guia de incertezas

Universidade Federal do ABC

Um guia rapido sobre

Calculo de Incertezas

Renan Marinelli [email protected]

Santo Andre - SPEsta e uma versao parcial compilada em 13 de abril de 2014

Sumario

1 Propagacao de erros 51.1 Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Funcoes polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Funcoes trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3 Produto de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.4 Divisao de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.5 Regra da cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Propagacao de erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

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4 SUMARIO

Captulo 1

Propagacao de erros

A propagacao de erros e um metodo utilizado para encontrar a incerteza de uma grandezaobtida de modo indireto. Por exemplo, para calcular a area de uma folha retangular, medimosseus lados x e y. A medicao desses lados tem uma incerteza relacionada. A area A = xytambem tera uma incerteza, a qual e dada por propagacao de erros. Nao medimos diretamentea area, a obtivemos de modo indireto.

Este guia tem como objetivo mostrar como trabalhar com a equacao da propagacao de errospor meio de exemplos.

Para auxiliar a`s pessoas que ainda nao viram derivadas, uma breve (ou nao) explicacaosobre derivadas e derivadas parciais esta disponvel. Alguns dos exemplos foram retirados dolivro de Calculo 1 do Stewart.

1.1 DerivadasEsta secao mostrara como derivar funcoes que podem aparecer em fenomenos mecanicos,

alem de algumas outras uteis para demonstrar as tecnicas de derivacao. A notacao utilizadapara as derivadas de f(x)e: d

dxf(x) ou f (x).

1.1.1 Funcoes polinomiais

d

dxxn = nxn1

Em palavras, primeiro tomba o expoente e depois subtrai 1 dele.

Exemplo 1.1.1.d

dxx2 = 2x21

Exemplo 1.1.2.

d

dx

(9x5 + 7x4 + 5x+ x+ 20

)= 9.5x51 + 7.4x41 + 5.1x11 + 1.x11 + 20.0x01

Acima, podemos ver que a derivada de uma constante e 0. Lembrar que x0 = 1. Vemostambem que a derivada da soma e a soma das derivadas. Obs.: o expoente de x nao precisa serinteiro, poderia ser, por exemplo, x5, x 13 , xpi.

5

6 CAPITULO 1. PROPAGACAO DE ERROS

1.1.2 Funcoes trigonometricasExemplo 1.1.3.

d

dxsin(x) = cos(x)

Exemplo 1.1.4.d

dxcos(x) = sin(x)

1.1.3 Produto de funcoes

d

dx[f(x)g(x)] = fg + gf = f(x) d

dxg(x) + g(x) d

dxf(x)

Em palavras: primeira vezes a derivada da segunda mais a segunda vezes a derivada daprimeira.

Exemplo 1.1.5.

d

dxx sin(x) = x d

dxsin(x) + sin(x) d

dxx = x cos(x) + sin(x).1

No exemplo acima, f(x) = x e g(x) = sin(x).

1.1.4 Divisao de funcoes

d

dx

[f(x)g(x)

]= gf

fgg2

Exemplo 1.1.6.

d

dx

(sin(x)cos(x)

)=

cos(x) ddx

sin(x) sin(x) ddxcos(x)

cos2(x)

= cos(x) cos(x) sin(x)( sin(x))cos2(x)= cos

2(x) + sin2(x)cos2(x)

= 1cos2(x) = sec2(x)

No exemplo acima, f(x) = sin(x) e g(x) = cos(x).

1.1.5 Regra da cadeiaEsta e uma das partes mais difceis de entender com relacao a` derivada. Vou dar uma

explicada breve sobre isso. Digamos que eu precise derivar (x3 + 4)5. Como fazer? Umasolucao seria expandir o termo entre parenteses e, em seguida, derivar normalmente. Nestecaso, isso demora um pouquinho, mas resolve. E se no lugar de 5 fosse 100? Ha um metodoalternativo? Sim, esse metodo e conhecido como regra da cadeia.

Podemos pensar em (x3 + 4)5 como (alguma coisa)5, ou seja, uma parte de dentro (algumacoisa) e uma parte de fora (neste caso, o elevado a` quinta). De acordo com a regra da cadeia:

1.2. DERIVADAS PARCIAIS 7

d

dx(alguma coisa)5 = 5(alguma coisa)4 d

dx(alguma coisa)

Eis o que foi feito: derivamos a funcao de fora separadamente e, em seguida, multiplicamospela derivada da funcao de dentro. No caso do exemplo que dei:

d

dx

(x3 + 4

)5= 5(x3 + 4)4 d

dx

(x3 + 4

)= 5(x3 + 4)4.(3x2 + 0)

Exemplo 1.1.7.d

dxsin(x2)

Neste caso, a funcao de fora e o seno, e a de dentro e o x2. Assim:

d

dxsin(x2) = cos(x2) d

dx(x2) = 2x cos(x2)

Exemplo 1.1.8.d

dx[sin(x)]2

Neste caso, a funcao de fora e o (alguma coisa)2 e a de dentro e o seno. Assim:

d

dx[sin(x)]2 = 2.(sin(x))1 d

dxsin(x) = 2 sin(x) cos(x)

Exemplo 1.1.9.d

dx

13x4 + sin(x)

Primeiramente, temos que usar a regra do quociente, pois temos uma divisao de funcoes. Noentanto, podemos usar diretamente a regra da cadeia, desde que reescrevamos a funcao como(x4 + sin(x))(

13). Neste caso, a funcao de fora e o (alguma coisa)(

13) e a funcao de dentro e

x4 + sin(x). Assim:

d

dx

(x4 + sin(x)

)( 13) = 13(x4 + sin(x)

)( 131) ddx

(x4 + sin(x)

)= 13

(x4 + sin(x)

)( 131) (4x3 + cos(x))Pode-se ver acima que a regra da cadeia e utilizada para derivar funcoes compostas.

1.2 Derivadas parciaisUma vez que ja se saiba derivar, derivar parcialmente vem como consequencia. Ha apenas

uma mudanca de notacao.Ate agora, vimos funcoes do tipo f(x), como, por exemplo, f(x) = x2, f(x) = sin(x), f(x) =

ln(x). Em outras palavras, funcoes que dependem de apenas uma variavel, no caso, x. Noentanto, frequentemente, ha funcoes que dependem de mais de uma variavel. Por exemplo, seestivermos em uma sala e quisermos uma funcao que represente a temperatura T da sala emcada ponto. Essa funcao ira depender da localizacao no espaco do ponto, digamos um pontode coordenadas x, y, z. Teremos assim uma T (x, y, z). Outro caso seria a area A de uma folharetangular de lados x, y, em que A(x, y) = xy, o volume de um cilindro V (r, h) = pir2h, e assimpor diante.


Assim como em funcoes de uma variavel, e possvel calcular limites, derivadas e integraispara funcoes de varias variaveis. Esse e o conteudo da disciplina Funcoes de Varias Variaveis(FVV). Em femec, e necessario apenas saber como se calculam derivadas parciais.

Quando temos apenas uma variavel, digamos, x, indicamos a derivada com a notacaod

dxf(x). Quando temos mais de uma variavel, digamos, r e h, podemos derivar em relacao

a qualquer uma delas. Por isso dizemos que derivamos parcialmente em relacao a` r ou emrelacao a` h. Seja f(r, h), a notacao utilizada e: f

r, derivada parcial de f em relacao a` r ou

f

h, derivada parcial de f em relacao a` h.

Exemplo 1.2.1. Seja f(x, y) = x3y7. Calcule: a) fx

b) fy

a) fx

Primeiramente, vamos calcular a derivada parcial de f em relacao a x. Se estamos fazendoa derivada em relacao a x, entao x e a variavel que iremos derivar. Mas e o y? Comoestamos derivando o x, o y nada mais e do que uma constante. Na sua cabeca, vocepode pensar nele como se fosse um numero. Assim:

f

x= 3x2y7

Repare que nao derivamos o y.

b) fy

Agora, vamos derivar em relacao a y. Sendo assim, desta vez o x e uma constante.Derivaremos apenas o y.

f

y= x3.7y6

Repare que nao derivamos o x.

Exemplo 1.2.2. Seja f(x, y) = x5 + y9. Calcule: a) fx

b) fy

a) fx

= 5x4 + 0

Neste caso, derivamos em relacao ao x, e consideramos o y como uma constante. Por isso,o segundo termo deu 0 (derivada de uma constante e 0)

b) fy

= 0 + 9y8

Neste caso, derivamos em relacao ao y, e consideramos o x como uma constante. Por isso,o primeiro termo deu 0.

Exemplo 1.2.3. Seja g(m1,m2, a) =(m1 +m2) a

m2. Calcule:

a) gm1

b) gm2

c) ga

1.2. DERIVADAS PARCIAIS 9

a) ga

= (m1 +m2)m2

1Aqui, consideramos m1 e m2 como constantes. Derivamos apenas a variavel a.

b) gm1Para fazer isso, vamos primeiro reescrever a funcao original:

g(m1,m2, a) =(m1 +m2) a

m2

= am1m2

+ a = am1m12 + a

= gm1

= am12 + 0

Aqui, derivamos a variavel m1. As variaveis m2 e a foram consideradas constantes.

c) gm2

Novamente, reescrevemos a funcao original: g(m1,m2, a) = am1m12 + ag

m2= am1(1)m(11)2

Derivamos em relacao a m2. No caso, m1 e a foram considerados constantes.

Exemplo 1.2.4. Seja f(x, y, z) = xy + 2z . Calcule: a)

fx

b) fy

c) fz

a) fx

= 1y + 2z

Aqui, derivamos a variavel x. As variaveis y e z foram consideradas constantes.

b) fy

Para fazer isso, vamos usar a regra do quociente.

f

y=

(y + 2z) yx x

y(y + 2z)

(y + 2z)2= (y + 2z).0 x.(1 + 0)

(y + 2z)2= x

(y + 2z)2

c) fzPoderamos usar a regra do quociente e o procedimento seria muito similar ao feito acima.No entanto, para mostrar outra forma de fazer, vamos usar a regra da cadeia. Primeira-mente, reescrevemos a funcao original:

f(x, y, z) = x (y + 2z)1

f

z= x(1) (y + 2z)2 (y + 2z)

z= x (y + 2z)2 (0 + 2) = 2x (y + 2z)2


1.3 Propagacao de errosSeja f(x, y, z, ...) uma funcao de varias variaveis, em que cada uma delas tem uma incerteza

x, y, z, . . . associada. A incerteza de f e dada por:

f =

(fx

)2(x)2 +

(f

y

)2(y)2 +

(f

z

)2(z)2 + . . . (1.1)

Repare no padrao: derivamos f em relacao a cada uma das variaveis e multiplicamos pelaincerteza da variavel. Em seguida, elevamos cada um dos termos ao quadrado.

Exemplo 1.3.1. Este exemplo esta disponvel na pasta laboratorio no repositorio do Tidia. Oque farei e explica-lo com mais detalhes.

Queremos medir a aceleracao da gravidade g. Um modo simples de fazer isso e utilizar umabola de tenis e um cronometro, uma regua ou trena e um cronometro. Solta-se a bola a umadeterminada altura y acima do solo e mede-se o tempo t para ela chegar ao chao. Orientei oeixo y positivo para cima e coloquei y = 0m no ponto onde a bola e abandonada.

y = y0 + V0t+ 12at2 y = y0 + V0t+ 12(g)t2

Temos y0 = 0 m, V0 = 0 m/s. Portanto: y = 12gt2 g = 2y

t2. Ao usarmos valores

medios para y e t: g = yt2

. As grandezas y e t tem uma incerteza relacionada, assim como g.Para encontrar a incerteza associada a` g, aplicamos a propagacao de erros.

Equacao em que aplicaremos a propagacao de erros:

g = 2yt2

(1.2)

Obs.: na equacao 1.2, foram omitidas as barras indicando valores medios para deixar aescrita mais limpa. Tenha em mente, no entanto, que g, y e t sao na verdade g, y e t.

Propagacao de erros:

(g)2 =(g

y

)2. (y)2 +

(g

t

)2. (t)2 (1.3)

Faremos as derivadas parciais separadamente.

g

y= 2

t2.1 (1.4)

g

t= 2y(2)t3 = 4y

t3(1.5)

Em seguida, basta substituir as equacoes 1.4 e 1.5 na equacao 1.3. Com isso, obtemos:

(g)2 =(2t2

)2. (y)2 +

( 4t3

)2. (t)2 g =

(2t2

)2. (y)2 +

(4yt3

)2. (t)2 (1.6)

Do jeito que esta, a equacao 1.6 esta correta. Poderamos substituir os valores detempo, altura e suas respectivas incertezas para obter g. No entanto, geralmente ela e escritade outro modo, em termo de g. Como queremos fazer aparecer um g fora da raiz no final daconta, colocamos um g2 em evidencia dentro da raiz. Lembrando que g = 2y

t2 .

g =(2

t2

)2. (y)2 +

(4yt3

)2. (t)2 =

(4y2t4

)[(1y2

)(y)2 +

( 4t2

)(t)2

]

1.3. PROPAGACAO DE ERROS 11

=(2yt2

)[( 1y2

)(y)2 +

( 4t2

)(t)2

]= g

(yy

)2+ 4

(tt

)2(1.7)

Acima, colocamos g2 em evidencia dentro da raiz. Outra forma seria comparar as equacoes1.4 e 1.5 com a equacao 1.2.

g = 2yt2 2

t2= gy

g = 2yt2 2g

t= 4y

t3 4y

t3= 2g

tPodemos substituir essas duas equacoes na equacao 1.3 e encontraremos o mesmo resultado

que em 1.7.

Exemplo 1.3.2. Na figura 1.1, temos um retangulo de area A = xy. Queremos saber aincerteza na area A.

Figura 1.1: Retangulo de area A = xy

Como a area e obtida de modo indireto, atraves do produto de duas grandezas, e necessarioaplicar propagacao de erros.

Equacao em que aplicaremos a propagacao de erros:

A = xy (1.8)

Equacao da propagacao de erros:

(A)2 =(A

x

)2 (x)2 +

(A

y

)2 (y)2 (1.9)

Vamos fazer as derivadas parciais a parte, e, em seguida, substitu-las na equacao 1.9.

A

x= y (1.10)

A

y= x (1.11)

A =

(y)2 (x)2 + (x)2 (y)2 (1.12)Do jeito que esta, a equacao 1.12 esta correta. Poderamos substituir os valores de

x e y, assim como suas incertezas, e obter A. No entanto, se quisermos, podemos deixar oresultado em funcao da area A. Para isso, vamos comparar as equacoes das derivadas parciaiscom a equacao 1.8.

A = xy x = Ay

(1.13)

A = xy y = Ax

(1.14)


Substituindo-se as equacoes acima na equacao 1.12, obtemos:

A =

(Ax

)2(x)2 +

(A

y

)2(y)2 A = A

(xx

)2+(yy

)2(1.15)

Ao inves de aplicar a equacao 1.1 diretamente, ha tabelas disponveis em que sao mostradosos resultados mais comuns decorrentes da aplicacao da equacao 1.1. No entanto, e recomendavelsaber partir da equacao original, afinal, qualquer detalhezinho que mudar e o uso da tabela japode nao ser possvel. Alem disso, durante a prova, pode nao ser permitida a consulta a` tabela.

1.3. PROPAGACAO DE ERROS 13

Duvidas em relacao a algo escrito, correcoes ou sugestoes sao bem-vindos. Obrigado pelaleitura!

Propagao de errosDerivadasFunes polinomiaisFunes trigonomtricasProduto de funesDiviso de funesRegra da cadeia

Derivadas parciaisPropagao de erros

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