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Grupos

Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡

Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ

[email protected]

‡

Sumario

1 Grupos 4

1.1 Conceitos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Propriedades basicas de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.2 Grupo das bijecoes-Permutacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Grupo simetrico de grau n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.1 O grupo S3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.2 Subgrupos de S3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.3 Para n ≥ 3, Sn nao e abeliano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.4 Grupo S4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.1 Normalizador de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.2 Conjunto gerado por um elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4 Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4.1 Congruencia modulo H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4.2 Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5 Grupos cıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5.1 Homomorfismos e automorfismos de Grupos cıclicos . . . . . . . . . 37

1.6 Grupos diedrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.7 Homomorfismo de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.7.1 Automorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.7.2 f : G→ G com f(x) = axa−1 e automorfismo . . . . . . . . . . . . 47

1.7.3 Determinacao de homomorfismo entre dois grupos . . . . . . . . . . 50

1.7.4 Teorema de Cayley - G e isomorfo a um subgrupo de SG. . . . . . . 51

1.7.5 Teorema dos isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2

SUMARIO 3

1.8 O grupo Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.8.1 Ciclos de S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

1.8.2 Ciclos de S4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Capıtulo 1

Grupos

1.1 Conceitos basicos

Definicao 1 (Grupo). Um grupo e uma estrutura (G, ∗), formada por um conjunto G

munido de uma operacao ∗, que satisfaz as seguintes propriedades

1. Associatividade

(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).

2. Existe um elemento neutro e ∈ G tal que a ∗ e = a = e ∗ a.

3. Existencia de inverso. Para qualquer elemento a ∈ G existe a−1 ∈ G tal que

a ∗ a−1 = e = a−1 ∗ a. Para quaisquer a, b e c ∈ G. Denotamos o grupo por (G, ∗),

caso esteja subentendida a operacao ∗, podemos denotar o grupo apenas por G .

Propriedade 1. Poderıamos pedir apenas que houvesse um elemento neutro a direita e,

tal que a ∗ e = a e isso implica e tambem e um elemento neutro a esquerda, pois

a = a ∗ e = a ∗ (a−1 ∗ a) = (a ∗ a−1) ∗ a = e ∗ a,

da mesma maneira poderıamos definir apenas elemento neutro a esquerda.

Definicao 2 (Semi-grupo). Em um semi-grupo vale apenas a associatividade.

4

CAPITULO 1. GRUPOS 5

Definicao 3 (Monoide). E um semigrupo onde existe elemento neutro .

Definicao 4 (Magma ou grupoide). Vale apenas que a operacao e fechada .

Definicao 5 (Ordem de um grupo). Dado um grupo (G, ∗), existem duas possibilidades

• G e um conjunto finito, digamos, com n elementos. Nesse caso dizemos que o grupo

(G, ∗) e finito e simbolizamos |G| = n (le-se: ordem de G e n ou ordem de G e igual

a n ).

• G e um conjunto infinito, nesse caso simbolizamos |G| = ∞, dizemos que a ordem

do grupo e infinita.

Definicao 6 (Grupo abeliano). Um grupo e dito abeliano quando vale a propriedade

a ∗ b = b ∗ a para todos a, b ∈ G. Grupos abelianos sao tambem chamados de grupos

comutativos. Grupos nao abelianos sao chamados de grupos nao comutativos.

Exemplo 1. Para n ≥ 1, (Zn,+) e um grupo abeliano com n elementos.

Exemplo 2. Para n ≥ 2 (Z∗n,×) e um grupo abeliano com ϕ(n) elementos.

Corolario 1. Se um grupo G nao e abeliano, entao existem x, y ∈ G tais que x∗y 6= y∗x.

Exemplo 3. • Se (A,+, .) e um anel, entao (A,+) e um grupo abeliano.

• Se (K,+, .) e um corpo, entao (K,+) e um grupo abeliano e (K \ {0}, .) tambem.

Podemos tomar K como R, Q, C ou Zp.

• (Z,+) e grupo abeliano infinito .

Propriedade 2. Seja G = {e, g1, g2, · · · , gn} um grupo abeliano de ordem n + 1. Se G

possui um unico elemento de ordem 2 entao

n∏k=1

gk = g1.


Demonstracao. x 6= e e de ordem 2 ⇔ x2 = e. Alem de g1 nao ha outro elemento

de ordem 2 entao o inverso de cada gk deve pertencer ao conjunto {gs, s 6= k, 1, s ∈ In}

portanton∏k=2

gk = e,pois cada elemento e multiplicado pelo seu inverso, daı

n∏k=1

gk = g1.

Definicao 7 (Grupo linear). Definimos o grupo GL(N,K) chamado grupo linear geral

sobre K, como (Mn×n(K)∗, .) onde K e um corpo.

1.1.1 Propriedades basicas de grupos

Propriedade 3 (Unicidade do elemento neutro). Existe um unico elemento neutro e.

Demonstracao. Suponha dois elementos neutros e e e′, vale e ∗ e′ = e e e ∗ e′ = e′,

daı e = e′.

Para demonstrar essa propriedade precisamos apenas da operacao e da definicao de

elemento neutro, a demonstracao nao depende das outras propriedades de grupo, entao

outras estruturas algebricas que possuem elemento neutro ainda possuem unicidade dele.

Propriedade 4 (Lei do corte a esquerda). Se a ∗ b = a ∗ c entao b = c.

Demonstracao.

b = e ∗ b = (a−1 ∗ a) ∗ b = a−1 ∗ (a ∗ b) = a−1 ∗ (a ∗ c) = (a−1 ∗ a) ∗ c = e ∗ c = c.

Nesse caso usamos a existencia do elemento neutro, existencia do inverso e associatividade,

todas as propriedades que pedimos para um grupo. Entao em grupos vale a lei do corte.

Propriedade 5 (Lei do corte a direita). Se b ∗ a = c ∗ a entao b = c.

Demonstracao.

b = b ∗ e = b ∗ (a ∗ a−1) = (b ∗ a) ∗ (a−1) = (c ∗ a) ∗ a−1 = c ∗ (a ∗ a−1) = c ∗ e = c.

Entao em grupos vale a lei do corte a direita e a esquerda.

Propriedade 6 (Unicidade do inverso). Para cada elemento a ∈ G existe um unico a−1

tal que a ∗ a−1 = e.


Demonstracao. Suponha que existam dois elementos a′ e b′ que sejam inversos de

um dado a, entao vale

a ∗ a′ = e = a ∗ b′

por lei do corte segue que a′ = b′, fica assim provada a unicidade.

Demonstracao.[2] Outra demonstracao pode ser feita como se segue a′ = a′.e =

a′(a.b′) = (a′a)b′ = b′.

Propriedade 7. (a−1)−1 = a.

Demonstracao. Como vale a.a−1 = e segue que (a−1)−1 = a, por unicidade do

inverso.

Propriedade 8. (a.b)−1 = b−1.a−1.

Demonstracao. (a.b)(b−1.a−1) = a.e.a−1 = e, por unicidade do inverso segue que o

inverso de a.b e (a.b)−1 = b−1.a−1.

Propriedade 9. Se a, b ∈ G entao xa = b⇔ x = ba−1, isto e, a equacao xa = b tem uma

unica solucao x = ba−1. De maneira similar ax = b⇔ x = a−1b.

Demonstracao.

⇒).

xa = b⇒ multiplicando por a−1 a direita tem-se x = ba−1.

O mesmo para ax = b, multiplicando por a−1 a esquerda tem-se x = a−1b.

⇐).

Tomando x = ba−1 entao ba−1a = b.

Para ax = b, tomamos x = a−1b segue a(a−1b) = b.

Propriedade 10. Sejam a, b ∈ R com a 6= 0. Definindo σ(a,b) : R → R por σ(a,b)(x) =

ax + b para cada x ∈ R. Entao o conjunto G = {σ(a,b), a, b ∈ R, a 6= 0} com a operacao

de composicao de funcoes e um grupo.

Demonstracao. Primeiro vamos mostrar que a operacao e fechada sobre G, vamos

simbolizar (a, b) ao inves de σ(a,b), temos que

(a, b) ◦ (a′, b′)(x) = a(a′x+ b′) + b = a.a′x+ a.b′ + b = (a.a′, a.b′ + b)(x)

Escrevemos entao

(a, b) ◦ (a′, b′) = (a.a′, a.b′ + b)

a operacao e fechada, pois como a 6= 0 e a′ 6= 0 sao reais temos a.a′ 6= 0 e a.b′ + b e um

numero real.

Existencia de elemento neutro . Existe elemento neutro para a operacao (1, 0),

tal elemento e realmente neutro pois

(a, b)(1, 0) = (a.1, a.0 + b) = (a, b).

Existencia de inverso. Para cada elemento (a, b) existe um inverso (a−1,−b.a−1)

tal que (a, b)(a−1,−b.a−1) = (1, 0), a propriedade realmente vale , pois

(a, b)(a−1,−b.a−1) = (aa−1, a.(−b).a−1 + b) = (1, 0).

Associatividade. Segue da associatividade de composicao de funcoes. Entao temos

realmente um grupo .

O grupo e nao abeliano pois

(2, 3) ◦ (3, 4) = (6, 11) 6= (3, 4) ◦ (2, 3) = (6, 13).

O centro de G (conjunto dos elementos que comutam com todos os outros elementos)

contem apenas a identidade, pois dado um elemento diferente da identidade (x, y), x 6= 1 e

y 6= 0 existe um elemento que nao comuta com ele da forma (1, w) com w > 0 se 1−x > 0

(logo w(1− x) > 0) e w < 0 se 1− x < 0 (logo tambem w(1− x) > 0), pois

(x, y)(1, w) = (x, xw + y), (1, w)(x, y) = (x, y + w)

daı vale sempre y +w > y + xw pois equivale a w > xw ⇔ w(1− x) > 0 que sempre vale

pelo que observamos anteriomente


Propriedade 11 (Produto direto). Sejam (Gk, ∗k)n1 grupos, entao o produto cartesianon∏k=1

Gk e um grupo com a operacao ∗ definida por

(xk)n1 ∗ (yk)

n1 = (xk ∗k yk)n1

Demonstracao.

• Existe elemento neutro (ek)n1 onde ek e o elemento neutro de Gk, tal que

(ek)n1 ∗ (xk)

n1 = (ek ∗k xk)n1 = (xk)

n1

• Existe inverso para cada (xk)n1 que e (x−1

k )n1 pois

(xk)n1 ∗ (x−1

k )n1 = (xk ∗k x−1k )n1 = (ek)

n1 .

• Vale a associatividade

((xk)n1 ∗ (yk)

n1 ) ∗ (zk)

n1 = (xk ∗k yk)n1 ∗ (zk)

n1 = (xk ∗k yk ∗k zk)n1

(xk)n1 ∗ ((yk)

n1 ∗ (zk)

n1 ) = (xk)

n1 ∗ (yk ∗k zk)n1 = (xk ∗k yk ∗k zk)n1

Definicao 8 (Produtorio). Definimos dois tipos de produtorios, o produtorio a direita

n∏k=1,d

ak = a1. · · · .an

e o produtorio a esquerdan∏

k=1,e

ak = an. · · · .a1

eles podem ser definidos indutivamente

n+1∏k=1,d

ak = [n∏

k=1,d

ak]an+1

com1∏

k=1,d

ak = a1 e0∏

k=1,d

ak = e.

n+1∏k=1,e

ak = an+1[n∏

k=1,e

ak]

com1∏

k=1,e

ak = a1 e0∏

k=1,e

ak = e.


Propriedade 12 (Produto telescopico). Valem as identidades

n∏k=1,d

f(k)−1f(k + 1) = f(1)−1f(n+ 1)

n∏k=1,e

f(k + 1)f(k)−1 = f(n+ 1)f(1)−1

Demonstracao. Por inducao sobre n, para n = 1 ambas valem

1∏k=1,d

f(k)−1f(k + 1) = f(1)−1f(2)

1∏k=1,e

f(k + 1)f(k)−1 = f(2)f(1)−1

supondo para n, vamos provar para n+ 1

n+1∏k=1,d

f(k)−1f(k + 1) = [n∏

k=1,d

f(k)−1f(k + 1)][f(n+ 1)−1f(n+ 2)] =

= f(1)−1f(n+ 1)[f(n+ 1)−1f(n+ 2)] = f(1)−1f(n+ 2)

n+1∏k=1,e

f(k + 1)f(k)−1 = [f(n+ 2)f(n+ 1)−1]n∏

k=1,e

f(k + 1)f(k)−1 =

= [f(n+ 2)f(n+ 1)−1]f(n+ 1)f(1)−1 = f(n+ 2)f(1)−1

Corolario 2.

n∏k=1,e

f(k + 1)f(k)−1

n∏k=1,d

f(k)−1f(k + 1) = f(n+ 1)f(1)−1f(1)−1f(n+ 1) = f(n+ 1)2

Propriedade 13. Se cada Gk e abeliano, entaon∏k=1

Gk e abeliano.

Demonstracao.

(xk)n1 ∗ (yk)

n1 ) = (xk ∗k yk)n1 = (yk ∗k xk)n1 = (yk)

n1 ∗ (xk)

n1 .

Propriedade 14. Se existe um s ∈ In tal que Gs nao e abeliano, entaon∏k=1

Gk nao e

abeliano.


Demonstracao. Existem xs e ys ∈ Gs tais que xs ∗s ys 6= ys ∗s xs e daı

(xk)n1 ∗ (yk)

n1 ) = (xk ∗k yk|s−1

1 , xs ∗s ys, xk ∗k yk|ns+1) 6= (yk ∗k xk|s−11 , ys ∗s xs, yk ∗k xk|ns+1)

pois sao distintos na s-esima coordenada.

1.1.2 Grupo das bijecoes-Permutacoes

Definicao 9 (Grupo das bijecoes-Permutacoes). Seja A um conjunto nao vazio . Defini-

mos a estrutura (SA, ◦), como o conjunto

SA = {f : A→ A | f e bijecao}

munido da operacao de composicao de funcoes. Podemos denotar SA tambem por P (A).

Propriedade 15. (SA, ◦) e um grupo.

Demonstracao. Sabemos que a composicao de funcoes bijetoras ainda e uma funcao

bijetora, logo o conjunto e fechado em relacao a operacao de composicao. A composicao

e associativa. Possui elemento neutro que e a funcao I : A → A definida como

I(x) = x,∀x ∈ A, essa funcao e realmente o elemento neutro pois dada uma f ∈ SA e

x ∈ A arbitrario , vale

f(I(x)) = f(x) = I(f(x))

logo I ◦ f = f ◦ I.Dada uma funcao bijetora f : A→ A, podemos sempre definir a inversa de f , f−1, tal

que

f(f−1(x)) = x = f−1(f(x))

logo para qualquer f em SA existe f−1 em SA tal que f ◦ f−1 = I = f−1 ◦ f , logo temos a

existencia de inverso. Assim (SA, ◦) e um grupo. Denotaremos o grupo (SA, ◦) apenas

como SA .

1.2 Grupo simetrico de grau n

Definicao 10 (Grupo simetrico de grau n). Em SA, se tomamos A = In = {1, · · · , n} o

grupo SIn sera denotado por Sn e sera chamado de grupo simetrico de grau n.


Definicao 11 (Permutacao). Todo elemento de Sn e chamado de permutacao e Sn e

chamado de grupo das permutacoes de n elementos.

Propriedade 16. |Sn| = n!.

1.2.1 O grupo S3.

Grupo S3 elementos

I =

(1 2 3

1 2 3

), f6 = σ ◦ τ =

(1 2 3

1 3 2

), f5 = σ ◦ τ 2 =

(1 2 3

3 2 1

)

σ =

(1 2 3

2 1 3

), f4 = τ 2 =

(1 2 3

3 1 2

), τ =

(1 2 3

2 3 1

)Todos os elementos podem ser gerados pelos elementos σ e τ

f4 = τ 2 =

(1 2 3

2 3 1

)◦

(1 2 3

2 3 1

)=

(1 2 3

3 1 2

)

f6 = σ ◦ τ =

(1 2 3

2 1 3

)◦

(1 2 3

2 3 1

)=

(1 2 3

1 3 2

)

f5 = σ ◦ τ 2 =

(1 2 3

2 1 3

)◦

(1 2 3

3 1 2

)=

(1 2 3

3 2 1

)

σ2 = I =

(1 2 3

2 1 3

)◦

(1 2 3

2 1 3

)=

(1 2 3

1 2 3

)Por σ2 = I o inverso de σ e σ. O inverso de f4 e τ , pois

f4 ◦ τ =

(1 2 3

3 1 2

)◦

(1 2 3

2 3 1

)=

(1 2 3

1 2 3

)

e como f4 = τ 2, temos que f4 ◦ τ = τ 2 ◦ τ = τ 3 = I. f6 ◦ f6 = I, pois

f6 ◦ f6 =

(1 2 3

1 3 2

)◦

(1 2 3

1 3 2

)=

(1 2 3

1 2 3

)

e finalmente f5 ◦ f5 = I, pois


f5 ◦ f5 =

(1 2 3

3 2 1

)◦

(1 2 3

3 2 1

)=

(1 2 3

1 2 3

)Entao temos os inversos

σ ◦ σ = I

f4 ◦ τ = I

f6 ◦ f6 = I

f5 ◦ f5 = I

I ◦ I = I

σ ◦ σ = I

τ 2 ◦ τ = I

(σ ◦ τ 2) ◦ (σ ◦ τ 2) = I

(σ ◦ τ) ◦ (σ ◦ τ) = I

I ◦ I = I

O conjunto dos elementos de S3

S3 = {I, σ, τ, τ 2, σ ◦ τ, σ ◦ τ 2}

1.2.2 Subgrupos de S3.

Propriedade 17. Os subgrupos nao triviais de S3 sao

• {I, σ}.

• {I, σ ◦ τ}.

• {I, σ ◦ τ 2}.

• {I, τ, τ 2}.

Demonstracao.


• Temos que σ2 = I logo existe o subgrupo {I, σ2}.

• Como f6 = σ ◦ τ e f6 ◦ f6 = I, entao temos o subgrupo {I, σ ◦ τ}.

• Temos que f5 ◦ f5 = I e f5 = σ ◦ τ 2, entao {I, σ ◦ τ 2} e subgrupo.

•

O subconjunto K = {I, τ, τ 2} e um subgrupo de S3.

Exemplo 4. Seja a funcao definida por ϕ(x) = x−1 de S3 em S3, mostrar que nao e

um automorfismo. Para ser um homomorfismo precisamos que para todo elemento x e y

em S3, ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y), logo (xy)−1 = x−1y−1. vamos tomar x = f4 e y = f5, temos

f4f5 = σ, pois

f4 ◦ f5 =

1 2 3

3 1 2

◦ 1 2 3

3 2 1

=

1 2 3

2 1 3

= σ

mas sabemos que σ−1 = σ, e temos ϕ(f4f5) = [f4f5]−1 = [σ]−1 = σ e ϕ(f4) = [f4]−1 =

τ , ϕ(f5) = [f(5)]−1 = f5), assim ϕ(f4)ϕ(f5) = τf5

τ ◦ f5 =

1 2 3

2 3 1

◦ 1 2 3

3 2 1

=

1 2 3

1 3 2

= f6 6= σ

logo nao e um homomorfismo, nao podendo ser um automorfismo tambem.

1.2.3 Para n ≥ 3, Sn nao e abeliano.

Propriedade 18. Para n ≥ 3, Sn nao e abeliano.

Demonstracao. Vamos mostrar bijecoes f e g tais que f ◦ g 6= g ◦ f. Sejam

f =

(1 2 3 · · ·1 3 2 · · ·

)e g =

(1 2 3 · · ·2 1 3 · · ·

)

f ◦ g =

(1 2 3 · · ·3 1 2 · · ·

)e g ◦ f =

(1 2 3 · · ·2 3 1 · · ·

)sao diferentes, logo o grupo nao e comutativo.


1.2.4 Grupo S4

Grupo S4 elementos

I =

(1 2 3 4

1 2 3 4

)f1 =

(1 2 3 4

2 1 4 3

)f2 =

(1 2 3 4

3 4 1 2

)f3 =

(1 2 3 4

4 3 2 1

)

f4 =

(1 2 3 4

2 3 4 1

)f5 =

(1 2 3 4

3 4 2 1

)f6 =

(1 2 3 4

4 1 2 3

)f7 =

(1 2 3 4

2 1 3 4

)

f8 =

(1 2 3 4

2 3 1 4

)f9 =

(1 2 3 4

2 4 3 1

)f10 =

(1 2 3 4

2 4 1 3

)f11 =

(1 2 3 4

3 2 4 1

)

f12 =

(1 2 3 4

3 2 1 4

)f13 =

(1 2 3 4

3 1 2 4

)f14 =

(1 2 3 4

3 1 4 2

)f15 =

(1 2 3 4

4 3 1 2

)

f16 =

(1 2 3 4

4 1 3 2

)f17 =

(1 2 3 4

4 2 1 3

)f18 =

(1 2 3 4

4 2 3 1

)f19 =

(1 2 3 4

1 2 4 3

)

f20 =

(1 2 3 4

1 3 4 2

)f21 =

(1 2 3 4

1 3 2 4

)f22 =

(1 2 3 4

1 4 2 3

)f23 =

(1 2 3 4

1 4 3 2

)

Definicao 12 (Estrutura dos quaternios). Definimos a estrutura dos quaternios como o

conjunto

1.3 Subgrupos

Propriedade 19 (Subgrupo). Um subconjunto H nao-vazio de um grupo G e um sub-

grupo de G quando

• Se a ∈ H entao a−1 ∈ H.

• Se a ∈ H e b ∈ H entao a.b ∈ H.

Se H e subgrupo de G, denotamos tal fato por H < G.

Corolario 3. e o elemento neutro pertence a um subgrupo , pois a ∈ H implica a−1 ∈ H

e pela segunda propriedade aa−1 = e ∈ H.

Exemplo 5. D4 = {I, f4, f2, f6, f3, f1, f23, f12} ⊂ S4 e subgrupo nao abeliano .

Propriedade 20. H nao vazio e um subgrupo de G ⇔ com a operacao de G, H e um

grupo.

Demonstracao.

⇒).

• O produto e fechado em H.

• O elemento neutro pertence a H.

• O inverso de cada elemento esta em H.

• A propriedade associativa vale, pois os elementos de H sao elementos de G onde

vale a associatividade.

Com isso concluımos que H e um grupo.

⇐).

Seja H e um grupo contido em G.

• O produto e fechado em H, pois H e grupo.

• O elemento neutro e′ de H e o mesmo elemento neutro e de G, pois dado a ∈ H ⊂ G

tem-se a.e′ = a que podemos ver como operacao em G, como o elemento neutro e

unico tem-se e′ = e.

• O inverso a′ de um elemento a ∈ H ⊂ G e o mesmo inverso de a em G, pois vale

aa′ = e, essa operacao vista em G, como temos a unicidade de inverso em G segue

que a′ = a−1.. O inverso de cada elemento a ∈ H esta contido em H, pois H e

grupo.


Exemplo 6 (Subgrupos triviais). Os subconjuntos {e} e H de um grupo H sao chamados

subgrupos triviais. H e grupo, entao satisfaz as condicoes de ser subgrupo, {e} tambem e

subgrupo, pois e.e = e, logo e fechado, o elemento neutro esta no conjunto {e} e o inverso

de e tambem e e, logo ele e um subgrupo de H.

Propriedade 21. Se Hk e subgrupo de Gk entaon∏k=1

Hk e subgrupo den∏k=1

Gk.

Demonstracao.

• O elemento neutro den∏k=1

Gk e (ek)n1 , mas como Hk e subgrupo de Gk entao ek ∈ Hk

e daı (ek)n1 ∈

n∏k=1

Hk.

• Dado (ak)n1 ∈

n∏k=1

Hk entao cada ak ∈ Hk, implicando que a−1k ∈ Hk, pois Hk e

subgrupo, daı (a−1k )n1 ∈

n∏k=1

Hk e pelo que ja demonstramos (a−1k )n1 e o inverso de

(ak)n1 .

• Dados (ak)n1 , (bk)

n1 ∈

n∏k=1

Hk entao ak, bk ∈ Hk, como sao subgrupos vale ak.bk ∈ Hk

e daı (ak.bk)n1 ∈

n∏k=1

Hk.

Propriedade 22. Se H ⊂ G e um subconjunto finito fechado com a operacao de G,

entao H e subgrupo de G.

Demonstracao. Se H = {e} entao ele e subgrupo. Se nao tomamos um elemento

arbitrario a 6= e ∈ H, como ele e finito, entao existem s > t ∈ N tais que as = at, com

s > t, existe p natural tal que t+ p = s e daı at+p = atap = at, pela lei do corte segue que

ap = e ∈ H. Entao o elemento neutro esta nele. Tal p deve ser maior que 1, pois a 6= e.

Vale p > 1 daı p ≥ 2, p − 1 ≥ 1 natural e aap−1 = ap = e logo existe inverso para todo

elemento de H, entao ele e subgrupo.

Propriedade 23. Se H e K sao subgrupos de G entao H ∩K e subgrupo de G.

Demonstracao. e ∈ H ∩ K pois H e K sao subgrupos entao e ∈ H,K. Suponha

a, b ∈ H ∩ K entao a.b ∈ H,K daı a.b ∈ H ∩ K. Da mesma maneira a−1 ∈ H,K logo

a−1 ∈ H ∩K .


Propriedade 24. Em geral se cada Hk, k ∈ A e uma famılia qualquer de subgrupos de

G entao ⋂k∈A

Hk

e um subgrupo de G.

Demonstracao.

• Se h1, h2 em⋂k∈A

Hk entao h1, h2 ∈ Hk ∀ k ∈ A, entao pelo fato de serem subgrupos

tem-se h1h2 ∈ Hk o que implica h1h2 ∈⋂k∈A

Hk.

• Se h ∈⋂k∈A

Hk entao h ∈ Hk para cada k, por isso h−1 ∈ Hk pelo fato de cada Hk

ser subgrupo, entao h−1 ∈∈⋂k∈A

Hk. Com essas duas propriedades mostramos que⋂k∈A

Hk e subgrupo de G.

Propriedade 25. H ∪K e subgrupo de G sse H ⊂ K ou K ⊂ H.

Demonstracao. ⇒ . Temos que provar que H ∪K e subgrupo de G entao H ⊂ K

ou K ⊂ H. Vamos usar a contrapositiva e mostrar que H 6⊂ K e K 6⊂ H entao H ∪ Knao e subgrupo de G. Existem elementos a ∈ H, a /∈ K e b ∈ K, b /∈ H, porem vale

a, b ∈ H ∪K, se H ∪K fosse subgrupo de G entao teria que valer a.b ∈ H ∪K, entao a.b

teria que pertencer a um dos conjuntos. Suponha sem perda de generalidade que a.b ∈ H, como H e subgrupo e a ∈ H, entao a−1 ∈ H, pelo fechamento de produto em subgrupo

terıamos que ter a−1.a.b = b ∈ H o que e absurdo! Entao H ∪K nao pode ser subgrupo

nessas condicoes.

⇐. Suponha que K ⊂ H, entao H ∪K = H que e subgrupo de G.

Definicao 13. Sendo H um subconjunto qualquer de um grupo G, definimos

aHa−1 = {aha−1 | h ∈ H}.

Corolario 4.

eHe−1 = {ehe−1 = h | h ∈ H} = H

entao eHe−1 = H.

Propriedade 26. Sejam H um subgrupo de G e a ∈ G fixo. Entao

aHa−1 = {aha−1 | h ∈ H}

e subgrupo de G.

Demonstracao.

• O elemento neutro esta no conjunto. e ∈ aHa−1, pois e ∈ H, daı aea−1 = e ∈aHa−1.

• O produto e fechado . Dados aha−1 e aya−1 entao aha−1aya−1 = a (hy)︸︷︷︸∈H

a−1 ∈

aHa−1.

• O inverso pertence ao conjunto . Dado aha−1 entao ah−1a−1 ∈ aHa−1 pois h−1 ∈ H,

daı o produto aha−1ah−1a−1 = e, entao aHa−1 e subgrupo de G.

Propriedade 27 (Subgrupos de (Z,+)). A e subgrupo de (Z,+) ⇔ A = (nZ,+) para

algum n ∈ N.

Onde nZ = {nx | x ∈ Z} .

Demonstracao.

⇐). Sendo n fixo nZ e subgrupo de Z.

• Dados a, b ∈ nZ, existem x, y ∈ Z tais que nx = a e ny = b, logo sua soma e

nx+ ny = n(x+ y) ∈ nZ, a adicao e fechada.

• Dado a ∈ nZ existe x ∈ Z tal que a = nx, da mesma maneira n(−x) = −nx =

−a ∈ nZ sua soma e 0.

⇒).

Seja H < Z. Se H = {0} entao H = 0Z. Se H 6= {0}, seja n = {x ∈ H, x > 0} daı

nZ ⊂ H, pois dado m fixom∑k=1

n = mn ∈ H

pois H e subgrupo e tambem mn ∈ H. Seja t ∈ H entao t = nq + r com 0 ≤ r < n por

divisao euclidiana, daı t−nq = r ∈ H entao r = 0. pois caso contrario irıamos contrariar

a minimalidade de n, portanto qualquer tzinH e da forma nq e H ⊂ nZ o que implica

A = nZ.


1.3.1 Normalizador de H

Definicao 14 (Normalizador de H). Seja H um subgrupo de (G, .). O normalizador de

H e o conjunto

N(H) = {x ∈ G|xHx−1 = H}.

Propriedade 28. N(H) e subgrupo de G.

Demonstracao.

• e ∈ N(H) como ja provamos.

• Suponha a, b ∈ N(H), vamos provar que a.b ∈ N(H), isto e a.bH(ab)−1 = H. Temos

que axa−1 ∈ H e byb−1 ∈ H ∀x, y ∈ H daı a (byb−1)︸︷︷︸=x∈H

a−1 ∈ H. Com isso mostramos

que a.bH(ab)−1 ⊂ H.

Vamos mostrar agora que H ⊂ a.bH(ab)−1. Como vale H ⊂ aHa−1 e H ⊂ bHb−1

entao para qualquer y ∈ H existem v, u ∈ H tal que y = ava−1 e v = bub−1 , daı

y = a.bub−1a−1 provando que H ⊂ a.bH(ab)−1.

• Vamos provar que se a ∈ N(H) entao a−1 ∈ N(H), isto e aHa−1 = H implica

a−1Ha = H.

De aHa−1 ⊂ H implica que ∀y ∈ H ∃t ∈ H tal que aya−1 = t e daı y = a−1ta de

onde segue H ⊂ a−1Ha.

De H ⊂ aHa−1 tem-se que ∀y ∈ H, ∃t ∈ H tal que y = ata−1 que implica a−1ya = t

e daı a−1Ha ⊂ H. Como vale a−1Ha ⊂ H. e H ⊂ a−1Ha. entao H = a−1Ha .

Propriedade 29. Se (G, .) e um grupo abeliano e a e b ∈ G vale

(a.b)n = an.bn

para todo n ∈ Z.

Demonstracao. Para n natural temos, por inducao, n = 0

(a.b)0 = e = a0.b0 = e.e.

Supondo para n

(a.b)n = an.bn

temos que provar

(a.b)n+1 = an+1.bn+1

da definicao temos

(a.b)n+1 = (a.b)(a.b)n = a.b.an.bn = a.an.b.bn = an+1.bn+1

com isso provamos para n natural. Para n inteiro, temos

(a.b)−n(a.b)n = e = (a.b)−n.an.bn = e

multiplicando por b−n.a−n

(a.b)−n = b−n.a−n.

1.3.2 Conjunto gerado por um elemento

Definicao 15 (Conjunto gerado por um elemento). Seja a ∈ G (G um grupo), o conjunto

< a >= {an | n ∈ Z}

e chamado de conjunto gerado por a.

Propriedade 30. O conjunto < a > munido da operacao do conjunto G e um subgrupo

de G.

Demonstracao. A operacao e fechada, pois sendo b ∈< a > vale b = am para algum

m e c ∈< a > implica c = an, para algum n, o produto b.c = am.an = am+n ∈< a > .

O elemento neutro e = a0 pertence ao conjunto.

O inverso de um elemento b = am ∈< a > pertence ao conjunto pois a−m ∈< a > e

vale

a−mam = a0 = e = ama−m.

Entao < a > e um subgrupo de G, chamado de subgrupo gerado por a.

Definicao 16 (Ordem de um elemento). Se < a > e finito, chamamos | < a > | de ordem

de a e escrevemos o(a) = | < a > |. Quando < a > e infinito, dizemos que a ordem de a

e infinita e escrevemos o(a) =∞.

Propriedade 31. Seja H um subgrupo de (Z,+) entao existe n ∈ N tal que H =< n > .

Demonstracao. Se H = {0} entao e gerado por 0. Se H 6= {0} entao existe a 6= 0 ∈ He daı a > 0 ou −a > 0, entao o conjunto A = {x > 0 ∈ H} e nao vazio limitado

inferiormente, logo possui menor elemento n, tem-se que < n >⊂ H agora vamos mostrar

que H ⊂< n > . Dado m ∈ H tem-se por divisao euclidiana m = qn+ r onde 0 ≤ r < n

daı m− qn = r ∈ H se r > 0 irıamos contrariar a minimalidade de n, entao r = 0 e todo

elemento e da forma q.n.

Exemplo 7. (Z,+) e um grupo cıclico, que possui geradores 1 e −1.

Propriedade 32. Para todo n ∈ N existe um grupo cıclico com n elementos.

Demonstracao. Zn e grupo cıclico com n elementos, gerado por 1.

Exemplo 8. Seja f4 ∈ S4 como definido anteriormente entao < f4 >= {I, f4, f24 , f

34}.

Exemplo 9. Existem grupos cıclicos com n elementos tanto para a multiplicacao, quanto

para a adicao. O modelo aditivo e dado pelas raızes n-esimas da unidade

wk = cos(kπ

n) + isen(

kπ

n)

com k ∈ [0, n− 1]N .

Propriedade 33. Se a ∈ e b ∈< a > entao < a >= .

Demonstracao. Se a ∈ entao as ∈ para todo s ≥ 0, por ser grupo,

da mesma maneira a−s ∈ pois a−s e inverso de as, isso implica que < a >⊂,

da mesma maneira ⊂< a > mostrando que < a >= .

Corolario 5. o(a) = o(a−1) pois a ∈< a−1 > e a−1 ∈< a > logo < a >=< a−1 >,

implicando o(a) = o(a−1).

1.4 Teorema de Lagrange

Vamos considerar sempre H um subgrupo de um grupo G.


1.4.1 Congruencia modulo H

Definicao 17 (Congruencia modulo H). Sejam a, b ∈ H, dizemos que

a ≡ b mod H ⇔ a.b−1 ∈ H.

, caso contrario denotamos a /≡ b mod H .

Propriedade 34. A congruencia modulo H e uma relacao de equivalencia.

Demonstracao.

• Vale a propriedade reflexiva a ≡ a mod H, pois a.a−1 = e ∈ H, pois H e subgrupo .

• Vale a propriedade de simetria, pois a ≡ b mod H significa que a.b−1 ∈ H, como

H e subgrupo entao o inverso de a.b−1 que e b.a−1 tambem pertence a H, daı

b ≡ a mod H.

• Vale a transitividade, se a ≡ b mod H e b ≡ c mod H devemos mostrar que

a ≡ c mod H, das hipoteses tem-se a.b−1 = h e b.c−1 = h′ multiplicando a primeira

por h′ a direita segue a.b−1b.c−1 = h.h′ = a.c−1 = h.h′ como H e subgrupo temos o

produto h.h′ = h′′ ∈ H logo vale a ≡ c mod H .

Definicao 18 (Classes a direita e a esquerda.). Classe de equivalencia de a em G e

a = {x ∈ G| x ≡ a mod H} = {x ∈ G| x.a−1 ∈ H} =

= {x ∈ G| x.a−1 = h ∈ H} = {x ∈ G| x = ha, h ∈ H} = Ha.

Ha e chamado classe a direita de H. Da mesma maneira definimos a classe a esquerda

de a

aH = {x ∈ G| x = a.h, h ∈ H}.

As notacoes aH e Ha podem ser boas por dar a ideia intuitiva de que , por exemplo,

aH e o conjunto formado pelo produto de a por todos os elementos de H.

Corolario 6. Quando o grupo e abeliano as classes a direita sao tambem classes a es-

querda.


Propriedade 35. As classes a direita Ha e a esquerda aH tem a mesma cardinalidade

de H.

Demonstracao. A funcao f de H em Ha definida como f(h) = ha e uma bijecao.

Suponha f(h) = f(h′) logo ha = h′a, multiplicando por a−1 a direita segue h = h′ logo a

funcao e injetora. Agora f e sobrejetora, pois dado y em Ha ele e da forma ha = f(h).

A funcao ψ de H em aH dada por f(h) = ah e uma bijecao, pois f(h) = f(h′) logo

ah = ah′ multiplicando a esquerda por a−1 segue h = h′ e tambem sobrejetora pois dado

y ∈ aH ele e da forma a.h = f(h).

Concluımos entao que |H| = |Ha| = |aH|.

1.4.2 Teorema de Lagrange

Teorema 1 (Teorema de Lagrange). Se G e um grupo finito e H um subgrupo qualquer

de G entao |H| divide |G|.

Demonstracao. Existe um numero finito de classes de congruencia de H em G, entao

G =⋃k∈A

Hk

onde A e finito e a uniao e disjunta , entao de propriedade de somatorios sobre conjuntos1

vale que

|G| =∑k∈A

|Hk|︸︷︷︸=|H|

=∑k∈A

|H| = |H||A|

|A| = (G : H) e o numero de classes distintas entao

(G : H) =|G||H|

.

Corolario 7. Se |G| = p, com p primo, entao os unicos subgrupos de G sao os triviais G

e {e}.

Propriedade 36. Se H,K sao subgrupos finitos de G tais que mdc(|H|, |G|) = 1 entao

H ∩K = {e}.1Ver texto sobre somatorio sobre conjuntos.

Demonstracao. H ∩K e subgrupo de G, pois H e K sao subgrupos de G. Suponha

que exista a 6= e ∈ H ∩ K, entao < a > e subgrupo de H ∩ K. Porem o(a) ≥ 2 e pelo

teorema de Lagrange o(a)| |H|, |K| logo mdc(|H|, |G|) nao poderia ser 1 contradizendo a

hipotese. Temos entao que H ∩K = {e}.

Definicao 19 (Sistema de representantes). Dada uma particao de um conjunto, um

sistema de representantes e um conjunto S =⋃a∈Γ

{xa} que tem exatamente um elemento

em cada subconjunto da particao. A cardinalidade de qualquer sistema de representantes

das classes laterais a esquerda de H em G e igual a (G : H).

1.5 Grupos cıclicos

Definicao 20 (Grupo cıclico). G e cıclico ⇔ ∃ a ∈ G | G =< a >, a e dito gerador de

G, ou a gera G.

Propriedade 37. Se a gera G entao a−1 tambem gera.

Demonstracao. Todo elemento de G e da forma at, que tambem e da forma (a−1)s,

com s = −t.

Propriedade 38. Todo grupo cıclico e abeliano.

Demonstracao. Seja G =< a > . Tomamos dois elementos b, c ∈ G arbitrarios, logo

eles sao da forma an, ap e temos

anap = an+p = ap+n = ap.an

isso mostra que o grupo e abeliano.

Propriedade 39. < a > e finito ⇔ ∃ m ≥ 1 tal que am = e.

Demonstracao. ⇒ < a > e finito entao ∃m ≥ 1 tal que am = e. Se < a > e finito,

entao o conjunto {an | n > 0 ∈ N} e finito, entao existem s > r ∈ N tais que as = ar,

daı as−r = e, tomamos m = s− r .

⇐ Dado um elemento qualquer de < a > ele e da forma at para algum t inteiro, por

divisao euclidiana de t por m, tem-se t = mq + r com 0 ≤ r < m , logo

at = amq+r = ar

logo os elementos de < a > pertencem ao conjunto {ar | 0 ≤ r < m} que e um conjunto

finito.

Propriedade 40. Sendo < a > finito

o(a) = min{n ≥ 1 | an = e} e < a >= {ak | 0 ≤ k < o(a)}.

Demonstracao. Como < a > e finito, existe m > 0 ∈ N tal que

< a >= {ak | 0 ≤ k < m}

com am = e. Seja A = {s | as = e}, tal conjunto e nao vazio, pelo princıpio da boa

ordenacao ele possui um mınimo, digamos t. Vamos mostrar que t = o(a). Suponha por

absurdo que existam elementos repetidos no conjunto {ak | 0 ≤ k < t}, daı existem

0 ≤ u < v < t tal que au = av logo a(v−u) = e, mas 0 < v − u < t o que comprometeria a

minimalidade de t.

Corolario 8. Se o(a) =∞ entao am 6= e, ∀m ≥ 1 pois caso contrario < a > seria finito.

Tem-se tambem que ak 6= aj se k 6= j, pois se nao aj−k = e e o grupo seria finito. Estes

fatos implicam que an = e ⇔ n = 0 para grupos cıclicos infinitos.

Propriedade 41. Se o(a) e finito entao am = e ⇔ o(a)|m.

Demonstracao. Seja I = {n ∈ Z | an = e} entao I e um ideal de Z, pois:

• 0 ∈ I, a0 = e.

• Se m, t ∈ I entao am.at = am+t = e, implicando que m+ t ∈ I.

• Se m ∈ I e p ∈ Z, entao am.p = (am)p = e, logo m.p ∈ I mostrando que I e um

ideal de Z. Como todo ideal de Z e principal e o(a) ∈ I, logo I 6= {0}, vale que

I = In0 onde n0 = min{n ≥ 1 | an = e}, n0 = o(a), entao am = e⇔ m ∈ I(o(a))⇔m = k.o(a)⇔ o(a)|m.

Demonstracao.[2]

⇐). Se O(a)|m, existe t tal que m = tO(a) daı am = (aO(a))t = et = e.

⇒).

Tomamos a divisao euclidiana de m por O(a), temos m = qo(a)+r, onde 0 ≤ r < O(a),

suponha por absurdo que r 6= 0, entao

am = (aO(a))q.ar = ar = e

o que contraria minimalidade de O(a), pois 0 < r < O(a) o que nao pode acontecer, logo

O(a) divide m .

Propriedade 42. Se O(a) = n e O(b) = m entao o(ab)|mmc(n,m). Em G um grupo

abeliano.

Demonstracao. Sabemos que m.n = mmc(m,n).mdc(m,n)

(a.b)mn = (an)m(bm)n = e

como mdc(n,m) divide n e divide m, entao

(an)m

mdc(m,n) (bm)n

mdc(m,n) = e = (ab)mmc(m,n)

entao O(ab) divide mmc(n,m).

Corolario 9. Seja G um grupo finito, entao para todo a ∈ G vale a|G| = e.

Demonstracao. < a > e subgrupo de G, entao pelo teorema de Lagrange o(a)||G| e

pela propriedade anterior segue a|G| = e.

Corolario 10 (Pequeno teorema de Fermat). Seja p primo , entao

ap−1 ≡ 1 mod p.

Basta fazer as contas em Zp\{0} com o produto, temos um grupo com p−1 elementos

logo ap−1 ≡ 1 mod p.

Corolario 11. Para qualquer a ∈ Z e p primo vale

ap ≡ a mod p.

Essa identidade vale se a = 0 se a 6= 0 entao usamos que ap−1 ≡ 1 mod p e multiplicamos

por a de ambos lados.

Corolario 12 (Euler). Sejam x e n primos entre si, entao

xϕ(n) ≡ 1 mod n.

Tal propriedade vale pois |Zn ∗ | = ϕ(n).

Propriedade 43. SejaG um grupo abeliano. Se a, b tem ordem finita emdc(O(a), O(b)) =

1 entao O(a.b) = O(a)O(b).

Demonstracao. Sejam O(a) = n, O(b) = m, z = O(a.b), vale que

(a.b)nm = e

logo z|(n.m), (a.b)z = e logo az = b−z ∈< a > ∩ , como | < a > | e | |sao primos entre si, entao < a > ∩ = {e}, se tivessem mais um elemento a mais

em comum, entao a ordem da intersecao dividiria os numeros primos entre si, o que e

absurdo, logo az = e = bz , z e multiplo de n e de m, logo e multiplo de n.m pois n e m

sao primos entre si, z|(nm) e mn|z logo z = mn.

Propriedade 44. Se a, b ∈ G abeliano tem ordem finita entao existe c ∈ G tal que

O(c) = mmc(O(a), O(b)).

Demonstracao. Sejam n = O(a), m = O(b) se mdc(n,m) = 1 entao tomando c = ab,

temos O(c) = O(a)O(b) = n.m = mmc(n,m).mdc(n,m)︸︷︷︸=1

= mmc(n,m).

Se mdc(n,m) 6= 1 entao

n =k∏s=1

pαss

t∏s=k+1

pαss

m =k∏s=1

pβss

t∏s=k+1

pβss

onde enumeramos os primos de forma que 0 ≤ αs < βs com s ∈ [1, k] e αs ≥ βs ≥ 0 com

s ∈ [k + 1, t].

Tomando a1 = a

k∏s=1

pαsse b1 = b

t∏s=k+1

pβsstemos O(a1) =

t∏s=k+1

pαss e O(b1) =k∏s=1

pβss , logo

O(a1) e O(b1) sao primos entre si, portanto

O(a1b1) = O(a1)O(b1),

podemos tomar c = a1.b1 tem a ordem desejada.

Propriedade 45. Se r = max{O(x), x ∈ G} (G abeliano) e finito entao O(x)|r ∀x ∈ G.

Demonstracao. Existe y ∈ G tal que O(y) = r, suponha que exista x ∈ G tal que

O(x) 6 |r, entao temos s = mmc(O(x), O(y)) > r, daı existe c tal que O(c) = s > r pelo

resultado anterior, o que contraria o fato de r ser maximo.

Propriedade 46. Se K < H < G entao

(G : K) = (G : H)(H : K).

Demonstracao.

Se |G| <∞ entao

1. H < G implica |G| = |H|(G : H)

2. K < H implica |H| = |K|(K : K)

3. K < G implica |G| = |K|(G : K)

da substituicao de 2 em 1 tem-se |G| = |K|(G : H)(H : K) comparando com 3 tem-se

finalmente (G : K) = (G : H)(H : K).

Propriedade 47. Se H e K sao subgrupos de G entao vale (G : H∩K) ≤ (G : H)(G : K).

Demonstracao. Seja A = {g(H ∩K) | g ∈ G} que e o conjunto das classes laterais

da intersecao e C = {gH | g ∈ G} × {gK | g ∈ G} que e o produto cartesiano das classes

laterais de H e K respectivamente, vamos definir uma funcao f : A→ C que seja injetora,

antes observamos que

g(H ∩K)H = H

g(H ∩K)K = K

pois H ∩K ⊂ K e H ∩K ⊂ H. Com isso podemos definir a funcao com f(g(H ∩K)) =

(gH, gK), ela e injetora, pois se

f(g(H ∩K)) = (gH, gK) = f(g′(H ∩K)) = (g′H, g′K)⇒ gH = g′H egK = g′K

isso implica que g−1g′ ∈ H e g−1g′ ∈ K por isso g−1g′ ∈ H∩K e daı g(H∩K) = g′(H∩K)

disso segue

(G : H ∩K) ≤ (G : H)(G : K).

Corolario 13. Se (G : H) e (G : K) sao finitos entao (G : H ∩K) tambem e finito nas

condicoes da propriedade anterior.

Propriedade 48 (Classificacao dos grupos de ordem prima). Se |G| = p com p primo

entao G e cıclico e qualquer elemento a 6= e ∈ G gera o grupo.

Demonstracao. Tomando um elemento a 6= e ∈ G, < a > e subgrupo de G, como a

ordem de p e um numero primo, entao pelo teorema de lagrange o(a) = p, nao podendo ser

1 pois < a > possuiria pelo menos dois elementos {e} e {a},isso implica que < a >= G.

Corolario 14. Todo grupo de ordem prima e abeliano, pois e cıclico.

Propriedade 49. Seja a ∈ G com o(a) <∞ entao o(as) =o(a)

mdc(o(a), s).

Demonstracao. Sejam s > 0, n = o(a) e m = o(as) entao m = min{t > 0, t ∈N | ast = e}. Sabemos que n|s.m entao sm = mmc(n, s), usando quemmc(n, s).mdc(n, s) =

n.s e a identidade anterior tem-se

m =mmc(n, s)

s=

n.s

mdc(n, s)

1

s=

n

mdc(n, s)

entao

o(as) =o(a)

mdc(o(a), s).

Propriedade 50. Sejam o(a) = n e t = mdc(s, n) entao < as >=< at > .

Demonstracao. Existe m ∈ Z tal que s = m.mdc(s, n) logo as = (at)m assim

as ∈< at >, implicando que < as >⊂< at > .

Existem numeros inteiros α, β tais que mdc(s, n) = α.s+ β.n, daı

at = (aα)s (aβ)n︸︷︷︸=e

= (aα)s

logo < at >⊂< as >.

Como vale < as >⊂< at > e < at >⊂< as > entao < as >=< at > .

Propriedade 51. Se |G| = m n ∈ N tal que mdc(n,m) = 1, entao para todo g ∈ G,

g = xn para algum x ∈ G.

Demonstracao. Como mdc(n,m) = 1 entao existem x0, y0 ∈ Z tais que nx0 +my0 =

1 daı

g = gnx0gmy0 = (gx0)n = xn.

Propriedade 52. Todo subgrupo de um grupo cıclico e cıclico.

Demonstracao. Seja G o grupo cıclico e H um subgrupo de G. Se H = {e} entao H

e cıclico, se nao, existe as ∈ H para algum s ∈ Z, como H e subgrupo de G entao a−s ∈ H,

existe um deles que e positivo s ou −s. Definimos o conjunto A = {k > 0, k ∈ N |ak ∈ H}.Tal conjunto e nao vazio, logo possui um elemento mınimo t. Dado um elemento qualquer

de H ele e da forma ap, por divisao euclidiana de p por t, existe q e 0 ≤ r < t tal que

p = qt+ r, daı

ap = (at)q.ar ⇒ ap.(at)−q = ar ∈ H

daı r = 0 pela minimalidade de t, implicando que ap = aq.t daı p = q.t, H =< at > .

Alem disso tal subgrupo possuin

telementos, pois a ordem de at e

n

t.

Exemplo 10. (Q,+) nao e um grupo cıclico . Suponha que fosse cıclico, entao teria um

gerador positivom

n. Com t ≥ 1 temos t

m

n≥ m

n, com t ≤ −1 temos t

m

n≤ −m

n, daı o

conjunto gerado aditivamente porm

nnao possui elementos em (−m

n, 0)∪(0,

m

n), conjunto

que possui racionais, entao chegamos num absurdo!

Exemplo 11. O menor grupo nao cıclico possui ordem 4, e o grupo Z2 × Z2 com adicao

. Grupos de ordem 2 e 3 sao cıclicos pois sao grupos de ordem prima. {e} o grupo de

ordem 1 tambem e cıclico.

Propriedade 53. Todo grupo quociente de um grupo cıclico e cıclico.

Demonstracao. Seja H < G onde < g >= G entao < gH >= G/H.

Seja xH ∈ G/H, temos x = gk para algum k ∈ Z daı

(gH)k = gkH = xH

entao gH gera G/H.

Propriedade 54. Seja (K, +, ×) corpo e (G,×) subgrupo finito de (K∗, ×) entao G e

cıclico.

Demonstracao. Seja r = max{O(g), g ∈ G}, por teorema de Lagrange temos que

r ≤ |G|, G e abeliano pois (K∗, ×) e abeliano. Vale por proposicao ja demonstrada que

O(x)|r ∀ x ∈ G logo todos elementos de G sao raızes de Xr − 1 ∈ K[x], isto implica que

|G| ≤ r logo |G| = r, um elemento de ordem r gera G, logo ele e cıclico.

Propriedade 55. Seja G 6= {e}, tal que seus unicos subgrupos sejam {e} e G. Entao G

e cıclico finito de ordem prima.

Demonstracao. Tomamos a 6= e ∈ G, < a > e subgrupo de G daı < a >= G, pois

nao pode ser < a >= {e}, pois < a > possui pelo menos dois elementos e < e > apenas

um. Se a2 = e entao o grupo e finito de ordem prima, se nao < a2 >= G =< a >, logo

a ∈< a2 >, implicando que existe n ∈ Z tal que a2n = a daı a2n−1 = e, logo o grupo

e finito. Seja p a ordem do grupo, para todo 0 < s < p, < as > gera o grupo e daı

o(as) = o(a) implicando pela identidade

o(as) =o(a)

mdc(o(a), s)

que mdc(p, s) = 1 daı nenhum numero menor que p divide p, implicando que ele e primo.

Propriedade 56. Um grupo cıclico com n elementos possui ϕ(n) geradores.

Demonstracao. o(as) =o(a)

mdc(o(a), s), o(as) = o(a) ⇔ mdc(o(a), s) = 1, a quanti-

dade de elementos s tais que isso acontece e ϕ(n).

Propriedade 57. Seja G um grupo cıclico com n elementos, gerado por a. Para cada

d ≥ 1 divisor de n existe um unico subgrupo deG com d elementos , a saber, Hd =< and > .

Demonstracao. Para cada d divisor de n, existe o subgrupo < and >, alem disso

|Hd| = o(and ) =

o(a)

mdc(o(a), o(a)d

)= d

logo possui d elementos.

Agora vamos provar a unicidade. Seja H um subgrupo de G com d elementos, tal que

d|n. Como G e cıclico entao H e cıclico, logo existe s ∈ N | < as >= H =< amdc(n,s) >

d = |H| = o(as) =n

mdc(n, s)

daı mdc(n, s) =n

d, logo H =< a

nd > .

Propriedade 58. Se z∗n e cıclico entao possui ϕ(ϕ(n)) = ϕ2(n) geradores.

Demonstracao. Suponha que z∗n seja cıclico, entao ele possui ϕ(n) elementos e a ∈ z∗ntal que < a >= z∗n e daı

o(as) =o(a)

mdc(o(a), s)

se o(as) = o(a) entao mdc(o(a), s) = 1, isso acontece para ϕ(o(a)) elementos, entao z∗n

possui ϕ2(n) geradores.

Exemplo 12. Z∗10 e um grupo cıclico. Z∗10 , possui ϕ(10) = 4 elementos, eles sao 1, 3, 7, 9

pois 1.1 = 1, 3.7 = 21 ≡ 1 e 9.9 = 81 ≡ 1. O grupo e gerado por 3, pois

• 32 = 9.

• 33 = 9.3 = 27 ≡ 7

• 34 = 33.3 = 7.3 = 21 ≡ 1

Entao < 3 >= Z∗10. O numero de divisores de 4 e 3, que sao os numeros 1, 2 e 4. Entao

ele possui apenas um grupo nao trivial com 2 elementos, que e < 9 >, daı segue tambem

que < 3 >=< 7 >= Z∗10.

Exemplo 13. Z∗8 nao e um grupo cıclico. O numero de elementos desse grupo e ϕ(8) = 4,

entao ele possui subgrupos com 1, 2, 4 elementos. Os elementos do grupo sao

• Triviais 1 e 7.

• Nao triviais: 3 pois 3.3 = 9 ≡ 1.

• 5 pois 5.5 = 25 ≡ 1.

• Logo o grupo e {1, 3, 5, 7} = Z∗8 nao e cıclico.

Exemplo 14. Z∗17 e um grupo cıclico. Tal grupo possui ϕ(17) = 16 elementos, os divisores

de 16 sao 1, 2, 4, 8, 16, ele possui entao 5 subgrupos, com respectivamente 1, 2, 4, 8, 16

elementos.

• < 1 >= {1} e subgrupo trivial


• 3 gera o grupo pois

32 = 9

33 = 10

34 = 13

35 = 5

36 = 15

37 = 11

38 = 16

39 = 14

310 = 8

311 = 7

312 = 4

313 = 12

314 = 2

315 = 6

• Possui ϕ2(17) = 8 geradores. Que sao dados por 3s com mdc(16, s) = 1.

33 = 10

35 = 5

37 = 11

39 = 14

311 = 7

313 = 12

315 = 6

• Subgrupos de ordem 8, temos que saber s tal que mdc(16, s) = 2, tais valores sao

2, 6, 10, 14

32 = 9

36 = 15

310 = 11

314 = 2.

• Subgrupos de ordem 4, temos que saber os valores de s tais que mdc(16, s) = 4, tais

valores sao 4 e 12 os elementos sao

34 = 13

312 = 4.

• Subgrupos de ordem 2, mdc(16, s) = 8, apenas para s = 8 e o elemento e

38 = 16.

Propriedade 59. a 6= e possui ordem 2 ⇔ a = a−1.

Demonstracao.

⇒).

Se a tem ordem 2 entao a2 = e , isto e a.a = e logo a e inverso de si mesmo por

unicidade do inverso.

⇐)

Se a = a−1 entao multiplicando por a tem-se a2 = e logo a possui ordem 2.

Propriedade 60. Se O(a) = mn entao O(am) = n.

Demonstracao. A ordem de am e o menor valor natural s, tal que ams = e, suponha

que seja s < n entao ms < mn e a ordem de a seria ms, absurdo o que contraria a

minimalidade de mn. Logo O(am) = n.

Propriedade 61. Vale que O(a) = O(a−1).

Demonstracao. Suponha que O(a) = m entao am = e o que implica a−m = e,

portanto m e um candidato a ordem de a−1, suponha que ordem fosse n < m entao

a−n = e o que implica an = e contrariando a minimalidade de m, portanto a ordem de

a−1 e m.

Propriedade 62. Se x2 = e para todo x em G entao G e abeliano.

Demonstracao. Temos (xy)(xy) = e multiplicando por x a esquerda yxy = x multi-

plicando por y a direita yx = xy logo abeliano.

Corolario 15. Se O(a) = 2 ∀ a 6= e ∈ G entao G e abeliano.

Definicao 21 ( Torcao). O subconjunto

T (G) = {a ∈ G | O(a) <∞}

e chamando de subconjunto de torcao de G.

Propriedade 63. Se G e abeliano entao T (G) e um subgrupo de G chamado de subgrupo

de torcao de G.

Demonstracao.

• O conjunto nao e vazio pois e ∈ T (G), e possui ordem 1.

• Dados a, b ∈ G com ordens finitas, digamos n e m, entao a.b possui ordem finita ,

pois (a.b)nm = anmbnm = e.

• Se a possui ordem finita entao a−1 tem a mesma ordem como ja mostramos.

Concluımos entao que T (G) < G.

Exemplo 15. T (C \ {0}) e o conjunto das raızes da unidade.

Propriedade 64. nZ ⊂ mZ ⇔ m|n e temos (mZ : nZ) =n

m.

Demonstracao. ⇒).

Se nZ ⊂ mZ entao m|n.

n ∈ mZ logo existe t ∈ Z tal que n = mt que implica m|n.

⇐).

Se m|n entao existe t ∈ Z tal que n = mt logo < n >= nZ ⊂< m >= mZ.

Usando a propriedade de que, se temos K < H < G entao (G : K) = (G : H)(H : K),

usando K = nZ, H = mZ e G = Z temos

(Z : nZ)︸︷︷︸n

= (Z : mZ)︸︷︷︸m

(mZ : nZ)⇒ (mZ : nZ) =n

m.

1.5.1 Homomorfismos e automorfismos de Grupos cıclicos

Propriedade 65. Sejam a ∈ G, b ∈ B.

1. Se O(a) < ∞ entao existe homomorfismo f :< a >→ B tal que f(a) = b ⇔

O(b) | o(a). Tal morfismo se existir e unico e tem-se f(ar) = br ∀r ∈ N.

2. Se o(a) = ∞ e O(b) qualquer, entao existe um unico morfismo f :< a >→ B tal

que f(a) = b. O morfismo e dado por f(ar) = br ∀r ∈ Z.

Demonstracao.

• ⇒). Se r = O(a) < ∞ e O(b) nao divide O(a) nao existe morfismo f :< a >→ B

com f(a) = b, pois se existisse f(ar) = f(a)r = br = e logo O(b)|O(a). ⇐). Se

O(b) |O(a) tomamos f :< a >→ B com f(ar) = br. Se r e s sao tais que ar = as

vamos mostrar que br = bs. Temos ar−s = e logo r − s e multiplo de O(a) e como

O(b) divide O(a) entao r − s e multiplo de O(b) e daı br−s = e⇒ br = bs.

• Se O(a) = ∞ entao todo elemento x ∈< a > tem uma unica representacao x = ar

pois caso contrario < a > seria finito.

A funcao definida e um morfismo pois

f(xy) = f(aras) = f(ar+s) = br+s = brbs = f(ar)f(as) = f(x)f(y).

Unicidade. O homomorfismo em qualquer dos casos e unico pois se g e morfismo com

g(a) = b entao g(ar) = g(a)r = br ∀r ∈ Z daı g = f .

Propriedade 66. Seja G finito, f : G→ Z com f(g) = 0 ∀g ∈ G e o unico homomorfismo

de G em Z.

Demonstracao. Suponha que fosse f(g) = n 6= 0 para g 6= e entao | < a > | = r 6= 0

e gr = e, daı 0 = f(gr) = rf(g) = r︸︷︷︸6=0

. n︸︷︷︸6=0

6= 0 o que e absurdo, daı deve valer para

todo g ∈ G f(g) = 0.

Exemplo 16. Seja G = Z8 e B = Z10. Procuramos todos os morfismos f : G → B.

Os elementos b ∈ B tais que O(b)|O(1) = 8 sao b = 5 ou b = 0, logo os morfismos sao

f1 : Z8 → Z10 f1(n) = 5n ou f2 : Z8 → Z10 com f2(n) = 0.

Propriedade 67. Seja G =< a > e f : G → G morfismo de grupos, f e automorfismo

⇔ < f(a) >= G.

Demonstracao.

⇒).

Suponha f isomorfismo, f(a) = b, f(ar) = br, f e bijecao entao dado y ∈ G existe

x ∈ G tal que f(x) = y, porem x = ar para algum r ∈ Z, daı f(x) = f(ar) = f(a)r = y

portanto G ⊂< f(a) >, como < f(a) >⊂ G entao < f(a) >= G.

⇐).

Suponha que < f(a) >= G. Temos que mostrar que f e injetora e sobrejetora.

• f e sobrejetora pois dado y ∈ G temos r ∈ Z tal que y = f(a)r = f( ar︸︷︷︸x∈G

) = f(x).

•

Propriedade 68 (Teorema Chines dos restos). Sejam (mk)r1 inteiros dois a dois distintos

entre si, entao a aplicacao diagonal

∆ : Z →r∏

k=1

Zmk

com f(z) = (z +mkZ)r1 e sobrejetiva ou de maneira equivalente, existe z ∈ Z tal que

(z ≡ zk mod mk)r1.

Demonstracao. Seja α = (1+mkZ)r1 ∈ (Zmk)r1, vale que |

r∏k=1

Zmk | = O(α) = |r∏

k=1

mk|

pois


αr∏

k=1

mk = (0)r1

α e um gerador der∏

k=1

Zmk portanto ∀(zk)r1 existe z ∈ Z tal que

zα = (zk +mkZ)r1

isto e

(zk +mkZ)r1 = (z +mkZ)r1.

Corolario 16. Sejam (mk)r1 inteiros dois a dois primos entre si, entao

∆ : Z/([r∏

k=1

mk]Z)→r∏

k=1

Zmk

com f(z + [r∏

k=1

mk]Z) = (Z +mkZ)r1 e um isomorfismo de grupos.

Pois ∆ : Z →r∏

k=1

Zmk e um homomorfismo de grupos com Kernel [r∏

k=1

mk]Z, a

aplicacao e sobrejetiva, logo ∆ e isomorfismo pelo Teorema do isomorfismo.

Propriedade 69. Se P e um primo ımpar entao

• Z/(ptZ) w Z/([pt − pt−1]Z) para cada t ≥ 1.

• Z/(2tZ) w Z/(2Z)× Z/(2t−2Z) para cada t ≥ 2.

Demonstracao.

1.6 Grupos diedrais

Definicao 22 (Grupo diedral Dn).

1.7 Homomorfismo de grupos

Definicao 23 (Homomorfismo de grupos). Sejam (G, ∗) e (B,×) grupos. A funcao

ϕ : G→ B e chamada de homomorfismo de grupos ⇔

ϕ(a ∗ b) = ϕ(a)× ϕ(b)


para todos a, b em G.

O Homomorfismo e uma funcao que preserva as operacoes dos grupos. Um homo-

morfismo tambem pode ser chamado de morfismo. A mesma definicao para semi-grupo

.

Exemplo 17. Nao existe homomorfismo injetor multiplicativo entre Z e nZ, com n ≥ 2

natural .

Supondo que exista, temos

f(1) = nk

f(1.1) = f(1)f(1) = n2k2 = nk

daı nk = 0 ou nk = 1 logo k = 0 daı f(1) = 0 e portanto f(s) = f(s.1) = f(s) f(1)︸︷︷︸0

= 0 e

a funcao nao e injetora. Caso nk = 1 entao k =1

ne f(1) = 1 em nZ o que nao e possıvel

.

Definicao 24. Dado grupo A, denotamos o conjunto dos elementos invertıveis desse

grupo como A∗.

Exemplo 18.

R∗ = R \ {0}.

C∗ = C \ {0}.

Q∗ = Q \ {0}.

Z∗ = {1,−1}.

Z∗p = Zp \ {0}.

N∗ = {1}.

Propriedade 70. R+ = {x ∈ R | x > 0} com a operacao de multiplicacao e um subgrupo

de R∗.

Demonstracao.


• O elemento neutro 1 ∈ R+.

• Dado x ∈ R+ e y ∈ R+ entao x.y ∈ R+ pois o produto de positivos e positivo.

• Dado x ∈ R+ entao x−1 ∈ R+ , pois o inverso de um numero positivo tambem e

positivo. Logo R+ e subgrupo de R∗.

Propriedade 71. A funcao f : C∗ → R+ dada por f(z) = |z| e um homomorfismo de

grupos. Onde estamos considerando C∗ e R+ com a operacao de multiplicacao.

Demonstracao. Vale f(z.y) = |z.y| = |z|.|y| = f(z).f(y).

Corolario 17 (Homomorfismo trivial). A funcao ϕ : G→ B definida como

ϕ(a) = eB ∀a ∈ G

e um homomorfismo, chamado homomorfismo trivial. Pois vale

ϕ(a ∗ b) = eB = eB × eB = ϕ(a)× ϕ(b).

Exemplo 19 (Identidade). A funcao I : G → G com f(x) = x e um homomorfismo

chamado de identidade. Tal funcao e homomorfismo pois f(xy) = xy = f(x)f(y).

Exemplo 20. Dado um grupo abeliano G entao f : G → G com f(x) = xn com n ∈ N

fixo e um homomorfismo, pois

f(xy) = (xy)n = xnyn = f(x)f(y).

Em especial se G = Z com a adicao entao f(x) = nx e homomorfismo

Definicao 25 (Projecao canonica). Seja H C G entao f : G → G/H com f(x) = xH e

um homomorfismo chamado de projecao canonica.

Tal funcao e realmente um homomorfismo pois

f(xy) = xyH = xHyH = f(x)f(y).

Exemplo 21. Sejam G = (V,+) e H = (W,+) espacos vetoriais, entao qualquer trans-

formacao linear T : V → W e um homomorfismo de grupos, pois por definicao de trans-

formacao linear temos

T (v + u) = t(v) + T (u).

Propriedade 72.

ϕ(eG) = eB.

Demonstracao.

ϕ(eG ∗ eG) = ϕ(eG) = ϕ(eG)× ϕ(eG)

operando ϕ(eG)′ em ambos lados temos

eB = ϕ(eG).

Propriedade 73. A composicao de homomorfismos e um homomorfismo.

Demonstracao. Sejam (G, ∗), (G′, ∗′), (G′′, ∗′′) grupos. Se f : G→ G′ e g : G′ → G′′

sao homomorfismos de grupos, entao g ◦ f : G→ G′′ e um homomorfismo de grupos, pois

sendo a, b ∈ G vale

(g ◦ f)(a ∗ b) = g(f(a ∗ b)) = g(f(a) ∗′ f(b)) = g(f(a)) ∗′′ g(f(b)).

Propriedade 74.

ϕ(a−1) = ϕ(a)−1.

Demonstracao. Temos

ϕ(a ∗ a−1) = ϕ(eG) = eB = ϕ(a)× ϕ(a−1)

operando com ϕ(a)−1 a esquerda segue

ϕ(a)−1 = ϕ(a−1)

Propriedade 75. Se H < G entao ϕ(H), e subgrupo de B.

Demonstracao. Temos que eB ∈ ϕ(H) pois ϕ(eG) = eB.

Se a ∈ ϕ(H) existe c1 ∈ H tal que ϕ(c1) = a e b ∈ ϕ(H) entao existe c2 ∈ H tal que

ϕ(c2) = b de onde segue c1 ∗ c2 ∈ H e ϕ(c1 ∗ c2) = ϕ(c1)× ϕ(c2) = a× b logo a.b ∈ ϕ(H).

Se a ∈ ϕ(H) existe c ∈ H tal que ϕ(c) = a e temos tambem ϕ(c−1) = ϕ(c)−1 = a−1

logo a−1 ∈ ϕ(H), mostrando que ϕ(H) e subgrupo de B .

Corolario 18.

Em especial o resultado anterior vale se H = G, logo Im(f) < B.

Definicao 26 (Nucleo). O nucleo de ϕ e o conjunto

Ker(ϕ) = {x ∈ G|ϕ(x) = eB}.

Propriedade 76. Ker(ϕ) e um subgrupo de G.

Demonstracao. Temos que ϕ(eG) = eB, logo eG ∈ Ker(ϕ).

Se a ∈ Ker(ϕ) e b ∈ Ker(ϕ) segue ϕ(a ∗ b) = ϕ(a) × ϕ(b) = eB × eB = eB logo

a ∗ b ∈ Ker(ϕ).

Se a ∈ Ker(ϕ) temos ϕ(a) = eB e ϕ(a−1) = ϕ(a)−1 = e−1B = eB assim a−1 ∈ Ker(ϕ)

o que implica Ker(ϕ) ser subgrupo de G.

Propriedade 77. Ker(ϕ) CG.

Demonstracao. Temos que mostrar que gKer(ϕ)g−1 ⊂ Ker(ϕ), para g ∈ G ar-

bitrario. Seja entao x ∈ Ker(ϕ), vamos demonstrar que gxg−1 ∈ Ker(ϕ), por isso

aplicamos ϕ, de onde segue

ϕ(gxg−1) = ϕ(x)ϕ(x)ϕ(g−1) = ϕ(x)eϕ(g)−1 = e

por isso gxg−1 ∈ Ker(ϕ).

Propriedade 78. ϕ e injetora ⇔ Ker(ϕ) = {eG}.

Demonstracao.

⇒). Considere ϕ injetora, entao temos ϕ(a) = ϕ(b) ⇔ a = b, como temos ϕ(eG) = eB

segue Ker(ϕ) = {eG}.⇐). Seja agora Ker(ϕ) = {eG}, temos ϕ(a) = eB implica a = eG, suponhamos

ϕ(a) = ϕ(b) logo ϕ(a) × ϕ(a)−1 = eB = ϕ(b) × ϕ(a)−1 = ϕ(b ∗ a−1) assim temos que ter

b ∗ a−1 = eG, implicando b = a, logo a funcao e injetora.

Propriedade 79. Se H C G entao f(H) < B e f−1(f(H)) = HKer(f), sendo f homo-

morfismo.

Observamos que f−1(f(H)) e o conjunto dos y ∈ G tais que f(y) ∈ f(H), y fixo pode

nao pertencer a H.

Demonstracao.

• HKer(f) ⊂ f−1(f(H)). Dado hk ∈ HKer(f) temos

f(hk) = f(h)f(k) = f(h) ∈ F (H)

logo vale a inclusao HKer(f) ⊂ f−1(f(H)).

• f−1(f(H)) ⊂ HKer(f). Seja y ∈ f−1(f(H)) entao f(y) ∈ f(H) , logo existe

h ∈ H tal que f(y) = f(h) ⇒ f(h−1y) = e, por isso h−1y ∈ Ker(f), que implica

y = h(h−1y) ∈ Hker(f).

Corolario 19. Dado H < G entao f−1(f(H)) = HKer(f) implica que f−1(f(H)) < G

pois Ker(f) CG e H < G.

Propriedade 80. Se T < B entao f−1(T ) < G e Ker(f) ⊂ f−1(T ).

Demonstracao.

• Ker(f) ⊂ f−1(T ). Pois como T < B entao eB ∈ T e daı

Ker(f) = f−1(eB) ⊂ f−1(T ).

• f−1(T ) < G.

1. Produto e fechado . Sejam x, y ∈ f−1(T ) entao f(x), f(y) ∈ f(T ) logo existem

t1, t2 ∈ T tais que f(x) = f(t1) , f(y) = f(t2) portanto f(x.y) = f(t1t2) ∈ f(T )

daı xy ∈ f−1(T ).

2. Inverso esta no conjunto. Se x ∈ f−1(T ) entao f(x) = f(t1) daı f(t1)f(t1)−1 =

f(x)f(t1)−1, por unicidade do inverso segue que x−1 ∈ f−1(t).

Propriedade 81. Seja T < B entao f(f−1(T )) = T ∩ Im(f).

Demonstracao.

• Vale f(f−1(T )) ⊂ T ∩ Im(f) . f−1(T ) = A e o conjunto dos x ∈ G tais que

f(x) ∈ T , daı temos claramente f(A) ⊂ T e por definicao f(A) ⊂ Im(f) entao

f(f−1(T )) ⊂ T ∩ Im(f).

• T ∩ Im(f) ⊂ f(f−1(T )). Seja y ∈ T ∩ Im(f), como y ∈ Im(f) existe g ∈ G tal que

f(g) = y, como y ∈ T entao g ∈ f−1(T ) = A e daı y = f(g) ∈ f(A) = f(f−1(T )).

Corolario 20. Se f : G → B e sobrejetiva entao f(f−1(T )) = T , pois T ⊂ Im(f) logo

T ∩ Im(f) = T.

Propriedade 82. Se O(x) <∞ entao O(f(x))|o(x).

Demonstracao. Seja n = O(x) entao

eB = f(e) = f(xn) = f(x)n

O(f(x)) e o menor valor m tal que f(x)n = eB portanto m ≤ n. Suponha por absurdo

que m nao divide n, entao por divisao euclidiana temos n = mq + r com r > 0 e daı

f(x)n = e = (f(x)m)qf(x)r = f(x)r

o que contradiz a minimalidade de m, portanto m|n.

Propriedade 83. Sejam H,K,HK < G entao

(HK : K) = (H : H ∩K),

isto e, a quantidade de classes laterais de K em KH e a mesma quantidade de classes

laterais de H ∩K em H.

Demonstracao. Seja A = {ha}a∈B um sistema de representantes das classes laterais

a esquerda de H ∩ K em H. Seja C o conjunto das classes laterais a esquerda de K

em HK, definimos uma funcao f : A → C com f(ha) = haK e vamos mostrar que f e

bijecao.

• f e injetora. Sabemos que ha = hb ⇔ a = b. Suponha a 6= b, vamos mostrar que

f(ha) = haK 6= f(hb) = hbK, pois se fosse hbK = haK entao ha = hbl com l ∈ K e

daı l = h−1b ha ∈ H portanto l ∈ H ∩K de onde segue que ha = hb ⇒ a = b, o que e

absurdo.


• A funcao e sobrejetora, isto e, toda classe lateral a esquerda de K em HK e do tipo

haK, para algum a ∈ B. Seja tK, t ∈ HK uma classe lateral, escrevemos t = hk,

temos

tK = hkK = hK

escolhemos a ∈ B tal que h ∈ ha, logo h = ha.s com s ∈ H ∩K e daı

tK = hK = ha.sK = haK,

logo a funcao e sobrejetiva, como querıamos demonstrar.

Como a funcao e sobrejetiva e injetiva, temos bijecao daı (HK : K) = (H : H ∩K).

Definicao 27 (Isomorfismo de Grupos). ψ e um isomorfismo de grupos ⇔ ψ e um ho-

momorfismo bijetor.

Definicao 28 (Grupos isomorfos). Dois grupos G e B sao isomorfos ⇔ existe um iso-

morfismo ψ entre eles. Nesse caso denotamos A ' B.

Propriedade 84. (R+, .) e (R,+) sao isomorfos.

Demonstracao.

Considere a funcao f : R+ → R definida como f(x) = ln x. Entao vale

• f e bijetora, pois dado y ∈ R, existe x = ey tal que ln ey = y entao e sobrejetora.

Alem disso e injetora pois f ′(x) =1

x> 0.

• f e um homomorfismo pois ln(x.y) = lnx+ ln y.

Propriedade 85. A funcao inversa de um isomorfismo e um isomorfismo.

Demonstracao. Considere os grupos isomorfos (G, ∗) e (G′, ∗) com o isomorfismo

f : G → G. Como f e bijetora ela possui uma unica inversa g : G′ → G que tambem

e bijetora, vamos mostrar que g tambem e um homomorfismo, mostrando que tomando

x2, y2 ∈ G′ quaisquer vale g(x2∗′y2) = g(x2)∗g(y2). Existem x1, y2 ∈ G tais que f(x1) = x2

e g(y1) = y2, daı

g(x2 ∗′ y2) = g(f(x1) ∗′ f(x2)) = g(f(x1 ∗ x2)) = x1 ∗ x2 = g(x2)(g(y2) .


1.7.1 Automorfismo

Definicao 29 (Automorfismo). Um automorfismo de G e um isomorfismo de G em G.

1.7.2 f : G→ G com f(x) = axa−1 e automorfismo

Propriedade 86. Sejam G um grupo e a ∈ G fixo. Se f : G→ G tem lei f(x) = axa−1,

entao f e um automorfismo.

Demonstracao. Temos que mostrar que a funcao e um homomorfismo bijetor. Tal

funcao e um homomorfismo pois f(c.b) = a(c.b)a−1 = a(ca−1ab).a−1 = f(c).f(b). Ela e

injetora pois se f(c) = f(b) entao aca−1 = aba−1, implica c = b por lei do corte. A funcao

tambem e sobrejetora pois axa−1 = b entao x = a−1b.a.

Definicao 30. Definimos o conjunto Aut(G) como

Aut(G) = {f : G→ G | f e automorfismo}.

Propriedade 87. A estrutura (Aut(G), ◦) e um grupo, onde ◦ e a composicao de funcoes.

Demonstracao.

• A composicao e fechada.

• A composicao de bijecoes e bijecao.

• A composicao de homomorfismos e um homomorfismo. Entao tem-se que a operacao

e fechada.

• A identidade e um automorfismo.

• Existe inverso pra um automorfismo pois as funcoes sao bijetoras.

• A composicao e associativa.

Propriedade 88. Seja I(G) com composicao de funcoes, entao I(G) C Aut(G).

Demonstracao. Primeiro mostramos que e subgrupo.

• I(G) e nao vazio, pois temos nele a funcao identidade Ie(x) = exe−1 = x.

• Sejam Ig1 e Ig2 automorfismos internos entao

Ig1 ◦ Ig1(x) = Ig1(g2xg−12 ) = g1g2xg

−12 g−1

1 = g1g2x(g1g2)−1 = Ig1g2(x).

• Dado Ig entao (Ig)−1 tambem e automorfismo interno, pois Ig−1 e autormorfismo

interno e Ig−1(x) = g−1xg

Ig ◦ Ig−1(x) = g(g−1xg)g−1 = x = I

e a identidade, logo (Ig)−1 = Ig−1 .

Agora vamos mostrar finalmente que I(G) C Aut(G), isto e, f ◦ I(G) ◦ f−1 ⊂ I(G)

onde f ∈ Aut(G). Sejam f ∈ Aut(G) e Ig ∈ I(G) quaisquer entao

f ◦ Ig ◦ f−1(x) = f(gf−1(x)g−1) = f(g)xf(g)−1 ∈ I(G)

como querıamos demonstrar.

Propriedade 89. G e abeliano ⇔ I(G) = {I}.

Demonstracao. ⇒). Se G e abeliano entao Ig(x) = gxg−1 = x = I ∀g ∈ G e a

funcao identidade, logo todos automorfismos internos sao iguais a funcao identidade e daı

I(G) = {I}.⇐).

Se ∀g, x ∈ G vale Ig(x) = x entao gxg−1 = x⇒ gx = xg logo o grupo e abeliano.

Propriedade 90. H CG⇔ Ig(H) ⊂ H,∀g ∈ G , isto e, H e estavel por todos automor-

fismos internos de G.

Demonstracao.

H CG⇔ ∀g ∈ G gHg−1 ⊂ H ⇔ Ig(H) ⊂ H.

Definicao 31 (Subgrupo caracterıstico). H < G e um subgrupo caracterıstico de G,

que se denota por H l G, se ele e estavel por todos os automorfismos de G, isto e,

f(H) ⊂ H ∀f ∈ Aut(G).

Exemplo 22. Sao subgrupos caracterısticos de G, {e}, G, Z(G), G′.

• {e} e subgrupo caracterıstico pois para qualquer automorfismo f de G tem-se f(e) =

e.

• E claro que f(G) ⊂ G para qualquer f .

• Z(G) e subgrupo caracterıstico . Dado qualquer automorfismo f : G→ G e qualquer

g ∈ Z(G), temos que mostrar que ∀ x ∈ G tem-se xf(g) = f(g)x. Como f : G→ G

e bijecao, entao existe y tal que f(y) = x, portanto

xf(g) = f(y)f(g) = f(yg) = f(gy) = f(g)f(y) = f(g)x .

• Por fim G′ e subgrupo caracterıstico . Dado z ∈ G′ z = xyx−1y−1, logo f(z) =

f(x)f(y)f(x)−1f(y)−1 ∈ G′ pois a funcao assume valor em G′.

Corolario 21. Se H lG entao H CG pois em especial fg(H) = gHg−1 e automorfismo

para todo g.

Propriedade 91. Se H e o unico subgrupo de G de ordem n entao H lG.

Demonstracao.

Temos que mostrar que para qualquer f automorfismo de G em G tem-se f(H) ⊂ H.

f(H) e subgrupo de G , pois f e homomorfismo e H < G, alem disso possui n elementos,

pois f e funcao bijetora, disso segue que f(H) = H.

Propriedade 92. Seja K lH CG entao K CG, isto e, vale um tipo de transitividade.

Demonstracao. Sejam g ∈ G arbitrario, Ig : G → G com Ig(x) = gxg−1 conside-

ramos a restricao Ig|H , como H C G entao Ig(H) = H, I|H e um automorfismo de H.

K CH implica Ig|H(K) ⊂ K, isto e, gKg−1 ⊂ K ∀g ∈ G daı K CG.

Propriedade 93. Sejam (G, .) e (G′, ∗) grupos e f : G→ G′ um isomorfismo de grupos

vale:

• Se o(a) e finito entao o(f(a)) e finito.

• Se o(a) e infinito entao o(f(a)) e infinito.

Demonstracao. Suponha que o(a) seja infinito, entao o(f(a)) e finito ou infinito,

suponha por absurdo que seja finito, logo existe n ∈ N tal que [f(a)]n = e = f(an) como

a funcao e injetora entao an = e que implicaria que o(a) e finita, um absurdo.

Se o(a) e finita, existe n ∈ N tal que an = e e daı f(an) = f(a)n = f(e) = e, entao

ordem de f(a) e finita.

Propriedade 94. Seja (G, .) um grupo cıclico infinito gerado por a, entao f : (z,+) →

(G, .) definida por f(n) = an e um isomorfismo de grupos.

O elemento az gera G ⇔ z = 1 ou z = −1.

Demonstracao. f e um homomorfismo pois f(n+m) = an+m = anam = f(n)f(m).

Vamos mostrar que a funcao e injetora, suponha f(n) = f(m) entao an = am e daı

an−m = e, se n 6= m entao o grupo seria finito, segue entao que n = m e a funcao e

injetora. Pelo fato do grupo ser cıclico infinito gerado por a tem-se que f e sobrejetora.

az gera G ⇔ z gera Z, os unicos elementos que geram Z sao 1 e −1.

Corolario 22. Quaisquer dois grupos cıclicos infinitos sao isomorfos.

Propriedade 95. Se (G, .) e um grupo cıclico de ordem n gerado por a entao G e isomorfo

ao grupo (zn,+ mod n).

Um elemento am gera G ⇔ mdc(m,n) = 1.

Demonstracao. Seja a funcao Zn → G, definida como f(n) = an. Tal funcao e um

homomorfismo pois f(n+m) = an+m = an.am = f(n)f(m). f deve ser injetora, pois

dados n ≥ m ≥ s ≥ 0 com am = as segue am−s = e entao de 0 ≤ m− s < n segue m = s.

A funcao tambem e sobrejetiva.

am gera G ⇔ m gera Zn ⇔ mdc(m,n) = 1.

1.7.3 Determinacao de homomorfismo entre dois grupos

Definicao 32. Denotamos por Hom(G,B) o conjunto dos homomorfismos de G em B.

Corolario 23.

Hom(G,B) =⋃HCG

{f : G→ B,morfismo | Ker(f) = H}

pois Ker(f) CG.


1.7.4 Teorema de Cayley - G e isomorfo a um subgrupo de SG.

Propriedade 96 (Cayley). G e isomorfo a um subgrupo de SG.

Demonstracao. Para cada a ∈ G definimos a funcao fa : G→ G tal que fa(x) = a.x,

fa e injetora pois fa(x) = a.x = a.y entao x = y por lei do corte, f tambem e sobrejetora

pois dado b ∈ G existe x = a−1b tal que fa(x) = aa−1b = b. Entao fa e uma bijecao,

fa ∈ G ∀a ∈ G.

Definimos entao g : G → SG como g(a) = fa. Vamos mostrar que G e um homomor-

fismo injetor.

g(a.b)(x) = fa.b(x) = a.b.x = a(b.x) = (fa ◦ fb)(x)

daı g(a.b) = g(a) ◦ g(b). Logo g e um homomorfismo de grupos, vamos mostrar que e

injetora

ker(G) = {a ∈ G | g(a) = IG} = {a ∈ G | ax = x} = {e}

logo e injetora, entao esta em bijecao com sua imagem g(G) ⊂ SG sendo um isomorfismo.

Corolario 24. Um grupo com n elementos e isomorfo a um subgrupo de Sn.

Propriedade 97. Seja f : G→ G com f(x) = x−1. G e abeliano ⇔ f e morfismo.

Demonstracao.

⇒). Supondo G abeliano. f(xy) = (xy)−1 = y−1x−1 = x−1y−1 = f(x)f(y).

⇐). Supondo que f seja morfismo. ∀x, y ∈ G tem-se

f(x−1y−1) = f(x−1)f(y−1) = xy = yx.

Corolario 25. Se ∀ a ∈ G a2 = e entao G e abeliano. a e inverso dele mesmo a = a−1,

portanto

(xy)−1 = y−1x−1 = yx = xy.

1.7.5 Teorema dos isomorfismos

Teorema 2 (Teorema dos isomorfismos-1). Seja f : G→ B um homomorfismo entao

• h : G/(ker(f))→ f(G) com h(gker(f)) = f(g) e um isomorfismo.

Demonstracao.

• h e funcao. Se gKer(f) = g′Ker(f) entao f(g) = f(g′) pois g = g′k onde k ∈Ker(f) e daı

f(g) = f(g′k) = f(g′)f(k) = f(g′).

• h e morfismo.

h(gKer(f)g′Ker(f)) = h(gg′Ker(f)) = f(gg′) = f(g)f(g′) = h(gKer(f))h(g′Ker(f)).

• f e injetiva pois se h(gKer(f)) = h(gKer(f)) ⇒ f(g) = f(g′) ⇒ f(g′g−1) = eB

entao g′ = gk com k no nucleo portanto gKer(f) = g′Ker(f).

• h e sobrejetiva por definicao.

h e bijecao e homomorfismo, entao h e isomorfismo.

Propriedade 98 (Teorema dos isomorfismos-2). Seja A = {H | H < G, ker(f) ⊂ H},

isto e, o conjunto dos subgrupos de G que contem ker(f) e C = {T | T < f(G)} o

conjunto dos subgrupos de f(G), entao g : A → C com2 g(H) = f(H) e bijecao que

possui inversa g−1(T ) = f−1(T ). Alem disso

• H CG implica f(H) C f(G).

• T C f(G) implica f−1(T ) CG.

A ultima proposicao diz que g preserva a propriedade de subgrupos normais, isto e, leva

subgrupos normais de um conjunto em subgrupos normais do outro conjunto. g pode ser

vista como o morfismo f restrito ao conjunto A.

Demonstracao.

Sabemos que f−1(f(H)) = Hker(f) ∀H < G e f(f−1(T )) = T ∩ f(G),∀ T < B, daı

Ker(f) ⊂ H implica f−1(f(H)) = H e T ⊂ f(G) que f(f−1(T )) = T , entao g possui

inversa , logo e bijecao.

2Usamos a notacao g para funcao no lugar de f , pois f , homomorfismo e definido de G em B.

• H CG implica f(H) C f(G).

Dado y ∈ f(g) e x ∈ f(H), temos que ter yxy−1 ∈ f(H). y = f(g), x = f(h),

g, h ∈ G,H, logo

yxy−1 = f(g)f(h)f(g−1) = f(ghg−1︸︷︷︸∈H

) ∈ f(H)

a parte sublinha acontece pois H CG.

• T C f(G) implica f−1(T ) CG.

Dado g ∈ G e a ∈ f−1(T ) (logo f(a) ∈ T ), vamos mostrar que gag−1 ∈ f−1(T ).

Temos

f(gag−1) = f(g) f(a)︸︷︷︸∈T

f(g)−1 ∈ T

pois T C f(G) logo gag−1 ∈ f−1(T ).

Propriedade 99. Sejam f : G→ T morfismo , H < G entao g : H/H ∩Ker(f)→ f(H)

com g(h.H ∩Ker(f)) = f(h) e um isomorfismo.

Demonstracao. Considere o morfismo f |H : H → B, isto e, a restricao de f a H,

vale que f |H(H) = f(H) e Ker(f |H) = Ker(f)∩H, pois Ker(f) = {x ∈ G | f(x) = eB}e Ker(f |H) = {x ∈ H | f(x) = eB}, aplicando a parte 1 do teorema dos isomorfismo a

f |H , basta substituir Ker(f) por Ker(f) ∩H e provamos o resultado.

Propriedade 100. Seja HCG entao f : A→ C e uma bijecao onde A = {V | V CG, V ⊂

H}, C = {T | T CG/H}.

Demonstracao. Considere o homomorfismo l : G → G/H dado por l(g) = gH, l e

um morfismo sobrejetor e Ker(l) = H, aplicamos a parte (2) do teorema dos isomorfismos

a l, substituindo Ker(l) por H, f(G) por l(G) = G/H.

Propriedade 101. Sejam G um grupo, ACG, B C C < G entao AB C AC.

Demonstracao. Como ACG e BCG entao ABCG e em especial vale que AB = BA.

• De ACG temos ∀ g ∈ G e a ∈ A tem-se gag−1 ∈ A.

• De B C C segue ∀ c ∈ C e b ∈ B temos cbc−1 ∈ B.

Queremos mostrar que AB C AC, isto e, ∀ ac ∈ AC e a′b′ ∈ AB tem-se

aca′b′(ac)−1 ∈ AB, isto e , aca′b′c−1a−1 ∈ AB

porem podemos escrever

a (ca′c−1)︸︷︷︸a1∈A

(cb′c−1)︸︷︷︸b1∈B

a−1 = aa1b1a−1 ∈ AB

a ultima passagem e verdadeira pois AB CG.

Propriedade 102. Se H CG e K < G entao K/(H ∩K) e isomorfo a KH/H.

Demonstracao. Como H C G e K < G temos que KH < G e KH = HK. H C G

entaoHCKH daı podemos considerar o quocienteKH/H. Tomamos o morfismo canonico

f : KH → KH/H com f(kh) = khH = kH. Consideramos a restricao f |K : K →KH/H, f(k) = kH. Temos Ker(f |k) = {k ∈ K | kH = k} = H ∩K, f |K e sobrejetora,

pelo teorema dos 1 segue o resultado.

Propriedade 103. Sejam K < H < G com K C G e H C G entaoG/K

H/Ke isomorfo a

G/H.

Demonstracao. Seja f : G/K → G/H com f(gK) = gH.

• f e funcao pois se gK = g′K entao g = g′K para algum k ∈ K daı f(g′K) = g′H e

f(gK) = gH = g′kH = g′H

pois K ⊂ H.

• f e sobrejetora por definicao.

• Ker(f) = {gK | f(gk) = g︸︷︷︸∈H

H = H} = H/K pois os elementos de H/K sao da

forma gK onde g ∈ H.

Aplicando o primeiro teorema dos isomorfismo segue o resultado.

1.8 O grupo Sn

Definicao 33 (Congruencia modulo σ). Sejam σ ∈ Sn (σ e uma funcao bijetora que leva

elementos de In em In.) , a, b ∈ In, dizemos que a e congruente a b modulo σ sse existe

k ∈ Z | b = σk(a), nesse caso escrevemos

a ≡σ b⇔ ∃k ∈ Z | σk(a) = b.

Propriedade 104. A congruencia modulo σ e uma relacao de equivalencia em In.

Demonstracao.

• Vale a reflexividade pois σ0(a) = a.

• Vale a simetria. Se σk(a) = b entao σ−kb = a daı a ≡σ b implica b ≡σ a.

• Vale a transitividade. De σk(a) = b e σs(b) = c segue que σ(k+s)(a) = c daı a ≡σ c.Entao ≡σ e uma relacao de equivalencia em In.

Definicao 34 (Orbita de a por σ). A orbita de a por σ e o conjunto

O(a) := {σk(a) | k ∈ Z}

, sendo a classe de equivalencia de a modulo σ.

Propriedade 105. ∀a ∈ In existe l ≥ 1 tal que σl(a) = a.

Demonstracao. O(a) ⊂ In, entao O(a) e um conjunto finito, logo existem inteiros

1 ≤ n < m tais que σm(a) = σn(a), daı σm−n(a) = σ0(a) = a. O conjunto

A = {k ∈ Z | k ≥ 1 σk(a) = a}

e um conjunto de inteiros limitado inferiormente, logo pelo PBO ele possui um menor

elemento l tal que σl(a) = a. Denotaremos sempre l como esse menor elemento.

Propriedade 106. O(a) = {σk(a) | 0 ≤ k < l.}

Demonstracao. Tomando m ∈ Z pela divisao euclidiana por l temos m = q.l + r e

daı σm(a) = σr(σq.l(a)) = σr(a).

Definicao 35 (Ciclo de a por σ.). Chamamos (σk(a))l−11 ou qualquer permutacao circular

de um ciclo de σ.

Definicao 36 (r-Ciclo). Sejam r ≥ 1, Ar = {ak, 1 ≤ k ≤ r} ⊂ In. Definimos um r-ciclo

como uma permutacao σ : In → In definida como

• σ(ak) = ak+1, se 1 ≤ k < r.

• σ(ar) = a1.

• σ(x) = x, ∀x ∈ In \ Ar E denotada como (ak)r = (a1, · · · , ar).

Corolario 26. Se r = 1 entao σ e a identidade de In → In.

Definicao 37 (Multiplicacao de ciclos). Definimos o produto dos ciclos σ = (ak)r e

C = (bk)s como a composicao das permutacoes que eles representam

(ak)r.(bk)

s := σ ◦ C.

Definicao 38 (Ciclos disjuntos). Dizemos que (ak)r e (bk)

s ciclos de In sao disjuntos sse

{ak, k ∈ Ir} ∩ {bk, k ∈ Is} = ∅.

Propriedade 107 (Propriedade dos ciclos disjuntos). Se σ = (ak)r e τ = (bk)

s sao ciclos

disjuntos de Sn, entao σ ◦ τ = τ ◦ σ.

Demonstracao. Seja A = {ak, | k ∈ Ir} e B = {bk, | k ∈ Is}, A e B sao conjuntos

disjuntos.

• Se existe t ∈ In \ (A ∪B) entao, σ e τ fixam t, valendo

σ(τ(t)) = σ(t) = t

τ(σ(t)) = τ(t) = t

logo sao iguais.

• Seja x ∈ A, daı x = ak para algum k e σ(ak) = at ∈ A para algum t, como at, ak /∈ Bsao fixos por τ logo

τ(σ(ak)) = τ(at) = at

σ(τ(ak)) = σ(ak) = at

logo e comutativa.

Propriedade 108. Toda permutacao σ ∈ Sn se escreve de modo unico como produto de

seus ciclos (a menos da ordem).

Propriedade 109. (ak)r =

r∏k=2

(a1, ak) onder∏

k=2

(a1, ak) = [r∏

k=3

(a1, ak)].(a1, a2) produto

aberto pelo limite inferior a direita, isto e, todo r-ciclo se escreve como produto de 2-

ciclos.

Demonstracao. Para a1 temos σ(a1) = a2 e pelo ciclor∏

k=2

(a1, ak) =r∏

k=3

(a1, ak).(a1, a2),

pelo primeiro ciclo σ(a1) = a2 e a2 nao aparece em nenhum outro ciclo , logo os outros

ciclos fixam a2. Tomando agora 2 ≤ k < r, abrimos como

r∏k=2

(a1, ak) =r∏

k=s+2

(a1, ak)(a1, as+1)(a1, as)s−1∏k=0

(a1, ak)

as e fixo no primeiro produto da direita, em (a1, as) temos σ(as) = a1 e em (a1, as+1)

tem-se σ(a1) = as+1 sendo que as+1 e fixo porr∏

k=s+2

(a1, ak), logo o resultado da as+1. No

caso de ar abrimos o produto como

r∏k=2

(a1, ak) = (a1, ar)r−1∏k=2

(a1, ak)

ar e fixo no produtorio e no ciclo (a1, ar) tem-se σ(ar) = a1. Entao em todo caso (ak)r e

r∏k=2

(a1, ak) coincidem, sendo portanto iguais.

Propriedade 110. Toda permutacao em Sn pode ser escrita como produto de 2-ciclos.

Demonstracao. Escrevemos a permutacao como produto dos seus r-ciclos, que por

sua vez podem ser escritos como produtos de 2-ciclos.

Definicao 39 (Transposicoes). Os 2-ciclos em sn sao chamados de transposicoes, em

especial um 2− ciclo qualquer e chamado de transposicao.


Corolario 27. Todo r-ciclo pode ser escrito comor∏

k=2

(a1, ak) logo pode ser escrito como

produto de r + 1− 2 = r − 1 transposicoes.

Definicao 40 (Permutacao par ou ımpar). Uma permutacao σ e chamada de par sse e um

produto de um numero par de transposicoes, caso contrario e chamada de transposicao

ımpar.

Definicao 41 (Grupo alternado). Definimos o grupo alternado de An como

An = {σ ∈ Sn | σ e permutacao}.

Propriedade 111.

|An| =n!

2.

1.8.1 Ciclos de S3

I =

(1 2 3

1 2 3

)f6 =

(1 2 3

1 3 2

)f5 =

(1 2 3

3 2 1

)

σ =

(1 2 3

2 1 3

)f4 =

(1 2 3

3 1 2

)τ =

(1 2 3

2 3 1

)Os ciclos dos elementos sao

• f6 = (2, 3), ımpar.

• f5 = (1, 3), ımpar.

• σ = (1, 2), ımpar.

• f4 = (1, 3, 2) = (1, 2)(1, 3), par.

• τ = (1, 2, 3) = (1, 3)(1, 2), par.

An = {I, f4, τ}.


1.8.2 Ciclos de S4.

• f1 = (1, 2)(3, 4) par.

• f2 = (1, 3)(2, 4) par.

• f3 = (1, 4)(2, 3) par.

• f4 = (1, 2, 3, 4) = (1, 4)(1, 3)(1, 2) ımpar.

• f5 = (1, 3, 2, 4) = (1, 4)(1, 2)(1, 3) ımpar.

• f6 = (1, 4, 3, 2) = (1, 2)(1, 3)(1, 4) ımpar.

• f7 = (1, 2) ımpar.

• f8 = (1, 2, 3) = (1, 3)(1, 2) par.

• f9 = (1, 2, 4) = (1, 4)(1, 2) par.

• f10 = (1, 2, 4, 3) = (1, 3)(1, 4)(1, 2) ımpar.

• f11 = (1, 3, 4) = (1, 4)(1, 3) par.

• f12 = (1, 3) ımpar.

• f13 = (1, 3, 2) = (1, 2)(1, 3) par.

• f14 = (1, 3, 4, 2) = (1, 2)(1, 4)(1, 3) ımpar.

• f15 = (1, 4, 2, 3) = (1, 3)(1, 2)(1, 4) ımpar.

• f16 = (1, 4, 2) = (1, 2)(1, 4) par.

• f17 = (1, 4, 3) = (1, 3)(1, 4) par.

• f18 = (1, 4) ımpar.

• f19 = (3, 4) ımpar.

• f20 = (2, 3, 4) = (2, 4)(2, 3) par.

• f21 = (2, 3) ımpar.

• f22 = (2, 4, 3) = (2, 3)(2, 4) par.

• f23 = (2, 4) ımpar.

A4 = {f1, f2, f3, f8, f9, f11, f13, f16, f17, f20, f22, I}.

Propriedade 112. Se |G| = p2 entao G possui no maximo p + 1 subgrupos com p

elementos.

Demonstracao. Vamos considerar elementos distintos da identidade e do grupo.

Dado um a qualquer, vale que | < a > | = p ou p2 se | < a > | = p dado b se

b ∈< a >, entao ⊂< a >, logo nao pode valer | | = p2, como ambos

conjuntos tem p elementos segue que =< a >, logo se subgrupos de ordem p tem

um elemento em comum eles sao iguais nesse caso. Isso implica que podemos ter no

maximo p + 1 subgrupos de ordem p, pois caso fosse uma quantidade maior, algum dos

subgrupos deveria ter elemento em comum logo seriam iguais.

Exemplo 23. z2 × z2 com adicao possui 3 subgrupos de ordem 2, que sao

< (0, 1) >= {(0, 1), (0, 0)}

< (1, 0) >= {(1, 0), (0, 0)}

< (1, 1) >= {(1, 1), (0, 0)}.

Exemplo 24. Z4 com adicao possui os seguintes subgrupos

{0} =< 0 >

{1, 2, 3, 0} =< 1 >

< 2 >= {2, 0}

< 3 >= {3, 2, 1, 0}

nao chega a possuir 3 subgrupos de ordem 2, pois se um grupo contem 3 gera o grupo, se

contem 1 tambem a unica possibilidade do subgrupo ter ordem 2 e conter 2 e 0 apenas.

grupo 2.pdf

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