ferenciando: du = −3. x2dx Despejando “x2. dx” , para reemplazar en la integra l or igina l :

x2dx = −du

3

Reemplazando “u” y “x2. dx” en e l ejercic io or iginal t enemos:

∫ x2√3 − x3. dx = ∫(3 − x3)1/2. x2. dx = ∫(u)1/2 (−du

3) = −

1

3∫u1/2du

In tegrando de acuerdo a l a fórmula (2 ) :

−1

3∫u1/2du = (−

1

3) (

2

3)u3/2 + c

Operando y reemplazando “u” nuevamente , se obt iene la

respuesta :

(−1

3) (

2

3) u3/2 + c = −

𝟐

𝟗√(𝟑 − 𝐱𝟑)𝟑 + 𝐜


b) Forma de resolución 2: ( tomando todo e l rad ica l)

Hacemos e l cambio de var iable: 𝐮 = √𝟑 − 𝐱𝟑

Elevando al cuadrado 𝑢2 = 3 − 𝑥3

Di ferenciando impl íc i tamente 2𝑢du = −3. x2dx Despejando “x2. dx” , para reemplazar en la integra l or igina l :

x2dx = −2udu

3

Reemplazando “u” y “x2dx” en e l e jercic io or iginal t enemos:

∫ x2√3 − x3. dx = ∫(3 − x3)1/2. x2. dx = ∫u (−2udu

3) = −

2

3∫𝑢2du

In tegrando de acuerdo a l a fórmula (2 ) :

−2

3∫u2du = (−

2

3) (

1

3) u3 + c

Operando y reemplazando “u” nuevamente , se obt iene la

respuesta :

(−2

3) (

1

3) u3 + c = −

𝟐

𝟗(√𝟑 − 𝒙𝟑) 𝟑 + 𝐜

N o t a : E s t e r e s u l t a d o s e p u e d e c o m p r o b a r d i f e r e n c i á n d o l o , y a s í o b t e n e r e l “ e l e m e n t o d e i n t e g r a c i ó n ” :

d (−2

9√(3 − x3)3 + c) = (−

2

9√(3 − x3)3 + c)

′dx = x2√3 − x3 . dx

Ej emplo 8 :

In tegrar :

∫sec2x. dx

etgx

Haciendo : u = tgx Di ferenciando: du = (tgx)′dx → du = sec2x. dx

Reemplazando en el e je rc icio or igina l , t enemos

∫sec2x.dx

etgx = ∫

du

eu = ∫ e−udu


La idea es ut i l i zar la fórmula (4 ) : " ∫ eudu = eu + c" , pero en el

e j erc ic io ( la integra l resul tan te) el exponente es negat ivo , lo cual

impl ica hacer o tro cambio de var iable con e l exponente “ -u”:

S i : t = −u → dt = −du → du = −dt

Reemplazando “ t” : ∫ e−udu = −∫etdt = −(et+ c)

La respuesta se obt iene reemplazando “t” y “u” en −(et+ c) :

∴ ∫sec2x.dx

etgx = −𝐞−𝐭𝐠𝐱 + c

Ej emplo9:

In tegrar :

∫x3. √1 + x4

√1 + x4 + 1. dx

Se puede cons iderar todo el radical como cambio de var iable con

e l f in de evi ta r exponentes f racc ionar ios .

Cambio de var iable: 𝐮 = √𝟏 + 𝐱𝟒 → u2 = 1 + x4

Di ferenciando impl íc i tamente :

2udu = 4x3dx → x3dx =2u.du

4

Reemplazando en e l e jerc ic io (previo ordenamiento) y

s impl i f icando:

∫√1+x4.x3.dx

√1+x4 +1 → ∫

u.2u.du

4(u+1)→ ∫

2u2

4(u+1)du →

1

2∫

u2

u+1du

a ) Solución , divid iendo f racciones : u2

u+1=→ (u − 1) +

1

u+1

Reemplazando en la in tegra l :

1

2∫ [(u − 1) +

1

u+1] du →

1

2[∫(u − 1) du + ∫

1

u+1du]

In tegrando y cambiando “u” , obtenemos la respuesta :


∫x3.√1+x4

√1+x4 +1. dx =

1

4u2 −

1

2u +

1

2ln(u + 1) + c

∫x3.√1+x4

√1+x4 +1. dx =

𝟏

𝟒(𝟏 + 𝐱𝟒) −

𝟏

𝟐√𝟏 + 𝐱𝟒 +

𝟏

𝟐𝐥𝐧(√𝟏 + 𝐱𝟒 + 𝟏) + 𝐜

b ) Soluc ión , hac iendo cambio de var iable :

Cambio de var iable: 𝑡 = 𝑢 + 1

Di ferenciando: 𝑑𝑡 = 𝑑𝑢

Despejando “u”: 𝑢 = 𝑡 − 1

Reemplazando en la in tegra l :

1

2∫(𝑡−1)2

𝑡dt →

1

2∫𝑡2−2𝑡+1

𝑡𝑑𝑡 →

1

2∫ (𝑡 − 2 +

1

𝑡) 𝑑𝑡

In tegrando y cambiando “u”:

∫x3.√1+x4

√1+x4 +1. dx →

1

2[(𝑢+1)2

2− 2(𝑢 + 1) + 𝑙𝑛(𝑢 + 1)] + 𝑐 =

Recuperando la var iable “u”

= 1

2[(√1+𝑥4+1)

2

2 − 2(√1 + x4 + 1) + ln(√1 + x4 + 1)] + c

S impl i f icando , obtenemos la respuesta:

∫x3.√1+x4

√1+x4 +1. dx =

𝒙𝟒

𝟒−𝟏

𝟐√𝟏 + 𝒙𝟒 +

𝟏

𝟐𝒍𝒏(√𝟏 + 𝐱𝟒 + 𝟏) + c

N o t a : N o o l v i d a r q u e t o d o s l o s n ú m e r o s e x i s t e n t e s e n l a s o l u c i ó n , c o n s t i t u y e n

c o n s t a n t e s y s e a g r u p a n e n “ c ” .

Ej emplo 10:

In tegrar :

∫5x

1 + 5xdx

Cambio de var iable: u = 5x → du = 5x. ln5. dx → dx =du

5xln5

Reemplazando e integrando


∫5x

1+5xdx= ∫

u

1+u.du

5xln5 → ∫

u

(1+u).u.ln5du →

1

ln5∫

du

1+u

1

ln5. ln(1 + u) + c r eemplazando “u”: =

𝟏

𝐥𝐧𝟓. 𝐥𝐧(𝟏 + 𝟓𝐱) + 𝐜

N o t a : T a m b i é n s e p u e d e t o m a r “ 1 + 5𝑥 ” c o m o “ u ” .

Ejemplo 11:

In tegrar :

∫t7

t4 − 5dt

Se descompone t7 en t4. t3, debido a que la der ivada de t4 e s 4t3.

∫t4. 𝐭𝟑 𝐝𝐭

t4−5

Haciendo el cambio de var iable:

u = t4 − 5 → t4 = u + 5 → du = 4t3dt → t3dt =du

4

Reemplazando e integrando:


t4−5 = ∫

(u+5)du

4

u →

1

4∫(u+5)du

u →

1

4[∫ du + 5 ∫

du

u]


t4−5 =

1

4[u + 5. ln|u|] + c → =

𝟏

𝟒[𝒕𝟒 − 𝟓 + 𝟓. 𝒍𝒏|𝒕𝟒 − 𝟓|] + 𝒄

1 .2 .2 . Método: Integración por partes

Método ut i l i zado generalmente cuando el e lemento de integración ,

representa un producto (mul t ipl icación) .

Sean u, v dos funciones def in idas y der ivables en el in terva lo I:

Di ferencial de un producto: 𝑑(𝑢. 𝑣) = 𝑢. 𝑑𝑣 + 𝑣. 𝑑𝑢

Despejando 𝑢. 𝑑𝑣: 𝑢. 𝑑𝑣 = 𝑑(𝑢. 𝑣) − 𝑣. 𝑑𝑢

In tegrando ambos miembros :

∫𝑢. 𝑑𝑣 = ∫ 𝑑(𝑢. 𝑣) − ∫ 𝑣. 𝑑𝑢,

Resul ta l a fórmula de integración por par tes :


∫u. dv = u. v − ∫ v. du (*)

Ej emplo 12:

In tegrar :

∫ x2. lnx. dx ó ∫ lnx. x2. dx

De acuerdo a l a fórmula de integración por par tes , debemos e legi r

l as dos par tes del e lemento de integración: u y dv , para luego

encont rar du y v respec t ivamente . Se debe t rata r de encontrar en

todo momento una integra l más s imple y fac t ib le de resolver .

Haciendo: 𝐮 = lnx y 𝐝𝐯 = x2dx Hal lamos du y v :

S i : 𝐮 = lnx → d i fe renciando → 𝐝𝐮 = 1

xdx

S i : 𝐝𝐯 = x2dx → integrando → ∫ dv =∫ x2dx → 𝐯 = x3

3

Reemplazando, según la fórmula de integrac ión por par tes (*) :

∫ lnx. x2. dx = ∫u. dv = u. v − ∫ v. du → (lnx) (x3

3) − ∫ (

x3

3)1

xdx

S impl i f icando e in tegrando:

∫ lnx. x2. dx = x3

3 lnx −

1

3∫ x2dx =

x3

3 lnx −

1

9x3 + c

O también , fac tor izando :

∫ lnx. x2. dx = x3

3(lnx −

1

3) + c

Ej emplo 13:

In tegrar :

∫ex(x + 1)2dx


Desarro l lando el b inomio, para apl icar integrac ión por par tes:

∫(x2 + 2x + 1)exdx

𝐮 = x2 + 2x + 1 → 𝐝𝐮 = (2x + 2)dx 𝐝𝐯 = exdx → 𝐯 = ex Reemplazando en la fórmula de in tegrac ión por par tes:

(*) ∫u. dv = u. v − ∫ v. du

∫(x2 + 2x + 1)exdx = (x2 + 2x + 1)ex − ∫ 𝐞𝐱 (𝟐𝐱 + 𝟐)𝐝𝐱

Resolviendo nuevamente por par tes l a in tegra l (en negr i ta) :

𝒖 = 2x + 2 → 𝒅𝒖 = 2dx 𝒅𝒗 = exdx → 𝒗 = ex Se t iene:

∫𝐞𝐱(𝟐𝐱 + 𝟐)𝐝𝐱 = (2x + 2)ex − ∫ ex. 2dx = (𝟐𝐱 + 𝟐)𝐞𝐱 − 𝟐𝐞𝐱

Reemplazando en el e je rc icio genera l , obtenemos la respues ta :

∫(x2 + 2x + 1)exdx = (x2 + 2x + 1)ex − [(2x + 2)ex − 2ex] + c

∫(x2 + 2x + 1)exdx = (x2 + 2x + 1)ex − (2x + 2)ex + 2ex + c

Ej emplo 14:

In tegrar :

∫exsen2x. dx

Hal lando u , du , dv v:

𝐮 = ex → 𝐝𝐮 = exdx

𝐝𝐯 = sen2x. dx → 𝐯 = −1

2cos2x

Reemplazando, según la fórmula :

∫ exsen2x. dx = 𝑒𝑥 (−1

2𝑐𝑜𝑠2𝑥) − ∫−

1

2𝑐𝑜𝑠2𝑥. 𝑒𝑥𝑑𝑥


∫ exsen2x. dx = −1

2𝑒𝑥(𝑐𝑜𝑠2𝑥) +

𝟏

𝟐∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙. 𝒆𝒙𝒅𝒙 (1)

Desarro l lando nuevamente por par tes l a integra l en negri ta:

𝒖 = ex → 𝒅𝒖 = exdx

𝒅𝒗 = cos2x. dx → 𝒗 =1

2sen2x

∫ 𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱. 𝐞𝐱𝐝𝐱 = 1

2ex(sen2x) −

1

2∫ exsen2x. dx

Reemplazando en (1) :

∫𝒆𝒙𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙.𝒅𝒙 = −1


𝟏

𝟐[1

2ex(sen2x) −

1

2∫𝒆𝒙𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙.𝒅𝒙]

Dado que se vuelve a encont rar l a in tegra l inicial del e je rc icio y

no hay reducción del e je rc ic io , se opera como una ecuación de

pr imer grado, se despeja l a integral problema y se obt iene la

respuesta :

∫𝒆𝒙𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙.𝒅𝒙 = −1


1

4𝑒𝑥(𝑠𝑒𝑛2𝑥) −

1

4 ∫𝒆𝒙𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙.𝒅𝒙.

∫𝐞𝐱𝐬𝐞𝐧𝟐𝐱. 𝐝𝐱 = 𝟐

𝟓𝐞𝐱 (

𝟏

𝟐𝐬𝐞𝐧𝟐𝐱 − 𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱) + 𝐜

Ej emplo 15:

In tegrar :

∫lnx. dx

𝐮 = lnx → 𝐝𝐮 =1

𝑥dx

𝐝𝐯 = sen2x. dx → 𝐯 = x

Reemplazando, según la fórmula , obtenemos la respuesta:

∫lnx. dx = x. lnx − ∫𝑥.1

𝑥𝑑𝑥 = 𝑥. 𝑙𝑛𝑥 − 𝑥 + 𝐶


1.2 .3 . Método: Integración de funciones tr igonométricas .

Para este t ipo de integrac ión , es necesar io conocer l as i dent idades

t r igonomét r icas , di fe renc iales e in tegra les de las funciones

t r igonomét r icas .

Es muy impor tante tener presente , para e fecto de resoluc ión de

ej erc ic ios , l a af in idad que t i enen: seno-coseno , t angente -secante y

co tangente -cosecante .

S i a l t ra ta r de desar ro l la r l a in tegra l de acuerdo a la af inidad y no

se puede resolver , en tonces una es t ra tegia es conver t i r todo a seno

y coseno.

Identidades trigonométr icas

1. 𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 1 12. 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝜃 = 1

𝑠𝑒𝑛𝜃

2. 1 + tg2θ = sec2θ 13. secθ = 1

cosθ

3. 1 + ctg2θ = cosec2θ 14. ctgθ = 1

tgθ

4. sen2θ = 2senθ. cosθ 15. tgθ = senθ

cosθ

5. cos2θ = 2cos2θ − 1 16. ctgθ = cosθ

senθ

6 . 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 1 − 2𝑠𝑒𝑛2𝜃

7. cos2θ = cos2θ − sen2θ

8 . senθ. cosβ = 1

2[sen(θ + β) + sen(θ − β)], si θ > 𝛽

9. senθ. cosβ = 1

2[sen(θ + β) − sen(β − θ)], si β > 𝜃

10. senθ. senβ = 1

2[cos(θ − β) − cos(θ + β)]

11. cosθ. cosβ = 1

2[cos(θ − β) + cos(θ + β)]


Ejemplo 16:

In tegrar :

∫senx. cos3x. dx

Donde exis te se no y coseno , se debe tener en cuenta que e l

d i ferenc ia l y l a integra l de uno de e l los , da como resul tado e l o t ro .

Generalmente cuando uno de e l los t iene la potenc ia 1 y e l o t ro una

potencia d ife rente de 1 , se hace e l cambio de var iable

cons iderando como “u” a l a función con exponente d iferente de 1:

S i : u = cosx → du = −senx. dx → senx. dx = −du

Reemplazando en el e je rc icio:

∫ senx. cos3xdx = ∫u3(−du) → −∫u3du → -u4

4+ c

Reemplazando u :

∫ senx. cos3xdx = −1

4cos4x + c ó −

𝟏

𝟒(𝐜𝐨𝐬𝐱)𝟒 + 𝐜

Ej emplo 17:

In tegrar :

∫sen2x. cos4x. dx

Apl icando la fórmula de ident idades t r igonomét r icas que convier te

e l producto en suma o resta (9) :

sen2x. cos4x = 1

2[sen(2x + 4x) − sen(4x − 2x)]=

sen2x. cos4x = 1

2[sen(6x) − sen(2x)]


∫1

2[sen(6x) − sen(2x)] dx =

1

2∫ sen(6x)dx −

1

2∫ sen(2x)dx


Haciendo cambio de var iable en ambas in tegra les:

u = 6x → du = 6. dx → dx = du

6

t = 2x → dt = 2. dx → dx = dt

2


1

2∫ senu.

du

6 −

1

2∫ sent.

dt

2 =

1

12∫ senu. du −

1

4∫ sent. dt =

−1

12cosu +

1

4cost + c = −

𝟏

𝟏𝟐𝐜𝐨𝐬𝟔𝐱 +

𝟏

𝟒𝐜𝐨𝐬𝟐𝐱 + 𝐜

Ejemplo18:

In tegrar :

∫dθ

tgθ. cos2θ

Reemplazando 𝐜𝐨𝐬𝟐𝛉, o rdenando y cambiando var iable :

∫dθ

tgθ.1

sec2θ

= ∫sec2θ.dθ

tgθ

S i : u = tgθ → du = sec2θ. dθ

Reemplazando, integrando y cambiando var iable :

∫du

u = ln|u| + c = 𝐥𝐧|𝐭𝐠𝛉| + 𝐜

Ej emplo19:

In tegrar :

∫tg5x. sec4x. dx

Se debe tener en cuenta que la der ivada de tangente es 𝑠𝑒𝑐2𝑥. Adecuando la integral para hacer el cambio de var iable: 𝑢 = 𝑡𝑔𝑥,

además de u t i l i zar l a ident idad 1 + tg2θ = sec2θ


∫ tg5x. 𝐬𝐞𝐜𝟐𝐱. sec2x. dx = ∫ tg5x(1 + tg2x)sec2x. dx

Haciendo cambio de var iable :

S i : u = tgx → du = sec2xdx

Reemplazando y desar rol lando la in tegral :

∫ tg5x. sec4x. dx = ∫ u5(1 + u2)du = u6

6+u8

8+ c =

𝐭𝐠𝟔𝐱

𝟔+𝐭𝐠𝟖𝐱

𝟖+ 𝐜

1.2 .4 . Método: Integración por sust i tuc ión tr igonométr ica .

Método u t i l i zado cuando el integrando “f (x)” cont iene una

expres ión de la forma: √a2 − u2, √a2 + u2, √u2 − a2, a > 0

Cas i s iempre es pos ible integrar haciendo una sust i tución

t r igonomét r ica , obteniendo una integra l con funciones

t r igonomét r icas .

Caso 1: √𝐚𝟐 − 𝐮𝟐, 𝐚 > 𝟎

Se usa la relación: 𝐬𝐞𝐧𝛉 =𝐮

𝐚 , ob teniendo :

𝐮 = 𝐚 𝐬𝐞𝐧𝛉 → 𝐝𝐮 = 𝐚. 𝐜𝐨𝐬𝛉. 𝐝𝛉

√a2 − u2 = √a2 − (a. senθ)2 = √a2 − a2sen2θ

= √a2(1 − sen2θ) = a√cos2θ = a. cosθ

√𝐚𝟐 − 𝐮𝟐 = 𝐚. 𝐜𝐨𝐬𝛉

Caso 2 : √𝐚𝟐 + 𝐮𝟐, 𝐚 > 𝟎

Se usa la relación: 𝐭𝐠𝛉 =𝐮


𝐮 = 𝐚 𝐭𝐠𝛉 → 𝐝𝐮 = 𝐚. 𝐬𝐞𝐜𝟐𝛉. 𝐝𝛉

√𝐚𝟐 + 𝐮𝟐 = 𝐚. 𝐬𝐞𝐜𝛉

√𝑎2 − 𝑢2

𝑎 𝑢

𝜃

𝑢

𝜃

𝑎

√𝑎2 + 𝑢2


Caso 3 : √𝐮𝟐 − 𝐚𝟐, 𝐚 > 𝟎

Se usa la relación: 𝐬𝐞𝐜𝛉 =𝐮


𝐮 = 𝐚 𝐬𝐞𝐜𝛉 → 𝐝𝐮 = 𝐚. 𝐬𝐞𝐜𝛉. 𝐭𝐠𝛉. 𝐝𝛉

√𝐮𝟐 − 𝐚𝟐 = 𝐚. 𝐭𝐠𝛉 N o t a . E n t o d o s l o s c a s o s , p a r a r e t o r n a r a l a v a r i a b l e o r i g i n a l “ u ” , s e h a c e u s o d e l t r i á n g u l o r e c t á n g u l o r e s p e c t i v o .

Ej emplo 20 :

In tegrar :

∫dx

x2√4 − x2 ó ∫

dx

x2√22 − x2

Apl icando e l caso 1, y cons iderando 𝒂 = 𝟐 𝑦 𝒖 = 𝒙

𝐱 = 2. senθ → 𝐝𝐱 = 2. cosθdθ → √𝟐𝟐 − 𝐱𝟐 = 2cosθ

Reemplazando, s impli f icando e in tegrando:

∫dx

x2√4−x2 = ∫

2.cosθdθ

4sen2θ.2cosθ =

1

4∫

dθ

sen2θ =

1

4∫ cosec2θdθ = −

1

4ctgθ + c

Regresando a la var iable or iginal , mediante el t r i ángulo

rectángulo:

∫dx

x2√4−x2 = −

1

4ctgθ + c = −

√4−x2

4x+ c

𝜃

√𝑢2 − 𝑎2 𝑢

𝑢

𝑎

2 𝑥

√4 − 𝑥2

𝜃


Ejemplo 21:

In tegrar :

∫√81 − x2

xdx ó ∫

√92 − x2

xdx

Apl icando Sus t i tuc ión t r igonomét r ica y cambiando var iable:

𝐱 = 9senθ → 𝐝𝐱 = 9cosθ. dθ → √𝟗𝟐 − 𝐱𝟐 = 9cosθ

Reemplazando en la in tegra l y s impl i f icando:

∫(9cosθ)(9cosθ.dθ)

9senθ = ∫

81cos2θ

9senθ. dθ = 9∫

cos2θ

senθdθ = 9∫

(1−sen2θ)

senθdθ =

9 [∫1

senθdθ − ∫

sen2θ

senθdθ] = 9[∫ cosecθ. dθ – ∫ senθ. dθ] =

9[ln|cosecθ − cotθ| − (−cosθ)] + c

Recuperando la var iable “x” , con el t r iángulo rectángulo:

cosecθ = 9

x

cotgθ = √81−x2

x

cosθ = √81−x2

9

∫√81−x2

xdx = 9 [ln |

9

x−

√81−x2

x| +

√81−x2

9] + c

Ej emplo 22:

In tegrar :

∫dt

(t2 + 8t + 7)3 2⁄ ó ∫

dt

√(t2 + 8t + 7)3

Comple tando cuadrados para parecer lo a uno de los casos:

t2 + 8t + 7 = t2 + 8t + (8

2)2− (

8

2)2+ 7 = (t + 4)2 − 9

√92 − x2

X 9

𝜃


Reemplazando e n la in tegra l : ∫𝑑𝑡

(√(t+4)2−9 )3

Haciendo: 𝑢 = t + 4 → du = dt

∫𝑑𝑢

(√u2−32 )3 , Cons iderando el caso:

𝐮 = 3secθ

𝑢 √𝑢2 − 32 𝐝𝐮 = 3secθ. tgθdθ

√𝐮𝟐 − 𝟑𝟐 = 3tgθ

𝜃

3 Reemplazando en la in tegra l , s impl i f icando y desarro l lando:

∫3secθ.tgθ.dθ

(3tgθ)3 =

1

9∫𝑠𝑒𝑐𝜃.𝑑𝜃

𝑡𝑔2𝜃 =

1

9∫

1

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛2𝜃

𝑐𝑜𝑠2𝜃

𝑑𝜃 = 1

9∫𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑑𝜃

Haciendo: 𝒓 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 → 𝒅𝒓 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃

Reemplazando, desar ro l lando y recuperando las var iables :

1

9∫𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑑𝜃 =

1

9∫𝑑𝑟

𝑟2 = −

1

9𝑟+ 𝑐 = −

1

9𝑠𝑒𝑛𝜃+ 𝑐

Recuperando la var iable a par t i r de l t r i ángulo rectángulo:

∫dt

(t2+8t+7)3 2⁄ = −1

9(√𝑢2−32

u)

+ c = −u

9(√𝑢2−32 )+ c = −

t+4

9√(t+4)2−9+ c

De manera equiva lente : ∫dt

(t2+8t+7)3 2⁄ = −𝐭+𝟒

𝟗√𝐭𝟐+𝟖𝐭+𝟕+ 𝐜


1.2 .5 . Método: Integración de Funciones Racionales .

Cuando el in tegrando f (x) es una función rac ional (propia o

impropia) ; és ta se puede descomponer en f racciones s imples .

∫ f(x). dx y f(x) = [P(x)]m

[Q(x)]n

Donde: P(x) = Polinomio de grado "m"

Q(x) = Polinomio de grado "n

S i : m ≥ n, la función racional es 𝐈𝐦𝐩𝐫𝐨𝐩𝐢𝐚

m < n, la función racional es 𝐏𝐫𝐨𝐩𝐢𝐚

Solución de una Función Racional Impropia :

La so luc ión se determina a par t i r de la d ivis ión de l pol inomio:

→ P(x)

Q(x) = C(x) +

R(x)

Q(X)

O sea :

∫P(x)

Q(x). dx = ∫ [C(x) +

R(x)

Q(X)] . dx

Donde:

C(x): Cuociente o resultado

R(x): Residuo

Q(x): Divisor

Solución de una Función Racional Propia :

El denominador de la función racional se expresa en fac tores (se

factor iza) y se descompone en f racciones parciales .

Caso 1 .

Cuando los factores son l ineales y no repet idos : (ax+b)(cx+d) .

La descomposic ión de cada factor en f racciones s imples es :


A

ax+b+

B

cx+d

Caso 2 .

Cuando el fac tor es l inea l y repe t ido (ax+b) n


A1

(ax+b)+

A2

(ax+b)2+⋯+

An

(ax+b)n

Caso 3 .

Cuando los fac tores de l denominador son no -l ineales y no

r epet idos : (ax 3 +bx 2 +cx+d)(ex 2 +fx+g)


Ax2+Bx+C

(ax3+bx2+cx+d)+

Dx+E

(ex2+fx+g)

Caso 4 .

Cuando el fac tor de l denominador es no-l inea l y repet ido:

(ax 2 +bx+c) n

La descomposic ión de los factores en f racc iones s imples es :

A1x+B1

(ax2+bx+c)+

A2x+B2

(ax2+bx+c)2+⋯+

Anx+Bn

(ax2+bx+c)n

N o t a : D o n d e : A , B , C , D , E , A 1 , A 2 , A n , B 1 , B 2 , B n , s o n c o n s t a n t e s q u e d eb e n

d e t e r m i n a r s e .

Ej emplo 23:

In tegrar :

∫x2 − 3x − 8

x2 − 2x + 1dx

Como e l grado del p ol inomio del numerador es igua l a l del

denominador (grado 2) ; en tonces se divide:

𝑥2−3x−8

x2−2x+1 = 1 −

x+9

(x−1)2

Remplazando en la integra l inic ia l :

∫𝑥2−3𝑥−8

x2−2x+1dx = ∫ [1 −

x+9

(x−1)2] dx = ∫dx − ∫

x+9

(x−1)2dx (**)


Se obt iene una integra l di rec ta y una in tegra l racional propia:

(caso2 )

Descomponiendo la función rac ional de la segunda in tegral en la

suma de dos f racc iones s imples (caso 2) y apl icando MCD:

x+9

(x−1)2 =

A

x−1 +

B

(x−1)2 =

A(x−1)+ B

(x−1)2 =

Ax − A + B

(x−1)2 =

Ax – (A − B)

(x−1)2

Se t iene: x+9

(x−1)2 =

Ax – (A − B)

(x−1)2

S impl i f icando denominadores , se obt iene:

1. 𝐱 + 9 = A. 𝐱 – (A – B)

“De dos pol inomios iguales , los coe f icientes que corresponden a

los t érminos de igual grado, son iguales”

De: x = Ax tenemos: 𝐀 = 𝟏

De: 9 = −(A − B) tenemos: 𝐁 = 𝟏𝟎

Reemplazando las cons tantes A y B; resul ta x+9

(x−1)2 =

A

x−1 +

B

(x−1)2 =

1

x−1 +

10

(x−1)2

Reemplazando en la integral (* *) , e integrando, se obt iene e l

resul tado:

∫dx − ∫x+9

(x−1)2dx → x − ∫

dx

x−1− ∫

10dx

(x−1)2 → x − ln|x − 1| +

10

x−1+ c

Ej emplo 24:

In tegrar :

∫dx

x3 + 5x2 + 4x

Se t ra ta de una “Fracc ión Propia” , Factor izando e l denominador:

∫dx

x(x2+5x+4) = ∫

dx

x(x+4)(x+1)


T rabajando con la f racc ión , haciendo la descomposición

cor respondiente (caso 1) y ha l lando MCD:

1

x(x+4)(x+1) =

A

x +

B

x+4 +

C

x+1 =

A(x+4)(x+1)+Bx(x+1)+Cx(x+4)

x(x+4)(x+1)=

S impl i f icando e igualando coef icientes , para ha l la r constantes A,

B, C:

0𝑥2 + 0x + 𝟏 = x2(A + B + C) + x(5A + B + 4C) + 4A

{A + B + C = 05A + B + 4 = 0

4A = 1

Se obt iene : A =1

4 B =

1

12 C = −

1

3

Reemplazando A, B y C en la integra l , e integrando:

∫( A

x +

B

x+4 +

C

x+1 )dx = ∫ (

1

4

x +

1

12

x+4 +

−1

3

x+1 )dx =

= 1

4∫dx

x +

1

12∫

dx

x+4 −

1

3∫

dx

x+1 =

Por lo t an to:

∫dx

x3+5x2+4x =

1

4lnx +

1

12ln(x + 4) −

1

3ln(x + 1) + c

1.2 .6 . Método: Inte gración de Funciones Racionales que

cont ienen seno y coseno

Teorema: Una di ferenc ial t r igonomét r ica que cont iene funciones

racionales de sen(u) y cos(u) , puede t ransformarse en o t ra

expres ión d ife rencial racional en Z, considerando e l ángulo mi tad ,

mediante la sus t i tuc ión:

Z = tg y → 𝐲 = (𝐮

𝟐) → Z = tg (

u

2)

Para obtener : sen(u) , cos(u) y du , se t rabaja a par t i r de las

s iguientes ident idades t r igonomét r icas:


a) cos 2y = 2cos2y − 1

cos 2 (u

2) = 2cos2 (

u

2) − 1 → cosu =

2

sec2(u

2) − 1 =

cos u = 2

1+tg2(u

2) − 1 → cos u =

2

1+Z2 − 1 =

Por lo t an to: 𝐜𝐨𝐬𝐮 = 𝟏−𝐙𝟐

𝟏+𝐙𝟐

b) sen 2y = 2 seny. cosy

sen 2 (u

2) = 2 sen (

u

2) . cos (

u

2) → sen u = 2 sen (

u

2) . cos (

u

2) =

sen u = 2 sen(

u

2).cos2(

u

2)

cos(u

2)

→ sen u = 2 tg (u

2.) .

1

sec2(u

2) =

Por tan to:

sen u = 2 tg(

u

2.)

1+tg2(u

2) → 𝐬𝐞𝐧 𝐮 =

𝟐𝐙

𝟏+𝐙𝟐

c) Diferenciando para ha l la r “Z”:

Z = tgu

2 → dZ =

1

2sec2 (

u

2) . du

dZ = 1

2[1 + tg2 (

u

2)] du → dZ =

1

2[1 + Z2]du

𝐝𝐮 = 𝟐 𝐝𝐙

𝟏+𝐙𝟐

En conclus ión , l a función seno, coseno y e l d i fe renc ia l , se

reemplazan así :

𝐬𝐞𝐧 𝐮 = 𝟐𝐙

𝟏+𝐙𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝐮 =

𝟏−𝐙𝟐

𝟏+𝐙𝟐 𝐝𝐮 =

𝟐 𝐝𝐙

𝟏+𝐙𝟐


Ej emplo 25:

In tegrar :

∫dx

1 − senx + cosx

Reemplazando: sen x = 2Z

1+Z2 cos x =

1−Z2

1+Z2 dx =

2 dZ

1+Z2

∫dx

1−senx+cosx = ∫

2dZ

1+Z2

1 − 2Z

1+Z2 +

1−Z2

1+Z2

= ∫dZ

1−Z

In tegrando y reemplazando Z, obtenemos el resul tado:

∫dx

1−senx+cosx = −ln|1 − Z| + c = −ln |1 − tg

x

2|+ c

1.3 . Problemas Propuestos

INTEGRALES INMEDIATAS

1. ∫(3x + 5)dx 2. ∫ x−25 dx

3. ∫(6x4 − x2 + 5)dx 4. ∫dx

x3

5. ∫(7 − √x)2dx 6. ∫ √x123

dx

7. ∫3x5 − 6x2 + √x

x3dx 8. ∫ av5dv

9. ∫dp

p2 − 25 10. ∫ (

2a

√x−b

x2+ 3c√x2

3) dx

11.∫u2 + 13

√u2 + 9du 12. ∫(a2/3 − x2/3)

3

dx

13.∫2x3 + x

x4 + x2 + 2dx 14. ∫

x2 + 2

x2(x2 + 4)dx

15.∫3x2 + 2x + 1

x + 1dx 16. ∫

x2 − 5

x2(x2 − 9)dx


INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE

VARIABLE

1. ∫(x3 + 1)4

3x2dx 2. ∫ 2x√1 + x2dx

3. ∫x4

√x5 + 17 dx 4. ∫

5ex

√1 − e2xdx

5. ∫senhx. coshx

(1 + senhx)5 dx 6. ∫

xdx

e3x(1 − x)4

7. ∫x + 2

(x − 2)4dx 8. ∫ x√x + 4 dx

9. ∫ cos(10x + 6) dx 10. ∫ e(2x−5)dx

11. ∫√1 − cosxdx 12. ∫ 4xexdx

13. ∫√1 + senxdx 14. ∫ sec3xdx

15. ∫(x2 − 2x + 1)1/5

1 − xdx 16. ∫

dx

2x + 3

INTEGRACIÓN POR PARTES

∫u. dv = u. v − ∫ v. du

1. ∫ lnx. dx 2. ∫(x2 + 3x − 1)e2xdx

3. ∫ sec5xdx 4. ∫ sec3xdx

5. ∫ x2lnxdx 6. ∫(7 + x − 3x2)e−xdx

7. ∫ cos(lnx)dx 8. ∫ e2xcos(ex)dx

9. ∫ cos2xexdx 10.∫(x +3

2)e2xdx

11.∫xcosxdx 12.∫(x2 + 1)ex

(x + 1)2dx

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

1. ∫ cos53xdx 2. ∫ senxcos3xdx

3. ∫ sen2x. cos4xdx 4. ∫ sen2x. sen3xdx


5. ∫ cos2(4x − 1)sen2xdx 6. ∫ sen2x. cos2xdx

7. ∫dx

senx. cos3x 8. ∫ cosec4x2. xdx

9. ∫(senx − cosx)2dx 10. ∫sen3x

√cosxdx

11.∫cos32x

sen52xdx 12. ∫ tg7x. sec4xdx

13.∫ ctg4(2x − 1)dx 14. ∫ tg3x. sec4xdx

INTEGRACIÓN POR SUSTITUTCIÓN TRIGONOMÉTRICA

1. ∫dx

x3√x2 − 9 2.∫

x3dx

√x2 + 2x + 5

3. ∫dx

(1 + x4)√√1 + x4 − x2 4.∫

x2dx

(x2 + 4)3

5. ∫dx

x2√4 − x2 6.∫

√9 − x2

x2dx

7. ∫du

u√25 − u2 8.∫√1 − v2dv

9. ∫dx

(5 − 4x − x2)3/2 10.∫ x2√16 − x2. dx

11.∫√16 − t2

t2dt 12.∫

√100 − u2

udu

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES

1. ∫dx

x2 − 4 2. ∫

2x3 + x + 3

x4 + 2x2 + 1dx

3. ∫5x − 2

x2 − 4dx 4. ∫

6x2 − 2x − 1

4x2 − xdx

5. ∫dx

x3 + 3x2 6. ∫

dx

(x + 2)3

7. ∫x4 + 3x3 − 5x2 − 4x + 17

x3 + x2 − 5x + 3 dx 8. ∫

−24x3 + 30x2 + 52x + 17

9x4 − 6x3 − 11x2 + 4x + 4dx

9. ∫5x2 − 3

x2 − 4dx 10. ∫

t4 − 8

t3 + 2t2dt


11.∫2v2 − 8v − 8

(v − 2)(v2 + 4)dv 12. ∫

4dx

x4 − 1

13.∫(x − 1)dx

x3 − x2 − 2x 14. ∫

dz

z4 − z2

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES QUE

CONTIENEN SENO Y COSENO

1.∫dx

1 − senx + cosx 2.∫

cosxdx

1 + cosx

3.∫ secxdx 4.∫cosθdθ

3 − senθ + 2cosθ

5.∫dx

secx + 1 6.∫

4 + cosω

2 + 3cosωdω

7.∫1 + cosφ

1 − cosφdφ 8.∫

senxdx

senx + cosx

9.∫dx

senx − cosx + √2 10.∫

tgxdx

(1 + 2tg2x)


Y = f (X)

X = b

X = a

ab f x x

0 1 2 3 4 50

10

20

30

40

50

60

70

2.1 . Introducción.

La integral definida es un concepto que está relacionado con el valor del área o

región bajo una curva delimitada por las rectas acotadas en un determinado intervalo

[a, b].

[a, b]

Propiedades Fundamentales de la Integral Definida:

1. ∫ cf(x)dx = c ∫ f(x)dxb

a

b

a

2. ∫ f(x)dx = 0a

a

3. ∫ [f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dxb

a

b

a ± ∫ g(x)dx

b

a

4. ∫ f(x)dx = −∫ f(x)dxa

b

b

a

5. ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dxb

a

c

a + ∫ f(x)dx

c

b, a < 𝑏 < 𝑐

6. Si ∶ f(x) ≥ g(x), para todo x en [a, b]; entonces:

∫ f(x)dx ≥ ∫ g(x)dxb

a

b

a


f(b)

x

y

0

y = f(c)

y = f(x)

f(a)a

bf x x

ba c1 1 2 3 4

5

10

15

20

7. Si: m ≤ f(x) ≤ M, para a ≤ x ≤ b; entonces:

m(b − a) ≤ ∫ f(x)dx ≤ M(b − a)b

a

Teorema del Valor Medio para integrales:

Si la función f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe entonces un

número “c” entre a y b tal que:

∫ f(x)dx = f(c)(b − a)b

a


Teorema fundamental del cálculo integral:

Si la función f(x) es continua en el intervalo cerrado [a, b], y si la función F(x) es

cualquier antiderivada particular de f(x) de modo que: F’(x)=f(x); entonces:

∫ f(x)dx = [F(x)]abb

a = F(b) − F(a)

𝐚, 𝐛: límites de integración

Ejemplo 26:

Resolver:

∫ x3dx2

1

Por definición:

∫ x3dx2

1 = [

x4

4]1

2

= [24

4 −

14

4] =

15

4

Ejemplo 27:

Aplicando el teorema del valor medio, encontrar el valor de “f(c)” y “c”:

∫ f(x)dx = f(c)(3 − 1); si f(x) = x23

1

Reemplazando f(x) e integrando:


∫ x2dx3

1 = [

x3

3]1

3

= [33

3−

13

3] =

26

3 = 8

2

3

Entonces:

f(c)(3 − 1) = 26

3 → 𝐟(𝐜) =

𝟏𝟑

𝟑

Pero: f(x) = x2

Entonces: 𝑐2 = 13

3 → c = ±√

13

3 → 𝐜 ≅ 𝟐. 𝟎𝟖

Se rechaza el valor de -2.08, por no estar en el intervalo [1,3]

Comprobando:

∫ x2dx = f(2.08)(3 − 1) ≅ 8.6 1

1

Cambio de variable y límites de integración:

El cambio de variable en la integral definida es igual al método aplicado en la

integral indefinida. El cambio de los límites de integración se realiza para unificar

todo en la nueva variable.

Ejemplo 28:

Resolver:

∫ x√1 + x. dx3

0


Cambio de variable: u = 1 + x → x = u − 1 → du = dx

Cambio de límites de integración:

Si: u = 1 + x ⟹ {cuando x = 0 → u = 1 cuando x = 3 → u = 4

Remplazando en el ejercicio original e integrando:

∫ x√1 + x. dx3

0 = ∫ (u − 1)

4

1(u)1/2du = ∫ (u3/2 − u1/2)

4

1du =

[2

5u5/2 −

2

3u3/2]

1

4 = [

2

5(4)5/2 −

2

3(4)3/2] − [

2

5(1)5/2 −

2

3(1)3/2] =

116

15

Ejemplo 29:

Resolver:

∫ senxdxπ/2

0

Integrando:

∫ senxdxπ/2

0 = −cosx]0

π/2 = −cos (

π

2) − [−cos(0)] = 1

Integración Por Partes:

En integrales definidas se utiliza la fórmula:

∫ u. dv = u. v]abb

a − ∫ v. du

b

a

Ejemplo 30:

Resolver:

∫ x2. lnx. dx3

1

Hallando u, du, dv, v:

u = lnx → du = 1

xdx


y = f (x)

x = a x = b

ab f x x

R

2 4 6 8 10

2

2

4

6

8

10

dv = x2dx → v = x3

3

Reemplazando, según la fórmula e integrando:

∫ x2. lnx. dx3

1 = [(lnx) (

x3

3)]1

3

− 1

3∫ x3.

1

xdx

3

1 =

[(lnx) (x3

3)]1

3

− 1

3∫ x2dx3

1 =

[(lnx) (x3

3)]1

3

− 1

9[x3]1

3 = 9ln3 −26

9

2.2 . Calculo de Áreas de Regiones P lanas .

El cálculo de áreas de regiones planas, es una de las principales aplicaciones de la

integral definida.

Caso 1:

El área de la región “R”, limitada por la curva y=f (x), el eje x y las rectas verticales

x=a y x=b, se expresa:

AR = ∫ f(x)dx b

a

Donde f(x) ≥ 0 (función positiva) y A se expresa en Unidades cuadradas (u2).

Caso 2:

El área de la región “R”, limitada por la curva x=f (y), el eje y (x=0) y las rectas

verticales y=c y y=d, donde f(y) ≥ 0 (positiva); se expresa:


𝐀𝐑 = ∫ 𝐟(𝐲)𝐝𝐲 𝐝

𝐜

Caso 3:

Si f(x) y g(x) son funciones continuas en el intervalo [a, b] y además f(x) ≥ g(x),

para a ≤ x ≤ b; entonces el área de la región “R” es:

𝐀𝐑 = ∫ [𝐟(𝐱) − 𝐠(𝐱)] 𝐝𝐱 𝐛

𝐚

Caso 4:

Si f(y) y g(y) son funciones continuas en el intervalo [c, d] y además f(y) ≥ g(y),

para c ≤ y ≤ d; entonces el área de la región “R” es:

𝐀𝐑 = ∫ [𝐟(𝐲) − 𝐠(𝐲)] 𝐝𝐲 𝐝

𝐜


Ejemplo 31:

Calcular el área de la región que forman las ecuaciones 𝑦 = 1 − (𝑥

2), x=-2, x=4,

y=0

Solución:

De acuerdo al gráfico, se observan dos regiones: R1 y R2. El área de R1 es positiva

(caso 1). El área R2 está bajo el eje x (y=0), por lo que se tiene que aplicar la

fórmula del caso 2, donde se consideran dos funciones: y = 0, y = 1 − (x

2)

Se tiene:

Área Total (AT) = AR1 + AR2

AT = ∫ (−x

2+ 1)dx + ∫ [0 − (−

x

2+ 1)]

4

2

2

−2dx:

Integrando:

AT = [−x2

4+ x]

−2

2

+ [x2

4− x]

2

4

= 4 + 1 = 5 u2


Ejemplo 32:

Calcular el área de la región comprendida entre las curvas: y2 = x, y = −x + 2

Solución:

La parte sombreada corresponde a la región, a la cual se le hallará el área.

Este problema se puede resolver en forma directa aplicando la fórmula del caso 4,

despejando “x” para cada curva:

x = y2; x = 2 − y Con límites de integración, desde -2 hasta 1:

A = ∫ [(2 − y) − y2]1

−2dy = [2y −

y2

2−y3

3]−2

1

= 7

6 +

10

3 =

𝟗

𝟐𝐮𝟐

Ejemplo 33:

Dadas las ecuaciones: y =x2

2− 2x + 1 , y =

x

3+ 1 , y = −x + 5 : se pide

calcular el área de la región que encierran las tres curvas.


Solución:

En este problema, el área de la región buscada se puede dividir en dos regiones: R1 y

R2, para poder hacer uso de la fórmula del caso 3, tal como lo muestra el gráfico.

Área Total (AT) = AR1 + AR2

AT = ∫ [x

3+ 1 − (

x2

2− 2x + 1)] dx

3

0 + ∫ [−x + 5 − (

x2

2− 2x + 1)]

4

3dx

La respuesta se obtiene Integrando y reemplazando los límites de integración

respectivos:

AT = [x2

6+ x −

x3

6+ x2 − x]

0

3

+ [−x2

2+ 5x −

x3

6+ x2 − x]

3

4

=

6 + 4

3 =

𝟐𝟐

𝟑𝐮𝟐

Ejemplo 34:

Hallar el área de la región comprendida entre las curvas determinadas por f(x) = 4-x2

y g(x)= 3x2.

Solución:

Haciendo uso de la fórmula del caso 3, donde el área de la región comprendida entre

las dos curvas está formada por f(x) ≥ g(x), desde x=-1 y x=1 (límites de

integración).

Para obtener los límites de integración se igualan las dos funciones para obtener los

puntos comunes o de intersección entre las curvas:

𝟒 − 𝒙𝟐 = 𝟑𝒙𝟐 → 4𝑥2 − 4 = 0 → 𝑥2 − 1 = 0

(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) = 0 → 𝑥1 = 1, 𝑥2 = −1

Luego se reemplazan los valores de “x” en cualquiera de las ecuaciones para obtener

los valores de “y”. Por lo tanto, los puntos de intersección son: (1, 3) y (-1, 3).


Siendo la región formada una Región simétrica; entonces se puede calcular el área

de la mitad de la región (de x=0 a x=1) y multiplicarla por 2:

A = 2 ∫ [(4 − x2) − (3x2)]1

0dx =

2∫ (4 − 4x2)1

0dx = 2 [4x −

4x3

3]0

1

= 2 [4(1) −4(1)3

3] =

𝟏𝟔

𝟑𝐮𝟐

Ejemplo 35:

Hallar el área de la región comprendida por la curva f(x) = x3 entre las abscisas x=-2

y x=1.

Solución:

Según el gráfico, la función forma dos regiones: una bajo el eje x (negativa) y otra

sobre el eje x (positiva). La función es continua.

En este caso se deben formar dos integrales ; una desde x=2 a x=0,

que inc luye una di fe renc ia de [(𝒚 = 𝟎) − (𝒚 = 𝒙𝟑)], dado que el área

es tá bajo e l e je x (y=0) y de esta manera se estar ía evi tando que el

á rea sea negat iva ( fórmula caso 3) ; y l a ot ra área sobre el e je x ,

desde x=0 a x=, que or igina un área pos i t iva :

𝑨 = ∫ (𝟎 − 𝒙𝟑). 𝒅𝒙 + ∫ 𝒙𝟑. 𝒅𝒙𝟏

𝟎

𝟎

−𝟐

Entonces la suma de las á reas queda de la s iguiente manera:


𝑨 = −∫ 𝒙𝟑. 𝒅𝒙 + ∫ 𝒙𝟑. 𝒅𝒙 = [−𝒙𝟒

𝟒]−𝟐

𝟎

+ [𝒙𝟒

𝟒]𝟎

𝟏

= 𝟏𝟔

𝟑+𝟏

𝟒 =

𝟏𝟕

𝟒𝒖𝟐

𝟏

𝟎

𝟎

−𝟐

2 .3 . Calculo de l Volumen de un sól ido de revolución.

Un Sólido de revolución, es un sólido obtenido al rotar una región plana alrededor

de una recta fija contenida en el plano de la región. La recta fija se llama eje del

solido de revolución.

2.3.1. Método del Disco o de las Rebanadas

Si f es una función continua en el intervalo [a, b], entonces el volumen del sólido de

revolución engendrado al hacer girar sobre el eje x la región limitada por la curva

f(x), el eje x y las rectas x=a y x=b está dado por:

V = π∫ [f(x)]2 dx b

a


Nota: Se le llama método del disco, porque el diferencial al girar alrededor del eje, genera un disco de espesor “dx”

El volumen “V”, se expresa en unidades cúbicas (u3).

Ejemplo 36:

Calcular el volumen del sólido generado al hacer girar

por: 𝑦 = √𝑥, x=3 y el eje x. alrededor del eje x, la región acotada

Solución:

Reemplazando en la fórmula correspondiente al método del disco y desarrollando:

V = π∫ [√x]2 dx

3

0 = π∫ x dx

3

0 = [

πx2

2]0

3

= 𝟒. 𝟓𝛑 𝐮𝟑


Caso:

Si f es una función continua en el intervalo [c, d], entonces el volumen del sólido de

revolución engendrado al hacer girar sobre el “eje y” la región limitada por la curva

x=f (y), el eje y, y las rectas y= c, y=d está dado por:

V = π∫ [f(y)]2 dy d

c

Ejemplo 37:

Calcular el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje y, la región

acotada por la curva f(y) = (y-1)1/2 y la recta y=3.

Solución:

Aplicando la fórmula del presente caso, y

desarrollando:

V = π∫ [√y − 1]2 dy

3

1 = π∫ (y − 1)

3

1 dy = π [

y2

2 − y]

1

3

= 𝟐𝛑 𝐮𝟑

2.3.2. Método del Anillo o de la Arandela

Si f(x) ≥ g(x), para todo x que pertenece al intervalo [a, b]. El volumen del sólido de

revolución engendrado al girar sobre el “eje x” la región “R” formada por f(x) y g(x)

es:

V = π ∫ {[f(x)]2 − [g(x)]2}b

a dx


Al girar la región “R” alrededor del eje x, forma un agujero, anillo u arandela:

También:

Caso:

Si f(y) ≥ g(y), para todo “y” que pertenece al intervalo [c, d]. El volumen del sólido

de revolución engendrado al girar sobre el “eje y” la región “R” formada por f(y) y

g(y) es:

V = π ∫ {[f(y)]2 − [g(y)]2}d

c dy

Ejemplo 38:

Encontrar el volumen generado al girar sobre el eje x la región encerrada por las

parábolas y=x2yy2=8x.

Solución:

Las ecuaciones quedarían despejadas de la siguiente manera: y=x2, 𝑦 = ±√8𝑥. Al

igualar ambas ecuaciones, se encuentran los puntos de intersección de ambas

parábolas: (0, 0) y (2, 4).


Por lo tanto, aplicando la fórmula para una región comprendida entre dos curvas que

giran alrededor del eje x, tenemos:

V = π∫ [(√8x)2− (x2)2]

2

0 dx = π∫ (8x − x4)

2

0dx =

𝟒𝟖𝛑

𝟓𝐮𝟑

Caso: Cuando la región “R” gira alrededor de un eje diferente al eje x o eje y, y gira

alrededor del eje c, se aplica la siguiente fórmula:

𝐕 = 𝛑∫ {[𝐟(𝐱) − 𝐜]𝟐 − [𝐠(𝐱) − 𝐜]𝟐}. 𝐝𝐱 𝐛

𝐚

Nota: Para aplicar la fórmula, se debe señalar previamente una jerarquía de

funciones de mayor a menor (en el gráfico: 𝑦 = 𝑓(𝑥) > 𝑦 = 𝑔(𝑥) > 𝑦 = 𝑐, para

poder expresar la diferencia mayor, menos la diferencia menor, considerando

siempre el eje “c”.


2.3.3. Método de la Corteza Cilíndrica o casquetes cilíndricos

Este método es alternativo y se puede utilizar para resolver volúmenes de sólidos de

revolución de los métodos anteriores. La característica principal es que al girar un

diferencial se obtiene un cilindro.

Sea la función y = f(x) continua en [a, b]. Si la región limitada por y=f(x), el eje x y

las rectas x=a, x=b están en el primer cuadrante, el volumen del sólido de revolución

engendrado al girar esta región sobre el eje “y” es:

V = 2π∫ x. f(x) dx b

a

Ejemplo gráfico

Ejemplo 39:

Encontrar el volumen del sólido engendrado al girar sobre el eje y, la región positiva

limitada por la curva y = (x − 2)3, el eje x y la recta x=3.

Solución:


y = 1x

2

y = 0.4

y = -x + 4.5

y x 3.5 2

1 2 3 4

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

La gráfica corta al eje x en x=2; por lo tanto los límites de integración son: x=2 y

x=3. Aplicando la fórmula correspondiente a la corteza cilíndrica:

V = 2π∫ x(x − 2)3 dx3

2 = 2π∫ x(x3 − 6x2 + 12x − 8) dx

3

2 =

𝟕𝛑

𝟓𝐮𝟑

Ejemplo 40:

Fabricación de objetos utilizando sólidos de revolución y el programa Wolfram

Mathematica.

Se desea hallar la cantidad de material (volumen del sólido de revolución) a utilizar

en la construcción de una pieza de ajedrez, al hacer girar alrededor del eje x la

región formada por la siguiente función:

𝑓(𝑥) =

{

1 −

𝑥

2; 0 ≤ 𝑥 ≤ 1.2

0.4; 1.2 ≤ 𝑥 ≤ 2.91

−(𝑥 − 3.5)2 + 0.75; 2.91 ≤ 𝑥 ≤ 4 −𝑥 + 4.5; 4 ≤ 𝑥 ≤ 4.5

Solución:


Para hallar el volumen del sólido de revolución de la región formada, se tiene que

hallar el volumen de cada una de las regiones que forman la función. En este caso se

aplica el método del disco:

𝐕𝐓 = 𝛑 [∫ (𝟏 −𝐱

𝟐)𝟐

𝐝𝐱𝟏.𝟐

𝟎 + ∫ (𝟎. 𝟒)𝟐𝐝𝐱 + ∫ [−(𝐱 − 𝟑. 𝟓)𝟐 + 𝟎. 𝟕𝟓]𝟐𝐝𝐱 + ∫ (−𝐱 + 𝟒. 𝟓)𝟐𝐝𝐱

𝟒.𝟓

𝟒

𝟒

𝟐.𝟗𝟏

𝟐.𝟗𝟏

𝟏.𝟐]

𝑽𝑻 = 𝟏. 𝟗𝟔𝟎 + 𝟎. 𝟖𝟓𝟗 + 𝟏. 𝟒𝟕𝟐 + 𝟎. 𝟎𝟒𝟐

𝑽𝑻 ≅ 𝟒. 𝟑𝟑𝟑 𝒖𝟑

Nota: Si las unidades estuvieran en centímetros, entonces el volumen de material

sería 4.333 cm3

2 .4 . Longi tud de Arco (L)

La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de

recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más

segmentos sean y lo más pequeños posibles.

Cada segmento de recta se puede calcular por el teorema de Pitágoras.

(𝐝𝐋)𝟐 = (𝐝𝐱)𝟐 + (𝐝𝐲)𝟐

Teorema:

Si f es una función y f´ la derivada de f, son funciones continuas en [a, b], entonces

la Longitud de Arco (longitud de la curva) de la gráfica, donde y=f (x) desde el

punto [a, f (a)] hasta el punto [b, f (b)] en “unidades” (u) es:


𝐋 = ∫ √𝟏 + (𝐝𝐲

𝐝𝐱)𝟐𝐛

𝐚 𝐝𝐱

Ejemplo 41:

Calcular la longitud de arco de la curva 𝑥2 + 𝑦2 = 1 (Primer cuadrante) desde el

punto (0, 1) al punto (1, 0)

Solución:

La ecuación representa una relación, que al despejarla en y, se obtiene:

𝑦 = ±√1 − 𝑥2 , (Se considera “+” por estar por encima del eje x).

Para hallar la longitud de arco de la curva según los datos del problema, en el primer

cuadrante desde el punto (0, 1) al punto (1, 0), primero se halla la derivada:

f ′(x) = −x

√1 − x2

Reemplazando en la fórmula correspondiente a la “longitud de arco”, se obtiene:

L = ∫ √1 + [−x

√1−x2]2 . dx

1

0 = ∫ √

1

1−x2 dx

1

0 =

𝛑

𝟐 𝐮.


2.4 . Problemas propuestos

INTEGRAL DEFINIDA – EJERCICIOS

1. ∫𝑑𝑥

𝑥 − √𝑥

9

4

5. ∫𝑠𝑒𝑛𝑥

1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥

2𝜋

0

2. ∫𝑥1/6

4 + 𝑥1/2 𝑑𝑥 6. ∫ |𝑥 + 2|

4

−3

729

7

𝑑𝑥

3. ∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 7. 1

0

∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠2𝑥. 𝑑𝑥𝜋/2

0

4. ∫𝑣𝑑𝑣

(1 + 𝑣)3/4 8.

15

0

∫(𝑥3 − 6𝑥2 + 12𝑥 + 5)

(𝑥 − 2)3

1

−1

𝑑𝑥

CÁLCULO DE ÁREAS

Determine el área de la región limitada por las gráficas de las ecuaciones dadas.

Haga un esquema gráfico e indique claramente la región cuya área se pide:

1. y = x2, y=0, x=2, x=4

2. x=y2-4, x=0

3. y= 5x-x2, y=x

4. y2=x, y=x3

5. y=x3-8, y=0, x=0

6. y=6x-x2, y=0

7. y=x3-6x2+9x, y=x

8. y=senx, y=0, x pertenece a [0,π]

9. y2=x3, y2=x

10. y=senx, y= cosx, x∈ a [π/4, 5π/4]

11. y=2x+x2-x3, eje x, eje y, x=-1, x=1

CÁLCULO DE VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

1. Calcular el volumen generado por la elipse x2

4+

y2

3= 1, al girar alrededor del

eje x

2. Calcular el volumen generado por la circunferencia x2+(y-3)2=1, al girar

alrededor del eje x.


3. Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje 0X la región formada

por las gráficas: y2=x3, y=0, x=0, x=4.

4. Calcular el volumen generado al girar el área menor comprendida entre las curvas

x2+y2=25 y 3x2=16y alrededor del eje x.

5. Calcular el volumen generado por la región comprendida por el área menor que

forman las gráficas x2+y2=25 y x=4 al girar alrededor de la recta x=6.

6. Calcular el volumen generado por la rotación alrededor del eje y de la región

formada por: y=lnx, Eje x y x=2.

7. Calcular el volumen engendrado por la rotación de la región limitada por y=x2,

y= x1/2, x=2, cuando gira alrededor del eje x.

8. Calcular el volumen que se genera al girar alrededor de x=3 la región

comprendida por la circunferencia (x+2)2 + (y-2)2=1.

9. Calcular el volumen generado por la región limitada por las gráficas: x+y2+3y-

6=0 y x+y-3=0, al girar alrededor de y=3.

LONGITUD DE ARCO

1.- Un cable conductor de electricidad sostenido por dos postes, adquiere la forma de

una catenaria, de ecuación y= a/2 (ex/a+e-x/a). Se pide calcular la longitud del cable

necesario para colocarlo entre dos postes distantes 2a metros.

2.-Hallar la longitud del segmento de recta: y= 3x+5 desde x=1 hasta x=4. Compare

el resultado con la fórmula de la distancia entre dos puntos.

3. Hallar la longitud de la curva 4(y-1)3=9x2, desde y=1 hasta y=4

4. Hallar la longitud del arco de la curva y=lnx, desde x=(3)1/2 hasta x=(8)1/2.


Introducción

La integral impropia, es una extensión del concepto de integral

definida, aplicada a funciones que presentan extremos infinitos (∞).

3.1. Integrales impropias con límites infinitos:

Caso 1: Si f es una función continua en el intervalo infinito [a, +∞),

entonces:

∫ 𝐟(𝐱) 𝐝𝐱 = 𝐥𝐢𝐦𝐭→+∞

∫ 𝐟(𝐱) 𝐝𝐱𝐭

𝐚

+∞

𝐚

Siempre que el límite exista. Si existe el límite entonces la integral es

convergente , caso contrario es divergente .

Caso 2: Si f es una función continua en el intervalo infinito ( -∞, b],

entonces:

∫ 𝐟(𝐱) 𝐝𝐱 = 𝐥𝐢𝐦𝐭→−∞

∫ 𝐟(𝐱) 𝐝𝐱𝐛

𝐭

𝐛

−∞


Siempre que el límite exista. Si existe el límite entonces la integral es

convergente, caso contrario es divergente.

Caso 3: Si f es una función continua para todo x, entonces:

∫ 𝐟(𝐱) 𝐝𝐱 = ∫ 𝐟(𝐱) 𝐝𝐱 + 𝐜

−∞ ∫ 𝐟(𝐱) 𝐝𝐱+∞

𝐜

+∞

−∞

Suponiendo que las integrales de la derecha son convergentes. “c” es un

número arbitrario.

3.2. Integrales impropias con límites finitos:

Caso 4: Si f es una función continua en el intervalo semi -abierto [a,b),

donde f(b -)=∞ existe; entonces:

∫ 𝐟(𝐱) 𝐝𝐱 = 𝐥𝐢𝐦𝐭→𝐛−

∫ 𝐟(𝐱) 𝐝𝐱𝐭

𝐚

𝐛

𝐚

Siempre que el límite exista.

Caso 5: Si f es una función continua en el intervalo semi-abierto (a,b],

donde f(a+)=∞ existe; entonces:


∫ 𝐟(𝐱) 𝐝𝐱 = 𝐥𝐢𝐦𝐭→𝐚+

∫ 𝐟(𝐱) 𝐝𝐱𝐛

𝐭

𝐛

𝐚

Siempre que el límite exista.

3.3. Cálculo de Áreas:

Sea una función f continua en el intervalo infinito [a, ∞), El ÁREA de

la región limitada por la curva y=f(x) y el eje x, hacia la derecha de

x=a, es:

𝑨 = ∫ |𝒇(𝒙)| 𝒅𝒙∞

𝒂

Siempre que el límite de la integral impropia exista.

Interpretaciones semejantes a

ésta integral, son válidas para

cualquier otra integral

convergente con límites infinitos

de integración.


Ejemplo 42:

Evaluar la integral impropia:

∫ 𝑥. 𝑒−𝑥2 𝑑𝑥

∞

0

Aplicando la fórmula del caso 1:

∫ x. e−x2 dx = lim

t→∞∫ x. e−x

2t

0 dx

∞

0

Integrando con cambio de variable:

u = −x2 → du = −2x. dx → x. dx = −du

2

Entonces:

∫ 𝑥. 𝑒−𝑥2 𝑑𝑥 = lim

𝑡→∞∫ 𝑥. 𝑒−𝑥

2𝑡

0

𝑑𝑥 = lim𝑡→∞

−1

2∫ 𝑒𝑢𝑡

0

𝑑𝑢 = lim𝑡→∞

−1

2[𝑒−𝑥

2]0

𝑡∞

0

Reemplazando los límites de integración: 0, t:

lim𝑡→∞

−1

2[𝑒−𝑥

2]0

𝑡 = lim

𝑡→∞−1

2[𝑒−𝑡

2− 1] = lim

𝑡→∞

1

2[1 − 𝑒−𝑡

2]

Aplicando el límite al infinito:

lim𝑡→∞

1

2[1 − 𝑒−𝑡

2] = lim

𝑡→∞

1

2[1 −

1

𝑒𝑡2] =

1

2[1 − 0] =

𝟏

𝟐

La integral impropia es convergente y converge a ½.

Ejemplo 43:

Determinar si existe el valor de:

∫𝑑𝑥

√𝑥 − 1

2

1


F(x), es continua en (1, 2], y f(1 +)=+∞.

Utilizando la fórmula del caso 5:

∫𝑑𝑥

√𝑥 − 1

2

1

= lim𝑡→1+

∫𝑑𝑥

√𝑥 − 1 = lim

𝑡→∞[2√𝑥 − 1]

𝑡

2 = 𝟐

2

𝑡

La integral impropia es convergente y converge a 2.

3.4 . Problemas propuestos

1. ∫𝑑𝑥

𝑥2 + 1

+∞

−∞

5. ∫𝑑𝑥

𝑒𝑥 + 9𝑒−𝑥

𝑙𝑛3

−∞

2. ∫ 𝑒−𝑥𝑑𝑥+∞

0

6. ∫𝑥𝑑𝑥

(𝑥2 + 9)2

+∞

0

3. ∫𝑑𝑥

𝑥3

1

−2

7. ∫𝑑𝑥

1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝜋

0

4. ∫𝑑𝑥

𝑥2 + 2𝑥 + 2

+∞

−∞

8. ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥+∞

0

4. Bibl iograf ía

1. Santiago, Prado, Gómez, Quezada, Zúñiga, Pulido, Barajas,

Olmos. Cálculo integral para ingeniería - Pearson Educación.

México. Primera edición. 2008


2. Swokowski, E. Cálculo con Geometría Analítica – Editorial

Iberoamericana. Segunda edición. 1998.

3. Leithold. El Cálculo con Geometría Analítica - Harla. 1994.

4. Larson Ronald. Cálculo Vol. I-II. McGraw Hill. España. Quinta

edición. 1996.

5. Purcell, E. Cálculo con Geometría Analítica. Pren tice Hall. Sexta

Edición. 1993.

6. ElfriedeWenzelburger. Cálculo Integral. Grupo Editorial

Iberoamérica. 1994.

7. Moisés Lázaro. Cálculo Integral y sus Aplicaciones. Editorial

Moshera. 1996.

8 . ht tp: / /video .google .com/videoplay?docid=3744538696992328

705

Video de métodos de integración.

5. Anexos

Ejercicios propuestos en evaluaciones anteriores.

1. ∫(2𝑢 + 1)(1 + 𝑢 + 𝑢2)𝑑𝑢 2. ∫𝑣+1

𝑣−5𝑑𝑣

3. ∫cos (𝑙𝑛𝑥)

𝑥𝑑𝑥 4. ∫ 5𝑥2𝑥𝑑𝑥

5. ∫1+𝑠𝑒𝑛𝑥

1−𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 6. ∫

𝜋−7𝑝2+1

2 √𝑝3

6𝑝3𝑑𝑝

7. ∫ 𝑒(28−14𝑥)𝑑𝑥 8. ∫6𝑥2(𝑥3+4)

(1−𝑥3)4𝑑𝑥

9. ∫30𝑝

1+ 30𝑝𝑑𝑝 10. ∫ 4𝑥𝑒𝑥

2𝑑𝑥

11. ∫(√𝑥−2)

2

𝑥𝑑𝑥 12. ∫(3√𝑦 + 3) (

4

√𝑦− 5𝑦) 𝑑𝑦

http://video.google.com/videoplay?docid=3744538696992328705

http://video.google.com/videoplay?docid=3744538696992328705


13. ∫(𝑥−1)

√2𝑥 – √𝑥+1𝑑𝑥 14. ∫

𝑦+1

√𝑦−1𝑑𝑦

15. ∫𝑥

𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥 16. ∫

1−𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜃+1𝑑𝜃

17. ∫ 𝑒2𝑥+4. (2𝑥 + 4)𝑑𝑥 18. ∫𝑡𝑔𝑥

√1−𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥

19. ∫𝑑𝑥

100+𝑒𝑥 20. ∫[𝑙𝑛 (𝑧)]2𝑑𝑧

21. ∫ 𝑒√2𝑝𝑑𝑝 22. ∫𝜋7𝑥− √𝑥2

9+1

4𝑥1 3⁄ 𝑑𝑥

23. ∫𝑑𝑦

𝑦3+5𝑦2+4𝑦 24. ∫

𝑥5𝑑𝑥

𝑥3−8

25. ∫1

𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑡𝑎𝑔𝑥𝑑𝑥 26. ∫

𝑡𝑔(𝑒𝑠𝑒𝑛 𝛼)

𝑠𝑒𝑐 𝛼𝑑𝛼

27. ∫𝑑𝜃

𝜃 (1+𝜃20)3 28. ∫

𝑒−𝑥.𝑑𝑥

(9𝑒−2𝑥+1)3/2

29. ∫ √7 + 4𝑥2. 𝑑𝑥 30. ∫ 𝑐𝑜𝑡𝑔4𝑢. 𝑑𝑢

31. ∫ 𝑥3𝑒𝑥2. 𝑑𝑥 32. ∫ 𝑡𝑎𝑔5𝑥. 𝑠𝑒𝑐8𝑥. 𝑑𝑥

33. ∫ cos(𝑙𝑛2𝑦) . 𝑑𝑦 34.

dy

y

y

22

2

35. dss

s3

ln 36.

d

tag.cos

12

37. dxx

xsenx22

2

cos 38.

dx

e

ex

x

1

1

39.

dp

p

pp

1

532

3

40. ∫dx

(x2+8x+7)3/2

41. ∫2y

1+y4dy 42. ∫

√16(1−cost)

1+costdt

43. ∫ √1 − ex . dx 44. ∫dθ

1+tanθ


45. ∫1

x2+2x+4dx 46. ∫ 𝑠𝑒𝑛3𝜔. 𝑐𝑜𝑠6𝜔. 𝑑𝜔

47. ∫ 𝑐𝑜𝑡𝑔4𝑥. 𝑑𝑥 48. ∫ 𝑠𝑒𝑐4𝜃. 𝑑𝜃

49. ∫√25−𝑥2

𝑥2𝑑𝑥 50. ∫

𝑑𝑦

√𝑒2𝑦+𝑒𝑦

51. ∫𝑑𝑟

√𝑟2−6𝑟 52. ∫ 𝑠𝑒𝑛√𝑧. 𝑑𝑧

53. ∫𝑒𝑥

√𝑒𝑥+1+1𝑑𝑥 54. ∫ 𝑒2𝑝𝑐𝑜𝑠(3𝑝)𝑑𝑝

55. ∫𝑦7

𝑦4+√6 56. ∫ (1 +

1

𝑡)−3(1

𝑡2)𝑑𝑡

57. ∫ ((𝑥 − 1)2 +3

2) 𝑑𝑥

2

0 58. ∫ (1 + 𝑠𝑒𝑛𝜃)

2𝜋

0𝑑𝜃

59. ∫3𝑦

1+ 3𝑦𝑑𝑦

2

1 60. ∫

𝑙𝑛𝑥

𝑥2𝑑𝑥

2

1

61. ∫ 17𝑒𝑥+𝑒𝑥. 𝑑𝑥 62. ∫ 7𝑦. 𝑐𝑜𝑠𝑦. 𝑑𝑦

63. ∫𝑒𝑥−𝑒−𝑥

𝑒𝑥+𝑒−𝑥. 𝑑𝑥 64. ∫

(𝑣2−2)(𝑣2+1)

√𝑣23 . 𝑑𝑣

65. ∫𝑑𝑡

√(9𝑡2+9).𝑙𝑛|√1+𝑡2+𝑡|

66. ∫√2+𝑥2−√2−𝑥2

√4−𝑥4𝑑𝑥

67. ∫16𝑡3

𝑒𝑡2 𝑑𝑡 68. ∫

𝑒𝑙𝑛𝑦2

𝑦3+8𝑑𝑦

69. ∫𝑑𝑣

√(1+𝑣2)𝑙𝑛|𝑣+√1+𝑣2|

70. ∫ 16(𝑛𝑡)1−𝑛𝑛 . 𝑑𝑡

71. ∫𝑑𝑦

(𝑒2𝑦+𝑒𝑦)1 2⁄ 72. ∫√𝑥+13

𝑥𝑑𝑥

73. ∫𝑠𝑒𝑛𝑡.𝑑𝑡

1+𝑠𝑒𝑛2𝑡 74. ∫ 30𝑠𝑒𝑛3𝜃. 𝑐𝑜𝑠3𝜃. 𝑑𝜃

75. ∫ |𝑦 − 1|𝑑𝑦 2

−3 76. ∫

𝑑𝑥

𝑥(1+𝑥20)31

−1


77. ∫ √𝑥√23

𝑥

3

. 𝑑𝑥 78. ∫23𝑦

√23−2𝑦4𝑑𝑦

79. ∫ 23𝑡(46𝑡 + 5)10𝑑𝑡 80. ∫𝑥2

√1+𝑥𝑑𝑥

81. ∫𝑒2𝑡−1

3+𝑒2𝑡𝑑𝑡 82. ∫

26(𝑣𝑥−𝑤𝑥)2

𝑣𝑥𝑤𝑥 𝑑𝑥

83. ∫ 26𝑦. 𝑙𝑛 |1−𝑦

1+𝑦| 𝑑𝑦 84. ∫

26𝑥4

√(1−𝑥2)33 𝑑𝑥

85. ∫13

𝑣2(𝑣2+16)𝑑𝑣 86. ∫

16.𝑙𝑛23𝑡

𝑡2𝑑𝑡

87. ∫𝑑𝑠

𝑐𝑜𝑠8(𝑠

2)𝑡𝑔5(

𝑠

2) 88. ∫

17.𝑑𝑥

3√𝑒𝑥−1

89. ∫𝑡7+𝑡3

𝑡12−2𝑡4+1𝑑𝑡 90. ∫

18.ln (2𝑤)

𝑤.ln (4𝑤)𝑑𝑤

91. ∫𝑠𝑒𝑐𝜃.𝑑𝜃

𝑠𝑒𝑐𝜃+2𝑡𝑔𝜃−1 92. ∫

𝑠𝑒𝑛(7𝑡).𝑒sec (7𝑡)

27.𝑐𝑜𝑠2(7𝑡)𝑑𝑡

93. ∫ 24. 𝑐𝑜𝑠6𝑥. 𝑑𝑥 94. ∫21.𝑠𝑒𝑛𝑡.𝑑𝑡

1+𝑠𝑒𝑛2𝑡

9. Hallar el área del rectángulo equivalente al área que forma la curva f(x)=4-x2

con el intervalo x є [-2, 2]. Grafique el problema.

96. Se pide encontrar el ÁREA de la región limitada por la gráfica de las

ecuaciones y2=2x; x-y=4. Grafique e indique claramente la región del área

pedida.

97. Se desea hallar el ÁREA de una región destinada para un jardín que se

encuentra limitada por dos carreteras que se cruzan y simulan las curvas: y=x3

y la parábola y=2x-x2, desde x=0 hasta x=2; e indique gráficamente la región

del área pedida.

98. Calcule el área que se destinará para reforestación, que corresponde a la región

limitada por el eje horizontal y la gráfica de la función: f(x) = xe−x2 en el

intervalo [0, +∞).

99. El diseño de la parte superior de un silo de granos, obedece al sólido de

revolución que se forma al girar la región que forma la función:


f(y) = 2√4 − y y las rectas y=0, y=3, al girar alrededor del eje x. Hallar

volumen del sólido de revolución.

100. Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al girar alrededor del

eje x la región formada por la curva y=2x+ x2 –x3, y = 0. (Ver gráfico).

101. Dada la siguiente función f(x) = 1/(2x-x2)1/2, se pide hallar la superficie que

forma con el eje y=0 y sus asíntotas.

102. Se desea medir la longitud de un cable de internet suspendido entre dos

edificios contiguos que está representada por la función y =x3

6+

1

2x entre

los puntos x=1/2 y x=2. Hallar la longitud, considerando la escala cartesiana

en metros.

103. La producción de una matriz para la elaboración de hitos, se desarrolla

mediante un sólido de revolución, que se obtiene al rotar la región que forman

las curvas x = √4 − y y los ejes positivos, al girar alrededor de la recta x=4.

Determinar dicho sólido.

104. Se desea construir un soporte para una línea de postes de alumbrado de un

bosque, que se logra con la rotación de la región formada por las funciones

f(x) = x2+2x+2, g(x)= 6x-2, h(x) = 1, alrededor del eje x. Construir la gráfica y

hallar el volumen soporte formado

105. Las curvas y=x3; x=y3; forman una región en el 1° cuadrante. Esta región al

girarla alrededor del eje y, forma parte del diseño de la parte superior de una

pileta ornamental. Se desea hacer el esquema gráfico y hallar el volumen de

revolución respectivo.


106. La producción de flotadores obedecen a una matriz experimental, que es

producto del sólido de revolución que forma la circunferencia (y-3)2 + x2 =1 al

girar alrededor del eje y=0. Urgentemente, se le pide hallar el volumen

engendrado y su gráfica.

107. Se desea construir un depósito para almacenar agua sobre una plataforma en

una zona desértica, que obedece a la región formada por las curvas y=6-x2,

x=0, y=2 en el 2° cuadrante; que gira alrededor de la recta x=2. Hallar el

volumen del sólido de revolución formado y su gráfica.

108. Se desea hallar el ÁREA de una región destinada para una losa que colindará

con un área verde que se encuentra limitada por dos curvas: x = 1 + 4y;

x = −143 − 56y − 6y2 . Indique gráficamente la región del área pedida.

109. Un terreno destinado para arborización como pulmón de una determinada

ciudad, tiene la forma de la región que se forma entre las curvas: y=x3-6x2+8x

e y-x2+4x=0. Se pide determinar el área del terreno.

110. Calcular el área de la región que se encuentra limitada por las ecuaciones

y2-x+1=0, y+1=0 y los ejes cartesianos del “IV cuadrante”. Además, calcular

el costo de la región, si el m2 cuesta S/.20.00. Considerar la escala cartesiana

1:1Km.

111. La región destinada para un moderno centro de cómputo, simula el espacio que

encierran las curvas y=x3 y la recta tangente a la curva en el punto x=-2. Se

pide calcular el área.

112. La construcción de una pileta artística de concreto, que será instalada en el

parque que Ud. diseñará; se asemeja a la región que encierran las curvas

y=1-(x+1)2; x-y=0 y que gira alrededor de la recta x=0. Escala cartesiana:

1:1m. Se le pide:

a) Hacer la gráfica respectiva y calcular el volumen del sólido de revolución.

b) ¿Cuánto será el costo del concreto a utilizar, si el m3 cuesta S/.2,580.00?

113. Un sólido experimental diseñado para reemplazar unas piezas de caucho para

un dispositivo utilizado en la recuperación de petróleo; se forma por la rotación

alrededor de la recta y=-1 de la región que cierran las curvas: x=4+6y-2y2;

x+4=0. Se pide la gráfica y calcular el volumen del sólido de revolución.


114. La parte externa de una campana industrial, se genera por la rotación alrededor

de la recta x=0 de la región que encierran las curvas: x=1, y=-x2+4x-3,

y=x3-6x2+12x-5, x=3. Se pide la gráfica y calcular el volumen del sólido de

revolución.

115. Cree Ud. un sólido de revolución considerando lo siguiente:

a) Que sea de utilidad cotidiana o industrial

b) Que contenga como mínimo 02 curvas

c) Dibujar la gráfica

d) Calcular del volumen del sólido de revolución.

116. Las toberas de un cohete que será enviado al espacio, se construyen con un

molde que se asemeja a la región que encierran las 03 curvas: y=4x-x2; la

tangente a la curva en el punto x=1 y y= -4, que gira alrededor de la recta

x=2. Se le pide la gráfica respectiva y hallar el volumen del sólido formado.

117. Calcular el área de una región destinada para pozas de oxidación, que se

encuentra limitada por las curvas: y=4xe-x, y=0, comprendida desde x=0 al

infinito. Gráfica.

118. Un pedestal decorativo sólido, se genera por la rotación alrededor del eje x de

la región que encierran las curvas: (y-1)3=x2, y=0, x=1, x=8.

Escala cartesiana: 1:1pulgada. Aparte de la gráfica respectiva, se le pide:

a) Calcular el perímetro de la región formada.

b) Calcular el volumen del sólido de revolución.

c) El costo de la cantidad de material a utilizar, si el litro cuesta S/.53.00.

119. Una zona destinada para la instalación de un equipo de tratamiento de aguas

residuales, es representado por la región que limitan las ecuaciones: y2+x-5=0;

y+x+1=0. Calcule:

a) El área de la región formada, considerando la escala 1:1m.

b) La longitud de la región formada

120. Cierto dispositivo de caucho para la pesca industrial, se diseña a partir de la

región que encierran las curvas y=4x2; x=2, x=-2, y=0 y que gira alrededor de

la recta y=-1. Se pide:

a) Calcular el perímetro de la región formada antes del giro


b) Hallar el volumen del sólido fe revolución

121. Una cúpula industrial, se asemeja al sólido de revolución que se genera al girar

alrededor del eje y, la región que encierran las curvas: y+x-4=0; y+2x-8=0;

y= (12-2x)/3. Calcule:

a) El volumen del sólido de revolución formado. Escala 1:1m

b) El costo del concreto a utilizar en caso que la construcción sea factible; si

7m3 cuestan S/.2125.00

122. Un agitador de una poza de lechada de cal de una fábrica de papel, se asemeja

al sólido que se genera por la rotación alrededor del eje y de la región que

encierran las curvas: (y − 1)3 = x2; y=0, x=1, x=8. Se pide:

a) Calcule el área de la región formada y la gráfica respectiva

b) Calcular el volumen del sólido de revolución formado

123. Un prototipo de propulsor de cohetes ideado por la NASA, se asemeja a la

región que encierran las curvas: Y=2x; y=x/2; x=1, x=3 al girar alrededor de

un eje. Se pide calcular:

a) El perímetro de la región formada.

b) El área de la región formada

c) El volumen del sólido formado, cuando gira en la recta y=-1

124. Una plataforma especial, en uno de sus extremos, tiene la forma de la curva:

y=1+2x-x2, acotada desde x=-1 a x=2. Calcule la longitud de este extremo y el

costo del cerco especial a colocar, si el pie lineal cuesta S/. 18.5. Considerar

Escala cartesiana: 1:1metro; 1pié=30.cm.

125. Un cruce moderno de dos grandes autopistas, se asemeja al que forman las

curvas: 𝑦 = 𝑥3 − 3𝑥2 + 2𝑥 𝑒 𝑦 = −𝑥3 + 4𝑥2 − 3𝑥, formando una región

que se destinará para área verde. Se pide calcular el área de la región formada.

Gráfica.

126. Dada la región encerrada por las curvas: 𝑦 = 𝑥2, 𝑛 𝑦 = √𝑥 y la recta x=2; se

le pide calcular:

a) El área de la región formada

b) El perímetro de la región establecida


c) El volumen del sólido de revolución formado cuando gira en la recta y=0

127. Un recipiente para preparar aditivos para un riego tecnificado, obedece

aproximadamente al sólido que se genera cuando gira alrededor de x=0 la

región que encierran las curvas x2 + (y − 3)2 = 4; y = x + 1; x = 0

a) Encuentre la capacidad del reservorio. Escala cartesiana: 1:1m

b) El costo del agua para llenarlo, si el litro cuesta S/.0.25

128. El cabezal de un tanque industrial, se construye simulando la rotación alrededor

de la recta x=-1 de la región que limitan las curvas: x=cosy; x=0; y=0;

y=π/4. Calcular el volumen del sólido de revolución formado.

guia de matemática ii.docx

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